Lei de Gauss

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Lei de Gauss 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus, Amazonas, Brasil. 
 
 
 
 
 
Aluno: Domingos Matheus Mota 
Matrícula: 19113803 
Turma: ELN03S1 
 
 
 
 
 
 
Trabalho solicitado pelo Profº Francisco Dinola 
da disciplina de Física Eletricidade para 
obtenção de nota parcial da 1ª ARE. 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus, 04 de Maio de 2020 
 
Introdução: 
 O presente trabalho tem como objetivo principal mostrar a lei de Gauss e sua 
aplicação para o campo elétrico com desenvolvimento de cálculos utilizados 
para determinar fluxo elétrico e as cargas elétricas envolvidas. 
 Nesta pesquisa será mostrado em alguns tópicos sua importância e suas 
principais aplicações fazendo a demonstração de suas formulas utilizadas com 
desenvolvimento para o uso de cálculos elétricos e sua importância para a 
física. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Gauss 
 A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo do campo 
elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica que existe dentro 
do volume limitado por esta superfície. A lei de Gauss é uma das quatro equações de 
Maxwell, juntamente com a lei de Gauss do magnetismo, a lei da indução de 
Faraday e a lei de Ampère-Maxwell. Foi elaborada por Carl Friedrich Gauss em 1835, 
porém só foi publicada após 1867. Gauss foi um matemático alemão que fez 
contribuições importantes para a teoria dos números, a geometria e a probabilidade, 
tendo também contribuições em astronomia e na medição do tamanho e do formato 
da Terra. 
 A lei de Gauss estabelece uma relação entre o fluxo de campo elétrico através de 
uma superfície fechada e as cargas que estão no interior dessa superfície. 
 A lei de Gauss não contém nenhuma informação que não esteja contida na lei de 
Coulomb e no princípio da superposição. Inclusive, é possível obter a lei de Coulomb 
a partir da lei de Gauss e vice-versa. 
 É fundamental para a lei de Gauss, o fato de que a força elétrica é proporcional ao 
inverso do quadrado da distância. É esse fato que faz com que o fluxo de E não 
dependa da "superfície gaussiana" escolhida e dependa apenas das cargas que estão 
localizadas no interior da superfície. Dessa forma, é possível pensar numa lei de 
Gauss que estabeleça uma relação de fluxo para qualquer campo cuja lei de força 
associada a esse campo seja proporcional ao inverso do quadrado da distância, como 
a força gravitacional, por exemplo, logo existe uma lei de Gauss da gravitação 
 Apesar da lei de Coulomb nos fornecer o necessário para calcular o campo elétrico 
de uma distribuição de cargas, muitas vezes, as integrais que envolvem o cálculo do 
campo elétrico podem ser complicadas de serem resolvidas, mesmo para casos 
razoavelmente simples. É nesse ponto que reside um dos aspectos de maior eficiência 
da lei de Gauss: o cálculo do campo elétrico em distribuições de carga que possuam 
determinados tipos de simetria torna-se extremamente simples. 
 A lei de Gauss se refere sempre ao fluxo no interior de uma superfície 
gaussiana escolhida. Portanto, para utilizar a lei de Gauss, é necessário definir o que 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fluxo_(f%C3%ADsica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9trico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9trico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Volume
https://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_de_Gauss
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Maxwell
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Maxwell
https://pt.wikipedia.org/wiki/Magnetismo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_da_indu%C3%A7%C3%A3o_de_Faraday
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_da_indu%C3%A7%C3%A3o_de_Faraday
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Amp%C3%A8re-Maxwell
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Alem%C3%A3es
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Astronomia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Terra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Coulomb
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Coulomb
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_el%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_gaussiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_gaussiana
é uma "superfície gaussiana". Esta é, por sua vez, uma superfície arbitrariamente 
escolhida. Normalmente, essa superfície é escolhida de modo que a simetria da 
distribuição de carga permita, ao menos em parte da superfície, um campo elétrico de 
intensidade constante 
 
 A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico resultante Φ de um campo elétrico, através 
de uma superfície fechada, com a carga resultante que é envolvida por essa 
superfície. Em outras palavras, a lei de Gauss relaciona os campos elétricos em 
pontos sobre uma superfície gaussiana (fechada) com a carga resultante envolta por 
essa superfície. Matematicamente, a lei de Gauss é representada pela equação: 
Onde: 
ε0 = constante de permissividade elétrica no vácuo 
Φ = fluxo elétrico resultante 
q = carga elétrica envolvida 
 
 Essa equação é exatamente a equação do campo elétrico, deduzida através da 
equação de Gauss. 
 Vamos supor que temos um conjunto de cargas positivas e negativas, que 
estabelecem um campo elétrico E numa certa região do espaço. Imaginemos uma 
superfície fechada dentro desse espaço, chamada superfície gaussiana, que pode 
envolver ou não alguma das cargas elétricas. A Lei de Gauss, relaciona o fluxo 
total (ΦE) que atravessa essa superfície com a carga total q envolvida por ela, 
provenientes das cargas elétricas. Dessa forma: 
 
ou 
 
Onde: 
ΦE é o fluxo; 
Є0 é a constante de permissividade no vácuo; 
https://www.infoescola.com/fisica/campo-eletrico/
https://www.infoescola.com/fisica/carga-eletrica/
q a carga elétrica. 
 Exemplo 1: A figura abaixo mostra um cilindro hipotético fechado, de raio r, dentro 
de um campo elétrico uniforme E. O eixo do cilindro é paralelo ao campo. Determine 
o valor do fluxo (ΦE) através da superfície gaussiana. 
 
 Solução: O fluxo ΦE é a soma de três termos, três integrais: (a) sobre a base 
esquerda do cilindro, (b) sobre a superfície cilíndrica e (c) sobre a base direita do 
cilindro. Logo: 
 
 O ângulo θ em todos os pontos da base esquerda é 180°, E é constante, e os vetores 
dA são todos paralelos. Portanto, 
 
 Onde A (=πR²) é a área da base esquerda. Do mesmo modo, para a base direita: 
 
 Neste caso o ângulo θ é nulo em todos os pontos. Finalmente, para a superfície 
cilíndrica: 
 
 Porque θ = 90°; donde E.dA = 0 em todos os pontos dessa superfície. Logo o fluxo 
total vale: 
 
 Podemos ver então que a Lei de Gauss estabelece que ΦE é nulo porque a 
superfície não envolve nenhuma carga. 
 A escolha da superfície gaussiana é arbitrária. Usualmente, é escolhida de forma 
que a simetria da distribuição, em pelo menos uma parte da superfície, resulte num 
campo elétrico constante que pode ser explicitado através da formula: 
 
 Nessas condições, a lei de Gauss pode ser utilizada para calcular o campo elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fio Infinito 
 No caso de um fio infinitamente carregado, notamos que as linhas de campo 
apontam para fora do fio, veja Fig.2. A simetria destas linhas é cilíndrica, isto é, E é 
perpendicular ao fio em qualquer ponto. Neste caso somos levados a usar uma 
superfície gaussiana com tal simetria. Isto sugere-nos a usar um cilindro fechado de 
comprimento L como sendo a superfície Gaussiana. 
 
Fig.2 - Superfície gaussiana para um fio infinito 
 Por simetria, como o fio é infinito e uniformemente carregado, o campo elétrico E é 
uniforme e está dirigido para fora do fio. Neste caso não há linhas de campo 
atravessando as paredes superior (S1) e inferior (S2), destaforma a integral de 
superfície de E, calculada sobre toda a superfície gaussiana, reduz-se ao fluxo de E 
na superfície lateral. Usando a lei de Gauss, o campo E pode ser calculado da 
seguinte forma. 
 (11) 
o que é equivalente a 
 (12) 
 Já o fluxo tanto na superfície S1 quanto na superfície S2 são nulos pois elas são 
perpendiculares ao campo elétrico. Isto é,
 (13) 
onde é exatamente a superfície lateral de um cilindro. Logo, da equação 
(11) tiramos que, 
 
 
 
ou 
 
 Podemos observar que, embora toda a carga no fio contribua para o campo e, 
somente a parte envolvida pela superfície gaussiana é utilizada, quando aplicamos a 
lei de Gauss. Esta peculiaridade da lei é, a princípio intrigante; é como se tivéssemos 
obtido, de algum modo, o resultado correto, ignorando uma parte da carga, obtendo o 
campo de um fio curto de comprimento l, como se fosse o mesmo que o de um fio 
longo. A existência de toda a carga do fio foi, no entanto, levada em conta quando 
consideramos a simetria do problema. No caso de um fio curto teríamos que 
considerar que o campo, nas extremidades do fio, fosse diferente do campo no centro 
do mesmo. 
 Em resumo, podemos notar que o campo E devido a um fio infinitamente carregado, 
é diretamente proporcional a densidade linear de carga e inversamente proporcional 
à distância do ponto P ao fio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Plano Infinito 
 Supõe-se um plano infinito com densidade de carga σ e se deseja calcular o campo 
elétrico produzido por esse plano. Apesar de o problema ser bem diferente do 
apresentado na figura 5, visto que, no problema em questão, está-se estudando um 
plano infinito e não o campo no interior de um capacitor, é interessante utilizar uma 
superfície gaussiana de mesma forma que a superfície retratada na placa de baixo do 
capacitor. Utilizando, portanto, a superfície de um paralelepípedo cortando o plano 
infinito como superfície S, tem-se: 
 
 Por simetria, o campo elétrico deve apontar para "fora" do plano, isto é, ele aponta 
na direção para pontos acima do plano e na direção - para pontos abaixo do plano. 
Dessa forma, as únicas superfícies superior e inferior da superfície do paralelepípedo 
é que serão "furadas" pelo campo elétrico, por isso: 
 
onde A é a área da superfície superior e inferior da superfície do paralelepípedo. Sabe-
se, também, que: σ = qint/A, logo: qint = σA, portanto: 
 
Ou 
 
onde é um vetor unitário que aponta para fora da superfície do plano. 
 
 
 
Esfera Metálica 
Para uma esfera de raio R, como mostrada na figura, com carga Q uniformemente 
distribuída pela esfera, tem-se: 
 
Figura: Duas superfícies gaussianas esféricas em torno de uma esfera uniformemente carregada de 
raio R. A superfície gaussiana externa à esfera de raio R possui raio r' e a superfície gaussiana interna 
à esfera possui raio r. 
No exterior da esfera 
Para se obter o campo no exterior da esfera, escolhe-se, como superfície gaussiana, 
a superfície esférica de raio r', situada no exterior da esfera de raio R, como mostra a 
figura 4. Pode-se imaginar que, muito longe da esfera, o campo elétrico que se sente 
é como o campo de uma carga puntiforme. Além disso, devido à simetria esférica, o 
campo elétrico deve apontar na direção radial. Dessa forma, aplicando a lei de Gauss: 
 
O campo deve apontar na direção radial e, portanto, E e dA possuem a mesma direção e sentido 
e, por isso, segue que: E . dA = E dA. Logo: 
 
O módulo do campo elétrico na superfície gaussiana é constante, visto que, nesse caso, o campo 
deve depender da distância em relação à esfera e, portanto, E pode sair da Integral. 
 
Logo: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:GaussSphere.svg
 
No interior da esfera 
Para como o campo elétrico varia no interior da esfera, deve-se tomar como superfície 
Gaussiana a superfície esférica de raio r no interior da esfera de raio R, como mostra 
a figura 4. Nesse caso, como a carga está uniformemente distribuída pela esfera, a 
densidade volumétrica de carga, ρ, é a mesma em todos os pontos da esfera então 
pode-se observar que: 
 
onde Vg é o volume da superfície gaussiana escolhida. 
Dessa forma: 
 
Os mesmos argumentos dados anteriormente para que o produto escalar E . dA seja 
E dA e para que E saia da integral continuam sendo válidos, logo: 
 
Logo: 
 
Portanto, no caso de uma esfera uniformemente carregada: 
 
O Campo Elétrico em Materiais Isolantes 
Analisaremos, nesta seção, o comportamento do campo elétrico produzido por um 
material isolante uniformemente carregado, com carga total Q, como mostra figura. 
 
Campo elétrico devido a um isolante carregado uniformemente 
 Como uma esfera sólida uniformemente carregada pode ser dividida em uma série 
de cascas esféricas concêntricas, a equação (1) permanece válida para o campo 
externo. Isto pode ser justificado, usando a lei de Gauss para calcular E, como a 
seguir; 
 Campo elétrico no exterior do isolante; 
 Usaremos aqui, também a lei de Gauss, 
 
Tomemos uma superfície gaussiana esférica, com raio r > R. Assim, 
 ® (5) 
onde Q é a carga total no isolante. 
Campo elétrico no interior do isolante; 
 Nosso próximo passo é calcular o campo elétrico no interior da esfera isolante e 
uniformemente carregada. Para isto, tomemos uma superfície gaussiana esférica, 
passando por um ponto P, no interior do isolante, como mostra a figura. Esta superfície 
encerra um volume igual a 4p r3/3. Como a carga está distribuída uniformemente sobre 
o condutor, a densidade volumétrica de carga (r) deve ser constante. Isto significa que 
a seguinte relação é válida; 
 ® (6) 
onde q é a carga interna a superfície gaussiana de raio r, no interior do isolante. Dessa 
forma a lei de Gauss, quando aplicada no interior do isolante, fornece-nos o seguinte; 
 
ou 
 ® (7) 
 Isto significa que o campo elétrico, no interior do isolante esférico, cresce 
proporcionalmente à distância r. 
 
 
Conclusão: 
 A lei de Gauss é bem viável para algumas situações mais complexas dos cálculos 
de eletrização, trazendo mais certeza no cálculo com isso e possível verificar a 
aplicação encima da lei de Coulomb pois e necessário o uso em alguns casos mais 
específicos. 
 Com tudo foi demosntrando em quais casos e necessário a utilização dessas 
fórmulas e suas aplicações para a física no seu uso de campo elétrico e importante 
ressaltar as condições para esse uso pois e possível verifcar o comportamento das 
eletrizações em diferentes situações, foi mostrado sua importância para o campo 
elétrico. 
 
Referências Bibliográficas: 
 
https://www.infoescola.com/eletromagnetismo/lei-de-gauss/ 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Gauss 
 
https://def.fe.up.pt/eletromagnetismo/campo_eletrico.html 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/lei-
gauss.htm?aff_source=56d95533a8284936a374e3a6da3d7996 
https://www.infoescola.com/eletromagnetismo/lei-de-gauss/
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Gauss
https://def.fe.up.pt/eletromagnetismo/campo_eletrico.html
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/lei-gauss.htm?aff_source=56d95533a8284936a374e3a6da3d7996
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/lei-gauss.htm?aff_source=56d95533a8284936a374e3a6da3d7996