Gabarito Lista 04 - Variáveis Aleatórias Discretas

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Gabarito Lista 04
1. (a) 0, 6 = 60%
(b) 0, 7 = 70%
(c) 3,9
(d) 3,09
2. (a) 0, 6 = 60%
(b) 0, 625 = 30%
(c) 6,2
(d) 7,68
3. (a) 0, 6 = 60%
(b) 0, 75 = 75%
(c) 6,0
(d) 8,4
4. (a) 2 toneladas → 0,10 = 10%
5 toneladas → 0,25 = 25%
9 toneladas → 0,35 = 35%
15 toneladas → 0,20 = 20%
20 toneladas → 0,10 = 10%
(b) 0, 857 = 85, 7%
(c) 9,6
(d) P (3, 825 ≤ x ≤ 15, 375) = 0, 8 = 80%
(e) 4, 2 ≤ x ≤ 15
5. (a) x = 0→ 0, 216 = 21, 6%
x = 1→ 0, 432 = 43, 2%
x = 2→ 0, 288 = 28, 8%
x = 3→ 0, 064 = 6, 4%
(b) Função de Distribuição Acumulada.
(c) 0,648=64,8%
(d) 1,2
(e) 0,85
6. (a) Discreta.
(b) K = 130 = 0, 033
(c) Função de Distribuição Acumulada.
(d) 2,67
(e) P (1, 42 ≤ x ≤ 3, 92) = 46, 7%
7. (a) 60
(b) 3,15%
(c) Desvantajosa.
8. (a) Função de Distribuição Acumulada.
(b) 95%
1
(c) 0,6
(d) P (0 ≤ x ≤ 1, 46) = 0, 85 = 85%
9. (a) 81,7%
(b) 99,9%
(c) P (x ≤ 2|x > 1) = 99, 5%
(d) 0,2
10. (a) Binomial.
(b) Binomial.
(c) Poisson.
(d) Uniforme.
11. (a) i. Binomial.
ii. 98%
iii. 0,018%
12. (a) i. Binomial.
ii. 0,16
iii. 85%
iv. 98,89%
13. (a) i. Binomial.
ii. 0,6
iii. 54%
iv. 12%
14. (a) 12,19%
(b) 2,28%
15. (a) Função de Probabilidade de X.
(b) 66,9%
(c) 6%
(d) 0,4
16. (a) 0,3%
(b) 75,5%
17. (a) 400.
(b) 6%
18. (a) 3%
(b) 91,4%
19. (a) 99,8%
(b) 2,3 horas.
20. (a) -2, 1, 3, 5 e 8.
(b) 3.
(c) 2,646
(d) 80%
2
(e) 88,89%
21. (a) 0,2684 ou 26,84%
(b) 0,6273 ou 62,73%
22. (a) 0,01321 ou 1,321%
(b) 0,98658 ou 98,658%
(c) 0,734.
23. (a) A, B e E.
(b) C, D e F.
(c) Geométrica.
(d) Binomial.
24. (a)
xi p(xi)
2 0,1
5 0,25
9 0,3
13 0,25
16 0,1
(b) µ = 9
(c) σ2 = 17, 8
(d) 0,9 ou 90%
(e) 0,8 ou 80%
25. (a) i. 500 pastilhas.
ii. 1, 343 ∗ 10−3
(b) i. 0,5943 ou 59,43%
ii. 1,413
26. (a)
xi p(xi)
0 0,1
4 0,1
5 0,4
8 0,2
10 0,2
(b)
µ =
∑
i
xip(xi) = (0× 0,1) + (4× 0,1) + (5× 0,4) + (8× 0,2) + (10× 0,2)
µ = 0 + 0,4 + 2,0 + 1,6 + 2,0 = 6,0
(c)
σ2 =
∑
i
x2i p(xi)−µ2 =
[
(02)×0,1+(42)×0,1+(52)×0,4+(82)×0,2+(102)×0,2
]
−(6,0)2
σ2 =
(
0 + 1,6 + 10 + 12,8 + 20
)
− 36 = 44,4− 36 = 8,4
Logo: σ =
√
8,4 = 2,9
3
(d) P (2 ≤ X ≤ 9) = FX(9)− FX(2) = 0,8− 0,1 = 0,7 ou 70%
ou, de forma equivalente, podemos fazer:
P (2 ≤ X ≤ 9) = p(4) + p(5) + p(8) = 0,1 + 0,4 + 0,2 = 0,7
(e) P (X < 8|X ≥ 4) = P (4≤X<8)P (X≥4) =
FX(6)−FX(0)
1−FX(0) =
0,6−0,1
1−0,1 =
0,5
0,9 = 0,5556 ou 55,6%
ou, de forma equivalente, podemos fazer:
P (X < 8|X ≥ 4) = P (4≤X<8)P (X≥4) =
p(4)+p(5)
p(4)+p(5)+p(8)+p(10) =
0,1+0,4
0,1+0,4+0,2+0,2 =
0,5
0,9 = 0,5556
27. (a) 3 e 0.
(b) Cov(X,Y ) = 0. São descorrelacionadas.
(c) Não são independentes.
28. (a) 0,0619 ou 6,19%
29. (a) 13
(b) 4 e 0.
(c) Cov(X,Y ) = 0. São descorrelacionadas.
(d) Não são independentes.
30. (a) 0,1008 ou 10,08%
(b) 0,02275 ou 2,275%
31. (a) O número de LEDs defeituosos em um painel é uma v.a. X de distribuição Binomial
com N = 50 e p = 0,02. Logo:
P (X = xi) =
(
N
xi
)
pxi(1− p)N−xi =
(
50
xi
)
(0,02)xi(0,98)50−xi
Para o painel ser substituído é preciso que X > 2, logo queremos:
P (X > 2) = 1− P (X ≤ 2) = 1− P (X = 0)− P (X = 1)− P (X = 2)
P (X = 0) =
(
50
0
)
(0,02)0(0,98)50 = (0,98)50 = 0,364169
P (X = 1) =
(
50
1
)
(0,02)1(0,98)49 = 50× (0,02)× (0,9849) = 0,371602
P (X = 2) =
(
50
2
)
(0,02)2(0,98)48 = 1225× (0,022)× (0,9848) = 0,185801
Assim: P (X > 2) = 1−P (X ≤ 2) = 1−0,364169−0,371602−0,185801 = 1−0,921572
P (X > 2) = 0,0784277 = 7,84%
(b) Média: µ = 300Np = 300× 50× 0,02 = 300
Desvio padrão: σ = 300
√
Np(1− p) = 300×
√
50× 0,02× 0,98 = 296,98
A quantidade que você recomendou para o estoque é de µ + σ = 300 + 297 = 597
LEDs
(c) Temos agora uma v.a. X Binomial com N = 5000 e p = 0,002. Sendo N muito grande
e p pequeno, usaremos a distribuição de Poisson com λ = Np = 5000× 0,002 = 10.
Lembrando que P (X = xi) = λ
xie−λ
xi!
, temos:
P (X = 10) = 10
10e−10
10! = 0,125110 = 12,51%
32. (a) 88,83%
(b) 98,62%
(c) Pelo menos 15 sensores para ter no máximo 1% de clientes acionando a garantia.
33. (a) Função de distribuição acumulada
(b) 0,784 ou 78,4%
4
(c) 0,9
(d) 0,794
34. Lembrando que p(xi) = FX(xi)−FX(xi−1), deduzimos a partir da FDA acima que a função
de probabilidade p(xi) é dada por:
xi p(xi)
−2; 0,1;
−1 0,2;
1 0,3;
2 0,4
(a) O maior número de passsos xi em valores absolutos é 2 (xi = ±2).
(b) É impossível que o peão �que parado pois não há xi = 0, ou seja, P (X = 0) = 0.
(c) P (X = 1|X = ±1) = P (X=1)P (X=±1) =
0,3
0,3+0,2 = 0,3/0,5 = 3/5 = 0,6 ⇒ 60%
(d) Calcular o valor médio de 10X (ou 10× o valor médio de X): E10X = 10EX = 10µ,
Sendo que µ =
∑
xi p(xi) = (−2 × 0,1) + (−1 × 0,2) + (1 × 0,3) + (2 × 0,4) =
−0,2− 0,2 + 0,3 + 0,8 = 0,7
Portanto: 10µ = 7 (em média o jogador estará 7 casas à frente de onde iniciou).
(e) Como o jogador B está casa de número 11, o intervalo procurado será dado por:[
11− 2,12× σ até 11 + 2,12× σ
]
onde σ é o desvio padrão (raiz quadrada da variância).
A variância é dada por: Var(X) = E(X − µ)2 =
∑
(xi − µ)2p(xi)
Var(X) = ((−2−0,7)2×0,1)+((−1−0,7)2×0,2)+((1−0,7)2×0,3)+((2−0,7)2×0,4) =
(7,29× 0,1)+ (2,89× 0,2)+ (0,09× 0,3)+ (1,69× 0,4) = 0,729+0,578+0,027+0,676
Logo: Var(X) = 2,01
Alternativamente, a variância também pode ser calculada assim: Var(X) = EX2−µ2,
onde:
EX2 =
∑
x2i p(xi) = ((−2)2 × 0,1) + ((−1)2 × 0,2) + ((1)2 × 0,3) + ((2)2 × 0,4) =
(0,4 + 0,2 + 0,3 + 1,6) = 2,5
Logo: Var(X) = 2,5− (0,72) = 2,5− 0,49 = 2,01
De forma que o desvio padrão é dado por: σ =
√
Var(X) =
√
2,01 = 1,418.
Logo, o intervalo procurado será:[
11− 2,12× 1,418 até 11 + 2,12× 1,418
]
=
[
8 até 14
]
O jogador A poderá se encontrar entre as casas 8 e 14 (incluídas).
35. (a) C = 0, 025.
(b) 0,8 ou 80%
(c) µ = 0, 75.
(d) σ = 0, 83.
36. (a) 1 computador.
(b) 0,9245 ou 92,45%
(c) 0,5660 ou 56,6%
5