Astronomia e Gravitação

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Astronomia e Gravitação
Avaliações
A avaliação do rendimento escolar do aluno é constituída pelos seguintes instrumentos:
Grau A|B: uma prova (peso: 50%) e dois trabalhos (tarefa pré – aula (peso: 20%) e tarefa extraclasse (peso: 30%)).
O resultado desta avaliação é formalizado nos Graus A e B. O GA consolida os resultados de avaliações realizadas até
a metade do período letivo e corresponde a 33% do Grau Final. O GB consolida os resultados de avaliações
realizadas até a antepenúltima semana do período letivo, envolve a integralidade das competências desenvolvidas
no semestre e corresponde a 67% do Grau Final.
Obtidos estes dois Graus, aplica-se a seguinte fórmula para o cálculo do Grau Final: (GA x 0,33) + (GB x 0,67) = GF
O aluno é considerado aprovado numa disciplina ou atividade acadêmica quando obtiver GF igual ou superior a 6,0
e um mínimo de 75% de frequência.
Salientamos que a realização do GA e GB sem a frequência mínima obrigatória implica em nulidade do ato e não há
época especial para realização do GA e GB.
Caso o aluno não obtenha a média necessário para aprovação (𝐺𝐹 ≥ 6,0) será oferecido uma prova de substituição,
Grau C.
Astronomia e Gravitação
Aula 1: Introdução ao Stellarium
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Astronomia
https://www.youtube.com/watch?v=0JfksHOJX5U&list=PL786495B96AB0CC3C
https://www.youtube.com/watch?v=0JfksHOJX5U&list=PL786495B96AB0CC3C
Stellarium
Stellarium é um software livre de astronomia para
visualização do céu nos moldes de um planetário. É um dos
softwares mais completos que existem para observação
de corpos celestes, tendo um catálogo com mais de 850
milhões de estrelas, com informações sobre praticamente
todas elas. Além disso, também é possível observar/explorar
planetas, nebulosas, luas e constelações todas em suas
posições reais e com grande precisão.
Para mais informações e
download acesse a página:
https://stellarium.org/pt_BR/
https://stellarium.org/pt_BR/
Tarefa ExtraClasse
TE1 Estudaremos a variação das posições do Sol de acordo com as diferentes épocas do ano para a latitude
de Porto Alegre.
Algumas definições de interesse:
- O azimute ("Az" no programa) é o ângulo medido sobre o horizonte do ponto cardeal do norte para o
objeto de interesse, na direção norte-leste-sul-oeste, toma valores de 0o a 360o.
- O nascer é a saída do astro em questão e o ocaso é o oposto. Nascer e Ocaso ocorrem em pontos simétricos
do horizonte em relação à linha Norte-Sul (o meridiano). A soma dos azimutes do nascer e ocaso é de 360o.
- A altura ("Alt" no programa) é o ângulo medido a partir do horizonte para o zênite (designa o ponto
(imaginário) interceptado por um eixo vertical (imaginário) traçado a partir da cabeça de um observador
(localizado sobre a superfície terrestre) e que se prolonga até a esfera celeste) para o objeto de interesse,
portanto, é medido perpendicularmente ao horizonte. Para os objetos que você vê no céu vale de 0o a 90o.
Para aqueles que estão sob o horizonte vai -90o a 0o.
- A culminação superior de um astro ocorre quando sua altura no horizonte é o máximo (azimute = 180o). A
culminação inferior é quando a altura é mínima (azimute = 0o). Neste caso, o objeto é abaixo do horizonte e
não pode ser visto, a menos que seja circumpolar.
- Com a tecla "Z", a grade de azimutes e alturas é desenhada. Com a "," (vírgula), a eclíptica é desenhada,
que é a trajetória aparente da Sol no céu. E com o ";" (ponto e vírgula), o meridiano é desenhado.
Tarefa ExtraClasse
Configurar Stellarium para a localização de Porto Alegre nas seguintes datas (ano 2020) e preencha a
seguinte tabela:
Astronomia e Gravitação
Aula 2: Localização da Terra no Universo
Vida Fora da Terra
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Vida
https://www.youtube.com/watch?v=XPacx0kLDX8&list=PL786495B96AB0CC3C&index=30&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=XPacx0kLDX8&list=PL786495B96AB0CC3C&index=30&t=0s
Localização da Terra no Universo
UniversoAglomerado
de Virgem
Grupo Local
Via Láctea
Sistema Solar
Terra
Esta imagem do Hubble, mostra uma
grande variedade de galáxias, cada
uma composta de bilhões de
estrelas. As pequenas galáxias
avermelhadas, aproximadamente
100, são algumas das galáxias mais
distantes fotografadas por um
telescópio óptico (aproximadamente
13.4 bilhões de anos luz).
Universo [Estimativa]
≈ 𝟏𝟑 bilhões lyr
Filamentos
Grupo Local: É composto por cerca de 50
galáxias que inclui a Via Láctea.
Aglomerado de Virgem: Abrange entre
1300 a 2000 galáxias.
Su
p
er
ag
lo
m
er
ad
o
Lo
ca
l
Teia Cósmica 
Grupo < Aglomerado < Superaglomerado
Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno
Sol
Sol Sirius Pólux
Arcturus
Lista de Alguns Símbolos Astronômicos
Para mais símbolos veja 
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolos_astron%C3%B4micos_para_objetos_do_Sistema_Solar
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolos_astron%C3%B4micos_para_objetos_do_Sistema_Solar
Exercícios
1 – O Sol possui um raio 𝑅⨀ ≃ 7 × 10
5 𝑘𝑚 e massa 𝑀⨀ ≃ 2 × 10
30 𝑘𝑔.
Sirius A é uma estrela do tipo anã branca de raio 1.2 × 106 𝑘𝑚 e massa 4.1 × 1030 𝑘𝑔.
Determine o raio e a massa de Sirius A em termos do Sol.
2 – O diâmetros equatoriais da Terra e de Júpiter são, respectivamente, 12756 𝑘𝑚 e
142984 𝑘𝑚. Em termos da Terra, estime o volume e área superficial de Júpiter (por
simplicidade suponha os astros como esferas).
Vida Fora da Terra
Terra
Necessário
Calor
Interno
Velocidade Alta
Trânsito
Microlente
M
as
sa
 d
a 
Es
tr
el
a 
R
el
at
iv
a 
ao
 S
o
l
Raio da Órbita Relativa a Terra
Planeta 
Terrestre
Seco
Planeta 
Terra
(Similar)
Planeta
Gasoso
Té
cn
ic
a
Exoplanetas
Zona Habitável
( Vida da Forma que Conhecemos)
Região de Habitabilidade
- temperatura adequada para
existência de água líquida;
- fontes de energia para
manutenção do metabolismo;
- zona estável com durabilidade
para desenvolvimento da vida.
Zo
n
a 
H
ab
it
áv
el
( 
D
in
âm
ic
a 
d
a 
Zo
n
a)
Estrelas ( condições )
- a estrela não pode ser nem muito
jovem nem muito velha;
- a estrela não pode ser nem muito
massiva nem muito pouco massiva;
- a estrela deve permitir que seus
planetas tenham órbitas estáveis;
- a estrela deve ter metalicidade alta.
Viajem Interestelar Ônibus Espacial
Velocidade: 17 400 mi/h
Tempo: 168 000 anos
Terra – Proxima Centauri
Voyager
Velocidade: 38 600 mi/h
Tempo: 80 000 anos
Projeto Starshot
Velocidade: 45 000 000 mi/h
Tempo: 20 anos
Exercício
3 - A Grande Nuvem de Magalhães é a
galáxia mais próxima da via láctea, está a
uma distância de 160 000 anos-luz,
aproximadamente. Utilizando uma
tecnologia futurista tal como a suposta
no projeto Starshot (nanocrafts que
viajam a uma velocidade de 20% a
velocidade da luz) qual seria o tempo
necessário para visitar esta galáxia
vizinha?
A equação de Drake
É uma equação desenvolvida pelo astrofísico Frank Drake que tem a proposta de estimar o
potencial número de civilizações alienígenas em nossa galáxia.
𝑁 = 𝑅∗ × 𝑓𝑝 × 𝑛𝑒 × 𝑓𝑙 × 𝑓𝑖 × 𝑓𝑐 × 𝐿
Como Funciona?
Taxa de 
formação 
de estrelas 
na Galáxia.
fração provável 
de estrelas que 
têm planetas.
número de 
planetas ou luas 
com condições 
parecidas com as 
da Terra por 
estrela que tem 
planetas.
fração provável 
de planetas que 
abrigam vida.
fração provável 
de planetas que 
desenvolveram 
vida inteligente.
fração de 
espécies 
inteligentes que 
podem e querem 
se comunicar.
tempo de vida 
de tal 
civilização.
número de 
civilizações em 
nossa Galáxia 
capazes de se 
comunicar.
Exercício
4 – Dados recentes sugerem que os parâmetros das equação de Drake assumam os
seguintes valores
𝑅∗ 𝑓𝑝 𝑛𝑒 𝑓𝑙 𝑓𝑖 𝑓𝑐 𝐿
A NASA calcula 
que nascem 7 
estrelas por 
ano.
Observação de 
estrelas 
indicam que 20-
60% possuem 
planetas.
Usando o 
Sistema Solar 
como 
referência2 
planetas tem 
condições de 
abrigar vida.
A estimativa do 
número de 
planetas onde a 
vida evolui é 
menor do que 
0,13 (baseado 
na evolução da 
vida na Terra).
A vida 
inteligente é 
extremamente 
rara (baseado 
que de todas as 
espécies na 
Terra uma única 
é inteligente) 
Observando da 
Terra nossos 
sinais são 
fracos e difíceis 
de obter.
Baseado na 
evolução da 
civilização 
humana o valor 
de tempo de 
vida é de 
bilhões de 
anos.
7 0,5 2 0,13 0,01 0,1 10 000
De acordo com os números acima qual é número de civilizações que potencialmente
podemos nos comunicar? Dado que a Via Láctea é composta de 200 - 400 bilhões de
estrelas, comente o resultado anterior.
Tarefa ExtraClasse
TE2 Uma estimativa baseada na equação de Drake sugere que o número de civilizações tecnológicas em nossa
galáxia é 𝑁 = 630. Um problema interessante trata de calcular a distância média entre essas civilizações.
a) Por simplicidade, suponha que a nossa galáxia é um cilindro de raio 𝑟 e altura ℎ e que as civilizações estão
homogeneamente distribuídas, demonstre que a distância média 𝑑 entre as civilizações é dada por
𝑑 =
3 𝜋𝑟2ℎ
𝑁
.
b) Assumindo que a nossa galáxia é um cilindro de raio 𝑟 = 50 000 anos-luz e altura ℎ = 1000 anos-luz, calcule
𝑑.
c) Em 1974 a mensagem de Arecibo (veja figura abaixo) foi enviada ao espaço com o objetivo de transmitir a
uma possível civilização extraterrestre, informações sobre o planeta Terra e a civilização humana, pelo SETI com
o uso do radiotelescópio porto-riquenho Arecibo.
Supondo que a civilização mais próxima da terra esteja a uma distância d, determine em que ano nossos
vizinhos receberam a mensagem?
Astronomia e Gravitação
Aula 3: Esfera Celeste
Movimento Diurno dos Astros
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Quadrantes
https://www.youtube.com/watch?v=voExjoNKE1o&list=PL786495B96AB0CC3C&index=19&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=voExjoNKE1o&list=PL786495B96AB0CC3C&index=19&t=0s
Esfera Celeste
Qualquer pessoa ao observar o céu de um local descampado percebe que está no centro de
um grande hemisfério celeste. Esse tipo de visualização do céu contribuiu para a concepção
do geocentrismo. O céu na Astronomia é idealizado como uma grande esfera, a esfera
celeste.
Eixos
• Vertical do Lugar
• Eixo de Rotação
Planos 
• Horizonte
• Equador Celeste
• Meridiano 
Pontos
• Zênite e Nadir
• Norte e Sul
• Leste e Oeste
• Polos Celestes
Definições Importantes
Horizonte: plano tangente à Terra no lugar em que se encontra o observador. Considera-se
que o Horizonte é um círculo máximo da esfera celeste, ou seja, que passa pelo centro da
esfera, dividindo a esfera celeste em dois hemisférios, o das estrelas visíveis e o das
invisíveis, naquele momento e naquele lugar.
Zênite: ponto no qual a vertical do lugar (perpendicular ao horizonte) intercepta a esfera
celeste, acima da cabeça do observador. A vertical do lugar é definida por um fio a prumo.
Nadir: ponto diametralmente oposto ao Zênite.
Equador Celeste: círculo máximo em que o prolongamento do equador da Terra
intercepta a esfera celeste.
Polo Celeste Norte: ponto em que o prolongamento do eixo de rotação da Terra intercepta
a esfera celeste, no hemisfério norte.
Polo Celeste Sul: ponto em que o prolongamento do eixo de rotação da Terra intercepta a
esfera celeste, no hemisfério sul.
Meridiano: Circulo entre os polos celestes.
Paralelo: Qualquer circulo da esfera celeste paralelo ao equador celeste.
Medidas no céu
Distância entre objetos celestes são frequentemente expressos em ângulos. O horizonte
todo mede 360°, enquanto o ângulo do horizonte ao zênite (o ponto exatamente acima
da cabeça) mede 90°.
Estimativa com base na mão Relações entre medidas angulares 
e de tempo (observação)
1 ℎ = 15°
1 𝑚 = 15′
1 𝑠 = 15′′
Nota [unidades angulares]: 
1° = 60′ = 3600′′
𝑡1
𝑡2 2 - A figura indica a posição do Sol em instantes
diferentes de tempo ( 𝑡2 > 𝑡1 ). Estime o tempo
decorrido entre as observações.
Exercícios
A
B
𝑑𝐴𝐵1 – Baseado na figura, estime a 
distancia angular 𝑑𝐴𝐵.
Sistema de Coordenadas Geográficas
Meridiano
Meridiano de
Greenwich
Paralelo
Sistema de mapeamento da Terra por meio das coordenadas geográficas que expressa
qualquer posição horizontal no planeta mediante duas das três coordenadas existentes
num sistema esférico de coordenadas, alinhadas com o eixo de rotação da Terra.
Os astros nascem no leste e se põem no oeste (movimento diurno dos astros).
Nota: Estrelas que descrevem uma circunferência completa no céu são
denominadas de circumpolares.
Movimento dos Astros
Nascer
Ocaso
Nascer e Ocaso: São os instantes em
que o astro aparece e desaparece no
horizonte, respectivamente.
Passagem Meridiana: É o instante
em que o astro atinge máxima altura
ou mínima distância zenital.
Efeito da Latitude do Observador
Polo Norte (latitude 90°) Circulo Polar Ártico (latitude 66.5°) Latitude 40°
Trópico de Câncer (latitude 23.5°) Equador (latitude 0°) Trópico de Capricórnio (latitude -23.5°)
PNC
PNCZ
PNC
Z
PNC
Z
Z
Z Z
PNC
PSC
PSC
Posições do Sol
Eclíptica
Solstício
(Junho)
Solstício
(Dezembro)
Polo Sul Celestial
Polo Norte Celestial
Equinócio
(Março)
Equinócio
(Setembro)
Ponto Áries
(Ponto Vernal)
Ponto Libra
A eclíptica é a projeção
sobre a esfera celeste da
trajetória aparente do Sol
observada a partir
da Terra.
O Ponto Áries é o ponto
do equador ocupado
pelo Sol no equinócio de
março (quando o Sol
cruza o equador celeste
vindo do hemisfério sul).
O Ponto Libra é
diametralmente oposto
ao ponto .
Efeito da Latitude do Observador
Polo Norte (latitude 90°) Circulo Polar Ártico (latitude 66.5°) Latitude 40°
Trópico de Câncer (latitude 23.5°) Equador (latitude 0°) Trópico de Capricórnio (latitude -23.5°)
PNC
PNCZ
PNC
Z
PNC
Z
Z
Z Z
PNC
PSC
PSC
Analema Solar é a figura
traçada pelo Sol no céu ao
longo do ano numa
determinada hora. Imagem
entre os anos de 2013 –
2014 em Buenos Aires,
Argentina.
Trajetória do Sol de inverno no
hemisfério norte durante o
solstício de dezembro. É o
caminho mais curto em relação
ao ano acima do horizonte, sua
variação é mais baixo no céu.
Imagem de Dezembro de 2005
sobre a costa do Tirreno de
Santa Severa em Fiumicino,
Itália.
Nascer do Sol
Ao longo do ano o Sol nasce em
posições diferentes no horizonte.
O Sol não nasce exatamente no
leste, exceto nos equinócios.
Exercícios
5 – Na Terra, a região entre as latitudes -23.5° (trópico de Capricórnio) e +23.5° (trópico
de Câncer ) é chamada de região tropical. Nesta região o Sol passa pelo zênite quantas
vezes por ano? Nos trópicos de Câncer e Capricórnio a afirmação anterior continua
válida? Justifique.
6 – A linha de latitude -66.5° é chamada de círculo polar Antártico. Para latitudes mais 
ao sul do círculo polar Antártico quantas horas o Sol permanece acima do horizonte no 
verão e no inverno?
Tarefa ExtraClasse
TE3 A estrela Polaris, alfa da constelação de Ursa Menor, é denominada de estrela polar. Ela recebe este nome
porque permanece sempre fixa no firmamento num ponto coincidente com o polo celeste norte.
a) De acordo com a Figura A, qual é a latitude do lugar?
b) Suponha que a Figura B represente o registro da constelação em dois instantes de tempo, 𝑡𝐴 e 𝑡𝐵. Qual é o 
sentido de rotação (horário ou anti-horário)? Posteriormente, estime o tempo decorrido entre os registros.
Astronomia e Gravitação
Aula 4: Estações do Ano
Insolação Solar
Calendário
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Terra
https://www.youtube.com/watch?v=FWj9BZISBoY&list=PL786495B96AB0CC3C&index=22&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=FWj9BZISBoY&list=PL786495B96AB0CC3C&index=22&t=0s
Estações do Ano
As estações do ano são consequência da translação da Terra da em torno do Sol e a inclinação 
do plano orbital da Terra em relação ao equador. 
22 de Dezembro
22 de Junho21 de Março
23 de Setembro
SolstícioEquinócioO hemisfério que está
mais voltado para o Sol
se aquece mais e produz
o verão.
Solstícios
- Junho (o sol incide
diretamente no trópico
de câncer).
- Dezembro (o sol índice
diretamente no trópico
de capricórnio).
Equinócios
O sol incide diretamente
no equador.
Nota: A medida que se
afasta do equador as
estações ficam mais
acentuadas.
Insolação Solar
Equador
Atmosfera
Declinação 𝛿
Latitude 𝜙
Nota: A declinação de um astro é o arco do meridiano do astro compreendido entre o plano do equador
celeste e o astro.
Ângulo Zenital 𝜃𝑧
Constante Solar: Quantidade de energia por unidade de área e de tempo que atinge
perpendicularmente o topo da atmosfera da Terra.
𝐸𝑧: Energia média que chega perpendicularmente à superfície da Terra, (Fatores: Rotação da
Terra [25%] e Reflexão da Atmosfera [61%]).
Constante Solar
1350𝑊/𝑚2
𝐸𝑧
208 𝑊/𝑚2
Área 𝐴
Sol
Zênite
Elevação 𝜃
Ângulo Zenital 
𝜃𝑣
Nota
- Ângulo Zenital 𝜃𝑣 = ± 𝛿 − 𝜙
O sinal + vale se a culminação é feita ao norte do zênite e o sinal − se a culminação é feita ao sul do zênite .
- Elevação 𝜃 = 90° − 𝜃𝑣
Norte Sul
Polo Norte Celestial
Latitude 
𝜙
Equador Celeste
Insolação Solar [Instante da Passagem Meridiana Superior]
Declinação 𝛿
Insolação Solar: Quantidade de energia por unidade de área e de tempo que atinge a
superfície da Terra em um determinado local.
Considerando 𝐼𝑧 a insolação quando o Sol está a pino e 𝐼 a insolação quando o Sol está a
uma altura 𝜃, temos
𝐼 = 𝐼𝑧 sin 𝜃
Exercícios
1 – Para Porto Alegre ( latitude ≈ 30𝑜 S), determine:
a) A elevação do Sol na sua passagem meridiana nos solstício e equinócios.
b) Determine a razão entre a insolação máxima entre os solstícios.
2 – Repita o exercício anterior para a cidade de Seattle ( latitude ≈ 47.6𝑜 N)
Duração do Dia e da Noite
Duração do dia 𝑇𝑑
em que 𝜙 é a latitude do lugar e a declinação 𝛿 é
dada aproximadamente por
onde 𝑛 se refere ao número de dia de interesse do
ano ( 01/01 (𝑛 = 1) e 31/12 (𝑛 = 365 ou 𝑛 =
366 (bissexto)) ).
Nota [Duração da Noite]
𝑇𝑁 = 24 − 𝑇𝑑
Nota: Apesar de não considerar as variações do tempo astronômico, sobretudo com relação à elipsidade da órbita
terrestre que não subdivide as estações no ano em períodos perfeitamente iguais, a equação é uma boa aproximação
para o cálculo da duração dos dias e das noites em qualquer localidade e data na Terra. Há de se ponderar, contudo, que
a equação não é precisa para obter as datas de equinócios e de solstícios: no hemisfério sul a fórmula prevê o equinócio
de outono com 3 dias de atraso, o solstício de inverno com 6 dias de atraso, o equinócio de primavera com 10 dias de
atraso e o solstício de verão com 9 dias de atraso.
3 – Para a cidade de Porto Alegre (latitude: ≈ 30𝑜 S e longitude: ≈ 51.23𝑜 O) em relação
ao dia 29 de abril, calcule:
a) A duração do dia e da noite [formato: h/min/s]
b) O horário do nascer e do pôr do Sol.
Exercícios
4 – Repita o exercício anterior para a cidade de Seattle ( latitude ≈ 47.6𝑜 N, longitude
122.2𝑜 O)
Ano e Calendário
N
S
Zodíaco
Eclíptica
Ponto Vernal
Precessão do Eixo 
(≈ 26000 anos)
Ano Sideral: é o tempo necessário para a
Terra dar uma volta em torno do Sol
tomando como referência uma estrela
fixa. Tem duração de 365.2563 dias
solares.
Ano Tropical: é o tempo necessário para a
Terra dar uma volta em torno do Sol
tomando como referência o ponto em
que o Sol se encontra no equinócio de
março, chamado ponto Áries (ponto
Gama/Vernal). Tem duração de 365.2422
dias solares.
Nota: 1 dia solar = 24 horas.
Nosso calendário é baseado no ano tropical.
Ano tropical = 365 dias + 1 dia a cada 4 anos – 1 dia a cada 100 anos + 1 dia a cada 400 anos – 1 dia a cada 3300 anos.
Nota: O calendário que usamos atualmente é Calendário Gregoriano, que foi estabelecido em 1578,
pelo papa Gregório XIII, sob orientação do astrônomo Clavius. Este calendário usa um ano de 365.2425
dias.
Exercícios
5 – De quantos segundos é a diferença entre o ano tropical e ano registrado pelo
calendário Gregoriano? Quantos anos são necessário para a retirada de um dia?
6 – Um dia sideral corresponde a quanto tempo, formato: h:min:s?
Tarefa ExtraClasse
TE4 Em relação a cidade do Novo México – Estados Unidos (latitude ≈ 34𝑜 𝑁), determine o nascer e o ocaso do
Sol (sem considerar o efeito longitude) no dia 20 de janeiro.
Astronomia e Gravitação
Aula 5: Constelações
Distâncias Astronômicas
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Constelações
https://www.youtube.com/watch?v=jD9wwYaxTgU&list=PL786495B96AB0CC3C&inde
x=28
https://www.youtube.com/watch?v=jD9wwYaxTgU&list=PL786495B96AB0CC3C&index=28
Unidades de Distâncias Astronômicas
1 𝐴𝑈
1
𝑝
𝑐
Unidade Astronômica [𝐴𝑈]
Distância média entre a Terra e o Sol.
Utilizada para medir a órbita dos planetas e de 
outros corpos celestes. 
Nota: 1 𝐴𝑈 ≅ 1.5 × 108 𝑘𝑚
Anos-Luz [𝑙𝑦]
Distância percorrida pela luz no vácuo num ano.
Utilizada para distancias interestrelares.
Nota: 1 𝑙𝑦 ≅ 9.5 × 1012 𝑘𝑚
Parsec [𝑝𝑐]
Distância de um objeto cujo a paralaxe anual média 
vale um segundo de arco.
Utilizada para distancias interestrelares.
Nota: 1 𝑝𝑐 ≅ 3.1 × 1013 𝑘𝑚
Terra
Sol
Exercícios
1 - A distância média entre a Terra e Marte é de 78 milhões de quilômetros. Determine esta
distancia em unidades astronômicas.
2 - A galáxia de Andrômeda é a galáxia espiral mais próxima da Via Láctea, distante da Terra
2.54 milhões de anos-luz. Qual é o valor desta distancia em parsec?
Medida de Distâncias Astronômicas
Paralaxe
É a diferença na posição aparente de um objeto
visto por observadores em locais distintos.
Nota: Quando mais distante o objeto menor a
paralaxe.
2𝑝
2𝑝
𝑑
2𝑟
Da geometria 
𝑑 =
𝑟
tan 𝑝
Paralaxe: Heliocêntrica (Anual) e Geocêntrica (Diurna)
Janeiro Julho
Sol
Terra 1 𝐴𝑈
𝑑
𝑝
H
el
io
cê
n
tr
ic
a
A paralaxe heliocêntrica é usada para medir a
distância das estrelas mais próximas. À medida
que a Terra gira em torno do Sol, podemos
medir a direção de uma estrela em relação às
estrelas de fundo quando a Terra está de um
lado do Sol, e tornamos a fazer a medida seis
meses mais tarde, quando a Terra está do
outro lado do Sol.
G
e
o
cê
n
tr
ic
a
𝑑
𝑅𝑇
𝑝
2𝑝
Visto de A Visto de B
Objeto
A paralaxe geocêntrica usa com
linha de base o diâmetro da Terra
para medir a distância até a Lua e
alguns planetas.
Exercícios
3 – Sabendo que Saturno está a 10 AU do Sol, qual é a paralaxe diurna de Saturno?
4 – Baseado na figura abaixo
Responda:
Qual estrela possui maior paralaxe? Qual é a sua distância em parsecs?
Constelações
Constelações são agrupamentos aparentes de estrelas os quais os astrônomos da
antiguidade imaginaram formar figuras de pessoas, animais ou objetos. Numa noite
escura, pode-se ver entre 1000 e 1500 estrelas, sendo que cada estrela pertence a alguma
constelação. As constelações nos ajudam a separar o céu em porções menores, mas
identificá-las é em geral muito difícil.
Esfera Celeste Simulação no Stellarium
As estrelas de uma constelação só estão aparentemente próximas na esfera celeste, pois na 
verdade estão a distâncias reais diferentes.
Distância [ly]
O Zodíaco é uma faixa do céu limitada por dois paralelos de latitude celeste: um
situado a 8° ao norte e o outro a 8° ao sul da eclíptica (linha central do Zodíaco). Nessa
faixa (constituída por 24 constelações), passam sempre o Sol, a Lua e os planetas. Ao
longo do ano o Sol se desloca pela eclíptica atravessando as chamadas constelações
zodiacais.
Terra
Sol
Gêmeos
Touro
Áries
Peixes
Aquário
Capricórnio
Sagitário
Escorpião
Virgem Libra
Leão
Câncer
Signos Tradicionais
Eclíptica
Astronomia
Astrologia
Fev. Jan. Dez. Nov. Out. Set. Ago. Jul. Jun. Maio Abr. Mar.
Solstício
(Verão)
Equinócio
(Outono)
Solstício
(Inverno)
Equinócio
(Primavera)
Verão Outono Inverno Primavera
Aquário
Capricórnio
Sagitário Escorpião
OfiúcoLibra Virgem Leão Gêmeos
Touro
Câncer
Áries Peixes
Comparação entre os Mapas Astrológico e Astronômico (Zodiaco)
Nota: Estações em relação ao hemisfério sul.
Nota: As datas acontecem um dia mais tarde a cada 70 anos, devido à precessão
dos equinócios.
Exercícios
5 - Associe as estações do ano no hemisfério norte as constelações zodiacais.
6 – No equinócio de primavera no hemisfério sul qual constelação zodiacal é interceptada
pelo Sol (por simplicidade assuma os signos tradicionais)? Qual é a constelação zodiacal
visível no leste ao amanhecer? Qual é a constelação zodiacal visível no oeste ao anoitecer?
Tarefa ExtraClasse
TE5 A estrela de Barnard, situada na constelação de Ofiúco, é a terceira estrela mais próxima da Terra – veja
figura.
A sua distância pode ser estimada empregando o
método da paralaxe heliocêntrica.
a) No que consiste este método?
b) Utilizando este técnica um astrônomo fez os
seguintes registros de Barnard (imagem abaixo).
Baseado na imagem anterior, responda:
(i) Qual é a possível data do registro B?
(ii) Estime a distância de Barnard a Terra (em
parsecs).
c) Devido aos efeitos da atmosfera terrestre, ângulos
inferiores a 0.01′′ são muito difíceis de serem
estimados utilizando o método de paralaxe
heliocêntrica. Neste sentido, qual é a distância da
estrela mais longínqua, em parsecs, que podemos
estimar utilizando está técnica?
Astronomia e Gravitação
Aula 6: Sistema Solar
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Sol
https://www.youtube.com/watch?v=ZEiJLhtkfGM&list=PL786495B96AB0CC3C&index=21&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=ZEiJLhtkfGM&list=PL786495B96AB0CC3C&index=21&t=0s
Sistema Solar
Constituição: 
• Estrela
• Planetas (Principais, Anões, Secundários)
• Asteroides
• Meteoroides 
O Sistema Solar compreende o conjunto constituído pelo Sol e todos os corpos celestes que 
estão sob seu domínio gravitacional.
• Cometas
• Gases e Poeira 
Estrela (Sol)
Estrutura
𝑹⨀ ≅ 𝟔. 𝟗𝟔 × 𝟏𝟎
𝟓 𝒌𝒎
𝑴⨀ ≅ 𝟏. 𝟗𝟖 × 𝟏𝟎
𝟑𝟎 𝒌𝒈
Alguns Fatos
- Detém 99.8% da massa do Sistema Solar.
- Temperatura da superfície ~ 6000 °C. 
- Orbita o centro da Via Láctea a uma distância de ~25 mil 
anos-luz (completa uma órbita ~ 200 milhões de anos 
[ano galáctico]).
(1) Núcleo: A parte que produz energia em quantidade significativa via 
fusão nuclear. 
(2) Zona de Radiação: Região que transfere calor do centro para fora 
via radiação.
(3) Zona de Convecção: Região que transporta calor para a superfície 
via convecção. 
(4) Fotosfera: Corresponde a superfície visível.
(5) Cromosfera: Camada irregular entre a fotosfera e a coroa. 
(6) Coroa: Envoltório luminoso do Sol.
(7) Mancha solar: Região onde ocorre redução de temperatura e 
pressão das massas gasosas. 
(8) Grânulos: Criados pelas células de convecção do plasma. 
(9) Proeminência solar: Estruturas em forma de laço que se destacam 
da superfície. 
Exercícios
1 - Sabendo que diâmetro equatorial e massa da Terra corresponde, respectivamente, a 
𝐷⨁ = 12756.2 𝑘𝑚 e 𝑀⨁ = 5.97 × 10
24 𝑘𝑔 estime o diâmetro equatorial e a massa Sol 
em termos da Terra.
Planetas
P
ri
n
ci
p
ai
s
A
n
õ
e
s 
Dominante em sua órbita
NÃO dominante em sua órbita
Planetas Principais
Planetas Anões
Telúrico (Terrestre)
Joviano (Gasoso)
[a] Medidas relativas a Terra
𝐷⨁ = 12756.2 𝑘𝑚
𝑀⨁ = 5.97 × 10
24 𝑘𝑔
Sí
m
b
o
lo
s
P
la
n
et
a 
Se
cu
n
d
ár
io
 (
Sa
té
lit
es
 N
at
u
ra
is
)
Um satélite natural é um corpo celeste que orbita um planeta ou outro corpo maior.
Exercícios
2 – Faça um esboço gráfico do período orbital versus raio orbital para os planetas principais 
do sistema solar. Posteriormente, interprete-o. 
Cinturão de Asteroides
A cintura de asteroides é uma região
do Sistema Solar compreendida entre
as órbitas de Marte e Júpiter. Abriga
múltiplos objetos irregulares
denominados asteroides. Os entulhos
originados nas colisões podem
formar meteoroides que finalmente
alcancem a atmosfera terrestre. Uma
percentagem maior de 99,8% dos
30 000 meteoritos achados até a data
na Terra acredita-se que foi originada
no cinturão de asteroides.
Troianos são corpos astronômicos,
tais como asteroides e satélites, que
dividem e orbitam a uma
determinada distância de
uma órbita com um planeta ou
satélite maior, mas não colidem com
o último.
Nota
Meteoroides: Fragmento de matéria interplanetária, cuja
dimensão é bastante menor que um asteroide e bastante
maior que uma molécula.
Meteoro: Passagem de um meteoroide na atmosfera
terrestre.
Meteorito: Meteoroide quando este cai na superfície
terrestre.
Cinturão de Kuiper
Plutão
Netuno
Área do sistema solar que se estende desde a órbita de Netuno (a 30 UA do Sol) até 50 UA
do Sol. Os objetos do cinturão de Kuiper são comumente chamados de KBO (Kuiper belt object).
Nuvem de Oort
Cinturão de Kuiper
Cinturão de Asteroides
Nuvem de Oort
Terra
Plutão
∼ 105 𝐴𝑈
Hipotética nuvem esférica situada no limite do Sistema Solar, constituída por inúmeros
objetos celestes, tais como cometas e asteroides. Estes corpos celestes orbitam em volta do
Sol apesar de se situarem muito longe deste.
Exercícios
3 – O Sol está distante de sua estrela mais próxima, Proxima Centauri, aproximadamente 
4.22 anos-luz de distância. A nuvem de Oort ocupa que fração desta distância? 
Cometas
Cometa é um corpo celeste que possui uma rota
elíptica excêntrica ao redor do Sol (muito longa);
característico por possuir uma atmosfera
nebulosa ao redor do núcleo (coma) e uma
"cauda" feita de gases, gelo e poeira que se
forma quando se aproxima muito do Sol.
Sol
Órbita 
1 
Cometa 
2 
3 
1 Coma 
2 Cauda Ionizada
3 Cauda de Poeira 
Nota: Cometas de curto/longo período são formados
no cinturão de Kuiper/Nuvem de Oort.
C
h
u
va
 d
e
 M
et
eo
ro
s
C
o
m
et
a 
H
al
e-
B
o
p
p
Formação do Sistema Solar
Teoria Nebular
Nuvem de gás e poeira.
Colapso da nuvem sobre
si mesma (explosão de
uma supernova vizinha).
Porção menor da 
nuvem original.
Disco plano em rotação.
Fusão Nuclear
Nascimento do Sol
A matéria se
aglomera em
grandes objetos.
Nascimento dos planetas,
asteroides e cometas.
Material rochoso(gasoso)
próximo(distante) ao Sol.
Cometas e asteroides são
os materiais restantes da
formação.
Tarefa ExtraClasse
TE6 O esquema abaixo apresenta uma escala de distância no Sistema Solar a partir do Sol.
a) Indique na figura a localização dos seguintes objetos:
- Mercúrio (M)
- Terra (T)
- Cinturão de Asteroides (CA)
- Júpiter (J)
- Netuno (N)
- O intervalo associado ao cinturão de Kuiper (CK)
- A fronteira final da nuvem de Oort (NO)
b) Qual é o planeta do Sistema Solar mais próxima da Terra? Neste planeta quantos dias terrestres são um ano? 
E quantas horas terrestres possui um dia?
Astronomia e Gravitação
Aula 7: Estrelas
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Estrelas
https://www.youtube.com/watch?v=oAVszrKt4Tw&list=PL786495B96AB0CC3C&index=7&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=oAVszrKt4Tw&list=PL786495B96AB0CC3C&index=7&t=0s
Definição
Escala 1:400 000 000 000
Sol
Siriu
s A
Pó
lu
x
A
ld
eb
ran
Estrela d
a P
isto
la
B
etelgeu
se
A
n
tares
V
V
 C
ep
h
eiA
Estrelas são esferas auto
gravitantes de gás ionizado, cuja
fonte de energia é a transformação
de elementos através de reações
nucleares, isto é, da fusão nuclear
de hidrogênio em hélio e,
posteriormente, em elementos
mais pesados.
Propriedades
• Massa 0.08𝑀⨀ < M < 100𝑀⨀
• Temperatura 0.4T⨀ < T < 8.5T⨀
• Raio 10−2R⨀ < R < 10
3R⨀
• Luminosidade 10−4L⨀ < L < 10
6L⨀
Nota [Luminosidade]
Quantidade de energia que um
corpo irradia em uma unidade
de tempo. Ela é tipicamente
expressa em unidades de watts ou
em termos da Luminosidade solar,
L⨀.
Magnitude Aparente (Brilho)
A magnitude aparente (m) de um corpo celeste é um número que mede o seu brilho como
visto por um observador na Terra. Quanto maisbrilhante um objeto parece, menor é o valor
de sua magnitude (relação inversa).
Sol (-26.7)
Lua Cheia (-12.5)
Vênus (-4.4)
Binóculos (10)
[Limite] 
Olho Nu (6)
[Limite] 
Telescópio 1m (19)
[Limite] 
Telescópio Hubble (30)
[Limite] 
M
ag
n
it
u
d
e
 A
p
ar
en
te
 𝓂
Magnitude Aparente
x 2.5 Opaco
x 2.5 Opaco
x 2.5 Opaco
x 2.5 Opaco
x 2.5 Opaco
Nota: A magnitude absoluta está associada ao
brilho de uma estrela distante 10 𝑝𝑐 do
observador.
ℳ⨀ = 4.8
Lista das Estrelas mais Brilhantes
Simulação no Stellarium
Exercício
1 – Estime quantas vezes Sirius é mais brilhante do Aldebaran.
Comportamento de Corpo Negro
A fotosfera contém fótons de luz em equilíbrio térmico e alguns
escapam para o espaço aproximadamente como um corpo negro.
Nota [Corpo Negro]
- Corpo que absorve toda a radiação que incide sobre ele.
- Toda a radiação emitida por um corpo negro é devido a sua 
temperatura.
- Regido pelas leis de Stefan-Boltzmann, Planck e Wien.Estrela
(secção transversal)
Lei de Stefan-Boltzmann
A luminosidade na superfície da estrela é diretamente
proporcional a quarta potência da temperatura.
Lei de Planck
A estrela emiti fótons com uma distribuição de
comprimento de onda dados pela lei de Planck.
Lei de Wien
O comprimento de onda em que uma estrela tem o pico
de radiação é inversamente proporcional a temperatura.
Luz Visível 
Lei de Planck
SolIn
te
n
si
d
ad
e
Comprimento de Onda [𝑛𝑚]
Luz Visível 
𝜆
𝐼
Classificação de Temperatura [Cor X Temperatura]
Nota: Cada classe (M - O) se subdivide em 10 (0 - 9) sendo 0 a
mais quente e 9 a mais fria.
• A temperatura de uma estrela é estimada
com base no comprimento de onda do pico
da distribuição de intensidade luminosa.
Lei de Wein 𝜆𝑝 ∝
1
𝑇
• Estrelas grandes são mais brilhantes a uma
mesma temperatura que estrelas pequenas.
Lei de Stefan-Boltzman 𝐿 ∝ 𝑅2𝑇4
Nota [Sol] 
𝜆𝑝
⨀ ≅ 500 𝑛𝑚 𝐿⨀ ≅ 3.8 × 10
26 𝑊
𝑇⨀ ≅ 5800 𝐾 𝑅⨀ ≅ 6.96 × 10
8 𝑚
Exercício
2 – A figura apresenta a distribuição 
espectral de uma determinada estrela.
a) Estime a temperatura da superfície 
da estrela em relação ao Sol.
b) Dado que a luminosidade da estrela 
𝐿 = 104𝐿⨀, determine o raio da 
estrela em relação ao Sol. 
Espectro Estelar
Prisma Comprimento de Onda
In
te
n
si
d
ad
e
Linha Espectral de Absorção
Nota [Espectro] Intensidade da luz em diferentes comprimentos de onda. 
Fonte
Nuvem
1
2
3
1 – Espectro Contínuo
O corpo opaco e quente (corpo negro) emite um espectro contínuo.
2 – Espectro de Emissão
Um gás transparente produz um espectro de linhas de emissão
brilhantes. O número e a posição das linhas depende das composição
química do gás.
3 - Espectro de Absorção
Se um espectro contínuo passar por um gás a temperatura mais baixa, o
gás frio causa a presença de linhas escuras (absorção). O Número e
posição destas linhas depende do elementos químicos presentes no gás.
Le
is
d
e
K
ir
ch
h
o
ff
Classificação em Luminosidade [Espectro de Absorção X Tamanho]
Sol
Anã Branca
Gigante Azul
𝜆 [𝑛𝑚]
Visível
A largura das linhas de absorção depende fortemente da 
gravidade superficial.
Estrela Grande → Linha de Absorção Estreita
Estrela Pequena → Linha de Absorção Larga
𝜆 [𝑛𝑚]
𝐹
Classe 0 (Hipergigantes)
Classes Ia e Ib (Supergigantes)
Classes II e III (Gigantes)
Classe IV (Subgigante)
Classe V (Anãs)
Classe VI (Subanãs)
Classe VII (Anãs Brancas)
Estrelas (Frequência)
Clas. Temperatura Cor
Aparente
Azul
Azul (Claro)
Branca/Azul
Branca
Amarelo (Claro)
Amarelo
Laranja
Linhas de 
Hidrogênio
Fraca
Médio
Forte
Médio
Fraca
Muito Fraca
Muito Fraca
Hidrogênio
Tipo Espectrais
Exercício
3 – A figura ao lado destaca as estrelas
da constelação do Cruzeiro do Sul.
Baseado na figura qual é a estimativa
da temperatura na superfície da
estrela Beta Crucis? Qual é a sua
classificação? Em relação ao espectro
de absorção o que podemos afirmar
da intensidade das linhas de
hidrogênio?
Diagrama HR
Relação entre luminosidade e Temperatura
Lu
m
in
o
si
d
ad
e
Temperatura (Superfície)
Correlações entre Massa e Tamanho
ℳ
Método da Paralaxe Espectroscópica
• Do espectro estima-se a temperatura superficial e a classe luminosa. 
• No diagrama HR (partindo do tipo espectral) obtenha-se a magnitude absoluta.
• Comparando as magnitudes absoluta e aparente (medida experimentalmente) 
determina-se a distância da estrela (em parsecs) utilizando o módulo de distância 
𝑑 = 10(𝓂−ℳ+5)/5
Nota: Devido aos efeitos relativísticos este método limita-se
a distâncias ≲ 10 000 𝑝𝑐 (estrelas no interior da Via Láctea).
Exercício
4 - O diagrama ao lado representa a distribuição
espectral da estrela 13 scorpii localizada na
constelação de escorpião. Dado que a sua
classe luminosa é V e que sua magnitude
aparente 𝓂 = 4.58 , utilize o método da
paralaxe espectroscópica para estimar a sua
distância da Terra.
13 scorpii
Evolução Estelar
Evolução das Estrelas (Diagrama HR)
Estrela na Sequência Principal
A posição e o tempo que uma estrela permanecerá na sequência principal (estrela em equilíbrio)
dependem criticamente de sua massa (caso não faça parte de um sistema múltiplo).
Posição: 𝐿 ∝ 𝑀3 Tempo: 𝑡𝑆𝑃 ∝
1
𝑀2
Nota: 𝑀⨀ ≅ 2 × 10
30 𝑘𝑔 𝑡𝑆𝑃
⨀ ≅ 1010𝑎𝑛𝑜𝑠
Exercício
5 – Uma estrela inicia seu processo de queima de hidrogênio (𝐻 → 𝐻𝑒) com uma massa
𝑀 = 20𝑀⨀ . Qual é a classe espectral que ela pertence? Por quanto tempo ela
permanecerá neste estado?
Tarefa ExtraClasse
TE7 Três Marias é o nome popular dado a um asterismo de três estrelas que formam o cinturão da constelação
de Orion. As estrelas, facilmente identificáveis no céu pelo brilho e por estarem alinhadas, têm o nome
de Mintaka, Alnilan e Alnitak.
Alnilan (Epsilon de Orionis) é a quarta
estrela mais brilhante da constelação. De
acordo com uma analise espectral ela
pertence a classe espectral 𝐼𝑎 e seu pico
na distribuição ocorre num comprimento
de onda 116 𝑛𝑚 , aproximadamente.
Além disso, um estudo da sua
luminosidade aponta que ela é 375 000
vezes mais potente que o Sol. Em relação
a Alnilan, responda:
a) Qual é a temperatura efetiva da estrela (em relação ao Sol)? E a cor aparente?
b) Calcule o raio da estrela (em raio solar)?
c) Supondo que a sua relação massa-luminosidade seja semelhante as das estrelas da sequência principal,
estime sua massa (em massa solar).
d) Determine o seu tempo de vida (em relação ao tempo de vida do Sol).
e) Indique as possíveis fases de evolução da estrela (do nascimento a morte).
Astronomia e Gravitação
Aula 8: Galáxias
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Galáxias
https://www.youtube.com/watch?v=6iFEYS_Fxfw&list=PL786495B96AB0CC3C&index=9&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=6iFEYS_Fxfw&list=PL786495B96AB0CC3C&index=9&t=0s
Definição
Grande sistema, gravitacionalmente ligado,
que consiste de estrelas, remanescentes de
estrelas, um meio interestelar de gás e poeira,
e um importante mas insuficientemente
conhecido componente apelidado de matéria
escura.
Nota [Descoberta]
Entre 1923 e 1929 Hubble encontra estrelas cefeidas em
Andrômeda e outras “nebulosas”; usa a relação período-
luminosidade dessas estrelas para determinar as distâncias das
nebulosas a que elas pertencem; encontra valores maiores que os
limites da nossa galáxia, comprovando tratarem-se de outras
galáxias.
Galáxia de Andrômeda
Tipos de Galáxias (Hubble)
Elípticas
Espirais
Espirais Barradas Espirais
Classificação de Hubble
Irregulares
Irregulares
Elípticas
Espirais
Espirais (S): Galáxias que apresentam um clara
estrutura espiral em volta de um núcleo. Em
termos de estrutura possuem: núcleo, disco,
halo, braços espirais e enxames globulares.
Notas
• S0 (Lenticular): Galáxias que têm núcleo,
disco e halo, mas não têm traços de
estrutura espiral.
• SB (Espirais Barradas): Os braços espirais
partem de uma barra formada de
estrelas.
Braço Espiral
Enxame Globular
HaloDisco
Núcleo
Galáxia Lenticular
Subdivisão
Elípticas (E): Galáxias que apresentam forma
esférica e não têm estrutura em forma de
espiral. Sua estrutura é constituída por:
núcleo, halo e enxames globulares.
Elas são subdividas de acordo com o seu grau
de “achatamento” 𝑛:
𝑛 = 10 1 −
𝑏
𝑎
em que
𝑎 é o tamanho do eixo maior;
𝑏 é o tamanho do eixo menor.
Núcleo
Halo
Enxame Globular
𝑎
𝑏
Elipse
Irregulares: Galáxias que são privadas de
qualquer simetria circular ou rotacional,
apresentando uma estrutura caótica ou
irregular. Diferente dos tipos anteriores de
galáxias, carecem de uma estrutura definida.
P
ri
n
ci
p
ai
s 
C
ar
ac
te
rí
st
ic
a 
d
as
 G
al
áx
ia
s
𝑀⨀
𝐿⨀
Enxame Globular
Observações
• O disco de galáxias espirais é
fino, denso e gira rapidamente.
• A maioria da massa das galáxias
é devido a matéria escura.
• As estrelas do halo são mais
velhas e têm metalicidades
menores do que as estrelas do
disco.
• Aglomerados globulares são
tipicamente velhos e pobres em
metais.
• As galáxias apresentam as mais
variadas formas e tamanhos.
• A maioria das galáxias contém
buracos negros supermassivos
em seu centro.
Exercícios 
1 - Dadas as galáxias
Classifique-as de acordo com a classificação de Hubble.
Formação e Evolução das Galáxias 
Monolítico: Propõe que as galáxias se
formaram e evoluíram isoladamente pelo
colapso de grandes nuvens de gás; galáxias
elípticas se formaram a partir de nuvens
densas, com pouca rotação, e alta taxa de
formação estelar; galáxias espirais se formaram
a partir de nuvens menos densas, com maior
rotação, e menor taxa de formação estelar.
Hierárquico: Propõe que as galáxias se
formaram e evoluíram através de encontros
sucessivos de nuvens menores. Seriam assim
formados sistemas puramente discoidais, que
evoluiriam a galáxias espirais, se sofressem
poucas interações entre si, ou a elípticas, no
caso de os encontros e fusões serem muito
frequentes. Neste modelo, o fator
determinante para a evolução da galáxia é o
meio em que ela se encontra.
Monolítico Hierárquico
Uma vez que a separação entre as galáxias não é muito grande (em relação as suas
dimensões) os encontros entre galáxias são comuns. As interações deformam as galáxias,
gerando peculiaridades (forma, tamanho e composição distintas das listadas por Hubble).
Fusões: Interações entre galáxias
de mesmo porte. A fusão de
duas espirais pode gerar uma
galáxia elíptica.
Canibalismo: Interações entre
galáxias de portes muito
distintos, em que a maior
acaba “engolindo” a menor.
Interações entre Galáxias
Imagem profunda do Universo (𝑑 ≃ 13 𝐺𝑙𝑦)
Constatações
• Muitas galáxias pequenas e irregulares.
• As galáxias mais próximas são maiores e
regulares.
Consideração
• As interações entre as galáxias é um
componente importante na sua evolução.
Fusão
Galáxias 
Irregulares
Buraco Negro 
(Centro) Fusão
Seyfert
Quasar
Buraco Negro 
(Supermassivo)
Rádio Galáxia
Galáxia Elíptica 
Galáxia Espiral
Sequência Evolucionária (Possível)
Canibalismo
Núcleo
(Superluminoso)
Distância entre Galáxias
Ef
ei
to
 D
o
p
p
le
r
Terra Galáxia
Repouso
Afastando
Aproximando
Espectro
Linha espectral se desloca para 
o vermelho (redshift). 
Linha espectral se desloca para 
o azul (blueshift). 
Redshift (𝑧)
𝑧 =
𝜆O
𝜆E
− 1
em que 
𝜆E é o comprimento de onda emitido,
𝜆O é o comprimento de onda observado.
A maioria das galáxias apresenta desvios para
vermelho em seu espectro, o que indica que
elas estão se afastando de nós (têm velocidade
de recessão 𝑉). Do efeito Doppler relativístico
temos
𝑉
𝑐
=
1 + 𝑧 2 − 1
1 + 𝑧 2 + 1
em que
𝑐 ≅ 300 000 𝑘𝑚/𝑠.
Lei de Hubble
A linha reta mostra que as
velocidades são proporcionais à
distância
𝑉 = 𝐻0𝑟
A declividade da reta dá o valor da
constante de proporcionalidade,
chamada constante de Hubble
𝐻0 ≅ 71 𝑘𝑚/𝑠/𝑀𝑝𝑐
Resulta que a distância de uma galáxia a Terra é 
determinada por 
𝑟 =
𝑐
𝐻0
1 + 𝑧 2 − 1
1 + 𝑧 2 + 1
Exercícios 
2 - O espectro de uma galáxia mostra a linha K do cálcio, cujo comprimento de onda 
de repouso é 3934 ሶ𝐴 , em 11802 ሶ𝐴 . Calcule a distância da galáxia a Terra.
Sistema de Galáxias
Galáxias tendem a se agrupar em aglomerados. A Via Láctea faz parte de um aglomerado
pequeno chamado Grupo Local, com cerca de 50 galáxias, entre as quais Andrômeda e a
própria Via Láctea são as duas maiores. O aglomerado rico mais próximo do Grupo Local é
o aglomerado de Virgem, que tem mais de 2.000 membros e atrai gravitacionalmente as
galáxias do Grupo Local. O Grupo Local, o aglomerado de Virgem e outros aglomerados
próximos constituem o Superaglomerado Local.
Distribuição de galáxias no
espaço, conforme observações.
Cada ponto nesta figura
representa uma galáxia, na
direção de um polo da Galáxia.
A Grande Parede é a banda de
galáxias que se estende de lado
a lado quase no meio da parte
superior da figura.
Via Láctea
O Grupo Local é o grupo
composto por mais de
54 galáxias que inclui nossa
Galáxia, a Via Láctea, sendo a
maioria delas galáxias anãs, com o
centro gravitacional localizado
entre a Via Láctea e a Galáxia de
Andrômeda. As galáxias do Grupo
Local cobrem uns 10 milhões
de anos-luz de diâmetro e tem
uma aparência binária. A massa
total do grupo é da ordem de
1012 de massas solares. Os dois
membros mais massivos do grupo
são a Via Láctea e a Galáxia de
Andrômeda.
Grupo Local
Superaglomerado de Virgem
O superaglomerado de
Virgem, chamado também
de superaglomerado local, é
um superaglomerado de
galáxias. Nele está contido
o Grupo Local de Galáxias com
nossa galáxia, a Via Láctea.
Este superaglomerado contém
cerca de 100 grupos e
aglomerados de galáxias, e é
dominado pelo Aglomerado
de Virgem localizado perto do
centro. O Grupo Local de
Galáxias está localizado perto
da borda do Aglomerado de
Virgem pelo qual é atraído.
Os superaglomerados se distribuem em enormes cadeias
como se fossem filamentos de uma grande estrutura.
Superaglomerados
Teia Cósmica (Estrutura do Universo)
A figura corresponde a simulação
computacional contendo 500 mil
galáxias.
Tarefa ExtraClasse
TE8 O Grupo do Escultor é um grupo de galáxias perto do polo sul galáctico. O grupo é o mais próximo do grupo
Local. A galáxia do escultor (NGC 253) é uma galáxia deste grupo, veja figura.
Baseado nas informações da figura, responda:
a) De acordo com a classificação de Hubble, qual é o seu tipo?
b) Determine, aproximadamente, a sua distância até a Terra (em parsecs).
c) Calcule seu raio (em anos luz).
d) Estime a massa da galáxia em massas solares.
Dica: 𝐺 ≅ 6.67 × 10−11 𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2
Astronomia e Gravitação
Aula 9: Lei da Gravitação Universal
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Kepler
https://www.youtube.com/watch?v=6jXN_1Xt20M&list=PL786495B96AB0CC3C&index=13&t=0s
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Lei da Gravitação Universal
Força Gravitacional (distribuição uniforme 
de massa)
Intensidade 𝐹
• Diretamente proporcional ao produto das 
massas.
• Inversamente proporcional ao quadrado 
da distância.
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑟2
em que 𝐺 = 6.67 × 10−11 𝑁𝑚2/𝑘𝑔2 é a 
constante gravitacional.
Orientação Ԧ𝐹
• Radial 
𝐹 ∝
1
𝑟2
ℎ
Ԧ𝑣
1 - Um satélite que tem uma massa de 300 𝑘𝑔 move-se em
uma órbita circular de 5 × 107𝑚 acima da superfície da
Terra.
NOTA: 𝑅⨁ ≅ 6 × 10
6 𝑚 e 𝑀⨁ ≅ 6 × 10
24 𝑘𝑔
a) Qual é a intensidade da força gravitacional sobre o
satélite?
R.: 𝐹 ≅ 38.3 𝑁
b) Calcule a magnitude da velocidade do satélite.
R.: v ≅ 2.6 𝑘𝑚/𝑠
c) Determine o período do satélite.
R.: T ≅ 36.5 ℎ
2 - Três esferas uniformes de massa de 2 𝑘𝑔, 4 𝑘𝑔 e
6 𝑘𝑔 são colocadas nos cantos de um triângulo
retângulo, como na Figura. Determine o vetor força
gravitacional resultante no objeto de 4 𝑘𝑔, assumindo
que as esferas estão isoladas do resto do Universo.
R.: Ԧ𝐹4 ≅ −10Ԧ𝑖 + 5.9Ԧ𝑗 × 10
−11 𝑁
Exercícios 
3 – Duas partículas de massa 𝑚1 e 𝑚2 distam𝑑 entre si, veja figura.
a) Mostre que a posição 𝑥 que uma terceira partícula deve ser colocada para que a força 
gravitacional sobre ele seja nula é dada por 
𝑥 =
𝑑
𝑚2
𝑚1
2
+ 1
b) Interprete a relação anterior para os seguintes casos:
- 𝑚2 ≫ 𝑚1
- 𝑚2 = 𝑚1
- 𝑚2 ≪ 𝑚1
c) Faça o gráfico de 𝑥 versus 𝑚2/𝑚1.
𝑚1 𝑚2
𝑑
𝑥
Leis de Kepler
Partindo da lei da gravitação universal podemos determinar as leis de Kepler.
Periélio Afélio
Sol
Primeira Lei (Lei das Órbitas)
Os planetas descrevem órbitas elípticas, com
o sol num dos focos.
𝑟 =
𝑎 1 − 𝑒2
1 + 𝑒 cos 𝜃
Segunda Lei (Lei das Áreas)
O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve
áreas iguais em tempos iguais.
𝐴 =
𝐿
2𝑀
𝑡
Terceira Lei (Lei dos Períodos)
Os quadrados dos períodos de revolução são
proporcionais aos cubos das distâncias médias do
Sol aos planetas.
𝑇2 =
4𝜋2
𝐺𝑀
𝑟3
Exercícios 
4 - A lua Europa orbita Júpiter com um período de 3.55 𝑑
num raio orbital médio de 6.7 × 108 𝑚.
a) Assumindo que a órbita é circular, estime a massa de
Júpiter.
R.: MJ ≅ 1.9 × 10
27 𝑘𝑔
b) Outro satélite de Júpiter, Calisto, possui um período
orbital de 16.7 dias. Calcule o raio de sua órbita (supondo
circular).
R.: rC ≅ 1.89 × 10
9 𝑚
Sol
Cometa
5 – O cometa Halley possui um período de 75.6 anos.
a) Sabendo que no periélio ele dista o Sol a 0.570 𝐴𝑈,
determine o quão distante está o afélio.
NOTA: 1 𝐴𝑈 ≅ 1.5 × 1011 𝑚 e 𝑀⨀ ≅ 1.99 × 10
30 𝑘𝑔
R.: 𝑥 ≅ 35.2 𝐴𝑈
b) Qual é a razão entre as velocidades no afélio e
periélio?
DICA: Use a conservação do momento angular.
R.: 𝑣𝑝/𝑣𝑎 ≅ 61.8
6 – Use a lei da gravitação universal para deduzir a terceira lei de Kepler (utilize uma órbita
circular, por simplicidade).
Tarefa ExtraClasse
TE9 Um sistema binário de estrelas é composto por duas estrelas de massa iguais que descrevem uma órbita
circular com velocidade Ԧ𝑣 e período 𝑇, veja figura.
Baseado na dinâmica do movimento circular, demonstre que a massa de cada estrela pode ser determinada pela
expressão
𝑀 =
2𝑣3𝑇
𝜋𝐺
.
Astronomia e Gravitação 
Aula 10: Campo Gravitacional
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Heliocentrismo
https://www.youtube.com/watch?v=ZzSEIdjwOE4&list=PL786495B96AB0CC3C&index
=10&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=ZzSEIdjwOE4&list=PL786495B96AB0CC3C&index=10&t=0s
Campo Gravitacional [Partícula]
𝑚
Ԧ𝑔
Campo Gravitacional Ԧ𝑔 =
Ԧ𝐹
𝑚
Partícula
𝑔 =
𝐺𝑀
𝑟2
𝑀
Sistema de Partículas
Ԧ𝑔 =෍
𝑖
Ԧ𝑔𝑖
Ԧ𝐹
Exercícios 
1 - A figura ao lado representa as diferentes camadas da atmosfera 
terrestre. Calcule a magnitude da aceleração da gravidade nas 
seguintes posições:
a) Limite inferior da Troposfera
𝑅. : 9.81 𝑚/𝑠2
b) Limite superior da Termosfera
𝑅. : 8.43 𝑚/𝑠2
NOTA: 𝑅⨁ ≅ 6.37 × 10
6 𝑚 e 𝑀⨁ ≅ 5.97 × 10
24 𝑘𝑔.
αA αB
≅ 𝑀⨀≅ 𝑀⨀
3 - Alpha Centauri, também conhecida
como Rigil Kentaurus, consiste de três
estrelas unidas gravitacionalmente:
o par Alpha Centauri A (αA) e Alpha
Centauri B (αB), duas estrelas
brilhantes e próximas no céu, e
uma pequena mais afastada, Proxima
Centauri. Utilize as informações da
figura ao lado para determine o vetor
gravidade no ponto 𝑃, suponha apenas
a presença das duas estrelas.
αA
αB
2𝑎
𝑥
𝑝
𝑅. : Ԧ𝑔 = −
2𝐺𝑀⨀𝑥𝑝
𝑥𝑝
2+𝑎2
3
2
Ԧ𝑖
𝑟 [km]
0
𝑟𝑇𝐿 = 384 405
𝑀𝑇 ≅ 5.97 × 10
24 𝑘𝑔 𝑀𝐿 ≅ 7.36 × 10
22 𝑘𝑔
Terra Lua
𝑃1 𝑃2
𝑟𝑇𝐿
2
3
2
𝑟𝑇𝐿
2 – O esquema abaixo representa o sistema Terra-Lua. Baseado nos elementos da figura, responda:
a) Determine a intensidade da aceleração gravitacional nos pontos 𝑃1 e 𝑃2.
𝑅. : 𝑔𝑃1 ≅ −0.01 𝑚/𝑠
2 𝑔𝑃2 ≅ −0.001 𝑚/𝑠
2
b) Calcule a posição 𝑥 em que a aceleração da gravidade é nula.
𝑅. : 𝑥 ≅ 345 989 𝑘𝑚
Campo Gravitacional [Corpo Extenso]
Exercícios 
𝑔 = න𝑑𝑔 = 𝐺න
𝑑𝑀
𝑟2
Campo Gravitacional
Nota
𝜌 =
𝑑𝑀
𝑑𝑉
4 – A densidade de uma esfera é dada por 𝜌 = 𝐶/𝑟. A
esfera tem um raio de 5 𝑚 e massa 1011 𝑘𝑔.
a) Determine a constante 𝐶.
b) Obtenha a expressão da magnitude do campo
gravitacional para (i) 𝑟 ≥ 5 𝑚 e (ii) 𝑟 < 5 𝑚.
Densidade Volumétrica
Objeto com Simetria Esférica 𝑔 =
𝐺
𝑟2
න𝑑𝑀
𝑅. : 𝐶 ≅ 6.44 𝑘𝑔/𝑚2
𝑅. : 𝑔 = ൞
2.70 × 10−9, 𝑟 < 5
6.75 × 10−8
𝑟2
, 𝑟 ≥ 5
5 - A figura ao lado indica o comportamento da
intensidade do campo gravitacional para um objeto
esférico de massa 𝑀 e raio 𝑅 com uma distribuição de
massa homogênea. Mostre que a magnitude do
campo gravitacional em função da distância radial 𝑟 é
dada por
𝑔 =
𝐺𝑀
𝑅3
𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑅
𝐺𝑀
𝑟2
, 𝑟 ≥ 𝑅
6 – Uma barra fina de massa 𝑀 e comprimento 𝐿
centrada na origem está disposta ao longo do eixo 𝑥.
Obtenha a magnitude do campo gravitacional num
ponto 𝑥 > 𝐿/2.
𝑅. : 𝑔 =
𝐺𝑀
𝑥2 −
𝐿
2
2
Tarefa ExtraClasse
TE10 Três objetos de massa iguais 𝑚 = 1011 𝑘𝑔 estão localizados nos três cantos de um quadrado de lado
𝓁 = 2 𝑚, conforme figura. Determine a intensidade do campo gravitacional no ponto 𝑂.
Astronomia e Gravitação
Aula 11: Energia Potencial Gravitacional
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Yuri Gagarin
https://www.youtube.com/watch?v=BUQP3-WR6SI&list=PL786495B96AB0CC3C&index=27&t=0s
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Energia Potencial Gravitacional
Energia associada ao campo gravitacional
O trabalho do campo gravitacional sobre uma partícula de
massa 𝑚 movendo de A para B é
𝑊 = න Ԧ𝐹𝑔 ∙ 𝑑 Ԧ𝑟 = −𝐺𝑀𝑚
1
𝑟𝑓
−
1
𝑟𝑖
No limite em que 𝑟𝑖 → +∞, obtemos
𝑈(𝑟) = −
𝐺𝑀𝑚
𝑟
que é denominada de energia potencial gravitacional.
Nota [Próxima a Superfície]
𝑈 = 𝐺𝑀𝑚
𝑟𝑓 − 𝑟𝑖
𝑟𝑓 𝑟𝑖
≅ 𝑚
𝐺𝑀
𝑅2
ℎ = 𝑚𝑔ℎ
Acima o gráfico da energia
potencial gravitacional 𝑈
versus a distância radial 𝑟.
O conceito por ser estendido para 
muitas partículas
Energia da Órbita e Velocidade de Escape 
Um objeto de massa 𝑚 move-se numa orbita circular em torno
de um objeto de massa 𝑀, 𝑀 ≫ 𝑚. Da energia mecânica e
dinâmica do movimento, temos
Energia da Órbita 
Velocidade da Órbita
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2 −
𝐺𝑀𝑚
𝑟
𝐺𝑀𝑚
𝑟2
= 𝑚
𝑣2
𝑟
𝐸 = −
𝐺𝑀𝑚
2𝑟
Um objeto de massa 𝑚 é lançado verticalmente para cima, a
partir da superfície, com velocidade 𝑣𝑖 e atinge uma altura ℎ.
Da conservação de energia
Velocidade de Escape [𝑟𝑚𝑎𝑥 → +∞]
1
2
𝑚𝑣2 −
𝐺𝑀𝑚
𝑅
= −
𝐺𝑀𝑚
𝑟𝑚𝑎𝑥
𝑣𝐸 =
2𝐺𝑀
𝑅
𝑣𝐶 =
𝐺𝑀
𝑟
Classificação da Órbitas
𝐸 < 0 𝑣 < 𝑣𝐸 sistema ligado 
órbitas fechadas 
(elipse) 
𝐸 ≥ 0 𝑣 ≥ 𝑣𝐸 sistema não ligado 
órbitas abertas 
(parábola/hipérbole )
Exercícios 
1 – A partir da superfície da Terra, determine a
velocidade de lançamento de um objeto para escapar
da influência gravitacional.
𝑅. : 𝑣𝐸 ≅ 11.2 𝑘𝑚/𝑠
2 – Um satélite geoestacionário parece estar parado, para um
observador na Terra, porque ele gira sobre um ponto do
equador com um período igual ao de rotação da Terra.
Determine a altura ℎ do satélite em relação a superfície da
Terra.
𝑅. : ℎ ≅ 35903 𝑘𝑚
ℎ
3 – Um meteorito de massa 𝑚 = 2 × 107 𝑘𝑔 se dirige
desde do espaço exterior até a Terra. Sua velocidade a
uma distância 𝑟0 = 3.8 × 10
7𝑚 do centro da Terra é
𝑣0 = 30 𝑘𝑚/𝑠. Determine:
a) A velocidade que atinge a superfície da Terra
(suponha a Terra imóvel ). 𝑅. : 𝑣𝑚 ≅ 31690 𝑚/𝑠
b) A velocidade do conjunto Terra-meteorito após a
colisão. 𝑅. : 𝑣𝑆 ≅ 10
−13 𝑚/𝑠
c) A energia cinética do meteorito transformada em
energia interna do sistema. 𝑅. : 𝐸 ≅ 1016 𝐽
NOTA: A bomba atômica Little Boy largada em Hiroshima em 6
de Agosto de 1945, explodiu com uma energia de
aproximadamente 15 𝑘𝑡 de TNT (63 × 1012 𝐽 ).
𝑀𝑇 ≅ 5.98 × 10
24 𝑘𝑔 𝑒 𝑅 ≅ 6.37 × 106 𝑚.
4 - Em astrodinâmica, a órbita de transferência de Hohmann é
uma órbita elíptica usada para transferir um veículo entre
duas órbitas circulares de diferentes altitudes no mesmo plano
geométrico. Usaremos esta órbita para estudar a viajemde uma
sonda da Terra a Marte.
a) Note que a órbita de Hohmann é elíptica com um dos focos no
Sol, seu periélio é a distância da Terra ao Sol e o afélio a distância
dos Sol a Marte. Determine o semieixo maior da órbita e sua
excentricidade. 𝑅. : 𝑎 ≅ 1.89 × 1011 𝑚, 𝑒 ≅ 0.21
b) Partindo do periélio quanto tempo leva a sonda para atingir o
afélio? 𝑅. : ≅ 259 𝑑𝑖𝑎𝑠
c) Determine as velocidades da Terra e Marte em suas órbitas.
𝑅. : 𝑣𝑇 ≅ 29772 𝑚/𝑠 e 𝑣𝑀 ≅ 24067 𝑚/𝑠
d) Baseado nas conservações da energia e momento angular,
determine a velocidade da sonda no periélio e no afélio na orbita
de Hohmann (desconsidere a interação com os planetas).
𝑅. : 𝑣𝑝 ≅ 32743 𝑚/𝑠, 𝑣𝑎 ≅ 21398 𝑚/𝑠
e) Determine as velocidades que a sonda deve ser lançada para
viajar: (i) Terra-Marte e (ii) Marte-Terra.
𝑅. : 𝑣𝑇𝑀 ≅ 2971𝑚/𝑠, 𝑣𝑀𝑇 ≅ −2670 𝑚/𝑠
f) Determine as posições dos planetas nas viagens: (i) Terra-Marte
e (ii) Marte-Terra.
𝑅. : 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 −𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 44.7° 𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 − 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 76.1° 𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
g) Estime o tempo total da viagem (ida e volta) Terra-Marte.
𝑅. : ≅ 963 𝑑𝑖𝑎𝑠
NOTA: 𝑟𝑇 ≅ 1.49 × 10
11 𝑚 , 𝑟𝑀 ≅ 2.28 × 10
11 𝑚 e 𝑀𝑆 ≅ 1.98 × 10
30 𝑘𝑔
Terra
Marte
Sonda
Órbita de Hohmann
Órbita da Terra
Órbita de Marte
Sol
𝑀
𝑥0
𝑚0
5 – Uma barra fina de massa 𝑀 (distribuição uniforme) e
comprimento 𝐿 centrada na origem está disposta ao longo do
eixo 𝑥.
a) Mostre que a energia potencial gravitacional compartilhada por um elemento 𝑑𝑚 da barra e uma partícula de 
massa 𝑚0 localizado no eixo 𝑥 em 𝑥0 > 𝐿/2 é dada por 
𝑑𝑈 = −
𝐺𝑀𝑚0
𝐿(𝑥0 − 𝑥)
𝑑𝑥
onde 𝑈 = 0 em 𝑥0 → +∞.
b) Baseado no resultado anterior, demonstre que 
𝑈 = −
𝐺𝑀𝑚0
𝐿
ln
𝑥0 +
𝐿
2
𝑥0 −
𝐿
2
c) Dado que 
𝐹 = −
𝑑𝑈
𝑑𝑥0
conclua que 
𝐹 = −
𝐺𝑀𝑚0
𝑥0
2 − 𝐿2/4
Tarefa ExtraClasse
TE11 Um buraco é perfurado da superfície da Terra até o seu centro, como na figura. Ignore a rotação da Terra e
quaisquer efeitos devidos à resistência do ar e modele a Terra como uma esfera uniforme.
a) Mostre que o trabalho necessário para levar uma partícula de massa 𝑚 desde o centro da Terra até a sua 
superfície é dado por 
𝑊 =
𝑚𝑔𝑅𝐸
2
.
em que 𝑔 é a magnitude da aceleração da gravidade na superfície da Terra e 𝑅𝐸 é o raio da Terra. 
b) Demonstre que se a partícula é abandonada do repouso na superfície da Terra ela atingirá o centro como uma 
velocidade igual a 
𝑣 = 𝑔𝑅𝐸 .
c) Conclua que a velocidade de escape da partícula lançada a partir do centro da Terra é 
𝑣𝐸 = 3𝑔𝑅𝐸 .
Astronomia e Gravitação
Aula 12: Cosmologia Newtoniana
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Universo
https://www.youtube.com/watch?v=Rv2ingzE_lY&list=PL786495B96AB0CC3C&index=23&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=Rv2ingzE_lY&list=PL786495B96AB0CC3C&index=23&t=0s
Cosmologia Ciência que estuda composição, estrutura e evolução do universo.
Estrutura: Como é organizado o Universo.
Evolução: Dinâmica de formação do Universo.
Composição: Do que é feito o universo.
Princípio Cosmológico 
O princípio cosmológico é uma das principais hipóteses
da cosmologia moderna, baseada em um número
crescente de evidências observacionais, que afirmam
que:
Em escalas espaciais suficientemente grandes,
o Universo é homogêneo e isotrópico.
Nota: O princípio cosmológico só é válido em escalas maiores do
que 100 𝑀𝑝𝑐.
Homogêneo
Não Isotrópico
Não Homogêneo
Isotrópico
Homogêneo
Isotrópico
A Forma do Universo
𝑅(𝑡)
𝑀
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Vamos considerar um universo homogêneo, isotrópico e
infinito preenchido de “poeira” ( matéria não-
relativística, onde a pressão 𝑝 é desprezível frente à
densidade de 𝜌) que expande a uma velocidade Ԧ𝑣.
Massa da Esfera 𝑀 =
4
3
𝜋𝜌 𝑡 𝑅 𝑡 3
Teorema de Birkhoff: O efeito da gravidade numa partícula na superfície
da esfera devido à matéria fora da esfera é nulo.
𝑚
𝜌(𝑡)
Condição Inicial (𝑡 = 𝑡0)
𝑅0
𝜌0
𝑀
Raio 𝑅 𝑡0 = 𝑅0
Densidade 𝜌 𝑡0 = 𝜌0
Conservação da Massa
Universo no instante 𝑡 = 𝑡0.
Universo no instante 𝑡.
𝑀 =
4
3
𝜋𝜌 𝑡 𝑅 𝑡 3 =
4
3
𝜋𝜌0𝑅0
3
Energia
(galáxia de massa 𝑚) 𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2 −
𝐺𝑀𝑚
𝑅
Conservação de Energia 
(𝐸 = 𝑐𝑡𝑒)
1
2
𝑣2 −
4
3
𝜋𝐺𝑝0
𝑅0
3
𝑅
=
𝐸
𝑚
= 𝐾
Dinâmica do Universo Newtoniano
൞
1
2
ሶ𝑅2 −
4
3
𝜋𝐺𝜌0
𝑅0
3
𝑅
= 𝐾
𝑅 𝑡0 = 𝑅0
𝐾 = 0
𝐾 < 0
𝐾 > 0
Curvatura do Espaço
Plano
(𝐾 = 0)
Aberto
(𝐾 > 0)
Fechado
(𝐾 < 0)
Hoje
Exercícios
1 – De acordo com a cosmologia Newtoniana, dependendo das condições iniciais, a energia
total pode ser negativa. Neste caso o universo é fechado e expande até atingir um raio 𝑅𝑐.
Conclua que este raio é
𝑅𝑐 =
4𝜋𝐺𝜌0𝑅0
3
3|𝐾|
𝑅𝑐
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
2 – Seja o Universo Newtoniano plano (𝐾 = 0).
Baseado na energia da expansão da esfera e na Lei de Hubble,
demonstre que a densidade crítica e a idade do Universo são dadas,
respectivamente, por
𝜌𝑐 =
3𝐻0
2
8𝜋𝐺
≅ 1.1 × 10−26
𝑘𝑔
𝑚3
𝑡0 =
2
3𝐻0
≅ 1010 𝑎𝑛𝑜𝑠
Matéria e Energia no Universo
Fluído Cosmológico
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
(𝑃, 𝑉, 𝑇)
Vamos supor que o Universo em expansão se comporta
como um fluido.
Primeira Lei da Termodinâmica 𝑑𝐸 + 𝑃𝑑𝑉 = 𝑇𝑑𝑆
Para um processo reversível (𝑑𝑆 = 0) com uma densidade
de energia 𝜌 e dado que diferentes formas de energia tem
diferentes relações entre a densidade de energia e a
pressão (equação de estado: 𝜔 = 𝑃/𝜌), obtemos
𝑑𝜌
𝑑𝑡
+
1
𝑉
𝑑𝑉
𝑑𝑡
1 + 𝜔 𝜌 = 0
por simplicidade, 𝑉 = 4𝜋𝑅3/3 e ሶ𝑅/𝑅 = 𝐻0 o que resulta
em
𝑅
𝑑𝜌
𝑑𝑅
+ 3 1 + 𝜔 𝜌 = 0.
Por fim, dado que 𝜌 𝑅0 = 𝜌0 temos
𝜌 = 𝜌0
𝑅
𝑅0
−3(1+𝜔)
𝑅
𝝎
Matéria 0
Radiação 1/3
Equação de Estado 
(Matéria no Universo)
0
0
ln
𝑅
𝑅0
ln
𝜌
𝜌0
𝑡0𝜔 = 0
(Matéria)
𝜔 = 1/3
(Radiação)
Evolução das Densidades de Energia
Hoje
Passado Presente𝑡0
Exercícios
3 – Na ausência de matéria/radiação qual é o valor de 𝜔? O
que pode representar este resultado?
R.: 𝜔 = −1.
Vácuo Quântico
4 – Quando se trata da expansão do Universo, podemos
pensar que as coordenadas espaciais das galáxias estão
fixas e que apenas os espaços entres elas aumentam.
Com isso, podemos introduzir o novo sistema de
coordenadas 𝑅 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑥 em que 𝑅(𝑡) é a distância
real, 𝑥 é a distância co-móvel e 𝑎(𝑡) é conhecida como
fator de escala. Usando a dinâmica do Universo
Newtoniano, conclui-se que no universo primitivo plano,
dominado pela radiação, vale
𝑎 𝑡 = 𝑎0
𝑡
𝑡0
𝑎(𝑡)
tempo
Baseado no resultado anterior e na solução do fluido cosmológico, demonstre que no Universo
dominado pela radiação a dinâmica da densidade é governada por (admita um universo plano)
𝜌 = 𝜌0
𝑡0
𝑡
2
Tarefa ExtraClasse
TE12 Seja um Universo composto por uma mistura de matérias comum 𝑚 e escura Λ. Para decidirmos o melhor
modelo que descreve o universo é necessário introduzir o parâmetro de densidade. Denominado por Ω𝑖, este
parâmetro é a razão entre a densidade real do universo 𝜌𝑖 e a sua densidade crítica 𝜌𝑐, ou seja, Ω𝑖 = 𝜌𝑖/𝜌𝑐 em
que o índice 𝑖 se refere ao tipo de matéria que o universo é composto. Para o nosso universo, as relações entre
os parâmetros de densidade, em especial Ω𝑚 + ΩΛ, governam tanto a geometria como a evolução. O gráfico
abaixo mostra quatro possíveis cenários, 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷, para dinâmica do universo para diferentes valores de Ω𝑚 e
ΩΛ.
Em relação a figura responda:
a) De que forma os diferentes cenários sustentam a ideia do Big
Bang?
b) De acordo com a lei de Hubble 𝐻 = ሶ𝑅/𝑅 em que 𝑅 está
associado ao tamanho do universo. Nos dias de hoje, 𝑡0, o
valor é 𝐻 = 𝐻0 ≅ 71 𝑘𝑚/𝑠/𝑀𝑝𝑐. Podemos afirmar que 𝐻 é
uma constante ao longo do tempo nos diferentes cenários?
Justifique.
c) Todos os universos possuem a mesma idade? Caso negativo,
indique o mais jovem e o mais velho bem como uma
estimativa da sua idade nos dias de hoje.
d) Dos universos indicadosqual(is) é(são) aberto(s)? e
fechado(s)?
e) Qual é papel da matéria escura na dinâmica de evolução do
universo?
Astronomia e Gravitação
Aula 13: Teoria Geral da Relatividade
Alexsandro Marian Carvalho
Escola Politécnica
UNISINOS
Pré - Aula 
Vídeo
ABC da Astronomia | Buracos Negros
https://www.youtube.com/watch?v=F-3huw0yUHw&list=PL786495B96AB0CC3C&index=31&t=0s
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Postulados
• As leis da natureza tem a mesma forma
para observadores em qualquer
referencial, acelerado ou não.
NOTA [Consequência]: Aceleração e velocidade são
relativas.
• Nas proximidades de qualquer ponto,
um campo gravitacional é equivalente
a um referência acelerado na
ausência de efeitos gravitacionais
(princípio da equivalência).
NOTA [Consequência]: Relações entre as massas
inercial 𝑚𝑖 e gravitacional 𝑚𝑔
𝑚𝑖 = 𝑚𝑔
Ԧ𝑣1
Ԧ𝑎1
Ԧ𝑣2
Ԧ𝑎2
𝑂1
𝑂2
Ԧ𝑎 = − Ԧ𝑔
Ԧ𝑔
𝑂
Solo 
𝑂
Tempo no Campo Gravitacional
Solo 
Ԧ𝑔
ℎ
𝑂 𝑂′
𝐹
Recinto em queda livre no campo gravitacional. No instante 𝑡0 = 0, em
que se inicia a queda a partir do repouso, é emitido um raio de luz
monocromático der frequência 𝑓0 por uma fonte 𝐹 no chão do recinto,
verticalmente em direção ao teto, que se encontra a uma altura ℎ do
chão (supostamente transparente).
De acordo com o efeito Doppler a frequência da luz medida em 𝑂 é
𝑓 = 1 −
𝑉
𝑐
𝑓0
em que 𝑉 é a velocidade em que a fonte está se afastando do
observador e 𝑐 e a velocidade da luz.
Dado que 𝑉 = 𝑔𝑡 e do princípio da equivalência (t = ℎ/𝑐), temos
Δ𝑡 = 1 −
𝐺𝑀
𝑟𝑐2
Δt0
Sendo assim, o campo gravitacional afeta a marcha de um relógio
(“anda mais devagar”).
Exercícios
Solo 
1 - Uma fonte luminosa cai em queda livre. No instante 𝑡0 = 0, em
que se inicia a queda a partir do repouso, é emitido
simultaneamente dois raios de luz monocromático de frequência 𝑓0
por uma fonte, veja figura.
a) Demonstre que a frequência observada pelos observadores 𝐴 e
𝐵, indicados na figura ao lado, são respectivamente
𝑓𝐴 = 1 +
𝐺𝑀
𝑐2𝑅
𝑓0 𝑓𝐵= 1 −
𝐺𝑀
𝑐2𝑅
𝑓0
em que 𝐺 é a constante gravitacional, 𝑀 é a massa do planeta, 𝑅 é
o raio do planeta e 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo.
b) Qual é o significado dos resultados anteriores?
𝑓0
𝑓0
Curvatura do Espaço-Tempo
De acordo com os estudos da relatividade restrita, a métrica
do espaço-tempo (também chamada de métrica de
Minkowsky) é dada por
Δ𝑠 2 = Δ𝑥 2 + Δ𝑦 2 − 𝑐2 Δ𝑡 2
Entretanto, num referencial onde existe campo gravitacional
temos que
Δ𝑡 2 ≅ 1 −
2𝐺𝑀
𝑟𝑐2
Δt0
2
visto que a energia potencial de uma 𝑚 é geralmente uma
fração muito pequena da energia total 𝐸 = 𝑚𝑐2, ou seja,
𝑚 𝑈 /𝐸 = 𝑈 /𝑐2 ≪ 1. Decorre que num referencial onde
existe um campo gravitacional
Δ𝑠 2 = Δ𝑥 2 + Δ𝑦 2 − 𝑐2 Δ𝑡0
2 1 −
2𝐺𝑀
𝑟𝑐2
ou seja, a presença de um campo gravitacional modifica a
geometria do espaço-tempo.
2 – Em 1916, Schwarzschild obteve uma solução exata para as equações
de Einstein da Teoria da Relatividade Geral e mostrou que a métrica de
Minkowski para um referencial onde existe um campo gravitacional em
coordenadas polares no limite infinitesimal (denominada de métrica de
Schwarzschild) é dado por
d𝑠 2 =
dr 2
𝛾 𝑟 2
+ 𝑟2 𝑑𝜃 2 − 𝛾 𝑟 2𝑐2 𝑑𝑡 2
onde 𝛾 𝑟 = 1 − 2𝐺𝑀/(𝑟𝑐2), 𝐺 é a constante gravitacional, 𝑟 distância
da massa 𝑀 e 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo.
a) Como o campo gravitacional influencia a posição radial 𝑟? E o
tempo?
b) No limite de 𝑟 → ∞, mostre que a métrica será dada por
d𝑠 2 = dr 2 + 𝑟2 𝑑𝜃 2 − 𝑐2 𝑑𝑡 2
Como podemos interpretar este resultado?
c) Demonstre que o coeficiente de dr 2 na métrica de Schwarzschild
tem uma singularidade em
𝑟𝑠 = 2𝐺𝑀/𝑐
2,
conhecido como raio de Schwarzschild.
Nota: Em 1939, Oppenheimer e Snyder mostraram que uma estrela de massa
maior que o triplo da massa do Sol apresenta um colapso gravitacional: seu
raio vai diminuindo até atingir 𝑟𝑠 e tornar-se < 𝑟𝑠, formando um buraco negro.
Buraco Negro
O raio de Schwarzschild está
diretamente associado ao horizonte
de eventos (fronteira teórica ao
redor de um buraco negro a partir
da qual nada, inclusive a luz, pode
escapar.
Exercício
Algumas Predições da Relatividade Geral
Deflexão da Luz
A figura ao lado mostra a luz de uma estrela distante que passa próxima ao
Sol. Devido a presença do campo gravitacional o caminho percorrido da luz
sofre uma deflexão que de acordo com a teoria geral da relatividade é de
𝛼 =
4𝐺𝑀
𝑐2𝑅
Lentes Gravitacionais
A lente refrativa comum dobra a luz,
causando muitos raios que de outra forma
não teriam atingido o olho do observador.
Sua origem aparente é a imagem formada
pela lente. Observe que a imagem não é do
mesmo tamanho que o objeto (ampliação)
e, embora não seja mostrada aqui, a forma
da lente pode fazer com que a forma da
imagem seja diferente daquela do objeto. A
Lente gravitacional tem os mesmos efeitos
na luz de galáxias distantes vistas na Terra.
Δ𝜙
Precessão do Periélio
Considere um sistema planetário simples, como
mostrado na figura. De acordo com a teoria geral da
relatividade a órbita não é um elipse; a curvatura do
espaço tempo próxima a estrela causa uma precessão
do periélio. Assim, depois de completar um órbita, o
planeta retorna ao periélio 𝑟𝑚𝑖𝑛 mas numa nova
posição 𝜙. Assim a equação da órbita (coordenadas
polares) é dada por
𝑟 =
𝑟𝑚𝑖𝑛 1 + 𝑒
1 + 𝑒 cos(𝜙 − Δ𝜙)
em que 𝑒 é a excentricidade da elipse e
Δ𝜙 =
6𝜋𝐺𝑀
𝑐2𝑟𝑚𝑖𝑛(1 + 𝑒)
.Ondas Gravitacionais
A formulação da relatividade geral de Einstein, em 1916, previu
explicitamente a existência de radiação gravitacional. Ele mostrou que,
assim como cargas elétricas aceleradas geram campos eletromagnéticos
dependentes do tempo no espaço - ou seja, massas aceleradas de ondas
eletromagnéticas criariam campos gravitacionais dependentes do tempo
no espaço - isto é, ondas gravitacionais - que se propagam de sua fonte à
velocidade da luz. As ondas gravitacionais estão propagando ondas ou
distorções do espaço-tempo. A Figura ilustra a radiação gravitacional
emitida por dois buracos negros que se fundem, distorcendo o “tecido”
do plano espaço-tempo.
Exercícios
3 -
a) Calcule a deflexão da luz 𝛼 quando ela passa próxima ao Sol.
Resposta: 𝛼 = 1.75′′.
a) Uma estrela 𝑋 possui uma massa que é o dobro da solar e
um raio que a quarta parte do raio solar. Determine 𝛼𝑋.
Resposta: 𝛼𝑋 = 14
′′.
4 – Uma determina estrela possui uma massa 10
vezes a massa do Sol. Ela é orbitada por um planeta
cuja orbita possui excentricidade 0.5 e a sua
distância no periélio até a estrela é igual a 108 𝑚.
Determine o efeito da precessão no periélio para
uma revolução do planeta em torno de sua estrela.
Resposta: Δ𝜙 ≅ 39.6′′.
Tarefa ExtraClasse
TE13 A luz da estrela 𝑆 na figura passa a distância 𝑏 de uma galáxia 𝐿, onde é defletida por um ângulo 𝛼 e então
alcança o observador 𝑂, que vê uma imagem da estrela em 𝐼. A galáxia (de massa 𝑀) está a uma distância 𝑑𝐿 do
observador, e a estrela está a uma distância 𝑑𝑆 do observador. Por simplicidade, no que segue, assuma que a
deflexão gravitacional ocorre num único ponto.
b) Resolva a equação anterior para 𝜃 e mostre que existem duas imagens cuja localização difere por
Δ𝜃 = 𝛽2 + 4𝜃𝐸
2
onde 𝜃𝐸 = 4𝐺𝑀(𝑑𝑆 − 𝑑𝐿)/(𝑐
2𝑑𝐿𝑑𝑆) é o ângulo de Einstein. Este é um exemplo de lente gravitacional, um
efeito da relatividade geral que foi observado para objetos distantes que aparecem em múltiplas imagens
quando sua luz percorre um caminho através do espaço-tempo que é curvado por uma galáxia intermediária.
c) Quando a estrela, a galáxia e o observador se encontram ao longo de uma única linha, aparece algo diferente
de duas imagens. Dada a simetria da figura quando 𝛽 = 0, o que você espera ser observado neste caso?
a) Para pequenos ângulos, baseado na geometria da
figura, mostre que
𝜃𝑑𝑆 = 𝛽𝑑𝑆 +
4𝐺𝑀
𝜃𝑑𝐿𝑐
2
𝑑𝑆 − 𝑑𝐿
Dicas: 𝛾 ≪ 1 → tan 𝛾 ≅ 𝛾.
Considere 𝛼 como a deflexão daluz prevista pela
relatividade geral.