Lista de Exercícios 9 - Base e Dimensão do Núcleo e da Imagem

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9o Lista de Exerćıcios – GEX251 - Introdução à Álgebra Linear
Exerćıcio 1 Seja F : R3 → R2 a transformação linear dada por F (x, y, z) = (x+y, 2x−
y + z).
a) Dar uma base e a dimensão de Nuc(F);
b) Dar uma base e a dimensão de Im(F).
Confira a resposta sobre as dimensões usando o Teorema do Núcleo e Imagem.
Exerćıcio 2 Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e
a dimensão do núcleo e da imagem:
a) F : R3 → R dada por F (x, y, z) = x + y − z.
b) F : R2 → R2 dada por F (x, y) = (2x, x + y).
c) F : R3 → R4 dada por F (x, y, z) = (x− y − z, x + y + z, 2x− y + z,−y).
d) F : P2(R)→ P2(R) dada por F (f(t)) = t2f ′′(t).
e) F : M2(R)→M2(R) dada por F (X) = MX + X, onde M =
(
1 1
0 0
)
.
Exerćıcio 3 Determinar uma aplicação linear F : R3 → R4 tal que Im(F) = [(1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)].
Exerćıcio 4 Determinar uma transformação linear F : R4 → R4 cujo núcleo é gerado
por (1, 1, 0, 0) e (0, 0, 1, 0).
Exerćıcio 5 Determinar uma transformação linear F : R3 → R3 cujo núcleo tem di-
mensão 1.
Exerćıcio 6 Mostre que a transformação linear F : R3 → R3 dada por F (x, y, z) =
(x + z, x− z, y) é um isomorfismo(Veja definição na lista 8). Além disso, encontre F−1.
Exerćıcio 7 Mostre que uma transformação linear F : U → V é injetora se, e somente
se, Nuc(F ) = {0U}.
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