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km/h ele leva 15 minutos, ao aumentar a velocidade para 90 km/h (o carro vai mais 
rápido), logo, o tempo gasto será menor. Sendo assim, uma grandeza aumentou 
e a outra diminuiu.
Portanto, por se tratar de uma regra de três simples inversa, precisamos 
inverter uma das grandezas:
TÓPICO 1 | RAZÃO E PROPORÇÃO
13
60 15 60 x 90 x 90 15 
Após inverter uma das grandezas, realizamos a multiplicação em cruz:
60 x
90 15
90*x = 60 * 15
90x = 900
900
90
x =
x = 10 minutos
Portanto, serão necessários 10 minutos para o veículo realizar o percurso 
a 90 km/h.
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada quando conhecemos três ou 
mais grandezas direta ou inversamente proporcionais na busca de um valor 
desconhecido.
Acompanhe o exemplo: 
Numa gráfica existem três impressoras off set que funcionam 
ininterruptamente, 10 horas por dia, durante quatro dias, imprimindo 
240.000 folhas. Tendo-se quebrado uma das impressoras e 
necessitando-se imprimir, em seis dias, 480.000 folhas, quantas horas 
por dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas 
restantes? Disponível em: <http://docplayer.com.br/5461947-Processo-
seletivo-associacao-arco-iris-de-assistencia-social-de-florida-paulista-
sp.html>. Acesso em: 11 fev. 2016.
Como primeiro passo é necessário montarmos uma tabela com os dados 
do problema, agrupando cada dado com sua respectiva grandeza.
Impressora Horas por dia Número de dias Quantidade de Folhas
3 10 4 240.000
2 x 6 480.000
Ao analisar a tabela é possível notar que se trata de uma regra de três 
composta, pois há mais de três grandezas conhecidas. Assim, vamos comparar 
cada grandeza com a coluna onde encontramos o termo “x”, que nesse exemplo 
refere-se ao número de horas por dia. Desta forma, para resolver uma regra de 
UNIDADE 1 | CONCEITOS INICIAIS
14
três composta você deve reduzir em várias regras de três simples, ou seja, reduzir 
ao número de regras de três simples necessárias.
Neste caso, vamos utilizar flechas para facilitar nossa comparação. 
Vamos comparar a coluna da Impressora com as Horas por dia. Ao 
realizar essa comparação, se diminuirmos o número de impressoras, esta empresa 
precisará de mais horas por dia de trabalho, logo:
Impressora Horas por dia
3 10
2 x
Realizada esta primeira análise, vamos verificar a coluna Dias com a 
Horas por dia. Se trabalhar quatro dias para completar um determinado serviço 
é necessário trabalhar 10 horas por dia, caso trabalhe seis dias para completar 
o mesmo serviço será necessário trabalhar mais horas ou menos horas por dia? 
Logicamente, será necessário trabalhar menos horas, portanto, colocamos uma 
flecha inversa na coluna Dias e mantemos a mesma na coluna Horas por dia. 
Dias Horas por dia
4 10
6 x
Finalmente, vamos realizar a comparação entre a Quantidade de Folhas 
e as Horas por dia. Logo, comparando isoladamente essas duas variáveis, se 
aumentar a quantidade de folhas será necessário trabalhar mais horas por dia, 
logo, ambos são diretamente proporcionais.
Quantidade de 
Folhas
Horas por dia
240.000 10
480.000 x
Realizando a junção das análises vamos obter:
TÓPICO 1 | RAZÃO E PROPORÇÃO
15
Impressora Horas por dia Número de dias
Quantidade de 
Folhas
3 10 4 240.000
2 x 6 480.000
Ao analisar o sentido das setas, quando a seta estiver para baixo indica que 
ela é inversamente proporcional, sendo necessário inverter os valores, e quando 
a seta estiver para cima, permanece da maneira em que se encontra, portanto, 
realizando esse procedimento vamos obter:
Impressora Horas por dia Número de dias
Quantidade de 
Folhas
2 10 6 240.000
3 x 4 480.000
Horas por dia Impressora Número de dias
Quantidade de 
Folhas
10 2 6 240.000
x 3 4 480.000
Após realizar as comparações, isolamos a grandeza que possui o valor 
desconhecido (incógnita), em seguida igualamos com os demais e realizamos a 
multiplicação em cruz entre a primeira e a segunda coluna e multiplicamos com 
as demais, conforme esquema abaixo:
Logo, nossa equação será:
10 2 6 240000* *
3 4 480000x
=
10 2880000
5760000
2880000 57600000
57600000
2880000
20
x
x
x
x
=
=
=
=
UNIDADE 1 | CONCEITOS INICIAIS
16
Portanto, nessa situação as máquinas devem trabalhar 20 horas por dia 
para produzir 480.000 folhas no período de seis dias.
3 PORCENTAGEM
A porcentagem é utilizada em diversas áreas do conhecimento e em 
diversos momentos do nosso cotidiano. É comum observar a porcentagem no 
mercado financeiro, quando obtemos um desconto, calculamos o lucro de uma 
empresa, ou até mesmo na venda de um produto; ela também está presente nos 
empréstimos e aplicações, medindo a taxa de juros. Na Engenharia, por sua vez, 
a porcentagem pode ser utilizada para verificar o quanto foi construído de uma 
obra; na administração ou contabilidade, entre uma infinidade de situações, pode 
medir as quotas de participação dos sócios de uma empresa; em informática, por 
exemplo, o quanto de ocupação possui um HD, entre outras possibilidades.
Ao tratar de porcentagem estamos relacionando dados com referência a 
100. Quando referimos cinco por cento (5%), significa que estamos relacionando 
a quantidade cinco com 100, ou seja, a cada 100 unidades estamos tratando de 
cinco, podendo variar para aumentar ou diminuir. 
Quando falamos que o salário aumentará 7% (sete por cento) significa 
que a cada R$ 100,00 (cem reais) o salário irá aumentar R$ 7,00 (sete reais). Para 
descobrir a porcentagem, geralmente utilizamos a regra de três.
Exemplo 1: O piso salarial dos analistas de sistema é de R$ 2.130,00 e em 
setembro de 2016 ganharão um aumento de 8,65%, qual o valor que a categoria 
ganhará de aumento?
Resposta: Montamos, então, nossa regra de três, onde o piso salarial 
refere-se ao nosso 100%.
Salário Porcentagem
2.130,00 100%
x 8,65%
100 * x = 2.130,00 * 8,65
100x = 18.424,50
x = 
x = 184,24 
Logo, o valor de aumento que essa categoria irá ganhar é de R$ 184,24.
18.424,50
100
TÓPICO 1 | RAZÃO E PROPORÇÃO
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Exemplo 2: Um cliente, ao atrasar um determinado título no valor de R$ 
2.500,00, pagou a quantia de R$ 2.550,00, qual o percentual de juros cobrados por 
esse atraso?
NOTA
Você pode perceber que temos apenas dois valores no exemplo 2, porém 
estamos tratando de porcentagem, então um dos valores será nosso 100%, o valor que será 
o 100% é o valor original do título, que nesse caso é R$ 2.500,00.
Título Porcentagem
2.500,00 100%
2.500,00 x
2.500,00 * x = 2.550,00 * 100
2.500,00x = 255.000
x =
x = 102%
Chegamos ao resultado de 102%, porém, esse resultado não quer dizer 
que o título aumentou 102%, precisamos ainda retirar o valor original do título 
(nesse caso o 100%), então:
102% - 100% = 2% 
Logo, os juros cobrados pelo atraso do título são de 2%.
255.000
2500
IMPORTANT
E
Lembre-se, esse é apenas um caminho para resolver esse tipo de problema, 
você pode utilizar outros conceitos matemáticos para chegar ao mesmo resultado.
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que: 
• As grandezas podem ser classificadas em diretamente proporcional e 
inversamente proporcional.
• Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando o 
aumento de uma grandeza implica no aumento da outra grandeza.
• As grandezas inversamente proporcionais são aquelas onde ocorrem operações 
inversas.
• A Regra de três simples possibilita encontrar um valor desconhecido em um 
problema.
• A porcentagem relaciona dados com referência a 100.
19
1 Na gráfica XYZ, uma máquina realizou a impressão de 8.520 unidades de 
um determinado formulário em 1/3 de tempo. Quantas unidades desse 
mesmo formulário seriam impressas neste mesmo tempo por