Regressão Linear Simples

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1
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 
A correlação linear é uma correlação entre duas variáveis, cujo gráfico 
aproxima-se de uma linha. O gráfico cartesiano que representa essa linha é 
denominado diagrama de dispersão. Para poder avaliar melhor a correlação entre 
as variáveis, é interessante obter a equação da reta; essa reta é chamada de reta 
de regressão e a equação que a representa é a equação de regressão. O diagrama 
de dispersão é construído de acordo com os dados amostrais de n observações e a 
equação de regressão é dada pela expressão: 
baXY += , onde a e b são os parâmetros. 
Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda 
das formulas: 
( ) ( )
( )å å
ååå
-
-
=
22
ii
iiii
xxn
yxxyxn
a e xayb -= , 
Onde: 
n é o número de observações; 
x é a média dos valores ix ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
= å
n
x
x i ; 
y é a média dos valores iy ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
= å
n
y
y i . 
Obs.: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos 
parâmetros, o resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de 
regressão. Sendo assim escrevemos: 
baXY +=
^
, onde o 
^
Y é o Y estimado. 
 
Exemplos: a) Determinar a reta de regressão linear, sabendo que existe uma forte 
correlação entre o peso total do lixo descartado, por dia, numa empresa com o 
peso do papel contido nesse lixo. 
Hotel H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 
Peso total 10,47 19,85 21,25 24,36 27,38 28,09 33,61 35,73 38,33 49,14 
Peso do papel 2,43 5,12 6,88 6,22 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43 
 
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2
De acordo com os dados, fazemos a representação gráfica. Os pares 
ordenados formam o diagrama de dispersão. 
 
Para facilitar o cálculo construímos a seguinte tabela: 
Peso total ( ix ) Peso do papel ( iy ) ii yx . 
2
ix 
H1 10,47 2,43 25,44 109,62 
H2 19,85 5,12 101,63 394,02 
H3 21,25 6,88 146,20 451,56 
H4 24,36 6,22 151,52 593,41 
H5 27,38 8,84 242,04 749,66 
H6 28,09 8,76 246,07 789,05 
H7 33,61 7,54 253,42 1129,63 
H8 35,73 8,47 302,63 1276,63 
H9 38,33 9,55 366,05 1469,19 
H10 49,14 11,43 561,67 2414,74 
å 288,21 75,24 2396,68 9377,52 
Temos assim: 
( ) ( )
( )
2131,0
2,10710
88,2281
830652,93775
92,216848,23966
)21,288(52,937710
24,7521,28868,239610
222
==
-
-
=
-
-
=
-
-
=
å å
ååå
a
x
xx
xxn
yxxyxn
a
ii
iiii
 
Como 524,7
10
24,75
==y e 821,28
10
21,288
==x vem: 
3835,11405,6524,7821,282131,0524,7 =-=-=-= xxayb 
Logo: 
38,121,0
^
+= XY 
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3
 
 
Com base no conhecimento da equação da reta, pode-se interpolar e 
extrapolar valores. 
• Interpolação: a interpolação ocorre quando o valor considerado 
pertence ao intervalo da tabela, porém, não figura entre os dados coletados. 
Supondo-se o valor 15 kg para o peso total do lixo descartado, pode-se 
estimar o peso de papel contido nesse lixo. Uma vez que 15 kg não é um dado 
coletado e, conseqüentemente, não pertence à tabela de dados, utiliza-se a 
equação da reta para determinar o valor correspondente ao peso do papel. 
Para 15 kg de lixo descartado, estima-se que haja 4,58 kg de papel 
contido nesse lixo. 
• Extrapolação: a extrapolação ocorre quando o valor considerado não 
pertence ao intervalo da tabela, e também não figura entre os dados coletados. 
Suponha que o peso do lixo descartado seja de 60 kg. Esse valor não é 
um dado coletado e nem se encontra dentro do intervalo [10,47, 49,14]. Essa 
situação é semelhante à anterior e utiliza-se a equação de reta para determinar o 
peso do papel. 
Para 60 kg de lixo descartado, estima-se, por extrapolação, que haja 
14,16 kg de papel contido nesse lixo. 
 
 
 
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4
b) Consideremos uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma 
classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em matemática e estatística: 
Números 
Notas 
Matemática ( ix ) Estatística ( iy ) 
01 5,0 6,0 
08 8,0 9,0 
24 7,0 8,0 
38 10,0 10,0 
44 6,0 5,0 
58 7,0 7,0 
59 9,0 8,0 
72 3,0 4,0 
80 8,0 6,0 
92 2,0 2,0 
Vamos verificar a correlação primeiro fazendo um diagrama de 
dispersão: 
 
Correlação entre as notas de matemática e estatística 
Números 
Notas 
ii yx . 
2
ix 
Matemática ( ix ) Estatística ( iy ) 
01 5,0 6,0 30 25 
08 8,0 9,0 72 64 
24 7,0 8,0 56 49 
38 10,0 10,0 100 100 
44 6,0 5,0 30 36 
58 7,0 7,0 49 49 
59 9,0 8,0 72 81 
72 3,0 4,0 12 9 
80 8,0 6,0 48 64 
92 2,0 2,0 4 4 
å 65 65 473 481 
 
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5
Temos assim: 
( ) ( )
( )
8632,0
585
505
42254810
42254730
)65(48110
656547310
222
==
-
-
=
-
-
=
-
-
=
å å
ååå
x
xx
xxn
yxxyxn
a
ii
iiii 
Como 5,6
10
65
==y e 5,6
10
65
==x vem: 
8892,06108,55,65,68632,05,6 =-=-=-= xxayb 
Logo: 89,086,0
^
+= XY 
Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos: 
89,00
^
=Þ= YX 
19,589,0586,05
^
=+=Þ= xYX 
Assim temos: 
 
 
Coeficiente de determinação 
Trata-se de um indicador da qualidade do ajustamento. 
Dessa maneira, o coeficiente de determinação ou coeficiente de 
explicação é dado por 2R
, onde 10
2 ££ R , ou se multiplicarmos (100) = % temos 
%1000 2 ££ R 
O coeficiente de determinação (R2) é igual ao quadrado do coeficiente 
de correlação linear de Pearson (r). O R2 expressa a proporção da variação total 
que é explicada (divida) à reta de regressão de x sobre y. 
Utilizando os valores do exemplo anterior de correlação temos: 
%02,83
8302,0)9112,0(
2
22
=
==
R
R
 
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Interpretamos esse resultado da seguinte maneira: o uso da variável – 
nota em matemática, X – , explica 83,02% das notas em estatística Y. 
 
Exercícios 
1)Complete o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados: 
ix 2 4 6 8 10 12 14 
iy 30 25 22 18 15 11 10 
Temos: 
ix iy ii yx . 
2
ix 
4 30 60 4 
........ ........ ........ ........ 
........ ........ ........ ........ 
........ ........ ........ ........ 
........ ........ ........ ........ 
........ ........ ........ ........ 
14 10 140 196 
........å= ........å= ........å= ........å= 
Logo: ( )
................................(........)........
........
........
........
................
................
(........)................
........)(................)(........
2
=+=-=
==
-
-
=
-
-
=
b
x
xx
a
 
Donde: 
........=a e ........=b 
Isto é: ................
^
+-= XY 
 
2) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma 
barra de aço varia conforme a temperatura: 
Temperatura (°C) 10 15 20 25 30 
Comprimento (mm) 1.003 1.005 1.010 1.011 1.014 
Determine: 
a) O coeficiente de correlação; 
b) A reta ajustada a essa correlação;c) O coeficiente de determinação. 
d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18°C; 
e) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35°C. 
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3) A variação do valor do BTN (Bônus do Tesouro Nacional), relativamente a 
alguns meses de 1990, deu origem à tabela: 
Meses Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. 
Valores (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76 
a) Calcule o grau de correlação. 
b) Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X. 
c) Calcule o coeficiente de determinação. 
d) Estime o valor do BTN para o mês de dezembro. 
Sugestão: Substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8. 
 
4) A partir da tabela: 
ix 1 2 3 4 5 6 
iy 70 50 40 30 20 10 
a) Calcule o coeficiente de correlação; 
b) Determine a reta ajustada; 
c) Calcule o coeficiente de determinação; 
d) Estime Y para X=0. 
 
5) Certa empresa, estudando a variação de demanda de seu produto em relação a 
variação de preço de venda, obteve a tabela: 
Preço ( ix ) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110 
Demanda ( iy ) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208 
a) Determine o coeficiente de correlação; 
b) Estabeleça a equação da reta ajustada; 
c) Calcule o coeficiente de determinação; 
c) Estime Y para X=60 e X=120. 
 
6) Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia 
elétrica” ( ix ) e “volume de produção nas empresas industriais” ( iy ), fez-se uma 
amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores: 
å = 34,11ix ; å = 70,20iy ; å = 16,122ix ; å = 96,842iy e å = 13,22ii yx . 
Determine: 
a) O calculo do coeficiente de correlação; 
b) A equação de regressão de Y para X; 
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8
c) A equação de regressão de X para Y. 
7) Vamos supor que exista uma relação linear entre as variáveis: X = despesas em 
propaganda e Y = vendas de certo produto. 
Considerando os dados abaixo: 
X 1,5 5,5 10,0 3,0 7,5 5,0 13,0 4,0 9,0 12,5 15,0 
Y 120 190 240 140 180 150 280 110 210 220 310 
Determine: 
a) Faça o diagrama de dispersão. 
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. 
c) Estabeleça a equação da reta ajustada. 
d) Calcular o valor de vendas para um gasto com propaganda de 4,5. 
e) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o. 
 
8) Para uma empresa manter-se competitiva, gastos de pesquisa e 
desenvolvimento (P & D) são essenciais. Para determinar o nível ótimo de 
gastos em P & D e seu efeito sobre o valor da empresa, foi aplicada análise de 
regressão linear simples, onde: 
Y = razão entre preços e ganhos e X = razão entre gastos com P & D e vendas. 
Os dados das 20 empresas usadas no estudo são os seguintes: 
Empresas Y X Empresas Y X Empresas Y X Empresas Y X 
1 5,6 0,003 6 8,2 0,030 11 8,4 0,058 16 11,5 0,083 
2 7,2 0,004 7 6,3 0,035 12 11,1 0,058 17 9,8 0,091 
3 8,1 0,009 8 10,0 0,037 13 11,1 0,067 18 16,1 0,092 
4 9,9 0,021 9 8,5 0,044 14 13,2 0,080 19 7,0 0,064 
5 6,0 0,023 10 13,2 0,051 15 13,4 0,080 20 5,9 0,028 
a) Construir o diagrama de dispersão. 
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. 
c) Estabelecer a equação da reta ajustada. 
d) Usar a equação obtida pra prever o valor de Y, quando X = $0,070. 
e) Calcule o coeficiente de determinação. 
 
 
 
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Resolução dos exercícios: 
1)Complete o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados: 
ix 2 4 6 8 10 12 14 
iy 30 25 22 18 15 11 10 
Temos: 
ix iy ii yx . 
2
ix 
2 30 60 4 
3 25 75 9 
6 22 132 36 
8 18 144 64 
10 15 150 100 
12 11 132 144 
14 10 140 196 
55å= 131å= 833å= 553å= 
Logo: 
( )
4752,3176089,127143,188578,7)6241,1(7143,18
6241,1
846
1374
30253871
72055831
)55(.5537
)13155()8337(
2
=+=--=
-=
-
=
-
-
=
-
-
=
b
x
xx
a
 
Donde: 
6241,1-=a e 4752,31=b 
Isto é: 4752,316241,1
^
+-= XY 
 
2) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma 
barra de aço varia conforme a temperatura: 
Temperatura (°C) 10 15 20 25 30 
Comprimento (mm) 1.003 1.005 1.010 1.011 1.014 
Determine: 
a) O coeficiente de correlação; 
b) A reta ajustada a essa correlação; 
c) O coeficiente de determinação. 
d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18°C; 
e) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35°C. 
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ix iy ii yx . 
2
ix 
2
iy 
10 1003 10030 100 1006009 
15 1005 15075 225 1010025 
20 1010 20200 400 1020100 
25 1011 25275 625 1022121 
30 1014 30420 900 1028196 
100å= 5043å= 101000å= 2250å= 5086451å= 
 
a) 
( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
9826,0
3903,712
700
4061250
700
25431849254322551000011250
)504300()505000(
50435086451510022505
)5043100()1010005(
.
.
222222
===
--
-
=
--
-
=
--
-
=
åååå
ååå
xx
r
xxx
xx
yynxxn
yxyxn
r
iiii
iiii
 
b) 
( )
4,9972,116,1008201217,06,1008
56,0
1250
700
1000011250
504300505000
)100(22505
)5043100()1010005(
2
=-=-=
==
-
-
=
-
-
=
xb
x
xx
a
 
Isto é: 4,99756,0
^
+= XY 
c) 
%55,96
9655,0)9826,0(
2
22
=
==
R
R
 
d) mmxY 48,10074,9971856,0
^
=+= 
e) mmxY 10174,9973556,0
^
=+= 
 
3) A variação do valor do BTN (Bônus do Tesouro Nacional), relativamente a 
alguns meses de 1990, deu origem à tabela: 
Meses Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. 
Valores (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76 
a) Calcule o grau de correlação. 
b) Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X. 
c) Calcule o coeficiente de determinação. 
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d) Estime o valor do BTN para o mês de dezembro. 
Sugestão: Substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8. 
 
ix iy ii yx . 
2
ix 
2
iy 
1 41,73 41,73 1 1741,393 
2 41,73 83,46 4 1741,393 
3 43,98 131,94 9 1934,24 
4 48,91 195,64 16 2392,188 
5 53,41 267,05 25 2852,628 
6 59,06 354,36 36 3488,084 
7 66,65 466,55 49 4442,223 
8 75,76 606,08 64 5739,578 
36å= 23,431å= 81,2146å= 204å= 73,24331å= 
a) 
( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
9655,0
196,1709
2,1650
496,8694336
2,1650
3,1859598,19465312961632
)28,15524()48,17174(
23,43173,243318362048
)23,43136()81,21468(
.
.
222222
===
--
-
=
--
-
=
--
-
=
åååå
ååå
xx
r
xxx
xx
yynxxn
yxyxn
r
iiii
iiii
 
 
b) ( )
8029,311009,229038,535,49113,49038,53
9113,4
336
2,1650
12961632
28,1552448,17174
)36(2048
)23,43136()81,21468(
2
=-=-=
==
-
-
=
-
-
=
xb
x
xx
a
 
Isto é: 8029,319113,4
^
+= XY 
 
c) 
%22,93
9322,0)9655,0(
2
22
=
==
R
R
 
 
d) Dezembro é igual a x=9 
0046,768029,3199113,4
^
=+= xY 
O valor para dezembro é de Cr$ 76,0046 
 
 
 
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete 
RS – 377 km 27 – Passo Novo 
Alegrete - RS 
Fone/Fax: (55) 3421-9600 
 www.al.iffarroupilha.edu.br 
 
 
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12 
 
4) A partir databela: 
ix 1 2 3 4 5 6 
iy 70 50 40 30 20 10 
a) Calcule o coeficiente de correlação; 
b) Determine a reta ajustada; 
c) Calcule o coeficiente de determinação; 
d) Estime Y para X=0 
ix iy ii yx . 
2
ix 
2
iy 
1 70 70 1 4900 
2 50 100 4 2500 
3 40 120 9 1600 
4 30 120 16 900 
5 20 100 25 400 
6 10 60 36 100 
21å= 220å= 570å= 91å= 10400å= 
a) 
( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
9897,0
436,1212
1200
14000105
1200
4840062400441546
)4620()3420(
22010400621916
)22021()5706(
.
.
222222
=
-
=
-
=
--
-
=
--
-
=
--
-
=
åååå
ååå
xx
r
xxx
xx
yynxxn
yxyxn
r
iiii
iiii
 
 
b) ( )
6667,76406667,36)5,34286,11(6667,36
4286,11
105
1200
441546
46203420
)21(916
)22021()5706(
2
=+=--=
-=
-
=
-
-
=
-
-
=
xb
x
xx
a
 
Isto é: 6667,764286,11
^
+-= XY 
 
c) 
%96,97
9796,0)9897,0(
2
22
=
=-=
R
R
 
 
d) Para X=0 temos: 
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete 
RS – 377 km 27 – Passo Novo 
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13 
667,766667,7604286,11
^
=+-= xY 
5) Certa empresa, estudando a variação de demanda de seu produto em relação a 
variação de preço de venda, obteve a tabela: 
Preço ( ix ) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110 
Demanda ( iy ) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208 
a) Determine o coeficiente de correlação; 
b) Estabeleça a equação da reta ajustada; 
c) Calcule o coeficiente de determinação; 
c) Estime Y para X=60 e X=120. 
ix iy ii yx . 
2
ix 
2
iy 
38 350 13300 1444 122500 
42 325 13650 1764 105625 
50 297 14850 2500 88209 
56 270 15120 3136 72900 
59 256 15104 3481 65536 
63 246 15498 3969 60516 
70 238 16660 4900 56644 
80 223 17840 6400 49729 
95 215 20425 9025 46225 
110 208 22880 12100 43264 
663å= 2628å= 165327å= 48719å= 711148å= 
a) 
( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
9015,0
5090,98827
89094
20509647621
89094
69063847111480439569487190
)1742364()1653270(
2628711148106634871910
)2628663()16532710(
.
.
222222
-=
-
=
-
=
--
-
=
--
-
=
--
-
=
åååå
ååå
xx
r
xxx
xx
yynxxn
yxyxn
r
iiii
iiii
 
b) ( )
8405,3860405,1248,262)3,668709,1(8,262
8709,1
47621
89094
439569487190
17423641653270
)663(4871910
)2628663()16532710(
2
=+=--=
-=
-
=
-
-
=
-
-
=
xb
x
xx
a
 
Isto é: 8405,3868709,1
^
+-= XY 
 
c) 
%27,81
8127,0)9015,0(
2
22
=
=-=
R
R
 
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14 
 
d) Para X=60 temos: 
5867,2748405,386608709,1
^
=+-= xY 
Para X=120 temos: 
3328,1628405,3861208709,1
^
=+-= xY 
 
6) Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia 
elétrica” ( ix ) e “volume de produção nas empresas industriais” ( iy ), fez-se uma 
amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores: 
å = 34,11ix ; å = 70,20iy ; å = 16,122ix ; å = 96,842iy e å = 13,22ii yx . 
Determine: 
a) O calculo do coeficiente de correlação; 
b) A equação de regressão de Y para X; 
c) A equação de regressão de X para Y. 
a) 
( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
5447.0
6136,381
862,207
71,12706044,114
862,207
49,4282,16995956,1282,243
)738,234()6,442(
70,2096,842034,1116,1220
)70,2034,11()13,2220(
.
.
222222
===
--
-
=
--
-
=
--
-
=
åååå
ååå
xx
r
xxx
xx
yynxxn
yxyxn
r
iiii
iiii
 
b) ( )
0066,00284,1035,1)567,08137,1(035,1
8137,1
6040,114
862,207
5956,1282,243
738,2346,442
)34,11(16,1220
)70,2034,11()13,2220(
2
=-=-=
==
-
-
=
-
-
=
xb
x
xx
a
 
Isto é: 0066,08137,1
^
+-= XY 
 
c) å = 34,11iy ; å = 70,20ix ; å = 16,122iy ; å = 96,842ix e å = 13,22ii yx . 
( )
3977,01693,0567,0)035,11636,0(567,0
1636,0
71,1270
862,207
49,4282,1699
738,2346,442
)70,20(96,8420
)70,2034,11()13,2220(
2
=-=-=
==
-
-
=
-
-
=
xb
x
xx
a
 
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15 
Isto é: 3977,01636,0
^
+= YX 
7) Vamos supor que exista uma relação linear entre as variáveis: X = despesas em 
propaganda e Y = vendas de certo produto. 
Considerando os dados abaixo: 
X 1,5 5,5 10,0 3,0 7,5 5,0 13,0 4,0 9,0 12,5 15,0 
Y 120 190 240 140 180 150 280 110 210 220 310 
Determine: 
a) Faça o diagrama de dispersão. 
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. 
c) Estabeleça a equação da reta ajustada. 
d) Calcular o valor de vendas para um gasto com propaganda de 4,5. 
e) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o. 
a) 
ix iy ii yx . 
2
ix 
2
iy 
1,5 120 180 2,25 14400 
5,5 190 1045 30,25 36100 
10,0 240 2400 100 57600 
3,0 140 420 9 19600 
7,5 180 1350 56,25 32400 
5,0 150 750 25 22500 
13,0 280 3640 169 78400 
4,0 110 440 16 12100 
9,0 210 1890 81 44100 
12,5 220 2750 156,25 48400 
15,0 310 4650 225 96100 
86å= 2150å= 19515å= 870å= 461700å= 
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16 
 
 
b) 
( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
9451,0
52,31492
29765
4562002174
29765
4622500507870073969570
)184900()214665(
2150461700118687011
)215086()1951511(
.
.
222222
===
--
-
=
--
-
=
--
-
=
åååå
ååå
xx
r
xxx
xx
yynxxn
yxyxn
r
iiii
iiii
 
 
c) ( )
4131,880415,1074545,195
6914,13
2174
29765
73969570
184900214665
)86(87011
)215086()1951511(
2
=-=
==
-
-
=
-
-
=
b
x
xx
a
 
Isto é: 4131,886914,13
^
+= XY 
 
d) Quando X=4,5 temos: 
0241,1504131,885,46914,134131,886914,13
^
=+=+= xXY 
 
e) 
%32,89
8932,0)9451,0(
2
22
=
==
R
R
 
89,3% das vendas é explicada pela propaganda, os outros 10,7% é 
devido a outros fatores. 
 
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17 
8) Para uma empresa manter-se competitiva, gastos de pesquisa e 
desenvolvimento (P & D) são essenciais. Para determinar o nível ótimo de gastos 
em P & D e seu efeito sobre o valor da empresa, foi aplicada análise de regressão 
linear simples, onde: 
Y = razão entre preços e ganhos e X = razão entre gastos com P & D e vendas. 
Os dados das 20 empresas usadas no estudo são os seguintes: 
Empresas Y X Empresas Y X Empresas Y X Empresas Y X 
1 5,6 0,003 6 8,2 0,030 11 8,4 0,058 16 11,5 0,083 
2 7,2 0,004 7 6,3 0,035 12 11,1 0,058 17 9,8 0,091 
3 8,1 0,009 8 10,0 0,037 13 11,1 0,067 18 16,1 0,092 
4 9,9 0,021 9 8,5 0,044 14 13,2 0,080 19 7,0 0,064 
5 6,0 0,023 10 13,2 0,051 15 13,4 0,080 20 5,9 0,028 
a) Construir o diagrama de dispersão. 
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. 
c) Estabelecer a equação da reta ajustada. 
d) Usar a equação obtida pra prever o valor de Y, quando X = $0,070. 
e) Calcule o coeficiente de determinação. 
a) 
ix iy ii yx . 
2
ix 
2
iy 
0,003 5,6 0,0168 0,000009 31,36 
0,004 7,2 0,0288 0,000016 51,84 
0,009 8,1 0,0729 0,000081 65,61 
0,021 9,9 0,2079 0,000441 98,01 
0,023 6,0 0,1380 0,000529 36 
0,030 8,2 0,2460 0,000900 67,24 
0,035 6,3 0,2205 0,001225 39,69 
0,037 10,0 0,3700 0,001369 100 
0,044 8,5 0,3740 0,001936 72,25 
0,051 13,2 0,6732 0,002601 174,24 
0,058 8,4 0,4872 0,003364 70,56 
0,058 11,1 0,6438 0,003364 123,21 
0,067 11,1 0,7437 0,004489 123,21 
0,080 13,2 1,0560 0,006400 174,24 
0,080 13,4 1,0720 0,006400 179,56 
0,083 11,5 0,9545 0,006889 132,25 
0,091 9,8 0,8918 0,008281 96,04 
0,092 16,11,4812 0,008464 259,21 
0,064 7,0 0,4480 0,004096 49 
0,028 5,9 0,1652 0,000784 34,81 
958,0å= 5,190å= 2915,10å= 061638,0å= 33,1978å= 
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete 
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18 
 
 
 
b) 
( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
7262,0
12533,32
331,23
25,3276314996,0
331,23
25,362906,39566917764,023276,1
)499,182()83,205(
5,19033,201978958,0061638,020
)5,190958,0()2915,1020(
.
.
222222
===
--
-
=
--
-
=
--
-
=
åååå
ååå
xx
r
xx
xx
yynxxn
yxyxn
r
iiii
iiii
 
 
c) ( )
9772,5547838,3526,90479,00676,74526,9
0676,74
314996,0
331,23
917764,023276,1
499,18283,205
)958,0(061638,020
)5,190958,0()2915,1020(
2
=-=-=
==
-
-
=
-
-
=
xb
x
xx
a
 
Isto é: 9772,50676,74
^
+= XY 
 
d) Quando X = $0,070 temos: 
1619,119772,51847,59772,5070,00676,749772,50676,74
^
=+=+=+= xXY 
 
e) 
%74,52
5274,0)7262,0(
2
22
=
==
R
R