2019 - Extensivo - Física 1 - 11 - Vetores

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06/05/2019
Vetores
AULA 11 – FÍSICA I – PROFESSOR NECKEL
Grandezas escalares e vetoriais
 Pelo fato das grandezas vetoriais possuírem módulo, direção e sentido, necessitam de 
entidades matemáticas próprias para sua representação.
 Para grandezas vetoriais como
 Velocidade
 Aceleração 
 Deslocamento
 Força
 Campo
 Etc
Utilizamos vetores para sua representação e para as operações envolvidas.
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Vetor
 Por definição, geometricamente, é um segmento de reta orientado, cujo sentido é 
fornecido pela seta em uma das extremidades.
Características de um vetor
 Direção
 É a reta suporte sobre a qual o 
vetor está desenhado.
 A inclinação da rela em relação a 
um dos eixos coordenados ou em 
relação as direções principais 
(horizontal e vertical) é utilizado 
para descrever a direção de um 
vetor.
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Características de um vetor
 Sentido
 Dado pela orientação da seta
Intensidade, magnitude, módulo
 É o valor numérico da grandeza 
representada pelo vetor.
 Ex: 15 N, 25 m/s, -10 m/s²
 Na representação do vetor por meio de 
uma seta, o comprimento da seta dá uma 
ideia do módulo do vetor.
 No exemplo ao lado
� � �⃗ � �⃗ � |�⃗|
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Operações com vetores - Adição
 Quando se conhece o módulo e a direção de um vetor em relação à outro mas não se 
conhece suas componentes:
 Método do Polígono
 Método do Paralelogramo
Operações com vetores: adição
 O módulo da resuntante:
� 	 
 � 	 � � 	 � 2 � � cos �
� 	 
 � 	 � � 	 � 2 � � cos �
� � � 
 180
cos � 
 � cos �
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Vetor oposto
 Um vetor oposto é um vetor que possui o 
mesmo módulo e direção que outro, porém 
sentido contrário
Assim, podemos dizer que a subtração de vetores 
é a soma de um vetor com o oposto do outro.
�⃗ 
 �⃗ � � 
 �⃗ � ����
Casos particulares
 Vetores com mesma direção e 
sentido
� 
 � � �
 Vetores de mesma direção e 
sentidos contrários
� 
 � � �
���� � � �
 Vetores perpendiculares entre si
� 	 
 � 	 � �
	
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Decomposição de vetores
 Sempre é possível decompor vetores 
para fazer sua soma em termos de 
suas componentes.
�⃗ 
 �⃗ � �
�⃗ 
 ��; �� � 
 ��; ��
�⃗ 
 ��; �� � ��; ��
�⃗ 
 �� � �� ; �� � ��
�⃗ 
 �� ; ��
�� 
 �� � �� �� 
 �� � ��
As componentes �� e �� são 
encontradas por decomposição
Operações com vetores: multiplicação
 Há três tipos de multiplicação com vetores
 Multiplicação de um escalar por um vetor
 Produto Escalar
 Produto Vetorial
 Multiplicação de um escalar por um vetor
�⃗ 
 �⃗
�⃗ 
 �⃗ � �⃗ � �⃗ � �… �
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Operações com vetores: multiplicação
 Produto escalar
 Como o nome diz, resulta em um escalar (sem direção 
e sentido)
"#$%&'&( 
 )⃗ ⋅ + 
 ) + cos �
"#$%&'&( 
 A ⋅ + 
 �� �� � �� ��
� é o ângulo entre os vetores )⃗ e + quando 
representados a partir do mesmo ponto.
 Aplicação: Cálculo do trabalho de uma força
- 
 .⃗ ⋅ �⃗ 
 .⃗ �⃗ cos �
Operações com vetores: multiplicação
 Produto Vetorial
 Como o nome diz, resulta em um novo vetor.
 O vetor resultante é perpendicular aos dois vetores 
que o formam.
 Utiliza-se a regra da mão direita para verificar a 
direção e o sentido deste vetor
"/#01(2&' 
 �⃗ 
 �⃗ 3 �
�⃗ 
 �⃗ � �4 �
Nesta operação: A ORDEM DOS FATORES ALTERA O 
PRODUTO!!!
 Aplicação: cálculo do momento de uma força (torque)
5 
 .⃗ 3 �⃗
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Vetor Unitário ou Versor
 Um vetor unitário ou um versor é um 
vetor especial cujo módulo é igual a uma 
unidade (1). 
 Quando um vetor é unitário, 
representamos o mesmo com um ^ no 
lugar de ⃗
Se 7⃗ é tal que 7⃗ 
 1, então 7⃗ 
 78
 Para calcular um unitário:
78 
7⃗
7⃗
 Existem três vetores unitários 
padronizados denominados por 9̂, <̂ e =>
 As coordenadas destes vetores são
9̂ 
 1 ; 0 ; 0
<̂ 
 0 ; 1 ; 0
=> 
 0 ; 0 ; 1
São utilizados para definir o plano e o 
espaço cartesiano e também para a 
representação analítica de vetores.
Vetores unitários ou Versores
 Ex: 7⃗ 
 3 ; 2 
 39̂ � 2<̂
 Em conclusão: os unitários 
9̂, <̂ e => são somente uma 
outra maneira de 
representar vetores.
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Fixação, R: A
Fixação, R: E
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Propostos, R: c
Propostos, R: C
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Propostos, R: C