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Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br Professor Mauricio Lutz 1 FUNÇAO DO 2º GRAU Definição Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: ℜ→ℜ definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0. Exemplo: f(x) = x2 – 3x + 4 (a = 1, b = –3, c= 4) Zeros da função quadrática Raízes ou zeros da função quadrática são os valores de x para os quais tem-se f(x) = 0. Determinamos os zeros ou raízes da função, resolvendo-se a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Lembre-se que: ∆ = b2 – 4 . a . c x = a .2 b- ∆± (fórmula de Báskara) Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas. Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais e iguais. Se 0 <∆ , não existe raiz real. Exemplos: 1. Determine os zeros das funções reais a seguir: a) f(x) = x2 – 3x + 2 Resolução: x2 – 3x + 2 = 0 ∆ = 1 2 1 3± =x ⇒ x1 = 2 ou x2 = 1 b) f(x) = x2 + 3x + 5 Resolução: ∆ = 9 –20 ⇒ ∆ = –11, raiz ℜ. Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br Professor Mauricio Lutz 2 Gráficos da função quadrática O gráfico, de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. O sinal do coeficiente “a” determina a concavidade dessa parábola. Assim: Se a > 0, a concavidade é voltada para cima: ∪. Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo: ∩. Vértice da Parábola e imagem da função do 2º grau Vértice É o ponto da curva correspondente à ordenada (yv) máxima ou mínima. V (xv, yv) Coordenadas do vértice v = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ 4a - , 2a b - Exemplo: Calcule as coordenadas do vértice da função f(x) = x2 – 3x + 2. Resolução: xv = – 2a b ⇒ xv = 2 3 ∆ = 9 – 8 = 1 yv = – a4 ∆ ⇒ yv = – 4 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 4 1, 2 3V Imagem da função quadrática a > 0 ⇒ Im(f) = { y vy y | ≥ℜ∈ } = [yv, +∞ [ V é ponto MÍNIMO a < 0 ⇒ Im(f) = {y 4a - y | ∆≤ℜ∈ } = ] – ,∞ yv] V é ponto MÁXIMO Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br Professor Mauricio Lutz 3 Estudo do sinal da função quadrática Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, significa determinar os valores reais de x para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0. O estudo do sinal da função quadrática depende do coeficiente quadrática depende do coeficiente “a” e do discriminante ∆ = b2 – 4 . a . c. Considere x1 < x2 a > 0 a < 0 ∆ > 0 (x1 ≠ x2) f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2 f(x) > 0 para x < x1 ou x > x2 f(x) < 0 para x1 < x < x2 f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2 f(x) > 0 para x1 < x < x2 f(x) < 0 para x < x1 ou x > x2 a > 0 a < 0 ∆ = 0 (x1 = x2) f(x) = 0 para x = x1 = x2 f(x) > 0 para x ≠ x1 f(x) = 0 para x = x1 = x2 f(x) < 0 para x ≠ x1 a > 0 a < 0 ∆ < 0 ( raiz ℜ) F(x) > 0, ∀ x ∈ ℜ f(x) < 0, ∀ x ∈ ℜ Inequação do 2º grau na variável x É toda desigualdade que pode ser escrita da seguinte forma: ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c≥ 0; ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c≤ 0. Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br Professor Mauricio Lutz 4 Exemplo: Resolva a inequação x2 – 4x + 3 ≤ 0 Resolução: ∆ = (-4)2 – 4 . 1 . 3 ∆ = 16 – 12 ∆ = 4 x’ = 3 e x” = 1 S = {x ∈ ℜ | 1 ≤ x ≤ 3} Inequação produto e inequação quociente 1) (x – 3) . (x2 + 3x – 4) > 0 Resolução: x – 3 = 0 x2 + 3x – 4 = 0 x = 3 ∆ = 25 x1 = 1 e x2 = –4 Quadro resolução ou quadro de sinais S = 3} ou x 1 x 4 - | {x ><<ℜ∈ 2) 0 9 - x 12 8x - x 2 2 ≤ + Resolução: x2 – 8x + 12 = 0 x2 – 9 = 0 ∆ = 15 ∆ = 36 x1 = 6 e X2 = 2 x1 = 3 e X2 = –3 Quadro de sinais S = {X 6} x 3ou 2 x 3 - | ≤<≤<ℜ∈ Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br Professor Mauricio Lutz 5 Exercícios 1) Dada a função y = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 m 1 - m x2 + x + 4, calcule m ℜ∈ , de modo que a parábola tenha a concavidade voltada para cima. 2) Calcule as ordenadas do vértice, verifique se é ponto de máximo ou de mínimo e o conjunto imagem das seguintes funções: a) y = x2 – 2x – 3 b) y = – x2 + 4 c) y = 2x2 – 4x + 4 3) Determine a e b, para que a função y = ax2 + bx + 3 tenha vértice V (2, – 1). 4) Determine m, de modo que o valor mínimo da função y = x2 – 4x + m seja – 1. 5) Determine os zeros ℜdas funções: a) y = x2 – 4x – 5 b) y = x2 – 2x + 6 c) f(x) = x2 + 2x + 1 6) Calcule k de modo que a função y = kx2 – 2x + 3 admita 2 como raiz. 7) Resolva as seguintes inequações: a) x2 – 2x + 1 > 0 b) 2x2 + 3x + 5 ≥ 0 c) – 2x2 + 5x - 6 < 0 d) x2 – 10x + 25 > 0 e) –3x2 + 2x – 1 > 0 8) Resolva as inequações: a) (x2 – 2x – 3) (2x2 – 5x + 2) < 0 b) (x2 + x – 6) (x2 – 1) 0 ≥ c) (x2 – 3x) (–x + 2) 0 ≥ d) 0 45x -x 10 7x - x 2 2 > + + e) 0 3x-x 2 x - 2 ≤ + f) 8 2 -x x2 < Gabarito: 1) m < – 2 ou m > 1 3) a = 1 b= –4 4) m = 3 5) a) {–1, 5} b) Ø c) {–1} 6) k = 4 1 7) a) S = ℜ– {1} b) S = ℜ c) S = ℜ d) ℜ – {5) e) S = Ø 8) a) {x 3} x 2ou 2 1 x 1 - | <<<<ℜ∈ b) {x 2} ou x 1 x 1 -ou 3 - x | ≥≤≤≤ℜ∈ c) {x 3} x 2ou 0 x | ≤≤≤ℜ∈ d) {x 5} ou x 4 x 2ou 1 x | ><<<ℜ∈ e) {x 3} ou x 2 x 0 | >≤<ℜ∈ f) {x 2} x | <ℜ∈
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