solution halliday volume 3 cap 23 pdf

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1. O diagrama a seguir mostra o vetor área 

A e o vetor campo elétrico 

E. Como o ângulo u entre 
os dois vetores é 180° 2 35° = 145°, o fluxo do campo elétrico através da superfície é
 = ⋅ = = × −
 
E A EAcos ( )( , ) cos 1800 3 2 10 1453N C m 2 °° = − × ⋅
= − ⋅
−1 5 10
0 015
2,
,
N m C
N m C
2
2
2. (a) Na face superior do cubo, y = 2,0 m e dA dA

= ( ) ĵ. Assim,

E = − + = −4 3 2 0 2 4 182ˆ [( , ) ]ˆ ˆ ˆi j i j
e o fluxo é
 = ⋅ = −( ) ⋅( ) = −∫ ∫
 
E dA dA dA
sup sup sup
i j j4 18 18ˆ ˆ ˆ ∫∫ = −( )( ) ⋅ = − ⋅18 2 0 722, .N m C N m C2 2
(b) Na face inferior do cubo, y = 0 e dA dA

= −( )( ˆ)j . Assim,
E = − +( ) = −4 3 0 2 4 62ˆ ˆ ˆ ˆi j i j
e o fluxo é
 = ⋅ = − ⋅ − = =∫∫
 
E dA dA dA( ˆ ˆ) ( )( ˆ) (4 6 6 6i j j
infinf
22 0 242, ) .N m C N m C2
inf
2⋅ = + ⋅∫
(c) Na face esquerda do cubo, dA dA

= −( )( ˆ)i e
 = ⋅ = + ⋅ − = − =∫∫
 
E dA E dA dAy( ˆ ˆ) ( )( ˆ)4 4i j i
esqesq
−− ⋅ = − ⋅∫ 4 2 0 162( , ) .N m C N m C2inf 2
(d) Na face traseira do cubo, dA dA

= −( )( ˆ )k . Como o campo 

E não possui componente z,  
E dA⋅ = 0; portanto, Φ = 0.
(e) Agora temos que somar o fluxo através das seis faces do cubo. É fácil constatar que o fluxo 
através da face dianteira é zero e que o fluxo através da face direita é igual ao fluxo através da 
face esquerda com o sinal trocado, ou seja, +16 N · m2/C. Assim, o fluxo total através do cubo é 
Φ = (–72 + 24 – 16 + 0 + 0 + 16) N · m2/C = 2 48 N · m2/C.
3. Como o campo elétrico é constante, podemos usar a equação  = ⋅
 
E A, na qual

A A= = ( )ˆ , ˆj m j.21 40
(a)  = ( ) ⋅( ) =6 00 1 40 0, ˆ , ˆN C i m j .2
Capítulo 23
52 soluções dos problemas
(b)  = −( ) ⋅( ) = − ⋅2 00 1 40 3 92, ˆ , ˆ ,N C j m j N m C.2 2
(c)  = −( ) + ( )  ⋅( ) =3 00 400 1 40 0, ˆ ˆ , ˆN C i N C k m j
2 .
(d) O fluxo total de um campo uniforme através de uma superfície fechada é sempre zero.
4. Como o fluxo através da superfície plana limitada pelo aro é dado por  = a E2 , o fluxo 
através da rede é
′ = − = − = − × = − ×−   a E2 ( , ,0 11 1 13m) (3,0 10 N/C)2 110 N m /C.2− ⋅4
5. Para aproveitar a simetria da situação, imagine uma superfície gaussiana na forma de um 
cubo, de aresta d, com um próton de carga q = +1,6 × 10−19 C no centro do cubo. O cubo tem 
seis faces e, por simetria, o fluxo do campo elétrico através de todas as faces tem o mesmo va-
lor. Como o fluxo total é Φtot = q/â0, o fluxo através de uma das faces deve ser um sexto deste 
valor. Assim, 
 = = ×
× ⋅
=
−
−
q
6
1 6 10
6 8 85 10
3 01
0
19
12
,
( , )
,
C
C N m2 2
×× ⋅ = ⋅−10 3 019 N m C nN m C2 2, .
6. Como o fluxo através das faces laterais do cubo é nulo, temos apenas dois fluxos “para den-
tro” do cubo, um através da face superior, de valor absoluto 34(3,0)2, e outro através da face 
inferior, de valor absoluto (20)(3,0)2. Como um fluxo “para dentro” é considerado negativo, o 
resultado é Φ = – 486 N ⋅ m2/C. Assim, de acordo com a lei de Gauss,
qenv 2 2 2C /N m N m C= = × ⋅ − ⋅ = −−0 128 85 10 486 4 ( , )( ) ,, , .3 10 4 39× = −− C nC
7. De acordo com a lei de Gauss, â0Φ = q, na qual Φ é o fluxo total através da superfície do cubo 
e q é a carga total no interior do cubo. Assim,
 = = ×
× ⋅
= ×
−
−
q
0
6
12
51 8 10
8 85 10
2 0 10
,
,
,
C
C N m
N
2 2
⋅⋅ m C2 .
8. (a) A área total da superfície que envolve o banheiro é
A = ×( ) + ×( ) + ×( ) =2 2 5 3 0 2 3 0 2 0 2 2 0 2 5 37, , , , , , .m2
O valor absoluto do fluxo do campo elétrico é 
| | | | | | ( )( ) = ⋅ = = = ×∑
  
E A E A 600 37 22 103N/C m N2 ⋅⋅ m C.2 /
De acordo com a lei de Gauss, o valor absoluto da carga envolvida é
| | | | ,qenv C.= = × −0 72 0 10
Assim, como o volume do banheiro é V = (2,5 m) × (3,0 m) × (3,0 m) = 15 m3 e a carga, segundo 
o enunciado, é negativa, temos: 
 = = − × = − ×
−
−q
V
env
3
3C
m
C/m .
2 0 10
15
1 3 10
7
8, ,
(b) O número de cargas em excesso por metro cúbico é
q
eV
env = ×
×
= ×
−
−
2 0 10
1 6 10 15
8 2 10
7
19 3
10,
( , )( )
,
C
C m
ccargas/m3.
soluções dos problemas 53
9. (a) Chamando de A a área das faces do cubo, temos:
 = ⋅ − + ⋅
=
( , ˆ) ( ˆ) ( , ˆ) ( ˆ)
,
3 00 3 00
1 40
y A y
y y
j j j A j
=0
== ( )( )( ) = ⋅3 00 1 40 1 40 8 232, , , , N m C.2
(b) A carga é
qenv 2 2 2C N m 8,23 N m C 7,= = × ⋅( ) ⋅( ) =−0 128 85 10 , / 229 10 C pC11× =− 72 9, .
(c) Se 

E y= − + +[ , ˆ ( , , )] ,4 00 6 00 3 00i N/C o campo elétrico pode ser escrito na forma 
 
E y E= +3 00 0, ĵ 
E y E= +3 00 0, ĵ , na qual 

E0 4 00 6 00= − +, ˆ , ˆi j é um campo constante que não contribui para o fluxo total 
através do cubo. Assim, Φ tem o mesmo valor do item (a), 8,23 N ⋅ m2/C.
(d) A carga tem o mesmo valor do item (b), 72,9 pC.
10. Como nenhum dos termos constantes contribui para o fluxo (veja as Eqs. 23-4 e 23-7), pre-
cisamos nos preocupar apenas com o termo que depende de x. Em unidades do SI, temos:
E x x( ) ˆ= 3 i.
A contribuição para o fluxo da face do cubo situada em x = 0 é 0, já que E(x) = 0. A contribuição 
da face situada em x = −2 m é 
−E(x)A = −(3)(−2)(4) = 24 N·m/C2,
na qual A é a área das faces do cubo. Como a contribuição das outras faces é zero, o fluxo total 
é Φ = 0 + 24 = 24 N · m/C2. De acordo com a lei de Gauss, a carga no interior do cubo é
qenv = âο Φ = 2,13 × 10−10 C = 0,213 nC.
11. Como nenhum dos termos constantes contribui para o fluxo (veja as Eqs. 23-4 e 23-7), pre-
cisamos nos preocupar apenas com o termo que depende de y. Em unidades do SI, temos:
E y y( ) , ˆ= −4 00 2i.
A contribuição para o fluxo da face situada em y = 4,00 é 
E(y)A = (−4)(42)(4) = –256 N · m/C2,
na qual A é a área da face do cubo.
A contribuição para o fluxo da face situada em y = 2,00 m é 
−E(y)A = − (−4)(22)(4) = 64 N · m/C2.
Como a contribuição das outras faces é zero, o fluxo total é Φ = (−256 + 64) N · m/C2 = −192 
N · m/C2. De acordo com a lei de Gauss, a carga no interior do cubo é 
qenv 2 2 2C /N m N m C= = × ⋅ − ⋅ = −−0 128 85 10 192 1 ( , )( ) ,, .70 10 9× =− C 1,70 nC
12. Note que apenas a casca menor contribui para o campo no ponto dado, já que o ponto 
está no interior da casca maior (E = 0 no interior de uma carga esférica), e o campo aponta no 
sentido negativo do eixo x. Assim, para R = 0,020 m (o raio da casca menor), L = 0,10 m e x = 
0,020 m, temos:

E E
q
r
R
L x
R= − = − = −
−
= −( ˆ) ˆ
( )
ˆj j j
4
4
40 2
2
2
0
2
 

22
2
0
2
2 60 020 4 0 10
8

 ( )
ˆ
( , ) ( , )
( ,
L x−
= − ×
−
j
m C/m2
885 10 0 10 0 20
2 8 10
12 2× ⋅ −
= − ×− C /N m m m
j
2 2)( , , )
ˆ , 44 N/C j .( ) ˆ
54 soluções dos problemas
13. Seja A a área da face do cubo, seja Es o módulo do campo elétrico na face superior e seja Ei 
o módulo do campo elétrico na face inferior. Como o campo aponta para baixo, o fluxo através 
da face superior é negativo e o fluxo através da face inferior é positivo. Como o fluxo através 
das outras faces é zero, o fluxo total através da superfície do cubo é Φ = A(Ei − Es). De acordo 
com a lei de Gauss, a carga total no interior do cubo é
q A E Ei s= = − = × ⋅− 0 0 128 85 10 100 ( ) ( , )(C /N m m2 2 )) N/C 60,0 N/C)
C 3,54 C.
2(
,
100
3 54 10 6
−
= × =− 
14. (a) A carga central pode ser calculada aplicando a lei de Gauss (Eq. 23-6) ao fluxo mostrado 
na Fig. 23-33b para pequenos valores de r, Φ = 2,0 × 105 N . m2/C: 
qcentral 2 2C /N m N m= = × ⋅ × ⋅−0 12 58 85 10 2 0 10 ( , )( , 22 /C) C C
1,8 C.
= + × ≈ + ×
= +
− −1 77 10 1 8 106 6, ,

(b) Para valores maiores de r, Φ = −4,0 × 105 N . m2/C. Isso significa que
qenv 2 2 2C /N m N m /C= = × ⋅ − × ⋅−0 12 58 85 10 4 0 10 ( , )( , )) C 3,5 C.= − × ≈ −−3 54 10 6, 
Entretanto, parte dessa carga é a carga central, calculada no item (a), de modo que a carga da 
casca A é
qA = qenv – qcentral = −3,5 mC − (+1,8 mC) = 5,3 mC.
(c) Finalmente, para valores muito grandes de r, Φ = 6,0 × 105 N . m2/C, o que significa que
qenv 2 2 2C /N m N m /C)= = × ⋅ × ⋅−0 12 58 85 10 6 0 10 ( , )( , == × ≈−5 31 10 56, C ,3 C.
De acordo comos resultados anteriores, isso significa que a carga da casca B é
qB = qenv − qA − qcentral = +5,3 mC − (−5,3 mC) − (+1,8 mC) = 8,8 mC. 
15. (a) Se dispusermos cubos iguais lado a lado e um em cima do outro, veremos que oito cubos 
se encontram em um vértice. Assim, um oitavo das linhas de campo que partem de uma carga 
pontual situada em um vértice passam por um dos cubos e o fluxo total através da superfície 
desse cubo é q/8â0. Como as linhas de campo são radiais, nas três faces que se encontram no 
vértice que contém a carga, as linhas de campo são paralelas à face e o fluxo através da face é 
zero. 
(b) Como os fluxos através das outras três faces são iguais, o fluxo através de uma dessas três 
faces é um terço do total. Assim, o fluxo através de uma dessas faces é (1/3)(q/8â0) = q/24â0 e 
o múltiplo é 1/24 = 0,0417.
16. O fluxo total do campo elétrico através do cubo é  = ⋅∫
 
 E dA. O fluxo total através das 
faces paralelas ao plano yz é 
 
yz x x
y
y
E x x E x x dydz dy dz= = − =[ ] =∫∫ ∫ =
=
( ) ( )2 1
0
1
1
2
zz
z
y
y
z
dy dz
1
2
1
2
1
3
0
1
10 2 4 10 2 1
6
=
=
=
=
∫
∫
+ − −[ ]
=
( ) ( )
11
2
1
3
6 1 2 12
=
=
∫ = =
z
( )( ) .
O fluxo total através das faces paralelas ao plano xz é
xz y y
x
x
E y y E y y dxdz dy= = − =  =∫∫ ∫ =
=
( ) ( )2 1
1
4
1
2
ddz
z
z
1
2
1
3
3 3 0
=
=
∫ − − − =[ ( )]
e o fluxo total através das faces paralelas ao plano xy é
 
xy z z
x
x
E z z E z z dxdy dx dy= = − =[ ] =∫∫ ∫ =
=
( ) ( )2 1
1
4
1
2
yy
y
b b b b
1
2
0
1
3 2 3 1 6
=
=
∫ −( ) = =( )( ) .
soluções dos problemas 55
De acordo com a lei de Gauss, temos:
 
q bxy xz yzenv = = + + = + + =  0 0 0 6 00 0 12 0 2   ( ) ( , , ) 44 0 0, ,
o que nos dá b = 2,00 N/C.m.
17. (a) A carga da superfície da esfera é o produto da densidade superficial de carga s pela área da 
superfície da esfera, 4pr2, na qual r é o raio da esfera. Assim, q r= = 

 × = ×
−4 4 8 1 10 3 72
2
6  
1, 2 m
2
C/m2( , ) , 110 5− =C 37 C.
q r= = 

 × = ×
−4 4 8 1 10 3 72
2
6  
1, 2 m
2
C/m2( , ) , 110 5− =C 37 C.
(b) Usamos uma superfície gaussiana de forma esférica, concêntrica com a esfera condutora e 
com um raio ligeiramente maior. O fluxo é dado pela lei de Gauss:
Φ = q
0
5
12
63 66 10
8 85 10
4 1 10= ×
× ⋅
= ×
−
−
,
,
,
C
C /N m2 2
NN m C .2⋅ /
18. De acordo com a Eq. 23-11, a densidade superficial de carga é
 = = × × ⋅ = ×−E 0 52 3 10 2 0 1( , )( ) ,N C 8,85 10 C /N m12 2 2 00 2 06− =C/m C/m2 2, .
19. (a) A área da superfície de uma esfera é 4pR2= pD2. Assim,

 
= = × = ×
−
−q
D2
6
2
72 4 10
1 3
4 5 10
,
( , )
, .
C
m
C/m2
(b) De acordo com a Eq. 23-11, temos:
E = = ×
× ⋅
= ×
−
−

0
7
12
4 5 10
8 85 10
5 1 1
,
, /
,
C/m
C N m
2
2 2
004 N/C.
20. De acordo com a lei de Gauss (Eq. 23-6), âοΦ = qenv. 
(a) Como Φ = −9,0 × 105 N m2⋅ /C para pequenos valores de r,
qcentral 2 2C /N m N= = × ⋅ − × ⋅−0 12 58 85 10 9 0 10 ( , )( , mm /C) C C.2 = − × ≈ −−7 97 10 8 06, , 
(b) Para valores maiores de r, Φ = 4,0 × 105 N . m2/C. Isso significa que
qenv 2 2 2C /N m N m /C= = × ⋅ − × ⋅−0 12 58 85 10 4 0 10 ( , )( , )) C 3,5 C.= × ≈−3 54 10 6, 
Entretanto, parte dessa carga é a carga central, calculada no item (a), de modo que a carga da 
casca A é
qA = qenv – qcentral = −8,0 mC − 3,5 mC) = −11,5 mC ≈ 12 mC.
(c) Finalmente, para valores muito grandes de r, Φ = −2,0 × 105 N . m2/C, o que significa que
qenv 2 2 2C /N m N m /C= = × ⋅ − × ⋅−0 12 58 85 10 2 0 10 ( , )( , )) C ,8 C.= − × ≈ −−1 77 10 16, 
De acordo com os resultados anteriores, isso significa que a carga da casca B é
qB = qenv − qA − qcentral = −1,8 mC − 12 mC − (−8 mC) = −5,8 mC. 
21. (a) Considere uma superfície gaussiana que esteja totalmente no interior do condutor e 
envolva a cavidade. Como o campo elétrico é zero em toda a superfície, a carga envolvida pela 
superfície é zero. Como a carga total é a soma da carga q no interior da cavidade e a carga q1 
na superfície da cavidade, temos:
q + q1 = 0 ⇒ q1 = 2q = −3,0 × 10–6 C.
56 soluções dos problemas
(b) Como a carga total Q do condutor é a soma da carga q1 na superfície da cavidade com a 
carga q2 na superfície externa do condutor, temos:
q Q q2 1 6 6 510 10 3 0 10 1 3 10= − = × − − × = + ×− − −( ) ( , ) ,C C CC.
22. O problema pode ser resolvido combinando a segunda lei de Newton (F = ma) com a defi-
nição de campo elétrico (E = F/q) e com a Eq. 23-12 (E = l/2pâ0r), o que nos dá
ma eE
e
r
a
e
rm
= = ⇒ = = ×


2 2
2 1 10
0 0
17, .m/s2
23. (a) Como a área da superfície lateral do tambor é A = pDh, na qual D é o diâmetro do tam-
bor e h é a altura do tambor, temos: 
q A Dh EDh= = = = × ⋅ ×−   0 128 85 10 2 3 1( , )( ,C /N m2 2 00 0 12 0 42
3 2 10
5
7
N/C m m
C 0,32 C.
) , ,
,
( )( )
= × =− 
(b) A nova carga é
′ = ′

 =
′ ′


 = ×
−q q
A
A
q
D h
Dh


( , )
,
3 2 10
87 C
00 28
12 42
1 4 10 7
cm cm
cm cm
C 0,
( )( )
( )( )





 = × =−, 114 C.
24. Usando uma superfície gaussiana cilíndrica A de raio r e comprimento unitário, concêntrica 
com o tubo de metal, temos, por simetria,
 
 E dA rE
q
A
⋅ = =∫ 2
0


env .
(a) Para r < R, qenv = 0 e, portanto, E = 0. 
(b) Para r > R, qenv = l e, portanto, para r = 2R = 0,0600 m, temos:
E
r
= = ×( ) ×
−
−

  2
2 0 10
2 0 0600 8 85 100
8
12
,
, ( ,
C/m
m C22 2/N m
N/C.
⋅
= ×
)
,5 99 103
(c) A figura a seguir mostra o gráfico de E em função de r. 
25. Como, de acordo com a Eq. 23-12, o módulo do campo elétrico produzido por uma linha 
infinita de carga é E = l/2pâ0r, na qual l é a densidade linear de carga e r é a distância entre o 
ponto onde o campo é medido e a linha de carga, temos:
  = = × ⋅ ×−2 2 8 85 10 4 5 100 12 4Er ( , )( , )(C /N m N/C2 2 22 0 5 0 10 6, ) ,m C/m
5,0 C/m.
= ×
=
−

soluções dos problemas 57
26. Quando nos aproximamos da distância r = 3,5 cm a partir do lado de dentro da casca, te-
mos:
E
r
interno N/C.= =
2
4
1000
0


Quando nos aproximamos da distância r = 3,5 cm a partir do lado de fora da casca, temos:
E
r r
externo N/C.= +
′ = −2
4
2
4
3000
0 0




Assim, temos:
E E
r
externo interno N/C− =
′ = − ⇒ ′ = −
2
4
1000 5 8
0


 , ×× = −−10 5 89 C/m nC/m,
27. Vamos chamar de R o raio da casca cilíndrica. De acordo com a Eq. 23-12, o campo elétrico 
para r > R é dado por
E E E
r r
= + = + ′fio casca
02



2 0
,
na qual l é a densidade linear de carga do fio e l9 é a densidade linear de carga da casca. O 
fato de que a carga da casca pode ser expressa através da densidade linear de carga l9 ou da 
densidade superficial de carga s permite obter uma relação entre l9 e s : 
q L RL Rcasca (2 (2= ′ = ⇒ ′ =     ) ).
Para que o campo E do lado de fora da casca seja nulo, devemos ter l9 = −l, o que nos dá 


 
= − = × = ×
−
−
2
3,6 10 C/m
m)
3,8 10
R
6
8
2 0 015( )( ,
CC/m2.
28. (a) Considerando uma superfície gaussiana cilíndrica, coaxial com a barra, de raio r > rext, 
na qual rext é o raio externo da casca, a única carga envolvida é a carga da barra. Assim, de 
acordo com a Eq. 23-12, o módulo do campo a uma distância r = 15 cm do eixo da casca é 
dado por

E
r
= = × = ×
−2
 4
2(2,0 10 C/m
(0,15 m)
2,4 1
0
9
04
)
00 N/C 0,24 kN/C.2 =
(b) Como, na ausência de uma corrente elétrica, o campo é zero no interior dos condutores, há 
uma carga 2q na superfície interna da casca e uma carga +q na superfície externa da casca, 
na qual q é a carga da barra. Assim, a densidade superficial de carga na superfície interna da 
casca é



 
int
2,0 10 C/m= − = − = − ×
−q
r L r2 2 2 0 05
9
int int ( , 00
6 4 6 49
m
10 C/m nC/m2 2
)
, , .= − × = −−
(c) A densidade superficial de carga na superfície externa da casca é



 
ext
ext ext2
C/m
m)
= = = ×
−q
r L r2
2 0 10
2 0 100
9,
( ,
== + × = +−3 2 3 29, , .10 C/m nC/m2 2
29. (a) Vamos usar como superfície gaussianaum cilindro de comprimento L coaxial com a 
barra e a casca e de raio r maior que o raio da casca. O fluxo através desta superfície é Φ = 
2prLE, na qual E é o módulo do campo elétrico na superfície gaussiana. Podemos ignorar o 
fluxo nas bases da superfície cilíndrica. A carga envolvida pela superfície gaussiana é qenv = 
Q1 + Q2 = –Q1= –3,40×10−12 C. Assim, a lei de Gauss nos dá
E
rL
q
Lr
= = = − ×
×
−
−

2 2
3 40 10
0
12
  
env C
2 (8,85 10
,
112 3
0 21
C /N m (11,0 m)(20,0 1,30 10 m)2 2⋅ × ×
= −
−)
, 44 N/C.
58 soluções dos problemas
Assim, |E| = 0,214 N/C.
(b) O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta para dentro. 
(c) Para r = 5,00 R1, a carga envolvida pela superfície gaussiana é qenv = Q1 = 3,40×10−12 C. 
Assim, de acordo com a lei de Gauss, 
E
q
Lr
= = ×
×
−
−
env
2
C
2 (8,85 10 C /N2
3 40 10
0
12
12 
,
⋅⋅ × ×
=−m (11,0 m)(5,00 1,30 10 m)
N/C
2)
, .
3
0 855
(d) O sinal positivo indica que o campo elétrico aponta para fora. 
(e) Considere uma superfície gaussiana cilíndrica de raio maior que o raio interno da casca 
e menor que o raio interno. Como, na ausência de uma corrente elétrica, o campo é zero no 
interior dos condutores, o fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana é zero e, 
portanto, de acordo com a lei de Gauss, a carga total envolvida pela superfície gaussiana é zero. 
Como a barra central possui uma carga Q1, a superfície interna da casca deve possuir uma carga 
Qint = –Q1= –3,40 × 10−12 C. 
(f) Como sabemos que a casca possui uma carga total Q2 = –2,00Q1, a superfície externa deve 
possuir uma carga Qext = Q2 – Qint = –Q1= –3,40 × 10−12 C.
30. Vamos chamar de xP a coordenada x do ponto P no qual o campo elétrico total é zero. De 
acordo com a Eq. 23-12, temos:
 
E E E
x L x LP P
tot / /
= + =
+
+
−
=1 2 1
0
2
0
2
4 2
2
4 2



( ) ( )
00.
Explicitando x, obtemos 
 
x
L
P =
−
+




= − − 
 
 1 2
1 2 2
6 0 2 0
6 0
, ( , )
,
C/m C/m
 C/m C/m
cm
cm.
+ −




=
( , )
,
,
2 0
8 0
2
8 0
31. Vamos usar os índices int e ext para indicar a casca interna e a casca interna, respectiva-
mente.
(a) Como, nesse caso, rint < r < rext,
E r
r
( ) int= = ×
×
−
−

 2 20
6
12
5,0 10 C/m
(8,85 10 C2 //N m (4,0 10 m)
10 N/C.
2
6
⋅ ×
= ×−)
,
2
2 3
(b) O sinal positivo indica que o campo elétrico aponta para fora.
(c) Como, nesse caso, r > rext,
E r
r
ext( ) int= + = × − ×
− − 
2 0
6 65,0 10 C/m 7,0 10 C//m
(8,85 10 C /N m (8,0 10 m)2 22
4 5
12 2 × ⋅ ×
= − ×− −)
, 110 N/C,5
o que nos dá |E| = 4,5 × 105 N/C.
(d) O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta para dentro.
32. Vamos usar uma superfície gaussiana de área 2prL, na qual L é suficientemente grande 
para que o fluxo através das bases do cilindro possa ser desprezado. Como o volume envolvido 
pela superfície gaussiana é V = pr2L, o elemento de volume é dV = 2prLdr e a carga envolvida 
é dada por
q Ar r L dr ALr
r
env
0
2
2
= =∫ 2 4  .
soluções dos problemas 59
De acordo com a lei de Gauss,
 = = ⇒ =| | | | .

E
rL
q
E
Ar
2 40
3
0  
env
(a) Para r = 0,030 m, obtemos | | ,

E = 1 9 N/C.
(b) Como, nesse caso, r > R, em que R é o raio do cilindro, devemos usar a Eq. 23-12. A den-
sidade linear de carga l é dada por
 = = = ×∫ −qL L Ar r L dr
1
2 1,0 10 C/m.2
0
0 04
11
,
Assim, de acordo com a Eq. 23-12, temos:
| |
,
( ,
E
r
= = ×
×
−
−

 2
1 0 10
2 8 85 100
11
12
C/m
F/m)(0,0050 m)
N/C.= 3 6,
33. Podemos usar a Eq. 23-13.
(a) À esquerda das placas, temos:

E = − + =


2 2
0
0 0
( ˆ) (ˆ) .i i
(b) À direita das placas, temos: 

E = + − =


2 2
0
0 0
(ˆ) ( ˆ) .i i
(c) Entre as placas, temos:

E =




− +




−( ) = 







2 20 0 0
( i) iˆ ˆ  − = −
×
× ⋅


−
−( i)
C/m
C /N m2 2
ˆ ,
,
7 00 10
8 85 10
22 2
12


= − ×( )−
ˆ
, ˆ
i
N/C i.7 91 10 11
34. A distribuição de carga descrita no enunciado equivale à de uma placa infinita de densida-
de superficial de carga s com uma pequena região circular de densidade superficial de carga 
2s. Vamos usar os índices 1 e 2 para representar os campos elétricos produzidos pela placa e 
pela região circular, respectivamente. Usando a Eq. 23-13 para calcular 

E1 e a Eq. 22-26 para 
calcular 

E2, obtemos:
  
E E E
z
z R
= + =




+ −( ) −
+



1 2
0 0
2 22 2
1




k̂

=
+
= × ×
−
ˆ ˆ
( , )( ,
k k
C/m2


z
z R2
4 50 10 2 56 10
0
2 2
12 −−
− −× ⋅ × +
2
12 2 22 8 85 10 2 56 10 1
m
C /N m m2 2
)
( , ) ( , ) ( ,, )
ˆ
( , ˆ
80 10
0 208
2 2×
=
− m
k
N/C) k.
35. Na região entre as placas 1 e 2, o campo total é E1 – E2 − E3 = 2,0 × 105 N/C; na região entre 
as placas 2 e 3, o campo total é E1 + E2 − E3 = 6,0 × 105 N/C; na região à direita da placa 3, o 
campo total é E1 + E2 + E3 = 0. Combinando as três equações, obtemos:
E1 = 1,0 × 105 N/C, E2 = 2,0 × 105 N/C, E3 = −3,0 × 105 N/C.
De acordo com a Eq. 23-13, temos:


3
2
5
5
3 0 10
2 0 10
1 5= − ×
×
= −,
,
, .
N/C
N/C
60 soluções dos problemas
36. De acordo com a Eq. 23-13, o campo elétrico produzido por uma placa de grande extensão 
com uma densidade superficial de carga s tem módulo E = s/2â0, é perpendicular ao plano da 
placa e aponta na direção oposta à da placa se a carga for positiva e na direção da placa se a 
carga for negativa. Usando o princípio da superposição, temos:
(a) E = s/â0 = (1,77 × 10−22 C/m2)/(8,85 × 10−12 C /N m2 2⋅ ) = 2,00×10−11 N/C, apontando para 
cima, ou seja, 

E = × −( , ˆ2 00 10 11 N/C)j.
(b) E = 0.
(c) E = s/â0 apontando para baixo, ou seja,

E = − × −( , ˆ2 00 10 11 N/C)j.
37. (a) Para calcular o campo elétrico nas proximidades do centro de uma placa finita com uma 
densidade superficial de carga uniforme, podemos substituir a placa finita por uma placa infi-
nita com a mesma densidade superficial de carga e estimar o módulo do campo como E = s/â0, 
na qual s é a densidade superficial de carga na superfície mais próxima no ponto considerado. 
Para os dados do problema,
 = = × = ×
−
−q
A2 2 0 080
6
46,0 10 C
m)
4,69 10 C/m
2
2
( ,
e o módulo do campo é
E = = ×
× ⋅
= ×
−
−

0
4
128 85
4,69 10 C/m
10 C /N m
5,3
2
2 2,
110 N/C.7
O campo é perpendicular à placa e aponta para longe da placa, já que a carga é positiva.
(b) Em um ponto afastado da placa, o campo elétrico é aproximadamente igual ao de uma carga 
pontual com uma carga igual à carga total da placa. Assim,
E
q
r
= = × ⋅ ×
−
4
8 99 10 6 0 10
300 2
9 2 2 6

( , )( , )
( )
N m /C C
m 22
60= N/C.
38. De acordo com a Eq. 23-13, o campo produzido pela placa é E = s/2â0. Como o módulo da 
força que o campo exerce sobre o elétron é F = eE, a aceleração do elétron é dada por
a
F
m
e
m
= = 
2 0
.
Por outro lado, a aceleração é igual à inclinação do gráfico da Fig. 23-44b (2,0 × 105 m/s/7,0 × 
10−12 s = 2,86 × 1016 m/s2) . Assim, temos:

= = × × ×
− −2 2 8 85 10 9 11 10 2 86 100 12 31 1ma
e
( , )( , )( , 66
19
6
1 60 10
2 9 10
)
,
, .
×
= ×−
− C/m2
39. A figura a seguir mostra o diagrama de corpo livre da bola, na qual 

T é a tensão do fio, qE

 
é a força exercida pelo campo elétrico e mg

 é a força da gravidade. 
soluções dos problemas 61
Como a bola está em equilíbrio, a aplicação da segunda lei de Newton às componentes horizon-
tal e vertical da força resultante nos dá
qE 2 T sen u = 0 e T cos u − mg = 0.
A primeira equação nos dá T = qE/sen u ; substituindo na segunda equação, obtemos qE = mg 
tan u. De acordo com a Eq. 23-13, o campo elétrico produzido pela placa é dado por E = s/2â0, 
sendo que s é a densidade superficial de carga. Assim,
q
mg



2 0
= tan
e

 = = × ×
− −2 2 8 85 10 1 0 100 12 2 2 6mg
q
tan ( , . ) ( ,C /N m kgg m/s
C
C/m
)( , ) tan
,
, ,
9 8 30
2 0 10
5 0 10 5
2
8
9 2
°
×
= × =
−
− 00 nC/m2.
40. O ponto no qual os campos produzidos pela placa e pela partículase cancelam não pode 
estar na região entre a placa e a partícula (−d < x < 0) porque a placa e a partícula possuem 
cargas de sinais opostos, mas pode estar na região à direita da partícula (x > 0) ou na região à 
esquerda da placa (x < d). A condição para que o campo se anule é
| |
.

 2 40 0 2
= Q
r
Explicitando r e substituindo os valores conhecidos, obtemos:
r
Q= = = = ± = ±
2
6
2 2
3
2
0 691
2 

  | | ( )
,
C
C/m
m 69,1 cm..
Para d = 0,20 m, nenhum dos pontos calculados está na “região proibida” entre a placa e a 
partícula. Assim, temos:
(a) x = +69,1 cm 
(b) x = −69,1 cm
(c) Para d = 0,80 m, um dos pontos (x = −69,1 cm) está na “região proibida” entre a placa e a 
partícula e não é uma solução válida. Assim, o único ponto no qual os campos se cancelam é 
x = +69,1 cm.
41. Para resolver o problema, escrevemos uma expressão para a aceleração do elétron e calcu-
lamos a distância que o elétron percorre antes de parar. A força a que o elétron está submetido 
é F = –eE = –es/â0 (veja a Eq. 23-11) e a aceleração é
a
F
m
e
m
= = − 
0
na qual m é a massa do elétron. De acordo com a Eq. 2-16, se v0 é a velocidade inicial do elétron, 
v é a velocidade final e x é a distância percorrida entre as posições inicial e final, v v ax2 0
2 2− = . 
Fazendo v = 0, substituindo a por –es/â0m e explicitando x, obtemos
x
v
a
mv
e
= − =0
2
0 0
2
2 2


.
62 soluções dos problemas
Como a energia cinética inicial é K mv0 0
2 2= / , temos:
x
K
e
= = × ⋅ ×
− −

0 0
12 2 2 178 85 10 1 60 10
1
( , ) ( , )
(
C /N m J
,, ) ( , )
,
60 10 2 0 10
4 4 10
19 6 2
4
× ×
= × =− −
−
C C/m
m 0,44 mmm.
42. Como, de acordo com a Eq. 23-11, E = s/â0, a densidade superficial de carga é dada por
 = = × ⋅ = ×− −0 12 108 85 10 55 4 9 10E ( , )( ,C /N m N/C)2 2 C/m2.
Como a área das placas é A = 1,0 m2, o módulo da carga em cada placa é
Q A= = × − 4 9 10 10, C.
43. Vamos usar uma superfície gaussiana em forma de paralelepípedo, indicada por retas trace-
jadas na vista lateral da figura a seguir. As faces direita e esquerda da superfície gaussiana estão 
a uma distância x do plano central. Vamos tomar a altura e o comprimento do paralelepípedo 
como iguais a a, de modo que as faces direita e esquerda são quadrados. 
O campo elétrico é perpendicular às faces direita e esquerda e é uniforme. Como a densidade 
volumétrica de carga é positiva, aponta para fora nas duas faces, ou seja, aponta para a esquerda 
na face esquerda e para a direita na face direita. Além disso, o valor absoluto da densidade de 
carga é o mesmo nas duas faces. Assim, o fluxo do campo elétrico através das duas faces é Ea2. 
Como o campo elétrico é paralelo às outras faces do paralelepípedo, o fluxo do campo elétrico 
através dessas faces é zero; assim, o fluxo total através da superfície gaussiana é Φ = 2Ea2. 
Como o volume envolvido pela superfície gaussiana é 2a2x e a carga contida nesse volume é 
q = 2a2xr, na qual r é a densidade volumétrica de carga, a lei de Gauss nos dá
2â0Ea2 = 2a2xr.
Explicitando o campo elétrico E, obtemos E = rx/â0. 
(a) Para x = 0, E = 0.
(b) Para x = 2,00 mm = 2,00 × 10−3 m,
E
x= = × ×
×
− −
0
15 35 80 10 2 00 10
8 85 10
( , )( , )
,
C/m m3
−−
−
⋅
= × =
12
61 31 10
C /N m
N/C 1,31 N/C.
2 2
, 
(c) Para x = 4,70 mm = 4,70 × 10−3 m,
E
x= = × ×
×
− −
0
15 35 80 10 4 70 10
8 85 10
( , )( , )
,
C/m m3
−−
−
⋅
= × =
12
63 08 10
C /N m
N/C 3,08 N/C.
2 2
, 
(d) Para x = 26,0 mm = 2,60 × 10−2 m, usamos uma superfície gaussiana de mesma forma e 
orientação, mas com x > d/2, de modo que as faces esquerda e direita estão do lado de fora da 
soluções dos problemas 63
placa. O fluxo total através da superfície continua a ser Φ = 2Ea2, mas a carga envolvida agora 
é q = a2dr. De acordo com a lei de Gauss, 2â0Ea2 = a2dr e, portanto,
E
d= = × ×
− −
2
5 80 10 9 40 10
2 8 850
15 3( , )( , )
( ,
C/m m3
×× ⋅
= × =−
−
10
3 08 10
12
6
C /N m
N/C 3,08 N/C.
2 2)
, 
44. Podemos determinar a carga da esfera observando que o valor máximo do campo elétrico 
mostrado no gráfico da Fig. 23-48 (E = 5,0 × 107 N/C) é atingido para r = 2 cm = 0,020 m. 
Como E = q/4pâ0r2, temos:
q r E= = ×
× ⋅
4
0 020 5 0 10
8 99 100
2
2 7
9

( , ) ( , )
,
m N/C
N m22 C
C.
2
62 2 10= × −,
45. (a) Como r1 = 10,0 cm < r = 12,0 cm < r2 = 15,0 cm,
E r
q
r
( )
( , )( ,= = × ⋅ ×
−1
4
8 99 10 4 00 10
0
1
2
9 8

N m /C2 2 C
m
N/C.
)
( , )
,
0 120
2 50 10
2
4= ×
(b) Como r1 < r2 < r = 20,0 cm,
E r
q q
r
( )
( , )( ,= + = × ⋅ +1
4
8 99 10 4 00 2
0
1 2
2
9

N m /C2 2 ,, )( )
( , )
,
00 1 10
0 200
1 35 10
8
4× = ×
− C
m
N/C.
2
46. (a) O fluxo continua a ser −750 N . m2/C, já que depende apenas do valor da carga envol-
vida.
(b) De acordo com a lei de Gauss, Φ = q/â0, temos:
q = = × ⋅( ) − ⋅( ) = −−0 128 85 10 6 6 , / ,C /N m 750 N m C2 2 2 44 10 9× = −− C 6,64 nC.
47. O campo produzido por uma esfera carregada é igual ao campo produzido por uma carga 
pontual para pontos situados do lado de fora da esfera. Isso significa que o módulo do campo é 
dado por E = |q|/4pâ0r2, na qual |q| é o valor absoluto da carga da esfera e r é a distância entre 
o ponto em que o campo é medido e o centro da esfera. Assim,
| |
( , ) ( , )
,
q r E= = ×
×
4
0 15 3 0 10
8 99 100
2
3
9

m N/C2
NN m /C
C.
2 2⋅
= × −7 5 10 9,
Como o campo aponta para o centro da esfera, a carga é negativa, ou seja,
q = −7,5 × 10−9 C = −7,5 nC.
A figura abaixo mostra o módulo do campo elétrico em função de r. Dentro da esfera conduto-
ra, E = 0; fora da esfera, E = k|q|/r2, na qual k = 1/4pâ0.
 
48. Vamos chamar de EA o módulo do campo para r = 2,5 cm. De acordo com o gráfico da Fig. 
23-49, EA = 2,0 × 107 N/C. Este campo se deve exclusivamente ao campo criado pela partícula. 
Como Epartícula = q/4pâ0r2, o campo em qualquer outro ponto está relacionado a EA através da 
64 soluções dos problemas
razão entre os quadrados das distâncias. O gráfico mostra também que, no ponto r = 3,0 cm, o 
campo produzido pela partícula e pela casca é 8,0 × 107 N/C. Assim,
Ecasca + Epartícula = Ecasca + (2,5/3)2 EA = 8,0 × 107 N/C
e, portanto,
Ecasca = 8,0 × 107 N/C − (0,7)(2,0 × 107 N/C) = 6,6 × 107 N/C.
Como Ecasca = Q/4pâ0r2, na qual Q é a carga da casca, e Ecasca = 6,6 × 107 N/C para r = 0,030 m, 
temos:
Q r E
r E
k
= = = ×4 0 030 6 6 100 2
2 2 7
 casca
casca m( , ) ( , NN/C
N m C
C 6,6 C.
2
)
,
,
8 99 10
6 6 10
9 2
6
× ⋅
= × =− 
49. Por simetria, o campo elétrico é radial em todas as regiões nas quais é diferente de zero. 
Vamos usar superfícies gaussianas de forma esférica, concêntricas com a esfera e a casca, 
passando pelo ponto cujo campo elétrico queremos determinar. Como o campo é uniforme na 
superfície, 
 
 E dA r E⋅ =∫ 4 2 , na qual r é o raio da superfície gaussiana.
Para r < a, a carga envolvida pela superfície gaussiana é q1(r/a)3 e a lei de Gauss nos dá
4
4
2 1
0
1
0
3

 
r E
q r
a
E
q r
a
=







 ⇒ =
3
.
(a) Para r = 0, essa equação nos dá E = 0.
(b) Para r = a/2, temos: 
E
q a
a
= = × ⋅ ×
−
1
0
3
9 12
4
8 99 10 5 00 10( ) ( , )( ,/ N m /C2 2

55
2 2
2
2 2 00 10
5 62 10
C
m
N/C 56,2 mN/C
)
( , )
, .
×
= × =−
−
(c) Para r = a, temos: 
E
q
a
= = × ⋅ ×
−
1
0
2
9 15
4
8 99 10 5 00 10
2
( , )( , )
(
N m /C C2 2
,, )
, .
00 10
0 112
2 2×
= =− m
N/C 112 mN/C
Para a < r < b, a carga envolvida pela superfície gaussiana é q1 e a lei de Gauss nos dá
4
4
2 1
0
1
0
2

 
r E
q
E
q
r
= ⇒ = .
(d) Para r = 1,50a, temos: 
E
q
r
= = × ⋅ ×
−
1
0
2
9 15
4
8 99 10 5 00 10
1
( , )( , )
(
N m /C C2 2
,, , )
, .
50 2 00 10
0 0499
2 2× ×
= =− m
N/C 49,9 mN/C
(e) Para b < r < c, como a casca é condutora, o campo elétrico é zero. Assim, para r = 2,30a, 
E = 0. 
(f) Para r > c, a carga envolvida pela superfície gaussiana é zero e, portanto, de acordo com a 
lei de Gauss, 4pr2E = 0 ⇒ E = 0. Assim, para r = 3,50a, E = 0.
(g) Considereuma superfície gaussiana que esteja no interior da casca condutora. Como o cam-
po elétrico no interior do condutor é nulo, 
 
E dA⋅ =∫ 0 e, de acordo com a lei de Gauss, a carga 
envolvida pela superfície é zero. Se Qint é a carga na superfície interna da casca, q1 + Qint = 0 e, 
portanto, Qint = 2q1 = 25,00 fC. 
soluções dos problemas 65
(h) Seja Qext a carga da superfície externa da casca. Como a carga total da casca é 2q, Qint + 
Qext = 2q1, o que nos dá 
Qext = 2q1 2 Qi = 2q1 2(2q1) = 0.
50. O ponto no qual os campos se cancelam não pode estar na região entre as cascas porque 
as cargas das cascas têm sinais opostos. Não pode estar no interior de uma das cascas porque, 
nesse caso, o único campo existente seria o campo da outra casca. Como a carga da casca 2 
é maior em valor absoluto que a casca 1 (|s2|A2 > (|s1|A1), o ponto não pode estar à direita da 
casca 2. Assim, o ponto está à esquerda da casca 1, a uma distância r > R1 do centro, em que R1 
é o raio da casca 1. Para que o campo se anule nesse ponto,
E E
q
r
q
r L
1 2
1
0
2
2
0
24 4
= ⇒ =
+
| | | |
( )
,
 
o que nos dá




1 1
0
2
2 2
0
24 4
A
r
A
r L
=
+
| |
( )
.
Usando o fato de que a área da superfície de uma esfera é A = 4pR2, obtemos:
r
LR
R R
=
−
=
× −1 1
2 2 1 1
60 06 4 0 10
 | |
( , ( ,m)(0,005 m) CC/m
m C/m m
2
2( , ) ( , ( , ) ( ,0 020 2 0 10 0 005 4 0 106× − ×− −66
0 033 3 3
C/m
m cm
2
= =, , .
Como este valor satisfaz a condição r > R1, a resposta é
x = −r = −3,3 cm.
51. Vamos usar uma superfície gaussiana na forma de uma esfera concêntrica com a casca e 
com um raio rg tal que a < rg < b. A carga da parte da casca esférica envolvida pela superfície 
gaussiana é dada pela integral q dVs = ∫  , em que r é a densidade volumétrica de carga, e os 
limites de integração são o raio interno da carga e o raio da superfície gaussiana. Como a dis-
tribuição de carga possui simetria esférica, podemos tomar o elemento de volume dV como o 
volume de uma casca esférica de raio r e espessura infinitesimal dr: dV = 4pr2dr. Assim,
q r dr
A
r
r dr A r drs
a
r
a
r
a
rg g g
= = = =∫ ∫⌠⌡4 4 42 2    22 2 2 A r ag( − ).
A carga total no interior da superfície gaussiana é
q q q A r as g+ = + −2 2 2 ( ).
Como o campo elétrico é radial, o fluxo através da superfície gaussiana é  = 4 2r Eg , na qual 
E é o módulo do campo. De acordo com a lei de Gauss, temos: 
4 20 2 2 2 Er q A r ag g= + −( ).
Explicitando E, obtemos:
E
q
r
A
Aa
rg g
= + −






1
4
2
2
0
2
2
2


.
Para que o campo seja uniforme, o primeiro e o terceiro termos devem se cancelar, o que 
acontece se q 2 2pAa2 = 0, ou seja, se A = q/2pa2. Para a = 2,00 × 10−2 m e q = 45,0 × 10−15 C, 
obtemos A = 1,79 × 10−11 C/m2.
66 soluções dos problemas
52. De acordo com a Eq. 23-16, o campo é zero para 0 ≤ r ≤ a. Assim,
(a) E = 0 para r = 0.
(b) E = 0 para r = a/2,00. 
(c) E = 0 para r = a. 
Para a ≤ r ≤ b, a carga envolvida qenv está relacionada ao volume através da equação
q
r a
env = −





 4
3
4
3
3 3
.
Assim, o campo elétrico é
E
q
r r
r a= = −



=1
4 4
4
3
4
3 30 2 0 2
3 3
0


  

env rr a
r
3 3
2
−
.
(d) Para r = 1,50a, o campo elétrico é 
E
a a
a
a= − = 




3
1 50
1 50 3
2 375
2 250
3 3
2
0
( , )
( , )
,
,


= ×
×
−
−
( , )( , )
( ,
1 84 10 0 100
3 8 85 10
9
12
C/m m
C
3
2 //N m
N/C.
2⋅




=
)
,
,
,
2 375
2 25
7 32
(e) Para r = b = 2,00a, o campo elétrico é 
E
a a
a
a= − = 

 =



3
2 00
2 00 3
7
4
1
0
3 3
2
0
( , )
( , )
( ,884 10 0 100
3 8 85 10
79
12
×
× ⋅
−
−
C/m m
C /N m
3
2 2
)( , )
( , ) 44
12 1

 = , N/C.
(f) Para r ≥ b, o campo elétrico é
E
q
r
b a
r
= = −
3
total
4 30 2 0
3
2


.
Assim, para r = 3,00b = 6,00a, o campo elétrico é 
E
a a
a
a= − = 

 =



3
2 00
6 00 3
7
36
1
0
3 3
2
0
( , )
( , )
( ,, )( , )
( , )
84 10 0 100
3 8 85 10
9
12
×
× ⋅
−
−
C/m m
C /N m
3
2 2
77
36
1 35

 = , N/C.
53. (a) Vamos integrar a densidade volumétrica de carga para toda a esfera e igualar o resultado 
à carga total:
dx dy dz dr r Q
R
∫ ∫ ∫ ∫= = 4 20π .
Fazendo r =rsr/R, em que rs = 14,1 pC/m3, e executando a integração, obtemos
4
4
4

s
R
R
Q






= ,
o que nos dá
Q Rs= = × = ×− 3 1214 1 10 0 0560 7 78( , )( , ,C/m m)3 3 110 15− =C 7,78 fC.
(b) Para r = 0, o campo elétrico é zero (E = 0), já que a carga envolvida por uma superfície 
gaussiana é zero.
De acordo com a lei de Gauss (veja as Eqs. 23-8 a 23-10), em um ponto do interior da esfera 
situado a uma distância r do centro, o campo elétrico é dado pela equação
E
q
r
= 1
4 0 2
env ,
soluções dos problemas 67
na qual qenv pode ser calculada usando uma integral semelhante à do item (a):
q dr r
R
rr s
env
0 4
= = 





∫4 42
4
  

.
Assim,
E
r
Rr
r
R
s s= =1
4
1
40
4
2
0
2




.
(c) Para r = R/2,00, em que R = 5,60 cm, o campo elétrico é
E
R
R
Rs s= =
= ×
1
4
2 00 1
4 4 00
8 99 10
0
2
0


( , )
,
( ,
/
99 2 1214 1 10 0 0560
4 00
5
N m C C/m m2 3⋅ ×
=
−) ( , )( , )
,
,

558 10 3× =− N/C 5,58 mN/C.
(d) Para r = R, o campo elétrico é
E
R
R
Rs s= = = × ⋅1
4 4
8 99 10 14
0
2
0
9 2

 

( , ) (N m C2 ,, )( , )
,
1 10 0 0560
2 23 10
12
2
×
= × =
−
−
C/m m
N/C 22,3
3
mmN/C.
(e) A figura a seguir mostra um gráfico do módulo do campo elétrico em função de r.
54. De acordo com a Eq. 23-20, temos:
E
q
R
r
q
R
R q
1 = =



 =
| | | | | |1
0
3 1
1
0
3
1
4 4 2
1
2 4  0 2R
.
Do lado de fora da esfera 2, temos: 
E
q
r
q
R
2 = =
| | | |
( , )
.2
0
2
2
0
24 4 1 50 
Igualando as expressões dos campos, obtemos a relação
q
q
2
1
9
8
1 125= = , .
55. Como
E r
q
r r
r r dr
r
( ) ( )= = ∫enc4
1
4
4
0
2
0
2 0
2
 
 
68 soluções dos problemas
temos:

 
( ) ( ) .r
r
d
dr
r E r
r
d
dr
Kr K r= [ ] = ( ) =02 2 02 6 0 36
56. (a) Φ2 = EA = 4p(0,20)2 = 0,50 N·m2/C. 
(b) Como o fluxo do campo elétrico através da superfície lateral do cilindro é zero, e o fluxo 
através da base situada em x = 0 é Φ0 = −2p(0,20)2 = 0,25 N·m2/C, a lei de Gauss nos dá
qenv = â0 (Φ2 + Φ0) = (8,85 × 10−12)(0,50 N·m2/C − 0,25 N·m2/C) = 2,2 × 10–12 C
 = 2,2 pC.
57. (a) De acordo com a Eq. 23-16, para r < R, E = 0.
(b) Para r ligeiramente maior que R,
E
q
r
q
R
R = ≈ =
× ⋅ ×1
4 4
8 99 10 2 00 1
0
2
0
2
9
 
( , )( ,N m C2 2 00
0 250
2 88 10
7
2
4
−
( )
= ×C
m
N C.
)
,
,
(c) Para r > R,
E
q
r
E
R
r
R= =



 = ×
1
4
2 88 10
0 250
0
2
2
4

( , )
,
N C
m
3,,00 m
N C.




=
2
200
58. De acordo com a lei de Gauss, temos: 
 = = = ×
−q renv 2 2C/m ) (0,050 m)




0
2
0
98 0 10
8
( ,
,885 10
7 1
12× ⋅
= ⋅− C /N m
N m /C.
2 2
2,
59. (a) Nos pontos do plano x = 4,0 cm, o campo total é a soma de um campo que aponta para 
a direita, produzido pelas cargas que estão entre x = 25,0 cm e x = 4,0 cm, e um campo que 
aponta para a esquerda, produzido pelas cargas que estão entre x = 4,0 cm e x = 5,0 cm. Os 
dois campos podem ser calculados com o auxílio da Eq. 23-13. Como s = q/A = rV/A = r∆x, 
temos:

E = − = ×
−



( , ( , ( , )0 090
2
0 010
2
1 2 10
0 0
9m) m) C/m3 (( , ,
, )
,
0 090 0 010
8 85 10
5 4
12
m m)
2( C /N m
N C.
2 2
−
× ⋅
=−
(b) Nos pontos do plano x = 6,0 cm, só existe o campo que aponta para a direita, produzido por 
todas as cargas da placa, e temos:

E = = ×
−

( , ( , )( ,
,
0 100
2
1 2 10 0 100
8 80
9m) C/m m)
2(
3
55 10
6 8
12× ⋅
=− C /N m
N C.
2 2)
,
60. (a) Considere o campo radial produzido no interior de uma distribuição cilíndrica de carga. 
O volume envolvido por uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento L e raio r é Lpr2. 
De acordo com a lei de Gauss, temos:E
q
A
L r
rL
r= =
( )
=| |
| |
( )
| |env
0 cilindro
 
 
2
0 2 20
.
(b) De acordo com a expressão do item anterior, o campo radial aumenta quando r aumenta.
(c) Como o pó está carregado negativamente, o campo aponta para o eixo do cilindro.
soluções dos problemas 69
(d) O campo elétrico é máximo quando o valor de r é tal que toda a carga presente no cano 
é envolvida pela superfície cilíndrica, ou seja, quando r = R. Assim, para |r| = 0,0011 C/m3 e 
R = 0,050 m, temos:
E
R
max
| | ( , )( , )
,
= =
×

2
0 0011 0 050
8 85 100
C m m
2(
3
−− ⋅
= ×
12
63 1 10
C /N m
N C.
2 2)
,
Este campo é atingido na superfície interna do cano.
(e) Comparando o valor do campo máximo calculado no item (d) com a condição (1) do enun-
ciado, vemos que o campo atinge um valor suficiente para produzir uma centelha e que esse 
valor é atingido nas proximidades da superfície interna do cano.
61. Podemos usar a Eq. 23-15, a Eq. 23-16 e o princípio de superposição.
(a) Para r < a, E = 0.
(b) Para a < r < b, E q ra= 4 20 .
(c) Para r > b, E q q ra b= +( ) / 4 0 2 .
(d) Como E = 0 para r < a, a carga na superfície interna da casca menor é zero e, portanto, a 
carga na superfície externa da casca menor é qa. Como E = 0 no interior da casca maior, a carga 
envolvida por uma superfície gaussiana situada entre a superfície interna e a superfície externa 
da casca maior é zero. Isso significa que a carga da superfície interna da casca maior é 2qa. Em 
consequência, a carga da superfície externa da casca maior é qb − qa.
62. De acordo com as Eqs. 23-16 e 23-17, temos:
a) 

E
q
r
= = × ⋅ ×
−
4
8 99 10 1 0 10
0 00 1
2
9 2 7

( , ) ( , )
( ,
N m C C2
115
4 0 106
m)
N C.
2
= ×,
(b) 

E = 0, já que o campo no interior de um condutor é zero no regime estacionário.
63. O próton está executando um movimento circular uniforme, no qual a força centrípeta é a 
força de atração eletrostática da esfera. De acordo com a segunda lei de Newton, F = mv2/r, 
na qual F é o módulo da força, v é a velocidade do próton e r é o raio da órbita. O módulo da 
força a que o próton está submetido é F = e|q|/4pâ0r2, na qual |q| é o valor absoluto da carga da 
esfera. Assim,
1
4 0 2
2

e q
r
mv
r
| | =
e, portanto,
| |
( , )( , )
q
mv r
e
= = × ×
−4 1 67 10 3 00 100 2 27 5 kg m/s 22
9 9
0 0100
8 99 10 1 60 10
( , )
( , / )( , )
m
N m C C2 2× ⋅ × −
== × =−1 04 10 9, C 1,04 nC.
Como a força deve ser atrativa e o próton é uma partícula de carga positiva, a carga da esfera é 
negativa: q = –1,04 × 10–9 C.
64. Como a área da superfície de uma esfera é A = 4pr2 e a densidade superficial de carga é 
s = q/A (sem perda de generalidade, estamos supondo que a carga é positiva), temos:
E
q
r
q
r
= = 

 =

   0 0
2
0
2
1
4
1
4
que é o campo produzido por uma carga pontual (veja a Eq. 22-3).
70 soluções dos problemas
65. (a) Como o volume de uma esfera de raio R/2 é igual a um oitavo do volume de uma esfera 
de raio R, a carga da região em que 0 < r < R/2 é Q/8. Assim, a fração pedida é 1/8 = 0,125. 
(b) No ponto r = R/2, o módulo do campo é
E
Q
R
Q
R
= =/
( / )
,
8
4 2
1
2 40 2 0 2 
o que equivale a metade do campo na superfície da esfera. Assim, a fração pedida é 1/2 = 
0,500.
66. Vamos chamar de q o valor absoluto da carga da esfera e de E o módulo do campo produ-
zido pela esfera da posição do próton. Quando o próton está a uma distância r ≥ R do centro da 
esfera, a força exercida pela esfera sobre o próton é
F eE e
q
r
eq
r
= =




=
4 40 2 0 2 
.
Note que, para r = R, esta expressão se torna
F
eq
R
R = 4 0 2
(a) Fazendo F = FR/2 e explicitando r, obtemos r R= 2. Como o problema pede a distância a 
partir da superfície da esfera, a resposta é R R R2 0 41− = , . 
(b) Nesse caso, devemos ter Fint = FR/2, na qual Fint = eEint e Eint é dado pela Eq. 23-20. Assim,
e
q
R
r
eq
R
r
R
R
4
1
2 4 2
0 50
0
3
0
2 




=




⇒ = = , ..
67. O campo inicial (calculado “a uma pequena distância da superfície externa”, o que significa 
que é calculado para r = R2 = 0,20 m, o raio externo da casca) está relacionado à carga q da 
casca através da Eq. 23-15: E q Rinicial /= 4 0 22 . Depois que a carga pontual Q é colocada no 
centro geométrico da casca, o campo final no mesmo ponto é a soma do campo inicial com o 
campo produzido pela carga Q (dado pela Eq. 22-3):
E E
Q
R
final inicial= + 4 0 22
.
(a) A carga da casca é 
q R E= =
×
4
0 20 450
8 99 100 2
2
2
9
 inicial
m N/C( , ) ( )
, NN m C
C 2,0 nC.
⋅
= × = +−
2 2
92 0 10,
(b) A carga Q é
Q R E E= −( ) =4 0 20 1800 22
2
 final inicial
m N/C( , ) ( −−
× ⋅
= − × = −−450
8 99 10
1 2 10 1 2
9 2 2
9N/C
N m C
C nC.
)
,
, ,
(c) Como o campo no interior da casca condutora é zero, o campo produzido pela carga Q 
deve ser cancelado pelo campo produzido pela carga da superfície interna da casca. Assim, a 
resposta é +1,2 × 10−9 C.
(d) Como a carga total da casca condutora é +2,0 nC e a carga da superfície interna é +1,2 nC, 
a carga da superfície externa é (+2,0 nC) − (+1,2 nC) = +0,80 nC.
soluções dos problemas 71
68. Seja Φ0 = 103 N . m2/C. O fluxo total através da superfície do dado é
    = = −( ) = − + − + − +( ) =
= =
∑ n
n
n
n
n
1
6
0 0 0
1
6
1 1 2 3 4 5 6 3∑∑ .
Assim, de acordo com a lei de Gauss, a carga no interior do dado é
q = = = × ⋅ ⋅− 0 0 0 12 33 3 8 85 10 10  ( , ) ( )C /N m N m /C2 2 2 == × =−2 66 10 8, C 26,6 nC.
69. Como todos os campos envolvidos são uniformes, a localização precisa do ponto P não é 
importante; o que importa é que o ponto está acima das três placas, com as placas positivamente 
carregadas produzindo campos que apontam para cima e a placa negativamente carregada pro-
duzindo um campo que aponta para baixo. De acordo com a Eq. 23-13, o campo total aponta 
para cima e o módulo do campo é
| |
,
( ,

E = + + = ×
×
−





1
0
2
0
3
0
6
2 2 2
1 0 10
2 8 85 1
C/m2
00
5 65 10
12
4
− ⋅
= ×
C /N m
N C.
2 2)
,
Na notação dos vetores unitários, 

E = ×( , )ˆ5 65 104 N/C j .
70. Como a distribuição de carga é uniforme, podemos calcular a carga total q multiplicando a 
densidade volumétrica r pelo volume da esfera (4p r3/3), o que nos dá
q = × = × =− −( , ) ( , ) , ,3 2 10 4 0 050
3
1 68 10 1 686
3
9C/m C3

nnC.
(a) De acordo com a Eq. 23-20,
E
q r
R
= = × ⋅ ×
−| | ( , )( , )( ,
4
8 99 10 1 68 10 0 0
0
3
9 9

N m C2 335
0 050
4 2 10
3
3)
( , )
,= × =N/C 4,2 kN/C.
(b) De acordo com a Eq. 22-3, 
E
q
r
= = × ⋅ ×
−| | ( , )( ,
4
8 99 10 1 68 10
0
2
9 2 9

N m C C)
(0,
2
0080 m)
N/C 2,4 kN/C.
2
= × =2 4 103,
71. Vamos usar um sistema de coordenadas com a origem no centro da base, o plano xy hori-
zontal, coincidindo com a base, e o hemisfério no semiplano z > 0.
(a) base k k m) (2,50
2= − ⋅ = − = −  R E R E2 2 0 0568( ˆ ) ˆ ( , N/C) N m /C
N m
2
2
= − ⋅
= − × ⋅−
0 0253
2 53 10 2
,
, .
(b) Como o fluxo através do hemisfério é zero, o fluxo através da superfície curva é

 c base
2N m /C= − = + × ⋅−2 53 10 2, .
72. De acordo com a lei de Gauss, a carga total envolvida é
q = = × ⋅ − ⋅ = − ×−0 128 85 10 48 4 2 10 ( , )( ) ,C /N m N m C2 2 2 −−10 C.
73. (a) De acordo com a lei de Gauss, temos: 
  
 
E r
q
r
r
r r
r
r
( )
( )= = =1
4
1
4
4 3
0
3
0
3
3 
 env /
33 0
.
72 soluções dos problemas
(b) A distribuição de carga neste caso é equivalente à da combinação de uma esfera completa 
de densidade de carga r, com uma esfera menor de densidade –r ocupando o lugar da cavidade. 
Assim, por superposição,
 
   
E r
r r a a( ) = + − −( ) =




3 3 30 0 0
( )
.
74. (a) Como o cubo está totalmente no interior da esfera, a carga envolvida pelo cubo é 
qenv = r Vcubo = (500 × 10–9 C/m3)(0,0400 m)3 = 3,20 × 10–11 C.
Assim, de acordo com a lei de Gauss,
Φ = qenv/â0 = 3,62 N·m2/C.
(b) Como esfera está totalmente no interior do cubo (noteque o raio da esfera é menor que 
metade da aresta do cubo), a carga total é 
qenv = r Vesfera = (500 × 10−9 C/m3)(4/3)p (0,0600 m)3 = 4,52 × 10–10 C.
Assim, de acordo com a lei de Gauss,
Φ = qenv/â0 = 51,1 N·m2/C.
75. O campo elétrico aponta radialmente para fora a partir do fio central. Estamos interessados 
em determinar o módulo do campo na região entre o fio e o cilindro em função da distância r 
entre o fio e o ponto considerado. Como o módulo do campo na superfície interna do cilindro 
é conhecido, escolhemos essa superfície como superfície gaussiana. Assim, a superfície gaus-
siana escolhida é um cilindro de raio R e comprimento L, coaxial com o fio. Apenas a carga 
do fio é envolvida pela superfície gaussiana; vamos chamá-la de q. A área lateral da superfície 
gaussiana é 2pRL e o fluxo que atravessa é Φ = 2pRLE. Supondo que o fluxo através das bases 
do cilindro é desprezível, este é o fluxo total. Assim, de acordo com a lei de Gauss,
q RLE= × ⋅−2 8 85 100 12 =2 C /N m (0,014 m)(02 2( , ) ,,16 m) (2,9 10 N/C)
3,6 10 C 3,6 nC.
4×
= × =−9
76. (a) A figura mostra uma seção reta do cilindro (linha cheia). 
Considere uma superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio r e comprimento l, coaxial 
com o cilindro carregado, representada na figura do item a pela linha tracejada. A carga envol-
vida pela superfície gaussiana é q = rV = pr2lr, na qual V = pr2l é o volume do cilindro.
Como, por simetria, o campo elétrico é radial, o fluxo total através do cilindro gaussiano é Φ = 
EAcilindro = E(2prl). Assim, de acordo com a lei de Gauss,
2
20
2
0
  


r E r E
r
l l= ⇒ = .
(b) Considere uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r > R. Se o campo elétrico externo é 
Eext, o fluxo através da superfície gaussiana é Φ = 2prlEext. A carga envolvida é a carga total em 
um segmento do cilindro carregado, de comprimento l, ou seja, q = pR2lr. Assim, de acordo 
com a lei de Gauss,
2
20
2
0
  


r E R E
R
r
l lext ext
2
= ⇒ = .
soluções dos problemas 73
77. (a) Como a carga total da casca é 210 mC e a carga da superfície externa é –14 mC, a carga 
da superfície interna é +4,0 mC. (Não existem cargas no interior de condutores em situações 
estáticas.)
(b) Como o campo no interior da casca é zero, a carga de +4,0 mC deve cancelar a carga da 
partícula que se encontra no interior da cavidade. Assim, a carga da partícula é –4,0 mC.
78. (a) Como o ponto está do lado de fora da esfera, usamos a Eq. 23-15: 
E
q
r
= = × ⋅ ×
−1
4
8 99 10 6 00 10
0
2
9 2 12

( , )( , )N m C C
(0,
2
00600 m)
N C.
2
= 15 0,
(b) Como o ponto está no interior da esfera, usamos a Eq. 23-20:
E
q
R
r=




= × ⋅ ×
−
4
8 99 10 6 00 10
0
3
9

( , )( ,N m /C2 2 112
3
0 03
0 04
25 3
C m
m
N/C
)( , )
( , )
, .=
79. (a) O fluxo mássico é wdrv = (3,22 m) (1,04 m) (1000 kg/m3) (0,207 m/s) = 693 kg/s.
(b) Como a água passa apenas pela área wd, o fluxo mássico é o mesmo do item (a), 693 kg/s.
(c) O fluxo mássico é (wd/2) rv = (693 kg/s)/2 = 347 kg/s.
(d) O fluxo mássico é (wd/2) rv = 347 kg/s.
(e) O fluxo mássico é (wd cos u) rv = (693 kg/s) (cos 34o) = 575 kg/s.
80. O campo produzido por uma placa carregada é dado pela Eq. 23-13. As duas placas são 
horizontais (paralelas ao plano xy), e produzem campos verticais (paralelos ao eixo z), que 
apontam para cima acima da posição da placa e apontam para baixo abaixo da posição da placa. 
Vamos chamar a placa que está no plano z = 0 de placa A e a placa que está no plano z = 2,00 
m de placa B.
(a) O módulo do campo elétrico total na região entre as placas onde se encontra o plano z = 
1,00 m, é
| |
, ,
E A B= − = × − ×
− −


2 2
8 00 10 3 00 10
0 0
9 9C/m C/m2 22
2 2C /N m
N C 0,282 N/C
2 8 85 10
2 82 10
12
2
( , )
,
× ⋅
= × =− ..
(b) O módulo do campo elétrico total na região acima das duas placas onde se encontra o plano 
z = 3,00 m, é
| |
, ,
E A B= + = × + ×
− −


2 2
8 00 10 3 00 10
0 0
9 9C/m C/m2 22
2 2C /N m
N C 0,621 N C.
2 8 85 10
6 21 10
12
2
( , )
,
× ⋅
= × =−
81. (a) O campo é máximo na superfície da bola:
E
q
r
q
R
r R
max
| | | |=




=
4 40 2 0 2 para =
De acordo com a Eq. 23-20, temos:
E
q r
R
E
r
R
Rint
max| | , .= = ⇒ = =
4 4 4
0 25
0
3
74 soluções dos problemas
(b) Do lado de fora da bola, temos:
E
q
r
E
r Rext = = ⇒ =
| |
, .max
4 4
2 0
0
2
82. (a) Usamos as relações meg = eE = es/â0 para calcular a densidade superficial de carga:

= = × ×
− −m g
e
e 0
31 129 11 10 8 85 10( , )( ) ( ,kg 9,8 m s C2 //N m
C
C m
2⋅
×
= ×−
−)
,
, .
1 60 10
4 9 10
19
22 2
(b) Para equilibrar a força gravitacional, que aponta para baixo, a força elétrica deve apontar 
para cima. Como 
 
F qEe = e, no caso do elétron, q = −e < 0, o campo elétron aponta para baixo.