Medidas de Posição em Estatística

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Universidade Católica de Moçambique 
Instituto de Educação à Distância 
 
 
 
Iº Trabalho / Tema: Medidas de Posição ou Tendência Central de dados não 
agrupados 
 
 
 
 
 
Nomes: Loisse Miguel António; Código do Estudante:70 820 2324 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Ensino de Educação Física e Desporto 
 Disciplina: Estatística 
 Ano de Frequência: 1º Ano 
 
 
 
 
 
Tete, Julho, 2020 
 
 
Universidade Católica de Moçambique 
Instituto de Educação à Distância 
 
 
 
Iº Trabalho/ Tema: Medidas de Posição ou Tendência Central de dados não 
agrupados 
 
 
 
 
Nomes: Djessica Rosário Jequessene Joane; Código: 70 820 3854 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Ensino de Educação Física e Desporto 
 Disciplina: Estatística 
 Ano de Frequência: 1º Ano 
 
 
 
 
 
 
Tete, Julho, 2020 
 
 
Índice 
CAPÍTULO-I ................................................................................................................................. 1 
1) Introdução ........................................................................................................................... 1 
2) Objectivos ............................................................................................................................ 2 
2.1. Geral: ............................................................................................................................ 2 
2.2. Específicos: ................................................................................................................... 2 
CAPÍTULO-II ................................................................................................................................ 3 
3) Medidas de Posição ou Tendência Central de dados não agrupados. ........................... 3 
3.5. Média Harmônica .............................................................................................................. 8 
3.6. Média Geométrica ............................................................................................................. 8 
3.7. Média Quadrática .............................................................................................................. 8 
Capítulo-III……………………………………………………………………………………...13 
4) Conclusão .......................................................................................................................... 13 
5) Referência bibliográfica ................................................................................................... 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 1 
 
 
CAPÍTULO-I 
1) Introdução 
A estatística foi entendida como uma ciência das coisas que pertencem ao estado. Nos nossos dias, 
a sua utilização passou a ser mais vastas e imprescindível em todos ramos da ciência e a nível de 
empresas, assim como a nível individual, procurando estudar situações mais adequadas aos 
problemas apresentados. No âmbito da realização do 1º Trabalho de pesquisa da cadeira da 
Estatística e por se integrar na vida académica do nível superior, o estudante adquiriu bastante 
conhecimento científico na tentativa de resolver alguns problemas da estatística que esta ligado ao 
tema em destaque. Neste trabalho nós deteremos as achadas médias aritméticas, média aritmética para 
dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média 
harmônica, quartis. 
Neste contexto, o presente trabalho obedece a seguinte sequência logica organizacional: 
 Introdução, 
 Objectivos, 
 Desenvolvimento, 
 Conclusão e, 
 Referência bibliográfica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 2 
 
 
 
2) Objectivos 
2.1.Geral: 
 Conhecer as matérias do Manual da Estatística e sua utilidade na vida académica e 
profissional do estudante. 
2.2.Específicos: 
 Utilizar a tecnologia na resolução de problemas da estatística; 
 Caracterizar e diferenciar a estatística descritiva da indutiva; 
 Conhecer a facilidade da moda, mediana, medidas de separação quando submetida a 
tecnologia para sua resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 3 
 
 
CAPÍTULO-II 
3) Medidas de Posição ou Tendência Central de dados não agrupados. 
 Fornece medidas que podem caracterizar o comportamento dos elementos de uma série; 
 Possibilitando determinar se um valor está entre o maior e menor valor da série, ou se esta 
localizado no centro do conjunto de dados. 
Vamos estudar em primeiro lugar as medidas de posição ou de localização. 
Essas medidas indica-nos valores típicos a volta dos quais os dados se distribuem. Essas 
subdividem-se em duas partes que são: 
Medidas de tendência central- Média, Mediana, Moda. 
Medidas de separação (ou mediadas de ordem) -os quartis e decis 
As mais importantes medidas de tendência central são a média aritmética, média aritmética para 
dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média 
harmônica, quartis. 
Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e 
variância. 
Medidas Fórmula 
Média aritmética 
 
Média aritmética para dados 
agrupados 
Média aritmética ponderada 
 
Mediana 
1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média 
dos dois valores centrais 
Moda Valor que ocorre com mais frequência. 
Média geométrica 
Média harmônica 
 
P á g i n a | 4 
 
 
Quartil 
 
. 
3.1. Média Aritmética (X). 
Dados não agrupados 
A média aritmética de um conjunto de dados é o valor X1,X2, X3,…Xn obtido somando-se todos os 
elementos do conjunto e dividindo-se a soma pelo número total de elementos N. 
Exemplo:1 
Uma equipa de futebol é constituída por 14 jogadores com as seguintes idades: 
{12, 14, 10,14,10,13,12,13, 10,13,11,14,11,11} 
Calcula a idade média desta equipa. 
A idade media destes jogadores será dada pela soma das idades todos os jogadores a dividir pelo 
número total dos mesmos. 
�̅� =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ 𝑥𝑛
𝑁
 
 Idade Média =
12+14+10+14+10+13+12+13+10+13+11+14+11+11
14
 
 =
168
14
= 12 
R: A idade média desta equipa é de 12. 
Utilizando símbolo de somatório teremos: 
�̅� = ∑ 𝑥1
𝑛
𝑖=1
𝑁
 
Exemplo: Temperatura média diária do mês de dezembro de 2016 da estação do IAG. 
Dias Temperatura (°C) Dias Temperatura (°C) 
1 18,9 17 21,5 
2 18,7 18 20,8 
3 18,4 19 22,4 
4 23,2 20 23,7 
5 22,3 21 18,3 
6 22 22 16,1 
7 22,4 23 17,2 
8 23 24 19,8 
9 20,9 25 22,6 
10 18,3 26 21,2 
P á g i n a | 5 
 
 
11 17,5 27 21,2 
12 18 28 20,1 
13 19,1 29 21,4 
14 18,9 30 22,2 
15 20 31 23,2 
16 25,1 
 
A média aritmética calculada para a Temperatura média diária do mês de Dezembro de 2016 
�̅� =
18,9 + 18,7 + ⋯ + 22,2 + 13,2
31
 
�̅� = 20,59°𝐶 
 
 
 
3.2. Média Ponderada (Mp) 
A média ponderada (Mp) é uma extensão da média simples e considera pesos para as informações 
do conjunto de dados. É feita por meio da soma do produto de uma informação pelo seu respectivo 
peso e, em seguida, a divisão desse resultado pela soma de todos os pesos usados. 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
Fr
eq
. A
b
so
lu
to
Temperatura
20,59 21,08(max=40,10°C
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-ponderada.htm
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Se é uma variável discreta que toma os valores X1,X2, X3,…Xn com as frequências absolutas f1, 
f2,f3,…fn respectivamente, a média aritmética será dada por: 
=
𝑓1𝑥1 + 𝑓2𝑥2 + 𝑓3𝑥3 + ⋯ + 𝑓𝑛𝑥𝑛
𝑁
 𝑜𝑢 = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑁
 
 
Neste caso,diz-se é a media ponderada respectivas frequências. 
 
Considere como exemplo os dados na tabela a seguir, que contém uma lista com as idades dos 
alunos do sexto ano da EPC Furancungo. Vamos calcular a média das idades. 
Idade dos alunos da EPC Furancungo 
Quantidade Idade em anos 
4 10 
15 11 
10 12 
1 13 
 
Existe a possibilidade de calcular a média simples ao somar 10 anos quatro vezes, 11 anos quinze 
vezes etc. Entretanto, por meio de uma média ponderada, podemos considerar a quantidade de 
alunos com 11 anos como o peso dessa idade nessa sala de aula; a quantidade de alunos que 
possuem 10 anos como peso dessa idade, e assim por diante até que todas as idades tenham sido 
somadas. Assim, o cálculo da média ponderada seria: 
 
Mp = 
4 · 10 + 15 · 11 + 10 · 12 + 1 · 13
4 + 15 + 10 + 1
 
 
𝑀𝑃 =
𝑀𝑝 = 40 + 165 + 120 + 13 
30
 
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 𝑀𝑝 = 
338
30
 
𝑀𝑝 = 11,26 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
3.3. Moda (Mo) 
Chama-se Moda o valor atributo ou variável qualitativa que ocorre com maior frequência. 
{12,23, 25, 12, 24, 25,25} 
A moda será o 25, pois é o dado que aparece mais vezes. 
Existem séries estatísticas com duas modas com dados que aparece uma vez (amodal), com dados 
que aparece duas vezes (bimodal) e com três modas ou mais (trímoda/multimodal), etc. 
 Determina a moda do seguinte conjunto de dados: 
 {5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 Este é um conjunto amodal, pois nenhum número aparece mais do que uma vez. 
 Determina a moda do seguinte conjunto de dados: 
 {25, 4; 22,4; 23, 6; 22, 4; 23, 6; 28} 
 Este conjunto de dados é bimodal. A moda é 22, 4, e 23,6. 
 Determina a moda do seguinte conjunto de dados: 
{16.1, 17.2; 17.5, 18;18.3,18.4; 18.7, 18.9; 19.1, 19.8; 20, 20.1; 20.8, 20.9,21.2; 21.5, 22; 22.3,22.4; 
22.6, 23; 23.2,23.7; 25.1) 
Este conjunto de dados é multimodal. A moda de dados é 18.3, 18.9; 21.2, 22.4 e 23.2. 
3.4. Mediana (Me ou Md) 
Se o conjunto de informações for numérico e estiver organizado em ordem crescente ou 
decrescente, a sua mediana será o número que ocupa a posição central da lista. Considere que a 
escola de música já citada possui nove professores e que suas idades são: 
{32 Anos, 33 anos, 24 anos, 31 anos, 44 anos, 65 anos, 32 anos, 21 anos e 32 anos} 
Para encontrar a mediana das idades dos professores, devemos organizar a lista de idades em 
ordem crescente: 
(21, 24, 31, 32, 32, 32, 33, 44 e 65} 
Observe que o número 32 é o quinto. À sua direita, existem outras 4 idades, assim como à esquerda. 
Logo, 32 é a mediana da lista das idades dos professores. 
{21, 24, 31, 32, 32, 32, 33, 44, 65} 
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Se a lista possuir um número par de informações, para encontrar a mediana (Me), devemos 
encontrar os dois valores centrais (a1 e a2) da lista, somá-los e dividir o resultado por 2. 
𝑀𝑒 =
𝑎1 + 𝑎2
2
 
Se as idades dos professores fossem 19 anos, 19 anos, 18 anos, 22 anos, 44 anos, 45 anos, 46 anos, 
46 anos, 47 anos e 48 anos, a lista crescente com as duas medidas centrais seria: 
18, 19, 19, 22, 44, 45, 46, 46, 47, 48 
Observe que a quantidade de informações à direta e à esquerda desses dois números é exatamente 
a mesma. A mediana desse conjunto de dados é, portanto: 
 
𝑀𝑒 =
𝑎1 + 𝑎2
2
 ↔ 𝑀𝑒 =
44 + 45
2
 ↔ 𝑀𝑒 =
89
2
↔ 𝑀𝑒 = 44,5 𝑎𝑛𝑜𝑠 
3.5. Média Harmônica 
Costuma ser usada como medida de tendência central para conjuntos de dados que consistem em 
taxas de variação, como por exemplo velocidades. 
�̅� =
𝑛
∑
1
𝑥1
 
A média harmônica calculada para a Temperatura média diária do mês de Dezembro de 2016. 
 
�̅� = 
31
1
18,9 +
1
18,7 + ⋯ +
1
22,2 +
1
23,2
 
�̅� = 20,36°𝐶 
3.6. Média Geométrica 
É usada na administração e na economia para achar taxas médias de variação, de crescimento, ou 
razões médias. 
Dados n valores (todos positivos), a média geométrica é a raiz nma do seu produto (Triola, 1998) 
�̅� = √𝑋1 ∗ 𝑋2 ∗ 𝑋3 … ∗ 𝑋𝑛−2 ∗ 𝑋𝑛−1 ∗ 𝑋𝑛
𝑛
 
�̅� = 20,48° ∁. 
 
3.7. Média Quadrática 
 É utilizada em geral em experimentos físicos; 
P á g i n a | 9 
 
 
 Em sistemas de distribuição de energia, por exemplo, as tensões e correntes são em geral 
dadas em termos de sua média quadrática; 
 Obtém-se a média quadrática de um conjunto de valores elevando-se cada um ao quadrado, 
somando-se os resultados, dividindo-se o total pelo número n de valores e tomando-se a 
raiz quadrada do resultado (Triola, 1998). 
�̅� = √
∑ 𝑋1
2
𝑛
 
A média quadrática calculada para a Temperatura média diária do mês de Dezembro de 2016 
�̅� = √
(18,9)2 + (18,7)2 + ⋯ + (22,2)2 + (23,2)2
31
 
�̅� = 20,71° ∁ 
 
3.8. Ponto Médio 
 O ponto médio é o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor da série de 
dados: 
𝑃𝑀 =
𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 + 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑟
2
 
 O ponto médio para a Temperatura média diária do mês de Dezembro de 2016 
 
𝑃𝑀 =
16,1 + 25,1
2
 
𝑃𝑀 = 20,6° ∁ 
3.9. Quartil 
• Os três quartis Q1, Q2 e Q3 dividem o conjunto dos dados em quatro subconjuntos 
de tal forma que: 
• 25% Dos elementos situam-se abaixo do Q1; 
• 25% Entre Q1 e Q2; 
• 25% Entre Q2 e Q3 e; 
• 25% Acima de Q3, sendo que Q2 corresponde a mediana. 
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Decis Os decis dividem o conjunto de dados em 10 partes iguais. Os nove decis D1, D2, D3…, D9 
são tais que 10% dos elementos situam-se abaixo de D1, 10% entre D1 e D2 e assim por diante. A 
mediana é o quinto decil 
 
3.10. Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 
Média/ Variabilidade. 
∎X: 70, 70, 70, 70, 70 X̅ =
∑ xi
n
=
350
5
= 70 
∎y: 68, 69,70,71,72 y̅ =
∑ yi
n
=
350
5
= 70 
∎𝑍: 5, 15,50,120,160 �̅� =
∑ 𝑍𝑖
𝑛
=
350
5
= 70 
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
Temperatura (°C)
Fr
e
q
. A
co
m
u
la
ti
va
 (
%
)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
25%
25%
Q3
Q2
Q1
 25% 
 25% 
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
Temperatura (°C)
Fr
e
q
. A
co
m
u
la
ti
va
 (
%
)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
D9
D8
D7
D6
D5
D4
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Analisando a Dispersão ou Variabilidade 
 Amplitude Total 
 Desvio Padrão 
 Variância 
 Assimetria 
Amplitude Total 
 A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor 
deste. 
𝑨𝑻 = 𝑿𝒎á𝒙 − 𝑿𝒎í𝒏 
 Quanto maior a amplitude total de um conjunto de dados, maior é a dispersão ou 
variabilidade dos valores. 
 Para a série de Temperatura do Ar 
AT = 15,1 − 16,1 = 9°∁ 
Desvio-Padrão 
 Uma medida da magnitude do espalhamento ou dispersão dos dados em relação à média da 
série. 
Desvio-padrão amostral (s) é S = √
∑ (𝑋1−�̅�)
2𝑛
𝑖−1
𝑛−1
 
Onde xi é cada elemento do conjunto de dados, é a média do conjunto e n é o número total de 
elementos deste. 
 
O desvio-padrão populacional (s) 
𝛿 = √
∑ (𝑋1−
𝑛
𝑖−1 𝜇)
2
𝑁
 
 
Onde Xi é cada elemento da população, µ e N são respectivamente a média e o número total de elementos 
da população. 
Desvio Padrão 
Uma regra que auxilia na interpretação do valor de um desvio-padrão é a regra empírica, 
aplicável somente a conjuntos de dados aproximadamente em forma de sino. 
a) Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio-padrão a contar da média; 
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b) Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios-padrão a contar da média; 
c) Cerca de 99,7% dos valores estão a menos de 3 desvios-padrão a contar da média. 
Variância 
A variância é uma medida estatística da dispersão dos dados em torno da média de um conjunto 
de dados, é o quadrado do desvio-padrão. 
Amostral Populacional 
S2 =
∑(X1−X̅)
2
n−1
 δ3 = 
∑( x1−μ)
2
N
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO-III 
 
4) Conclusão 
 
O presente trabalho constituio ponto partida dos estudos na vida académica de muitos estudantes 
do Instituto de Ensino à Distância (UCM) nível Superior, nestes termos, foi com todo prazer e 
sacrifício fazer este trabalho que foi feito num ambiente calmo e de tranquilidade, apesar de tanto 
grito que estamos a ouvir a nível mundial por causa da Pandemia do Covid19, na Africa muitos 
países fecharam os gabinetes, aqui no nosso País a educação interrompeu as aulas, mas os 
estudantes académicos do nível superior não pararam com os trabalhos, continuou fortemente 
buscar mais conhecimentos através da pesquisa. 
Por último tenho que agradecer a UCM por trazer de volta os trabalhos do campo, e em particular 
aos meus docentes que aceitaram esta hipótese, que estão de para bens porque se não fosse vocês 
nós saiamos como entramos. Mas com a vossa tutoria e acompanhamento e para quem se empenhar 
tenho certeza que irá sair bem maduro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) Referência bibliográfica 
 Sand. L. D. S; manual de Estática 1º ano, UCM, Instituto de Ensino à Distância. 
 Pinto, Helena Soares; Neves, isabel costa; Estatística descritiva, ASA. Lisboa, 1994. 
 Yolanda; Francelino, Matemática 12º, editorial o Livro, Lisboa, 2003. 
 Amelo; João Alfredo, matemática vol. 2 Editora, Pedagógica e Universitária, Lda, São 
Paulo. 
 Websit: http:// www.google.matematica/pedagogia/hmtl/br. 2020. Mar.25. 
http://www.google.matematica/pedagogia/hmtl/br