Introdução ao MATLAB e Estruturas de Controle

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
 4ª Semana Matemática
Introdução a Programação no MATLAB
		
Currículo Resumido
2003.1 - Graduando em Engenharia Elétrica;
2004.1 a 2006.2 - Monitor de Cálculo 1 pelo DME;
2007 – Membro do Projeto Olhos Digitais;
2007 – Participação no IV Encontro de Extensão da UFCG
(Atual) - Monitor Voluntário do Laboratório de Princípios de Comunicações;
(Atual) – Professor Voluntário de Matemática do 
 PVS (Pré Vestibular Solidário) 2007.
E-mail: josenildofg@gmail.com
 
Sumário
	Introdução ao MATLAB
	Estruturas de Controle
	Arquivos de Comando M-File
	Funções de Entrada e Saída
	Introdução a Funções MATLAB
	Toolboxes
	Toolbox de Matemática Simbólica
	Programas em MATLAB
Introdução ao MATLAB
	MATLAB(MATrix LABoratory): Programa de computador especializado e otimizado para cálculos científicos e de engenharia.
	Surgiu em 1970 com o intuito de auxiliar os cursos de Teoria Matricial, Álgebra Linear e Analise Numérica. 
Introdução ao MATLAB
	Vantagens
	Facilidade de Uso
	Independência de Plataforma
	Funções Predefinidas
	Interface Gráfica de Usuário
	Compilador MATLAB
	Desvantagens
	Linguagem Interpretada
	Custo
	
Janela de Comandos MATLAB
Janela de Histórico de Comandos
Espaço de Lançamento
Navegador de Diretório Corrente
Navegador de Ajuda
Introdução ao Matlab
	Informação do Sistema:
>>computer
>>version
>>ver
>>license
Introdução ao Matlab
	MATLAB comand	pi	Comentários
	format short	3.1416	5 dígitos
	format long	3.14159265358979	16 dígitos
	format short e	3.1416e+000	5 dígitos + expoente
	format long e	3.141592653589793e+000	16 dígitos + expoente
	format short g	3.1416	short ou short e
	format long g	3.14159265358979	long ou long e
Introdução ao Matlab
	MATLAB comand	pi	Comentários
	format hex	400921fb54442d18	Hexadecimal, ponto flutuante
	format bank	3.14	2 digitos decimais
	format +	+	positivo(+), negativo(-) ou zero(0)
	format rat	355/113	razão aproximada
Introdução ao Matlab
	Comandos básicos:
>>who -- Lista as variáveis.
>>whos -- Lista e especifica as variáveis. 
>>clc -- Limpa a Janela de Comandos.
>>clf -- Limpa figura atual
>>clear -- Deleta variáveis do workspace MATLAB.
>>help -- Ajuda do Matlab, documentação.
>>help elfun – Lista funções do MATLAB
Operadores Aritméticos
Forma Geral: A op B
+ Soma Estrutural e Matricial
- Subtração Estrutural e Matricial
* Multiplicação Matricial
/ Divisão Matricial à Direita
\ Divisão Matricial à Esquerda
^ Expoente Matricial 
‘ Operador de Transposição
Operadores Aritméticos
Operadores Aritméticos
	A + B
		0 2
		2 2
	A – B
		2 -2 
		2 0
	
	A + C
		Operação ilegal
	A + D
		6 5
		7 6
Operadores Aritméticos
	A * B
		-1 2
 		 2 5
	A * C
		3
		8
	A .* B
		-1 0
		 0 1
	A .* C
	Operação ilegal
Operadores Aritméticos
	A / B
		-1 2
		-2 5
	A \ B
 		-1 2
 		 2 -3
	A ./ B
		-1 0
		Inf 1
	A .\ B
		-1 Inf
 		 0 1
Operadores Relacionais
	Forma geral
		A op B
A e B: Operandos. 
Pode ser uma matriz, 
um escalar ou uma 
cadeia de caracteres.
Op: Operador
	Operador	Operação
	==	Igual a 
	~=	Diferente de
	>	Maior que
	>=	Maior que ou igual a
	<	Menor que
	<=	Menor que ou igual a 
Operadores Relacionais
	Os operadores <, <=, > e >= são usados para comparar a parte real dos operandos.
	Os operadores == e ~= são usados para comparar a parte real e imaginária dos operandos.
Operadores Relacionais
 Expressão 	 Resultado
5 > 3			 1
´AC’ > ‘BA´		 0 1
a > b			 1 0
1 + j <= 2 + 3*j 1
x >= [3 8] 1 0
a > c 0 1
2 + j == 1+ j 0
5 + j ~= 2 + j 1
a = [2 1] b = [ 1 1 ] c = [ 0 2 ] x = [ 4 2]
Operadores Lógicos
Operação Lógica Binária Operação Lógica Unária
 A op B op A
					
		
	Operador	Operação
	&	E lógico
	l	OU lógico
	xor	Ou exclusivo lógico
	~	Não lógico
Operadores Lógicos
	O MATLAB utiliza a lógica positiva, ou seja, assume-se o valor verdadeiro se ele for diferente de zero e falso se ele for igual a zero.
Operadores Lógicos
	 Tabela da Verdade para Operadores Lógicos
	Entradas	e	ou	xor	não
	A B	A & B	A l B	xor(A,B)	~A
	0 0	0	0	0	1
	0 1	0	1	1	1
	1 0	0	1	1	0
	1 1	1	1	0	0
Precedência dos operadores
Os operadores aritméticos são avaliados primeiro.
 Os operadores relacionais são avaliados da esquerda para a direita.
 Todos os operadores ~ são avaliados.
 Todos os operadores & são avaliados.
 Todos os operadores I são avaliados.
OBS: Sempre use parênteses para indicar a ordem correta desejada de avaliação de uma expressão.
Operadores Lógicos
Expressão 	 Resultado
	~A 0
	A l B 1
	B l C 1
	3 > 4 & 1 0
	3 > (4 & 1) 1
	~C 0
	A l B & C 1 
	A & C 1
	B & C 0
 A = 1, B = 0 e C = -10
Operadores Lógicos -Exercícios
Expressão
	~A
	A l B
	B l C
	3 > 4 & 1
	3 > (4 & 1)
	~C
	A l B & C
	A & C
	B & C
Resultado
		0
		1
		1
		0
		1
		0
		1
		1
		0
Estruturas de Controle
	Controle de Fluxo
O controle de fluxo é um recurso que permite que resultados 
anteriores influenciem operações futuras. Como em outras 
linguagens, o MatLab possui recursos que permitem o controle 
de fluxo de execução de comandos, com base em estruturas 
de tomada de decisões.
Será apresentado as seguintes estruturas de controle:
	if
	if-else
	switch
	while
	for
Estruturas de Controle
	Simbologia
 
Símbolo de decisão
Indica que ações serão executadas
Inicio e fim de uma estrutura de uma controle
Estruturas de Controle
	Algoritmo
	Série de ações executadas em uma ordem especifica.
	Pseudocódigo
	Linguagem artificial e informal de representar o código de um programa.
	Útil para desenvolver algoritmos que serão convertidos em programas estruturados no Matlab.
	
Estruturas de Controle
if 
Estrutura de seleção para escolha de cursos 
de ação específicos.
A estrutura de seleção if executa uma ação 
indicada só quando a condição é true 
(Verdadeira); caso contrário, a ação é saltada.
Estruturas de Controle
if
Condição
Verdadeira
Falsa
Executa uma ação
Testa a condição
Estruturas de Controle
	Pseudocódigo
Se a nota do estudante for maior ou igual que 7.0
Imprima “Aprovado”
	Código no Matlab
 		if nota >= 7
			fprintf(‘Aprovado’);
		end
Estruturas de Controle
If-else
Condição
Verdadeira
Falsa
Executa uma ação
Testa a condição
Executa uma ação
Estruturas de Controle
	Pseudocódigo
 Se a nota do estudante for maior ou igual que 7.0
 Imprima “Aprovado”
senão
 Imprima “Reprovado”
	Código no Matlab
 		if nota >= 7
			fprintf(‘Aprovado’);
		else
			fprintf(‘Reprovado’);
		end
Estruturas de controle
	Laços são construções MATLAB que nos permitem executar uma sequência de declarações mais de uma vez.
Existem dois tipos de laços:
	while
	for 
Estruturas de controle
while: é um bloco de declarações que se repete 	indefinidamente, enquanto uma condição for 	satisfeita.
A forma geral do while é:
 while expressão
 ...
 ... Bloco de código
 ...
 end
Estruturas de Controle
while
Condição
Verdadeira
Falsa
Executa uma ação
Testa a condição
Estruturas de Controle
	switch
	Estrutura de seleção múltipla.
	Consiste de uma série de rótulos case e um
 otherwise.
Estrutura de Controle
Case (‘a’)
Falso
Verdadeiro
Ação(ões) do case a
Ação(ões)do case b
Case (‘b’)
Otherwise
Verdadeiro
Falso
.
.
Falso
Estruturas de Controle
	Laço for : Executa um bloco de declarações durante um número especificado de vezes.
 for indice = expressão
		Declaração 1
			.... Corpo 
		Declaração n
 end
Estrutura de Controle
cont = 1
cont <= n
Falso
Verdadeiro
Corpo do laço
cont = cont + 1 
n: número de iterações do laço for
cont: variável de controle
Inicialização da variável de controle
cont = 2
cont = 3
Estruturas de Controle
	Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros inteiros.
soma = 0; % Inicializa a variável soma com zero
	for k = 1:10
 	soma = soma + k;
	end
fprintf('A soma dos dez primeiros inteiros eh: %.2f', soma);
Estruturas de Controle
	Exemplo: Calcular o fatorial de um número n.
n = 5;
fatorial = 1; % Inicializa a variável soma com zero
	for k = 1:n % Laço de repetição: n vezes
 	fatorial = fatorial*k; % Cálculo do fatorial
	end 
fprintf(‘O fatorial de %.2f eh %.2f', n, fatorial);
Estruturas de Controle
	Exemplo: Calcular a soma dos 5 primeiros inteiros impares.
soma = 0; % Inicializa a variável soma com zero
	for k = 1:2:9
 	soma = soma + k;
	end
fprintf('A soma dos 5 primeiros inteiros impares eh: %.2f', soma);
Estruturas de Controle
for X while
	while: utilizado para repetir um trecho de código quando não é desconhecido o número de iterações do laço.
	for: utilizado para repetir um trecho de código quando é conhecido o número de iterações do laço.
	
Estruturas de Controle
	Break
	Usada para controlar a operação dos laços for e while
	Encerra a execução do laço e passa o controle para a próxima declaração logo após o fim do laço.
Estruturas de Controle
% Uso do break 
for k = 1:5
		if k == 3;
			break;
		end
		fprintf(‘k = %d\n’, k);
 end	 
 disp(‘Fim do laço!’);
Estruturas de Controle
k = 1
k = 2
Fim do laço!
Estruturas de Controle
	Continue
	Usada para controlar a operação dos laços for e while
	Termina a passagem corrente pelo laço e retorna o controle para o inicio do laço.
Estruturas de Controle
% Uso do continue 
for k = 1:5
		if k == 3;
			continue;
		end
		fprintf(‘k = %d\n’, k);
 end	 
 disp(‘Fim do laço!’);
Estruturas de Controle
k = 1
k = 2
k = 4
k = 5
Fim do laço!
Arquivos de Comando M-File
 Geralmente, utiliza-se o prompt do MATLAB para introduzir os comandos. Entretanto este procedimento simples para execução de comandos no prompt se torna altamente ineficiente quando a complexidade do problema aumenta. Em suma, podemos dizer que para problemas simples podemos usar o prompt do MATLAB e para os mais difíceis deve-se utilizar o script-file ou M-file, que é também conhecido como arquivo de comando ou arquivo M. 
Arquivos de Comando M-File
 Erro comum de Programação: Os nomes dos arquivos de comando precisam sempre terminar com a extensão ‘.m’.
 Exemplos:
 programa1.m, exemplo1.m, etc.
Arquivos de Comando M-File
	Como Criar um Arquivo M (M-file)
	Para criar um arquivo M-file, siga os seguintes passos:
	Inicialmente, você deve abrir o programa MATLAB, dando um duplo click no ícone do MATLAB que está na área de trabalho.
	Selecione o menu File (dê um click).
	Selecione o item New e em seguida aponte para M-file e dê um click.
Arquivos de Comando M-File
Exenplo de script-file.
% script-file: circulo.m
% Este programa calcula a área de um circulo
raio = 2.5;
area = pi*raio^2;
fprintf(‘Area do circulo = %.3f ', area);
Arquivos de Comando M-File
	Como Executar um Arquivo M (M-file)
	Para executar um arquivo M-file no MATLAB é preciso gravar o arquivo correspondente. Para isto, selecione o item Save Workspace As do menu File. Dê preferência salvar o arquivo no diretório corrente do MATLAB, ou seja, na pasta work. Para executar o arquivo M, digite no prompt do MATLAB o nome do arquivo salvado anteriormente, sem a extensão ‘.m’. Feito isso o MATLAB gera o executável do programa.
Arquivos de Comando M-File
	Para exemplificar, considere o arquivo circulo.m. Digite no prompt do MATLAB o nome do arquivo circulo. Será apresentado o executável do programa. 
>> circulo
Area do circulo = 19.635
Arquivos de Comando M-File
	Resumindo, pode-se dizer que um programa em MATLAB consiste na criação do arquivo M-file utilizando-se o editor de texto e sua respectiva chamada por linha de comando no prompt do MATLAB.
Introdução a Funções MATLAB
	Funções Predefinidas MATLAB
	Fornece uma enorme variedade de funções prontas para uso.
	Funções trigonométricas, logarítmicas, raízes.
	Funções hiperbólicas, funções de Bessel, etc.
As funções MATLAB podem devolver mais de
um resultado para o programa que as ativa.
Introdução a Funções MATLAB
	Uso da função max
	Retorna o valor máximo de um vetor de entrada, podendo retornar a localização de onde ocorreu o máximo.
maxval = max([1 2 -4 5])
maxval = 5 
[maxval index] = max([1 2 -4 5])
maxval = 5
index = 4
Introdução a Funções MATLAB
	Funções MATLAB com Matrizes como entrada.
x = [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi] % Entrada
y = sin(x) % Saída
y = [ 0 1 0 -1 0] % Resultado
Introdução a Funções MATLAB
Agora é com você!!!
x = [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi] 
y = cos(x)
Introdução a Funções MATLAB
 Agora é com você!!! 
	Calcule os valores de sin x, cos x e tan x, para x = 30º, 45º e 60º.
Introdução a Funções MATLAB
	Funções Elementares
Introdução a Funções MATLAB
	Funções Definidas pelo usuário.
	function [outarg1, outarg2, ...] = fname(inarg1, inarg2, ...)
% H1 comentário
% Mais um comentário
...
(Código executável)
...
(return)
Introdução a Funções MATLAB
x
y
xa
xb
ya
yb
A
B
d
D: distancia entre os pontos A e B
C
Introdução a Funções MATLAB
function [resultado] = distancia2(xa,ya,xb,yb)
% DISTANCIA2 Calcula a distancia entre dois pontos
% Function DISTANCIA2 calcula a distancia entre dois pontos 
% A(xa,ya) e B(xb,yb) no sistema de coordenadas cartesiano.
% 
% Chamada a função
%
% res = distancia2(xa, ya, xb, yb)
%
% Definiçao das variaveis
% xa: abscissa do ponto A
% ya: ordenada do ponto A
% xb: abscissa do ponto B
% yb: ordenada do ponto B
% resultado: Distancia entre os pontos A e B.
Introdução a Funções MATLAB
% OBSERVAÇOES
% Data Programador Descriçao
% 05/10/07 Josenildo F. Galdino Codigo Original
% Calculo da distancia
		resultado = sqrt((xb - xa).^2 + (yb - ya).^2)
Introdução a Funções MATLAB
Uso da função distancia2.
% Script file: teste_distancia2.m
% Este programa testa a funçao distancia2
% Data Programador Descriçao
% 05/10/07 Josenildo F. Galdino Codigo Original
% Definiçao das variaveis:
% xa: abscissa do ponto A
% ya: ordenada do ponto A
% xb: abscissa do ponto B
% yb: ordenada do ponto B
% resultado: distancia entre os dois pontos A e B.
Introdução a Funções MATLAB
% Dados fornecidos pelo usuario
disp('Calcule a distancia entre os pontos A e B');
xa = input('Forneca a abscissa do ponto A: ');
ya = input('Forneca a ordenada do ponto A: ');
xb = input('Forneca a abscissa do ponto B: ');
yb = input('Forneca a ordenada do ponto B: ');
% Uso da funçao definida pelo programador
	resultado = distancia2(xa, ya, xb, yb); % Chamada a funçao.
% Exibiçao do resultado
	fprintf('A distancia entre os pontos A e B e %f\n', resultado);
Introdução a Funções MATLAB
>> teste_distancia2
Calcule a distancia entre os pontos A e B
Forneca a abscissa do ponto A: 1
Forneca a ordenada do ponto A: 1
Forneca a abscissa do ponto B: 2
Forneca a ordenada do ponto B: 2
resultado =
 1.4142
A distancia entre os pontos A e B e 1.414214
>> 
Toolboxes
	Statistics Toolbox
	Symbolic Math Toolbox
	Partial Diferrential Equation Toolbox
	Curve Fitting Toolbox 
	Signal Processing Toolbox
	Control System Toolbox
	Communication Toolbox 
Symbolic Math Toolbox
	O Toolbox de MatemáticaSimbólica disponibiliza uma coleção de diversas funções do MATLAB utilizadas para calcular operações básicas, tais como: derivadas, limites, integrais, expansão da serie de Taylor, e outras operações. A manipulação simbólica no MATLAB pode ser vista como uma evolução do modo como você utiliza o MATLAB para processar números. 
Symbolic Math Toolbox
	A grande vantagem de se utilizar tal processo é que podemos obter resultados mais exatos, eliminando-se assim a imprecisão introduzida pelos valores numéricos. Podemos resolver derivadas, integrais, equações diferenciais e algébricas utilizando-se esta poderosa ferramenta. 
Symbolic Math Toolbox
EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
	Deve-se entender por Expressão simbólica as expressões que contêm objetos simbólicos que podem representar números, funções e operações e variáveis. 
	Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um valor numérico. Esta variável simbólica representa apenas um símbolo de uma expressão simbólica.
Symbolic Math Toolbox
EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
Exemplos: 
Symbolic Math Toolbox
 O MATLAB disponibiliza várias funções que trabalham com funções polinomiais e que podem ser utilizadas para representar funções polinomiais. Dentre elas, encontram-se as seguintes funções: 
	collect
	expand
	factor
	simplify
	simple
Symbolic Math Toolbox
collect
Organiza os coeficientes
	Sintaxe
 collect( f )
mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e 
organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x. 
Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve 
organizar se houver mais de uma variável simbólica possível.
Symbolic Math Toolbox
collect(f)
1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial
>> clear % Limpa a Janela de Comandos
>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”
>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)
>> collect(y); % Organiza os coeficientes
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
 
x3 + 3x2 + 3x + 1
Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma 
polinomial.
Symbolic Math Toolbox
	collect( f, nome da variável simbólica)
 A função collect neste caso aceita um segundo argumento que especifica que variável simbólica deve ser utilizada para organizar o polinômio. 
Symbolic Math Toolbox
collect(f, nome da variável simbólica)
2) Escreva a função f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma polinomial.
>> x = sym('x'); % Define a variável simbólica x
>> z = sym(‘z’); % Define a variável simbólica z
>> y = (x +1)^3 + z; % Define a função y = f(x,z)
>> collect(y,x); % Organiza os coeficientes em x
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
 
x3 + 3 x2 + 3 x + 1 + z
Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2
na forma polinomial, em termos de z.
Symbolic Math Toolbox
	expand
realiza a distribuição de produtos para polinômios 
e aplica outras identidades que envolvem funções 
de somas, identidades trigonométricas, exponenciais 
e logaritmos.
Sintaxe
	expand( f )
Symbolic Math Toolbox
expand(f)
3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial
>> clear % Limpa a Janela de Comandos
>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”
>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)
>> expand(y); % Realiza o produto polinomial
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
 
x3 + 3x2 + 3x + 1
Symbolic Math Toolbox
 expand X collect
 Além de representar funções polinomiais a função é bastante útil na manipulação de expressões simbólicas trigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outras funções. Esta é uma das características marcantes que diferenciam a função expand da collect. A função expand é bem mais robusta, porque trabalha com muitos tipos de funções, enquanto a função collect é restrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizer que a função expand é uma evolução da função collect, agregando-se novas funcionalidades. 
Symbolic Math Toolbox
expand
 4) Obtenha a forma expandida da função trigonométrica cos(x + y).
x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.
y = sym(‘y’); % Cria a variável simbólica y.
expand(cos(x+y)) % Realiza a operação 
ans = % Variável padrão do matlab
cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) % Resultado
Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
 Obtenha a forma expandida da função exponencial exp(x + y).
Symbolic Math Toolbox
Factor
	Fatoração
	Sintaxe
 factor(X)
 Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio. Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressão simbólica. Ou um array simbólico contendo vários expressões simbólicas. No caso de utilizar um array, a função factor retorna um array com as expressões simbólicas correspondentes. 
Symbolic Math Toolbox
	Uso da Função factor
	Calcular os fatores primos de um número inteiro.
	Obter a forma polinomial fatorada.
	Simplificar expressões simbólicas.
Symbolic Math Toolbox
Factor(x)
 5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50.
>> factor(15)
ans =
 3 5
>> factor(50)
ans =
 2 5 5
Symbolic Math Toolbox
 Factor 
	Observação:
 O maior valor inteiro que a função factor aceita é um numero inteiro de até 16 dígitos, se o número tiver uma quantidade de dígitos superior a 16. Devemos usar o sym para criar um elemento. 
Symbolic Math Toolbox
Factor(x)
 5) Calcule os fatores do número 
>> factor(15)
ans =
 3 5
>> factor(50)
ans =
 2 5 5
Symbolic Math Toolbox
Factor(x)
 5) Calcule os fatores do número 12345678901234567890
>> factor(sym('12345678901234567890'))
 
ans =
 
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
Symbolic Math Toolbox
	6) Obtenha a forma fatorada da equação 
 y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1
>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x. 
>> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a função y = f(x)
>> factor(y); % Fatoração
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
 
 (x + 1)^3
Symbolic Math Toolbox
	 Agora é com você!!!
 Obtenha a forma fatorada da equação 
 y = x^2 + 3*x + 2
Symbolic Math Toolbox
Simplify
 Simplificação simbólica.
	Sintaxe:
 R = simplify(S)
 A função simplify é uma ferramenta poderosa, que em geral aplica várias identidades algébricas que envolvem somas, potência inteira, raízes quadradas e potência fracionária, como também vários identidades que envolvem funções trigonométricas, exponencial e funções de Bessel, função gama, etc.
Symbolic Math Toolbox
7) Simplifique a seguinte expressão:
>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x. 
>> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); % Define a função y = f(x)
>> simplify(y); % Simplificação simbólica
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
 x^2 - 2x + 4
 ------------------- 
 x^3 - 2x^2 + 4x - 8
 
Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
 Simplifique a seguinte expressão: 
 
Symbolic Math Toolbox
8) Simplifique a seguinte expressão
>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x. 
>> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a função y = f(x)
>> simplify(y); % Simplificação simbólica
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
 1
 
Symbolic Math Toolbox
9) Simplifique a seguinte expressão: 
>> syms x y positive % Cria as variáveis simbólicas 				 x e y, ambas positivas. 
>> simplify(log(x*y)); % Simplificação simbólica
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
 log(x) + log(y)
 
Symbolic Math Toolbox
Simple
	Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica.
	Sintaxe:
	r = simple( S )
	[r,how] = simple( S )
	A função simple(S) tenta várias simplificaçõesalgébricas diferentes na expressão simbólica S, exibe a representação de menor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, o resultado indica a representação mais curta da matriz inteira que necessariamente não é a representação mais curta de cada elemento individual. 
Symbolic Math Toolbox
10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2)
 
>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x. 
>> simple((x+1)(x+2)) % Simplificação
ans =
 x^2+3*x+2
Symbolic Math Toolbox
Agora é com você!!!
Simplifique a expressão 
 
Symbolic Math Toolbox
pretty
Esta função imprime uma expressão simbólica. 
	Pretty(expressão simbólica).
 A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-se com matemática simbólica é que a exibição da expressão simbólica é a mais clara possível. 
 Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use a função pretty, para tornar mais legível a expressão simbólica mostrada na tela. 
Symbolic Math Toolbox
	LIMITES
Symbolic Math Toolbox
Limites
% ----------------------------------------------------------------------------------------
% Scripte file: limites.m
% Este programa calcula o limite de algumas funções.
% ---------------------------------------------------------------------------------------
% DESCRIÇAO
% ---------------------------------------------------------------------------------------
% DATA PROGRAMADOR DESCRIÇAO DO CODIGO
% 10/10/07 Josenildo F. Galdino Código Original
%---------------------------------------------------------------------------------------
Symbolic Math Toolbox
syms x a; % Cria as variáveis simbólicas x e a.
f = 1/(x^2); % Definição da função f(x)
pretty(f); % Exibição da função
limit(f,2) % Calcula o limite quando x tende a 2.
f1 = (25*x^3 + 2)/(75*x^7 -2); % Definição da função f1(x)
pretty(f1) % Exibição da função.
limit(f1) % Calcula o limite quando x tende a 0.
Symbolic Math Toolbox
f2 = (25*x^3 + 2)/(75*x^7 -2); % Definição da função f2(x)
pretty(f2) % Exibição da função 
limit(f2) % Calcula o limite quando x tende a 0.
f3 = (x^2 - 2)/(x - 2); % Definição da função f3(x)
pretty(f3) % Exibição da função
limit(f3,2) % Calcula o limite quando x tende a 2.
f4 = (x^2 - a^2)/(x^2 + 2*a*x + a^2); % Definição da função f3(x)
pretty(f4) % Exibição da função
limit(f4,a) % Calcula o limite quando x tende a a.
Symbolic Math Toolbox
g = sin(2*x)/x; % Definição da função g(x)
pretty(g) % Exibição da função
limit(g) % Calcula o limite quando x tende a 0.
g1 = sin(5*x)/x; % Definição da função g1(x)
pretty(g1) % Exibição da função
limit(g1) % Calcula o limite quando x tende a 0.
Symbolic Math Toolbox
g2 = (sin(5*x) - sin(3*x))/x; % Definição da função g2(x)
pretty(g2) % Exibição da função 
limit(g2) % Calcula o limite quando x tende a 0.
g3 = (1 - sqrt(1 - x^2))/(x^2); % Definição da função g3(x)
pretty(g3) % Exibição da função
limit(g3) % Calcula o limite quando x tende a 0.
Symbolic Math Toolbox
	DERIVADAS
Symbolic Math Toolbox
DERIVADAS
>> syms x n; % Cria a variável simbólica x.
>> p = x^3 + 4*x^2 -7*x -10; % Define a função f(x).
>> d = diff(p) % Calcula a derivada de f(x).
	d =
		3*x^2+8*x-7
>> e = diff(p,2) % Calcula a 2ª derivada de f(x).
	e =
		6*x+8
>> f = diff(p,3) % Calcula a 3ª derivada de f(x).
	f =
		6
Symbolic Math Toolbox
DERIVADAS
syms x n % Cria as variaveis simbólicas x e n.
>> g = x^n; % Define a função g(x).
>> h = diff(g) % Calcula a derivada de g(x).
	h =
		x^n*n/x
>> h = simplify(h) % Simplifica o resultado.
	h =
		x^(n-1)*n
Symbolic Math Toolbox
DERIVADAS DE FUNÇÕESTRANSCENDENTAIS
>> syms x % Cria as variaveis simbólicas x e n.
>> f1 = log(x); % Define a função f1(x).
>> df1 = diff(f1) % Calcula a derivada de f1(x).
	df1 =
			1/x
>> f2 = (cos(x))^2; % Define a função f2(x).
>> df2 = diff(f2) % Calcula a derivada de f2(x).
	df2 =
			-2*cos(x)*sin(x)
Symbolic Math Toolbox
DERIVADAS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS
>> f4 = cos(2*x);
>> df4 = diff(f4)
	df4 =
			-2*sin(2*x)
>> f5 = exp(-(x^2)/2);
>> df5 = diff(f5)
	df5 =
			-x*exp(-1/2*x^2)
Symbolic Math Toolbox
	Calcule a derivada de 
>> syms x; % Cria a variável simbólica x.
>> p = x/(x-1); % Define a função f(x).
>> diff(p) % Calcula a derivada de f(x).
ans = 
1/(x-1)-x/(x-1)^2 
>> simplify(ans) % Simplifica a expressão da derivada.
ans = 
-1/(x-1)^2 
>> pretty(ans) % Exibe a resposta no formato mais visivel.
 1
 - --------
 2
 (x - 1)
Symbolic Math Toolbox
	Calcule a derivada de 
 em x = 1, ou seja, 
Symbolic Math Toolbox
% Cálculo da derivada
syms x; % Cria a variável simbólica x. 
p = 2 + x + x^2; % Define a função f(x).
d = diff(p); % Calcula a derivada de f(x).
pretty(d); % Exibe o resultado da derivada
% Calculo da derivada em um ponto (x = 1)
g = [2 1]; % Define o polinômio da derivada
polyval(g,1) % Calcula a derivada em x = 1
subs(d,1) % Valor da função em x = 1
Symbolic Math Toolbox
	INTEGRAIS
>> syms x n t % Cria as variáveis simbólicas x n t
>> int(x^n) % Calcula a integral de x^n
ans =
x^(n+1)/(n+1)
>> int(x^3 +4*x^2 + 7*x + 10) % Calcula da integral x^3 + 4x^2 + 7x + 10 
ans =
1/4*x^4+4/3*x^3+7/2*x^2+10*x
>> int(x,1,t) % Calculo da integral de x, no intervalo [ 1, t ].
ans =
1/2*t^2-1/2
Symbolic Math Toolbox
INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS
>> syms x % Cria a variável simbólica x
>> int(1/x) % Calcula a integral de f(x) = 1/x.
ans =
		log(x)
>> int(cos(x)) % Calcula a integral de f(x) = cos (x)
ans =
		sin(x)
>> int(1/(1+x^2)) % Calcula a integral de f(x) = 1/(1 + x^2)
ans =
		atan(x)
>> int(exp(-x^2)) % Calcula a integral de f(x) = exp(-x^2)
ans =
		1/2*pi^(1/2)*erf(x)
Programas em MATLAB
	Resolver a equação quadrática
	
	
Programas em MATLAB
% -----------------------------------------------------------------------------------------
% Scripte file: quadratica.m
% Este programa calcula as raizes da equaçao quadratica, sendo
% fornecidos pelo usuario os coeficientes a, b e c da equaçao 
% a*x^2 + b*x + c = 0
% ---------------------------------------------------------------------------------------
% DESCRIÇAO
% ---------------------------------------------------------------------------------------
% DATA PROGRAMADOR DESCRIÇAO DO CODIGO
% 10/10/07 Josenildo F. Galdino Código Original
%---------------------------------------------------------------------------------------
Programas em MATLAB
% DEFINIÇAO DAS VARIAVEIS
% a - coeficiente do termo x^2
% b - coeficiente do termo x
% c - coeficiente do termo x^0 ou termo independente.
% x1 - raiz da equação quadrática
% x2 - raiz da equação quadrática
% m - variável intermediaria 
% n - variável intermediaria
Programas em MATLAB
clc; % Limpa a area de trabalho.
% Obtenção dos parâmetros
disp('Forneca os coeficientes da equaçao quadratica');
a = input('\nForneca o coeficiente a: ');
b = input('Forneça o coeficiente b: ');
c = input('Forneca o coeficiente c: ');
x = linspace(-12,12,300); % Gera 300 pontos entre -12e 12.
y = a*x.^2 + b*x + c; % Definição da função y = f(x)
Programas em MATLAB
% Cálculo das raízes
m = -b/(2*a);
n = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a);
fprintf('\nAs raizes da equacao quadratica sao:')
x1 = m + n 
x2 = m - n
fprintf('\n');
Programas em MATLAB
% Exibição do gráfico 
plot(x,y); % Gráfico em 2-D.
title('\bf\itEquaçao Quadratica'); % Titulo do gráfico
xlabel('\bf\itx'); % Eixo horizontal
ylabel('\bf\ity'); % Eixo vertical
Programas em MATLAB
Forneca os coeficientes da equaçao quadratica
Forneca o coeficiente a: 2
Forneça o coeficiente b: 10
Forneca o coeficiente c: 12
As raizes da equaçao quadratica sao:
	x1 =
 -2
	x2 =
		 -3
Programas em MATLAB
ANIMAÇÃO
	Demonstração 
 Script-file: animacao.m
ANIMAÇÃO
	Demonstração 
 Script-file: animacao1.m
ANIMAÇÃO
	Demonstração 
 Script-file: animacao2.m
OBRIGADO!!!
ú
û
ù
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ë
é
=
1
 
2
0
 
1
A
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ù
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é
=
2
3
C
ú
û
ù
ê
ë
é
=
1
 
0
 
2
 
1
-
 
B
5
D
=
16
8
4
3
-
+
=
x
x
y
8
2
3
-
-
=
x
x
y
)
*
log(
y
x
)
(
sin
)
(
cos
2
2
x
x
y
+
=
)
(
sin
)
(
cos
2
2
2
x
x
y
-
=
3
x
)
5
(
4
x
dx
d
z
=
0
12
10
2
2
=
+
+
s
s
9
7
5
3
1
+
+
+
+
=
Soma
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Soma
1
)
(
-
=
x
x
x
f
2
2
)
(
x
x
x
f
+
+
=
)
1
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