Capitulo12 Conexão com a matemática

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Capítulo 12 trigonometria no triângulo retângulo 
e num triângulo qualquer
conexões com 
a matemática 
1
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Capítulo 12 trigonometria no triângulo retângulo 
e em um triângulo qualquer
	 5.	 (Unioeste-PR)	Um	observador	de	1,60	m	de	altura,	
que	se	encontra	no	solo,	visualiza	uma	luz	na	extre-
midade	superior	de	uma	torre	a	um	ângulo	de	45º.	
Sabe-se	que	o	terreno	ao	redor	da	torre	é	totalmente	
plano.	O	observador	afasta-se	mais	98	m	da	torre	e	
passa	a	visualizar	a	mesma	luz	a	um	ângulo	de	30º.	
Considere	 ,3 1 75 .	Pode-se,	então,	concluir	que	a	
torre	tem	uma	altura	aproximada	de:
a)	141,6	metros	 d)	160	metros
b)	170,6	metros	 e)	130	metros
c)	 148,4	metros
	 6.	 Na	figura	a	seguir,	BCDE	é	um	quadrado	e	E	é	o	pon-
to	médio	do	segmento	AD.	Determine	sen	a.
B E
A
C D
α
	 7.	 (Mackenzie-SP)	Na	figura,	quaisquer	que	sejam	a	e	
b,	sen	t	é	sempre	igual	a:	
a)	cos	b
b)	sen	2a
c)	 sen	2b
d)	cos	a
e)	 cos	2b
	 8.	 Em	certo	horário	do	dia,	a	sombra	de	um	poste,	pro-
jetada	 pela	 luz	 solar,	 tem	 25	 m	 de	 comprimento.	
Sabendo	que	nesse	horário	os	raios	solares	formam	
um	 ângulo	 de	 45°	 com	 o	 solo,	 determine	 a	 altura	
desse	poste.
45°
raios solares
sombra do poste
poste
	 1.	 Considere	o	triângulo	ABC,	retângulo	em	C,	para	re-
solver	os	itens	a	seguir.	
B
AC
α
β
3 2
3 6
a)	Calcule	sen	a,	cos	a	e	tg	a.
b)	Com	base	apenas	nos	resultados	obtidos	no	item	
anterior,	 sem	 fazer	cálculos,	determine	sen	 b	 e	
cos	b.
c)	 Determine	o	valor	de	tg	b,	considerando	os	valo-
res	de	sen	b	e	cos	b	determinados	no	item	b.
d)	Com	um	transferidor,	meça	os	ângulos	a	e	b.	Em	
seguida	 obtenha	 os	 valores	 de	 seno,	 cosseno	 e	
tangente	desses	ângulos.
e)	 Compare	os	valores	encontrados	nos	itens	a,	b	e	
c	com	os	cálculos	do	item	anterior.
	 2.	 Sendo	 5
3
1
sen a ,	quanto	vale	cos	(90°2	a)?	Justifi-
que	sua	resposta.
	 3.	 Determine	o	valor	de	x	e	de	y	indicados	na	figura.
x
y
16
30°60°
	 4.	 Uma	folha	de	papel	foi	dobrada	conforme	o	esque-
ma	a	seguir.
x
y
z
α
16
12
20
a)	Determine	as	medidas	x,	y	e	z	do	triângulo	for-
mado	com	a	dobra.
b)	Calcule	sen	a,	cos	a	e	tg	a.
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 trigonometria no triângulo 
retângulo e em um triângulo 
qualquer
capítulo 12
Grau de dificuldade das questões:
Fácil	 Médio	 Difícil
α
2α
β θ
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Capítulo 12 trigonometria no triângulo retângulo 
e num triângulo qualquer
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2
	 9.	 (UFPel-RS)	 Pessoas com necessidades especiais 
estão, aos poucos, recebendo apoio da comuni-
dade. Empresas e entidades estão lhes propor-
cionando condições e oportunidades para que 
possam mostrar sua capacidade, competência e 
adaptabilidade.
 A Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT) dispõe de regras com relação ao acesso 
de deficientes a guias e sarjetas, logradouros pú-
blicos, edifícios, bem como outras adaptações.
	 	 http://www.acessoparadeficientes.hpg.ig.com.br/Acesso.htm
	 	 Acesso	em:	5/7/2005	[adapt.].
	 	 Numa	repartição	pública,	foi	construída	uma	ram-
pa	de	80	cm	de	comprimento,	inclinada	em	relação	
ao	plano	horizontal,	estando	seu	ponto	mais	eleva-
do	a	10	cm	de	altura.
	 	 De	acordo	com	o	texto	e	seus	conhecimentos,	é	cor-
reto	afirmar	que	a	tangente	do	ângulo	de	elevação	
dessa	rampa	é:
a)	
21
7 	 c)	
8
3 7 	 e)	3 7
b)	
8
1 	 d)	6 15	 f )	I.R.
	10.	 (UFPel-RS)	 A	 figura	 representa	 dois	 quartéis	 do	
Corpo	 de	 Bombeiros.	 O	 primeiro	 está	 localiza-
do	no ponto	A	e	o	outro,	11	km	distante	de	A,	na	
	direção	 leste.	 Num	 mesmo	 instante,	 avista-se,	 de	
cada	posto	do	Corpo	de	Bombeiros,	um	incêndio	no	
ponto	C,	 segundo	as	direções	 indicadas	na	 figura.	
	Calcule	a	distância	do	fogo	até	cada	uma	das	uni-
dades	indicadas	na	figura.
11 km
C
A B
N
S
LO
30°
60°
	11.	 Determine	x	no	triângulo	a	seguir.
2
3
x
A
B C
D
30°
	12.	 A	base	de	um	triângulo	isósceles	mede	6	m	e	sua	
área	é	 igual	a	12	m2.	Determine	o	seno	do	ângulo	
formado	entre	a	base	e	um	dos	lados	congruentes	
desse	triângulo.
	13.	 Usando	a	 tabela	de	razões	 trigonométricas,	deter-
mine	os	valores	de	x	e	y	no	triângulo	a	seguir.	
20
y
x
23°
	14.	 Determine	o	valor	numérico	das	medidas	represen-
tadas	por	incógnitas	no	triângulo	a	seguir.	Use	uma	
calculadora	científica.	
28
y
x
23°
	15.	 Na	entrada	de	uma	loja	está	sendo	projetada	uma	
rampa	conforme	o	esquema	a	seguir.
entradarampa (y)
comprimento horizontal (x)
α 2,5 m
	 	 Considerando	que	a	rampa	deve	ter	10%	de	inclina-
cão,	determine:
a)	o	comprimento	horizontal	(x)	dessa	rampa;
b)	o	ângulo	de	inclinação,	a;	(Dica:	consulte	a	tabe-
la	de	razÕes	trigonométricas.)
c)	 o	comprimento	(y)	aproximado	da	rampa.
	16.	 Na	figura	a	seguir,	os	triângulos	ADB	e	BCD	são	re-
tângulos,	 respectivamente,	 em	 A	 e	 B.	Além	 disso,	
AD	=	1	cm,	AB	= 15	cm	e	CD	=	8	cm.	Determine	a	
medida,	em	grau,	do	ângulo	DCBW .
C
BA
D
	 17.	 Paulo	está	empinando	uma	pipa	presa	a	uma	linha,	
bem	esticada,	com	80	metros	de	comprimento.	Ele	
segura	a	linha	a	60	cm	do	chão.	Nessa	posição,	a	li-
nha	forma,	com	o	plano	do	chão,	um	ângulo	de	30°.	
Determine	a	que	altura	está	a	pipa.
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	18.	 Do	alto	de	um	prédio	de	40	m	de	altura,	um	obser-
vador	vê	um	carrinho	de	pipoca	e	uma	barraca	de	
pastel	alinhados	com	a	entrada	do	prédio.	Eles	es-
tão	representados,	no	esquema	a	seguir,	pelos	pon-
tos	A	e	B,	respectivamente.
BA
40 m
63° β
	 	 Usando	uma	calculadora,	determine:
a)	a	distância	entre	o	carrinho	de	pipoca	e	o	prédio;
b)	o	valor	do	ângulo	b,	considerando	que	AB	=	11	m.
	19.	 (Udesc)	Sobre	um	plano	inclinado	deverá	ser	cons-
truída	uma	escadaria.
20 cm
. . .
30°
280 3 cm
	 	 Sabendo	que	cada	degrau	da	escada	deverá	ter	uma	
altura	 de	 20	 cm	 e	 que	 a	 base	 do	 plano	 inclinado	
mede	280 3 	cm,	conforme	mostra	a	figura	acima,	
então	a	escada	deverá	ter:
a)	10	degraus	 d)	53	degraus
b)	28	degraus	 e)	16	degraus
c)	 14	degraus
	20.	 (Mackenzie-SP)	Se,	no	triângulo	retângulo	da	figura,	
tem-se	
4
3
cos 5a ,	então	o	valor	de	sen	(2a	1 3b)	é:
α
β
a)	
4
3 	 c)					
3
2 		 e)	
2
1
b)	2
4
3 	 d)	
3
2
2
	21.	 A	figura	a	seguir	representa	um	balão	observado	de	
dois	pontos	M	e	N,	sob	ângulos	de	30°	e	45°,	respec-
tivamente.	
45°30°
M N
	 	 Se	os	pontos	M e	N se	localizam	no	plano	do	chão	e	
distam	2	km	um	do	outro,	qual	é	a	altura	do	balão	
em	relação	ao	solo?	
	22.	 (UFG-GO)	Uma	empresa	de	engenharia	deseja	cons-
truir	uma	estrada	ligando	os	pontos	A	e	B,	que	estão	
situados	em	lados	opostos	de	uma	reserva	florestal,	
como	mostra	a	figura	a	seguir.	
reserva
florestal
A C
α
D
B
	 	 A	empresa	optou	por	construir	dois	trechos	retilí-	
neos,	 denotados	 pelos	 segmentos	 AC CBe ,	 ambos	
com	 o	 mesmo	 comprimento.	 Considerando	 que	 a	
distância	de	A	até	B,	em	linha	reta,	é	igual	ao	dobro	
da	 distância	 de	 B	 a	 D,	 o	 ângulo	 a,	 formado	 pelos	
dois	trechos	retilíneos	da	estrada,	mede:
a)	110°	 c)	130°	 e)	150°
b)	120°	 d)	140°
	23.	 (Unioeste-PR)	Na	figura	a	seguir,	ACDG	é	um	retân-
gulo,	sendo	F	o	ponto	médio	do	segmento	DG DEe 		
é	perpendicular	a	BF.	O	segmento	DE	mede	4 3 	cm,	
BC	mede	2 3 	cm	e	o	ângulo	EFDV 	mede	60°.
CBA
G F D
E
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	 	 Com	base	nessas	informações,	pode-se	afirmar	que	
o	perímetro	do	retângulo	ACDG	vale:
a)	22 3 cm1 	 d)	33 3 cm
b)	32	cm	 e)	40	cm
c)	 20 16 3 cm1
	24.	 A	 base	 de	 um	 triângulo	 isóscelesmede	 20	 cm,	 e	
o	ângulo	do	vértice	mede	32º.	Calcule	o	perímetro	
desse	triângulo.
	25.	 Calcule	a	medida	x.	
B
C
30° 15°
x
A
15 2
	26.	 Um	navio	é	visto	no	mar	por	dois	pontos	de	obser-
vação	localizados	na	costa,	distantes	50	km	um	do	
outro.	O	ângulo	formado	pela	linha	costeira	e	a	reta	
que	une	o	navio	ao	primeiro	ponto	de	observação	
mede	36º.	O	ângulo	formado	pela	linha	costeira	e	a	
reta	que	une	o	navio	ao	segundo	ponto	de	observa-
ção	mede	45º.	Qual	é	a	distância	entre	o	navio	e	o	
primeiro	ponto	de	observação?	
	27.	 Calcule	a	medida	de	 todos	os	 lados	e	de	 todos	os	
ângulos	de	um	d ABC,	sabendo	que	AC	=	16,	AB	=	19	
e	med(BAXC)	=	35º.
	28.	 Dois	 lados	 de	 um	 terreno	 triangular	 medem,	 res-
pectivamente,	 120	 m	 e	 180	 m,	 conforme	 a	 figura	
abaixo.	O	ângulo	formado	por	esses	lados	mede	47.	
Calcule	o	perímetro	do	terreno.
47°
120 m
180 m
	29.	 No	triângulo	ABC,	 temos	AB	5	8	cm,	AC	5	8	cm	e	
med	AX	5 120º.	Calcule	a	medida	do	lado	BC.	
	30.	 Os	lados	de	um	paralelogramo	têm	medida	50	cm	
e	70	cm.	Calcule	o	comprimento	de	cada	diagonal	
desse	paralelogramo	sabendo	que	seu	maior	ângu-
lo	interno	mede	105º.
	31.	 Calcule	a	área	do	painel	decorativo	composto	de	lo-
sangos	de	lados	com	12	cm.
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