Sistema Eletrico uninade 4

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Objetivos 
UNIDADE 4. 
A matriz impedância de barra 
Rafaela F. A. Guimarães 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
• Estudar a matriz impedância de barra e obtê-la por inversão da 
matriz YBARRA; 
• Abordar equivalente reduzido do sistema, elementos de 
transferência, adições radiais e inclusão da mútua; 
• Aprofundar conhecimentos sobre as matrizes de sequência; 
• Realizar a análise de contingência, verificação de violação de 
limites. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
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A matriz impedância de barra 
– 
// Montagem da matriz de impedâncias nodais 
// Obtenção por inversão de YBARRA 
// Significado físico dos elementos de ZBARRA 
// Solução de sistemas de equações lineares 
// Estudo de fluxo de potência em redes em malha 
// Equivalente reduzido do sistema 
// Elementos de transferência 
// Adições radiais 
Operação ótima e segura do sistema de transmissão 
– 
// Os estados de um sistema de potência 
// Avaliação da segurança: análise de contingências 
 
A matriz impedância de barra 
Dada uma rede genérica com n nós, conforme a Figura 1, os elementos da 
matriz de impedâncias nodais podem ser definidos como a seguir: 
• Impedância de entrada na barra i: é definida pela 
relação entre a tensão na barra i e a corrente nela 
injetada (através da aplicação de um gerador de 
corrente), quando as demais barras da rede são 
deixadas em aberto: 
 
• Impedância de transferência entre as barras j e i: é 
definida pela relação entre a tensão na barra j e a 
corrente injetada aplicada na barra i, quando as barras 
da rede, menos a da i-ésima, são deixadas em aberto: 
 
 
Figura 1. Definição da matriz Z. Fonte: KAGAN; OLIVEIRA; ROBBA, 2005, p. 313. (Adaptado). 
 
MONTAGEM DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIAS 
NODAIS 
A aplicação da definição das Equações (01) e (02) para a barra i permite a 
obtenção de uma coluna da matriz de impedâncias nodais. Aplicando-se as 
mesmas equações para as demais barras da rede, obtemos todas as colunas da 
matriz de impedâncias nodais, a denominada matriz Z. Para facilitar o cálculo 
dos elementos da matriz Z a partir da definição, é normal aplicar um gerador 
de corrente de 1 pu, dado que as redes são lineares – obviamente, o 
denominador das expressões (01) e (02) será unitário, e os elementos 
da Z serão numericamente iguais às respectivas tensões nodais. 
OBTENÇÃO POR INVERSÃO DE YBARRA 
A inversa da matriz admitância de barras (matriz Y) é dada por 
Z = Y-1 (3) 
Conhecida como a matriz de impedância de barras, ela encontra aplicação no 
contexto de análise de faltas. Quando a rede é fracamente conectada à terra 
(admitâncias shunt muito pequenas), a matriz Y é praticamente singular, e Z, 
numericamente mal condicionada. Este problema é prevenido eliminando a 
barra de folga e trabalhando com as matrizes reduzidas resultantes. 
Sejam V̇ e İ e os vetores obtidos após a remoção das variáveis da barra de 
folga, então, a equação 
i = Y V̇ (4) 
pode ser reescrita da seguinte forma: 
ir = Yr V̇r + Ys V̇s (5) 
Onde Yr é a matriz de admitância obtida após a remoção da linha e da coluna 
da barra de folga, Ys é a coluna eliminada, e V̇s é a tensão na barra de folga. 
Reordenando os termos, obtemos: 
V̇s = Zr [ir - Ys V̇s] (6) 
Onde Zr = Yr -1 é a matriz de impedância de barras reduzida. Partindo de um 
conjunto inicial de tensões Vr0 , as correntes de barra são obtidas da seguinte 
maneira: 
ii = (Pisp - j Qisp) / Vi*i = 1, 2, ..., n - 1 (7) 
Então, podemos substituir a Equação (7) na Equação (6) e o processo é 
repetido até que a convergência seja obtida. Para obtermos a convergência, 
iteramos a equação repetidas vezes até que a diferença da tensão V̇r, obtida em 
duas iterações seguidas, seja menor do que um erro estipulado. 
Esse procedimento permite implementar vários refinamentos, todos 
conduzindo a uma melhor convergência. O preço pago por ela vem da 
matriz Z, que é cheia, o que significa que o custo por iteração cresce com n2. 
Se técnicas de esparsidade forem adotadas, este peso será aliviado, 
percorrendo a fatoração triangular de Yr, em vez de usar sua inversa explícita. 
SIGNIFICADO FÍSICO DOS ELEMENTOS DE 
ZBARRA 
Em um sistema elétrico genérico, a matriz de impedâncias nodais relaciona as 
tensões nodais com as correntes injetadas. Observe o sistema da Figura 2, no 
qual estão aplicados n geradores de corrente. 
 
Figura 2. Rede genérica. Fonte: KAGAN, 2005, p. 315. (Adaptado). 
A Figura 3 mostra a aplicação do princípio da superposição para o sistema da 
Figura 2, que pode ser resolvido pelo cálculo de n circuitos, cada um com a 
aplicação de um gerador de corrente ativa (1 pu) e os demais desativados (0 
pu, em aberto). Cada um dos circuitos da Figura 2 representa a determinação 
de uma coluna da matriz Z, conforme definido anteriormente, ou seja, os itens 
(a), (b) e (c) da Figura 3 ilustram a determinação das colunas 1, i e n, 
respectivamente. 
 
Figura 3. Princípio da superposição. Fonte: KAGAN; OLIVEIRA; ROBBA, 2005, p. 315. 
(Adaptado). 
As tensões nodais em cada um dos nós da Figura 3 podem ser obtidas, por 
superposição, dado por: 
 V1 = V1,1 + … + V1,i + … + V1,n… 
Vi = Vi,1 + … + Vi,i + … + Vi,n… (8) 
 Vn = Vn,1 + … + Vn,i + … + Vn,n 
E, utilizando as definições das impedâncias de entrada e de transferência 
(Equações 01 e 02), podemos escrever as equações abaixo 
V1 = Z1,1 I1,1 + … + Z1,i I1,i + … + Z1,n I1,n… 
 Vi = Zi,1 Ii,1 + … + Zi,i Ii,i + … + Zi,n Ii,n… (9) 
 Vn = Zn,1 In,1 + … + Zn,i In,i + … + Zn,n In,n 
Matricialmente, temos que: 
 
Ou, simplesmente, V = Z . I, mostrando que a matriz Z relaciona o vetor de 
tensões nodais com o vetor de correntes injetadas de um sistema elétrico, ou 
seja, a matriz Z é a matriz inversa da Y. 
 
Desta forma, a i-ésima coluna da matriz Z pode ser obtida a partir da 
resolução do seguinte sistema de equações: 
 
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
LINEARES 
A Equação (12) permite a determinação de uma coluna da matriz de 
impedâncias nodais pela solução de um sistema linear de equações. Este tipo 
de sistema pode ser resolvido a partir da triangularização da matriz (de 
admitâncias nodais, neste caso) e de um processo de retrossubstituição. 
Este método é bastante conveniente para sua aplicação na resolução de redes 
elétricas, principalmente porque a matriz de admitâncias nodais é esparsa (só 
conta com elementos na diagonal e nas posições das matrizes correspondentes 
às ligações entre barras). A matriz triangularizada correspondente também é, 
geralmente, esparsa. 
 
CURIOSIDADE 
Além disso, o método permite com que a matriz de admitâncias nodais 
seja triangularizada uma única vez para diversos possíveis vetores de 
termos independentes, ou seja, diferentes vetores de correntes 
injetadas. Por exemplo, para a determinação sequencial de colunas da 
matriz Z, pode-se triangularizar a matriz Y uma única vez. 
Para explicar o método, utilizemos o sistema I = Y . V para uma rede com três 
barras: 
 
A triangularização consiste em, através de manipulações algébricas no sistema 
de equações, transformar a matriz em triangular superior, com os elementos 
da diagonal unitários, ou seja: 
 
Deve-se notar na Equação (14) que a manipulação algébrica sobre as equações 
lineares modifica o termo conhecido, no caso, o vetor de correntes injetadas. 
 
// Retrossubstituição 
A partir da Equação (14), torna-se trivial a determinação do vetor 
desconhecido, no caso, o vetor de tensões nodais, utilizando o método 
denominado de retrossubstituição. Basta partir da última equação em direção à 
primeira. Assim, da última equação, obtemos: 
V3 = I'3 (15) 
Partindo para a segunda equação e substituindo o valor de V3, obtemos: 
V2 = I'2 - Y'23 V3 (16) 
E, finalmente, substituindo os valores de V3 na primeira equação: 
V1 = I'1 - Y'12 V2 - Y'13 V3 (17)// Triangularização da matriz 
A triangularização da matriz pode ser realizada da seguinte forma, para cada 
linha em análise: 
• Os elementos da linha em análise são multiplicados pelo 
inverso do elemento da diagonal, de modo que a diagonal 
seja unitária; 
• Os elementos da coluna da matriz abaixo da diagonal da 
linha em análise devem ser transformados em zero. Para 
tanto, basta realizar operações algébricas nas linhas dos 
elementos que se deseja anular com a linha em análise. 
O procedimento dos passos acima é realizado da primeira até a última linha da 
matriz. Para exemplificar o procedimento, considere o sistema da Equação 
(18). Realizando o primeiro passo para a primeira linha do sistema, tem-se: 
 
O segundo passo consiste em transformar os elementos Y21 e Y31 em nulos. 
Para o elemento Y21, por exemplo, basta multiplicar a primeira linha por – 
Y21 e somar com a segunda. Realizando de forma análoga para Y31, temos que: 
 
Como este é o resultado da primeira linha em análise, podemos dizer que os 
elementos Yij foram modificados para Yij(1), e os elementos do termo 
conhecido foram modificados para Ii(1), ou seja: 
 
Aplicando o procedimento para a segunda linha, devemos multiplicá-la por 
1/Y22(1) e zerar o elemento Y32(1), resultando no seguinte sistema: 
 
Ou seja, os elementos da segunda linha em diante foram modificados 
de Yij(1) para Yij(2), assim como os elementos do vetor de termos conhecidos 
de Ii(1) para Ii(2). 
 
Finalmente, a aplicação do procedimento para a te
rceira linha passa somente pelo 
primeiro passo, ou seja, basta multiplicá-la pelo inverso do elemento da 
diagonal. 
 
E, com a terceira correção do elemento I3 do termo conhecido, tem-se: 
 
Assim, a matriz Y é triangularizada, e o vetor de termos conhecidos é 
corrigido em função das manipulações algébricas realizadas. 
// Correção do termo conhecido após a triangularização da matriz 
O procedimento de transformação do termo conhecido segue uma formação 
bastante definida, que pode ser verificada pela triangularização realizada no 
item anterior. 
Para cada linha i em análise, os termos Ik (k > 1) e Ii são modificados 
conforme as seguintes equações: 
 
onde os termos Ii(0) e Iij(0) representam elementos do sistema original. Notando 
ainda que, pelo fato da matriz Y ser simétrica, 
 
Isso resulta que a correção a ser aplicada sobre os elementos do vetor de 
termos conhecidos, para emular as operações realizadas, deve ser feita, para 
cada linha em análise, da seguinte forma: 
 
Além disso, na Equação (27), a correção em Ik depende do elemento 
Yik modificado pela triangularização da matriz, ou seja, este fator de correção 
está armazenado na própria matriz triangularizada. 
 
 
ESTUDO DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REDES 
EM MALHA 
O sistema de transmissão possui, usualmente, redes em malha. Nessas áreas, 
geralmente, utilizam para a representação dos trechos, os modelos de linha 
curta e linha média, respectivamente. 
As barras de uma rede apresentam seis grandezas básicas: tensão da barra, 
caracterizada por seu módulo e rotação de fase; potência complexa, definida 
pelas potências ativa e reativa impressas na barra; e corrente impressa na 
barra, caracterizada pela intensidade de corrente e pelo ângulo de rotação de 
fase; isto é, as grandezas de uma barra genérica i são representadas por: 
• vi – tensão de fase da barra, em pu; 
• si – potência aparente fornecida à carga 
da barra, em pu; 
• pi – potência ativa fornecida à carga da 
barra, em pu; 
• qi – potência reativa fornecida à carga da 
barra, em pu; 
• ii – corrente impressa à carga da barra, 
em pu. 
Entre elas, subsistem as relações 
si = pi x j qi = vi x ii* (28) 
que representam duas equações, igualdade das partes reais e imaginárias. Por 
outro lado, a rede, através da matriz de admitâncias nodais, [Y], fixa outra 
equação complexa, que relaciona a tensão com a corrente Ii = ∑k = 1,n yi,k υk. 
As seis grandezas estão correlacionadas por quatro equações, portanto, as 
barras de qualquer rede contam com dois graus de liberdade, ou seja, em uma 
barra podem ser fixadas arbitrariamente duas grandezas, por exemplo, a 
tensão em módulo e fase, ou a tensão em módulo e a potência ativa injetada, 
ou as potências ativa e reativa impressas na barra, ou ainda qualquer outra 
combinação de parâmetros. 
Nos estudos de fluxo de potência é usual fixarem-se os tipos de barras a 
seguir: 
• Barra swing, na qual fixa-se a tensão impressa à barra 
em módulo e fase, sendo de responsabilidade do estudo a 
determinação da potência impressa; 
• Barra de tensão controlada, na qual fixa-se o módulo 
da tensão impressa e a potência ativa injetada na barra. 
Este tipo de barra é frequentemente utilizado em redes 
que contam com vários pontos de fornecimento ou com 
cogeradores; 
• Barra de carga, na qual fixa-se a demanda em termos de 
potência ativa e reativa. Destaca-se que as barras 
intermediárias, que não possuem carga, são 
representadas como barras de carga em que a potência 
complexa injetada é nula. 
A carga das barras poderá ser representada pelos modelos de potência, 
corrente ou impedância constante com a tensão ou por uma combinação entre 
eles. 
Para uma rede que disponha somente de barra swing e de carga, o 
procedimento usual para o cálculo das tensões nas barras de carga é 
particionar a matriz de admitâncias nodais da rede pela linha e coluna 
correspondente à última barra swing, isto é, 
 
Na Equação (29) observa-se que, no segundo membro, as tensões das barras 
swing são conhecidas e as tensões das barras de carga são incógnitas e, por 
outro lado, no primeiro membro, as correntes impressas na barras swing são 
incógnitas e as correntes impressas nas barras de carga podem ser 
estabelecidas a partir de estimativa das tensões das barras ii = si*/υi* . Assim, 
desdobrando-se a Equação (29) em suas submatrizes, resulta 
 
Ou, corrigindo-se as correntes de carga pelas contribuições da barra swing, 
isto é, 
[ICarga,Corrig] = [ICarga] - [YCarga,Swing] [VSwing] (31) 
temos: 
[VCarga] = [YCarga,Carga]-1 [ICarga,Corrig] (32) 
Na Equação (29) é possível observar que a solução é iterativa, pois as 
correntes de carga são determinadas a partir do valor calculado para a tensão 
de carga. Uma vez determinadas as tensões, as correntes impressas nas barras 
swing são determinadas por 
[ISwing] = [YSwing,Swing] [VSwing] 
+ [VSwing,Carga] [VCarga] (33) 
O procedimento genérico para o estudo de fluxo de potência pode ser 
resumido nos passos a seguir: 
• 1º Passo – Inicializam-se as tensões 
nas barras de carga, usualmente com 
tensão de 1 ∠ 0º pu; 
• 2º Passo – Em função dos modelos de 
carga utilizados, são calculadas 
correntes impressas nas barras de 
carga; 
• 3º Passo – Através da Equação (32) 
determinam-se as tensões nodais das 
barras de carga; 
• 4º Passo – São determinados os 
desvios entre as tensões em duas 
iterações sucessivas. Caso algum dos 
desvios exceda a tolerância, repete-se 
os passos 2 e 3. Encerra-se o processo 
iterativo de determinação das tensões 
nodais quando os desvios de todas as 
barras forem não maiores que a 
tolerância ou quando for superado o 
número de iterações. 
Dentre os métodos numéricos de resolução de sistemas de equações do fluxo 
de potência, destacam-se os métodos de Gauss ou Gauss-Seidel e o de Newton 
Raphson. 
EQUIVALENTE REDUZIDO DO SISTEMA 
O uso de mais de um condutor por fase, ou seja, cabos com feixes de 
condutores, reduz a impedância equivalente da linha de transmissão e permite 
incrementar a potência transmitida. Também facilita uma redução das perdas 
pelo efeito corona e a interferência em frequências de rádio devido a uma 
redução nos gradientes de tensão na superfície do condutor. Para casos de 
linhas de transmissão de 400 kV e superiores, é prática comum usar quatro 
condutores em feixe para cada fase, enquanto para as linhas de 230kV usa-se 
somente feixes de dois ou três condutores por fase. 
Em estudos de sistemas de potência, o interesse está centrado nas fases e não 
nos condutores. Então, algumas providências devem ser tomadas para calcular 
os equivalentes reduzidos de um condutor por fase. Os condutores 
equivalentes consideram corretamente a configuração original, mas 
conservam unicamente a informação essencial. 
A redução de um feixe de condutores pode ser obtida de diferentes formas. 
Uma delas é usando o conceito de RMG (raio médio geométrico) equivalente, 
que, embora seja um método independente da frequência, produz resultados 
de precisão razoável, especialmente nas frequências industriais. Uma 
abordagem mais rigorosa, que inclui a dependência da frequência na redução 
da matriz de impedâncias séries, utiliza técnicas de redução de matrizes. 
Usando esse método, todas as impedâncias dos condutores são calculadas 
explicitamente, e depois de manipulações algébricas dos termos da matriz de 
impedâncias, é feita a eliminação matemática dos feixes de condutores. A 
eliminação utiliza o procedimento da redução de Kron. 
Para ilustrar o procedimento de eliminação usado quando os condutores em 
feixe estão presentes, consideramos o caso de uma linha de transmissão 
trifásica (a, b e c) com dois condutores por fase (1, 2) e sem cabos para-raios. 
A matriz dos parâmetros das impedâncias em séries representando essa linha 
de transmissão é dada por 
 
Cada fase consiste em dois condutores paralelos, com a corrente distribuída. 
 
 
ELEMENTOS DE TRANSFERÊNCIA 
Quando a solução do fluxo de carga relaciona várias áreas interconectadas, 
então pode ser interessante forçar um fluxo de potência ativa que está saindo 
de uma área especificada a ser igual a um valor previamente fixado. Isso pode 
ser atingido ajustando o ponto de operação de um ou vários geradores dentro 
da área. 
No método de Newton-Raphson, essa restrição pode ser levada em conta 
adicionado a seguinte equação não linear: 
ΔPIk = PIsp - ∑Pijk = 0 (35) 
onde PIsp é a potência de intercâmbio desejada, e os Pijk são os fluxos de 
potência através das linhas de acoplamento na iteração k. Obviamente, a 
restrição adicional deve ser compensada com uma nova variável no vetor de 
estado, que pode ser, por exemplo, a potência ativa fornecida pelo gerador 
responsável pela regulação. 
No FCDR (fluxo de carga desacoplado rápido, uma das maneiras de se 
resolver os sistemas com mais incógnitas do que equações, como é o caso da 
análise de sistemas de transmissão), o erro de intercâmbio na iteração k pode 
ser usado para modificar a potência ativa do gerador de regulação na iteração 
seguinte. Dessa forma, a potência total gerada dentro da área deve ser 
corrigida da seguinte forma: 
ΔPG = α ΔPIk (36) 
onde α = 1, um valor razoável, considerando que as perdas ôhmicas nas linhas 
de transmissão são pequenas. A correção total ΔPG pode então ser repassada a 
um gerador, ou mais frequentemente, rateados entre um conjunto de geradores 
previamente especificados. 
 
ADIÇÕES RADIAIS 
A maioria das redes de distribuição são projetadas e construídas de forma que 
exista pelo menos um caminho alternativo para todo ponto de demanda 
quando uma seção de alimentador falhar por qualquer motivo, e isso leva a 
uma configuração malhada. No entanto, devido ao âmbito geográfico de tais 
redes, que alcançam virtualmente todos os extremos de um país, e 
considerando que cada alimentador atende a um número reduzido de 
consumidores, essas redes operam de forma radial. O motivo é a tentativa de 
reduzir a potência de curto-circuito e a complexidade dos sistemas de proteção 
e de chaveamento. Isso significa que, no nível de distribuição, a confiabilidade 
(número e duração de interrupções) é claramente sacrificada na busca de 
redução de custos. 
Nesse tipo de redes, caracterizada pela elevada relação de r/x (onde r é a 
resistência e x é a reatância) e seções de alimentador muito curtas, o 
desempenho do FCDR é frequentemente pobre. O método de Newton-
Raphson padrão encontra dificuldades quando aplicado a certos casos de 
sistemas mal condicionados. 
Por outro lado, a configuração particular de tais redes (topologia radial, um 
único ponto de alimentação) é muito adequada para o desenvolvimento de 
procedimentos especializados mais simples e competitivos que os algoritmos 
baseados na matriz Jacobiana. Vamos estudar aqui o caso monofásico. 
Vamos considerar uma rede radial com n barras, numerada a partir da 
subestação de forma que cada barra preceda seus sucessores a jusante. 
Iniciando com perfil de tensão de partida plana V0, o processo de solução 
consiste em três passos, que são repetidos até que as tensões complexas de 
duas iterações consecutivas sejam suficientemente próximas: 
1. Para o conjunto de tensões estimadas, encontrar a corrente líquida extraída 
de cada barra 
 
onde Sisp é a potência complexa, absorvida pela carga local na barra i, e ysi é a 
admitância shunt, se existir, conectada nessa barra. 
2. Varrer todos os ramos da árvore dos extremos para a subestação (isto é, a 
montante) e encontrar as correntes de ramo Iy usando a lei de correntes de 
Kirfchhoff 
Iijk = Ijk + ∑m∈j,m ≠ i Ijm J = n, n - 1, ..., 2 (38) 
onde i e j são, respectivamente, as barras de envio e de recepção. Na prática, 
os passos 1 e 2 podem ser realizados em um único. 
3. Varrer a árvore em direção oposta (isto é, a jusante), atualizando as tensões 
de barra a partir da subestação e considerando as respectivas quedas de tensão 
no ramo 
Vjk + 1 = Vik + 1 - zij Iijk J = 2, 3, ..., n (39) 
onde zij é a impedância série do ramo i – j, e a tensão complexa da barra de 
envio Vi é especificada (barra de folga). 
Devido à topologia radial, não existe necessidade de se construir e manipular 
explicitamente qualquer matriz de impedância ou de admitância, sendo 
suficiente uma lista ordenada para executar os cálculos para a frente e para 
trás. 
Uma versão ligeiramente mais robusta surge quando se trabalha diretamente 
com fluxos de potência de ramos em lugar das correntes de ramo. Neste caso, 
a Equação (38) é substituída pela relação: 
Sik = Sisp + ysi* (Vik)2 i = n, n - 1, ..., 2 (40) 
Também durante a varredura para trás, as perdas de potência nos ramos 
podem ser levadas em conta quando calculamos os fluxos de potência dos 
ramos: 
 
Então, na operação de varredura para a frente, atualizam-se as tensões: 
 
 
 
Operação ótima e segura do sistema de transmissão 
 
Nos estágios iniciais dos estudos de engenharia elétrica, os sistemas de 
potência eram formados por geradores isolados que forneciam energia a um 
número reduzido de cargas locais. Essas configurações, relativamente fáceis 
de controlar e supervisionar, deram lugar aos sistemas de potência atuais, 
constituídos de múltiplos geradores e carga, conectados a uma rede de 
transmissão de alta tensão. Consequentemente, devido à sua topologia 
malhada e pela multiplicidade dos equipamentos, o planejamento e a operação 
dos sistemas de potência se tornaram muito complexos. 
O crescimento da complexidade dos sistemas de potência, com uma clara 
tendência ao incremento das interconexões com sistemas adjacentes, é devido, 
principalmente, à importância da diminuição dos custos da eletricidade e à 
melhoria da confiabilidade no seu fornecimento. Além disso, a progressiva 
liberalização das restrições realça a participação em diferentes atividades para 
facilitar a competição no mercado elétrico, e, com isso, adiciona maior 
complexidade na operação dos sistemas de potência. 
 
Como resultado, atualmente, é obrigatório projetar um gerenciamento 
adequado dos sistemas de energia (Energy Management Systems), onde são 
coletadas as informações disponíveis e levadas a cabo tarefas tais como a 
supervisão e o controle. Por esse motivo, é também necessário um pessoal 
qualificado em planejamentoe operação para assegurar o fornecimento da 
energia elétrica. 
Este capítulo apresenta os conceitos inerentes, as atividades e as ferramentas 
indispensáveis para a operação de sistemas de potência nesse contexto. Deve 
ser dada especial atenção a ferramentas matemáticas e computacionais para 
formulação e solução de problemas de redes de transmissão e sua otimização. 
Inicialmente, é apresentada uma classificação do estado do sistema de 
potência, como uma função do grau de segurança, para identificar as 
diferentes atividades envolvidas na operação do sistema. Na sequência, são 
apresentadas as técnicas de análise de contingências para determinar o grau de 
segurança do sistema de potência, constituindo a base de muitos estudos sobre 
planejamento ou operação em tempo real. 
Posteriormente, é apresentada uma breve introdução do problema de fluxo de 
potência ótimo. 
OS ESTADOS DE UM SISTEMA DE POTÊNCIA 
 
Focado na operação de sistemas de potência, o objetivo do controle em tempo 
real é basicamente manter as grandezas elétricas dentro de limites 
predeterminados. Essas grandezas são principalmente as tensões nas barras e 
os fluxos de potência. O processo envolve a correção ou o ajuste dos efeitos 
da variação da demanda e a consequência de eventos possíveis, mas não 
previstos. Em consequência, para o operador responsável pelo sistema, a 
segurança pode ser quantificada em termos de sua capacidade de permanecer 
em um estado factível, sem violar nenhum dos limites operacionais 
especificados. Em outras palavras, é a capacidade de manter o estado desejado 
na presença de mudanças esperadas (variação da geração e da demanda) e 
eventos não previstos e chamados contingências. 
A correta compreensão do papel desempenhado pelas diferentes atividades 
envolvidas na operação de um sistema de potência exige a classificação dos 
possíveis estados do sistema como uma função do grau de segurança. Esta 
classificação está baseada na proposta de DyLiacco. Usando-a como ponto de 
partida, os estados do sistema são definidos de acordo com a Figura 4. 
 
Figura 4. Estados de operação de um sistema de potência. Fonte: GÓMEZ-EXPÓSITO; 
CONEJO; CAÑIZARES, 2011, p. 177. (Adaptado). 
O sistema de potência está em estado normal quando se encontram atendidas a 
demanda e todas as restrições operacionais, isto é, quando os geradores, assim 
como os equipamentos restantes, trabalham dentro de limites desejáveis. 
Se não existe violação de limites, mas o critério de segurança acordado não 
está sendo cumprido, então se diz que a rede está em estado de alerta. 
Se o sistema entra em um estado de emergência, definido como o estado em 
que aparecem algumas variáveis com os limites operacionais violados devido 
a uma variação inesperada da demanda, ou devido a uma contingência, então 
devem ser tomadas ações corretivas para eliminar todas as violações dos 
limites e trazer o sistema de volta ao estado normal (controle corretivo). Em 
certas circunstâncias, é necessária a atuação de dispositivos de proteção ou a 
intervenção do operador para evitar maiores problemas (corte de carga), 
produzindo a interrupção do serviço aos consumidores. Nesse novo estado, os 
operadores devem procurar restaurar o serviço interrompido (estado 
restaurativo). Portanto, o objetivo que guia as ações do operador depende do 
estado do sistema. 
 
EXEMPLIFICANDO 
Por exemplo, se o sistema completo sofreu um blecaute, os operadores 
da rede de transmissão não devem tentar restabelecer o sistema 
interrompido. Esse objetivo afeta não somente as ações de controle 
disponíveis, mas também a fase de concepção dos sistemas de 
geração, transmissão e distribuição, para assegurar que as condições 
de operação sejam retomadas em um tempo razoável. 
O objetivo do controle corretivo é a restauração do sistema para o estado 
normal, seguro ou inseguro, com prioridade absoluta, já que, em estado de 
emergência, as considerações econômicas são secundárias. 
 
Uma vez que as variáveis se encontram novamente dentro de seus limites, o 
objetivo é basicamente econômico: minimização dos custos de produção e da 
distribuição da geração total entre as unidades de geração mais econômicas. 
 
Se a segurança do sistema é considerada prioritária, o controle preventivo 
entra em cena para levar o sistema para um estado seguro. A decisão de 
realizar ações de controle preventivo é sempre tratada como um compromisso 
entre economia e segurança, objetivos que geralmente são conflitantes. 
Portanto, a existência de prioridades deve guiar as ações de controle no 
sistema. Principalmente impostas pelo seu estado, as prioridades podem ser 
contraditórias, como acontece quando são necessárias ações de controle 
preventivo para garantir a sua segurança, enquanto ele é movido para longe do 
ponto de operação do estado ótimo, em termos dos custos de produção. 
Finalmente, deve ser enfatizada a importância dos sistemas de controle e 
supervisão (SCADA, do inglês Supervisory Control and Data Acquisition), 
junto com as ferramentas como estimadores de estado, para acompanhar a 
evolução das diferentes grandezas elétricas. 
 
 
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA: 
ANÁLISE DE CONTINGÊNCIAS 
 
A avaliação do grau de segurança de um sistema de potência é um problema 
crucial para o planejamento e a operação diária. Sem levar em conta aspectos 
dinâmicos, a segurança de um sistema de potência deve ser interpretada como 
a segurança contra uma série de contingências previamente definidas; 
portanto, o conceito de segurança e sua quantificação estão condicionados. 
Nesse sentido, um critério comum é considerar as seguintes contingências: 
• Uma contingência simples de qualquer elemento do sistema 
(gerador, linha de transmissão, transformador ou reator) conhecido 
como critério de segurança N – 1; 
• Saída simultânea de linhas de circuito duplo que partilhem torres 
em uma parte significativa do percurso da linha; 
• Em situações especiais, a saída do gerador de maior capacidade em 
uma área e a saída de algumas linhas de interconexão com o resto 
do sistema. 
Em estudos de planejamento, que são mais exigentes com relação à segurança 
que a própria operação, é considerada a saída simultânea dos elementos do 
sistema (critério N – 2). Além disso, a análise de confiabilidade do sistema, 
comumente usada em estudos de planejamento, está baseada em uma análise 
detalhada que considera saída simples ou simultânea de múltiplos circuitos, 
fazendo uso das probabilidades de ocorrência de falha e dos tempos de 
reparos. 
Consequentemente, a avaliação da segurança, mais conhecida como análise de 
contingências, basicamente consiste em múltiplos estudos que visam a 
determinar o estado da rede após a saída de um ou de múltiplos elementos. A 
análise de contingências implica, na verdade, em realizar um cálculo completo 
de fluxo de carga para cada contingência selecionada. A questão é como 
selecionar as contingências para uma análise detalhada, de forma que 
nenhuma das contingências problemáticas seja deixada sem análise; também 
deve ser levada em conta a velocidade requerida para responder, de forma 
adequada, às exigências da operação em tempo real. As técnicas correntes 
para análise de contingências sempre incluem uma seleção prévia dessas 
contingências, baseadas em modelos aproximados. Então, as contingências 
consideradas problemáticas são analisadas detalhadamente usando um 
algoritmo de fluxo de carga – geralmente um fluxo de carga desacoplado 
rápido (FCDR) devido à sua velocidade de resposta. 
dores após uma contingência escolhida. 
Essas técnicas fazem uso de fatores de distribuição, isto é, fatores lineares que 
representam a mudança unitária do fluxo de potência em cada linha de 
transmissão ou transformador após a saída de um gerador ou de um circuito. 
Para calcular de forma aproximada o fluxo de potência ativa em cada ramo, 
após uma contingência especificada,é suficiente multiplicar o correspondente 
fator de distribuição pela potência do gerador perdido ou pelo fluxo perdido 
no ramo antes da contingência. 
Alguns autores propuseram o uso de fatores de distribuição para detectar 
problemas de tensão anormal. Contudo, a característica fortemente não linear 
do problema, que relaciona tensões e potência reativa, permite questionar os 
resultados obtidos usando essa técnica. Esse fato, além de mascarar problemas 
inerentes ao uso de índices de ordenamento, justifica o desenvolvimento de 
um segundo grupo de técnicas para detectar contingências problemáticas, 
conhecidas como filtragem de contingência. Elas encontram o estado 
aproximado do sistema de potência após uma contingência usando apenas um 
ou duas iterações de um algoritmo de fluxo de carga, inicializado a partir do 
estado de pré-contingência, seguido de uma verificação dos ramos que estão 
sobrecarregados e das tensões fora de seus limites. Caso sejam verificados 
problemas, então encontra-se o estado pós-contingência exato para confirmar 
as suspeitas. 
// Análise de contingências baseada em fatores de 
distribuição 
Em redes de transmissão, é possível usar um modelo linear aproximado, que 
considera somente fluxos de potência ativa, o fluxo de carga CC. O fluxo de 
carga CC fornece uma relação linear entre a injeção de potência ativa e os 
ângulos de fase das tensões nas barras, 
 
onde xij é a reatância do ramo entre as barras i e j. 
A equação anterior pode ser escrita na forma matricial como P = B θ . Então, 
os ângulos de fase podem ser removidos para obter uma relação linear entre os 
fluxos de potência, P1, e as potências injetadas nas barras P, 
 
onde A é a matriz de incidência ramo-nó reduzida (retirando a barra de 
folga), X é matriz de reatância diagonal dos elementos dos ramos, e Sf é a 
matriz de sensibilidade entre fluxos de potência dos ramos e as potências 
injetadas. Como se está analisando um sistema linear, o princípio de 
superposição pode ser aplicado, e, consequentemente, os fluxos de potência, 
após uma mudança nas potências injetadas, podem ser calculados como: 
 
Os fatores de distribuição da injeção são definidos como o incremento do 
fluxo em um dado elemento (linha ou transformador) localizado entre as 
barras m e n, após um incremento unitário da potência injetada na barra i: 
 
Ressalta-se que os fatores de distribuição dependem somente da topologia da 
rede; consequentemente, eles podem ser calculados off-line, usando técnicas 
de solução de matrizes esparsas. 
O incremento de fluxo em um elemento de ramo, ΔPmn, após a saída de um 
gerador na barra i, pode ser encontrado da seguinte forma: 
• Se a geração perdida é assumida pela barra de folga: 
 
ΔPi = - P0Gi Isto é, a geração de potência ativa antes da contingência. 
• Se a geração perdida é compartilhada entre os geradores 
restantes para modelar a resposta do controle automático de 
geração (CAG), os fatores de partilha Υij devem ser usados: 
 
sabendo-se que ∑j≠iγij = 1 
No caso de contingências devido à saída de uma linha ou transformador, os 
fluxos pós-contingências podem ser encontrados, usando o teorema da 
compensação para sistemas lineares, como descrito na Figura 5. Dessa forma, 
as mudanças de fluxo pela saída de um ramo entre as barras i e j, 
transportando um fluxo de potência ativa P0ij antes da saída, são encontradas 
como 
 
onde a matriz S´f é encontrada modificando o modelo original para eliminar a 
saída do ramo ij. 
 
e ΔPi contém apenas P0ij na barra i, e -P0ij na barra j, 
 
 
Figura 5. Aplicando o teorema de compensação para a saída de um ramo. Fonte: GÓMEZ-
EXPÓSITO; CONEJO; CAÑIZARES, 2011, p. 184. (Adaptado). 
Consequentemente, o fator de distribuição correspondente ao elemento de 
ramo localizado entre as barras m e n é encontrado da seguinte forma: 
 
Uma alternativa ao uso do teorema da compensação para encontrar os fatores 
de distribuição está baseada no modelo de saída do ramo, usando duas 
injeções fictícias em ambas as extremidades. Esta técnica permite evitar a 
refatoração da matriz B para encontrar S´f. As injeções fictícias devem 
coincidir com o fluxo de potência após a saída (Figura 6): 
 
 
Figura 6. Modelagem de saída de um ramo usando injeções fictícias. Fonte: GÓMEZ-
EXPÓSITO; CONEJO; CAÑIZARES, 2011, p. 184. (Adaptado). 
A equação anterior produz 
 
Então, o fluxo através do ramo mn, após a saída do ramo ij, é encontrado por: 
 
E o correspondente fator de distribuição, ρijmn , por: 
 
De forma semelhante, podem ser encontrados fatores de distribuição para 
contingências múltiplas, resolvendo um sistema linear de equações para 
calcular as injeções fictícias nos extremos dos ramos sob contingência, 
levando em conta as interações entre as saídas dos ramos. 
 
Obviamente, ambos os métodos são equivalentes e fornecem fatores de 
distribuição idênticos. 
O método comumente usado para detectar contingências críticas está baseado 
na determinação de um ordenamento de contingências em ordem decrescente 
de severidade. Um índice de ordenamento é usado para quantificar o nível de 
carregamento do sistema após uma contingência dada, por exemplo, 
 
onde Pfk é o fluxo de ramo do elemento k, de um total de b linhas e 
transformadores, encontrado, aproximadamente, usando fatores de 
distribuição. Neste caso, o índice de ordenamento é apenas a taxa média de 
linhas e de transformadores. 
Na prática, foram propostos vários índices de ordenamento, incluindo fatores 
de ponderação para dar maior importância aos elementos relevantes. 
Uma vez encontrados os índices de ordenamento para todas as possíveis 
contingências, elas são classificadas em ordem decrescente. Dessa forma, a 
análise começa a priori com a contingência mais crítica, descendo ao longo da 
lista até que uma contingência não problemática seja encontrada (Figura 7). 
 
Figura 7. Análise de contingências baseada no índice de ordenamento. Fonte: GÓMEZ-
EXPÓSITO; CONEJO; CAÑIZARES, 2011, p. 186. (Adaptado). 
Os principais inconvenientes do método baseado no índice de ordenamento 
são os erros inerentes aos fatores de distribuição e a possibilidade do 
mascaramento de uma contingência problemática, como resultado da 
condensação das taxas de carregamento de todos os elementos do tipo ramo 
em apenas um valor. Isto é, a técnica de ordenamento poderia dar prioridade a 
uma contingência que resulta em sobrecargas ligeiras em vários elementos em 
vez de uma contingência crítica em termos da magnitude da sobrecarga. 
// Análise de contingências baseada em fluxo de carga 
Como discutido antes, o uso de fatores de distribuição fornece uma precisão 
razoável para análise de sobrecargas após uma contingência. Contudo, os 
fatores de distribuição não podem ser usados para análise de tensão anormal, 
que pode aparecer após uma contingência, devido a uma forte não linearidade 
do problema de tensão. 
Uma técnica comum para detectar problemas de tensão pós-contingência é 
usar o programa de fluxo de carga desacoplado rápido, devido à sua 
velocidade de resposta para encontrar, aproximadamente, o estado de pós-
contingência. As tensões complexas pré-contingência são usadas para 
inicializar a solução do fluxo de carga, e somente uma iteração completa é 
executada. 
O método é baseado na verificação de sobrecargas e de problemas de tensão 
no estado aproximado obtido após a primeira iteração do problema de fluxo de 
carga. Caso sejam detectados problemas, o algoritmo iterativo continua até a 
convergência, verificando a existência de sobrecargas ou violações de limites 
de tensão no estado exato pós-contingência. 
As técnicas de filtragem de contingência, baseadas no fluxo de carga 
desacoplado (Figura 8), são usualmente chamadas algoritmos 1P – 1Q, devido 
à solução sequencial das equações de potência ativa e reativa. 
 
Figura 8. Contingência de barreira usando o fluxo de carga desacopladorápido. Fonte: 
GÓMEZ-EXPÓSITO; CONEJO; CAÑIZARES, 2011, p. 187. (Adaptado). 
Obviamente, a principal vantagem das técnicas de barreira em relação às 
técnicas de ordenamento está no fato de que todas as contingências são 
analisadas, mesmo que aproximadamente, sem fazer nenhuma seleção prévia. 
Contudo, podem aparecer erros de identificação, já que os fluxos e tensões são 
valores aproximados, encontrados após somente uma iteração do algoritmo de 
fluxo de carga. 
Várias técnicas foram propostas com base no cálculo de apenas um 
subconjunto de variáveis par cada contingência. As técnicas de fronteira 
podem ser incorporadas não somete para ordenamento de contingências, mas 
também no algoritmo de fluxo de carga para analisar as contingências críticas. 
é a hora de sintetizar tudo o que 
aprendemos nessa unidade. 
Vamos lá?! 
SINTETIZANDO 
Estudamos a matriz impedância de barra, assim como a maneira de se obtê-la 
a partir da matriz admitância de barra. Também foi ressaltada a diferença 
entre estas duas matrizes, demonstrando que a matriz admitância é esparsa 
(formada por muitos zeros), ao contrário da outra, que é cheia. Depois 
estudamos o significado físico dos elementos da matriz impedância e de sua 
importância na análise do fluxo de potência. Foram abordados também a 
transferência de carga entre sistemas e a diferença deste estudo para as redes 
em anel e radias. Os parâmetros de linhas formadas por condutores múltiplos 
e com mútuas também foram abordados, para termos uma noção do que deve 
ser alterado na configuração do fluxo de potência quando estes componentes 
estão presentes. 
Finalmente, estudamos as matrizes de sequência e a análise de contingência, 
abordando a verificação e a violação dos limites e, assim, identificando 
quando o sistema está funcionando normalmente, em situação de alerta, 
emergência ou se restaurando de uma anormalidade. Foram abordados 
também o que fazer em cada uma destas situações. 
Com isto, estudamos de forma abrangente os sistemas elétricos de potência e 
seus componentes, como geradores, linhas de transmissão e cargas, assim 
como seu modelamento através da análise do fluxo de potência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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