PROVA N2 CALCULO APLICADO UMA VARIÁVEL

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Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma função,  definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto  : as derivadas laterais a direita,  , e a derivada lateral à esquerda,  , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I.  (  ) A função    é derivável em  .
II. (  ) A derivada de  existe, pois as derivadas laterais são:  .
III. (  ) A função   não é derivável em  porque   não é contínua em  .
IV. (  ) A função   é derivável em  , porque   é contínua em  .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
F, F, V, F.
	Resposta Correta:
	 
F, F, V, F.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que   é derivável em , logo, . De fato: 
.
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, pois , pois, . De fato:   .
A afirmativa III é verdadeira, dado que  não é derivável em , porque  não é contínua em . De fato,  , portanto, f não é derivável em x=2.
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez que  é derivável em  porque  é contínua em . O fato de uma função ser contínua não garante a sua derivabilidade.
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	O conceito de integral indefinida de uma função está associado a uma família de primitiva dessa função. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integranda. Assim, considere as funções  e  , contínuas e, portanto, integráveis e analise suas primitivas. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I.   é primitiva da função 
Pois:
II.  .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições falsas.
 
 
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições falsas.
 
 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao derivarmos a função  , temos que: , portanto,  não é primitiva da , e a afirmativa I é falsa. A afirmativa II também é falsa, pois,  derivando-se a função  Consequentemente, .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Em relação à limite e continuidade de uma função f(x) , sabemos que uma função é contínua num ponto P quando o valor do limite dessa função, quando x tende a esse ponto é igual ao valor da função no ponto P. Podemos fazer essa verificação analisando o gráfico da função.
Nesse contexto, em relação a limite e continuidade de função, observe o gráfico da função f(x)  , a seguir, e avalie as afirmativas a seguir:
Fonte: elaborada pela autora
 
 
1. O limite lateral à direita de 2 é igual a 1.
2. A função f(x)  é contínua em x = 2.
3. O limites laterais em x = 2 existem e são iguais.
4. A função f(x)  é contínua em x=0.
 
É correto o que se afirma em:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I e IV, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta.
(Verdadeira)  O limite lateral à direita de 2 é igual a 1. Vê-se graficamente.
(Verdadeira)  A função f(x)  é contínua em x=0. Vê-se graficamente que , portanto a função é contínua nesse ponto.
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que são tabeladas, e  também as regras operatórias: soma, produto e quociente. Para derivar a função  , é necessário conhecer a derivada da função exponencial, logarítmica e a regra do quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que determine o valor de 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. O valor correto é . Verifique os cálculos abaixo, em que inicialmente foi aplicada a regra operatória do quociente; em seguida, as derivadas da função logarítmica e potência. Após obter a , aplicou-se o ponto para alcançar o resultado. Cálculos:
 
, desde quando 
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Dois trens deixam a mesma direção num mesmo instante. Um deles em direção norte à razão de 80 km/h. O outro trem vai em direção leste à razão de 60 km/h, como mostra a Figura. Verifique que as três grandezas, x, y e z variam com o tempo à medida que os trens se afastam.
 
                          
Fonte: Elaborada pela autora.
A respeito da situação-problema apresentada, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Por Pitágoras, é possível relacionar as variáveis x, y e z.
II. Os valores de x, y e z 1 hora depois que os trens deixaram a estação são iguais a 80, 60 e 120, respectivamente.
III. Para encontrar a taxa de variação dz/dt é necessário derivar a equação da relação entre as variáveis implicitamente.
IV. A velocidade com que os dois trens se afastam 1 hora depois de terem deixado a estação é igual a 100 km/h.
 
É correto o que se afirma apenas em:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, III e IV apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, III e IV apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta.  A sequência está correta, pois por Pitágoras,  
=  .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
2, 3, 1, 4.
	Resposta Correta:
	 
2, 3, 1, 4.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que  = Derivada do Quociente.  = Derivada da Soma. = Derivada do Produto. = Derivada da Cadeia.
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um avião levanta vôo, formando um ângulo de 30º com o chão. Mantendo essa inclinação, ele estará a uma distância x, em km, do ponto de partida, quando atingir 4,5 km de altura. Nessas condições, o valor de x, é:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
9.
	Resposta Correta:
	 
9.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. No triângulo retângulo o x é a hipotenusa, assim, sen30 =4,5/x. Logo, x=4,5/0,5=9.
	
	
	
· Pergunta 8
0 em 1 pontos
	
	
	
	A regra de L’Hospital pode ser aplicada diretamente quando as indeterminações são do tipo   ou    . Portanto, é necessário, inicialmente, avaliar o tipo de indeterminação. Após essa verificação deve-se aplicar a regra de L’Hospital para obter o valor do limite. Se a indeterminação persistir deve-se aplicar a regra sucessivamente até obter um valor real.
 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao calcular  .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois inicialmente foi verificado que o tipo de indeterminação é . Logo após aplicou-se a regra de L’Hospital, derivando-se o numerador e denominador, separadamente, e assim obteve-se o valor de  para o limite. Verifique os cálculos a seguir:
  .
	
	
	
· Pergunta 9
0 em 1 pontos
	
	
	
	A regra de L’Hospital é usada para resolver limites com a utilização da função derivada. Inicialmente, deve-se substituir a tendência do limite na variável x, para avaliar possivelmente o tipo de indeterminação. No caso de indeterminação 0/0, é possível utilizar a regra de L’Hospital diretamente. Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o valor do limite:   .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois ao substituir a tendência do limite na variável x, constatou-se que a indeterminação é do tipo 0/0. Derivando-se ambos os termos da função polinomial racional (regra de L’Hospital) e resolvendo o limite obteve-se o resultado de 11/4. Verifique os cálculos a seguir: 
  
 
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, mostrado na figura, determine o valor de 
 
Fonte: elaborada pela autora
O valor encontrado é:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta.