Cálculo I- Aula 3 Limites parte 2

Prévia do material em texto

Cálculo I 
LIMITES – Parte 2
Professora: Mariah Rissi
LIMITES LATERAIS
 Quando examinamos
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
estamos pensando que 𝑥 → 𝑎 , isto é, 𝒙 se aproxima de 𝒂, por
valores maiores ou menores que 𝒂.
 Entretanto, podemos fazer 𝒙 se aproximar de 𝒂 apenas por valores
maiores do que 𝒂. Nesse caso, dizemos que 𝒙 tende a 𝒂 pela direita
e indicamos
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) .
 De modo análogo, podemos fazer 𝒙 se aproximar de 𝒂 apenas por
valores menores do que 𝒂. Nesse caso, dizemos que 𝒙 tende 𝒂 pela
esquerda e indicamos
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) .
LIMITES LATERAIS
LIMITES LATERAIS
EXEMPLO 1.
EXISTÊNCIA DE LIMITES 
OBSERVAÇÃO:
Todas as propriedades de limites permanecem válidas para limites laterais.
Exercícios
1. 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥
2 + 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
5𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1
, calcule:
(a) lim
x→1+
f x = lim
x→1+
x2 + 3 =4
(b) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
5x − 1 =4
(c) lim
x→1
f(x) = lim
x→1
x2 + 3 = 4
Exercícios
2. 𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
2𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 < 0
, calcule:
(a) lim
x→2+
f x = lim
x→2+
x + 1 =3
𝑏 lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
2x =4
(c) lim
x→2
f(x) = lim
x→2
x + 1 = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
(d) lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
2x = 0
(e) lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
x2 = 0
(f) lim
x→0
f(x) = lim
x→0
2x = 0
𝑥 + 12𝑥
𝑥2
3. 
LIMITES NO INFINITOS
Definições Limites com 𝒙 → ±∞ ∶
1. Dizemos que 𝑓(𝑥) possui o limite 𝑳 quando tende a mais infinito 
e escrevemos: 
lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
se, à medida que 𝑥 se distancia da origem no sentido positivo, 
𝑓(𝑥) fica cada vez mais próximo de 𝐿.
2. Dizemos que 𝑓(𝑥) possui o limite 𝑴 com 𝒙 tendendo a menos 
infinito e escrevemos: 
lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝑀
se, à medida que 𝑥 se distancia da origem no sentido negativo, 
𝑓(𝑥) fica cada vez mais próximo de 𝑀. 
LIMITES NO INFINITOS
EXEMPLOS:
Função Exponencial
LIMITES NO INFINITOS
EXEMPLOS:
Função Logarítmica
LIMITES NO INFINITOS
∞ ∞
LIMITES NO INFINITOS
LIMITES NO INFINITOS
Limites de uma função Polinomial 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 → ±∞
lim
±∞
𝑝 𝑥 = lim
±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛 .
Demonstração: 
lim
𝑥→±∞
( 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + …+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0) =
= lim
𝑥→±∞
𝑥𝑛 𝑎𝑛 +
𝑎𝑛−1
𝑥
+
𝑎𝑛−2
𝑥2
+ …+
𝑎1
𝑥𝑛−1
+
𝑎0
𝑥𝑛
Mas: lim
𝑥→±∞
𝑎𝑛−1
𝑥
= lim
𝑥→±∞
𝑎𝑛−2
𝑥2
= … = lim
𝑥→±∞
𝑎1
𝑥𝑛−1
= lim
𝑥→±∞
𝑎0
𝑥𝑛
= 0
Logo: 
lim
𝑥→±∞
𝑥𝑛 𝑎𝑛 + 0 + 0 + …+ 0 + 0 = lim
±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛.
LIMITES NO INFINITOS
Limites de uma função Polinomial 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 → ±∞
lim
±∞
𝑝 𝑥
𝑞(𝑥)
= lim
±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛
𝑏𝑛𝑥
𝑛
.
De forma análoga, 
Observações: * Para , temos: 
LIMITES NO INFINITOS
Exemplos:
1. Calcule, 
LIMITES NO INFINITOS
2. Calcule os limites a seguir:
a) 
lim
𝑥→+∞
3𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 5
3 − 𝑥 − 2𝑥2
= lim
𝑥→+∞
3𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 5
𝑥2
3 − 𝑥 − 2𝑥2
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
3𝑥3
𝑥2
−
2𝑥2
𝑥2
+
2𝑥
𝑥2
−
5
𝑥2
3
𝑥2
−
𝑥
𝑥2
−
2𝑥2
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
3𝑥 − 2 +
2
𝑥 −
5
𝑥2
3
𝑥2
−
1
𝑥
− 2
= lim
𝑥→+∞
3𝑥 − 2
−2
= lim
𝑥→+∞
−
(3𝑥 − 2)
2
= lim
𝑥→+∞
−
3
2
𝑥 = −
3
2
lim
𝑥→+∞
𝑥
=−
3
2
+∞ =+∞
** O limite de cada fração do tipo 
𝑐
𝑥𝑚
, com 𝑥 → ±∞, é igual a zero!!
LIMITES NO INFINITOS
b)
c) 
lim
𝑥→−∞
3𝑥2 − 𝑥 + 2
5 − 𝑥2
= lim
𝑥→−∞
3𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥2
5 − 𝑥2
𝑥2
= lim
𝑥→−∞
3𝑥2
𝑥2
−
𝑥
𝑥2
+
2
𝑥2
5
𝑥2
−
𝑥2
𝑥2
=
= lim
𝑥→−∞
3 −
1
𝑥 +
2
𝑥2
5
𝑥2
− 1
= lim
𝑥→−∞
3
−1
= −3
lim
𝑥→+∞
2𝑥 + 3
3𝑥2 + 𝑥 − 4
= lim
𝑥→+∞
2𝑥 + 3
𝑥2
3𝑥2 + 𝑥 − 4
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑥2
+
3
𝑥2
3𝑥2
𝑥2
+
𝑥
𝑥2
−
4
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
2
𝑥 +
3
𝑥2
3 +
1
𝑥
−
4
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
0
3
= 0
Exercícios
LIMITES INFINITOS
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2
3
𝑥 − 2 2
= +∞
LIMITES INFINITOS
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2
− 3
𝑥 − 2 2
= −∞
LIMITES INFINITOS
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑓 𝑥 =
1
𝑥2
LIMITES INFINITO (Propriedades)
LIMITES INFINITOS
Exemplo 1: Vamos calcular :lim
𝑥→1+
𝑥 + 1
1 − 𝑥
1º) Achar raiz de 𝑥 + 1 e fazer estudo do 
sinal:
𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1
−1
+ 
-
2º) Achar raiz de 1 − 𝑥 e fazer estudo do 
sinal:
1 − 𝑥 = 0
−𝑥 = −1 × (−1)
𝑥 = 1
+ 
-
3º) Análise das funções:
-1 1
- + + 
+ + -
- + -
1
𝐼
𝐼𝐼
𝐼
𝐼𝐼
1+
Logo, = −∞lim𝑥→1+
𝑥 + 1
1 − 𝑥
LIMITES INFINITOS
Exemplo 2: Vamos calcular :lim
𝑥→1
4
𝑥 − 1 2
1º) Fazer estudo do sinal com a constante 4:
4
2º) Achar raiz de 𝑥 − 1 e fazer estudo do sinal:
3º) Análise das funções:
1 4
+ + +
- + +
- + +
𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
𝐼
(𝐼𝐼)(𝐼𝐼𝐼)
Logo, = +∞
+ +
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
Obs.: Como o denominador é 𝑥 − 1 2 .
Consideramos como 𝑥 − 1 𝑥 − 1 , logo
o processo no estudo dos sinais terá duas
linhas com o estudo do sinal da função
𝑥 − 1;
𝐼
𝐼𝐼
&
𝐼𝐼𝐼 + + +
lim
𝑥→1
4
𝑥 − 1 2
Exercícios
1. Calcule os Limites a seguir:
CONTINUIDADE 
Informalmente dizemos que uma função é continua quando seu
gráfico não apresenta interrupções, ou seja, seu gráfico pode ser
traçado sem que o lápis se afaste do papel. Assim, para que uma
função 𝑓 seja contínua em um ponto 𝑥 = 𝑎 é necessário que a função
esteja bem definida em 𝑎 e que os valores de 𝑓(𝑥), para 𝑥 próximos
de 𝑎, esteja próximos de 𝑓(𝑎). Uma definição formal é dada a
seguir:
𝑓 é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑎;
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑎;
𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑎 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑓 𝑎 ;
CONTINUIDADE 
Exemplos
Verifique a continuidade das funções a seguir, nos pontos indicados:
1) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
; 𝑥 = 0.
𝑎) ∄𝑓 0 , 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 0;
CONTINUIDADE 
Exemplos
2) 𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥2+1
; 𝑥 = −1.
𝑎) ∃ 𝑓 −1 = 0;
𝑏) lim
𝑥→−1
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
= 0, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∃ lim
𝑥→−1
𝑓 𝑥 ;
c) lim
𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥2+1
= 𝑓 −1 .
Logo a função é contínua em 𝑥 = −1.
CONTINUIDADE
Exemplos
3) f x = ቊ
𝑥 + 1, 𝑥 < 1
2 − 𝑥, 𝑥 ≥ 1
; 𝑥 = 1.
𝑎) ∃𝑓 1 = 2 − 1 − 1;
𝑏) lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = ቐ
lim
𝑥→1−
𝑥 + 1 = 2
lim
𝑥→1+
2 − 𝑥 = 1
, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∄ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) .
OBS.: Se uma função NÃO é contínua em um ponto 𝑎, 
dizemos que ela é descontínua neste ponto;
Logo a função não é
contínua em 𝑥 = 1;
CONTINUIDADE 
Os seguintes tipos de funções são contínuos em cada ponto de seus
domínios:
• Funções Polinomiais; 
• Funções Racionais;
• Função Raiz (𝑦 = 𝑛 𝑥, 𝑛 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞 1);
• Funções Trigonométricas;
• Funções Trigonométricas inversas;
• Funções Exponenciais;
• Funções Logarítmicas.
CONTINUIDADE 
Alguns Exemplos:
CONTINUIDADE - Propriedades
Se as funções 𝑓 e 𝑔 são contínuas em 𝑥 = 𝑐, então as seguintes
combinações são contínuas em 𝑥 = 𝑐.
1. SOMAS: 𝑓 + 𝑔
2. DIFERENÇAS: 𝑓 − 𝑔
3. PRODUTOS: 𝑓. 𝑔
4. CONSTANTES MÚLTIPLAS: 𝑘. 𝑓, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑘
5. QUOCIENTES: 𝑓
𝑔
, 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑐) ≠ 0
Exercícios
✓ Verifique se a função dada é contínua no ponto
indicado:
1) 𝑓 𝑥 =
−3𝑥2−𝑥+1
𝑥3−1
; 𝑥 = −1.
2) 𝑔 𝑥 = ቄ
−1 𝑠𝑒 𝑥 < 0
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
; 𝑥 = 0.
3) ℎ 𝑥 = ቊ
𝑥2−4
𝑥−2
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
3 𝑠𝑒 𝑥 = 2
; 𝑥 = 2.
4) 𝑗 𝑥 =
|𝑥+1|
𝑥2−4
; 𝑥 = −1.
5) k 𝑥 = ቐ
𝑥2 − 1 𝑠𝑒 𝑥 < −2
−3𝑥
2
𝑠𝑒 𝑥 ≥ −2
; 𝑥 = −2.
6) l 𝑥 = ቊ
𝑥2−16
8−2𝑥
𝑠𝑒 𝑥 ≠ 4
2𝑥 − 4 𝑠𝑒 𝑥 = 4
; 𝑥 = 4.
7) m 𝑥 =
1−𝑥2
𝑥−1
𝑠𝑒 𝑥 > 1
2𝑥2−2
1−𝑥
𝑠𝑒 𝑥 < 1
1 − 5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 = 1
; 𝑥 = 1.