PO - Resumo das aulas

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Resumo – PO (Pesquisa Operacional) 
Aula 1. 
Tema 01 – Histórico e conceitos da Pesquisa Operacional 
PO = ‘’ É o estudo e desenvolvimento de métodos analiticos e complicados, usa-se bastante 
matematica, precisa fazer um estudo profundo de um problema. ‘’ 
As aplicações da PO podem ser em áreas como: Energia; Prospecção e exploração de petróleo; 
Gerência de operações; Logística; Finanças; Marketing; Planejamento e gestão de sistemas de 
serviços; Segurança da informação; Administração industrial; Gestão da qualidade e análise 
locacional. 
 
Entre as características da PO, estão o uso de métodos matemáticos e equipes 
multidisciplinares, o emprego de modelos etc. 
 
. Modelagem - Criar um modelo personalizado. 
desvantagem: Ira gastar dinheiro criando 
vantagem: Algo único, difícil de alguém copiar 
 
Tema 02 – Fases de estudo de Pesquisa Operacional 
 “fases de estudo de pesquisa operacional”, 
- Estudo do problema; Levantamento e tratamento de dados; Definição da metodologia a ser 
empregada; Análise dos resultados obtidos. 
Se essas fases forem executadas, a solução do problema de PO será mais bem desenvolvida. 
 
Tema 03 – Modelo 
 
‘’O objetivo do modelo em PO é basicamente representar um fenômeno físico, uma realidade 
existente. Se o modelo for simplificado em demasia, pode não representar a realidade; se for 
complexo em demasia, pode não ser exequível.’’ 
 
Modelo - Sistema pronto 
. Modelo - Ser imitado (Está pronto, vou copiar) - Usa-se para situações de baixa 
complexidade. 
 
 
 
TIPOS DE MODELOS: 
•Modelos conceituais: relacionam de maneira sequencial e lógica as interações e as atividades 
existentes no processo em estudo, de modo a possibilitar o estudo do processo e alcançar os 
objetivos definidos. É o tipo de modelo recomendado para as etapas iniciais do processo de 
modelagem. 
• Modelos físicos: são modelos reduzidos em escala, tais como modelos de aeronaves, 
maquetes de edificações etc. Não são empregados em PO. 
• Modelos heurísticos: são construídos quando a complexidade do problema é de tal ordem 
que a utilização de relações matemáticas é inviável ou extremamente dispendiosa. Esses 
modelos baseiam-se em regras empíricas ou intuitivas que, após se obter uma solução para o 
problema, permitem avançar para uma solução mais aprimorada. 
• Modelos matemáticos: necessitam que as informações e as variáveis relevantes do problema 
sejam quantificáveis. Consequentemente, as grandezas são representadas por variáveis de 
decisão, e se usam expressões/funções matemáticas para descrever as relações entre elas e a 
operação do sistema. 
• Modelos simbólicos, diagramáticos ou icônicos: usam símbolos gráficos para representar um 
sistema de maneira estática (o seu comportamento no tempo não é considerado), por 
exemplo: fluxograma de processo, mapas rodoviários, estações de metrô, estações de ônibus, 
organograma organizacional de empresa e outros. As suas limitações são não apresentar 
elementos quantitativos e não permitir apresentar muitos detalhes. O seu uso é mais 
adequado para documentar projetos e servir ferramenta de comunicação (visual). A priori, não 
são empregados em PO. 
 
Tema 04 – Modelagem 
 
‘’A modelagem está relacionada à criação de modelos específicos, os quais são destinados a 
solucionar problemas complexos. O processo de modelagem proporciona diversas vantagens, 
entre as quais, a necessidade de os gestores explicitarem seus objetivos. Na bibliografia de PO, 
é possível encontrar diversas metodologias de modelagem. Consequentemente, faz-se 
necessário conhecê-las.’’ 
 
Modelagem - Algo que temos que criar 
“modelagem” possui algumas desvantagens, como o fato de requerer tempo para o 
desenvolvimento do modelo (prazos maiores), possuir maior custo em relação ao emprego de 
“modelo” etc 
vantagem: Algo único, difícil de alguém copiar 
 
Tema 05 – Programação Linear 
A Programação Linear (PL) foi desenvolvida conceitualmente após a Segunda Guerra Mundial 
para resolver problemas de logística militar. O marco de sua evolução foi o desenvolvimento 
do “método simplex” por Dantzig. O emprego do “método simplex” na economia 
proporcionou um prêmio Nobel ao russo Kantorovich. A PL pode ser empregada na logística, 
na designação de equipes, em problemas de mistura etc. 
Basicamente a PL consiste em um modelo matemático que emprega somente funções lineares 
e tem uma “forma–padrão”, na qual estão designadas a função objetivo e as restrições, sendo 
estas últimas inequações. O objetivo da PL é otimizar o emprego de recursos escassos. 
Obs. Linear = Traço continuo, reto 
 
Programação linear: de forma objetiva, Hillier e Lieberman (2010) informam que, para 
descrever um problema, a programação linear faz uso de um modelo matemático e que “o 
adjetivo linear significa que todas as funções matemáticas nesse modelo são necessariamente 
funções lineares”. De forma semelhante, Lachtermacher (2009) registra que a programação 
linear é um ramo da programação matemática em que a função-objetivo e as restrições são 
representadas por funções lineares. A programação linear é um algoritmo que pode ser usado 
para solucionar problemas diários das empresas, pois estas se deparam rotineiramente com a 
escassez de produtos ou matérias-primas e, consequentemente, precisam determinar o 
melhor emprego (solução ótima) daqueles recursos escassos. A solução obtida pela 
programação linear é chamada de solução ótima (a melhor solução entre soluções possíveis), 
de acordo com o modelo matemático, pois determinará o emprego dos recursos escassos da 
forma mais eficiente e eficaz. 
Aplicações e objetivos: a programação linear pode ser aplicada em diversas áreas, como 
(Lachtermacher,2009; Andrade, 2009): 
• Na administração/problemas de produção 
• Na análise de investimentos • Na alocação de recursos limitados 17 
• No planejamento regional 
• Na logística 
• No custo/organização de transportes 
• Na localização da rede de distribuição 
• Na designação de equipes 
Em problemas de mistura de componentes Ao se fazer uso do algoritmo da programação 
linear, busca-se responder questões do tipo (Andrade, 2009): 
• Considerando as presentes condições de produção, ou seja, o cenário real, quais produtos e 
que quantidade, entre vários, devem ser produzidos para se obter o maior lucro possível? 
• Para atender determinadas especificações (restrições; limitações), qual é a composição da 
mistura (por exemplo: do alimento; da ração; da tinta...) que corresponde ao custo mínimo? 
• Definidas as localizações da produção, dos fornecedores e dos pontos de consumo, como 
estabelecer os circuitos de distribuição de modo a minimizar o custo total? Ou minimizar o 
tempo total? 
• Definidas as condições de trabalho, como designar o contingente de mão de obra entre as 
diferentes tarefas e especialidades, com o objetivo de minimizar as despesas ou maximizar a 
eficiência? 
• Definidas as condições de trabalho, como designar os equipamentos para atividades de 
forma a minimizar o tempo de operação ou minimizar as despesas? 
 • Conhecido o valor nutricional dos alimentos que compõem uma ração, qual quantidade de 
cada um deve ser usada a fim de satisfazer condições nutricionais mínimas e dar ao animal o 
crescimento desejado ao custo mínimo? 
• Considerando determinadas condições de produção, quais insumos são plenamente usados? 
Quais insumos possuem estoque/disponibilidade para uso? 
Forma-padrão: diz-se que um problema de programação linear está na forma padrão se a 
formulação matemática está no seguinte modelo: 
 
Maximizar 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛, 
 
sujeito às restrições 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏1 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏2 
.................................................. 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚 
 e 
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, ..., 𝑥𝑛 ≥ 0 
 
A terminologia comumpara o modelo de programação linear é (Hillier; Lieberman, 2010): 
• Função objetivo: é a função 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 que está sendo maximizada. 
• Restrições: são as limitações do tipo 𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑖𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑖 , com (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚). 
• Restrições de não negatividade (ou condições não negativas): 𝑥𝑗 ≥ 0, com (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛). 
• Constantes numéricas (números): 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖 e 𝑐𝑗 . 
• Variáveis de decisão: são as variáveis independentes 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, que se deseja conhecer; 
𝑍 é a variável dependente 
 
Prosseguindo, Hillier e Lieberman (2010) apresentam de forma didática outras formas 
legítimas que podem fazer parte de problemas de programação linear. São as seguintes: 1. 
Minimizar em vez de maximizar a função objetivo: Minimizar 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛. 2. 
Algumas restrições com desigualdades do tipo maior do que ou igual a: 𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 + ⋯ + 
𝑐𝑖𝑛 𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑖 , para alguns valores de i, com (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚). 3. Algumas restrições na forma de 
equação: 
𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑖𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑖 , para alguns valores de i, com (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚). 
 
4. Eliminar as restrições não negativas para algumas das variáveis de decisão: 𝑥𝑗 irrestrita em 
sinal para alguns valores de j, com (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛). Os autores destacam que qualquer 
problema que misture algumas dessas outras formas legítimas com as partes remanescentes 
do modelo na forma padrão ainda será um problema de programação linear. Entretanto, em 
razão dos objetivos da disciplina, os problemas a serem resolvidos serão os mais simples e 
didáticos possíveis. Hipóteses: a resolução de problemas de programação linear é referenciada 
nas seguintes hipóteses (Lachtermacher, 2007; Hillier; Lieberman, 2010): 
• Proporcionalidade: o valor da função objetivo é diretamente proporcional ao nível de 
atividade de cada variável de decisão. Essa hipótese descarta qualquer expoente que não seja 
1 para qualquer variável em qualquer termo de qualquer função (seja a função objetivo ou a 
função que se encontra do lado esquerdo na declaração de uma restrição). 
 • Aditividade: as variáveis de decisão são entidades totalmente independentes, não pode 
haver interdependência entre elas, isto é, não pode haver termos cruzados (termos que 
envolvem o produto de duas ou mais variáveis), tanto na função objetivo como nas restrições. 
Toda função em um modelo de programação linear (seja a função objetivo ou a função que se 
encontra do lado esquerdo na declaração de uma restrição), é a soma das contribuições 
individuais das respectivas atividades. 
• Divisibilidade: qualquer variável de decisão pode assumir quaisquer valores, inclusive valores 
fracionários. 
• Certeza: pressuposto que todos os parâmetros do modelo (as constantes aij, bi e cj ) são 
constantes conhecidas. Em aplicações reais, a hipótese da certeza raramente é satisfeita de 
forma precisa. Como haverá sempre um nível de incerteza, é importante realizar a análise de 
sensibilidade após uma solução ter sido classificada como ótima segundo os valores de 
parâmetros assumidos. 
 
 
 
Aula 2. 
 
Tema 01 – Modelagem em Programação Linear 
 
Problema de maximização. Para iniciar o estudo de problemas de PL, escolhemos um exemplo 
simples, que permitirá visualizar a construção do modelo de PL na forma-padrão, mas nem 
sempre os problemas são apresentados de forma estruturada como o proposto por Corrar, 
Theóphilo e Bergmann (2007) a seguir. 
 
A indústria Maximóveis fabrica dois tipos de produtos: cadeiras e mesas. Os produtos 
apresentam as margens de contribuição por unidade conforme a Tabela 
 
Os produtos são processados por dois departamentos: montagem e acabamento. Ao passar 
por esses departamentos, cada unidade do produto consome determinado número de horas, 
conforme indicado na Tabela 
 
Os departamentos apresentam, contudo, limitação em sua capacidade produtiva, como 
mostra a Tabela 
 
 
Deseja-se saber qual é a melhor combinação possível de cadeiras e mesas a serem produzidas, 
de forma a obter a maior margem de contribuição total. 
 
Solução proposta: Antes de resolver o problema de programação linear, é necessário elaborar 
a formulação matemática para obter forma-padrão, conforme descrito a seguir. 
a. Identificar as variáveis de decisão (𝑥1, 𝑥2): as variáveis de decisão são as quantidades que 
se deseja conhecer. De uma forma irreverente, para identificar as variáveis de decisão, às 
vezes basta fazer a pergunta: “show me the money?”. No problema em estudo, o que está 
associado ao dinheiro? Quais itens aumentam a margem de contribuição? Cadeiras e mesas. 
Portanto, temos 𝑥1: cadeiras; e 𝑥2: mesas. A unidade de medida para expressar a quantidade 
de cadeiras e de mesas é “unidade” (o uso de 𝑥1 e de 𝑥2 para designar cadeiras ou mesas é 
indiferente). 
b. Definir a função objetivo: a função objetivo 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 será então, 
Maximizar 𝑍 = 10𝑥1 + 8𝑥2. Verifique que cada unidade de cadeira participa com $10 e cada 
unidade de mesa participa com $8 para a margem de contribuição da empresa. Assim, se 
soubermos qual é a combinação ótima de quantidade de cadeiras e de quantidade de mesas a 
serem produzidas e vendidas, conheceremos a maior margem de contribuição total. Por isso, o 
presente problema de PL é de maximização. 
c. Expressar matematicamente as restrições existentes: a partir das Tabelas 2.2 e 2.3, verifica-
se que a produção de cadeiras e mesas depende dos departamentos de montagem e de 
acabamento. Tais departamentos produzem um ou outro produto, ou seja, cadeiras e mesas 
competem pela disponibilidade de tempo nestes departamentos, os quais possuem uma 
capacidade máxima disponível. Então, a função matemática que expressa a restrição do 
departamento de montagem é 3𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 30, e a que expressa a restrição do departamento 
de acabamento é 6𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 48. Observe que as constantes 𝑏𝑖 são positivas. 
d. Obter a forma-padrão: conforme apresentado anteriormente, é possível imaginar o uso de 
uma tabela esquemática, dado a sua praticidade para estruturar o problema de PL na forma-
padrão. Espera-se que, com o tempo, a tabela seja dispensável, por se saber como compor o 
problema de PL na forma-padrão. Assim, a tabela teria o seguinte formato: 
 
O problema apresentado acima possui a formulação matemática, na forma-padrão, para ser 
empregado no algoritmo da PL na seguinte forma: Maximizar 𝑍 = 10𝑥1 + 8𝑥2, 
sujeito às restrições : 
Montagem 3𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 30 
Acabamento 6𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 48 
e 
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 
 
sendo, 𝑥1: cadeiras (un.), e 𝑥2: mesas (un.). 
 
 
 
TEMA 2 – VARIÁVEIS DE DECISÃO E RESTRIÇÃO NO PLANO CARTESIANO 
 
O plano cartesiano. Para melhor compreensão do Tema 3, é necessário relembrar conceitos 
básicos de matemática. O sistema de coordenadas cartesianas (plano cartesiano) é usado para 
fazer a localização gráfica de pares de números reais e tem por base duas retas 
perpendiculares. O eixo horizontal é denominado eixo dos “x”, e o eixo vertical é denominado 
o eixo dos “y”. Para locar um ponto P, um ponto qualquer, no plano cartesiano é usado um par 
ordenado (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), onde 𝑥𝑝 determina a posição de P no eixo x, e 𝑦𝑝 determina a posição de 
P no eixo de y. 
O primeiro termo do par ordenado, denominado de abscissa, é sempre usado no eixo 
horizontal – eixo dos x –, e o segundo termo do par ordenado, denominado ordenada, é 
sempre usado no eixo vertical – eixo dos y. Também é possível locar uma reta no plano 
cartesiano a partir de uma relação entre y e x. 
Veja os exemplos na Figura 1 de locação de ponto e de reta: o ponto P (3, 5) locado no plano 
cartesiano, possui 𝑥𝑝 igual a 3 e 𝑦𝑝 igual a 5; a reta 𝑦 + 2𝑥 = 4, com 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0 pode ser 
locada a partir dos pontos (0, 4) e (2, 0). Para obter tais pontos pertencentes à referida reta, 
basta fazer 𝑥 = 0 na reta, para obter 𝑦 = 4 e,em seguida, fazer 𝑦 = 0 na reta, para obter 𝑥 = 2. 
 
As variáveis de decisão e restrições no plano cartesiano: o uso do plano cartesiano na 
construção de solução gráfica de um problema de PL permitirá a visualização e a compreensão 
do significado de restrições. 
De forma indiferente, podemos designar tanto o eixo 𝑥 como eixo 𝑥1 e o eixo 𝑦 como eixo 𝑥2; 
como, o eixo 𝑥 como eixo 𝑥2 e o eixo 𝑦 como eixo 𝑥1. O resultado final será o mesmo. No 
entanto, a fim de evitar confusão, adotaremos a opção de designar o eixo 𝑥 como eixo 𝑥1 e o 
eixo 𝑦 como eixo 𝑥2. Na Figura 2 há diferentes exemplos de locação de retas de provenientes 
das equações de restrições. No momento, vamos nos ater apenas à locação. Assim, sejam as 
seguintes equações a serem plotadas no plano cartesiano: 
a. 2,5 𝑥1 + 4 𝑥2 = 10 
b. 3𝑥1 + 2 𝑥2 = 9 
c. 𝑥2 = 3 
d. 𝑥1 = 4,5 
A equação c. é uma reta horizontal, com valor da ordenada constante e igual a 3 
A equação d. é uma reta vertical, com valor da abscissa constante e igual a 4,5. 
 
TEMA 3 – SOLUÇÃO GRÁFICA 
Solução gráfica: a solução gráfica permite apresentar no máximo três variáveis de decisão, 
porém sua montagem é bastante trabalhosa Vale lembrar o que foi comentado anteriormente, 
de que dificilmente haverá um problema de programação linear com apenas duas variáveis de 
decisão no “mundo real”. Na elaboração da solução gráfica, apenas a parte (quadrante) do 
plano cartesiano que possui abscissa e ordenada “positivas” será usada. Isso se deve ao fato 
de que as variáveis de decisão deverão ser sempre maiores ou iguais a zero (𝑥1 ≥ 0 e 𝑥2 ≥ 0). 
Um roteiro simples para elaborar a solução gráfica é o seguinte: 
a. Traçar as retas originárias das inequações que definem as restrições; 
b. Determinar os pontos de interseção entre as retas (esta etapa pode ser executada após a 
letra c., para se calcular apenas os pontos de interesse); 
c. Identificar a área que as inequações definem como verdade (área comum às inequações): a 
área determina todos os pontos que atendem as inequações; e 
d. De forma pragmática, testar as possíveis soluções (vértices) para encontrar o valor da 
função objetivo. 
Solução gráfica do exemplo 1. A forma-padrão do problema do exemplo 1 é a seguinte: 
Maximizar 𝑍 = 10𝑥1 + 8𝑥2, 
sujeito às restrições 
Montagem 3𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 30 
Acabamento 6𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 48 e 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 
sendo, 
𝑥1: cadeiras (un.), e 𝑥2: mesas (un.) 
 
 
 
Portanto, a área que atende as duas inequações é apresentada na Figura 3b. A área hachurada 
(preenchida) é a que atende simultaneamente as duas inequações, e nela estão localizadas 
todas as soluções possíveis. d. De forma pragmática, testar as possíveis soluções (vértices) para 
encontrar o valor da função objetivo. O que se deseja saber é: qual é a melhor combinação 
possível de cadeiras e mesas a serem produzidas, de forma a obter a maior margem de 
contribuição total. Para isso, a função objetivo é maximizar 𝑍 = 10𝑥1 + 8𝑥2, 
consequentemente a solução estará nos pontos mais distantes da origem (0, 0), porque se 
deseja a maior contribuição. Os pontos mais afastados são: 
(0, 10): 𝑍 = 10(0) + 8(10) = 80 
(6, 4): 𝑍 = 10(6) + 8(4) = 92 
(8, 0): 𝑍 = 10(8) + 8(0) = 80 e. 
Solução: para se obter a maior contribuição, deve-se produzir 6 cadeiras e 4 mesas. A maior 
contribuição será $92,00. 
 
TEMA 4 – TERMINOLOGIA PARA SOLUÇÕES: SOLUÇÕES INEXISTENTES, ILIMITADAS E 
MÚLTIPLAS 
Terminologia: para tratar de tipos de soluções para modelos de programação linear, usa-se a 
seguinte terminologia (Lachtermacher, 2007; Hillier, Lieberman, 2010): 
• Solução: qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão, independentemente 
de ser desejável ou mesmo ser uma opção admissível. 
• Solução viável: é aquela para a qual todas as restrições são satisfeitas. Por exemplo, na 
Figura 5, verifica-se que P1 e P2 são soluções viáveis. 
• Solução inexistente: existe a possibilidade de que o problema de programação linear não 
possua solução viável, ou seja, não existe solução para o problema. Tal situação é apresentada 
na Figura 6. 
• Solução inviável: é aquela para a qual pelo menos uma das restrições é violada. Por exemplo, 
na Figura 5, verifica-se que P3 não atende a restrição 𝒙𝟏 ≤ 𝟒, e P4 não atende a restrição 𝟔𝒙𝟏 
+ 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟒𝟖. 
• Região de soluções viáveis: é o conjunto de todas as soluções viáveis 
 
 
 
 
 
 
• Solução ótima: uma solução viável que tem o valor mais favorável da função objetivo, isto é, 
maximiza (maior valor) ou minimiza (menor valo) a função objetivo em toda a região viável, 
podendo ser única ou não. 
• Soluções ótimas múltiplas: é a situação em que há um número infinito de soluções ótimas, 
cada uma com o mesmo valor ótimo da função objetivo. 
 
TEMA 5 – A PRODUÇÃO DE BEBIDA NA LE PETIT PAIN: UM PROBLEMA DE MISTURA 
Problemas de mistura são relativamente frequentes em Programação Linear. Seu objetivo é 
encontrar a melhor mistura de ingredientes nos produtos finais para atender a determinadas 
especificações, e pode ainda visar tanto a maximizar como minimizar. 
A padaria Le Petit Pain deseja lançar uma nova bebida para seus frequentadores, em especial 
aos moradores do bairro, geralmente pessoas com mais de 60 anos. A nova bebida é 
basicamente composta por uma bebida láctea e por um complemento alimentar (farinha) em 
diversos sabores. Sabe-se que os nutrientes da bebida láctea e do complemento alimentar 
fornecem as quantidades de vitaminas dadas na Tabela 2.4. 
 
Deseja-se calcular quais são as quantidades de bebida láctea e de complemento alimentar 
capazes de satisfazer as quantidades diárias mínimas de nutrientes (vitaminas) a um custo 
mínimo. A definição das quantidades determinará a proporção a ser utilizada no preparo da 
bebida. 
Solução: inicialmente será desenvolvida a modelagem do problema a fim de obter a forma-
padrão e, em seguida, será elaborada a solução gráfica do problema. 
1. Modelagem: 
a. Identificar as variáveis de decisão (𝑥1, 𝑥2): a partir do enunciado, pode-se identificar que se 
deseja conhecer as quantidades de bebida láctea e de complemento alimentar. Assim, tem-se 
que: 𝑥1: bebida láctea (l); e 𝑥2: complemento alimentar (kg). 
b. Definir a função objetivo: como se deseja obter um custo mínimo, e a partir dos dados da 
Tabela 2.4 se obtém a seguinte função objetivo, minimizar 𝑍 = 3𝑥1 + 17𝑥2. 
c. Expressar matematicamente as restrições existentes: fazendo uso novamente dos dados 
existentes na Tabela 2.4, é possível elaborar a função matemática que expressa a restrição de 
vitamina A como 0,25𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 1, a restrição de vitamina B como 25𝑥1 + 20𝑥2 ≥ 50 e a 
restrição de vitamina C como 3𝑥1 + 6𝑥2 ≥ 10. 
d. Obter a forma-padrão: a partir dos dados anteriores, é possível montar o seguinte modelo 
matemático para o problema de programação linear: 
Minimizar 𝑍 = 3𝑥1 + 17𝑥2, sujeito às restrições 
 
Foi seguido o seguinte roteiro para obter a solução gráfica da Figura 9: 
a. Traçaram-se as retas originárias das inequações (restrições); 
b. Identificou-se a área que as inequações definem como verdade (área comum às 
inequações); 
c. A partir da definição da área, foram obtidos os pares ordenados dos pontos P1, P2, P3 e P4, 
conforme apresentado a seguir: 26 - P1 (0, 2,5) foi obtido diretamente do gráfico; - P4 (4, 0) foi 
obtido diretamente do gráfico. - P2 (1,11, 1,11) foi obtido a partir da interseção entre as retas: 
 
Por fim, os pontos (vértices) acima foram testados na função objetivo 𝑍 = 3𝑥1 + 17𝑥2. Observe 
que esses pontos foram escolhidos porque estão nas arestas inferiores da região de soluções 
viáveis. Como o problema é de minimização, não há, neste caso, a necessidade da limitação 
superior da região de soluções viáveis. Por isso se avaliam os pontos (vértices) que estão mais 
próximos da origem (0, 0), porque serão os menores valores da funçãoobjetivo, como 
apresentado a seguir: 
- 𝑍(0, 2,5) = 3(0) + 17(2,5) = 42,5 
- 𝑍(1,11, 1,11) = 3(1,11) + 17(1,11) = 22,22 
- 𝑍(3,11, 0,11) = 3(3,11) + 17(0,11) = 11,22 
- 𝑍(4, 0) = 3(4) + 17(0) = 12 
Conclusão: o menor custo será $11,22 (𝑍𝑚𝑖𝑛 = 11,22), a quantidade de leite será de 3,11 litros 
e do suplemento alimentar, de 0,11 quilogramas, para se obter a quantidade diária de 
vitaminas. Como é um produto a ser vendido, outra referência é a proporcionalidade entre 
leite e suplemento alimentar, que é a dosagem de 35,37 gramas do suplemento alimentar para 
cada litro de leite. 
 
 
 
Aula 3. 
Aula 3. 
Tema 01 – Método simplex 
Ideia geral. “O método simplex combina conceitos de álgebra matricial com conjunto de regras 
básicas que conduzem à identificação dos problemas de Programação Linear” (Corrar; 
Theóphilo; Bergmann, 2007). De forma resumida, usando o argumento de Andrade (2009), 
pode-se afirmar que o simplex é um método de resolução de equações lineares. Por outro 
lado, Hillier e Lieberman (2013) informam que “o método simplex é um procedimento 
algébrico. 
Conceitos aplicados: antes de se iniciar o algoritmo do método simplex, é necessário 
transformar as desigualdades lineares das restrições (inequações) em equações lineares. 
 
Recurso Disponibilidade 
Madeira 12 m² 
Mão de obra 8 H.h (homem.hora) 
 
O processo de produção é tal que, para fazer 1 mesa, a fábrica emprega 2 m² de madeira e 2 
H.h de mão de obra, e, para fazer 1 armário, são gastos 3 m² de madeira e 1 H.h de mão de 
obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o 
lucro de $ 4, e cada armário dá uma margem de $ 1. O fabricante deseja encontrar o programa 
de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro. Para o problema 
acima, a forma-padrão e a solução gráfica são as seguintes: 
Maximizar 𝑍 = 4𝑥1 + 1𝑥2, 
 
 
TEMA 2 – O ALGORÍTIMO DO MÉTODO SIMPLEX 
O algoritmo: o método simplex usa uma forma tabular – tableau – a partir de informações 
essenciais, as quais são obtidas da forma-padrão, tais como: coeficientes das variáveis, 
constantes de restrições e variáveis básicas e não básicas (Lachtermacher, 2007). A seguir, é 
apresentado um roteiro do método simplex proposto por Andrade (2009), o qual será usado 
para resolver o problema apresentado no tema anterior. Seja, portanto, a seguinte forma 
padrão: 
 
Maximizar 𝑍 = 4𝑥1 + 1𝑥2, 
sujeito às restrições Madeira 2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12 
 
Mão de obra 2𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 8 
 
e 
 
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 
 
• Passo 1: introduzir as variáveis de folga; uma para cada desigualdade (restrição). A partir da 
forma-padrão, são incluídas as variáveis de folga 𝑥1 e 𝑥2. 
 
Maximizar 𝑍 = 4𝑥1 + 1𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 
 
sujeito a 
 
2𝑥1 + 3𝑥2 + 1𝑥3 = 12 
2𝑥1 + 1𝑥2 + +1𝑥4 = 8 
 
e 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0, 𝑥4 ≥ 0 
 
• Passo 2: montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as variáveis 
com seus respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função objetivo 
transformada. Inicialmente, na forma-padrão, a função objetivo não possui um valor 
(constante) no lado direito da equação, assim deve-se fazer a seguinte modificação para que 
possua uma constante: 𝑍 = 4𝑥1 + 1𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 → 𝑍 − 4𝑥1 − 1𝑥2 − 0𝑥3 − 0𝑥4 = 0 
• Passo 3: estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às variáveis 
originais e achando valores positivos para as variáveis de folga. 
• Passo 4: como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não básica que fornece, 
na última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem o maior 
valor negativo). Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou 
positivos nessa linha, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver coeficiente nulo, 
isso significa que ela pode ser introduzida na base sem aumentar o valor da função objetivo. 
Isso quer dizer que temos outra solução ótima, com o mesmo valor da função objetivo. 
• Passo 5: para escolher a variável que deve deixar a base, deve-se realizar o seguinte 
procedimento: o Dividir os elementos da última coluna (constante) pelos correspondentes 
elementos positivos da coluna da variável (coeficiente) que vai entrar na base. Caso não haja 
elemento algum positivo nessa coluna (coeficiente da variável), o processo deve parar, 10 já 
que a solução seria ilimitada; se o coeficiente da variável for 0 (zero), não realizar a divisão; o 
No caso de haver dois quocientes com o mesmo valor, escolher um deles e continuar as 
operações; o O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser 
anulada, tornando-se variável não básica. 
• Passo 6: empregando operações válidas com as linhas da matriz (quadro), transformar o 
quadro de cálculos de modo a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável 
básica deverá se tornar um vetor identidade, no qual o elemento 1 aparece na linha 
correspondente à variável que está sendo anulada. 
• Passo 7: retornar ao Passo 4 para iniciar outra iteração. Antes de prosseguir para a próxima 
iteração, é recomendável verificar se: o Todas as constantes na coluna de b, referentes às 
restrições, estão positivas. Isto é uma imposição do procedimento do método. Caso haja valor 
negativo, rever as operações realizadas para fazer as devidas correções; e o Há valor negativo 
na linha da função objetivo, na linha de Z. Caso haja, deve-se iniciar uma nova iteração. Caso 
não haja, a solução atual é a solução ótima. 
 
TEMA 3 – A PRODUÇÃO DE PÃES SALGADOS NA LE PETIT PAIN: UM PROBLEMA DE 
MAXIMIZAÇÃO 
 
sendo, 𝑥1: pão salgado ‘tradicional’ (kg), 𝑥2: pão salgado ‘+queijo’ (kg), e 𝑥3: pão salgado 
‘+calabresa’ (kg). Após a obtenção da forma-padrão, deve-se introduzir as variáveis de folga, 
uma para cada restrição 
TEMA 4 – MÉTODO SIMPLEX: INTERPRETAÇÃO DE VALORES DO TABLEAU 
 
Interpretando valores. À medida que se desenvolve o método simplex, é possível identificar 
soluções viáveis em cada tableau obtido ao final de cada iteração. A análise apresentada nos 
parágrafos a seguir pode ser realizada em qualquer tableau, entretanto a mais significativa é a 
realizada nos dados do tableau que possui a solução ótima. 
O tableau com a solução ótima do exemplo apresentado no tema anterior fornece os seguintes 
dados: 𝑥1 = 81,32, 𝑥2 = 221,84, 𝑥3 = 0, 𝑥4 = 18,73 , 𝑥5 = 0 e 𝑥6 = 0, onde as variáveis básicas 
possuem valores diferentes de 0, e as variáveis não básicas são nulas. Destes valores, podemos 
avaliar o seguinte: - 𝑥1 = 81,32: é uma variável de decisão, refere-se à produção em 
quilogramas do pão salgado “tradicional”. Indica que a sua produção deve ser de 81,32 kg; - 𝑥2 
= 221,84: é uma variável de decisão, refere-se à produção em quilogramas do pão salgado 
“+queijo”. Indica que a sua produção deve ser de 221,84 kg; - 𝑥3 = 0: é uma variável de 
decisão, refere-se à produção em quilogramas do pão salgado “+calabresa”. Indica que não 
deverá ser produzido; - 𝑥4 = 18,73: é uma variável de folga referente ao uso do recurso trigo. A 
quantidade disponível de trigo para uso diário é de 200 kg. Como a equação referente ao uso 
do trigo é 0,6𝑥1 + 0,6𝑥2 + 0,6𝑥3 + 1𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 = 200, tem se que 1𝑥4 = 200 − 0,6𝑥1 − 0,6𝑥2 
− 0,6𝑥3 ou seja, 1𝑥4 = 200 − 0,6(81,32) − 0,6(221,84) − 0,6(0) = 18,10, a diferença de valores é 
devida ao uso das aproximações (número de casas decimais). Conclui-se que há sobra 
(estoque) de um pouco mais de 18 kg de trigo. - 𝑥5 = 0: é uma variável de folga referente ao 
uso do recurso muçarela. A quantidade disponível de muçarela para uso diário é de 150 kg. 
Como a equação referente ao uso de muçarela é 0,2𝑥1 + 0,6𝑥2 + 0,4𝑥3 + 0𝑥4 + 1𝑥5 + 0𝑥6 = 
150, tem-se que 1𝑥5 = 150 − 0,2𝑥1 − 0,6𝑥2 − 0,4𝑥3, ou seja, 1𝑥5 = 150 − 0,2(81,32) − 
0,6(221,84) − 0,4(0) = 0,63, a diferença de valoresé devida ao uso das aproximações (número 
de casas decimais). Conclui-se que todo o recurso muçarela foi usado na produção. 
- 𝑥6 = 0: é uma variável de folga referente ao uso do recurso calabresa. A quantidade 
disponível de calabresa para uso diário é de 60kg. Como a equação referente ao uso de 
calabresa é 0,2𝑥1 + 0,2𝑥2 + 0,6𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 1𝑥6 = 60, tem-se que 1𝑥6 = 60 − 0,2𝑥1 − 0,2𝑥2 
− 0,6𝑥3 ou seja, 1𝑥6 = 60 − 0,2(81,32) − 0,2(221,84) − 0,6(0) = 0,63, a diferença de valores é 
devida ao uso das aproximações (número de casas decimais). Conclui-se que todo o recurso 
calabresa foi usado na produção. Os dados acima refletem o atual planejamento da produção 
de pães salgados, e, se a solução atual é satisfatória, uma medida imediata que os gestores 
podem executar é reduzir a disponibilidade de trigo em 18 kg. O resultado obtido é um ponto 
de partida para estudo de diferentes cenários (estudos de estudos de sensibilidade, a ser 
abordado na próxima rota de estudo), tais como: qual seria o impacto na produção se 
houvesse aumento da quantidade disponível de muçarela e de calabresa? Qual é o preço 
mínimo para que o pão salgado “+calabresa” passe a ser produzido? 
 
TEMA 5 – MÉTODO SIMPLE: UMA INTRODUÇÃO A MÉTODO DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE 
MINIMIZAÇÃO 
O algoritmo simplex é o método mais conhecido para resolver problemas de programação 
linear. Por ser detalhista e trabalhoso, costuma ser um ponto de problema para os alunos, 
principalmente no curso de administração. A partir do exposto nos temas acima, você pode 
verificar o fato de que o simplex é um passo-a-passo que se repete até que a solução ótima do 
problema seja atingida. Se houver solução, não há como errar a resposta de um determinado 
problema 
Problemas de forma não padrão: nem todos os problemas de programação linear estão no 
formato padrão, isto é, são problemas de maximização com todas as restrições do tipo menor 
ou igual. Quando o formato não for o padrão, é necessário preliminarmente fazer uso de 
métodos para viabilizar o emprego do algoritmo do método simplex, que foi apresentado 
anteriormente (Lachtermacher, 2009). Você poderá encontrar problemas que apresentam 
modelos com configurações “abrangentes”, tais como: problema de maximização que possui 
restrições do tipo maior ou igual; problema de minimização que possui restrições do tipo 
maior e igual; e restrições do tipo menor ou igual. Nestas configurações, serão realizados os 
seguintes procedimentos preliminares: 
• A função objetivo de problemas de minimização é transformada em uma função objetivo de 
problemas de maximização, da seguinte forma: minimizar Z = maximizar -Z. Por exemplo: 
minimizar 𝑍 = 3𝑥1 − 5𝑥2, se transforma em maximizar 𝑊 = −𝑍 = −3𝑥1 + 5𝑥2 (Lachtermacher, 
2009). 
• Quando a restrição for do tipo maior ou igual e for transformada para uma equação, a 
variável a ser acrescida é chamada variável de excesso, que possuirá coeficiente negativo. Isto 
se deve ao fato de que o valor da soma à esquerda da inequação é maior ou igual ao valor da 
constante, à direita da inequação. Assim, para se obter uma equação, é necessário subtrair 
(sinal negativo) o valor em excesso. Por exemplo: a restrição 3𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 18 se transforma na 
equação 3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥5 = 18, sendo 𝑥5 uma variável de excesso (Lactermacher, 2009). 
Observe que, quando incluímos as variáveis de folga nas restrições, estas foram também 
incluídas na função objetivo e, consequentemente, as variáveis de folga devem ser maiores ou 
iguais a zero. Este procedimento também deve ser aplicado às variáveis de excesso, 
entretanto, como apresentado acima, as variáveis de excesso possuem coeficiente negativo, 
quando deveriam ser maiores ou iguais a zero. A maneira de resolver essa “desconformidade” 
das variáveis de excesso envolve a criação de um novo problema com a inclusão de variáveis 
artificiais (que não pertencem ao problema original) nas equações em que as variáveis de 
excesso estão presentes. Após a resolução do novo problema, aplica-se o algoritmo do método 
simplex para obter a solução do problema de programação linear. Esse novo problema, gerado 
pela inclusão das variáveis artificiais, é resolvido pelo emprego de métodos, tais como: o 
“método do Big-M” e o “método de duas fases”. O estudo de tais métodos requer tempo, que 
não dispomos, para apresentar suas especificidades, por isso não são objeto desta disciplina, 
mas você pode aprender tais métodos estudando a bibliografia de programação linear, pois 
são métodos amplamente conhecidos e usados. 
 
Aula 4. 
 
Tema 01 – Ferramenta Solver do Excel 
O Solver realiza na planilha Excel todos os procedimentos do método simplex. Para isso, deve-
se informar ao Excel os dados previamente definidos na caixa de diálogo “Parâmetros do 
Solver”. Tais parâmetros são obtidos com base na modelagem do problema de Programação 
Linear e estão inclusos tanto na função objetivo e como nas restrições. Mas, antes de aplicar o 
Solver, temos de estruturar/organizar a planilha de forma que os parâmetros necessários 
sejam “visíveis” àquela ferramenta. Os passos para preparar o Excel para usar a ferramenta 
Solver são apresentados a seguir, bem como um exemplo comentado passo a passo para 
facilitar a aprendizagem. 
 
Os passos para preparar o Excel para usar a ferramenta Solver são apresentados a seguir, bem 
como um exemplo comentado passo a passo para facilitar a aprendizagem. 
Habilitação do Solver: a primeira ação a ser realizada é a habilitação da ferramenta Solver na 
planilha Excel. Inicialmente, selecione a guia “Arquivo” na Faixa de Opções da planilha e, em 
seguida, na nova janela aberta, selecione a opção “Opções”. Será aberta uma nova janela e, no 
menu à esquerda, selecione “Suplementos” e em seguida clique no botão “Ir...”, na parte 
inferior da janela. Novamente, uma nova janela será aberta e nesta, selecione a opção “Solver” 
e em seguida clique no botão “Ok”. Agora, selecione a guia “Dados” na Faixa de Opões da 
planilha e identifique o ícone do Solver em “Análise”, 
 
conforme apresentado na Figura 1. Figura 1 – Localização do ícone da ferramenta Solver 
 
 
Adequação da planilha aos dados do problema 
Após a habilitação do Solver no Excel, é necessário estruturar a planilha para receber os dados 
obtidos na modelagem do problema de programação linear. Para usar o Solver, é necessário 
apenas os dados obtidos na modelagem, portanto você não precisa se preocupar em incluir 
outros tipos de variáveis, sejam de folga, excesso ou artificial. A organização proposta da 
planilha por Lachtermacher (2009) é didática e de fácil compreensão, por isso a tomamos 
como referencial. Ele nos diz que “a mágica da modelagem de um problema de programação 
linear em uma planilha eletrônica está na maneira como arrumamos a célula”. A partir da 
proposta daquele autor, designamos uma célula para representar cada uma das seguintes 
entidades: 
• Função objetivo (maximização/minimização): designação das variáveis de decisão e de seus 
coeficientes; 
• Variáveis (Solver): são os valores que o Solver vai calcular para as variáveis de decisão; 
• Z: é o valor da solução ótima, que será obtida pela multiplicação dos coeficientes das 
variáveis de decisão pelos valores calculados pelo Solver. 
• Para cada restrição: 
• Uma para o lado esquerdo da restrição – LHS (left hand side). Uma célula vai representar 
toda a expressão que está à esquerda do sinal de inequação. Assim, o valor nesta célula será a 
soma das multiplicações dos coeficientes de cada variável de decisão, nas linhas de restrição, 
pelo respectivo valor calculado pelo Solver. 
• Uma para o lado direito da restrição – RHS (right hand side). Uma célula terá o valor da 
constante (o b no quadro do simplex), que está do lado direito do sinal de inequação. A partir 
da designação das células, apresentadas acima, a estrutura da planilha terá o formado 
semelhante ao apresentadona Figura 2, que, no caso, foi configurada para 4 (quatro) variáveis 
de decisão e para 4 (quatro) restrições. 
 
Para exemplificar o preenchimento, vamos usar o exemplo da marcenaria (Andrade, 2009) 
apresentado na Rota de Ensino 3. A modelagem do problema gerou a forma-padrão e a 
solução gráfica – Figura 3 –, apresentadas a seguir. 
 
 
Assim, termos a planilha preenchida – Figura 4 –, na qual a fórmula na célula C5 (Zmáx) é 
C3*C4+D3*D4 (𝑍 = 4𝑥1 + 1𝑥2), na célula E8 (Madeira-LHS) é C4*C8+D4*D8 (2𝑥1 + 3𝑥2) e na 
célula E9 (Mão de obra-LHS) é C4*C9+D4*D9 (2𝑥1 + 1𝑥2). Os valores unitários de 𝑥1 (mesas) e 
de 𝑥2 (armários) são calculados pelo Solver e inseridos nas células C4 e D4. 
Consequentemente, os valores de Z e das restrições madeira (LHS) e mão de obra (LHS) são 
calculados e deixam de ter o valor igual a 0 (zero). A indicação dos sinais ≤ ao final das 
restrições é para lembrar o tipo de inequação existente em cada restrição e será útil quando 
for preencher a caixa de diálogo Parâmetros do Solver. Para preencher a caixa de diálogo 
Parâmetros do Solver – Figura 5 – para iniciar o cálculo, selecionamos a guia “Dados” e em 
seguida clicamos no ícone “Solver” em “Análise” para o Excel abri-la. 
 
Os passos para preencher a caixa de diálogo Parâmetros do Solver são os seguintes: 
• Definir objetivo: selecionar a célula C5 (Zmáx). 
• Para: Máx... já está previamente selecionado. Quando o problema for de minimização, deve-
se fazer a seleção da opção Mín. 
• Alterando Células Variáveis: selecionar as células C4 e D4 (C4:D4), destacadas em “amarelo” 
na Figura 4. Estas células não devem conter quaisquer tipos de informações/dados porque são 
reservadas para uso do Solver. 
• Sujeito às restrições: neste espaço serão incluídas as relações LHS e os valores RHS, bem 
como os sinais das inequações. Para isso, você deve clicar no botão “Adicionar” para abrir uma 
caixa de diálogo – Figura 7 – para informar as relações das restrições, uma de cada vez. 
 
• Referência de célula: preencher com o valor do LHS. 
• O sinal <= já é previamente selecionado. Quando for necessário, deve ser alterado (por isso 
foi colocado ao final da restrição o sinal da inequação para lembrar quando for necessário 
fazer a alteração). 
• Restrição: preencher com o valor RHS, ou seja, o valor da constante. 
• Adicionar: clique neste botão para inserir uma nova restrição. 
• Ok: clique neste botão quando todas as restrições forem incluídas. 
• GRG Não Linear: deve ser modificado para LP Simplex. 
• Opções: este botão permite selecionar, em outra caixa de diálogo, a opção de Mostrar 
Resultados de Iterações. Tal opção permitirá a você identificar os valores dos tableau 
intermediários do algoritmo do método simplex. 
• Resolver: clique neste botão para realizar o cálculo. Após o preenchimento da caixa de 
diálogo Parâmetros do Solver conforme instruções acima, a caixa de diálogo deverá estar 
conforme apresentado na Figura 7. Agora, o passo seguinte é clicar no botão Resolver, o que 
vai fazer com que seja aberta a caixa de diálogo Resultados do Solver –– Figura 8. Para 
prosseguir, seleciona o botão OK, e o resultado final dos cálculos é conforme o apresentado na 
planilha da Figura 9. 
 
 
Figura 7 – Parâmetros do Solver preenchido 
 
 
 
TEMA 2 – PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO: USO DO SOLVER 
 
O problema a seguir tem por objetivo primário aplicar o Solver para obter uma solução. 
Produção de pães salgados. Os gestores da padaria Le Petite Pain não ficaram satisfeitos com o 
cenário em que somente a versão “Tradicional” e a “+Queijo” deveriam ser produzidas para 
obter o máximo faturamento. Assim, decidiram adotar uma nova estratégia, em que limitam a 
produção diária da versão “Tradicional” a até 70kg para que as outras versões, com maior 
valor agregado, sejam vendidas. Além disso, atualizaram os seus dados de referência, 
modificando a disponibilidade diária de sua famosa calabresa artesanal, de 60kg para 70kg, 
conforme apresentado na Tabela 1. Nessas condições, os gestores desejam determinar qual 
quantidade de cada versão do pão salgado devem produzir a fim de obter o máximo 
faturamento com a venda dos pães. Tabela 1 – Pães salgados 
 
A planilha preenchida com os dados do problema é a apresentada na Figura 10. 
 
 
 
A partir dos dados da planilha – Figura 12 –,verifica-se que ao se limitar a produção diária do 
pão salgado “Tradicional” (𝑥1) em 70 kg e de acrescer 10 Kg de calabresa para a produção, 
obtém-se a produção de pão salgado “+Queijo” (𝑥2) de 211,43kg, de pão salgado “+Calabresa” 
(𝑥3), de 22,86kg e de um faturamento máximo de $ 6.342,86. Também se verifica a 
disponibilidade de 17,43Kg (200-182,57) de trigo e que a muçarela e a calabresa são 
completamente usados na produção definida. 
 
Tema 03 – Problema de transporte: uma introdução 
Problema de transporte é um tipo de problema real que acontece no cotidiano e que pode ser 
aplicado em Programação Linear. O “chamado problema de transporte recebeu esta 
denominação em virtude de suas aplicações envolverem como transportar mercadorias de 
maneira otimizada”. No entanto, algumas de suas importantes aplicações (por exemplo, 
cronograma de produção) não estão relacionadas ao transporte (Hillier; Lieberman, 2010). O 
administrador sabe que, no processo geral de produção e comercialização do produto, a 
estrutura de transporte deve ser cuidadosamente planejada a fim de cumprir seu objetivo com 
o menor acréscimo possível no custo final do produto (Andrade, 2009). 
 
TEMA 4 – PROBLEMA DA DESIGNAÇÃO: UMA INTRODUÇÃO 
Segundo Hillier e Lieberman (2010), o “denominado problema da designação envolve 
aplicações tais como distribuir pessoas para realizar determinadas tarefas”. Apesar de as 
aplicações parecerem distintas em relação as do problema de transporte, o problema da 
designação pode ser visto como um tipo especial de problema de transporte. Com o que 
concorda Andrade (2009), pois nos diz que “à primeira vista, não tem semelhança alguma com 
o problema de transporte, mas que, na verdade, pode ser modelada e resolvida de maneira 
análoga”. Consideramos que o estudo do problema da designação será útil ao administrador 
no desempenho de suas funções por tratar de problemas de sua rotina. 
 
TEMA 5 – ANÁLISE DE SENSIBILIDADE NO SOLVER 
Análise de sensibilidade: uma das hipóteses dos problemas de programação linear é a certeza 
que se tem sobre os valores dos coeficientes da função objetivo e das constantes das 
restrições (Lachtermacher, 2009). Para amenizar essa hipótese, realizamos uma análise pós-
otimização verificando as possíveis variações, para cima e para baixo, dos valores dos 
coeficientes da função objetivo, dos coeficientes e das constantes das restrições, sem que a 
solução ótima seja alterada. Este estudo se denomina análise de sensibilidade. Uma análise de 
sensibilidade busca responder basicamente a três perguntas (Lachtermacher, 2009): 
• Qual é o efeito de uma mudança em um coeficiente da função objetivo? 
• Qual é o efeito de uma mudança em uma constante de uma restrição? 
• Qual é o efeito de uma mudança em um coeficiente de uma restrição? 
Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade. O primeiro estabelece limites inferiores 
e superiores para todos os coeficientes da função objetivo e para os coeficientes e as 
constantes das restrições. Esta análise é efetuada automaticamente pelo Excel, considerando a 
hipótese de apenas uma alteração a cada momento. O segundo verifica se mais de uma 
mudança simultânea em um problema altera a sua solução ótima, o que não é realizado pelo 
Excel por ser um estudo mais complexo. Uma maneira simples para se realizar este estudo, em 
problemas de pequeno e médio portes, é o de se realizar as alterações na modelagem do 
problema e encontrar sua nova solução realizando uma nova otimização (Lachtermacher, 
2009). 
Relatórios do Solver: no processode solução do problema pelo Solver, a caixa de diálogo 
Resultados do Solver – Figura 8 – aparece e exibe uma mensagem de conclusão. No lado 
direito da caixa de diálogo, são relacionados os relatórios disponíveis – Respostas, 
Sensibilidade e Limites –, mas o nosso foco é o Relatório de Sensibilidade. Após você 
selecionar os relatórios desejados e clicar no botão OK, a planilha passa a exibir os resultados 
obtidos, e os relatórios selecionados são gerados (Corrar; Theóphilo; Bergmann, 2007). 
Relatório de Sensibilidade: quando um ou mais dados do problema sofrem alteração, o 
modelo inicial pode ser atualizado e recalculado com facilidade. O Solver permite que se 
alterem apenas os dados que sofrem alterações, recalculando a planilha e emitindo novos 
relatórios. Entretanto, podese desejar conhecer, a partir de um cenário, os impactos advindos 
de eventuais mudanças nos valores atuais das variáveis e restrições. Seja o Relatório de 
Sensibilidade – Figura 20 – obtido a partir da resolução do problema da marcenaria (Tema 01). 
Observa-se que o relatório é subdividido em duas partes: uma destinada às células variáveis 
(função objetivo) e outra, às restrições. Vamos a seguir apresentar alguns comentários: 
 
Aula 5 
 
TEMA 1 – TEORIA DAS FILAS: HISTÓRICO, CONCEITOS E APLICAÇÕES 
A teoria das filas é um método analítico que aborda o assunto por meio de fórmulas 
matemáticas (Prado, 2006) e “trata de congestionamento de sistemas, cuja característica 
principal é a presença de ‘clientes’ solicitando ‘serviços’ de alguma maneira” (Andrade, 
2009).O que são filas? A nossa rotina diária nos permite identificar exatamente o que são filas. 
Nós entramos em uma fila para fazer retirada em um caixa eletrônico, para pagar as compras 
em um supermercado, para comprar ingressos em um cinema, para pagar o pedágio em uma 
rodovia e em tantas outras situações. 
A teoria das filas estuda a situação de “espera” nas mais variadas formas e emprega “modelos 
de filas para representar os diversos tipos de sistemas de filas (sistemas que envolvem filas do 
mesmo tipo) que surgem na prática. 
Aplicações: Andrade (2009) nos apresenta algumas aplicações da teoria das filas em 
administração, as quais são listadas a seguir: 
• Estabelecimento de uma política de atendimento ao público em empresas concessionárias 
de serviços públicos, determinando o número de atendentes e a especialização de cada um. 
• Estudo de um sistema de almoxarifado, de modo a determinar os custos totais de operação. 
• Estudo da operação de um centro de processamento de dados com o objetivo de determinar 
políticas de atendimento e prioridades para execução de serviços. 
• Determinação de equipes de manutenção em grandes instalações, onde há custos elevados 
associados a equipamentos danificados, à espera de reparos. 
• Estudo de operação de caixas (bancos, supermercados etc.) com o objetivo de estabelecer 
uma política ótima de atendimento ao público; 
• Determinação de capacidade em pátios de estacionamentos de automóveis. 
TEMA 2 – SISTEMA DE FILAS: ELEMENTOS, CARACTERÍSTICAS E MEDIDAS DE EFETIVIDADE 
Elementos de uma fila: Na Figura 1 é apresentado o processo básico suposto pela maioria dos 
modelos de filas, no qual clientes que necessitam de atendimento são gerados de uma certa 
população. Tais clientes entram no sistema de filas e pegam uma fila, e, em dado momento, 
um integrante da fila é selecionado para o atendimento por alguma regra conhecida como 
disciplina de fila. Cliente é um termo genérico que pode designar uma pessoa, um navio, um 
lingote etc. Os termos “transação” ou “entidade” podem ser empregados como sinônimo de 
cliente. O atendimento é realizado por um ou mais servidores (ou atendentes ou canais de 
serviço) e pode designar um médico, um cais de atracação, uma máquina de lingotamento etc. 
Após o atendimento, o cliente deixa o sistema de filas (Prado, 2006; Hillier; Lieberman, 2010). 
 
Características de uma fila. Os elementos principais que caracterizam um fila são: 
• Clientes e tamanho da população. O tamanho é o número total de possíveis clientes 
distintos. Um cliente sempre será proveniente de uma população, a qual pode possuir um 
tamanho infinito ou finito. Como os cálculos são bem mais fáceis para o caso em que a 
população é infinita, parte-se dessa hipótese, mesmo quando o tamanho real for um número 
finito relativamente grande. Esta é a hipótese implícita para qualquer modelo de filas que não 
afirme o contrário. No caso da população infinita, a chegada de um novo cliente a uma fila não 
afeta a taxa de chegada de clientes subsequentes, e pode-se afirmar que as chegadas são 
independentes. O caso da população finita é mais difícil analiticamente, pois o número de 
clientes no sistema de filas afeta o número de possíveis clientes fora do sistema a qualquer 
momento (Prado, 2006; Hillier; Lieberman, 2010). 
• Processo de chegada. “A chegadas de clientes a um sistema ocorrem, na maioria das dos 
casos que têm interesse para a administração, de modo aleatório, ou seja, o número de 
clientes que chegam por unidade te tempo, varia segundo o acaso” (Andrade, 2009). A 
hipótese comum é que os clientes são gerados de acordo com um processo de Poisson 
(distribuição de Poisson), e uma hipótese equivalente é que a distribuição probabilística do 
tempo entre as chegadas consecutivas possui uma distribuição exponencial (Prado, 2006; 
Hillier; Lieberman, 2010). Um processo de chegada regular, ou seja, aquele em que não existe 
nenhuma variação entre os valores para os intervalos entre chegadas é raro de acontecer, 
porém ocorre apenas em processos altamente automatizados. Nesta situação, se dissermos 
que o intervalo entre chegadas é de 10 segundos, teremos que rigorosamente a cada 10 
segundos chega um novo cliente (Prado, 2006). 
Resumindo, quando se estudam filas, o ritmo de chegada é uma importante variável 
randômica. Para quantificar esta variável se usa a letra grega λ para significar ritmo médio de 
chegada e se usa IC para o intervalo médio entre chegadas. Assim, no exemplo acima temos: 
 λ = 20 clientes por minuto e IC = 3 segundos. 
Existem situações em que o ritmo de chegada sofre variações durante o dia. Por exemplo, em 
um banco a chegada de clientes é mais intensa no período do almoço. 
• Processo de atendimento. A priori, os postos de atendimentos são formados por pessoas, 
instalações e equipamentos que devem operar harmonicamente para prestar um bom serviço. 
O processo de atendimento é também quantificado por uma importante variável randômica. 
Retornando ao exemplo do pedágio, ao observarmos um atendente em serviço, poderíamos 
constatar, por exemplo, que ele atende 6 veículos por minuto ou que gasta 10 segundos para 
atender um veículo. Tais valores são médios, e, para descrevê-los corretamente, o melhor é 
caracterizá-lo em uma distribuição de probabilidades. Aqui também será raro identificarmos 
um atendimento regular, ou seja, a existência de um único valor (sem variação) para a duração 
do atendimento (Prado, 2006). 
 A letra grega µ é usada para significar o ritmo médio de atendimento, e se usa TA para tempo 
ou duração média do serviço ou atendimento, que é o tempo decorrido entre o início do 
atendimento até o seu término. Em geral, pressupõe-se que todos os atendentes possuem a 
mesma distribuição probabilística de tempo de atendimento, e a distribuição que se supõe 
com mais frequência na prática é a distribuição exponencial; outra também considerada é a 
distribuição Erlang (gama). Considerando o exemplo acima, temos: 
µ = 6 clientes/minuto, e TA = 10 segundos/cliente (Prado, 2006; Hillier; Lieberman, 2010). 
• Número de servidores. A maioria dos modelos elementares parte do pressuposto de uma 
instalação de atendimento com um atendente (o sistema mais simples) ou com um número 
finito de atendentes. 
 
• Disciplina da fila. A disciplina da fila se refere à ordem na qual integrantesda fila são 
selecionados para atendimento. Normalmente, para modelos de filas, adota-se a ordem de 
chegada, ou seja, “o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido” (em inglês diz-se FIFO: First 
In First Out). Outras disciplinas podem existir, tais como “último a chegar, primeiro a ser 
atendido” (em inglês diz-se LIFO: Last In First Out), serviço por ordem de prioridade, serviço 
randômico, prioridade de certas classes etc. (Prado, 2006; Andrade, 2009; Hillier; Lieberman, 
2010). 
 
• Medidas de efetividade de um sistema. No estudo de um sistema, podemos determinar 
várias medidas de desempenho do sistema, como as apresentadas a seguir. A escolha do 
parâmetro depende do objetivo do estudo (Prado, 2006; Andrade, 2009). 
 
• Tamanho médio da fila. Basicamente, é o número médio de clientes existentes em uma fila, 
por uma unidade de tempo, e, via de regra, é a principal referência que consideramos para 
decidir qual fila escolheremos. 
 
• Tamanho máximo da fila (Prado, 2006). Quando os clientes devem esperar, alguma área de 
espera deve existir, por exemplo: cadeiras para os clientes a espera de caixa livre em um 
banco; caminhões embarcando/desembarcando mercadorias em um CD etc. 
 
• Tempo médio de espera na fila (Prado, 2006). Esperar em fila pode gerar irritação, pois cada 
cliente possui uma expectativa de tempo a ser gasto em uma fila. 
 
• Ocupação do posto de atendimento (Andrade, 2009). Pode-se verificar pelo percentual de 
tempo ocioso/ocupado se o posto de atendimento está superdimensionado ou 
subdimensionado. 
 
• Tempo médio no sistema (Andrade, 2009). É a média dos tempos gastos pelo cliente desde o 
instante de sua entrada até o momento de sua saída do sistema. 
 
TEMA 3 – A DINÂMICA DE UMA FILA 
A situação mais comum é que os clientes cheguem de forma aleatória na chegada, e no 
atendimento ocorre uma duração aleatória, pois cada cliente exige um tempo próprio para 
solucionar seus problemas. 
Exemplo: uma fila de caixa. Imagine-se, neste momento, sentado confortavelmente, 
observando a movimentação de clientes na padaria Le Petit Pain e avaliando a dinâmica que 
ocorre na formação da fila de clientes, que esperam a sua vez para serem atendidos pelo caixa 
da padaria (Prado, 2006, adaptado). 
Chegada. Em um período de meia hora, você verificou que chegaram ao sistema (caixa da 
padaria) 12 clientes e que os intervalos entre as chegadas dos clientes, a partir do instante 
zero, estão apresentados na Tabela 1. 
 
O valor médio dos intervalos de chegada dos clientes é de 2,5 minutos (que é a soma de todos 
os intervalos de chegada, dividido pelo número de clientes), e, portanto, o sistema acima (fila 
do caixa) funcionou com um ritmo médio de 24 chegadas por hora, já que chegaram 12 
clientes em 30 minutos, ou seja, λ = 30 clientes por hora, e TA = 2 minutos. • Atendimento. A 
partir da observação do comportamento do sistema, foram obtidos os dados referentes a cada 
atendimento, conforme apresentados na Tabela 5.2. 
 
• O 1º cliente chegou à fila da padaria no início do 3º minuto, e seu atendimento durou 1 
minuto (e, consequentemente, encerrou-se no final do 3º minuto); 
• O 5º cliente chegou à fila da padaria no início do 17º minuto, e seu atendimento durou 3 
minutos (e, assim, encerrou-se no final do 19º minuto); 
• O 6º cliente chegou à fila da padaria simultaneamente com o 5º cliente, no 17º minuto, e, 
então, teve que esperar na fila até completar o atendimento do 5º cliente (3 minutos), o que 
ocorreu no final do 19º minuto. Então, no início do 20º minuto, foi iniciado o atendimento do 
6º cliente, que se estendeu até o final do 21º minuto; 
• O 7º cliente chegou à fila da padaria no 18º minuto e encontrou o caixa ocupado (em 
atendimento ao 5º cliente). Além disso, o 6º cliente também estava na fila. O atendimento do 
7º cliente se iniciou no 22º minuto e durou 1 minuto; 
• Além dos clientes de número 6 e 7, também os clientes de número 9, 10, 11 e 12 tiveram que 
esperar na fila; 
• O último cliente (12º) saiu do atendimento no final do 35º minuto. 
• A partir da Figura 2, obtiveram-se os tempos em fila de cada cliente, conforme apresentado 
na Tabela 3. 
 
Ou seja, a capacidade de atendimento (µ) é superior ao ritmo de chegada (λ). Mesmo assim, 
houve formação de fila. A formação de filas ocorre porque os clientes não chegam ao caixa em 
tempos fixos e regulares de 2,5 minutos, mas de forma randômica. Portanto, pode-se concluir 
que, quando µ > λ, provavelmente ocorrerá a geração de fila, e quando µ ≤ λ, certamente 
haverá fila. 
 
TEMA 4 – CONCEITOS BÁSICOS: UMA ABORDAGEM MATEMÁTICA 
Variáveis randômicas fundamentais (Prado, 2006). Consideremos o sistema de filas da Figura 3, 
que possui uma situação estável (os valores de 𝜆 e 𝜇 não se alteram), na qual clientes chegam, 
entram em fila e aguardam o atendimento por um dos “c” servidores existentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 05 – Modelos 
 
A notação de Kendall (Prado, 2006). A notação básica para descrever um modelo de fila 
emprega a seguinte notação: A/B/c/K/m/Z, onde 
• A indica o tipo de distribuição de probabilidade dos intervalos entre chegadas; 
• B indica o tipo de distribuição de probabilidade do tempo de serviço (atendimento); 
• c é a capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes; 
• K é a capacidade máxima do sistema (número máximo de clientes no sistema); 
• m é o tamanho da população de onde se originam os clientes; 
• Z é a disciplina da fila. Esta notação recebeu o nome de notação Kendall como homenagem 
ao seu criador, David Kendall. Os diferentes tipos de distribuição de probabilidade são 
designados por A e B, conforme apresentado a seguir: 
• M: Exponencial Negativa (ou Markoviana ou Poisson) 
• Em: Erlang de estágio m; 
• Hm: hiper-exponencial de estágio m; 
• Determinística; 
• Geral. Por exemplo, seja o modelo M/E2/5/20/∞/randômico, o qual possui as seguintes 
características: 
• A = M, as chegadas são Markoviana (ou Poisson); 
• B = E2, o atendimento possui uma distribuição tipo Erlang de segundo grau; 
• c = 5, ou seja, são 5 atendentes; 
• K = 20, então a capacidade máxima do sistema igual a 20 clientes; 
• m = ∞, população infinita; 
• Z, a disciplina da fila possui atendimento randômico. 
 
 
 
Aula 6 
Tema 01 – Simulação de eventos discretos: conceitos e aplicações 
“Simulação é a técnica de solução de um problema pela análise de um modelo que descreve o 
comportamento do sistema usando um computador digital” 
Aspectos históricos: com o surgimento do computador, na década de 50, a modelagem de filas 
pode ser analisada pelo ângulo da simulação, em que não mais se usam fórmulas matemáticas, 
mas apenas tenta-se imitar o funcionamento do sistema real. 
O que é simulação? De forma sucinta, Cremonese (2014) afirma que simulação é o processo 
de execução do modelo, entretanto Chwif e Medina (2006) apresentam diversas abordagens 
para responder essa pergunta, entre as quais se destaca a de que a simulação não é uma 
ferramenta estritamente de otimização, mas uma ferramenta de análise de cenários, em razão 
de não ser capaz de identificar uma solução ótima. 
Vantagens e desvantagens Banks et al. (2004) listam diversas vantagens e desvantagens da 
simulação, baseadas no texto de Pegden, Shannon e Sadowski (1995) e Banks (1984). Entre as 
vantagens listadas estão: novas políticas, novos procedimentos, regras de decisão, fluxo de 
informações, as quais podem ser exploradas sem interrupção das operações do sistema real; o 
tempo pode ser comprimido ou expandido a fim de acelerar ou retardar o fenômeno 
investigado; insights podem ser obtidos a respeito das interações das variáveis e da 
importância destas no desempenho do sistema; e a possibilidade de identificação de gargalos, 
que são retardos excessivos que ocorrem no processo. 
Áreas de aplicação: o campo de aplicação da simulação é grande. Basicamente podemos dividira área de aplicação em dois grandes setores: serviço e manufatura. Podem-se apresentar, 
entre outas, as seguintes aplicações da simulação (Chwif; Medina, 2006): 
• Aeroportos e portos: dimensionar o número de checks-ins necessários; verificar se o número 
de equipamentos de movimentação de materiais e homens é adequado para carga e descarga 
de navios. 
• Bancos: verificar se o número de caixas eletrônicos é adequado; estudar disposição de 
layout. 
• Cadeias logísticas: determinar a melhor política de estocagem, transporte e distribuição. 
• Hospitais: estudar os procedimentos em UTI e a ocupação dos centros cirúrgicos; 
dimensionar ambulância. 
• Restaurantes e cadeias de fast-food: verificar tempos de espera e de utilização de mesas ou a 
capacidade da cozinha. 
• Supermercados: definir a melhor política de abertura de caixas, a relação entre caixas 
rápidos e normais. 
• Sistemas de movimentação e armazenagem de materiais: esteiras transportadoras. 
• Problemas de programação de produção. 
• Linhas de montagem. 
Simulação de eventos discretos: simulação, como técnica de resolução de problemas, 
antecede em muitos anos o aparecimento de computadores digitais (Creonese, 2014), 
entretanto o aumento da capacidade computacional e a consequente redução do custo de 
operação, além dos avanços da metodologia de simulação, permitiu que a simulação se 
transformasse em uma ferramenta amplamente usada e aceita em pesquisa operacional e 
análise de sistema (Banks et al., 2004), empregando um computador para sua realização. 
TEMA 2 – METODOLOGIA 
Para a realização do estudo de simulação, é necessário conduzi-lo obedecendo etapas, ou seja, 
é necessário realizá-lo segundo uma metodologia. Felizmente é possível encontrar autores que 
apresentam metodologias adequadamente elaboradas para a condução de modelagem e 
simulação de eventos discretos. Tais metodologias têm por objetivo final a obtenção de 
modelos que realmente representem o sistema em estudo e, consequentemente, permitam a 
realização de estudos de cenários, ou seja, explorando alternativas. Tais alternativas são 
referenciadas genericamente na literatura como “...e se?”, por exemplo: e se aumentássemos 
a produtividade da máquina X? E se acrescêssemos mais uma empilhadeira? Etc 
Metodologias de simulação. Após avaliarmos um dado sistema e concluirmos que a 
modelagem e a simulação são a melhor proposta, devemos seguir certos passos, a fim de que 
o estudo de simulação seja bem-sucedido, ou seja, devemos obedecer uma metodologia de 
simulação (Chwif; Medina, 2006). 
 
TEMA 3 – ESTUDO DO PROBLEMA E MODELAGEM DE DADOS 
O estudo do problema é a primeira ação a ser executada na realização de um estudo de 
simulação. A princípio, sabemos qual é o problema ou, pelo menos, sabemos o que precisa ser 
aperfeiçoado. Entretanto, precisamos definir um objetivo e o que se deseja conhecer 
efetivamente, para podermos realizar a modelagem e a simulação. 
Estudo do problema: Pidd (2004) identifica a existência de uma fase inicial onde se busca 
compreender as questões relacionadas ao problema a ser simulado, obter referências capazes 
de serem manuseadas, além do nível de detalhamento apropriado para o uso e a 
implementação do modelo de simulação. 
Modelagem de dados: a completa implementação do modelo computacional ocorrerá se a 
etapa de modelagem de dados de entrada tiver sido executada. Portanto, é necessário realizar 
o levantamento de dados referentes ao sistema em estudo, sem o qual não há como dar 
prosseguimento à simulação. Neste processo de levantamento, devemos atentar para que o 
método de amostragem empregado seja bem desenvolvido e documentado (Pidd, 2004). 
TEMA 4 – MODELO CONCEITUAL: CONSTRUÇÃO 
Modelo conceitual: na etapa de modelagem da metodologia proposta por Pidd (2004), é 
elaborado o modelo conceitual, quando se procura capturar as características essenciais do 
sistema em estudo e que está sendo modelado e, no caso específico de simulação de eventos 
discretos, identificar as principais entidades do sistema para compreender a lógica das 
interações destas entidades. 
Exemplo de ACD: Clínica Médica (Chwif; Medina, 2006): Neste modelo existem 3 tipos de 
entidades: os pacientes, os médicos (3) e as recepcionistas (2). Os pacientes chegam com um 
tempo médio entre chegadas sucessivas de 3 minutos (exponencialmente distribuídos). Eles 
formam uma fila única na recepção para o preenchimento da ficha (exponencialmente 
distribuídos com média de 10 minutos) e depois são encaminhados para um dos três médicos. 
Caso todos os médicos estejam ocupados, o cliente permanece em fila aguardando o seu 
atendimento. Os médicos levam em média 20 minutos para o atendimento, segundo uma 
distribuição exponencial. No final da consulta, os pacientes retornam às recepcionistas para 
efetuarem o pagamento e agendarem as próximas consultas, o que demora um tempo 
uniformemente distribuído entre 1 e 4 minutos. 
• Passo 1: monte um ciclo para cada entidade. 
• Passo 2: identifique quais atividades têm duas ou mais entidades envolvidas. 
• Passo 3: monte o ACD completo. 
Solução: Para elaborarmos o ciclo de vida de cada entidade, é recomendável identificar 
inicialmente as atividades que ocorrem, onde ocorrem e as entidades que participam. O 
primeiro esboço pode não ser o correto, mas compreenda que é um processo que permite 
ajustes a qualquer momento e em qualquer fase, mesmo que já tenha sido executada, até que 
tenhamos um modelo que podemos considerar apropriado. Assim, elaboramos o seguinte 
quadro para nos auxiliar: 
 
 
 
 
TEMA 5 – VALIDAÇÃO, VERIFICAÇÃO E EXPERIMENTOS 
Validar um modelo conceitual é verificar se o modelo elaborado consegue apresentar a 
dinâmica dos eventos que ocorrem no sistema entre entidades e recursos. Verificar um 
modelo computacional é checar se o modelo conceitual está corretamente representado 
no software de simulação ou se não há erros na lógica de programação. Validar um modelo 
operacional é testar estatisticamente se os dados obtidos na simulação são compatíveis com 
os dados reais. Entretanto, por mais que sejam realizadas validações e verificações, “não é 
possível validar o modelo em 100% ou garantir que seja 100% válido”, bem como “não há 
como garantir que um modelo seja totalmente livre de bugs” (Chwif; Medina, 2006). 
Validação e Verificação: Chwif e Medina (2006) consideram “validação” e “verificação” como 
conceitos distintos entre si, pois enquanto a validação está relacionada com o que será 
modelado, a verificação está relacionada com o modo como o modelo computacional está 
sendo implementado (ou modelo implementado em algum simulador – software de 
simulação). 
 
A respeito de validação, podemos encontrar os seguintes conceitos/definições: 
• Validação é a comprovação de que a precisão do modelo computacional, no seu domínio de 
aplicação, está dentro de seu intervalo aceitável de precisão, que é a precisão requerida do 
modelo para sua aplicação pretendida (Sargent, 2014); 
• Validação é o processo que confronta o modelo conceitual com o sistema do mundo real 
(Chwif; Medina, 2006); 
• A validação do modelo conceitual ocorre após se assegurar que as teorias e os pressupostos 
básicos do modelo conceitual estão corretos; que o modelo representando o problema, a 
estrutura do modelo, a lógica e as relações causais e matemáticas são "razoáveis" para a 
finalidade proposta do modelo (Sargent, 2014); 
• A validação operacional é a conferência se os resultados obtidos nos experimentos (dados 
obtidos a partir da simulação) são compatíveis com o sistema real simulado (Chwif; Medina, 
2006); 
• A validação operacional é a confirmação de que o comportamento dos dados de saída do 
modelo possui a precisão requerida que atende o propósito do modelo, no domínio de 
aplicabilidade pretendido para ele (Sargent, 2014). 
A respeito de verificação, podemos encontrar os seguintes conceitos/definições:• Verificação é a garantia de que o programa de computador do modelo computacional e sua 
implementação estão corretos (Sargent, 2014); 
• A verificação do modelo computacional é definida como a garantia de que a programação no 
computador e a implementação do modelo conceitual estão corretas (Sargent, 2014). Tal 
verificação são recomendações para o uso de linguagens de programação de alto nível e de 
simulação, entretanto nada esclarece a respeito do uso de softwares de simulação, os quais 
não permitem acesso aos códigos-fonte do programa; 
• A verificação do modelo computacional é realizar um exame que confirme se o modelo 
computacional se comporta de acordo com o modelo conceitual. Para isso, é recomendável 
gerar alguns resultados, bem como observar se o modelo é uma representação precisa da 
realidade, conforme objetivo do estudo (Chwif; Medina, 2006) 
Modelo operacional: o modelo conceitual do exemplo da clínica médica, desenvolvido no 
tema anterior, foi implementado como modelo computacional no ambiente do software de 
simulação Simul8, conforme pode ser verificado na Figura 10. 
 
Neste modelo computacional, a entidade são os pacientes, e os recursos são as recepcionistas 
e os médicos. Cada um deles fica vinculado às atividades, conforme previsto no modelo 
conceitual. Experimentos: após a validação do modelo computacional, podemos, além de 
avaliar a situação vigente, realizar experimentos com diferentes cenários, ou seja, explorar 
possibilidades do tipo, “e se?”. Consequentemente, ao realizarmos experimentos, desejamos 
obter um benefício, que pode ser materializado em um produto tangível como resultado 
destes experimentos, tal como um documento, em que se registram conclusões e 
recomendações de ações que deveriam ou não deveriam ser implementadas a partir dos 
resultados obtidos (Pidd, 2004; Chwif; Medina, 2006).