Exercicios_Aula_2_optica_e_F_moderna

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Exercícios Aula 2 
Professor: Cristiano Cruz 
Disciplina: Óptica e Princípios da Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – Na figura abaixo duas ondas luminosas têm um comprimento de onda de 550,0 nm antes 
de penetrar nos meios 1 e 2. Elas têm a mesma amplitude e estão em fase. Suponha que o 
meio 1 seja o próprio ar e que o meio 2 seja um plástico transparente com índice de refração 
1,60 e 2,6 m de espessura. 
 
Qual é a diferença de fase entre as duas ondas emergentes em comprimentos de onda, 
radianos e graus? 
Resolução: 
A diferença de fase entre duas ondas luminosas pode mudar se as ondas atravessarem 
meios diferentes, com diferentes índices de refração. Isso acontece porque os comprimentos 
de onda são diferentes em meios diferentes. Podemos calcular a mudança da diferença de 
fase contando o número de comprimentos de onda em cada meio e calculando a diferença 
entre os dois números. Quando as distâncias percorridas pelas ondas nos dois meios são 
iguais, o resultado é dado pela equação: 
𝑁2 − 𝑁1 = 
𝐿
𝜆
 (𝑛2 − 𝑛1) 
Temos que: 
n1 = 1,0; n2 = 1,60; L = 2,60 m = 2,6 x 10-6 m e  = 550,0 nm, substituindo na equação: 
𝑁2 − 𝑁1 = 
2,60 . 10−6
550 . 10−9
 (1,60 − 1,00) 
𝑁2 − 𝑁1 = 2,84 
Logo a diferença de fase entre as duas ondas emergentes será 2,84 comprimentos de onda. 
Como 1 comprimento de onda equivale a 2 radianos e 360o . Pela regra de três, a diferença 
de fase será: 
1𝜆 − 2. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
2,84𝜆 − 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 =
2,84. 𝜆. 2. 𝜋
1𝜆
= 17,8 𝑟𝑎𝑑 
Como: 
2. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜 
17,8 𝑟𝑎𝑑 − 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 =
17,8 . 360𝑜
2. 𝜋
= 1020𝑜 
 
2 – Um feixe de luz branca, com intensidade constante na faixa visível de comprimento de 
onda da luz (400 – 690 nm), incide perpendicularmente em um filme de água com índice de 
refração n2 = 1,33 e espessura L = 320 nm, que está suspenso no ar. Para que comprimento 
de onda  a luz refletida pelo filme se apresenta mais intensa a um observador? 
Resolução: 
A luz refletida pelo filme é mais intensa se o comprimento de onda  for tal que os raios 
refletidos estejam em fase. As equações que relacionam o comprimento de onda à 
espessura L e ao índice de refração n2 do filme são: 
 
2𝐿 = 𝑚.
𝜆
𝑛2
 
e 
 
2𝐿 = (𝑚 +
1
2
) .
𝜆
𝑛2
 
Para determinar qual das duas equações devemos utilizar é necessário verificar se os raios 
de luz refletidos encontram-se em fase ou fora de fase. 
 
Na figura veja que os raios 1 e 2 percorrem caminhos diferentes, um reflete na primeira 
superfície e outro na segunda. Na primeira reflexão o raio de luz parte de um meio de menor 
índice de refração, o ar, n = 1,0, para um de maior índice de refração, a água n = 1,33 isso 
faz com que após a reflexão ocorra um deslocamento de fase de 0,5.(meio comprimento 
de onda). Já na segunda interface o raio de luz parte de um meio de maior índice de refração, 
a água, para um de menor índice de refração, o ar, e neste caso o raio de luz não muda sua 
fase e, portanto, ao emergir os raios 1 e 2 estarão fora de fase. Como queremos que as 
ondas refletidas estejam em fase, a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios 
deve ser igual a um número ímpar de comprimento de onda. Portanto devemos utilizar a 
equação: 
2𝐿 = (𝑚 +
1
2
) .
𝜆
𝑛2
 
Considerando m = 0 e substituindo os valores: 
2. 320 . 10−9 = (0 +
1
2
) .
𝜆
1,33
 
Portanto o comprimento de onda será: 
𝜆 = 2.1,33.2. 320 . 10−9 = 1700 𝑛𝑚 
Considerando m = 1 e substituindo os valores: 
2. 320 . 10−9 = (1 +
1
2
) .
𝜆
1,33
 
Portanto o comprimento de onda será: 
𝜆 = 
2.1,33.2. 320 . 10−9
3
= 567 𝑛𝑚 
Considerando m = 2 e substituindo os valores: 
2. 320 . 10−9 = (2 +
1
2
) .
𝜆
1,33
 
Portanto o comprimento de onda será: 
𝜆 = 
2.1,33.2. 320 . 10−9
5
= 340 𝑛𝑚 
Assim , o comprimento de onda para o qual a luz é visível para um observador é mais intensa 
é  = 567 nm 
 
3 – A figura mostra quatro situações nas quais a luz refletida perpendicularmente por um 
filme fino de espessura L, com índices de refração indicados. 
a) Em que situação as reflexões nas interfaces produzem uma diferença de fase nula entre 
os dois raios refletidos? 
b) Em que situações os filmes ficarão escuros se a diferença 2.L entre as distâncias 
percorridas pelos raios produzir uma diferença de fase de meio comprimento de onda? 
 
Resolução: 
Para a luz refletida possuir uma diferença de fase nula, os raios refletidos devem estar em 
fase. 
- Na situação I - Os raios refletidos na primeira interface partem de um meio de maior índice 
de refração n = 1,5, para um meio de menor índice de refração n = 1,4. Isso faz com que o 
raio refletido não mude sua fase. 
Na segunda interface o mesmo ocorre e ao emergir depois da reflexão os raios estarão em 
fase, ou seja, a diferença de fase será nula. 
- Na situação II - Os raios refletidos na primeira interface partem de um meio de maior índice 
de refração n = 1,5, para um meio de menor índice de refração n = 1,3. Isso faz com que o 
raio refletido não mude sua fase. 
Na segunda interface os raios refletidos partem de um meio de menor índice de refração n 
= 1,3, para um meio de maior índice de refração n = 1,4. Isso faz com que o raio refletido 
mude sua fase em 0,5 comprimento de onda. Neste caso, portanto, os raios estarão fora de 
fase, ou seja, a diferença de fase será de 0,5. 
- Na situação III - Os raios refletidos na primeira interface partem de um meio de maior índice 
de refração n = 1,4, para um meio de menor índice de refração n = 1,3. Isso faz com que o 
raio refletido não mude sua fase. 
Na segunda interface os raios refletidos partem de um meio de menor índice de refração n 
= 1,3, para um meio de maior índice de refração n = 1,5. Isso faz com que o raio refletido 
mude sua fase em 0,5 comprimento de onda. Neste caso, portanto, os raios estarão fora de 
fase, ou seja, a diferença de fase será de 0,5. 
- Na situação IV - Os raios refletidos na primeira interface partem de um meio de menor 
índice de refração n = 1,3, para um meio de maior índice de refração n = 1,4. Isso faz com 
que o raio refletido mude sua fase em 0,5  
Na segunda interface os raios refletidos partem de um meio de menor índice de refração n 
= 1,4, para um meio de maior índice de refração n = 1,5. Isso faz com que o raio refletido 
mude sua fase em 0,5 comprimento de onda. Neste caso, portanto, ambos os raios sofrem 
mudança em 0,5 comprimento de onda o que mantem os raios refletidos em fase, ou seja, 
a diferença de fase será nula. 
4 – O sistema de radar de um cruzador emite micro-ondas com um comprimento de onda de 
1,6 cm, usando uma antena circular com 2,3 m de diâmetro. A distância de 6,2 km, qual é a 
menor separação entre duas lanchas para que sejam detectadas como objetos distintos pelo 
radar? 
Resolução: 
Pela figura vemos que a distância entre as lanchas pode ser determinada pela tangente da 
metade do ângulo crítico c 
 
tan
𝜃𝑐
2
= 
𝑑
2
ℎ
 
Pela teoria vimos também que o ângulo crítico para duas fontes pontuais que atravessam 
um orifício, chamado limite de resolução de Rayleigh é dado por: 
𝛼𝑐 = 1,22 
𝜆
𝐷
 
 
Sendo o comprimento de onda λ = 1,6 cm = 16.10−3 m e o diâmetro da antena D = 2,3 m, 
logo: 
 
𝛼𝑐 = 1,22 
16 . 10−3
2,3
= 0,0084869 𝑟𝑎𝑑 = 8,4869 . 10−3𝑟𝑎𝑑 
Sendo a distância entre as lanchas e o radar h = 6,2 km = 6200 m 
 
Substituindo na equação da tangente: 
tan
𝜃𝑐
2
= 
𝑑
2
ℎ
 
tan
8,4869 . 10−3
2
= 
𝑑
2
6200
 
 
𝑑 = 52,6 𝑚 
5 – Qual a separação angular de duas estrelas se suas imagens mal podem ser resolvidas 
pelo telescópio refrator Thaw, do observatório Allegheny, em Pittsburgh? O diâmetro da lente 
é 76 cm e a distância focal é 14 m. Suponha que o comprimento de onda = 550 nm. 
Determine a distância entre as duas estrelas se ambas estiverema 10 anos-luz da Terra. 
Resolução: 
A equação 𝛼𝑐 = 1,22 
𝜆
𝐷
 relaciona o ângulo crítico e o diâmetro mínimo da abertura da lente 
para que as duas fontes luminosas possam ser vistas separadamente. 
Para utilizar esse resultado precisamos realizar uma transformação de unidades, tendo em 
vista que a medida do diâmetro da lente está em centímetros devemos transformar para o 
SI, logo D = 76 cm = 0,76 m. Substituindo na equação: 
𝛼𝑐 = 1,22 
550 . 10−9
0,76
= 882,9 . 10−9𝑟𝑎𝑑 
Para determinar a distância entre as duas estrelas devemos utilizar a tangente da metade 
da separação angular das estrelas. 
 
A distância entre as estrelas e a lente do telescópio h = 10 anos-luz. Sendo um ano-luz a 
distancia que a luz percorre em um ano, 1 ano-luz = 9,46 x 1015 m, pela regra de três simples 
temos: 
1 ano-luz = 9,46 x 1015 m 
10 anos-luz = h 
h = 9,46 x 1016 m 
 Substituindo na equação da tangente: 
tan
882,9 . 10−9
2
= 
𝑑
2
9,46 . 1016
 
 
𝑑 = 8,35 . 1010𝑚 = 8,4 . 107𝑘𝑚