Gabarito da lista 1 - Geometria Analítica e Algebra Vetorial

Prévia do material em texto

Gabarito da lista de exercícios da semana 1
Exercício 1. (a)
[
−2 17
16 31
]
.
(b)
[
28 14 38
34 7 41
]
.
(c)
[
−6 10
11 17
]
.
(d)
[
18 6 25
10 4 15
]
.
(e)
 0 10 −98 −10 −2
−5 −4 3
.
(f)
 −4 9 −13 4 3
3 0 3
.
(g) Não é possível calcular a soma E + B, pois E e B são matrizes de tamanhos diferentes. A
matriz E é 3× 3 e a matriz B é 3× 2.
Exercício 2. AB =
[
8 5
16 10
]
= AC.
Exercício 3. AB =
[
0 0
0 0
]
.
Exercício 4. A2 =
[
1 0
0 1
]
.
Exercício 5. (a)
[
30 20
10 20
]
(b)
[
247 206
103 144
]
Exercício 6. (AB)t =
[
12 7
5 −3
]
.
Exercício 7. AB =
[
2 3
−2 2
]
, BA =
[
1 7
−1 3
]
.
Exercício 8. ABt =
[
x 4 −2
]  2−3
5
 = [2x− 22]. Como queremos que ABt = 0̄ = [0],
então devemos ter 2x− 22 = 0 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 11 .
Exercício 9.
[
x y
z w
] [
2 3
3 4
]
=
[
2x + 3y 3x + 4y
2z + 3w 3z + 4w
]
. Queremos que
[
2x + 3y 3x + 4y
2z + 3w 3z + 4w
]
=
[
1 0
0 1
]
. Para tanto precisamos que

2x + 3y = 1 (1)
3x + 4y = 0 (2)
2z + 3w = 0 (3)
3z + 4w = 1 (4)
.
Multiplicando a equação (1) por 3, a equação (2) por −2 e somando os resultados:
6x + 9y = 3 3× (1)
+ −6x− 8y = 0 −2× (2)
y = 3
Portanto y = 3 . Substituindo y = 3 na equação (1): 2x + 9 = 1⇒ 2x = −8⇒ x = −4 .
Multiplicando a equação (3) por 3, a equação (4) por −2 e somando os resultados:
6z + 9w = 0 3× (1)
+ −6z − 8w = −2 −2× (2)
w = −2
1
Portanto w = −2 . Substituindo w = −2 na equação (3): 2z − 6 = 0⇒ 2z = 6⇒ z = 3 .
Exercício 10. (a) Essa propriedade (chamada de comutatividade) não vale, em geral, para
matrizes. Basta observar o exemplo do Exercício 10 desta lista, pois nela AB 6= BA.
(b) Essa propriedade não vale, em geral, para matrizes. Basta observar o exemplo do Exer-
cício 3 desta lista, pois nela AB = 0̄, mas A 6= 0̄ e B 6= 0̄.
(c) Essa propriedade não vale, em geral, para matrizes. Basta observar o exemplo do Exer-
cício 2 desta lista, pois nela AB = AC, mas B 6= C.
(d) Essa propriedade não vale, em geral, para matrizes. Basta observar o exemplo do Exer-
cício 4 desta lista, pois nela A2 = I2, mas A 6= I2 e A 6= −I2.
(e) Isso não é verdade. Bata tomar, por exemplo, a matriz A =
[
2 −1
−4 5
]
. Nesse caso,
A2 =
[
8 −7
−28 29
]
e, portanto, A2 possui entradas negativas.
Exercício 11. (a) Utilizando a distributividade matricial, (A+B)2 = A2 +AB +BA +B2.
Logo, (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 apenas quando AB = BA.
(b) Não, basta considerar as matrizes A e B do exercício 3 dessa lista, pois nesse caso,
AB = 0̄, mas BA =
[
6 −9
4 −6
]
6= 0̄.
Exercício 12. A2 =
[
2 2/y
2y 2
]
= 2A.
Exercício 13. (a) Verdadeiro, pois Bt = (AAt)
t
= (At)
t
At = AAt = B.
(b) Falso, basta tomar como exemplo a matriz A =
[
1 1
−1 −1
]
, pois A2 = 0̄, mas A 6= 0̄.
(c) Falso, pois (−A)(−B) = (−1A)(−1B) = (−1)(−1)AB = AB.
(d) Se A =
[
−2 1
3 2
]
, então A2 =
[
4 1
9 4
]
;
(e) Verdadeiro, pois (AB)3 = (AB)(AB)(AB) = ABABAB = ABAABB = AABABB =
AAABBB = A3B3.
(f) Verdadeiro, pois (A + B)t = At + Bt = Bt + At.
Exercício 14. (a) Observe inicialmente que B é uma matriz 2 × 2. Como A é uma matriz
2 × 2, para que AX esteja bem de�nido precisamos que X tenha 2 linhas. Para a soma
AX + B estar bem de�nida, é necessário que AX seja uma matriz 2 × 2. Logo, X deve
ser uma matriz 2× 2. Vamos tomar uma matriz X, 2× 2 genérica X =
[
x y
z w
]
. Vamos
utilizar a equação matricial para obter equações nas incógnitas x, y, z e w. Temos que
AX =
[
5x + 3z 5y + 3w
3x + 2z 3y + 2w
]
AX + B =
[
5x + 3z + 6 5y + 3w + 2
3x + 2z + 2 3y + 2w + 4
]
2
Logo, exigir que AX + B = C é exigir que[
5x + 3z + 6 5y + 3w + 2
3x + 2z + 2 3y + 2w + 4
]
=
[
4 −2
−6 3
]
o que só vai acontecer se
5x + 3z + 6 = 4
5y + 3w + 2 = −2
3x + 2z + 2 = −6
3y + 2w + 4 = 3
⇒

5x + 3z = −2 (1)
5y + 3w = −4 (2)
3x + 2z = −8 (3)
3y + 2w = −1 (4)
Multiplicando a equação (1) por 3, a equação (3) por −5 e somando os resultados:
15x + 9z = −6 3× (1)
+ −15x− 10z = 40 −5× (3)
−z = 34
Portanto z = −34 . Substituindo z = −34 na equação (1): 5x − 102 = −2 ⇒ 5x =
100 ⇒ x = 20 .
Multiplicando a equação (2) por 3, a equação (4) por −5 e somando os resultados:
15y + 9w = −12 3× (2)
+ −15y − 10w = 5; −5× (4)
−w = −7
Portanto w = 7 . Substituindo w = 7 na equação (2): 5y+21 = −4 ⇒ 5y = −25 ⇒
y = −5 .
Concluímos que X =
[
20 −5
−34 7
]
(b) Observe inicialmente que B é uma matriz 2× 2. Como A é uma matriz 2× 2, para que
XA esteja bem de�nido precisamos que X tenha 2 colunas. Para a soma XA + B estar
bem de�nida, é necessário que XA seja uma matriz 2× 2. Logo, X deve ser uma matriz
2×2. Vamos tomar uma matriz X, 2×2 genérica X =
[
x y
z w
]
. Vamos utilizar a equação
matricial para obter equações nas incógnitas x, y, z e w. Temos que
XA =
[
5x + 3y 3x + 2y
5z + 3w 3z + 2w
]
XA + B =
[
5x + 3y + 6 3x + 2y + 2
5z + 3w + 2 3z + 2w + 4
]
Logo, exigir que XA + B = C é exigir que[
5x + 3y + 6 3x + 2y + 2
5z + 3w + 2 3z + 2w + 4
]
=
[
4 −2
−6 3
]
o que só vai acontecer se
5x + 3y + 6 = 4
3x + 2y + 2 = −2
5z + 3w + 2 = −6
3z + 2w + 4 = 3
⇒

5x + 3y = −2 (1)
3x + 2y = −4 (2)
5z + 3w = −8 (3)
3z + 2w = −1 (4)
3
Multiplicando a equação (1) por 3, a equação (2) por −5 e somando os resultados:
15x + 9y = −6 3× (1)
+ −15x− 10y = 20 −5× (2)
−y = 14
Portanto y = −14 . Substituindo y = −14 na equação (1): 5x − 42 = −2 ⇒ 5x =
40 ⇒ x = 8 .
Multiplicando a equação (3) por 3, a equação (4) por −5 e somando os resultados:
15z + 9w = −24 3× (3)
+ −15z − 10w = 5 −5× (4)
−w = −19
Portanto w = 19 . Substituindo w = 19 na equação (3): 5z + 57 = −8 ⇒ 5z =
−65 ⇒ z = −13 .
Concluímos que X =
[
8 −14
−13 19
]
(c) Observe inicialmente que B é uma matriz 2× 2. Como A é uma matriz 2× 2, para que
AX esteja bem de�nido precisamos que X tenha 2 linhas. Para a soma AX + B estar
bem de�nida, é necessário que AX seja uma matriz 2× 2. Logo, X deve ser uma matriz
2×2. Vamos tomar uma matriz X, 2×2 genérica X =
[
x y
z w
]
. Vamos utilizar a equação
matricial para obter equações nas incógnitas x, y, z e w. Temos que
AX =
[
5x + 3z 5y + 3w
3x + 2z 3y + 2w
]
AX + B =
[
5x + 3z + 6 5y + 3w + 2
3x + 2z + 2 3y + 2w + 4
]
Logo, exigir que AX + B = X é exigir que[
5x + 3z + 6 5y + 3w + 2
3x + 2z + 2 3y + 2w + 4
]
=
[
x y
z w
]
o que só vai acontecer se
5x + 3z + 6 = x
5y + 3w + 2 = y
3x + 2z + 2 = z
3y + 2w + 4 = w
⇒

4x + 3z = −6 (1)
4y + 3w = −2 (2)
3x + z = −2 (3)
3y + w = −4 (4)
Multiplicando a equação (1) por 3, a equação (3) por −4 e somando os resultados:
12x + 9z = −18 3× (1)
+ −12x− 4z = 8 −4× (3)
5z = −10
Portanto z = −2 . Substituindo z = −2 na equação (1): 4x− 6 = −6 ⇒ 4x = 0 ⇒
x = 0 .
4
Multiplicando a equação (2) por 3, a equação (4) por −4 e somando os resultados:
12y + 9w = −6 3× (2)
+ −12y − 4w = 16 −4× (4)
5w = 10
Portanto w = 2 . Substituindo w = 2 na equação (2): 4y + 6 = −2 ⇒ 4y = −8 ⇒
y = −2 .
Concluímos que X =
[
0 −2
−2 2
]
(d) Observe inicialmente que B é uma matriz 2× 2. Como A é uma matriz 2× 2, para que
XA esteja bem de�nido precisamos que X tenha 2 colunas. Para a soma XA + B estar
bem de�nida, é necessário que XA seja uma matriz 2× 2. Logo, X deve ser uma matriz
2×2. Vamos tomar uma matriz X, 2×2 genérica X =
[
x y
z w
]
. Vamos utilizar a equação
matricial para obter equações nas incógnitas x, y, z e w. Temos que
XA =
[
5x + 3y 3x + 2y
5z + 3w 3z + 2w
]
XA + C =
[
5x + 3y + 4 3x + 2y − 2
5z + 3w − 6 3z + 2w + 3
]
Logo, exigir que XA + C = X é exigir que[
5x + 3y + 4 3x + 2y − 2
5z + 3w − 6 3z + 2w + 3
]
=
[
x y
z w
]
o que só vai acontecer se
5x + 3y + 4 = x
3x + 2y − 2 = y
5z + 3w − 6 = z
3z + 2w + 3 = w
⇒

4x + 3y = −4 (1)
3x + y = 2 (2)
4z + 3w = 6 (3)
3z + w = −3 (4)
Multiplicando a equação (1) por 3, a equação (2) por −4 e somando os resultados:
12x + 9y = −12 3× (1)
+ −12x− 4y = −8 −4× (2)
5y = −20
Portanto y = −4 . Substituindo y = −4 na equação (1): 4x−12 = −4 ⇒ 4x = 8 ⇒
x = 2 .
Multiplicando a equação (3) por 3, a equação (4) por −4 e somando os resultados:
12z + 9w = 18 3× (3)
+ −12z− 4w = 12 −4× (4)
5w = 30
Portanto w = 6 . Substituindo w = 6 na equação (4): 3z + 6 = −3 ⇒ 3z = −9 ⇒
z = −3 .
Concluímos que X =
[
2 −4
−3 6
]
5
Exercício 15. (a) Observe inicialmente que A + Ct é uma matriz 3 × 2. Como B é uma
matriz 2× 2, para que XB esteja bem de�nido precisamos que X tenha 2 colunas. Para
que XB seja uma matriz 3× 2, é necessário que X seja uma matriz 3× 2. Vamos tomar
uma matriz X, 3 × 2 genérica X =
a bc d
e f
. Vamos utilizar a equação matricial para
obter equações nas incógnitas a, b, c, d, e e f . Temos que
XB =
2a + b 3a + 5b2c + d 3c + 5d
2e + f 3e + 5f

A + Ct =
[
1 5
3 37 0
]
Logo, exigir que A + Ct = XB é exigir que
2a + b 3a + 5b2c + d 3c + 5d
2e + f 3e + 5f
 =
1 13 3
7 0
 ⇒

2a + b = 1 (1)
3a + 5b = 5 (2)2c + d = 3 (3)
3c + 5d = 3 (4)
2e + f = 7 (5)
3e + 5f = 0 (6)
.
Multiplicando a equação (1) por 3, a equação (2) por −2 e somando os resultados:
6a + 3b = 3 3× (1)
+ −6a− 10b = −10 −2× (2)
−7b = −7
Portanto b = 1 . Substituindo b = 7
9
na equação (1) obtemos a = 0 .
Multiplicando a equação (3) por 3, a equação (4) por −2 e somando os resultados:
6c + 3d = 9 3× (3)
+ −6c− 10d = −6 −2× (4)
−7d = 3
Portanto d = −3
7
. Substituindo d = −3
7
na equação (3) obtemos c = 12
7
.
Multiplicando a equação (5) por 3, a equação (6) por −2 e somando os resultados:
6e + 3f = 21 3× (5)
+ −6e− 10f = 0 −2× (6)
−7f = 21
Portanto f = −3 . Substituindo f = −3 na equação (5) obtemos e = 5 .
Concluímos que X =
 0 112/7 −3/7
5 −3

(b) X = C + At =
[
−1 0 5
4 3 1
] [
2 3 2
1 0 −1
]
=
[
1 3 7
5 3 0
]
(c) Não existe a matriz X, pois as matrizes B e C possuem tamanhos distintos e por isso
não podem ser somadas.
6
Exercício 16. (i) Verdadeiro, pois para podermos efeturar o produto AA, o número de colu-
nas da matriz A tem que ser igual ao número de linhas da matriz A e, portanto, A deve
ser quadrada.
(ii) Falso, pois se A for uma matriz 2× 3 e B for uma matriz 3× 2, então tanto AB quanto
BA estão bem de�nidos, mas A e B não são matrizes quadradas.
(iii) Verdadeiro, pois se A é uma matriz m× n e B é uma matriz p× q, então o produto AB
só está bem de�nido se n = p e o produto BA só está bem de�nido se q = m. Logo, B
tem que ser uma matriz n×m. Nesse caso, AB é uma matriz m×m, BA é uma matriz
n× n e, portanto, as matrizes AB e BA são quadradas.
(iv) Falso. Por exemplo, se considerarmos A =
[
1 1
0 0
]
e B =
[
1 1
0 0
]
, então AB = B, mas
A 6= I2.
(v) Falso. or exemplo, se considerarmos A =
2 1 00 0 0
0 1 0
 e B =
1 1 10 0 0
1 1 1
. As linhas 1 e 3
de B são iguais, mas AB =
2 2 20 0 0
0 0 0
 e, portanto, as linhas 1 e 3 de AB não são iguais.
(vi) Verdadeiro, pois as entradas de uma linha do produto AB são obtidas pelo produto da
linha correspondente de A pelas colunas de B na ordem que elas estão organizadas. Logo,
se as linhas 1 e 3 de A são iguais, então as linhas 1 e 3 de AB também são.
(vii) Falso, pois (AB)2 = ABAB. Para que (AB)2 = A2B2, é preciso que AB = BA.
7