Capitulo 4 Oscilador Amortecido e Forcado importante

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Capítulo 4 – O Oscilador Amortecido 
 
Vamos supor que um oscilador harmônico tenha amortecimento, isto é, sofre 
uma resistência ao seu movimento e que esta resistência, para simplificar seja 
linearmente proporcional à velocidade 
 
 
 
Dividindo a equação acima por m, teremos 
 
 
 
 
onde 
 
 
 
 
 
Tomando e substituindo em (1), obtemos a 
equação característica 
 
 
 
 
cujas raízes são 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução geral será então 
 
 
 
 
1) Regime Subcrítico: 
 
Chamando de 
 
 
 
 e substituindo em (4), temos 
 
 
 
 
 
Impondo que é real, isto é, , teremos . 
Reescrevendo 
 
 
 , obtemos 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Condições Iniciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Energia Mecânica varia no tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando em relação ao tempo 
 
 
 
 
 
A energia diminui com o tempo: 
 
 
 
Substituindo (5) e (6) em (8), fazendo médias temporais no intervalo 
 
 
, 
para um instante arbitrário , 
 
 
 
 
. Nestas integrais podemos tirar 
fora da integral o fator que oscila muito pouco, pois é pequeno e 
recuperando resultado que já provamos: 
 
 
 , 
obtemos 
 
 
 
 
 
 
Definimos o tempo de decaimento quando a exponencial é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
A energia dissipada num ciclo de período 
 
 
 
 
 
 vale então 
 
 
 
 
 
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Definimos o fator de qualidade Q (adimensional) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quanto menor o amortecimento maior o fator de qualidade Q. 
 
2) Regime supercrítico: 
 
 Da equação (3) podemos definir a frequência 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que 
 
 
 . 
 
 Então a solução será só exponenciais decrescentes 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste regime superamortecido, o oscilador não oscila! 
 
3) Regime crítico: 
 
Só temos uma única solução (raiz) da equação característica. Precisamos 
de outra solução linearmente independente. Pode-se mostrar que esta outra 
solução é um misto de exponencial e linear no tempo, isto é 
 
 
 
 
 
 
E a solução geral 
 
 
 
 
 
Os amortecedores de portas de hospitais, prédios públicos, etc. devem ser 
colocados no regime crítico. 
 
 
 
 
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Oscilações Forçadas 
 
Suponha que um oscilador, sem amortecimento, esteja sob a ação de uma 
força externa periódica de frequência . A equação de movimento será 
 
 
 
Dividindo por e definindo a frequência natural de oscilação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando a eq. (17) se transforma em 
 
 
 
 
 
 
 
(18) se reduz (17) tomando sua parte real. 
 
A solução deve então ser do tipo 
 
 
 
 
Substituindo em (18) 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
Note que temos 2 possíveis situações finitas e de 
maneira que podemos reescrever 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando teremos a ressonância, com a amplitude de oscilação 
divergindo, fenômeno que já derrubou pontes e leva a voz de uma 
soprano a quebrar uma taça de cristal. 
 
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Oscilações Amortecidas e Forçadas 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
 no plano complexo 
 
 
 
 
 
 
 
 A equação homogênea 
 tem como solução um dos 3 
regimes discutidos na secção de amortecimento (regimes subcrítico, crítico e 
supercrítico). A vigência dessa solução é por um certo intervalo de tempo, já que 
o amortecimento levará, com o tempo, ao desaparecimento dessa 
solução...por isso essa solução é chamada de transiente. 
 Precisamos agora encontrar uma solução particular da não homogênea e 
que não evanesça com o tempo – uma solução estacionária. 
 
Tomando 
 e substituindo em (23), teremos 
 
 
 
 
 
 
 
Da expressão acima vemos que é um número complexo. Escrevendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E, finalmente 
 
 
 
que é a solução estacionária do oscilador harmônico forçado [deve se utilizada 
junto com (26 a e b). 
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Uma aplicação importante da solução acima é no circuito RLC. 
 
 
 
 
Oscilações Acopladas 
 
Na figura abaixo vemos dois pêndulos de massas e acoplados por uma mola de 
constante . Vamos analisar o movimento para pequenas oscilações. 
 
 
 
Na fig. a mola está esticada ( ) de maneira que o corpo 1 é puxado pela 
mola para a direita e o corpo 2 para a esquerda 
 
 
 
 
 
mas , e 
 
 
 
 de forma que 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo tudo por 
 
 
 
 
 
 
 
onde . As eq. acima formam um sistema acoplado de eq. diferenciais. 
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Somando (29 a) e (29 b) teremos 
 
 
 
Subtraindo (29 a) e (29 b) teremos 
 
 
 
 
Definindo as chamadas coordenadas normais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Teremos 
 
 
 
 
 
 
Com soluções 
 
 
 
 
 
Vemos que os modos normais desacoplam as eq. diferenciais e correspondem 
aos modos: simétrico (fig. a) quando e antissimétrico (fig. b) 
quando 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Oscilações Longitudinais e Transversais 
 
Numa oscilação longitudinal o corpo e onda se propagam na mesma direção. 
Numa oscilação transversal o corpo se movimenta numa direção perpendicular à 
propagação da onda. Deixaremos a oscilação transversal para o curso de 
Vibrações e Ondas, já que sua manifestação é típica de vibração de uma corda ou 
de propagação de ondas eletromagnéticas. 
 
 
Sejam 3 molas idênticas com constante de mola e comprimento livre . Elas 
têm massas desprezíveis e estão ligadas a 2 corpos idênticos de massa . Sejam 
 os seus deslocamentosa partir das posições livres (escolhemos 
o sentido positivo para a direita). Então 
 
 
 
 
 
Dividindo por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somando (33 a e b) 
 
 
 
Subtraindo (33 a e b) 
 
 
 
 
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Definindo as coordenadas normais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
teremos as soluções 
 
 
 
 
 
No modo simétrico e no antissimétrico