Capitulo10 Conexão com a matemática

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Capítulo 10 Geometria plana: triângulos e semelhança
     7.	Desenhe	três	polígonos,	I,	II	e	III,	de	modo	que	I	seja	
semelhante	 a	 II	 e	 II	 seja	 congruente	 a	 III.	 O	 que	 se	
pode	afirmar	do	polígono	I	em	relação	ao	polígono	III?
     8.	Os	triângulos	a	seguir	apresentam	alguns	lados	cujas	
medidas	são	desconhecidas.	Encontre	essas	medidas.
a)	
2,3
y
3,1 8,1
6,9
x
b)	 4
y
10
3
—–
5
3 x
     9.	No	esquema	a	seguir,	o	quadrado	A	tem	81	cm2	de	
área,	o	quadrado	B	tem	144	cm2	de	área	e	o	quadra-
do	C tem	225	cm2	de	área.
   
C
A
B
a)	Sabendo	que	cada	lado	do	triângulo	é	congruen-
te	a	um	lado	de	um	dos	quadrados,	como	pode	
ser	verificado	na	figura,	determine	a	medida	dos	
lados	desse	triângulo.
b)	Mostre	que	o	triângulo	é	retângulo.
 10.  (UFPel-RS)	 A	 Geometria	 métrica,	 através	 de	 suas	
relações,	 pro	porciona	 que	 possamos	 descobrir		
medidas	desconhecidas.	Usando	as	relações	conve-
nientes,	é	correto	afirmar	que	o	perímetro	do	triân-
gulo	ABC,	abaixo,	equivale	a:	
9 cm
16 cm
4 cm
A
B
C
a)	24	cm c)	 35	cm	 e)	 45	cm
b)	34	cm	 d)	 48	cm	 f )	 I.R.
  1.	 A	bissetriz	AD 	de	um	triângulo	ABC,	com	D perten-
cente	ao	segmento	BC,	determina,	no	vértice	A,	dois	
ângulos	 eD ADBA CX X 	de	medidas,	em	grau,	dadas	res-
pectivamente	por	3x	2	15°	e	x	1	45°.	Sendo	o	triângu-
lo	ABC	isósceles,	determine	a	medida	do	ângulo	ABDV .
  2.	 Em	 um	 triângulo	 isósceles	 ABC,	 AB	 5	 x	 1	 3,	
AC	5	3x	1	1	e	os	lados	AB e	 CA 	não	são	congruentes.	
Sabendo	que	o	perímetro	desse	triângulo	é	igual	a	17,	
determine	o	maior	valor	possível	para	x.
  3.	 Um	ângulo	interno	de	um	triângulo	isósceles	me-
de	80°.	Quais	podem	ser	as	medidas	dos	outros	dois	
ângulos?	Justifique	sua	resposta.
  4.	 Considere	m,	n	e	p	três	retas	paralelas	e	s	e	t	duas	
transversais.	 As	 retas	 paralelas	 determinam	 dois	
segmentos	sobre	a	transversal	s,	AB	e	BC,	tais	que	
AB	5	x	e	BC	5	x	1	1.	Sobre	a	transversal	t,	as	para-
lelas	determinam	os	segmentos	DE	e	EF,	na	mesma	
ordem,	de	tal	modo	que	DE	5	2x	1	10	e	EF	5	4x	1	4.
a)	Faça	um	esquema	para	representar	essa	situação.
b)	Determine	o	valor	de	x.
c)	 Calcule	a	medida	dos	segmentos	AB,	BC,	DE	e	EF.
  5.	 Um	arquiteto	está	desenhando	a	planta	de	uma	co-
zinha	cujas	medidas	reais	são:	4	m	de	comprimen-
to	e	3,25	m	de	largura.
a)	Sabendo	que	essa	planta	está	sendo	desenhada	
na	 escala	 1	 :	 200,	 qual	 medida,	 em	 centímetro,		
deverão	 ter	 os	 segmentos	 que	 representam	 o	
comprimento	e	a	largura	dessa	cozinha?
b)	Se	o	arquiteto	está	usando	uma	régua	graduada,	
cuja	menor	divisão	é	o	milímetro,	essa	escala	é	
a	ideal	para	representar	essa	cozinha?	Justifique	
sua	resposta.
  6.	 Sabendo	 que	 a	 malha	 quadriculada	 a	 seguir	 é	
com	posta	 de	 quadrados	 cujos	 lados	 medem	 uma	
unidade,	pode-se	afirmar	que	os	dois	trapézios	de-
senhados	são	semelhantes?	Justifique	sua	resposta.
   
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Geometria plana: triângulos 
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capítulo 10
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Fácil	 Médio	 Difícil
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Capítulo 10 Geometria plana: triângulos e semelhança
 11.	 (UFBA)	Na	figura	abaixo,	todos	os	triângulos	são	re-
tângulos	isósceles,	e	ABCD	é	um	quadrado.	Nessas	
condições,	determine	o	quociente	
CE
GH .
   
A
B
C
D
E
F
G
H
 12.	 Determine	os	valores	de	x	e	y	para	que	o	triângulo	
maior	tenha	o	dobro	da	área	do	triângulo	menor.
    16 cm
20 cm
y
x
 13.	 Em	certo	horário	do	dia,	um	adolescente	com	1,5	m	
de	altura	projeta	uma	sombra	com	2	m	de	compri-
mento.	Nesse	mesmo	horário,	um	pinheiro	projeta	
uma	sombra	de	12	m	de	comprimento.	Qual	é	a	al-
tura	desse	pinheiro?
 14.	 Considere	o	triângulo	ABC,	retângulo	em	B.	Saben-
do	que	o	cateto	AB	mede	9	cm	e	que	a	hipotenusa	
AC	mede	15	cm,	calcule:
a)	a	medida	do	cateto	BC;
b)	a	medida	h	da	altura	em	relação	à	hipotenusa;
c)	 as	medidas	m	e	n	das	projeções	dos	catetos	sobre	
a	hipotenusa.
    15 cm
9 cm
m
h
n
A C
B
 15.	 (UFSCar-SP)	 A	 hipotenusa	 do	 triângulo	 retângu-
lo	ABC	está	 localizada	sobre	a	reta	real,	conforme	
indica	a	figura.
    –4 7x
B
A D C
Se	 x	.	 0	 e	 a	 medida	 da	 altura	 BD	 relativa	 ao	 la-
do	AC	do	triângulo	ABC	é	 62 ,	então	x	é	o	número	
real:
a)	2 3 c)	 3 2	 e)	 3 3
b)	4	 d)	 5
 16.	 (Fuvest-SP)	Na	figura	abaixo,	tem-se	AC	5	3,	AB	5	4	
e	CB	5	6.
   
C BD
A
O	valor	de	CD	é:
a)	
12
17
 c)	
12
23
	 e)	
12
29
b)	
12
19
 d)	
12
25
  17.	 (Fuvest-SP)	 Um	 lateral	 L	 faz	 um	 lançamento	 para	
um	atacante	A,	situado	32	m	à	sua	frente	em	uma	
linha	paralela	à	lateral	do	campo	de	futebol.	A	bola,	
entretanto,	segue	uma	trajetória	retilínea,	mas	não	
paralela	à	lateral	e	quando	passa	pela	linha	de	meio	
do	campo	está	a	uma	distância	de	12	m	da	 linha	
que	une	o	lateral	ao	atacante.	Sabendo-se	que	a	li-
nha	de	meio	do	campo	está	à	mesma	distância	dos	
dois	 jogado	res,	 a	 distância	 mínima	 que	 o	 atacan-
te	terá	que	percorrer	para	encontrar	a	trajetória	da	
bola	será	de:
a)	 18,8	m
b)	 19,2	m
c)	 19,6	m
d)	 20	m
e)	 20,4	m
A
L
12 m
32 m
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Capítulo 10 Geometria plana: triângulos e semelhança
 18.	 (Fuvest-SP)	O	 triângulo	ABC	 tem	altura	h e	base	b	
(ver	 figura).	 Nele	 está	 inscrito	 o	 retângulo	 DEFG,	
cuja	base	é	o	dobro	da	altura.
   
B
D
E F
h
b
G
A
C
    Nessas	condições,	a	altura	do	retângulo,	em	função	
de	h	e	b,	é	dada	pela	fórmula:
a)	
1h b
bh
 c)	
1h b
bh
2
	 e)	
( )1h b
bh
2
b)	
1h b
bh2
	 d)	
1h b
bh
2
 19.	 (Fuvest-SP)	Na	 figura,	o	 triângulo	ABC	é	 retângulo	
com	catetos	BC 5	3	e	AB	5	4.	Além	disso,	o	ponto	D	
pertence	ao	cateto	AB,	o	ponto	E	pertence	ao	cateto	
BC	e	o	ponto	F	pertence	à	hipotenusa	AC,	de	tal	for-
ma	que	DECF	seja	um	paralelogramo.
   
A
CB
D F
E
  	 Se	DE
2
3
= ,	então	a	área	do	paralelogramo	DECF	vale:
a)	
25
63
 c)	
25
58
	 e)	
5
11
b)	
5
12
	 d)	
25
56
 20.	 (UFPR)	Uma	corda	de	3,9	m	de	comprimento	conec-
ta	um	ponto	na	base	de	um	bloco	de	madeira	a	uma	
polia	localizada	no	alto	de	uma	elevação,	conforme	
o	esquema	abaixo.
   
1,4 m
1,5 m
3,9 m
x
    Observe	 que	 o	 ponto	 mais	 alto	 dessa	 polia	 está	
1,5	 m	 acima	 do	 plano	 em	 que	 esse	 bloco	 desliza.	
Caso	a	corda	seja	puxada	1,4	m,	na	direção	indicada	
abaixo,	a	distância	x	que	o	bloco	deslizará	será	de:
a)	1,0	m c)	 1,6	m	 e)	 2,1	m
b)	1,3	m	 d)	 1,9	m
 21.	 (ESPM-SP)	Uma	folha	de	papel	retangular	foi	dobra-
da	como	mostra	a	figura	abaixo.
    4 cm 6 cm
    De	acordo	com	as	medidas	fornecidas,	a	região	ver-
melha,	que	é	a	parte	visível	do	verso	da	folha,	tem	
área	igual	a:
a)	24	cm2	 c)	 28	cm2	 e)	 36	cm2
b)	25	cm2	 d)	 35	cm2
 22.	 (Unicamp-SP)	 Para	 trocar	 uma	 lâmpada,	 Roberto
encostou	 uma	 escada	 na	 parede	 de	 sua	 casa,	 de	
forma	 que	 o	 topo	 da	 escada	 ficou	 a	 uma	 altura	
de	4	m.	Enquanto	Roberto	subia	os	degraus,	a	base	da	
escada	escorregou	por	1	m,	tocando	o	muro	pralelo	à	
parede,	conforme	ilustração	abaixo.	Refeito	do	susto,	
Roberto	reparou	que,	após	deslizar,	a	escada	passou	
a	fazer	um	ângulo	de	45º	com	o	piso	horizontal.
45°
ANTES
muro
escada
parede
DEPOIS
muro
escada
parede
    A	distância	entre	a	parede	da	casa	e	o	muro	equivale	a:
a)	( )14 3 1 	metros
b)	( )23 2 1 	metros
c)	 4 3 	metros
d)	( )23 2 2 	metros
 23.	 (Enem)	A	 rampa	 de	 um	 hospital	 tem	 na	 sua	 par-
te	 mais	 elevada	 uma	 altura	 de	 2,2	 metros.	 Um		
paciente,	ao	caminhar	sobre	a	rampa,	percebe	que	
se	 deslocou	 3,2	 metros	 e	 alcançou	 uma	 altura	 de		
0,8	 metro.	 A	 distância,	 em	 metro,	 que	 o	 paciente	
ainda	deve	caminhar	para	atingir	o	ponto	mais	alto	
da	rampa	é:
a)	1,16	metro
b)	3,0	metros
c)	 5,4	metros
d)	 5,6	metros
e)	 7,04	metros
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Capítulo 10 Geometria plana: triângulos e semelhança
	24.	 (FGV)	Bem	no	topo	de	uma	árvore	de	10,2metros	
de	 altura,	 um	 gavião	 casaca-de-couro,	 no	 ponto	
A	 da	 figura,	 observa	 atentamente	 um	 pequeno
roedor	que	subiu	na	mesma	árvore	e	parou	preo-
cupado	no	ponto	B,	bem	abaixo	do	gavião,	na	mes-
ma	reta	vertical	em	relação	ao	chão.	Junto	à	árvore,	
um	garoto	fixa	verticalmente	no	chão	uma	vareta	
de	 14,4	 centímetros	 de	 comprimento	 e,	 usando	
uma	régua,	descobre	que	a	sombra	da	vareta	mede	
36	centímetros	de	comprimento.	Exatamente	nes-
se	 instante	 ele	 vê,	 no	 chão,	 a	 sombra	 do	 gavião	
percorrer	 16	 metros	 em	 linha	 reta	 e	 ficar	 sobre	
a	sombra	do	roedor,	que	não	se	havia	movido	de	
susto.
	 	
A
B
Calcule	e	responda:	Quantos	metros	o	gavião	teve	
de	voar	para	capturar	o	roedor,	se	ele	voa	vertical-
mente	de	A	para	B?
	25.	 (Fuvest-SP)	Em	uma	mesa	de	bilhar,	coloca-se	uma	
bola	branca	na	posição	B	e	uma	bola	vermelha	na	
posição	V,	conforme	o	esquema	a	seguir.
	 	
Q
x
R
SP
V
B
0,80 m
0,90 m
1,20 m
0,40 m
V
B
Deve-se	jogar	a	bola	branca	de	modo	que	ela	siga	
a	 trajetória	 indicada	na	 figura	e	atinja	a	bola	ver-
melha.	 Assumindo	 que,	 em	 cada	 colisão	 da	 bola	
branca	com	uma	das	bordas	da	mesa,	os	ângulos	de	
incidência	e	de	reflexão	são	iguais,	a	que	distância	
x	do	vértice	Q	deve-se	jogar	a	bola	branca?