Lista 8 - Quadricas

Prévia do material em texto

Lista de Exerćıcios 8 (Semanas 9 e 10)
Gex102 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quádricas e superf́ıcies de revolução
1. Considere as quádricas abaixo.
a)
x2
4
+
y2
16
+
z2
9
= 1. Quais as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos x, y e z?
Quais curvas são formadas nas interseções dos planos xy, xz e yz? Escreva suas equações.
b) x2 + z2 − y
2
4
= 1. Quais as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos x, y e z?
Quais curvas são formadas nas interseções dos planos xy, xz, yz, y = 2 e y = −2? Escreva
suas equações.
c) z2 − x2 − y
2
4
= 1. Quais curvas são formadas nas interseções dos planos xy, xz, yz, z = 2
e z = −2? Escreva suas equações.
d) z =
x2
4
+
y2
9
. Quais curvas são formadas nas interseções dos planos xy, xz, yz e z = 1?
Escreva suas equações.
2. Para cada equação a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecção com os planos coordenados xy, xz e yz, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
a) (x− 1)2 + y2 + z2 = 0
b) x
2
16
+ y
2
4
+ z
2
8
= 1
3. Ao girarmos a curva x2 − y2 = 1 em torno do eixo x obtemos uma quádrica de nome:
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
(c) hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide eĺıptico. Justifique.
4. Considere a hipérbole x2 − 2y2 = 1 no plano xy. A equação da superf́ıcie de revolução que
obtemos ao girarmos essa hipérbole em torno do eixo y é:
(a) x2 − 2y2 − 2z2 = 1
(b) x2 − 2y2 − z2 = 1
(c) 2x2 − 2y2 + z2 = 1
(d) x2 − 2y2 + z2 = 1
Justifique.
1
5. Mostre que o hiperbolóide de uma folha dado pela equação
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
não pode ser interseptado pelo eixo z.
6. Mostre que o hiperbolóide de duas folhas
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1
não tem intersecção com o plano yz.
7. Determine o tipo de cônica resultante da intersecção do cone eĺıptico
z2 =
x2
a2
+
y2
b2
com o plano z = 3 paralelo ao plano xy.
8. Encontre a equação da parábola resultante da intersecção do parabolóide eĺıptico
z =
x2
a2
+
y2
b2
com o plano yz. Em que eixo está seu foco?
Coordenadas ciĺındricas e esféricas
9. Mude de coordenadas retangulares para coordenadas ciĺındricas:
(a) (−1, 1, 1)
(b) (−2, 2
√
3, 3)
10. Identifique a superf́ıcie cuja equação, em coordenadas ciĺındricas, é dada por:
(a) θ = π
4
.
(b) r = 5.
(c) z = 4− r2.
(d) 2r2 + z2 = 1.
11. Escreva as equações em coordenadas ciĺındricas:
(a) z = x2 − y2.
(b) −x2 − y2 + z2 = 1.
12. Mude de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas:
(a) (0,−2, 0).
2
(b) (
√
3,−1, 2
√
3).
13. Identifique a superf́ıcie cuja equação, em coordenadas esféricas, é dada por:
(a) ρ = sin θ sinφ.
(b) ρ2(sin2 φ sin2 θ + cos2 φ) = 9.
(c) ρ = 3.
(d) θ = π
3
.
GABARITO Lista de Exerćıcios 8
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quádricas e superf́ıcies de revolução
1. a) Eixo x: (2, 0, 0) e (−2, 0, 0)
Eixo y: (0, 4, 0) e (0,−4, 0)
Eixo z: (0, 0, 3) e (0, 0,−3)
São formadas elipses.
Plano xy:
x2
4
+
y2
16
= 1
Plano xz:
x2
4
+
z2
9
= 1
Plano yz:
y2
16
+
z2
9
= 1
b) Eixo x: (1, 0, 0) e (−1, 0, 0)
Eixo y: Não há pontos de interseção com o eixo y.
Eixo z: (0, 0, 1) e (0, 0,−1)
Plano xy: x2 − y
2
4
= 1 (Hipérbole)
Plano xz: x2 + z2 = 1 (Circunferência)
Plano yz: z2 − y
2
4
= 1 (Hipérbole)
c) Plano xy: Não é formada nenhuma curva.
Plano xz: z2 − x2 = 1 (Hipérbole)
Plano yz: z2 − y
2
4
= 1 (Hipérbole)
Plano z = 2:
x2
3
+
y2
12
= 1 (Elipse)
Plano z = −2: x
2
3
+
y2
12
= 1 (Elipse)
d) Plano xy: Não é formada nenhuma curva.
Plano xz: z =
x2
4
(Parábola)
3
Plano yz: z =
y2
9
(Parábola)
Plano z = 1:
x2
4
+
y2
9
= 1 (Elipse)
2. a) i. Ponto (1, 0, 0).
ii. Plano xy: (x− 1)2 + y2 = 1 (Circunferência)
Plano xz: (x− 1)2 + z2 = 1 (Circunferência)
Plano yz: y2 + z2 = 1 (Circunferência)
b) i. Elipsoide.
ii. Plano xy:
x2
16
+
y2
4
= 1 (Elipse)
Plano xz:
x2
16
+
z2
8
= 1 (Elipse)
Plano yz:
y2
4
+
z2
8
= 1 (Elipse)
3. Letra C. A equação representa uma hipérbole cortada pelo eixo x.
4. Letra D. Como o eixo y não corta a hipérbole, será formado um hiperbolóide de uma folha,
e, por ser um sólido de revolução, no plano xz será formada uma circunferência de raio 1
(x2 + z2 = 1).
5. Para x = 0 e y = 0: −z2 = c2. Mas um número elevado ao quadrado não pode se tornar um
número negativo.
6. Para x = 0:
−y2
b2
− z
2
c2
= 1. Mas a soma de dois números negativos não pode resultar em um
número positivo.
7. Elipse.
8. z =
y2
b2
. Seu foco está no eixo z.
Coordenadas ciĺındricas e esféricas
9. a) (
√
2, 3
π
4
, 1)
b) (4, 2
π
3
, 3)
10. a) Considerando r ≥ 0, teremos um semi-plano
b) Cilindro.
c) Paraboloide eĺıptico.
d) Elipsoide.
11. a) z = r2cos2θ
b) z2 = r2 + 1
12. a) (2, 3
π
2
,
π
2
)
b) (4,
11π
6
,
π
6
)
4
13. a) Esfera com centro em (0, 1/2, 0) de raio 1/2.
b) Ciĺındro.
c) Esfera.
d) Semi-plano.
5