estimação de parâmetros

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Estimação de Parâmetros 
V03 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 3 
2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E TEOREMA CENTRAL DO LIMITE ........................................ 5 
2.1 Distribuição da média amostral .................................................................................. 5 
2.2 Distribuição da proporção amostral ........................................................................... 9 
3. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS .................................................................................. 11 
3.1 Estimativa Pontual e Intervalar ................................................................................. 11 
3.2 Intervalo de confiança para média populacional ...................................................... 12 
3.2.1 Intervalo de confiança para média – CASO 1..................................................... 12 
3.2.2 Intervalo de confiança para média – CASO 2..................................................... 16 
3.2.3 Distribuição t de Student ................................................................................... 17 
3.2.4 Cálculo do tamanho da amostra ........................................................................ 20 
3.3 Intervalo de confiança para proporção populacional ............................................... 21 
3.3.1 Intervalo de confiança para proporção populacional ........................................ 21 
3.3.2 Cálculo do tamanho da amostra ........................................................................ 23 
3.3 Guias para construção de intervalo de confiança ..................................................... 24 
4. ANEXO ..................................................................................................................... 25 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  3  
1. Introdução 
Na estatística é muito comum utilizar os resultados de amostras visando tirar conclusões sobre 
os valores desconhecidos das características da população, que são denominados de 
parâmetros populacionais. Para garantir que estas conclusões sejam válidas é necessário 
trabalhar com uma amostra que seja representativa, ou seja, que apresente um alto grau de 
similaridade com a população em estudo, e isto é obtido utilizando métodos de seleção que 
sejam imparciais na hora de escolher os elementos que irão compor a amostra. 
Tendo em mãos uma amostra representativa, o pesquisador usa alguns procedimentos 
estatísticos para fazer inferências a respeito dos parâmetros da população. Por exemplo, 
suponha que um pesquisador esteja interessado em traçar o perfil das pessoas que moram em 
uma certa região. A população alvo foi definida como todas as pessoas entre 14 e 75 anos que 
residem nesta região. Uma das características que interessa o pesquisador é o tempo médio que 
as pessoas ficam navegando na Internet por semana e a proporção de pessoas que consideram 
a Internet como o meio de entretenimento mais importante que a TV. Esta média e esta 
proporção seriam os parâmetros da população de interesse do pesquisador. 
 
Parâmetro – É uma medida numérica que descreve uma característica da população. Tal medida 
poderia ser uma média, mediana, variância ou proporção que seriam calculados usando todos 
os elementos da população. 
 
Estatística – É uma medida numérica que descreve uma característica da amostra. A diferença 
em relação ao parâmetro, é que na estatística usamos apenas os elementos que estão na 
amostra. 
Para obter as respostas desejadas, o pesquisador poderia pensar em fazer um censo com as 
pessoas desta região, ou seja, poderia fazer um estudo com todas as pessoas que fazem parte 
desta população-alvo. Assim, ele obteria o valor “real” do tempo médio navegando na Internet 
e o valor “real” da proporção de pessoas que preferem a Internet à TV. Esta solução, seria a 
ideal, mas ela é demorada e cara. 
Outra solução mais barata e mais rápida seria escolher uma amostra representativa da 
população-alvo e calcular a média e a proporção nesta amostra. Estes resultados seriam, 
estimativas dos parâmetros de interesse, podendo ser projetados para toda a população. 
 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  4  
Na Figura 1 abaixo, ilustramos os conceitos vistos até o momento. Na figura, vemos que a 
população tem N = 200 mil pessoas e que uma amostra de n = 1200 pessoas foi selecionada. 
Os parâmetros de interesses são o tempo médio navegando na Internet () e a proporção de 
pessoas que preferem a Internet à TV (p) Com base na amostra foram obtidas as estimativas 
x = 21 horas e p̂ = 80%. 
Figura 1 – Ilustração dos conceitos básicos 
 
 
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2. Distribuição amostral e Teorema Central do Limite 
Na estimação da média de uma população, a média de uma amostra serve como boa 
aproximação, entretanto é de se esperar que a média amostral nem sempre seja igual a média 
da população e que amostras diferentes teriam médias amostrais diferentes. No processo de 
estimação de parâmetros, é necessário entender incialmente o comportamento da estatística 
utilizada como estimativa do parâmetro. Ou seja, é necessário modelar o seu comportamento 
por meio de uma distribuição de probabilidade. 
2.1 Distribuição da média amostral 
Como exemplo didático, vamos considerar o exemplo de lançamento de um dado honesto. A 
tabela e o gráfico abaixo mostram a distribuição de probabilidade da variável x = “valor da face 
voltada para cima”. 
Distribuição de probabilidade de X 
x 1 2 3 4 5 6 
f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
O valor esperado (ou seja, a média) de X é 
𝐸(𝑋) = 𝜇 = ∑[𝑥∙𝑓(𝑥) ] 
 = 1*(1/6) + 2*(1/6) + ... + 6*(1/6) = 3,5 
Quando lançamos o dado mais de uma 
vez e calculamos a média das faces 
obtidas, vamos observar que a 
distribuição das médias se aproxima de 
distribuição em forma de sino 
(distribuição normal). Veja na figura ao 
lado, onde temos a distribuição da 
pontuação média obtida com o 
lançamento de duas, três, cinco e dez 
vezes o dado. 
 
 
f(x) 
 
1/6 
(d) Cinco dados 
(b) Dois dados 
(c) Três dados 
média ( ) 
média ( ) 
média ( ) 
(e) Dez dados 
média ( ) 
 
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Na figura logo abaixo, temos um outro exemplo ilustrando a ideia da distribuição amostral das 
médias ( x ). Notem que a população é muito assimétrica à direita, mas as médias têm 
distribuição aproximadamente normal à medida que aumentamos o tamanho da amostra (n). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE - TCL 
Se X1, X2, ..., Xn é uma amostra de n elementos retirados de uma população com média  e 
desvio-padrão , a média da amostra ( x ) terá uma distribuição aproximadamente normal com 
média  e desvio-padrão n para grandes amostras (n ≥ 30) 
RESUMINDO: Se a população é normalmente distribuída ou 𝑛 ≥ 30 (grandes amostras), 
temos: 
�̅� ~ 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝜇 ;
𝜎
√𝑛
) … … … … … … . (1) 
 
Onde, 
 
𝜇�̅� = 𝜇 Média das médias amostrais 
𝜎�̅� =
𝜎
√𝑛
 Desvio-padrão das médias amostrais, denominada de erro-padrão da 
média. 
Comentários 
▪ Se a população já tiver uma distribuição normal, então a média amostral também terá uma 
distribuição normal de forma exata. 
▪ Em alguns casos, mesmo com amostras menores do que 30, podemos ainda usar 
satisfatoriamente os resultados do Teorema Central do Limite, desde que a distribuição da 
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população não seja muito diferente da normal e que não tenha outliers (valores atípicos) na 
amostra. 
▪ O desvio-padrão x é usado para “medir” a extensão da variabilidade esperada das médias 
amostraisem torno da média populacional. Veja as duas situações abaixo: 
(i) Se 𝜎�̅� for pequeno, há uma boa chance de a média amostral ( x ) estar próxima da média 
da população (). 
(ii) Se 𝜎�̅� for grande, é mais provável que obtenhamos uma média amostral 
consideravelmente diferente da média da população (). 
No caso de usar a média amostral x como estimativa de , teremos uma estimativa muito 
precisa na situação (i) ou uma estimativa pouco precisa na situação (ii) 
▪ A fórmula do desvio-padrão 𝜎�̅� = 𝜎/√𝑛 é válida para o caso da população N ser infinita ou 
se a amostra foi realizada com reposição. 
▪ Se o tamanho da população for finito e conhecido e a amostra for maior que 5% da 
população (n ≥ 0,05·N), então “sugere-se” usar o fator de correção de população finita 
√(𝑁 − 𝑛)/(𝑁 − 1). Assim, o desvio-padrão das médias passa a ser: 
𝜎�̅� =
𝜎
√𝑛
√
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
 
EXEMPLO 01 - A duração da gravidez das mulheres gestantes tem distribuição 
aproximadamente normal com média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias. 
a) Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida, determine a probabilidade de a sua 
gravidez durar menos de 260 dias. Ou seja, determine )260X(P  ; 
b) Selecionada aleatoriamente uma amostra de n = 25 mulheres gestantes, determine a 
probabilidade de que a duração média da gravidez ( x ) dessas mulheres: 
(i) Seja inferior a 260 dias, ou seja, determine a probabilidade 𝑃(�̅� < 260). Isso é raro de 
acontecer? 
(ii) Seja superior a 270 dias, ou seja, determine probabilidade 𝑃(�̅� > 270). Isso é raro de 
acontecer? 
c) Suponha que um médico do hospital notou o período médio da gravidez para uma amostra 
de 25 mulheres gestantes foi menor que 260 dias? Há motivos para o médico se preocupar 
com isto? Justifique sua resposta. 
Solução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
a) Como é apenas uma mulher, então não precisamos dos resultados do Teorema Central do 
Limite. 
 
 260XP  = 




 

15
268260
ZP =  53,0ZP  = 0,5 – 0,2019 = 0,2981 (29,81%) 
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b) Como estamos trabalhando com uma amostra de 25 mulheres, temos que usar os resultados 
do Teorema Central do Limite para a média amostral �̅� 
 
A distribuição de probabilidade da média X será normal com média 𝜇𝑋 = 268 e desvio-padrão 
𝜎�̅� =
15
√25
. Para usar a tabela normal padrão devemos fazer a padronização de x 
 
𝑍 =
�̅� − 𝜇𝑋
𝜎�̅�
=
�̅� − 268
15/√25
 
 
Comentário: Veja que neste exemplo o tamanho da amostra foi menor que 30 e ainda assim usamos o 
resultado do TCL. Isto foi possível, pois o tempo de gestação já segue a distribuição normal (veja o 
enunciado do problema) 
 
(i)  260XP  = 







 

2515
268260
ZP =  67,2ZP  = 0,5 – 0,4962 = 0,0038 (0,38%) 
 
Como a probabilidade 0,0038 é muito pequena (apenas 0,38% de chance de acontecer), 
podemos dizer que é raro uma amostra de 25 mulheres gestantes ter um período médio de 
gestação menor que 260 dias. 
 
(ii)  270XP  = 







 

2515
268270
ZP =  67,0ZP  = 0,5 – 0,2486 = 0,2514 (25,14%). 
 
Como a probabilidade 0,2514 não é pequena (25,14% de chance de acontecer), podemos 
dizer que é comum uma amostra de 25 mulheres gestantes ter um período médio de 
gestação maior que 270 dias. 
 
 
c) Ele deveria ficar preocupado, pois este fato é muito raro, como foi visto no item (i) de (b) 
 
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2.2 Distribuição da proporção amostral 
 
Podemos também usar o Teorema Central do Limite para obter a distribuição amostral da 
proporção de sucesso na amostra, que será denotado por p̂ (leia-se, p chapéu). 
Se X1, X2, ..., Xn é uma amostra de n elementos retirados de uma população com proporção de 
sucessos na população igual a p, a distribuição de probabilidade da proporção de sucessos na 
amostra ( p̂ ), segue a distribuição normal com média p e desvio-padrão √𝑝(1 − 𝑝)/𝑛 desde que 
as condições abaixo sejam satisfeitas 
 nº de sucessos = 𝑛 ∙ �̂� > 5 
 nº de fracassos = 𝑛 ∙ (1 − �̂�) > 5 
RESUMINDO: Se as condições forem satisfeitas, temos: 
�̂� ~ 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑝 ; √
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
) … … … … … . (2) 
 
Onde, 
 
𝜇𝑝 = 𝑝 Média das proporções amostrais 
𝜎𝑝 = √
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
 
Desvio-padrão das proporções amostrais, denominada de erro-
padrão da proporção. 
Comentários 
▪ Se o tamanho da população for finito e conhecido e a amostra for maior que 5% da 
população (n ≥ 0,05·N), então o desvio-padrão p̂ deverá ser corrigida usando o fator de 
correção de população finita. 
𝜎𝑝 = √
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
√
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 02 - Em uma pequena cidade, 20% das famílias vivem abaixo da linha da pobreza 
segundo dados do último censo. 
a) Se 50 famílias forem selecionadas aleatoriamente, determine a probabilidade de a 
proporção de famílias vivendo abaixo da linha de pobreza nessa amostra ser maior que 
30%. 
 
b) Se 50 famílias forem selecionadas aleatoriamente, determine a probabilidade de a 
proporção de famílias vivendo abaixo da linha de pobreza nessa amostra estar no 
intervalo de 15% a 25%. 
 
c) Se 50 famílias forem selecionadas aleatoriamente, determine a probabilidade do 
número de famílias vivendo abaixo da linha de pobreza nessa amostra ser no mínimo 6 
famílias 
 
Solução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Verificando as condições np  5 e n(1-p)  5 são satisfeitas 
 
51020,050pn  ok 
54080,050qn  ok 
 
Então: 
�̂� ~ 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑝 ; √
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
) → �̂� ~ 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (0,2 ; √
0,2 ∙ 0,8
50
) = (0,2 ; √0,0032) 
 
a) 𝑃(𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 ≥ 0,30) = 







 

0032,0
20,030,0
ZP =  77,1ZP  = 0,5 – 0,4616 = 0,0384 (3,84%) 
 
 
b) 𝑃(0,15 ≤ 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 ≤ 0,25) = 







 


0032,0
20,025,0
Z
0032,0
20,015,0
P 
 
 = )88,0Z88,0(P  
 
 = 0,3106 + 0,3106 = 0,6212 (62,12%) 
 
c) Seis famílias em 50 corresponde a 12% do total da amostra. Então, vamos calcular a 
probabilidade da proporção amostral ser no mínimo 12%. 
 
𝑃(𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 ≥ 0,12) = 







 

0032,0
20,012,0
ZP =  41,1ZP  = 0,5 + 0,4207 = 0,9207 
 
 
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3. Estimação de parâmetros 
3.1 Estimativa Pontual e Intervalar 
As estatísticas (21 horas e 80%) mostradas na Figura 1 da página 4 são consideradas “boas” 
estimativas dos parâmetros de interesse. Estas estimativas são chamadas de estimativas 
pontuais, pois elas usam apenas um único valor para estimar os parâmetros. 
Outra forma é usar um intervalo de valores para estimar o parâmetro. No caso da média do 
tempo navegando na Internet, poderíamos estimá-la usando o intervalo de 18 a 22 horas, por 
exemplo. Esta estimativa é denominada de estimativa intervalar. 
O quadro abaixo mostra a diferença entre a estimativa pontual e intervalar. 
Parâmetro populacional Estimativa 
pontual* 
Estimativa Intervalar* 
Média 
populacional 
() 
 = “Renda média per 
capita dos habitantes 
de uma cidade” 
 é estimado em 
$ 2.500,00 
 está no intervalo de 
[$ 3.000 ; $ 3.500] 
Proporção 
populacional 
(p) 
p = “Proporção de peças 
com defeito em uma 
linha de produção” 
p é estimado em 
8% 
p está no intervalo 
[6% ; 10%] 
Desvio-padrão 
populacional 
() 
p = “Desvio-padrãodo 
tempo útil de vida da 
lâmpada de marca X” 
 é estimado em 
500 horas 
 está no intervalo 
[300 ; 800] horas 
* Os valores aqui apresentados são hipotéticos 
Levando em consideração a distribuição de probabilidade da média amostral, podemos associar 
à estimativa intervalar um nível de confiança que descreve o quanto acreditamos que o intervalo 
esteja estimando corretamente o verdadeiro valor do parâmetro da população. Esta estimativa 
intervalar associada com o nível de confiança é denominada de Intervalo de Confiança para o 
parâmetro. 
Se, por exemplo, o intervalo de confiança de 95% para estimar a média populacional for [19; 
23], podemos concluir que temos 95% de certeza de que o intervalo obtido inclui a verdadeira 
média populacional. 
Nas seções seguintes serão mostradas as formas de se construir intervalos de confianças e como 
devemos calcular o tamanho da amostra necessário para estimação dos parâmetros. 
 
 
 
 
 
Estimação de Parâmetros 
 
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3.2 Intervalo de confiança para média populacional 
Nas seções a seguir, vamos calcular o intervalo de confiança para estimar a média populacional, 
denotada pela letra grega , nas duas situações a seguir1: 
CASO 1: Quando usamos o desvio-padrão da população () ou n ≥ 30 (grandes 
amostras 
CASO 2: Quando usamos o desvio-padrão da amostra (s). 
Em qualquer situação, a fórmula do intervalo de confiança para a média da população pode ser 
escrita como 
média populacional = [estimativa pontual  margem de erro] 
3.2.1 Intervalo de confiança para média – CASO 1 
A média populacional  é o nosso parâmetro de interesse e gostaríamos de estimá-la com base 
nos valores de uma amostra de n elementos x1, x2, ..., xn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de confiança de 100(1- )% para a média populacional  
𝐼𝐶 = �̅� ± 𝑧𝑐
𝜎
√𝑛
 
 
Onde, 
• n é o tamanho da amostra. 
•  é o desvio-padrão populacional. 
• 𝑧𝑐 é o valor crítico obtido da tabela normal padrão e que depende do nível de confiança 
desejado. Algumas vezes, é também denotado por 𝑧𝑡𝑎𝑏 ou 𝑧𝛼/2. 
• A média amostral ( x ) é a estimativa pontual da média populacional (), enquanto que 
a quantidade 𝐸 = 𝑧𝑐
𝜎
√𝑛
 é a de margem de erro da estimativa. 
A margem de erro E, é o maior erro cometido na estimação da média populacional e seu valor 
depende do nível de confiança que desejamos para os resultados. Portanto, a margem de erro 
ao estimar a média populacional é 
 
𝐸 = 𝑧𝑐
𝜎
√𝑛
 
 
 
1 Para ajudar em decidir pelo uso do Z ou do T, sugiro ver o fluxograma que está na seção 3.3. 
Amostra de n elementos 
Média amostral: 
n
x i
x 
 
População de N elementos 
 = média 
populacional 
 
 é conhecido 
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Como obter o valor crítico zc? 
Como a tabela que estamos trabalhamos é a tabela normal padrão reduzida, que é aquela que 
nos fornece a área no intervalo de [0 ; z], então basta procurar na tabela normal o valor crítico 
𝑧𝑐 que correspondente à metade do nível de confiança (1 – ). 
Para entender melhor o que foi dito, observe o exemplo abaixo, onde procuramos obter o valor 
de 𝑧𝑐 para um nível de confiança de 90% (ou seja, 0,90). Devemos procurar “dentro” da tabela 
normal padrão pelo valor mais próximo da área 0,45 (= 0,90/2). Uma vez localizado, devemos ir 
para a 1ª linha e 1ª coluna, encontrando assim o valor crítico 𝑧𝑐 = 1,65. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores comuns para 𝑧𝑐 
Nível de 
confiança 
(1- ) 
zc 
90% 1,65 
95% 1,96 
99% 2,58 
 
Comentários 
 
(i) Se o tamanho da população (N) for finito e conhecido e a amostra for maior que 5% da 
população (n ≥ 0,05·N) é aconselhável incluir um fator de correção para população finita. 
Neste caso, a margem de erro seria calculada como: 
1N
nN
n
zE c


 
(ii) No caso de grandes amostras (n ≥ 30), se o desvio-padrão populacional  for desconhecido 
você pode substituí-lo pelo desvio-padrão amostral s e ainda continuar usando o CASO 1. 
Isto é possível, pois esperamos que ambos (s e ) sejam próximos à medida que 
aumentamos o tamanho da amostra. 
 
(iii) O nível de confiança (1 - ) expressa o quanto nós acreditamos no intervalo de confiança 
obtido. Ele é visto como a proporção das vezes que o intervalo acerta se o processo 
“pudesse” ser repetido um grande número de vezes. Por exemplo, se o nível de confiança 
for de 95%, podemos dizer que estamos 95% confiantes de que o valor real do parâmetro 
esteja dentro do intervalo obtido. 
 
 
 
 -zc 0 +zc 
 
0,45 0,45 
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PUC Minas prof. José Aguinaldo  14  
(iv) O  (alfa) é denominado nível de significância e ele expressa o quanto podemos estar 
errados com o intervalo de confiança obtido. Por exemplo, se  = 5% podemos dizer que 5% 
das vezes o intervalo não irá “cobrir’ o valor real do parâmetro. O termo “nível de 
significância” é muito usado em teste de hipótese, um método estatístico voltado para 
verificar se uma afirmação feita a respeito do valor real do parâmetro pode ser aceita ou 
não. 
 
(v) Alguns livros de estatística costumam pedir a construção de intervalo de confiança usando 
o termo “nível de significância”. Um intervalo com um nível de significância de  
corresponde, na realidade, a um intervalo com nível de confiança de 1 - . Por exemplo, um 
intervalo com um nível de significância de 3%, significa que o intervalo tem um nível de 
confiança de 97%. O mais comum é usar o termo “nível de confiança” na construção de 
intervalo de confiança. 
 
EXEMPLO 03 - Um pesquisador está interessado no tempo que as pessoas em uma cidade 
do país UK gastam navegando na Internet. Com base em dados históricos, o tempo segue a 
distribuição normal com desvio-padrão populacional igual a 6 horas. Uma amostra de 60 pessoas 
retirada desta cidade apresentou uma média amostral igual a 19,5 horas por semana. Com base 
nestas informações, responda: 
a) Construa (e interprete) um intervalo de confiança de 98% para o verdadeiro tempo 
médio de navegação na Internet. Qual foi a margem de erro na pesquisa? 
b) Segundo uma notícia veiculada na Internet, o tempo médio no pais UK é de 20 horas. 
Com base no intervalo que você obteve em “a”, há evidências o tempo médio na cidade 
é igual ao do país? Justifique sua resposta. 
Solução ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
a) 
Foi pedido a construção do intervalo de confiança. Os dados fornecidos foram: 
Tamanho da amostra: n = 60 pessoas 
Média da amostra: x = 19,5 horas 
Desvio-padrão populacional:  = 6 horas (veja pelo problema de que se trata do desvio-
padrão populacional) 
Vamos obter o valor de zc para 98% de confiança 
 
 
 
Intervalo de confiança de 98% para a média populacional  
  ]30,21 ; 70,17[80,15,19
60
6
33,2 5,19 
n
σ
z xμIC c 
 
 -zc 0 +zc 
 
0,49 0,49 
Dividindo 0,98 por dois temos 0,49 de área em cada lado 
da média. Localizando o valor mais próximo de 0,49 
“dentro” da tabela e depois indo para a 1ª coluna e 1ª linha 
iremos encontrar o valor crítico zc = 2,33 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  15  
Interpretação 
Estamos 98% confiantes de que a média populacional do tempo navegando na Internet na 
cidade está no intervalo de 17,70 horas a 21,30 horas por semana, com uma margem de erro 
de 1,80 hora para mais ou para menos. 
b) 
Usando o intervalo obtido, há evidências para acreditar que o tempo médio na cidade é igual ao 
do país UK, pois o valor de 20 horas está dentro do intervalo [17,70 ; 21,30] horas. 
 
<< Incluir exemplo de população finita >> 
<< Incluir depois o Intervalo unilateralde confiança >> 
 
Estimação de Parâmetros 
 
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3.2.2 Intervalo de confiança para média – CASO 2 
Neste CASO, a média populacional  é o nosso parâmetro de interesse e gostaríamos de estimá-
la com base em uma amostra de n elementos x1, x2, ..., xn, porém nada sabemos sobre o valor 
do desvio-padrão populacional 𝜎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como não temos desvio-padrão populacional 𝜎 devemos usar, então, o desvio-padrão da 
amostra (s). Quando isto ocorre, a distribuição normal padrão não é mais adequada devendo 
usar a distribuição t de Student em seu lugar. 
 
Intervalo de confiança de 100(1- )% para a média populacional  
𝐼𝐶 = �̅� ± 𝑡𝑐
𝑠
√𝑛
 
 
Onde, 
• n é o tamanho da amostra. 
• s é o desvio-padrão amostral. 
• 𝑡𝑐 é o valor crítico obtido da tabela t de Student com GL = n - 1 graus de liberdade e que 
depende do nível de confiança desejado. Algumas vezes é também denotado por 𝑡𝑡𝑎𝑏 
ou 𝑡𝛼/2. 
• A média amostral ( x ) é a estimativa pontual da média populacional (), enquanto que 
a quantidade 𝐸 = 𝑡𝑐
𝑠
√𝑛
 é a margem de erro. 
 
Comentários 
 
(i) No caso de grandes amostras (n ≥ 30), mesmo se o desvio-padrão populacional  for 
desconhecido podemos substituí-lo pelo desvio-padrão da amostra (s) e ainda continuar 
usando o valor zc obtido da tabela normal padrão. Isto é possível, pois esperamos que ambos 
(s e ) sejam próximos à medida que aumentamos o tamanho da amostra. 
n
s
zE c 
(ii) Se o tamanho da população (N) for finito e conhecido e a amostra for maior que 5% da 
população (n ≥ 0,05·N) é aconselhável incluir um fator de correção para população finita. 
Neste caso, a margem de erro seria calculada como: 
1N
nN
n
s
tE c


 
Amostra de n elementos 
Média amostral: 
n
x i
x 
Desvio-padrão amostral: 
 
1-n
x
2
i 

x
s 
 
População de N elementos 
 = média 
populacional 
 
 é desconhecido 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  17  
3.2.3 Distribuição t de Student 
 
A distribuição t de Student foi criada por W. S. Gosset, funcionário de uma cervejaria irlandesa 
no início do século XX. A distribuição de Student recebeu este nome em função do pseudônimo 
que Gosset empregava para assinar seus trabalhos acadêmicos. Segundo se sabe, a empresa não 
permitia que os funcionários publicassem trabalhos em seu próprio nome. 
 
A tabela t é ligeiramente diferente para cada tamanho da amostra, o que não acontecia com a 
distribuição normal padrão que era única e independente do valor de n. Para pequenas 
amostras, a distribuição t de Student é mais sensível apresentando uma cauda mais aberta em 
ambos lados em relação a distribuição normal padrão (veja a figura abaixo). Para grandes 
amostras, no entanto, esta diferença fica menos visível e a medida que o tamanho da amostra 
vai aumentando mais próxima a distribuição t vai ficando da distribuição normal padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tabela t de Student mostra as áreas na cauda superior (ou seja, à direita do valor crítico) para 
um determinado2 grau de liberdade, que será GL = n - 1. 
 
 
 
2 Como vocês notaram a tabela t de Student não é completa. Ela só trabalha com as probabilidades mais usuais em 
inferência estatística. 
x
f(
x
)
43210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Variable
Normal
t-Student n = 2
x
f(
x
)
43210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Variable
Normal
t-Student n = 15
Comparação entre a curva normal padrão e a 
distribuição t de Student para n = 2 e n = 15 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  18  
Como olhar a tabela da distribuição t de Student? 
Na tabela t de Student, a primeira coluna representa os graus de liberdade (GL) e na primeira 
linha temos as áreas na cauda superior da curva. 
Como exemplo vamos encontrar o valor crítico tc para um nível de confiança de 90% e com uma 
amostra de n = 10 elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando ainda o nível de confiança de 90%. Reparem que a medida que os graus de 
liberdade aumentam o valor tc vai se aproximando de 1,65 que o valor crítico obtido da tabela 
normal padrão (zc). 
 
 
 
 
 
 
 -tc 0 +tc 
 
0,45 0,45 
Dividindo 0,90 por dois temos 0,45 de área em cada lado da média. Fazendo 
a subtração 0,5 – 0,45 = 0,05 (= 5%) encontramos as áreas em cada uma das 
duas caudas da curva ao lado. Considerando 5% na primeira linha da tabela e 
GL = n – 1 = 10 – 1 = 9 graus de liberdade na primeira coluna, iremos obter o 
valor crítico tc = 1,833. 
 
 
Uma outra maneira, seria: 
Fazendo a subtração 1 – 0,90 = 0,10 e dividindo o resultado por 2, vamos 
obter 0,05 (= 5%), que é a área em cada uma das duas caudas da curva ao 
lado. Considerando 5% na primeira linha da tabela e GL = n – 1 = 10 – 1 = 9 
graus de liberdade na primeira coluna, iremos obter o valor crítico tc = 1,833. 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  19  
EXEMPLO 04 - O responsável pelo laboratório de informática de uma escola deseja estimar 
o tempo médio  que os alunos gastam usando o laboratório. Inicialmente ele selecionou 
aleatoriamente uma amostra de 12 alunos e registrou o tempo gasto por cada um deles. Os 
dados estão logo abaixo. Assume que o tempo de uso do laboratório segue uma distribuição 
aproximadamente normal. 
 
37 36 31 25 29 32 24 30 21 42 30 41 
 
Construa (e interprete) um intervalo de confiança de 95% para o “verdadeiro” tempo médio de 
uso do laboratório. Qual foi a margem de erro? 
Solução ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Reparem que temos uma amostra pequena (n = 12) e o desvio-padrão populacional () não é 
conhecido. Vamos ter que usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de 
confiança. 
 
Média e desvio-padrão da amostra 
12
413637 

 
n
x
 x i =31,5 mim 
       
112
5,31415,31365,3137x
2222





 
1-n
x
 s i = 6,54 min 
Intervalo de 95% de confiança para a média populacional  
Como o tamanho da amostra é n = 12 e o nível de confiança de 95%, ao olhar em 11 graus de 
liberdade e 2,5%, encontramos o valor crítico tc = 2,201 
 
n
s
t xIC c = 16,45,31 
12
6,54
2,201 31,5 = (27,34 ; 35,66) minutos 
Estamos 95% confiantes de que a média populacional está no intervalo de 27,34 a 35,66 
minutos, com uma margem de erro de 4,16 minutos para mais ou para menos. 
EXEMPLO 05 - Suponha que a escola do exemplo anterior tem um total de 1500 alunos. 
Construa novamente o intervalo de confiança levando em consideração o tamanho da 
população desta escola. 
Solução ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
1N
nN



n
s
t xIC c =
11500
121500



12
6,54
2,201 31,5 14,45,31  = (27,36 ; 35,69) minutos 
O intervalo praticamente não se alterou, pois o tamanho da amostra é bem menor do que 5% 
da população. 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  20  
3.2.4 Cálculo do tamanho da amostra 
 
Cálculo do tamanho mínimo de uma amostra para estimar a média da população () de forma a 
garantir uma margem de erro fixada em E. 
 
Para tamanho N da população desconhecida ou infinita 
 
𝑛 =
𝑧𝑐
2𝜎2
𝐸2
 
 
Para tamanho N da população conhecido e finito 
 
𝑛 =
𝑧𝑐
2 ∙ 𝑁 ∙ 𝜎2
𝑧𝑐
2 ∙ 𝜎2 + (𝑁 − 1)𝐸2
 
 
Comentário 
 
Uma estimativa preliminar do desvio-padrão da população  poderá ser baseada no desvio-
padrão amostral (s) de uma pesquisa feita anteriormente e similar à sua pesquisa ou no desvio-
padrão amostral (s) de um estudo piloto. O valor crítico zc é obtido da tabela normal padrãoEXEMPLO 06 - Suponha que o responsável pelo laboratório de informática no exemplo 
anterior julgou a estimativa pouco precisa. Qual deveria ser o tamanho da amostra para estimar 
a média populacional de forma a garantir uma margem de erro de 2 minutos para mais ou para 
menos com uma confiança de 95% nos resultados? Como estimativa de  use o desvio-padrão 
da amostra. 
Solução ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
No exemplo anterior s = 6,54 minutos e o tamanho da população (N) não foi informado. 
 
Então o tamanho da amostra que será necessário será 
 
𝑛 =
𝑧𝑐
2𝜎2
𝐸2
=
1,962 ∙ 6,542
22
= 41,08 
 
Arredondando para cima, temos n = 42 alunos. 
 
É necessária uma amostra de 42 alunos para estimar a média populacional com uma margem 
de erro de 2 minutos para mais ou para menos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  21  
3.3 Intervalo de confiança para proporção populacional 
O intervalo de confiança para a proporção populacional é construído de forma similar ao da 
média vista na seção anterior. 
proporção populacional = [estimativa pontual  margem de erro] 
3.3.1 Intervalo de confiança para proporção populacional 
A proporção p de sucessos na população é o nosso parâmetro de interesse e gostaríamos de 
estimá-la com base em uma amostra de n elementos x1, x2, ..., xn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A proporção populacional p é a o número de elementos com a característica de interesse na 
população dividida pelo tamanho da população (N). O seu valor é estimado a partir da proporção 
amostral (denotado de p̂ ) que é a proporção de sucessos na amostra selecionada. 
n
amostra na SUCESSOSde número
p̂ 
O valor de p̂ é usado como estimativa pontual da verdadeira proporção populacional (p). O 
intervalo de confiança é obtido usando a fórmula abaixo. 
 
Intervalo de confiança de 100(1- )% para a proporção populacional p 
 
𝐼𝐶 = �̂� ± 𝑧𝑐√
�̂�(1 − �̂�)
𝑛
 
 
Condições para uso do intervalo acima: 𝑛�̂� ≥ 5 𝑒 𝑛(1 − �̂�) ≥ 5 
 
Onde, 
• N e n é o tamanho da população e da amostra, respectivamente. 
• 𝑧𝑐 é o valor crítico obtido da tabela normal padrão e que depende do nível de confiança 
desejado. Algumas vezes é também denotado por 𝑧𝑡𝑎𝑏 ou 𝑧𝛼/2. 
• A quantidade 𝐸 = 𝑧𝑐√�̂�(1 − �̂�)/𝑛 que é somada e subtraída é denominada de margem 
de erro. 
 
Amostra de n elementos 
Média amostral: 
n
Sucessos#
p̂  
 
População de N elementos 
p = proporção 
populacional 
 
 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  22  
EXEMPLO 07 - Um pesquisador está interessado na proporção de pessoas em uma cidade 
do país UK que preferem a Internet a TV como fonte de entretenimento. De uma amostra de 60 
pessoas retirada desta cidade, 48 pessoas indicaram a Internet. Com base nestas informações, 
responda: 
a) Construa (e interprete) um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção 
de pessoas que preferem a Internet a TV. Qual foi a margem de erro na pesquisa? 
b) Segundo uma notícia veiculada em um jornal, ¾ das pessoas no país UK preferem a 
Internet. Com base no intervalo que você obteve em “a”, há evidências para acreditar 
na afirmação do jornal? Justifique sua resposta. 
Solução ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
a) 
Pelo enunciado temos uma amostra com n = 60 pessoas, sendo com 48 sucessos. Então a 
proporção amostral será 
80,0
60
48
p̂  (ou 80%) 
Vamos obter o valor de zc para 95% de confiança 
 
 
 
Intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional p 
  

 101,080,0
60
)8,01(8,0
800
n
q̂p̂
ˆp 1,96 ,z pIC c [0,699 ; 0,901] ou [ 69,9% ; 90,1%] 
Interpretação 
Estamos 95% confiantes de que a proporção populacional de pessoas que preferem a Internet 
na cidade está no intervalo de 69,9% a 90,1%, com uma margem de erro de 10,1% para mais ou 
para menos. 
 
<< Incluir exemplo de população finita >> 
<< Incluir depois o Intervalo unilateral de confiança >> 
 
 -zc 0 +zc 
 
0,475 0,475 
Dividindo 0,95 por dois temos 0,475 de área em cada lado da média. 
Isto na tabela normal padrão corresponde ao valor zc = 1,96 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  23  
3.3.2 Cálculo do tamanho da amostra 
 
Cálculo do tamanho mínimo de uma amostra para estimar a “verdadeira” proporção p de forma 
a garantir um erro máximo de estimação E (margem de erro). 
 
Para tamanho N da população desconhecida ou infinita 
 
𝑛 =
𝑧𝑐
2
𝐸2
∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝) 
 
Para tamanho N da população conhecido e finito 
 
𝑛 =
𝑧𝑐
2 ∙ 𝑁 ∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝) 
𝑧𝑐
2 ∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝) + (𝑁 − 1)𝐸2
 
 
Comentário 
Uma estimativa preliminar razoável da proporção p deverá ser obtida de uma pesquisa anterior 
ou através de uma amostra piloto (amostra de teste). Na falta de uma estimativa preliminar, use 
proporção igual a p = 0,50. A razão para isto é que o produto 𝑝(1 − 𝑝) tem seu valor máximo 
quando p = 0,5. 
 
EXEMPLO 08 - Um repórter deseja fazer uma pesquisa para estimar a “verdadeira” 
proporção dos universitários que têm computador em casa com uma margem de erro de 4% 
para mais ou para menos e 95% de confiança nos resultados. Qual deve ser o tamanho da 
amostra, ou seja, quantos universitários deveriam ser pesquisados? 
a) Suponha que, de um estudo anterior, sabemos que 27% dos estudantes têm 
computador em casa. 
b) Assume que você não tem nenhuma informação sobre a proporção p 
 
Solução ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
A margem de erro foi fixada em 0,04 (E0 = 0,04) 
 
𝑎) 𝑛 =
𝑧𝑐
2
𝐸2
∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝) =
1,962
0,042
∙ 0,27 ∙ (1 − 0,27) = 473,2 
 
Arredondando para cima, temos n = 474 universitários. 
 
b) Como agora não temos informação preliminar sobre a proporção devemos usar 0,50 no lugar 
de p̂ 
 
𝑛 =
𝑧𝑐
2
𝐸2
∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝) =
1,962
0,042
∙ 0,5 ∙ (1 − 0,5) = 600,25 
 
Arredondando para cima, temos n = 601 universitários. A amostra de 601 universitários é capaz 
de assegurar, com 95% de certeza, que as estimativas obtidas, não s afastem mais de 5% dos 
seus verdadeiros valores. 
 
 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  24  
3.3 Guias para construção de intervalo de confiança 
 
A seguir são apresentadas duas formas de ajudar na escolha da distribuição Z ou distribuição T 
no momento de se construir o intervalo de confiança para a média da população. 
 
1) Tabela Z (CASO 1) ou a tabela T (CASO 2)? 
 
 
 
2) Tabela Z (CASO 1) ou a tabela T (CASO 2)? 
 
 
No caso da população seguir a distribuição normal, a tabela a seguir resume as possibilidades 
de usar a distribuição Z ou a distribuição T. Repare que podemos usar tanto o Z quanto o T na 
situação onde usamos o desvio-padrão da amostra (s) e temos n ≥ 30 (grandes amostras). 
 
 
 
 
 
 
Quando n < 30 e a população não é normalmente distribuída, você não pode usar nem a 
distribuição Z e nem a distribuição T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tamanho da 
amostra 
Usar 
𝝈 
Usar 
S 
n < 30 Z T 
n ≥ 30 Z Z ou T 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  25  
4. Anexo 
A figura abaixo é usada para demonstrar as ideias envolvidas ao construir um intervalo de 
confiança com nível de confiança de 95%. Várias amostras de tamanho n são retiradas da 
população e, para cada uma delas, um intervalo de confiança é construído. É evidente que os 
intervalos serão diferentes, mas pelo método usado, é garantido que 95% destes intervalos irão 
“cobrir” o real valor da média populacional 𝜇. O último gráfico mostra uma simulação de 50 
intervalos criadose apenas três desles (seta azul) não cobrem o valor real de 𝜇 = 18 e 47 
intervalos (= 47/50 = 0.94 = 94%) estão cobrindo o real valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565N =
AM49
AM46
AM43
AM40
AM37
AM34
AM31
AM28
AM25
AM22
AM19
AM16
AM13
AM10
AM7
AM4
AM1
9
5
%
 I
n
te
rv
a
lo
 d
e
 C
o
n
fi
a
n
ç
a
21
20
19
18
17
16
15
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  26  
 
 
 
TABELA NORMAL PADRÃO REDUZIDA (Z) 
 
 
 
zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 
≥ 3,5 0,4999 
 
 
P(0  Z  1,15) = 0,3749 
 0 1,15 Z 
Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo  27  
TABELA T DE STUDENT (T) 
 
 
 
 
GL 
Área à direita (na cauda superior) 
10% 5% 4,5% 4% 3,5% 3% 2,5% 2% 1,5% 1% 0,5% 
1 3,078 6,314 7,026 7,916 9,058 10,579 12,706 15,895 21,205 31,821 63,657 
2 1,886 2,920 3,104 3,320 3,578 3,896 4,303 4,849 5,643 6,965 9,925 
3 1,638 2,353 2,471 2,605 2,763 2,951 3,182 3,482 3,896 4,541 5,841 
4 1,533 2,132 2,226 2,333 2,456 2,601 2,776 2,999 3,298 3,747 4,604 
5 1,476 2,015 2,098 2,191 2,297 2,422 2,571 2,757 3,003 3,365 4,032 
6 1,440 1,943 2,019 2,104 2,201 2,313 2,447 2,612 2,829 3,143 3,707 
7 1,415 1,895 1,966 2,046 2,136 2,241 2,365 2,517 2,715 2,998 3,499 
8 1,397 1,860 1,928 2,004 2,090 2,189 2,306 2,449 2,634 2,896 3,355 
9 1,383 1,833 1,899 1,973 2,055 2,150 2,262 2,398 2,574 2,821 3,250 
10 1,372 1,812 1,877 1,948 2,028 2,120 2,228 2,359 2,527 2,764 3,169 
11 1,363 1,796 1,859 1,928 2,007 2,096 2,201 2,328 2,491 2,718 3,106 
12 1,356 1,782 1,844 1,912 1,989 2,076 2,179 2,303 2,461 2,681 3,055 
13 1,350 1,771 1,832 1,899 1,974 2,060 2,160 2,282 2,436 2,650 3,012 
14 1,345 1,761 1,821 1,887 1,962 2,046 2,145 2,264 2,415 2,624 2,977 
15 1,341 1,753 1,812 1,878 1,951 2,034 2,131 2,249 2,397 2,602 2,947 
16 1,337 1,746 1,805 1,869 1,942 2,024 2,120 2,235 2,382 2,583 2,921 
17 1,333 1,740 1,798 1,862 1,934 2,015 2,110 2,224 2,368 2,567 2,898 
18 1,330 1,734 1,792 1,855 1,926 2,007 2,101 2,214 2,356 2,552 2,878 
19 1,328 1,729 1,786 1,850 1,920 2,000 2,093 2,205 2,346 2,539 2,861 
20 1,325 1,725 1,782 1,844 1,914 1,994 2,086 2,197 2,336 2,528 2,845 
21 1,323 1,721 1,777 1,840 1,909 1,988 2,080 2,189 2,328 2,518 2,831 
22 1,321 1,717 1,773 1,835 1,905 1,983 2,074 2,183 2,320 2,508 2,819 
23 1,319 1,714 1,770 1,832 1,900 1,978 2,069 2,177 2,313 2,500 2,807 
24 1,318 1,711 1,767 1,828 1,896 1,974 2,064 2,172 2,307 2,492 2,797 
25 1,316 1,708 1,764 1,825 1,893 1,970 2,060 2,167 2,301 2,485 2,787 
26 1,315 1,706 1,761 1,822 1,890 1,967 2,056 2,162 2,296 2,479 2,779 
27 1,314 1,703 1,758 1,819 1,887 1,963 2,052 2,158 2,291 2,473 2,771 
28 1,313 1,701 1,756 1,817 1,884 1,960 2,048 2,154 2,286 2,467 2,763 
29 1,311 1,699 1,754 1,814 1,881 1,957 2,045 2,150 2,282 2,462 2,756 
30 1,310 1,697 1,752 1,812 1,879 1,955 2,042 2,147 2,278 2,457 2,750 
40 1,303 1,684 1,737 1,796 1,862 1,936 2,021 2,123 2,250 2,423 2,704 
50 1,299 1,676 1,729 1,787 1,852 1,924 2,009 2,109 2,234 2,403 2,678 
90 1,291 1,662 1,714 1,771 1,834 1,905 1,987 2,084 2,205 2,368 2,632 
100 1,290 1,660 1,712 1,769 1,832 1,902 1,984 2,081 2,201 2,364 2,626 
> 100 1,282 1,645 1,695 1,751 1,812 1,881 1,960 2,054 2,170 2,326 2,576 
ATENÇÃO 
GL = Graus de liberdade. GL = n – 1 para uma amostra. 
Se GL  30, você pode usar a tabela normal padrão. 
 
Para n = 11, então GL = 11 -1 = 10 
P(T  2,228) = 0,025 (ou 2,5%) 
 0 2,289 T