Material_de_Orientacao_1_-_Pesquisa_Oper

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1 – INTRODUÇÃO 
 
A Pesquisa Operacional está relacionada com a alocação eficiente de recursos escassos. 
É tanto arte como ciência. A arte reside na habilidade de exprimir os conceitos de eficiente e de 
escasso utilizando um modelo matemático representativo de uma determinada situação. A ciência 
consiste na dedução de métodos para solucionar tais modelos. É um método científico de prover 
setores executivos com uma base quantitativa para decisões relativas às operações sob controle. 
Sendo assim, a Pesquisa Operacional é um instrumento de apoio à decisão. 
Outra definição pode ser resumida em: Pesquisa Operacional é uma metodologia 
administrativa que agrega, em sua teoria, quatro ciências fundamentais para o processo de 
análise e preparação de uma decisão: a economia, a matemática, a estatística e a informática. É a 
aplicação de métodos científicos para auxiliar na tomada de decisão. 
O estudo realizado em pesquisa operacional visa representar o mundo real através de 
modelos matemáticos e, utilizar métodos quantitativos, para resolver esses modelos com o 
objetivo de otimizá-los. 
Os problemas relacionados à pesquisa operacional são anteriores à sistematização das 
técnicas que lhes dão soluções. Desde a Primeira Revolução Industrial, com o advento da fábrica, 
o ambiente empresarial vem substituindo o homem pela máquina enquanto fonte de energia. Por 
outro lado, os governos promoveram o desenvolvimento de sistemas nacionais de transporte e 
comunicação. Em conseqüência, expandiu-se a complexidade das organizações empresariais e 
de Estado, tornando-se mais difícil a gestão dos mesmos. 
A Pesquisa Operacional, enquanto área de conhecimento, tem a sua origem nas forças 
armadas do Reino Unido, onde, entre 1939 e 1940, pesquisadores de diferentes áreas da ciência 
formaram pequenas equipes de pesquisa destinadas a dar apoio ao comando das operações 
militares, obtendo êxito em vários de seus estudos, de onde receberam a denominação de 
Equipes de Pesquisa de Operações. 
Após a Segunda Guerra Mundial, a Pesquisa Operacional desenvolveu-se no setor 
industrial da Grã-Bretanha e em organizações militares e civis dos Estados Unidos, onde, em 
1950, as indústrias passaram a utilizar as técnicas da Pesquisa Operacional para o apoio à 
decisão. No Brasil, a pesquisa operacional é pouco difundida no meio empresarial, restringindo-
se, até recentemente, às empresas estatais e às grandes empresas privadas. No entanto, essa 
mentalidade tende a mudar, principalmente pela necessidade de informações e ferramentas para 
a tomada de decisões, bem como pela facilidade de obtenção de bons resultados utilizando meios 
computacionais. 
 
 
 
 
 
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 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL: 
 
Algumas das aplicações da pesquisa operacional podem ser resumidas em: maximização de 
lucros ; minimização de custos ; diminuição de filas (Hospitais, Self-Service, Parques de Diversão 
e outros Estabelecimentos Comerciais) entre outros. Logo abaixo são citados três exemplos 
simples onde as técnicas de pesquisa operacional podem ser aplicadas. 
 
Exemplo 1: 
 
Fábrica 
 
Custos Diários (R$) 
Produção (t/dia) 
A B C 
1 200,00 5 4 2 
2 170,00 2 1 4 
 
A demanda semanal é de 12, 8 e 24 toneladas dos produtos A, B e C, respectivamente. Quantos 
dias por semana cada fábrica deve operar para satisfazer essa demanda? 
 
Exemplo 2: 
 Quatro postos de gasolina A, B, C e D necessitam de 50.000, 40.000, 60.000 e 40.000 
litros de gasolina, respectivamente. É possível suprir estas demandas partindo dos locais 1, 2 e 3 
que dispõem de 80.000, 100.000 e 50.000 litros, respectivamente. Os custos de envio de 1.000 
litros de gasolina aparecem na tabela abaixo. 
 A B C D 
1 70,00 60,00 60,00 60,00 
2 50,00 80,00 60,00 70,00 
3 80,00 50,00 80,00 60,00 
 
Exemplo 3: 
 O gerente de um supermercado deseja ter uma ou mais filas de caixa, de maneira tal que, 
em média, o número de clientes esperando para ser atendido por fila não ultrapasse 10. Ele sabe 
que, em média, um caixa leva quatro minutos para liberar um cliente e que a cada cinco minutos 
um novo cliente procura um caixa para registrar as suas compras. Quantos caixas você sugere 
que o gerente instale? 
 
 
 
 
 
 
 
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2 - PESQUISA OPERACIONAL AUXILIANDO A TOMADA DE DECISÃO 
 
 O texto abaixo é um resumo baseado em Andrade (1990). 
 
O QUE PODE SE ENTENDER POR DECISÃO ? 
 
"Decisão é o resultado de um processo de análise sobre um problema que, no início, parece 
possuir várias alternativas de solução com viabilidades duvidosas." 
 
"Decisão é um curso de ação escolhido por uma pessoa ou grupo, considerando o meio mais 
efetivo dentre aqueles que estão à sua disposição para atingir os objetivos desejados." 
 
"Decisão é o marco para o desencadeamento de ações que visam atingir o objetivo desejado na 
resolução do problema." 
 
CARACTERÍSTICAS DO PROCESSO DE DECISÃO 
 
(a) A decisão é um processo seqüencial; 
(b) O processo é complexo; 
(c) O processo envolve valores subjetivos; 
(d) O processo se desenvolve através de regras institucionais. 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS DECISÕES 
 Nível de Importância: 
 Estratégicas;  Alcance; 
 Tática;   Extensão; 
 Operacional.  Orientação. 
 
 Grau de Estruturação: 
RELAÇÃO ENTRE A PESQUISA OPERACIONAL E TOMADA DE DECISÃO 
PESQUISA OPERACIONAL  DECISÃO RACIONAL 
 
 Decisão Racional é aquela em que: 
 Os resultados são satisfatórios; 
 Os meios disponíveis são aproveitados; 
 Existe consistência nas ações táticas e operacionais; 
 Existe a avaliação das conseqüências e dos requisitos da decisão. 
 
 
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 Dificuldades na obtenção de uma decisão racional: 
 Identificação incorreta do problema; 
 Desconhecimentos de determinadas alternativas disponíveis; 
 Desconhecimento de determinadas restrições; 
 Necessidade de envolvimentos de muitas pessoas; 
 Urgência na tomada de decisões; 
 Desconhecimento da política econômica. 
 
 Fases de um estudo de Pesquisa Operacional: 
a) Delimitação do Sistema a ser analisado e observação dos sintomas; 
b) Elaboração do diagnóstico do sistema e identificação do problema; 
c) Definição e formulação do problema; 
d) Construção do modelo representativo da realidade presente; 
e) Escolha do método de solução ou de uma nova concepção de modelo; 
f) Resolução do problema modelado; 
g) Interpretação dos resultados; 
h) Validação do modelo ou reformulação do problema com a construção de um novo 
modelo; 
i) Resolução do novo problema; 
j) Análise de Sensibilidade e interpretação dos resultados para a geração de alternativas de 
decisão; 
k) Escolha da melhor alternativa; 
l) Implementação da decisão e avaliação dos resultados. 
 
DIAGRAMA APRESENTANDO AS FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL 
 
 
 
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3 - FORMULAÇÃO DE MODELO NO PROCESSO DE DECISÃO 
 
O processo de decisão de um gestor da produção é semelhante ao de qualquer indivíduo 
racional. Para escolher a ação que mais se aproxima do objetivo desejado, o tomador de decisão 
procura visualizar as conseqüências prováveis de cada alternativa possível. É evidente que esse 
processo é tão mais simples e intuitivo quanto mais simples for a decisão, não importando se se 
trata de uma decisão doméstica ou empresarial. Por exemplo, pode-se citar uma avaliação 
proposta por Pinto (2000), quando uma dona-de-casa precisa decidir entre comprar refrigerante 
ou frutas para fazer um suco, esta vai seguir intuitivamente um raciocínio lógico através do qual 
procurará alinhar as vantagens e desvantagens de cada alternativa, segundo seus próprios 
critérios de decisão. Alguns critérios que poderiam ser usados pela dona-de-casa são: 
 Custo de cada produto; 
 Grau de satisfação que cada produto dá à família; 
 Efeitos negativos para a saúde. 
 
Segundo esses critérios, as conseqüências de cada alternativa são: 
 
a) Comprando refrigerante: 
 Gasta-se menos dinheiro; Agrada à família que a prefere; 
 Risco para a família por causa do aumento do colesterol. 
 
b) Comprando frutas para o suco: 
 Gasta mais dinheiro; 
 Desagrada à família; 
 Não coloca em risco a saúde. 
 
Dependendo do peso que atribuir a cada conseqüência, a dona-de-casa poderá chegar a 
uma conclusão. Se, por exemplo, a restrição da família for dinheiro, a decisão que lhe parecerá 
melhor será comprar refrigerante (pelo menos como decisão de curto prazo). Como nesse caso, 
mesmo em problemas simples onde o tomador de decisão não precisa formular conscientemente 
listas de alternativas de ação e respectivas conseqüências, em algum ponto do processo de 
decisão, ele deve fazer uma ligação entre o que pode fazer e o que acontecerá em cada caso. Isto 
significa que ele deve ter um modelo mental do processo para gerar as conseqüências possíveis 
das ações. No entanto, a partir de determinado nível de complexidade, torna-se quase impossível 
estimar corretamente as implicações de uma decisão, sem avaliar corretamente as informações 
disponíveis, numa forma lógica e ordenada. Esse tipo de análise estruturada dos dados é 
essencialmente uma forma de modelagem do problema. 
 
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Figura 3.1 - O Processo de Decisão. 
 
Analisando um caso mais complexo, tem-se que empresa que produz apenas dois 
produtos, cada um necessitando de trabalho e matéria-prima para o processo de fabricação. O 
problema do responsável pela produção é calcular as quantidades dos dois produtos que devem 
ser produzidos de forma a maximizar o lucro total e, ao mesmo tempo, satisfazer as restrições de 
disponibilidade de trabalho e matéria-prima e as restrições de demanda. 
Os dados de entrada para o problema seriam: 
 
 Quantidades de trabalho e materiais necessários para produzir uma unidade de cada produto; 
 Custos por unidade de trabalho e matéria-prima; 
 Disponibilidades de trabalho e matéria-prima; 
 Preço de venda de cada produto; 
 Quantidade máxima que pode ser vendida de cada produto; 
 
O modelo nesse problema deve: 
 
 Representar as relações entre o lucro, o custo e as quantidades disponíveis dos recursos; 
 Representar o processo de conversão dos recursos em produtos; 
 Gerar soluções que respeitem as restrições de disponibilidade de recursos e de demanda. 
 
A partir das soluções geradas, o modelo pode fornecer relatórios sobre: 
 
 Lucro total; 
 Contribuição de cada produto para o lucro; 
 Quantidade a produzir de cada produto; 
 Quantidade utilizada de cada recurso. 
 
 
3.1 - Variáveis do Problema 
 
Tanto os dados de entrada de um problema quanto os dados gerados internamente pelo 
modelo, durante o processo de solução, podem assumir valores diversos, os quais são grandezas 
associadas às variáveis do problema, sob as condições válidas para aquela solução. Algumas 
 
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variáveis têm seus valores determinados externamente ao modelo - são as chamadas variáveis 
não-controláveis ou variáveis exógenas. Quando uma variável tem seu valor dependente do valor 
de uma ou mais variáveis, sendo calculado internamente pelo modelo, durante o processo de 
solução, recebe o nome de variável endógena ou variável controlável. No caso particular em que a 
variável indica para o analista uma grandeza representativa da solução procurada, receberá a 
denominação de variável de decisão. 
 
3.2 - Tipos de Modelos 
 
O relacionamento entre variáveis em um modelo é, na maioria das vezes, escrito em 
termos matemáticos. Existem diversas formas de gerar e utilizar essas relações e, por isso, 
existem vários tipos de modelos. 
O modelo mais apropriado para um dado contexto ou problema depende de vários fatores 
como: 
 
 Natureza matemática das relações entre as variáveis; 
 Objetivos de quem está tomando as decisões; 
 Extensão do controle sobre as variáveis de decisão; 
 Nível de incerteza associado com o ambiente da decisão. 
 
 
Com base nestas considerações, os modelos podem ser divididos em dois grandes tipos: 
modelos de simulação e modelos de otimização. 
 
3.2.1 - Modelo de Simulação 
 
Modelos de Simulação procuram oferecer uma representação do mundo real com o 
objetivo de permitir a geração e a análise de alternativas, antes da implementação de qualquer 
uma delas. Com isso, dão ao engenheiro de produção um grau de liberdade e flexibilidade 
considerável, com relação à escolha da ação mais conveniente. Sendo assim, o engenheiro de 
produção pode criar ambientes futuros possíveis e testar alternativas, procurando responder a 
questões do tipo "que acontecerá se?". 
 
 
3.2.2 - Modelos de Otimização 
 
O modelo de otimização não permite flexibilidade na escolha da alternativa (ao contrário do 
de simulação), já que é estruturado para selecionar uma única solução, que será considerada 
 
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ótima, com relação a algum critério. Esse critério de otimização (função-objetivo) é escolhido pelo 
tomador de decisão, e o modelo encontra a melhor alternativa através de uma análise 
matemática. 
 
 
- Procedimento para Desenvolvimento 
 
Os passos que devem ser seguidos para o modelo de otimização são: 
 
a) Definição do problema 
 
Inicialmente o engenheiro de produção deve reconhecer que existe um problema para o 
qual é indicada a procura da melhor solução, pela pesquisa dos valores ótimos das variáveis de 
decisão. Normalmente, pode-se considerar que será mais útil empregar técnicas de otimização 
em vez de simulação, para procurar iterativamente uma solução ótima, ou próxima da ótima, 
quando: 
 
 Existirem muitas variáveis de decisão ou quando as variáveis puderem assumir valores numa 
faixa ampla de viabilidade, fazendo com que os modelos de simulação se tornem muito lentos; 
 
 Existirem restrições nos recursos ou variáveis resultando na complexidade do processo de 
escolha dos valores das variáveis; 
 
 Os sistemas forem tais que algumas variáveis devam ter seus valores calculados de forma 
precisa, para respeitar restrições ou evitar grandes variações no resultado final. 
 
 
b) Identificação das variáveis relevantes 
 
O conjunto de variáveis relevantes para um modelo de otimização inclui: 
 
 As variáveis de decisão para as quais o engenheiro de produção procura valores ótimos; 
 Variáveis exógenas (não controláveis) que servem de base para a definição de restrições ou 
de variáveis endógenas; 
 Variáveis endógenas (controláveis) que, dependendo dos valores de outras, muitas vezes 
entram na formação da função-objetivo, que o tomador de decisão deve especificar. 
 
 
 
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c) Formulação da função-objetivo 
 A função-objetivo reflete o critério de otimização das variáveis de decisão e deve ser escrita na 
forma matemática. 
 
d) Formulação das restrições 
 Em grande número de modelos de otimização, as variáveis são sujeitas a algumas restrições, 
que devem ser escritas em forma matemática. Da mesma forma, o relacionamento entre as 
variáveis deve ser formulado matematicamente; 
 
e) Escolha do método matemático de solução 
 Tendo definido o problema, deve-se escolher um método matemático apropriado para a 
solução do modelo. A escolha do método é feita tendo em vista o tipo de modelo matemático 
criado e as análises e questões para as quais o modelo deve fornecer subsídios. 
 
f) Aplicação do método de solução 
 O método de solução é simplesmente um exercício matemático que pode ser realizado 
manualmente ou por computador; 
 
 Em qualquer dos casos, um conhecimento da seqüência de montagem será necessário, seja 
para desenvolver o processo de cálculo, seja para acompanhar a solução do computador e 
entender suas mensagens. 
 
g) Avaliação da solução 
 Uma vez obtida a solução, esta deve ser verificada e avaliada à luz das expectativas e 
experiências do administrador, antes de sua efetiva implementação; 
 
 É claro que, nessa fase do modelo, tanto pode ser aceito como pode ser necessário proceder 
as correções, paraserem incorporadas novas restrições, novas variáveis ou mesmo novos 
critérios; 
 
 É importante lembrar que a maioria das decisões deve ser tomada em um ambiente de risco e 
incerteza e que grande parte dos modelos de otimização são determinísticos. Assim, uma 
estimativa do risco deve ser conseguida através de uma análise de sensibilidade pós-
otimização. 
 
 
 
 
 
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4 – PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
Em diversas áreas do mundo real existe a escassez de determinado produto ou matéria-
prima por sua dificuldade de produção e/ou de obtenção, entre outras razões. Esta dificuldade 
gera problemas para empregar melhor estes recursos escassos de forma eficiente e eficaz. 
Busca-se, portanto, maximizar ou minimizar uma quantidade (Lucro, Receita, Custo, números de 
produtos, entre outros), chamada de objetivo, que depende de um ou mais recursos escassos. 
Estes processos de otimização de recursos são aplicados a diversas áreas e entre elas pode-se 
citar: 
 Determinação de Mix de Produtos; 
 Escalonamento de Produção; 
 Roteamento e Logística; 
 Planejamento Financeiro; 
 Carteiras de Investimento; 
 Análise de Projetos; 
 Alocação de Recursos; 
 Designação de Equipes. 
 
A área que estuda a otimização de recursos é denominada Programação Matemática. Nela 
a quantidade a ser maximizada ou minimizada é descrita como uma função matemática dos 
recursos (variáveis de decisão) escassos. As relações entre as variáveis são formalizadas através 
de restrições ao problema expressas como equações e/ou inequações matemática. Quando no 
problema de programação matemática todas as funções-objetivos e restrições são representadas 
por funções lineares o problema passa a ser chamado de Programação Linear. 
 
Exemplo 4.1: (Bronson, 1985) O açougue de um povoado prepara tradicionalmente suas 
almôndegas, misturando carne bovina magra e carne de porco. A carne bovina contém 80% de 
carne e 20% de gordura e custa R$6,00 o quilo; a carne de porco contém 68% de carne e 32% de 
gordura e custa R$4,80 o quilo. Quanto de carne bovina e quanto de carne de porco o açougue 
deve utilizar por quilo de almôndega se desejar minimizar seu custo e conservar a almôndega com 
teor de gordura de no máximo 25% (Monte apenas o modelo para resolução). 
 
Solução: 
Objetivo: Minimizar o custo de fabricação das almôndegas. 
 
Variáveis de decisão: 
- XBoi = quantidade de carne bovina em cada quilo de almôndega; 
- Xporco = quantidade de carne suína em cada quilo de almôndega. 
 
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Função- Objetivo: C = 6,00x XBoi + 4,80x Xporco 
 
Restrições: 
Teor de Gordura: 0,20x XBoi + 0,32x Xporco  0,25 
Teor de Carne: 0,80x XBoi + 0,68x Xporco  0,75 
Peso da almôndega: XBoi + Xporco = 1 
Não-Negatividade: XBoi  0 Xporco  0 
 
Exemplo 4.2: (Bronson, 1985) Um carpinteiro possui 6 peças de madeira e dispõe de 28 horas 
de trabalho para confeccionar peças ornamentais. Dois modelos venderam muito bem no 
passado, de maneira que ele se limitou a esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2 
peças de madeira e 7 horas de trabalho enquanto o modelo II necessita de 1 peça de madeira e 8 
horas de trabalho. Os lucros com os modelos são respectivamente, R$360,00 e R$240,00. 
Quantas peças de cada modelo o carpinteiro deve montar para o obter o lucro máximo? (Monte 
apenas o modelo para resolução). 
 
Solução: 
Objetivo: Maximizar o lucro com as vendas de peças ornamentais. 
 
Variáveis de decisão: 
- XM1 = quantidade de peças modelo 1 fabricada; 
- XM2 = quantidade de peças modelo 2 fabricada; 
 
Função- Objetivo: L = 360,00x XM1 + 240,00x XM2 
 
Restrições: 
Quantidade de Madeira Disponível: 2x XM1 + 1x XM2  6 
Quantidade de Horas de Trabalho: 7x XM1 + 8x XM2  28 
Não-Negatividade: XM1  0 XM2  0 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS: 
 
4.1) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de $5.000,00 e 
o lucro unitário de P2 é de $9.000,00. A empresa precisa de 100 horas para fabricar uma unidade 
de P1 e de 150 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível 
para isso é de 6.000 horas. A demanda esperada para cada produto é de 48 unidades anuais para 
P1 e 36 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu 
lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso. 
 
 
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4.2) Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade 
mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma 
pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades 
de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 
unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para 
suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de 
carne custa $3,00 e cada unidade de ovo custa $2,50. 
 
4.3) Uma agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de produto não-
lucrativo. Isto criou um considerável excedente na capacidade de produção. A gerência está 
considerando dedicar esta capacidade a um ou mais produtos, identificados como 1, 2 e 3. A 
capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela que 
se segue: 
Tipo de máquina Tempo disponível (horas de máquina) 
A 500 
B 350 
C 150 
 
O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecido 
como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade), conforme representado a 
seguir. 
 
Tipo de máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 
A 9 3 5 
B 5 4 0 
C 3 0 2 
 
O lucro unitário estimado é de $30,00 ; $12,00 e $15,00, respectivamente, para os produtos 1, 
2 e 3. 
 
4.4) Uma refinaria produz três tipos de gasolina: comum ; aditivada e azul. Cada tipo tem em 
sua composição: gasolina pura, gasolina octana e aditivo, que estão disponíveis nas 
quantidades de 9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As 
especificações de cada tipo são: 
 
Um litro de gasolina aditivada requer: 0,22L de gasolina pura, 0,50L de octana e 0,28L de aditivo; 
Um litro de gasolina azul requer: 0,52L de gasolina pura, 0,34L de octana e 0,14L de aditivo; 
Um litro de gasolina comum requer: 0,74L de gasolina pura, 0,20L de octana e 0,06L de aditivo. 
 
 Devido a um estudo de demanda do mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a 
quantidade de gasolina comum deve ser, no mínimo, igual a 16 vezes a quantidade de gasolina 
aditivada e que a quantidade de gasolina azul seja, no máximo, igual a 600.000 litros. A empresa 
sabe que cada litro da gasolina aditivada, azul e comum retorna um lucro líquido $0,80 ; $0,60 e 
$0,45, respectivamente. Monte o programa de produção que maximize o lucro. 
 
 
4.5) Uma certa organização tem três filiais com capacidade de produção excedente. As três 
fábricas têm capacidade para produzir um certo produto, tendo a gerência decidido utilizar parte 
dessa capacidade de produção excedente para produzir tal produto. Ele pode ser feito em três 
tamanhos – grande, médio e pequeno – os quais produzem um lucro unitário líquido de $140,00 ; 
$120,00 e $100,00 , respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade excedente de mão-de-
obra e de equipamento para produzirem 750, 900 e 450 unidades do produto por dia, 
respectivamente, independentemente do tamanho ou combinação de tamanhos envolvidos. 
Entretanto, a quantidade de espaço disponível para o estoque de produtos em processo também 
impõe um limite às taxas de produção. As fábricas 1, 2 e 3 têm 1.170, 1.080 e 450 metros 
 
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quadrados de espaço disponível para estoque de produtos em processo, em um dia de produção, 
sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e pequeno produzida por dia, requer 1,8 ; 
1,35 e 1,08 metros quadrados,respectivamente. As previsões indicam que podem ser vendidas, 
por dia, 900, 1.200 e 750 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente. 
Para manter uma carga uniforme entre as fábricas, e para reter algum tipo de flexibilidade, a 
gerência decidiu que a produção adicional designada a cada fábrica deve utilizar a mesma 
porcentagem da capacidade excedente de mão-de-obra e de equipamento. A gerência deseja 
saber a quantidade de produto, por tamanho, que deveria ser produzida em cada fábrica para 
maximizar o lucro. 
 
4.6) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos da 
estrutura de um produto, que são designados por modelo I, II, III e IV. Cada um destes modelos 
deve sofrer uma operação de montagem seguida de uma operação de acabamento. Os modelos 
necessitam, respectivamente, de 4h ; 5h ; 3h e 5h de montagem e de 2h ; 1h30min ; 3h e 3h para 
acabamento. Os lucros sobre as vendas dos modelos são, respectivamente $7,00 ; $7,00 ; $6,00 
e $9,00. O fabricante dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores 
trabalhando 40 horas semanais) e de 20.000 horas para acabamento (500 operários trabalhando 
40 horas semanais). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido a fim de maximizar o 
lucro? Admita que todas as unidades produzidas possam ser vendidas. Relatar também qual será 
o lucro máximo. 
 
4.7) Uma empresa de logística tem duas frotas de caminhões para realizar transportes de cargas 
para terceiros. A primeira frota é composta por caminhões médios e a segunda por caminhões 
gigantes, ambas com condições especiais para transportar sementes e grãos prontos para o 
consumo, como arroz e feijão. A primeira frota tem uma capacidade de peso de 70.000kg e um 
limite de volume de 1.000m3, enquanto a segunda pode transportar até 90.000kg e acomodar 
1.250m3 de volume. O próximo contrato de transporte refere-se a uma entrega de 100.000kg de 
sementes e 85.000kg de grãos, sendo que a empresa pode aceitar levar tudo ou somente uma 
parte da carga, deixando o restante para outra transportadora entregar. O volume ocupado pelas 
sementes é de 0,02m3 e o volume dos grãos é de 0,01m3 por quilograma. Sabendo que o lucro 
para transportar as sementes é de $0,32 por quilograma e o lucro para transportar os grãos é de 
$0,35 por quilograma, encontre, quantos quilogramas de sementes e quantos quilogramas de 
grãos a empresa deve transportar para maximizar o seu lucro. 
 
4.8) Uma indústria de fabricação de laminados em alumínio tem contratos fechados de 
fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas que fabrica: espessuras fina, média ou 
grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São 
Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 
toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. 
Devido à qualidade dos produtos fornecidos por esta empresa, há uma demanda extra para cada 
tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário de R$120.000,00 para 
uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 
toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é 
de R$200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas 
médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar 
para atender aos pedidos ao menor custo possível? As fábricas deverão trabalhar dias inteiros. 
 
 
 
4.9) Um avião tem três compartimentos para transportar carga: frente, centro e traseira. Esses 
compartimentos têm limites de capacidade tanto em peso quanto em volume, sendo que: Frente 
tem capacidade de 12 toneladas e 189 m3; Centro tem capacidade de 18 toneladas e 243 m3 e 
Traseira tem capacidade de 10 toneladas e 135 m3. Além disso, o peso da carga nos respectivos 
compartimentos tem que observar a mesma proporção das capacidades de peso dos 
 
14 
compartimentos, para manter o equilíbrio do avião. As quatro cargas da tabela abaixo aguardam 
remessa nos próximos vôos, à medida que haja espaço disponível. 
Carga Peso (ton) Volume (m3/ton) Lucro ($/ton) 
1 20 13,5 220 
2 16 18,9 280 
3 25 16,2 250 
4 13 10,8 200 
 
Pode ser aceita qualquer proporção dessas cargas. O objetivo é determinar quanto (se algo) de 
cada carga deve ser aceito e como distribuí-las pelos compartimentos a fim de maximizar o lucro 
total do vôo. 
 
4.10) Um investidor possui R$26.000,00 e tem à sua disposição 3 alternativas para aplicar seu 
capital, além de deixa-lo na Caixa Econômica Federal (rendendo 6% ao ano). 
 
Alternativa 1: Comprar um lote de ações cujo preço unitário é R$3,75 e cuja rentabilidade anual 
esperada é de 36%; 
Alternativa 2: Comprar letras de câmbio cujo preço unitário é R$2,81 e cuja rentabilidade anual é 
de 25%; 
Alternativa 3: Comprar Títulos do Tesouro Nacional cujo preço unitário é R$1,65 e cuja 
rentabilidade anual é de 12%. 
 
Supondo que o investidor não deseje mais do que 2.000 ações e/ou letras de câmbio; que seu 
corretor só possa conseguir até 1.100 ações e 1.200 letras de câmbio; que o investidor queira (por 
medida de segurança quanto à liquidez) deixar, pelo menos, R$3.700,00 na Caixa Econômica 
Federal; que o investimento feito em Títulos do Tesouro Nacional não ultrapasse 1,7 vezes o 
depósito deixado na Caixa Econômica, que quantidades deve alocar o investidor a cada 
alternativa, considerando que o seu objetivo é maximizar o seu capital no fim do ano? Formule o 
problema em termos de Programação Linear. 
 
4.11) Este problema se refere à programação agrícola relacionada à alocação das atividades para 
três regiões. Formule este caso de programação linear conforme os dados apresentados na tabela 
abaixo a fim de maximizar o lucro. 
 
Regiões Área Total (alqueire) Disponibilidade total de água 
por região (m3) 
A 400 600 
B 600 800 
C 300 375 
 
Produto Área máxima por 
produto (alqueire) 
Consumo de água 
por área (m3/alqueire) 
Lucro por unidade de 
área ($ por alqueire) 
Trigo 600 3 400 
Algodão 500 2 300 
Soja 325 1 100 
 
 
 
 
 
 
15 
 
4.1 – Métodos de Resolução de Problemas de Programação Linear 
 
O primeiro método de resolução de problemas de programação linear é o método gráfico 
que é utilizado quando o problema apresenta apenas duas variáveis de decisão. É um método 
relativamente simples que não será abordado neste curso, pois além destes problemas poderem 
ser resolvidos pelo método será discutido a seguir, na prática não são comuns problemas que 
apresentem apenas duas variáveis de restrição. 
 
4.1.1- Método Simplex 
O Método Simplex é uma ferramenta utilizada normalmente para a resolução de alocação 
de recursos em problemas que se enquadram dentro da Programação Linear. Conforme já foram 
definidas, em Programação Linear, as relações matemáticas nos modelos dos problemas de 
alocação de recursos são todas equações ou inequações lineares. 
 O Método Simplex de uma fase é utilizado na resolução de problemas de maximização de 
funções objetivo. 
Exemplo 4.3: Um trabalhador autônomo fabrica bancos e cadeiras. Os materiais utilizados na 
fabricação dos produtos são alumínio e madeira. Cada banco consome 2 unidades de madeira e 2 
unidades de alumínio. Cada cadeira consome 3 unidades de madeira e 1 unidade de alumínio. Os 
bancos e as cadeiras geram lucros unitários de $9,00 e $6,00, respectivamente. Sabendo-se que 
o trabalhador tem disponível 26kg de madeira e 14kg de alumínio, qual a produção que 
proporcionará um lucro máximo ao trabalhador. 
 Objetivo: maximizar o lucro. 
 
 Variáveis de decisão: xB = quantidade de bancos a ser fabricada; 
xC = quantidade de cadeiras a ser fabricada; 
 
 Função Objetivo: L = 9xB + 6xC 
 
 Restrições: 2xB + 1xC  14 (Disponibilidade de Alumínio) 
2xB + 3xC  26 (Disponibilidade de Madeira) 
 Não negatividade:xB  0 xC  0 
 
Introduzindo as variáveis de folga, tem-se: 
 
 Restrições: 2xB + 1xC + xFA = 14 (Disponibilidade de Alumínio) 
2xB + 3xC + xFM = 26 (Disponibilidade de Madeira) 
 Não negatividade: xB  0 ; xC  0 ; xFA  0 ; xFM  0 
 
16 
RESOLUÇÃO PELO MÉTODO SIMPLEX: PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO 
 
1° Passo: Colocar todas as variáveis em todas as equações: 
 
 Função Lucro: 1L - 9xB - 6xC + 0xFA + 0xFM = 0 (1) 
 Restrições: (Disponibilidade de Alumínio) 0L + 2xB + 1xC + 1xFA + 0xFM = 14 (2) 
 (Disponibilidade de Madeira) 0L + 2xB + 3xC + 0xFA + 1xFM = 26 (3) 
 
Como existem 2 equações de restrição e 4 incógnitas, deve-se zerar 2 incógnitas. 
 
2° Passo: solução básica inicial = zerar as variáveis de decisão. Assim sendo, xB = 0 e xC = 0 
 
 = 0 = 0  0  0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 2 1 1 0 14 Restrição alumínio 
0 2 3 0 1 26 Restrição madeira 
 1 -9 -6 0 0 0 Função Lucro 
 
 
3° Passo: Escolha da coluna pivô: Qual variável igual a zero (xB ou xC) deve ter um valor 
positivo? xB pois tem o maior coeficiente na função lucro (L). Portanto, a coluna pivô será a 
coluna xB . 
 Escolha da linha pivô. Qual variável diferente de zero (xFA ou xFM) deve passar a ser 
zero? 
 Qual é o valor que xB pode ter? 
 
Eq. (Restrição Alumínio) : 2xB + 1xC + xFA = 14 
Se xFA = 0 2xB + 1(0) + (0) = 14 xB = 7 
 
Eq. (Restrição Madeira) : 2xB + 3xC + xFM = 26 
Se xFM = 0 2xB + 4(0) + (0) = 26 xB = 13 
 
Portanto, o máximo valor de xB é 7, ou seja, xFA deverá ser zero. Assim sendo, a linha pivô será a 
da equação 2 (restrição de alumínio). 
 
 = 0 = 0  0  0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 2 (elem. pivô) 1 1 0 14 Restrição alumínio 
0 2 3 0 1 26 Restrição madeira 
 1 -9 -6 0 0 0 Função Lucro 
 
 
17 
4º Passo: Coloque 1 no elemento pivô e zero nos outros elementos da coluna pivô (utilizar 
operações com linha de matrizes); 
 Divida a linha pivô pelo valor do elemento pivô (no caso, elemento pivô = 2) 
 
  0 = 0 = 0  0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 1 ½ ½ 0 7 Restrição alumínio 
0 2 3 0 1 26 Restrição madeira 
 1 -9 -6 0 0 0 Função Lucro 
 
 
 A nova linha de restrição de madeira será: 
 
(Linha Madeira Nova) = (linha madeira anterior) – 2 (linha pivô nova) 
 
0 2 3 0 1 26 _ 
0 2 1 1 0 14 
 
0 0 2 -1 1 12 (Linha Madeira Nova) 
  0 = 0 = 0  0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 1 ½ ½ 0 7 Restrição alumínio 
0 0 2 -1 1 12 Restrição madeira 
 1 -9 -6 0 0 0 Função Lucro 
 
 A nova linha lucro será: 
 
(Linha Lucro Nova) = (linha lucro anterior) + 9 (linha pivô nova) 
 
1 -9 -6 0 0 0 + 
0 9 9/2 9/2 0 63 
 
1 0 -3/2 9/2 0 63 (Linha Lucro Nova) 
 
  0 = 0 = 0  0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 1 ½ ½ 0 7 Restrição alumínio 
0 0 2 -1 1 12 Restrição madeira 
 1 0 -3/2 9/2 0 63 Função Lucro 
 
OBS.: Como, no quadro obtido, a função lucro apresenta coeficiente da variável de decisão xC 
negativo, a solução encontrada não é a ótima. Portanto, deve-se repetir o procedimento. 
 
18 
 
5° Passo: Escolha a nova coluna pivô: Neste caso, a única coluna possível é a da variável de 
decisão xC . Portanto a coluna pivô será a coluna da variável xC. 
 Escolha a nova linha pivô: Divida os termos independentes pelos coeficientes da nova 
linha coluna pivô. 
  0 = 0 = 0  0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Indep. Quociente 
0 1 ½ ½ 0 7 7/(1/2)=14 Restrição alumínio 
0 0 2 -1 1 10 12/2 = 6 Restrição madeira 
 1 0 -3/2 9/2 0 63 Função Lucro 
 
Como a linha restrição madeira apresentou o menor coeficiente positivo, está será a nova linha 
pivô. 
  0 = 0 = 0  0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 1 ½ ½ 0 7 Restrição alumínio 
0 0 2 (elem. pivô) -1 1 12 Restrição madeira 
 1 0 -3/2 9/2 0 63 Função Lucro 
 
6º Passo: Coloque 1 no novo elemento pivô e zero nos outros elementos da nova coluna pivô 
(utilizar operações com linha de matrizes); 
 
 Divida a linha pivô pelo valor do elemento pivô (no caso, o elemento pivô = 2) 
 
  0  0 = 0 = 0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 1 ½ ½ 0 7 Restrição alumínio 
0 0 1 -1/2 1/2 6 Restrição madeira 
 1 0 -3/2 9/2 0 63 Função Lucro 
 
 nova linha de restrição de alumínio será: 
 
(Linha Alumínio Nova) = (linha alumino anterior) – 1/2 (linha pivô nova) 
 
0 1 ½ ½ 0 7 _ 
0 0 ½ -1/4 ½ 3 
 
0 1 0 ¼ -1/2 4 (Linha Alumínio Nova) 
 
 
 
 
 
 
19 
  0  0 = 0 = 0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 1 0 1/4 -1/2 4 Restrição alumínio 
0 0 1 -1/2 1/2 6 Restrição madeira 
 1 0 -3/2 9/2 0 63 Função Lucro 
 
 A nova linha lucro será: 
(Linha Lucro Nova) = (linha lucro anterior) + 3/2 (linha pivô nova) 
 
1 0 -3/2 9/2 0 63 + 
0 0 3/2 -3/4 3/4 9 
 
1 0 0 15/4 3/4 72 (Linha Lucro Nova) 
 
  0 0 = 0 = 0 Termo 
 L xB xC xFA xFM Independente 
0 1 0 1/4 -1/2 4 Restrição alumínio 
0 0 1 -1/2 1/2 6 Restrição madeira 
 1 0 0 15/4 3/4 72 Função Lucro 
 
OBS.: Como no quadro obtido a função lucro não apresenta nenhum coeficiente negativo nas 
variáveis de decisão, a solução encontrada é a ótima. 
 SOLUÇÃO ÓTIMA: 
xB = 4 unidades ; 
xC = 6 unidades ; 
xFA = 0 quilos de alumínio ; 
xFM = 0 quilos de madeira. 
 
O Lucro Máximo será $72,00. 
 
 
 
DUALIDADE EM PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
Na resolução de problemas de minimização pelo método simplex pode-se aplicar a 
dualidade. Todo problema de programação linear possui um segundo problema associado. Um 
problema é chamado primal, e o segundo é chamado dual, sendo que ambos são completamente 
inter-relacionados, de forma que a solução ótima de uma fornece informações completas sobre o 
outro. 
 
 
 
20 
Montagem do Problema Dual: 
 
Maximizar: L = c1x1 + c2x2 + c3x3 
 
Sujeito a: a11x1 + a12x2 + a13x3  b1 x1  0 
 
 a21x1 + a22x2 + a23x3  b2 x2  0 
 
 a31x1 + a32x2 + a33x3  b3 x3  0 
 
 O dual do problema acima pode ser escrito: 
 
Minimizar: L1 = b1y1 + b2y2 + b3y3 
 
Sujeito a: a11y1 + a21y2 + a31y3  c1 y1  0 
 
 a12y1 + a22y2 + a32y3  c2 y2  0 
 
 a13y1 + a23y2 + a33y3  c3 y3  0 
 
 As variáveis y1 , y2 e y3 são chamadas variáveis duais. 
 
Resumindo: O problema dual, para os modelos em que as restrições são desigualdades do tipo  
, é construído a partir do primal da seguinte forma: 
 
1) Cada restrição, em um problema, corresponde a uma variável no outro; 
2) Os elementos do lado direito das restrições, em um problema, são os coeficientes da função-
objetivo do outro problema; 
3) Se o objetivo de um problema é maximizar, o do outro será minimizar e vice-versa; 
4) O problema de maximização tem restrições com sentido  e o problema de minimização tem 
restrições com o sentido  ; 
5) As variáveis de ambos os problemas são não-negativas. 
 
 
Interpretação Econômica das Variáveis Duais: 
 
 Com o objetivo de analisar economicamente o significado das variáveis duais, será 
utilizando o seguinte exemplo: 
 
21 
Exemplo 4.4: Uma indústria dispõe de três recursos A, B e C em quantidades limitadas, com os 
quais pretende produzir dois produtos que serão denominados de 1 e 2. A tabela abaixo mostra a 
utilização unitária de cada recurso em cada um dos produtos e a disponibilidade de cada recurso. 
A indústria sabe que cada unidade produzida do produto 1 dá um lucro de 5 e cada unidade 
produzida do produto 2 dá um lucro de 6. O problema de programação da produção da empresa é 
determinar a quantidade a ser fabricada do produto 1 e do produto 2 de forma a maximizar o lucro 
total. 
Recurso Disponibilidade Recurso gasto para fazer 1 unidade de: 
Produto 1 Produto 2 
A 14 1 2 
B 9 1 1 
C 56 7 4 
 
Em forma matemática, o problemapode ser colocado como: 
 
Problema 1: 
Maximizar: L = 5x1 + 6x2 
 Restrições: 1x1 + 2x2  14 
1x1 + 1x2  9 
7x1 + 4x2  56 
 x1  0 ; x2  0 
 Por outro lado, vamos supor que a indústria tenha a alternativa de vender os recursos A , B 
e C no lugar de empregá-los na produção dos dois produtos. 
 O problema que se coloca agora é encontrar o valor da unidade de cada recurso. É 
evidente que a venda dos recursos deve fornecer um ganho pelo menos igual ao obtido com a 
utilização deles na produção. Vamos chamar: 
 y1 : valor do recurso A por unidade; 
 y2 : valor do recurso B por unidade; 
 y3 : valor do recurso C por unidade; 
 O valor total do estoque de recursos é: 
 14y1 + 9y2 + 56y3 
 Em termos desta avaliação dos recursos, cada um dos produtos pode também ser 
avaliado, levando em conta a utilização dos recursos por unidade fabricada. Assim, como o 
produto 1 gasta 1 unidade do recurso A, 1 unidade do recurso B e 7 unidades do recurso C, sua 
avaliação, em termos do conteúdo de recursos, é: 
 1y1 + 1y2 + 7y3 
Analogamente, a avaliação do produto 2 é: 
 2y1 + 1y2 + 4y3 
 
22 
 É claro que essas avaliações dos produtos não podem ser inferiores aos lucros unitários 
fornecidos por cada um. Assim pode-se escrever: 
 1y1 + 1y2 + 7y3  5 
 2y1 + 1y2 + 4y3  6 
 Neste tipo de problema, o gerente tem interesse em determinar o valor mínimo do estoque 
total, respeitando as restrições de que as avaliações dos produtos sejam pelo menos iguais aos 
lucros unitários fornecidos. Em forma matemática, tem-se: 
 
Problema 2: 
Minimizar: L1 = 14y1 + 9y2 + 56y3 
 
Sujeito a : 1y1 + 1y2 + 7y3  5 
 2y1 + 1y2 + 4y3  6 
 y1  0 ; y2  0 ; y3  0 
 
Conforme definido anteriormente, o Problema 1 é o primal e o Problema 2 é o dual. Assim, 
as variáveis duais podem ser interpretadas como as avaliações unitárias dos recursos, relativas às 
contribuições de cada um para a obtenção do lucro total. 
Isso significa que, resolvidos os problemas, as variáveis duais indicam as variações que 
ocorrem no valor da função-objetivo do primal, para variações unitárias nos níveis dos recursos. 
 
Resolução de um exemplo completo: 
 
Minimizar: Z = 5x1 + 2x2 
 Este é o problema dual 
Sujeito a: 6x1 + x2  6 
 4x1 + 3x2  12 
 x1 + 2 x2  4 
 x1  0 ; x2  0 
 
 
Maximizar: Z1 = 6y1 + 12y2 + 4y3 
 Este é o problema primal 
Sujeito a: 6y1 + 4y2 + 1y3  5 
 1y1 + 3y2 + 2y3  2 
 y1  0 ; y2  0 ; y3  0 
 
 
23 
Aplicando o método simplex para a resolução do problema primal, tem-se: 
 
- Introduzir as variáveis de folga nas restrições: 
 
6y1 + 4y2 + 1y3 + yF1 = 5 Portanto: 6y1 + 4y2 + 1y3 + 1yF1 + 0Fy2 = 5 
1y1 + 3y2 + 2y3 + yF2 = 2 1y1 + 3y2 + 2y3 + 0yF1 + 1yF2 = 2 
 
 Z1 = 6y1 + 12y2 + 4y3 + 0yF1 + 0Fy2 
 
- Montando o quadro para resolução do simplex: 
 
 
 Z1 y1 y2 y3 yF1 yF2 B 
0 6 4 1 1 0 5 
0 1 3 2 0 1 2 
 1 -6 -12 -4 0 0 0 
 
Após a resolução aplicando o método simplex, o quadro obtido será: 
  0  0 = 0 = 0 = 0 
 Z1 y1 y2 Y3 yF1 yF2 b 
0 1 0 -5/14 3/14 -2/7 1/2 
0 0 1 23/42 -1/14 3/7 1/2 
 1 0 0 23/7 3/7 24/7 9 
 
 Como não existe nenhum valor negativo nos coeficientes da função Z1, está é a solução 
ótima, em que: 
y1 = ½ ; y2 = ½ ; y3 = 0 ; yF1 = 0 ; yF2 = 0 e Z1 max = 9 
 
A solução do dual será: 
 
x1 = coeficiente da variável yF1 na função Z1 final (no exemplo = 3/7) ; 
x2 = coeficiente da variável yF2 na função Z1 final (no exemplo = 24/7) ; 
xF1 = coeficiente da variável y1 na função Z1 final (no exemplo = 0) ; 
xF2 = coeficiente da variável y2 na função Z1 final (no exemplo = 0) ; 
xF3 = coeficiente da variável y3 na função Z1 final (no exemplo = 23/7) ; 
 
Z1 primal max = Z1 dual min (no exemplo = 9) 
 
24 
5 - PROBLEMA DE TRANSPORTE 
 
O modelo de transporte tem como objetivo minimizar o custo do transporte necessário para 
abastecer n centros consumidores (os destinos) a partir de m centros fornecedores (as origens). 
Para a formulação do modelo de transporte, considere que: 
 as quantidades disponíveis em cada origem são: a1, a2, a3 , a4 ... am ; 
 as quantidades requeridas em cada destino são: b1, b2, b3 , b4 ... bn ; 
 o custo unitário de transporte entre a origem i e o destino j é cij com i = 1, 2, ..., m e 
j = 1, 2, ..., n ; 
 a quantidade do produto a ser transportada da origem i para o destino j é xij . 
 
Então o modelo de transporte é assim formulado: 
Minimizar:  
 
m
i
n
j
ijijxcC
1 1
 
Sujeito a: i
n
j
ij ax 
1
 com i = 1, 2, 3, 4, .... m ; i
m
i
ij bx 
1
 com j = 1, 2, 3, 4, .... n 
Com : 0ijx para i = 1, 2, 3, .... m e j = 1, 2, 3, 4, .... n 
 
O algoritmo de transporte é semelhante ao método simplex, pois a solução envolve : 
(i) A determinação de uma solução inicial básica viável; 
(ii) O teste da solução quanto à condição de ótimo; 
(iii) Melhoria da solução quando não ótima, e 
(iv) Repetição das etapas (ii) e (iii) até obtenção da solução ótima. Só que para resolução 
deste problema utiliza-se o seguinte quadro. 
 
Quadro Genérico: Problema do Transporte 
 Destinos 1 2 3 4 . n Ofertas 
Origens . 
1 c11 C11 C13 c14 . c1n 
 x11 x12 x13 x14 . x1n a1 
2 c21 C22 C23 c24 . c2n 
 x21 x22 x23 x24 . x2n a2 
3 c31 C32 C33 c34 . c3n 
 x31 x32 x33 x34 . x3n a3 
4 c41 C42 C43 c44 . c4n 
 x41 x42 x43 x44 . x4n a4 
. . . . . . . . . . . . . . 
m cm1 cm2 cm3 cm4 . cmn 
 xm1 xm1 xm1 xm1 . xmm am 
 Demandas b1 b2 b3 B4 . bn 
 
25 
EXEMPLO 5.1: Uma indústria fabrica um determinado produto em duas cidades (A e B), sendo 
que o produto é distribuído em três centros de consumo ( I , II , III). 
 
 
Origens Destinos 
 
 
 
 
 A capacidade de produção da indústria em cada cidade é: 
 Cidade A : 15 unidades do produto  a1 
 Cidade B : 25 unidades do produto  a2 
 
A demanda em cada centro consumidor é: 
 Destino I : 20 unidades  b1 
 Destino II : 10 unidades  b2 
 Destino III : 10 unidades  b3 
 
O custo de transporte em cada rota possível é: 
 Rota A para I : $ 10,00  c11 
 Rota A para II : $ 3,00  c12 
 Rota A para III : $ 5,00  c13 
 Rota B para I : $ 12,00  c21 
 Rota B para II : $ 7,00  c22 
 Rota B para III : $ 9,00  c23 
 
Formulação do modelo matemático do problema: 
Minimizar: C = 10 . x11 + 3 . x12 + 5. x13 + 12. x21 + 7 . x22 + 9 . x23 
Sujeito às seguintes restrições: 
 x11 + x12 + x13 = 15 
 Capacidade das Origens  soma das linhas 
 
 x21 + x22 + x23 = 25 
 x11 + x21 = 20 
 
 Capacidade dos Destinos x12 + x22 = 10  soma das colunas 
 
 x13 + x23 = 10 
A 
B 
I 
II 
III 
 
26 
Exercícios: 
5.1) Encontre os custos mínimos para os problemas de transporte abaixo. Os custos 
apresentados na tabela são relativos a cada unidade transportada.: 
a) 
destinos 
 fontes 
1 2 3 
fornecimento 
A $4,50 $7,80 $3,25 300 
B $5,75 $6,31 $4,18 500 
demanda 280 330 190 
 
b) 
destinos 
 fontes 
1 2 3 4 
fornecimento 
A $3,30 $2,80 $4,10 - 450 
B $4,60 - $3,50 $2,40 500 
C - $2,90 $3,60 $2,60 650 
demanda 280 370 440 250 
 
5.2) Uma companhia locadora de automóveis se defronta com um problema de alocação 
resultante dos contratosde locação que permitem sejam os automóveis devolvidos em localidades 
outras que aquelas onde foram originalmente alugados. No presente momento há duas agências 
de locação (origens) com, respectivamente, 25 e 20 carros excedentes e quatro outras agências 
(destinos) necessitando de 12, 13, 11 e 9 carros, respectivamente. Os custos unitários de 
transporte entre as locadoras estão no quadro abaixo: 
 D E S T I N O 
 A B C D 
O 
1 
 
$39,00 
 
$21,00 
 
$24,00 
 
$26,00 
 
25 
O 
R F 
I E 
G 
2 
 
$19,00 
 
$23,00 
 
$20,00 
 
$17,00 
 
20 
R 
E T 
M A 
 12 13 11 9 
 D E M A N D A 
 
5.3) Um comerciante compra ovos em três granjas para revendê-los em três cidades distintas. Ele 
monta contratos de fornecimento com os granjeiros e compromete essa mercadoria em contratos 
de fornecimento com supermercados das cidades, de modo que a produção nas granjas tem 
destino certo nas cidades. As quantidades contratadas nas granjas (caixas com 100 cartelas - 30 
ovos por cartela) e nas cidades e os custos e retornos unitários dessa operação, incluindo os 
custos unitários de distribuição, estão nas tabelas: 
 Produção 
Contratada 
Preço de 
Compra 
 Demanda 
Contratada 
Preço de 
Venda 
 C1 C2 C3 
G1 340 unid. $123,00 C1 410 unid. $215,00 G1 $7 $11 $9 
G2 280 unid. $135,00 C2 300 unid. $225,00 G2 $5 $6 $8 
G3 320 unid. $128,00 C3 230 unid. $212,00 G3 $10 $4 $12 
 
a) Estabelecer um plano de distribuição com o menor custo possível; 
b) Estabelecer um plano de distribuição com a maior receita possível; 
c) Estabelecer um plano de distribuição com o maior lucro possível. 
 
27 
5.4) Uma organização possui três fábricas com capacidade máxima de produção de 400, 500 e 
700 unidades. Os produtos acabados devem abastecer 4 depósitos, sendo que o 1° tem demanda 
mínima de 400 unidades e máxima de 800 unidades; o 2° tem demanda mínima de 300 unidades 
e máxima de 900 unidades; o 3° tem demanda mínima de 250 unidades e máxima de 400 
unidades e o 4° tem demanda mínima de 200 unidades e máxima de 500 unidades. Para 
transportar os produtos da fábrica 1 para os depósitos os custos unitários são: $2,00 ; $5,00 ; 
$4,00 e $8,00, respectivamente. Da fábrica 2 para os depósitos os custos unitários são: $3,00 ; 
$2,00 ; $5,00 e $4,00. Da fábrica 3 para os depósitos os custos unitários são: $5,00 ; $3,00 ; $9,00 
e $5,00. 
 
a) Monte o modelo e calcule a distribuição que proporcione o custo mínimo com transporte; 
b) Se o modelo tivesse que levar em consideração um balanceamento das produções nas 
três fábricas, como ficaria o modelo? 
 
 
6 - MODELOS DE REDE (Texto baseado em Lachtermacher, 2002) 
 
Os modelos de rede são modelos de programação linear que apresentam melhor 
visualização utilizando representações gráficas. Algumas aplicações são: problemas de 
distribuição logística ; problemas de distribuição de energia ; problemas de produção, entre outros. 
Modelos de Rede facilitam a visualização das relações entre os componentes do sistema, 
aumentando o entendimento do problema e de seus possíveis resultados. 
 
6.1 - Terminologia 
 
Redes são diagramas compostos por uma coleção de vértices ou “nós” ligados entre si por 
um conjunto de arcos (ou ramos); 
“Nós” são simbolizados por círculos e representam os pontos de junção que conectam os 
arcos ou ramos; 
Arcos (ou ramos) são representados por linhas, conectam os nós e podem revelar a 
direção do fluxo de um ponto para outro. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 – Componentes de uma rede. 
 
 
Nós 
Arcos 
 
28 
 
Os problemas modelados como redes, geralmente, apresentam números associados aos 
“nós” e aos arcos (ou ramos). O significado destes números pode variar de acordo com o tipo de 
problema com o qual o tomador de decisão estará lidando. Por exemplo: em problemas de 
transporte modelados como redes, os números associados aos “nós” podem representar a 
quantidade de produtos ofertada ou demandada pelo “nó”, ao passo que os valores dos arcos 
podem refletir o custo de transporte (ou tempo, ou distância) entre um “nó” e outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 – Exemplo de problema de transporte modelado como rede. 
 
Diversos problemas de tomada de decisão no mundo real se encaixam em Modelos de Rede: 
o Problemas de Transporte e Rede de Distribuição; 
o Problemas do Menor Caminho; 
o Problemas de Fluxo Máximo. 
 
 
 
6.3 - Problemas de rede de distribuição 
 
 
EXEMPLO 6.1 (a): (Lachtermacher, G. – 2002) Uma montadora de veículos está iniciando as 
suas operações no país, construindo duas fábricas: uma na Bahia e outra em São Paulo. A 
empresa está estudando a forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas. 
Localizadas nos estados de Goiás, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Paraná, Santa Catarina e Rio 
Grande do Sul, que minimize o custo total de distribuição. As capacidades instaladas de cada uma 
das fábricas, as demandas das revendas, bem como os custos de transporte entre as fábricas e 
revendas estão mostrados no diagrama abaixo: 
 
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 6 
[-250] 
[-250] 
[-100] 
[+200] 
[+100] 
[+300] 
10 
12 
7 
10 
3 
4 
5 
5 
4 
 
29 
BA
1
GO
5
MG
3
RJ
4
SP
2
PR
6
SC
7
RS
8
-780
-980
+210
+260
+410
+360
+210
+310
43
28
33
23
22
17 21
37
47
19
18
 
 
6.3.1 - Sistemas Não Equilibrado 
 
Ocorre quando a oferta é maior ou menor que a demanda; 
EXEMPLO 6.1 (B): Suponha que no exercício anterior a capacidade da unidade da Bahia fosse 
de 600 unidades e de São Paulo 800 unidades. 
 
6.4 - Problema do menor caminho 
 
EXEMPLO 6.2: Uma fábrica de artigos de decoração, localizada na cidade A, deve entregar uma 
grande quantidade de peças na cidade B. A empresa quer saber qual o caminho que seu 
caminhão de entregas deve fazer para minimizar a distância total percorrida. A Figura abaixo 
mostra um mapa rodoviário da região em que se situam as duas cidades com as distâncias entre 
as mesmas em forma de rede. 
 
 
 
 
 
 
 
A 
 1 
 2 
 4 
 3 
B 
41 
37 
45 
50 
44 
27 
65 
 
30 
1000 
900 
1100 
900 
600 950 
800 
400 
1800 
6.5 - Problema de fluxo máximo 
 
EXEMPLO 6.3: Uma empresa distribuidora de gás deseja determinar a quantidade máxima de 
metros cúbicos por segundo que pode bombear da estação da cidade C para o centro consumidor 
da cidade D, através da rede de gasodutos existentes. A figura abaixo ilustra a estrutura da rede 
de distribuição e apresenta a capacidade de fluxo máximo nos trechos (em metros cúbicos por 
segundo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.6 - Problemas de escalas de produção 
 
EXEMPLO 6.4: Uma fábrica de eletrodomésticos deseja realizar o escalonamento de sua 
produção de liquidificadores para os próximos quatro meses. A fábrica pode produzir, 
mensalmente, em jornada normal, 150.000 unidades a um custo unitário de $15,00. Através do 
pagamento de horas extras, a capacidade mensal de produção da fábrica pode ser aumentada em 
50.000 liquidificadores, a custo de produção unitário de $22,00 (somente os adicionais). Existe a 
possibilidade de armazenagem (ilimitada) de unidades de um mês para o outro a um custo unitário 
mensal de $3,00. Sabendo que as demandas de liquidificadores para os próximos quatro meses 
são de 120.000 ; 200.000 ; 120.000 e 180.000, resolva o problema. 
 
Exercícios: 
 
6.1) Considere que os números indicados na rede a seguir significam a quilometragem necessária 
para um automóvel percorrer a estrada entre duas cidades indicadas pelos nós A e B. Monte o 
modelo que determine a rota que o automóvel deve seguir para sair de A e chegar em B, 
percorrendo a menor quantidade de quilômetros possível. (Resolver utilizando o Solver). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C 
 1 
 2 
 3 
 4 
 D 
40 
30 
20 
30 
30 
20 
40 
1300 
1200
00 
 600 
 
A 
 1 
 3 
 2 
 4 
 5 
 6 
 B 
 600 
 400 
 
31 
6.2) Uma fábrica produz aparelhos eletrodomésticos em uma única unidade.A demanda esperada 
para um desses aparelhos durante os próximos quatro meses está representada na tabela abaixo, 
junto com os custos de produção esperados, além da capacidade de produção desses itens. Além 
da produção normal, é possível uma produção extra, a um custo de $10,00 acima do custo 
esperado. Ainda na mesma tabela, pode ser vista a capacidade de produção extra. 
Mês 1° 2° 3° 4° 
Demanda 420 580 310 540 
Custo de Produção $49,00 $45,00 $46,00 $47,00 
Capacidade de Produção 500 470 300 450 
Capacidade Extra 50 60 45 20 
 A empresa estima que gastará $1,50 por mês para cada unidade desses aparelhos 
armazenados em estoque de um mês para o seguinte. A empresa quer produzir pelo menos 300 
unidades por mês. De acordo com o enunciado, determine quantos aparelhos devem ser 
fabricado durante cada um dos quatro meses de produção normal e produção extra, para atender 
às demandas ao menor custo possível. 
 
6.3) Uma empresa de logística deseja saber a tonelagem máxima de material que pode 
transportar do Porto A para o Porto F através de vias fluviais. O diagrama abaixo apresenta os 
portos intermediários e a tonelagem máxima que pode sair de um porto para outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 – TEORIA DAS FILAS (Não será abordado no nosso curso) 
 
 
7.1 - Introdução: 
 
Um processo de filas consiste em chegadas de usuários em um estabelecimento de 
prestação de serviços, esperando alinhados (em fila) se todos os atendentes estiverem ocupados, 
recebendo o serviço e finalmente deixar o estabelecimento. 
Um sistema de filas consiste em um conjunto de usuários, com conjunto de atendentes e 
uma ordem pela qual os usuários chegam e são processados. 
Um sistema de filas é um processo de nascimento e morte com uma população composta 
de usuários esperando para serem atendidos e sendo atendidos. 
Um nascimento ocorre quando um usuário chega no estabelecimento de prestação de 
serviços. 
 
A 
 B 
 C 
 D 
 E 
 F 
90 
40 
30 
15 
35 
95 
60 
65 45 
 
32 
Uma morte ocorre quando um usuário deixa este estabelecimento; 
O estado do sistema é o número de usuários no estabelecimento. 
Um dos sintomas mais freqüentes de funcionamento deficiente de um sistema é o 
congestionamento de clientes. Quando o número de clientes à espera de atendimento num banco, 
permanentemente, for muito grande é sinal de que o número de caixas não está adequadamente 
dimensionado. Alguns exemplos são: 
 Estabelecimento de uma política de atendimento ao público, em empresas concessionárias 
de serviços públicos, determinando o número de atendentes e a especialização de cada 
um; 
 Estudo de um sistema de almoxarifados, de forma a determinar os custos totais de 
operação; 
 Estudo da operação de um centro de processamento de dados, com o objetivo de 
determinar políticas de atendimento e prioridades para execução dos serviços; 
 Determinação de equipes de manutenção em grandes instalações, onde há custos 
elevados associados aos equipamentos danificados à espera de reparos; 
 Estudo de operação de caixas (bancos, supermercados, etc.) com o objetivo de 
estabelecer uma política ótima de atendimento ao público. 
 
Vários outros casos de aplicações podem ser citados: programação de tráfego aéreo em 
aeroportos; determinação de capacidade de pátios de estacionamento de automóveis; tempo de 
espera de comunicações telefônicas; sincronização de semáforos; estudo e programação de 
linhas de montagem, etc. 
 
7.2 - CARACTERÍSTICAS DAS FILAS: 
Os sistemas de filas são caracterizados por cinco componentes: 
 Modelo de chegada dos usuários; 
 Modelo de serviço; 
 Número de atendentes; 
 Capacidade do estabelecimento para atender usuários; 
 Ordem em que os usuários são atendidos. 
 
7.2.1 - Modelos de Chegada 
 
O modelo de chegada dos usuários é usualmente especificado pelo tempo entre 
chegadas, tempo entre chegadas sucessivas de usuários ao estabelecimento de prestação de 
serviços. 
 
33 
Ele pode ser determinístico (isto é, exatamente conhecido) ou ele pode ser uma variável 
aleatória, cuja distribuição de probabilidades é presumivelmente conhecida. Ele depende do 
número de usuários já no sistema ou pode ser estabelecido independentemente. 
Também de interesse é se os usuários chegam um-a-um ou em conjuntos e se o 
impedimento ou a renegação são permitidos. 
O impedimento ocorre quando um usuário chega e se recusa a entrar no estabelecimento 
de prestação de serviços porque a fila está muito comprida. 
A renegação ocorre quando um usuário que já está na fila deixa-a e, também ao 
estabelecimento, porque a espera está muito demorada. 
A menos que estabelecido o contrário, a suposição padrão será feita estabelecendo que, 
todos os usuários chegam a sós e que nem o impedimento nem a renegação ocorrem. 
 
7.2.2 - Modelos de Serviço 
 
O modelo de serviço é normalmente especificado pelo tempo de serviço, ou seja, o tempo 
requerido por um atendente para atender um usuário. 
O tempo de serviço pode ser determinístico ou pode ser uma variável aleatória cuja 
distribuição de probabilidades é presumivelmente conhecida. 
Ele pode depender do número de usuários já no estabelecimento ou pode ser estabelecido 
independentemente. 
Também é de interesse se o usuário é atendido completamente por um atendente ou, 
como o usuário requer uma seqüência de atendentes. 
A menos que estabelecido o contrário, a suposição padrão será feita, estabelecendo que 
um atendente pode atender completamente um usuário. 
 
7.2.3 - Capacidade do Sistema 
 
A Capacidade do Sistema é o número máximo de usuários, tanto aqueles sendo atendidos 
quanto aqueles na(s) filas(s), permitidos no estabelecimento de prestação de serviços ao mesmo 
tempo. 
Sempre que um usuário chega ao estabelecimento, que já está lotado, este usuário é 
impedido de entrar. A tal usuário não é permitido esperar do lado de fora (já que isto aumenta 
efetivamente a sua capacidade), mas é forçado a deixar o estabelecimento sem ter sido, no 
entanto, atendido. 
Um sistema que não tenha limite no número permitido de usuários dentro do 
estabelecimento tem uma capacidade infinita. Um sistema com limite tem capacidade limitada. 
 
 
 
34 
7.2.4 - Disciplina das Filas 
 
A disciplina de fila é a ordem na qual os usuários são atendidos. Isto pode ocorrer na base 
de primeiro a entrar, primeiro a sair (FIFO) (isto é, atendimento pela ordem de chegada). 
Na base de o último a entrar primeiro a sair (LIFO) (isto é, o usuário que chega por último é 
o primeiro a ser atendido), em uma base aleatória ou em uma base de prioridades. 
Existem alguns parâmetros importantes no estudo de Filas: 
 Tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera: TF; 
 Tempo médio gasto pelo cliente no sistema, ou seja, média dos tempos computados desde o 
instante de entrada até a saída: TS; 
 Número médio de clientes na fila: NF; 
 Número médio de clientes em atendimento: NS; 
 Probabilidade de existir um número “n” de clientes no sistema num determinado momento. 
 Porcentagem do tempo em que o posto de atendimento permanece ocioso ou ocupado; 
 
Tabela 7.1 – Simbologia utilizada no estudo de filas. 
 
 
Característica da Fila 
 
 
Símbolo 
 
Significado 
 
Tempo entre Chegadas 
 
Tempo de Atendimento 
 
 
D 
M 
G 
 
Determinístico 
Exponencial 
Outras 
 
 
 
Disciplina da Fila 
 
FIFO 
LIFO 
SIRO 
PRI 
GD 
 
Primeiro a Entrar, Primeiro a Sair 
Último a Entrar, Primeiro a Sair 
Atendimento Aleatório 
Ordem por Prioridade 
Outra Ordem 
 
 
35 
 
 
 
Figura 7.1 - Exemplos de Filas. (Fonte:Bronson, 1985) 
 
 
 
 
 
36 
7.5 - Notação de KENDALL 
 
A notação Kendall para especificação das características das filas é v / w / x / y / z, em que: 
v indica o modelo de chegada; 
w denota o modelo de serviço; 
x significa o número de atendentes disponíveis; 
y representa a capacidade do sistema; 
z designa a disciplina da fila.Se y ou z não forem especificados, considerado-se como sendo  e FIFO, respectivamente. 
 
EXEMPLO 7.1: Um sistema M/D/2/5 LIFO tem tempos entre chegadas distribuídos 
exponencialmente (M), tempos de atendimento determinísticos (D), dois atendentes (2) e um limite 
de cinco usuários dentro do estabelecimento de prestação de serviços ao mesmo tempo (5), 
sendo que o último usuário a chegar é o primeiro a ser atendido. Um sistema D/D/1 tem ambos os 
tempos entre chegadas e de atendimento determinístico e somente um atendente. Como a 
capacidade do sistema e a disciplina da fila não são especificadas, elas são consideradas como 
infinita e FIFO, respectivamente. 
 
Exercício 7.1: Identifique os usuários, os atendentes e as características da fila que se forma, em 
um corredor único de um posto de lavagem automática de carros. 
 
Exercício 7.2: Um novo televisor chega para inspeção a cada 3 minutos, feita por um engenheiro 
de controle de qualidade, sendo que o primeiro a chegar é o primeiro a ser inspecionado. Existe 
somente um engenheiro disponível e ele gasta 4 minutos para inspecionar cada novo aparelho. 
Determine o número médio de televisores esperando por inspeção no final da primeira meia hora 
de expediente, se não existe nenhum aparelho esperando por inspeção no começo do expediente. 
 
Exercício 7.3: Os ônibus de uma empresa chegam para limpeza na garagem central em grupos 
de cinco a cada hora, na hora inteira. Os ônibus são atendidos em ordem aleatória, um de cada 
vez. Cada um requer 11 minutos para ser completamente limpo deixando a garagem tão logo o 
serviço esteja pronto. Determine (a) o número médio de ônibus na garagem, (b) o número médio 
de ônibus esperando para serem limpos e (c) o tempo médio que um ônibus permanece na 
garagem. 
 
8 - SIMULAÇÃO 
Simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema, com o auxílio de um modelo, 
o que nos permite testar algumas hipóteses sobre o valor de variáveis controladas. As conclusões 
são usadas então para melhorar o desempenho do sistema produtivo em estudo. 
Alguns exemplos que se enquadram dentro do campo de aplicações da simulação são: 
 dimensionamento de instalações; 
 
37 
 programação de sistemas com retroinformação (por exemplo, empresas que fabricam 
produtos por encomenda). Neste caso a programação deve levar em consideração as 
variáveis: capacidade das máquinas usadas na produção; disponibilidade de mão-de-obra; 
suprimento de matéria-prima e data de entrega combinada. Ao chegar um novo pedido, 
essa programação tem que ser revista para incorporar dados novos e conseqüente 
atualização. A chegada de um novo pedido é aleatória, assim como as outras variáveis 
citadas; 
 Dimensionamento de estoques; neste caso devem ser consideradas as variáveis: 
demanda aleatória num período de tempo; tempo aleatório de atendimento de pedido de 
reposição (fabricação ou compra) e estoque inicial e final do período. O problema é manter 
o atendimento dentro dos padrões previamente estabelecidos com a maior economia 
possível no gerenciamento e na manutenção dos estoques. 
A simulação é usada em situações em que é muito caro ou difícil o experimento na 
situação real. Ela nos permite fazer esse experimento com o modelo variando parâmetros críticos, 
para conhecer quais as combinações que dão os melhores resultados. Desta forma, podemos 
analisar o efeito de mudanças sem correr o risco da construção de um sistema real equivocado, o 
que transformaria os custos dessa construção em prejuízos. 
UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE PROMODEL PARA SIMULAÇÃO DE SISTEMAS PRODUTIVOS 
 
9 – BIBLIOGRAFIA 
ANDRADE, E. L.; Introdução à Pesquisa Operacional; Editora LTC- Livros Técnicos e Científicos, 
Rio de Janeiro, 1990. 
BREGALDA, P.F.; Introdução à Programação Linear; Editora Campus, Rio de Janeiro, 1988. 
Bronson, R. ; Pesquisa Operacional, Editora McGraw-Hill, São Paulo, 1985. 
EHRLICH, P. J.; Pesquisa Operacional, Editora Atlas, São Paulo, 1988. 
GONÇALVES, V. et all; Pesquisa Operacional; Editora Atlas, 3ª Edição, São Paulo, 1998. 
HILLER, F.J. & LIEBERMAN, G.J.; Introduction to Operations Research; Editora McGraw Hill, 5ª 
Edição, 1991; 
LACHTERMACHER, G. ; Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões, Editora Campus Ltda, 
Rio de janeiro, 2002. 
PINTO, K. C. R.; Aprendendo a Decidir com a Pesquisa Operacional, Apostila, Faculdade de 
Gestão e Negócios, UFU, Uberlândia, 2000; 
TURBAN, E. & MEREDITH, J.R.; Fundamental of Management Science; Editora Irwin, 6ª Edição, 
1994; 
 
 
 
 
 
38 
10 – APÊNDICE I: UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA “SOLVER” DO MICROSOFT EXCEL 
 
 
Problema do Exemplo 4.3 da página 14. 
 
 Objetivo: maximizar o lucro. 
 
 Variáveis de decisão: xB = quantidade de bancos a ser fabricada; 
xC = quantidade de cadeiras a ser fabricada; 
 
 Função Objetivo: L = 9xB + 6xC 
 
 Restrições: 2xB + 1xC  14 (Disponibilidade de Alumínio) 
2xB + 3xC  26 (Disponibilidade de Madeira) 
 Não negatividade: xB  0 xC  0 
 
 
O segredo de modelagem de um problema de programação linear em uma planilha 
eletrônica está na maneira como os dados são colocados nas células. Primeiramente, deve-se 
designar uma célula para representar cada uma das seguintes entidades: 
 
 Função-objetivo (Expressão a ser Maximizada ou Minimizada); 
 
 Variáveis de Decisão (variáveis que o modelador pode alterar seu valor); 
 
 Para cada Restrição: 
 
o Uma para o lado esquerdo da restrição - LER; 
o Uma para o lado direito da restrição - LDR. 
 
A Figura 10.1 apresenta uma das possíveis maneiras de se representar o problema 
anterior em uma planilha Excel. 
Nesta planilha, as células a seguir designarão cada uma das entidades citadas 
anteriormente. 
 
 B4 irá representar o valor da função-objetivo a ser maximizada; 
 B3 e C3 representarão os valores que as variáveis de decisão assumirão na solução; 
 D8 e D9 irão representar os LER das 2 restrições; 
 E8 e E9 irão representar os LDR das 2 restrições. 
 
 
 
Figura 10.1 – Modelagem do Problema no Excel. 
 
39 
 
Para que se possa definir cada uma das células anteriormente citadas, necessita-se inserir 
uma série de parâmetros do problema, tais como todos os coeficientes das restrições e da função-
objetivo. Para lembrar o que cada célula representa é aconselhável a colocação de títulos que 
especifiquem o conteúdo de cada célula (células com texto). As células B2 e C2 são utilizadas 
para inserir os valores dos coeficientes da função-objetivo, enquanto as células de B7 e C7 
representam os coeficientes das quatro restrições. 
Agora é necessária a definição de cada uma das entradas citadas anteriormente. A Tabela 
10.1 representa as fórmulas colocadas em cada uma destas células. 
 
Tabela 10.1 – Fórmulas Utilizadas nas Células da Modelagem do Problema. 
 
B4 =(B3*B2)+(C3*C2) Função-objetivo 
D8 =B8*$B$3+C8*$C$3 LER da 1ª Restrição 
D9 =B9*$B$3+C9*$C$3 LER da 2ª Restrição 
 
 
Agora, existe a necessidade de informar ao Excel quais são as células que representam a 
função-objetivo, as variáveis de decisão, as restrições do modelo e, finalmente, mandar o Excel 
resolve-las. Isto é feito utilizando-se a Ferramenta (Solver) do Excel. Para tal, clique com o botão 
esquerdo do mouse sobre o nome Tools na barra de menu (Ferramentas na versão brasileira) e 
clique sobre a ferramenta Solver. O Solver é encontrado nas versões de instalação COMPLETA 
do Excel. Se ele não estiver habilitado, clique em SUPLEMENTOS e habilite-o. 
 
 
Figura 10.2 – Tela de Ativação da ferramenta Solver do Excel. 
 
Após este procedimento aparecerá na tela uma janela com o título Solver Parameters. 
Nesta janela é que serão informadas ao software as células que representarão a função-objetivo, 
as variáveis de decisão e as restrições. 
 
Figura 10.3 – Janela da Ferramenta Solver. 
 
40 
Na parte superior da janela aparece um campo para a entrada de dados chamada Target 
Cell (Célula-Alvo) que deve representar o valor da função-objetivo.Existem duas maneiras para 
designar esta célula. A primeira é clicar sobre o ícone que está do lado direito do campo. A 
segunda é digitar o nome da célula (B4 no exemplo em questão) no campo. 
Realizando uma das duas maneiras, o resultado será: 
 
 
 
Figura 10.4 – Escolha da Célula Alvo. 
 
 
Na linha seguinte são apresentadas as opções de maximizar, minimizar e atingir valor. 
Dependendo do problema devemos clicar o mouse sobre uma das três. A opção Value of pode 
ser utilizada em análise do tipo ponto de equilíbrio, onde se deseja que a função Lucro (por 
exemplo) atinja o valor de zero. Nos casos de Programação Linear esta opção não será utilizada. 
Na próxima linha há um campo denominado Changing Cells (Células Variáveis na versão 
brasileira). Neste campo serão inseridas as células que representarão as variáveis de decisão. Os 
valores podem ser inseridos da mesma maneira como o caso da função-objetivo, isto é, clicando 
sobre o ícone à direita do campo e marcando as células escolhidas ou simplesmente digitando 
seus nomes utilizando as regras do Excel para tal. Como resultado tem-se o quadro da Figura 
10.5: 
 
 
 
 
Figura 10.5 – Janela do Solver após a designação das células das variáveis. 
 
 
O próximo passo é designar as restrições do problema. Deve-se inserir uma restrição de 
cada vez. Para inserir a 1ª restrição, clique no botão Add (Adicionar) para aparecer uma janela de 
entrada de restrições como a representada na Figura 10.6. 
 
 
41 
 
 
Figura 10.6 – Janela de Entrada de Restrições. 
 
A janela de restrições tem três campos, que representam o LER - Cell Reference – Célula 
de Referência (à esquerda), o sinal da restrição (ao centro) e o LDR - Constraint - Restrição (à 
direita). Como já mencionado anteriormente, o LER representa a equação do lado esquerdo da 
restrição. O LDR representa o lado direito da restrição. Em ambos os casos não é necessária a 
introdução de variáveis de folga/excesso, já que o Excel fará isto de uma forma automática. A 
Figura 10.7 representa o formato de entrada da 1ª restrição do problema. 2xB + 1xC  14 
 
 
 
Figura 10.7 – Formato de entrada da 1ª restrição. 
 
Vale notar que na célula D8 já havia sido colocada a fórmula que representa 2xB + 1xC ou 
seja, =B8*$B$3+C8*$C$3, em que: 
 
 B8 representa o coeficiente de xB (valor = 2); 
 B3 representa o valor da variável xB (os $ significam que a linha e a coluna são fixas); 
 C8 representa o coeficiente de xC (valor = 1); 
 C3 representa o valor da variável xC (os $ significam que a linha e a coluna são fixas); 
 E8 representa o valor do LDR (constante = 14). 
O passo seguinte será o de clicar no botão 0k, no caso de não haver nenhuma outra 
restrição, ou Add (Adicionar) para confirmar esta restrição e abrir espaço para uma nova entrada. 
Neste caso, deve-se clicar em Add e inserir a outra restrição. Ao final da entrada de todas as 
restrições, a janela de parâmetros do Solver terá a forma representada pela Figura 10.8. 
 
 
 
Figura 10.8 – Janela de entrada de parâmetros do Solver. 
 
 
 
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Faltam ainda as restrições de não-negatividade, isto é, quais variáveis de decisão não são 
negativas. Uma das formas de inserir é, simplesmente, criar restrições dizendo que cada variável 
deve ser maior ou igual a zero, adicionando a restrição mostrada na Figura 10.9. 
 
 
 
Figura 10.9 – Restrições de Não Negatividade.. 
 
 
A última característica do modelo que deve ser implementada é a de Programação Linear. 
Isto é feito na janela de opções da Ferramenta Solver. Para isso, devemos clicar no botão Options 
na janela de parâmetros. Nesta janela, basta marcar a opção Assume Linear Model, bem acima 
da opção de não-negatividade. (Figura 10.10) 
 
 
 
 
Figura 10.10 – Opção de modelo de programação. 
 
 
Uma vez inserido o modelo e suas características, o passo seguinte é a resolução. Para 
tanto basta clicar no botão Solve (Resolver) na janela dos parâmetros da ferramenta Solver do 
Excel. 
Se o modelo foi corretamente inserido, será processado e o resultado será 
automaticamente exibido na planilha. A janela mostrada na Figura 10.11 aparecerá na tela. Se for 
observado valores incoerentes ou inesperados, deve-se neste ponto clicar na opção Restore 
Original Values (Restabeler Valores Originais) para restaurar os valores iniciais do modelo. Existe 
ainda neste ponto a opção de requisitar três tipos de relatórios (lado direito da janela). 
Deve-se tomar cuidado com a mensagem que o Excel está mandando. Neste caso, a 
mensagem é "Solver found a solution. All constraints and optimality conditions are satisfied.", 
informando que uma solução ótima foi encontrada para o nosso modelo. Outras mensagens 
poderiam aparecer, indicando que soluções não foram encontradas por serem inviáveis ou por 
serem ilimitadas. 
Por ora vamos apenas clicar no botão 0K para manter os resultados na planilha, a fim de 
melhor estudá-los. 
 
 
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Figura 10.11 – Opções de resultados da ferramenta Solver. 
 
 
Ao clicar no botão 0K, a janela de Resultados do Solver será apagada e os resultados 
aparecerão na planilha como mostra a Figura 10.12. 
 
 
 
 
Figura 10.12 – Resultados Inseridos na planilha.. 
 
 
Os únicos resultados que podem ser lidos diretamente da planilha são os valores das 
variáveis de decisão na solução ótima e o valor da função-objetivo nesta solução. Esses valores 
se encontram nas células B3, C3 e B4 (Figura 10.12). Para visualizar todos os resultados, 
deveríamos ter marcado a opção Answer (Resposta) na janela de Resultados do Solver (Figura 
10.13). O resultado seria apresentado em uma janela do Excel em separado, como apresentada 
na Figura 10.14. 
 
 
 
Figura 10.13 – Opção do Relatório de Respostas. 
 
 
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Figura 10.14 – Relatório de resultados do Solver. 
 
 
Analisando o resultado recebido, percebe-se que o relatório é dividido em três partes. A 
primeira é relativa à função-objetivo, a segunda tem relação com as variáveis de decisão e a 
terceira com as restrições. 
A primeira parte simplesmente mostra no lado esquerdo a célula que foi escolhida para 
representar a função-objetivo, depois o valor inicial da função-objetivo (zero no caso) e, finalmente 
no extremo direito, o valor da função-objetivo na solução ótima. 
A segunda parte simplesmente mostra no lado esquerdo as células que foram escolhidas 
para representar cada uma das variáveis de decisão, depois o valor inicial das mesmas (zero no 
caso) e, finalmente no extremo direito, o valor de cada variável na solução ótima. 
A terceira parte se refere às restrições do modelo. Cada linha desta parte está relacionada 
com uma restrição. No lado esquerdo, na coluna Cell (Célula) aparece cada célula que 
representa o LER (lado esquerdo) de cada restrição. Na coluna Cell Value (Valor da Célula) são 
apresentados os valores das respectivas células na solução ótima, isto é, os valores que são 
obtidos pela substituição dos valores da solução ótima no lado esquerdo das restrições. Sob a 
coluna Fórmula aparece a equação da restrição (célula do LER, o sinal de comparação e a célula 
do RHS). Sob a coluna Status podem aparecer duas opções: Binding (Agrupar) ou Not Binding 
(Não Agrupar). A opção Binding (Agrupar) aparece quando o LER é igual ao LDR na solução 
ótima, significando que a restrição participa da definição da solução ótima, ou seja, limita de 
alguma maneira a melhora do valor da função-objetivo. A última coluna está relacionada às 
variáveis de folga/excesso (Slack Variables). Como é sabido, para cada restrição de desigualdade 
deve-se introduzir uma variável de folga ou de excesso de maneira a transformar a desigualdade 
em uma igualdade. Estas variáveis medem a diferença entre o LER e o LDR da restrição. Se a 
diferença entre for positiva, no caso de restrições do tipo menor ou igual deve-se introduzir 
variáveis de folga. Se LDR-LER for negativa, no caso de restrições do tipo maior ou igual deve-se 
introduzir variáveis de excesso.