GA-Lista2 1-Cônicas (3)

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro Tecnolo´gico de Joinville
Departamento de Engenharias da Mobilidade
EMB5005 - Geometria Anal´ıtica
Lista 2.1 - Coˆnicas
1. Em cada item estabelec¸a a equac¸a˜o de cada uma das para´bolas, sabendo que:
(a) ve´rtice: V (0, 0); diretriz d : y = −2
(b) foco: F (2, 0); diretriz d : x + 2 = 0
(c) ve´rtice: V (0, 0); foco F (−3, 0)
(d) ve´rtice: V (0, 0); simetria em relac¸a˜o ao eixo Oy e passando pelo ponto P (2,−3).
(e) ve´rtice: V (2,−1), foco F (5,−1)
(f) ve´rtice: V (0, 0); eixo y = 0; passa por (4, 5)
(g) foco: F (2, 3); diretriz d : y = −1
(h) foco: F (3,−1); diretriz d : x = 1
2
(i) eixo de simetria paralelo ao eixo Oy e passa pelos pontos A(0, 0), B(1, 1) e C(3, 1)
(j) eixo paralelo a y = 0 e passa por P1(−2, 4),P2(−3, 2) e P3(−11,−2)
2. Nos itens abaixo identificar os elementos da para´bola (ve´rtice, foco, equac¸a˜o para a diretriz e equac¸a˜o
para o eixo da para´bola) e esboc¸ar o gra´fico.
(a) x2 = −12y
(b) y2 − x = 0
(c) x2 + 4x + 8y + 12 = 0
(d) y2 + 2y − 16x− 31 = 0
(e) y2 − 12x− 12 = 0
(f) x2 = 12(y − 6)
(g) 8x = 10− 6y + y2
(h) 6y = x2 − 8x + 14
3. Determine a equac¸a˜o de cada uma das elipses que satisfaz as condic¸o˜es dadas.
(a) eixo maior que mede 10 e focos (±4, 0).
(b) centro C(0, 0), um foco F (0,−
√
5) e eixo menor mede 4
(c) centro C(0, 0), focos no eixo Ox, excentricidade e =
2
3
e passa pelo ponto P
(
2,−5
3
)
(d) ve´rtices A(0,±6) e passando por P (3, 2)
(e) centro C(−3, 0), um foco F (−1, 0) e tangente ao eixo Oy
(f) centro C(-3,4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo Ox
(g) centro C(-3,4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo Oy
(h) centro C(2,−1), tangente aos eixos coordenados
1
4. Nos itens abaixo identificar os elementos da elipse (centro, focos, ve´rtices A1 e A2, excentricidade) e
esboc¸ar o gra´fico.
(a)
x2
100
+
y2
36
= 1
(b)
x2
36
+
y2
100
= 1
(c) x2 + 25y2 = 25
(d) 4x2 + 25y2 = 1
(e)
(x− 2)2
16
+
(y + 3)2
9
= 1
(f) 4x2 + 9y2 − 24x + 18y + 9 = 0
(g) 16x2+9y2−96x+72y+144 = 0
5. Determine a equac¸a˜o de cada uma das hipe´rboles que satisfaz as condic¸o˜es dadas.
(a) focos F (±5, 0), ve´rtices A(±3, 0)
(b) ve´rtices A(±4, 0), passando por P (8, 2)
(c) centro C(0, 0), eixo real sobre o eixo Oy, b = 8 e excentricidade
5
3
(d) focos F (0,±5), comprimento do eixo imagina´rio 4
(e) centro C(5, 1), um foco em (9, 1), eixo imagina´rio mede 4
√
2
(f) centro C(2,−3), eixo real paralelo ao eixo Oy, passando por (3,−1) e (−1, 0)
6. Nos itens abaixo identificar os elementos da hipe´rbole (centro, focos, ve´rtices, excentricidade) e esboc¸ar
o gra´fico.
(a)
x2
100
− y
2
64
= 1
(b)
y2
100
− x
2
64
= 1
(c) 9x2 − 16y2 = 144
(d) x2 − 2y2 − 8 = 0
(e) x2 − y2 = 1
(f) y2 − 4x2 = 1
(g) 9x2− 4y2− 18x− 16y− 43 = 0
(h) 9x2 − y2 + 36x + 6y + 63 = 0
7. Classificar, dar os elementos e representar graficamente as equac¸o˜es:
(a) x2 + 4y2 − 4x− 24y + 36 = 0
(b) x2 − y2 − 8x− 4y + 11 = 0
(c) y2 − 8x + 6y + 17 = 0
(d) 3x2 + 2y2 − 12x + 8y + 19 = 0
(e) x2 + 2x + 8y − 15 = 0
(f) 9x2 − 4y2 − 54x + 45 = 0
(g) 9y2 − 25x2 − 90y − 50x− 25 = 0
Gabarito da Lista 2.1 - Coˆnicas
1. (a) x2 = 8y
(b) y2 = 8x
(c) y2 = −12x
(d) 3x2 + 4y = 0
(e) y2 + 2y − 12x + 25 = 0
(f) 4y2 − 25x = 0
(g) (x− 2)2 = 8(y − 1)
(h) (y + 1)2 = 5(x− 7
4
)
(i) y = −1
3
x2 +
4
3
x
(j) x = −1
4
y2 + 2y − 6
2. (a) V (0, 0), F (0,−3), y = 3, x = 0
(b) V (0, 0), F (
1
4
, 0), x = −1
4
, y = 0
(c) V (−2,−1), F (−2,−3), y = 1, x = −2
(d) V (−2,−1), F (2,−1), x = −6, y = −1
(e) V (−1, 0), F (2, 0), x = −4, y = 0
(f) V (0, 6), F (0, 9), y = 3, x = 0
(g) V (
1
8
, 3), F (
17
8
, 3), 8x + 15 = 0, y − 3 = 0
2
(h) V (4,−1
3
), F (4,
7
6
), 6y + 11 = 0, x− 4 = 0
3. (a) 9x2 + 25y2 = 225
(b) 9x2 + 4y2 − 36 = 0
(c) 5x2 + 9y2 − 45 = 0
(d)
8x2
81
+
y2
36
= 1
(e) 5x2 + 9y2 + 30x = 0
(f) 9x2 + 16y2 + 54x− 128y + 193 = 0
(g) 16x2 + 9y2 + 96x− 72y + 144 = 0
(h) x2 + 4y2 − 4x + 8y + 4 = 0
4. (a) C(0, 0), A(±10, 0), F (±8, 0), e = 4
5
(b) C(0, 0), A(0,±10), F (0,±8), e = 4
5
(c) C(0, 0), A(±5, 0), F (±2
√
6, 0), e =
2
√
6
5
(d) C(0, 0), A(±1
2
, 0), F (±
√
21
10
, 0), e =
√
21
5
(e) C(2,−3), A1(−2,−3), A2(6,−3),
F (2±
√
7,−3), e =
√
7
4
(f) C(3,−1), A1(6,−1), A2(0,−1),
F (3±
√
5,−1), e =
√
5
3
(g) C(3,−4), A1(3,−8), A2(3, 0),
F (3,−4±
√
7), e =
√
7
4
5. (a) 16x2 − 9y2 − 144 = 0
(b) x2 − 12y2 − 16 = 0
(c) 16y2 − 9x2 − 576 = 0
(d)
y2
21
− x
2
4
= 1
(e) x2 − y2 − 10x + 2y + 16 = 0
(f) 5x2 − 8y2 − 20x− 48y − 25 = 0
6. (a) A(±10, 0), F (±2
√
41, 0), e =
√
41
5
(b) A(0,±10), F (0,±2
√
41), e =
√
41
5
(c) A(±4, 0), F (±5, 0), e = 5
4
(d) A(±2
√
2, 0), F (±2
√
3, 0), e =
√
6
2
(e) A(±1, 0), F (±
√
2, 0), e =
√
2
(f) A(0,±1), F (0,±
√
5
2
), e =
√
5
2
(g) C(1,−2), A1(−1,−2), A2(3,−2),
F (1±
√
13,−2), e =
√
13
2
(h) C(−2, 3), A1(−2,−3), A2(−2, 9),
F (−2, 3± 2
√
10), e =
√
10
3
7. (a)
x′2
4
+ y′2 = 1, elipse, eixo maior 4, eixo menor
2, focos F (2±
√
3, 3)
(b) x′2 − y′2 = 1, hipe´rbole, eixo real 2, eixo ima-
gina´rio 2, focos F (4±
√
2,−2)
(c) y′2 = 8x′, para´bola, p=4, diretriz: x=-1,
F (3,−3)
(d) 3x′2 + 2y′2 = 1, elipse, eixo maior
√
2, eixo
menor
2
√
3
3
, F (2,−2±
√
6
6
)
(e) x′2 = −8y′, para´bola, p=-4, F (−1, 0), dire-
triz: y=4
(f)
x′2
4
− y
′2
9
= 1, hipe´rbole, eixo real 4, eixo ima-
gina´rio 6, F (3±
√
13, 0)
(g)
y′2
25
− x
′2
9
= 1, hipe´rbole, eixo real 10, eixo
imagina´rio 6, F (−1, 5±
√
34)
3