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RACIOCÍNIO LÓGICO Alessandro Ferreira Alves *Todos os gráficos, tabelas e esquemas são creditados à autoria, salvo quando indicada a referência. Imagens da capa: © Lifestyle Graphic // Shutterstock; © Dragana Gerasimoski // Shutterstock Informamos que é de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem autorização. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido pela Lei n.º 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do Código Penal. Copyright Universidade Positivo 2015 Rua Prof. Pedro Viriato Parigot de Souza, 5300 – Campo Comprido Curitiba-PR – CEP 81280-330 Superintendente Reitor Pró-Reitor Acadêmico Coordenador Geral de EAD Coordenadora Editorial Autoria Supervisão Editorial Parecer Técnico Validação Institucional Layout de Capa Prof. Paulo Arns da Cunha Prof. José Pio Martins Prof. Carlos Longo Prof. Renato Dutra Profa. Manoela Pierina Tagliaferro Prof. Alessandro Ferreira Alves Bianca de Britto Nogueira Ana Paula da Cunha Corrêa da Silva Francine Fabiana Ozaki e Regiane Rosa Valdir de Oliveira FabriCO KOL Soluções em Gestão do Conhecimento Ltda EPP Análise de Qualidade, Edição de Texto, Design Instrucional, Edição de Arte, Diagramação, Imagem de Capa, Design Gráfico e Revisão Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Biblioteca da Universidade Positivo – Curitiba – PR A474 Alves, Alessandro Ferreira. Raciocínio lógico [recurso eletrônico]. / Alessandro Ferreira Alves. – Curitiba : Universidade Positivo, 2015. 136 p. : il. Sistema requerido: Adobe Acrobat Reader. Modo de acesso: <http://www.up.edu.br> Título da página da Web (acesso em 25 out. 2016). ISBN: 978-85-8486-273-3. 1. Lógica simbólica e matemática. 2. Raciocínio. I. Título. CDU 510.6 Ícones Afirmação Contexto Biografia Conceito Esclarecimento Dica Assista Curiosidade Exemplo Sumário Apresentação .................................................................................................................... 9 O autor .............................................................................................................................10 Capítulo 1 Operações numéricas e operações algébricas ................................................................. 11 1.1 Classificação dos números ......................................................................................... 11 1.1.1 Notas históricas .......................................................................................................................................................12 1.1.2 Conjunto dos Números Naturais e Conjunto dos Números Inteiros ........................................................................12 1.1.3 Conjunto dos Números Racionais e Conjunto dos Números Irracionais .................................................................14 1.1.4 Conjunto dos Números Reais ................................................................................................................................. 16 1.2 Operações numéricas ................................................................................................16 1.2.1 Adição e Subtração ................................................................................................................................................ 16 1.2.2 Multiplicação e Divisão ...........................................................................................................................................19 1.2.3 Potenciação ........................................................................................................................................................... 23 1.2.4 Radiciação .............................................................................................................................................................. 25 1.3 Operações algébricas .................................................................................................27 1.3.1 Produtos Notáveis .................................................................................................................................................. 27 1.3.2 Fatoração ............................................................................................................................................................... 28 1.3.3 MDC e MMC .......................................................................................................................................................... 30 1.4 Equações e inequações ..............................................................................................32 1.4.1 Equações do 1.º Grau ............................................................................................................................................. 32 1.4.2 Equações do 2.º Grau ............................................................................................................................................. 34 1.4.3 Inequações do 1.º Grau .......................................................................................................................................... 35 1.4.4 Inequações do 2.º Grau .......................................................................................................................................... 37 Referências ......................................................................................................................41 Capítulo 2 Noções de Raciocínio Lógico e Teoria de Conjuntos ........................................................43 2.1 Introdução à Lógica ...................................................................................................43 2.1.1 Aspectos introdutórios da Lógica Formal .............................................................................................................. 44 2.1.2 Lógica: uma ciência interpretativa e racional ........................................................................................................ 46 2.1.3 Tipos de argumentação ......................................................................................................................................... 48 2.1.4 Premissas, Termos, Falácias e Silogismo ................................................................................................................ 48 2.2 Resolução de problemas ...........................................................................................50 2.2.1 A resolução de problemas ..................................................................................................................................... 50 2.2.2 Classificando os problemas ....................................................................................................................................51 2.2.3 Etapas da resolução de um problema................................................................................................................... 53 2.3 Proposições e tabelas-verdade ..................................................................................54 2.3.1 Valores Lógicos e Proposições .............................................................................................................................. 55 2.3.2 Operações lógicas sobre proposições .................................................................................................................... 56 2.3.3 Construção de tabelas-verdade ............................................................................................................................ 58 2.3.4 Tautologias, contradições e contingências .............................................................................................................61 2.4 Conjuntos ...................................................................................................................642.4.1 Conceitos fundamentais da teoria dos conjuntos .................................................................................................. 64 2.4.2 Conjuntos Numéricos ............................................................................................................................................ 66 2.4.3 Relações e operações envolvendo conjuntos ........................................................................................................ 67 2.4.4 Diagrama de Venn e resolução de problemas ....................................................................................................... 68 Referências ......................................................................................................................72 Capítulo 3 Razão, Proporção, Regra de Três Simples e Composta ...................................................73 3.1 Razões e Proporções ..................................................................................................73 3.1.1 Razão e Proporção .................................................................................................................................................. 73 3.1.2 Grandezas Proporcionais ........................................................................................................................................76 3.1.3 Divisão Proporcional .............................................................................................................................................. 78 3.1.4 Problemas Simulados ............................................................................................................................................ 81 3.2 Regra de Sociedade ...................................................................................................82 3.2.1 Regra de Sociedade: qual o seu significado? ......................................................................................................... 82 3.2.2 Regra de Sociedade Simples ................................................................................................................................. 83 3.2.3 Regra de Sociedade Composta ............................................................................................................................. 85 3.2.4 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 86 3.3 Regra de Três Simples ...............................................................................................88 3.3.1 Regra de Três: qual o seu significado? ................................................................................................................... 88 3.3.2 Regra de Três Simples Direta ................................................................................................................................. 88 3.3.3 Regra de Três Simples Inversa ............................................................................................................................... 90 3.3.4 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 91 3.4 Regra de Três Composta ............................................................................................92 3.4.1 Aspectos introdutórios........................................................................................................................................... 93 3.4.2 Resolvendo um problema envolvendo a Regra de Três Composta....................................................................... 94 3.4.3 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 96 Referências ......................................................................................................................99 Capítulo 4 Porcentagem, juros e descontos simples ......................................................................101 4.1 Porcentagem e aplicações .......................................................................................101 4.1.1 Porcentagem: O que é? .........................................................................................................................................101 4.1.2 Taxa percentual e elementos do cálculo percentual .............................................................................................102 4.1.3 Operações de venda envolvendo porcentagens .................................................................................................. 105 4.1.4 Outras aplicações envolvendo porcentagem ....................................................................................................... 108 4.2 Juros simples ........................................................................................................... 110 4.2.1 Aspectos introdutórios dos juros simples.............................................................................................................110 4.2.2 Fórmulas características .......................................................................................................................................110 4.2.3 Taxas proporcionais e equivalentes ......................................................................................................................116 4.2.4 Equivalência Financeira ........................................................................................................................................118 4.3 Descontos no regime simples .................................................................................121 4.3.1 Conceitos introdutórios e tipos de Títulos ............................................................................................................121 4.3.2 Desconto por Fora ou Desconto Bancário ........................................................................................................... 122 4.3.3 Desconto por Dentro ou Desconto Racional ........................................................................................................ 125 4.4 Resolvendo problemas financeiros na HP 12C ........................................................127 4.4.1 Aspectos introdutórios da HP 12C ........................................................................................................................127 4.4.2 Funções Básicas ....................................................................................................................................................128 4.4.3 Problemas envolvendo os juros simples ............................................................................................................. 130 Referências ....................................................................................................................135 Neste material, veremos os principais pontos de uma das disciplinas que compõem o seu curso: Raciocínio Lógico. Este livro didático está dividido em quatro capítulos, que englobam diversos te- mas, desde as operações numéricas e algébricas até proporções, noções de raciocínio lógico, teoria dos conjuntos e juros. Ao concluir a leitura, você estará familiarizado com as principais operações mate- máticas e terá o conhecimento básico para a resolução de problemas que aparecem no seu cotidiano profissional. Além disso, terá na Lógica Matemática um mecanismo im- portante para a organização de teorias matemáticas e de raciocínio lógico, relevantes para uma formação profissional sólida e dinâmica. Logo, o entendimento dos conceitos apresentados é fundamental para o desem- penho de diversos profissionais e possibilitará diversas aplicações. Bons estudos! Apresentação À minha esposa Daiana, que esteve ao meu lado em todos os momentos, bons ou ruins, e que através de seu amor, dedicação e paciência,me deu toda a inspiração e força para concluir este trabalho. Ao meu filho Cauã, que com sua beleza, graça e inocência, deu um novo sentido à minha vida. O autor Alessandro Ferreira Alves é Doutor em Matemática Aplicada a Engenharia Elétrica pela Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação da Universidade Estadual de Campinas (FEEC-UNICAMP), mestre em Matemática Pura pelo Instituto de Matemática, Estatística e Computação da Universidade Estadual de Campinas (IMECC-UNICAMP), com Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU). É coor- denador do Curso de Licenciatura em Matemática do Centro Universitário do Sul de Minas Gerais (UNIS-MG) desde o segundo semestre de 2007. Também atua com projetos de consultoria na área de Finanças, Estatística Aplicada a Mercado e Controle Estatístico de Processos (CEP). Currículo Lattes: <lattes.cnpq.br/7860986142316472> 1 Operações numéricas e operações algébricas Você já parou para pensar como o seu dia a dia está ligado, direta ou indireta- mente, a números, suas operações e propriedades algébricas? Por exemplo, quantas vezes você foi passear com o seu cachorro essa semana ou quantos irmãos você tem? Note que estas questões envolvem quantidades numéricas e suas representações. Apresentar modelos que permitam explicar e compreender o mundo tem sido uma das grandes motivações para o desenvolvimento da Matemática e, consequente- mente, da Lógica. Eles também contribuirão para uma sua sólida formação na sua área de atuação, podendo ser aplicados em diversas situações cotidianas. E para isso, vamos iniciar nos- sos estudos a partir da classificação dos números. 1.1 Classificação dos números Antes de descrevermos os conjuntos numéricos, poderíamos indagar: em que momento da história do homem surgiu o conceito de número? Talvez tenha surgi- do com o próprio ser humano ou até mesmo antes da humanidade. Segundo Dante (2002), Charles Darwin, em The descent of man (1871), notou que alguns animais pos- suem capacidade de memorização e imaginação, bem como de distinção de números, tamanhos, ordens e formas. É claro que o conceito de número evoluiu e podemos pen- sar que irá muito além do que conhecemos nos dias atuais. A partir da segunda metade do século XX, a Matemática passou a substituir cál- culos por ideias, com o intuito de formalização ou rigor matemático – logo, a noção de conjunto coincide com a ideia de coleção. Sendo assim, chamamos de conjuntos numéricos os agrupamentos de números que apresentam certas características comuns entre si. Para a organização do estudo dos números, vamos classificá-los da seguinte forma: • ℕ: conjunto dos números naturais; • ℤ: conjunto dos números inteiros; • ℚ: conjunto dos números racionais; • �: conjunto dos números irracionais; • �: conjunto dos números reais. Mas antes de partirmos para o estudo dos números e de todo o universo ao redor deles, vejamos mais algumas informações de cunho histórico. Raciocínio Lógico 12 1.1.1 Notas históricas Se você tivesse uma cachorra com quatro filhotes e tirasse um deles, é muito pro- vável que ela conseguisse notar que a família está incompleta. Sendo assim, poderíamos indagar: como a cachorra aprendeu a contar? Obviamente, cachorros não sabem contar. Porém, eles e outros animais notam a diferença entre quantidades menores, assim como nós. Se por ventura a sua cachorra tivesse muito mais filhotes e você tirasse um, é quase certo que ela não iria notar que a ninhada está incompleta. Um dos problemas clássicos dos povos remotos era não saber quando havia di- minuição no rebanho com a perda de alguma ovelha ou o aumento de acordo com o nascimento de novas ovelhas. Então, como o pastor poderia realizar um controle da quantidade? De acordo com Paiva (2002), acredita-se que ele conseguia resolver esse problema através da separação de uma pedrinha para cada animal que passava por uma trilha. Se restavam pedrinhas, isso indicava a perda de alguma ovelha; se falta- vam, então o rebanho havia aumentado. Esse método é conhecido na literatura como correspondência um a um. Vejamos agora os dois primeiros conjuntos relacionados à contagem e inserção dos valores negativos: os naturais e os inteiros. 1.1.2 Conjunto dos Números Naturais e Conjunto dos Números Inteiros Atualmente, o sistema universalmente aceito é o decimal e o registro é o indo-ará- bico. Sendo assim, trabalhamos com os números 0, 1, 2, 3, 4 e assim sucessivamente. Tais números são denominados números naturais. Dois números naturais vizinhos são chamados de consecutivos - logo, 1 e 2 são consecutivos. O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de contar objetos. É por isso que eles também são chamados números de contagem. Note que, dados dois números consecutivos, podemos caracterizar uma relação de ordem entre eles. Por exemplo, dados 1, 2 e 3, observe que 1 é menor que 2, que, por sua vez, é menor do que 3. Podemos denotar esse fato por 1 < 2 < 3. Desta forma, falamos que o sucessor de 1 é o 2, o sucessor de 2 é o 3 e assim por diante. Já o antecessor de 3 é o 2, enquanto que o antecessor de 2 é o 1. Podemos de- notar o conjunto dos números naturais por ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. A partir do momento em que os números naturais nascem da nossa necessida- de de contar objetos, vemos que, ao operarmos com eles, surge a necessidade de Raciocínio Lógico 13 criarmos quantidades negativas. É sabido que a subtração (2 – 3) não pode ser feita no âmbito do conjunto dos números naturais. No entanto, temos situações práticas em que precisamos descrever um resultado para ela. Vejamos uma situação bem simples. Em uma noite fria de inverno no mês de maio de 2014, a temperatura em Campinas era de 5 graus centígrados e em Florianópolis era de apenas 2 graus centí- grados. Se fizesse ainda mais frio durante a madrugada e a temperatura caísse mais 3 graus, a quantos graus chegariam as duas cidades? Como em Campinas a temperatura era de 5 graus, baixando 3, graus ela chegaria a (5 – 3) graus, isto é, a 2 graus. Já em Florianópolis, a temperatura era de 2 graus e, diminuindo 3 graus, ela chegaria a (2 – 3) graus. Ou seja, como 2 é menor do que 3, pre- cisaríamos de um número negativo. Em linhas gerais, quantidades “a mais que zero”, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc., são cha- madas de números positivos, enquanto que as quantidades “a menos de zero”, como – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7, – 8, etc., são chamadas de números negativos. O número zero ocupa uma posição especial, sendo que não é considerado positivo ou negativo. Eixo real 0 1 2 3 4 5 6 7 8– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 Neste sentido, surgem então os números inteiros, que são todos os números natu- rais, como 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., e os números – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, etc., que representam quantidades inteiras a menos que zero. O conjunto formado por todos os números in- teiros pode ser denotado por ℤ e pode ser demonstrado como ℤ = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}. É importante ficar claro que todo número natural é um número inteiro. Os números naturais trabalham diretamente com a contagem e os inteiros levam em consideração os números negativos. Agora, vamos trabalhar com os números envol- vendo quantidades não inteiras, cuja representação decimal é finita ou infinita periódica ou, ainda, infinita não periódica. © F ab ri CO © S W D D // S hu tt er st oc k. (A da pt ad o) . Raciocínio Lógico 14 1.1.3 Conjunto dos Números Racionais e Conjunto dos Números Irracionais Chamamos de número racional aquele que pode ser escrito na forma pq , onde p e q são números inteiros, com q ≠ 0. Ou seja, o conjunto dos números racionais pode ser denotado por: ℚ = {x|x = p q ; p,q ∈ ℤ, q ≠ 0}. É evidente que, nessa definição, encontram-se todos os números naturais, inteiros e também as dízimas periódicas. Por dízimas periódicas entendemos os números racionais, cuja representação decimal é infinita e periódica, sendo descritos a partirda divisão entre dois números inteiros, sendo que a fração que os caracteriza é a fração geratriz. Vejamos alguns exemplos de números racionais: – 3, 2, 0,4333333.....; 1 4 = 0,25; 1 3 = 0,3333333...; 0,714444444... Sendo assim, vejamos alguns problemas associados aos números racionais e suas representações. Problema 1: Qual é a fração geratriz do racional 0,44444...? Solução: Vamos chamar o número racional em questão de x. Ou seja, x = 0,4444... Então, 10x = 4,444... , por conta do período se iniciar uma casa após a ví- gula. Sendo assim, a partir da subtração 10x – x, vem que: 10x – x = 4,444... – 0,444... Ou seja: 9x = 4 e, portanto, a fração geratriz é dada por x = 4 9 Problema 2: Quais são alguns exemplos de números racionais compreendidos en- tre os números π e π + 0,01? O número π é um número irracional que equivale à razão entre o perímetro da circunferência e o seu diâmetro. Numericamente, é igual a 3,14159265358979323… Raciocínio Lógico 15 Solução: Neste caso, precisamos lembrar que π é aproximadamente igual a 3,1416. Logo, segue que π + 0,01 é aproximadamente igual a 3,1416 + 0,01 = 3,1516. Desta forma, podemos perceber que 3,142, 3,143 ou 3,15 são exemplos de números ra- cionais compreendidos entre π e π + 0,01. Problema 3: Qual é a fração geratriz do racional 2,7051515151...? Solução: Vamos chamar o número racional em questão de x. Ou seja, x = 2,7051515151... Então, 100x = 270,5151..., por conta do aparecimento do período (51). Sendo assim, calculando 100x – x vem que: 100x – x = 270,5151... – 2,7051515151... Ou seja: 99x = 267,81 Então: x = 267,81 99 E, se multiplicarmos o numerador e denominador por 100 para deixarmos o nú- mero inteiro, vemos que x = 26781 9900 . Nesses exemplos, trabalhamos basicamente apenas com as dízimas ditas periódi- cas. Entretanto, é importante ressaltar ainda que, entre os números decimais, existem as dízimas não periódicas, que são números com representação decimal infinita e não periódica. Tais números são conhecidos como irracionais e o conjunto formado por eles é comumente denotado por �. Observemos que, se n é um número natural não quadrado perfeito, então √n é um número irracional, já que essa raiz quadrada é não inteira, sendo então uma dízima infinita não periódica. Ressaltamos que um número natural n é dito um quadrado per- feito se ele pode ser escrito como o quadrado de outro número inteiro. Desta forma, 25 é um quadrado perfeito, pois 25 = 5². São exemplos de números irracionais: √2; √3; √5; π = 3,14...; e = 2,71... (Constante de Euler) Raciocínio Lógico 16 Como vimos, os racionais estão associados às dízimas periódicas. Já os irracionais, à representação decimal infinita e não periódica. Agora, vamos introduzir o conjunto dos números reais, que engloba todos os conjuntos descritos anteriormente. 1.1.4 Conjunto dos Números Reais Um número real é todo e qualquer número racional ou irracional. Desta forma, o conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais juntamente com todos os números irracionais. Denotamos o conjunto dos números reais por . Note que todos os tipos de números discutidos até o presente momento se caracterizam como reais. Assim, temos a representação dos conjuntos numéricos a seguir: Representação dos conjuntos numéricos N Z Q R Fonte: PAIVA, 2001, p. 19. Além disso, podemos realizar uma associação de cada número real com um pon- to de uma reta orientada, sendo esta chamada de reta ou eixo real, conforme mostrada anteriormente. Vimos que os números estão diretamente relacionados aos processos de conta- gem. Neste sentido, as operações envolvendo os números surgem frequentemente no nosso cotidiano e serão o nosso objeto de estudo no próximo tópico. 1.2 Operações numéricas As operações envolvendo os números são conhecidas como operações numéricas, podendo ser mais simples ou um pouco mais complexas, no sentido de cálculos e pro- priedades envolvidos. Neste sentido, apresentaremos as principais operações numéricas e as propriedades associadas a elas, desde a adição até a radiciação. 1.2.1 Adição e Subtração Denominamos operação de adição o procedimento que nos permite somar dois nú- meros reais a e b, obtendo um número denominado soma a + b. Os números a e b são © F ab ri CO Raciocínio Lógico 17 chamados de parcelas. Salienta-se ainda que definimos a soma de dois números reais dizendo qual é o seu sinal e qual é o seu valor absoluto. Além disso, para somarmos três ou mais números reais, nós somamos os dois primeiros e, em seguida, somamos o re- sultado ao número seguinte. As propriedades da operação de adição envolvendo números reais são apresenta- das a seguir: • Comutativa ou Troca: A ordem das parcelas não altera a soma. Exemplificando, temos que: (– 7) + (10) = 3 (10) + (– 7) = 3 ⇒ (– 7) + (10) = (10) + (– 7) Em geral, dados os reais a e b, temos que: a + b = b + a. • Associativa: Na soma de três parcelas, podemos associar as duas primeiras ou as duas últimas. Exemplificando, temos que: [(– 8) + (– 4) + (6) ] = (– 12) + (6) = – 6 (– 8) + [ (– 4) + (6) ] = (– 8) + (2) = – 6 [ (– 8) + (– 4) ] + (6) = (– 8) + [(– 4) + (6)] = – 6 Em geral, dados os reais a, b e c, escrevemos: (a + b) + c = a + (b + c). • Elemento Neutro: O número zero é dito elemento neutro na adição de reais, já que para qualquer número real a, temos que: a + 0 = a e 0 + a = a • Oposto: Todo número real a possui um oposto (também chamado de simétrico ou inverso aditivo), que denotamos por (– a). A soma de um número real a com o seu oposto é zero. Ou seja, podemos escrever que: a + (– a) = (– a) + a = 0. Denominamos operação de subtração o procedimento que nos permite, a partir de dois números reais a e b, obtermos um número denominado diferença a – b. Raciocínio Lógico 18 A subtração liga as ideias de retirar, completar e comparar. Com relação à subtração envolvendo números reais, devemos lembrar que a dife- rença entre dois números, dados em certa ordem, é o número que, somado ao segundo, dá como resultado o primeiro. Por exemplo, 10 – 3 = 7, pois 7 + 3 = 10. De outra forma, a expressão (10 – 3) pode ser encarada neste momento como uma soma entre os números 10 e – 3. Escrevemos 10 – 3 = 10 + (– 3) = 7, conforme nos mostra a figura a seguir: 10 – 3 = 10 + (– 3) = 7 Sendo assim, vejamos alguns problemas envolvendo adição e subtração. Problema 4: De acordo com a numeração dos nossos anos, o ano zero é a marca do nascimento de Jesus Cristo. Quantos anos se passaram desde o ano 500 a.C. até o ano da chegada dos portugueses ao território brasileiro? Solução: Aqui, devemos realizar uma soma envolvendo as parcelas 500 e 1500. Ou seja, o número de anos é igual a 500 + 1500 = 2000 anos, sendo que a primeira par- cela denota o número de anos desde 500 a.C. até o ano 0 e a segunda a quantidade de anos entre o ano 0 e o ano de 1.500 d.C. Problema 5: Quantas unidades diminuímos ao passar de – 2 para – 8? Solução: Neste caso, devemos observar que iremos passar pela sequência de nú- meros negativos – 3, – 4, – 5, – 6, – 7 e – 8. Ou seja, diminuímos 6 unidades. Problema 6: Qual seria o resultado da expressão numérica – 4 + 15 – 14 – 8? Solução: Para caracterizarmos uma adição envolvendo essas quatro parcelas, procedemos como segue: –4 + 15 – 14 – 8 = 11 – 14 – 8 = – 3 – 8 = – 11 Geralmente, temos que a diferença entre dois números reais é igual à soma do pri- meiro com o oposto do segundo, ou seja, na subtração entre os termos a e b, temos que diferença entre os números 10 e 3 soma do número 10 com o oposto de 3 11 –3 Raciocínio Lógico 19 a – b = a + (– b). Salientamos que as propriedades da adição são válidas para a subtra- ção, pois ela nada mais é do que uma adição. Vejamos o que são multiplicação e divisão. 1.2.2 Multiplicação e Divisão Chamamos de operação de multiplicação o procedimento que nos permite, a partir de dois números reais a e b, obter umnúmero denominado produto a × b (ou a · b). Os números a e b são chamados de fatores. Ao determinarmos o produto de dois números reais, podemos notar que: • Se os fatores têm sinais iguais (ambos positivos ou negativos), então multiplica- mos os módulos e damos ao resultado o sinal positivo. Desta forma, (+ 1) · (+ 1) = + 1, pois (+) vezes (+) dá (+). Além disso, (– 1) · (– 1) = + 1, pois (–) vezes (–) dá (+). A figura a seguir nos mostra outras situações: + vezes + dá + (+ 5) · (+ 7) = + 35 porque e 5 · 7 = 35 – vezes – dá + (– 9) · (– 3) = + 27 porque e 9 · 3 = 27 • Se os fatores têm sinais contrários (um positivo e outro negativo), então mul- tiplicamos os módulos e damos ao resultado o sinal negativo. Sendo assim, (+ 1) · (– 1) = – 1, pois (+) vezes (–) dá (–), ou ainda, (+ 2) · ( – 3) = – 6, pois (–) vezes (+) resulta (–). Cabe ressaltar ainda que, para multiplicarmos três ou mais números reais, nós mul- tiplicamos os dois primeiros. Em seguida, multiplicamos o resultado ao número seguinte e assim por diante. A descrição dos sinais (que pode ser chamada de regra dos sinais) dos possíveis resultados envolvendo a multiplicação é apresentada na figura a seguir: SINAIS DA MULTIPLICAÇÃO 1.° Fator 2.° Fator Produto + + + – – + + – – – + – Raciocínio Lógico 20 As propriedades da operação de multiplicação envolvendo números reais são apresentadas a seguir: • Comutativa ou Troca: A ordem dos fatores não altera o produto. Exemplificando, temos que: (2) · (– 4) = – 8 (– 4) · (2) = – 8 ⇒ (2) · (– 4) = (– 4) · (2) Em geral, dados os reais a e b, temos que: a · b = b · a. • Associativa: Na multiplicação de três fatores, podemos associar os dois pri- meiros ou os dois últimos. Exemplificando, temos que: [(– 2) · (– 4) · (3)] = (8) · (3) = 24 (– 2) · [(– 4) · (3)] = (– 2) · (– 12) = 24 [(– 2) · (– 4)] · (3) = (– 2) · [(– 4)] · (3) Em geral, dados os reais a, b e c, escrevemos: (a · b) · c = a · (b · c). • Elemento neutro: O número 1 é dito elemento neutro na multiplicação de reais, já que, para qualquer número real a, temos que a · (1) = (1) · a = a. Sendo assim: (5) · (1) = 5; (– 4) · (1) = – 4; (1) · ( – 11) = – 11 • Distributiva da Multiplicação: Considerando os reais a, b e c, temos que: a · (b + c) = a · b + a · c e a · (b – c) = a · b – a · c Com a utilização da distributiva, pode-se escrever 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 = 6 + 10 = 16 e 3 · (4 – 2) = 3 · 4 – 3 · 2 = 12 – 6 = 6. Relacionada a situações do tipo partir, repartir, fracionar e fragmentar é que temos a divisão. Denominamos operação de divisão o procedimento que nos permite, a par- tir de dois números reais a e b, com b ≠ 0, obter um número denominado divisão a ÷ b. Graficamente, podemos representar como segue. a b r q Raciocínio Lógico 21 Onde: a: dividendo; b: divisor; q: quociente; e r: resto. Onde escrevemos: a = b · q + r, b ≠ 0 e 0 ≤ r < b Observe que o divisor deve ser sempre diferente de zero e que o resto sempre é menor do que o divisor, já que é o que sobra na divisão. Toda vez que o resto for igual a zero (r = 0), dizemos que a divisão é exata. Exemplificando, a divisão de 128 por 40 re- sulta em quociente 3 e resto 8. Sendo assim, é uma divisão não exata. 128 40 8 3 Vejamos alguns problemas ilustrativos envolvendo operações já estudadas. Problema 7: Qual é o valor da expressão 12 + 4 · (– 5) + (– 3) · (– 2)? Solução: Nos cálculos de expressões, devemos efetuar primeiro as multiplicações e divisões na ordem que aparecem e, depois, as adições e subtrações. Para a nossa ex- pressão, escrevemos: 12 + 4 · (– 5) + (– 3) · (– 2) 12 + (– 20) + (6) 12 – 20 + 6 – 8 + 6 = – 2 Problema 8: Qual é o valor do produto (+ 3) · (– 1) · (– 4) · (+ 2) · (– 10)? Solução: Neste caso, o produto será calculado a partir dos passos a seguir: (+ 3) · (– 1) · (– 4) · (+ 2) · (– 10) (– 3) · (– 8) · (– 10) (+ 24) · (– 10) = – 240 4 · (– 5) (– 3) · (– 2) (+ 3) · (– 1) (– 4) · (+ 2) (– 3) · (– 8) Raciocínio Lógico 22 Problema 9: Quando multiplicamos vários números negativos, qual sinal tem o produto? Solução: O sinal do produto ser positivo ou ser negativo vai depender exclusiva- mente do número de fatores que temos. Sendo assim, temos que, para um número par de fatores, o produto será positivo, enquanto que para uma quantidade ímpar de fato- res, o produto será negativo. Observe os exemplos: Número par de fatores: (– 2) · (– 3) · (– 1) · (– 2) = (6) · (2) = 12 Número ímpar de fatores: (– 2) · (– 3) · (– 1) · (– 2) · (– 3) = (6) · (2) · (– 3) = – 36 Problema 10: Qual é o valor da expressão – 2 + 3 · 5 – 12 ÷ 6? Solução: Primeiramente, observe temos uma multiplicação a ser feita, que é (3 · 5). Em seguida, temos uma divisão (12 ÷ 6). Por fim, desenvolvermos soma e subtração. Ou seja, escrevemos: – 2 + (3 · 5) – (12 ÷ 6) – 2 + (15) – (2) (13) – 2 = 11 Problema 11: Qual é o resultado da expressão 6 ÷ (– 3) + 2 · (– 1) – 20 ÷ (– 4)? Solução: Similarmente ao raciocínio do problema anterior, inicialmente realiza- mos a divisão (6 ÷ (– 3)), o produto (2 · (– 1)) e a divisão (20 ÷ (– 4)), para gerarmos soma e subtração. Ou seja, temos que: [6 ÷ (– 3)] + [2 · (– 1)] – [20 ÷ (– 4)] (– 2) + (– 2) – (– 5) – 4 + 5 = 1 (– 2) · (– 3) (– 1) · (– 2) (– 2) · (– 3) (– 1) · (– 2) (3) · (5) (12) ÷ (6) (– 2) + (15) (6) ÷ (– 3) (2) · (– 1) (20) ÷ (– 4) Raciocínio Lógico 23 A seguir, vamos discutir potenciação e radiciação, que surgem diretamente de multiplicação e divisão. 1.2.3 Potenciação Com certeza, você já se deparou com situações que envolvam a operação de poten- ciação no trato com números muito grandes ou muito pequenos. Biólogos, engenheiros, economistas e vários outros profissionais se utilizam de números cuja representação deci- mal é estranha ou complexa. Desta forma, citamos: • Um prêmio de loteria pagou aproximadamente R$ 240 milhões, ou seja, R$ 240.000.000, que é uma grande quantia em dinheiro. • Físicos dizem que existem 27 quintilhões de moléculas em 1 cm³ de ar atmosfé- rico, ou seja, 27.000.000.000.000.000.000 de moléculas. Neste sentido, segundo Alves (2009), dado um número real a e um número intei- ro n, n > 1, podemos chamar de potência enésima de a o produto de n fatores iguais a a, que denotamos por an. Assim, escrevemos que an = a · a · a · ... · a. O número a é cha- mado de base e o n de expoente. Exemplificando, temos que: • 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 • (– 2)³ = (– 2) · (– 2) · (– 2) = – 8 • 4² + (– 3)² = 4 · 4 + (– 3) · (– 3) = 16 + 9 = 25 Por outro lado, temos a potência 22 = 4. Observe que, ao diminuirmos de uma uni- dade do expoente, o valor da potência fica dividido por dois, que é o valor da base. Vejamos: 2¹ = 2; 20 = 1; 2–1 = 1 2 ; 2–2 = 1 4 E assim por diante. Tais resultados sugerem as definições a seguir: a¹ = a, a0 = 1 e a–n = 1 an = 1 a n , a ≠ 0. n fatores Raciocínio Lógico 24 Neste sentido, temos que: • 4¹ = 4 e (– 4)¹ = – 4 • 20 = 1 e 60 = 1 • 3–2 = 1 32 = 1 9 e 3–3 = 1 33 = 1 27 Para termos maior rapidez nos cálculos envolvendo as potências, podemos utili- zar as chamadas propriedades das potências. Desta maneira, para qualquer a e b que sejam números reais, m e n números inteiros, são válidas as propriedades a seguir: • P1) am · an = am+n. Logo, por exemplo, temos que: 24 · 22 = (2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 24 + 2 • P2) a m an = am–n, a ≠ 0. Assim, por exemplo, temos que: 24 22 = 2 · 2 · 2 · 2 2 · 2 = 2 · 2 = 24 – 2 • P3) (am)n = am·n. Desta forma, por exemplo: (24)2 = (2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 24 · 2. • P4) a b m = a m bm , b ≠ 0. Logo, por exemplo: 2 3 2 = 2 3 · 2 3 = 2 · 2 3 · 3 = 2 2 32 . • P5) (a·b)m = am · bm. Sendo assim, por exemplo: (2 · 3)² = (2 · 3) · (2 · 3) = 2 · 2 · 3 ·3 = 2² · 3². Desta forma, o valor da expressão (5 3 · 57)2 518 pode ser obtido como segue: (53 · 57)2 518 = (5 10)2 518 = 5 20 518 = 52. (53 · 57)2 518 = (5 3+7)2 518 = (5 10)2 518 = 5 10 · 510 518 = 5 10+10 518 = 5 20 518 = 520 · 5–18 = 520 –18 = 52. (4+2) fatores (4 – 2) fatores (4 · 2) fatores P1 } P3 } P2 } Raciocínio Lógico 25 Além disso, como vimos qualquer número diferente de zero elevado a zero é igual a 1. Em particular, escrevemos 30 = 1, pois: 30 = 31–1 = 31 · 3–1 = 31 · 1 31 = 3 · 1 3 = 1 Outro ponto importante relacionado à potenciação é a notação científica. De acordo com Alves (2009), todo número positivo pode ser escrito em notação científica, ou seja, na forma c × 10m, onde 1 ≤ c < 10 e m é um inteiro. Salienta-se que essa notação auxilia quando temos números muito grandes ou muito pequenos e utilizamos potências de 10. Assim, citamos também em notação científica 237.500.000 = 2,375 × 108; 0,000000349 = 3,49 × 10 –7; 23 = 2,3 × 10¹. No dia 22 de março de cada ano, comemora-se o dia internacional da água. Sabe-se que 18 gramas de água contém 6,02 × 1023 moléculas. Logo, qual o número de molécu- las existentes em 360 gramas de água? Observe que 360 gramas = 20 × 18 gramas e 18 gramas de água contém 6,02 × 1023 moléculas. Portanto, 360 gramas = 20 × 6,02 · 1023 = 1,204 × 1025 moléculas. Agora, será de nosso interesse trabalhar com operações envolvendo radicais. 1.2.4 Radiciação A radiciação trabalha com operações relacionadas a radicais. Para fazer uma in- trodução dela, vamos considerar um problema envolvendo um quadrado com 5 cm² de área. Logo, indagamos: qual a medida do lado deste quadrado? x x xx Segundo Alves (2009), para resolvermos esse problema, suponhamos que a me- dida do lado do quadrado seja x (x > 0), conforme mostrado na figura. A área deste quadrado é dada por x · x = x², então escrevemos que x² = 5. Nessas condições, o pro- blema será resolvido somente quando determinarmos o valor positivo de x que torne verdadeira a sentença x² = 5. O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será indicado por √5, que deve ser lido “raiz quadrada de cinco”. Assim, x = √5 e, portanto, o lado do quadrado mede √5 cm. © F ab ri CO 2 2 2 Raciocínio Lógico 26 Vamos generalizar esse raciocínio? Para isso, suponhamos a sentença xn = a, onde n é um número natural não nulo e a ≥ 0. O valor não negativo que satisfaz a igualdade será indicado por √a e deve ser lido como “raiz enésima de a”. Adotaremos a seguinte nomenclatura para a nova simbologia apresentada: √a é o radical; n é o índice do radical; e a é o radicando. É interessante comentarmos que, por conta da raiz quadrada de um número não negativo a, isto é, √a, ser utilizada frequentemente, é comum denotarmos simples- mente por √a , omitindo-se por conveniência o índice 2. Generalizando, definimos de modo formal a raiz enésima como segue. Sendo a ≥ 0 e n um natural maior do que zero, temos: √a = b ⇔ bn= a e b ≥ 0 Onde b é um número real chamado de raiz enésima de a. A partir da definição ante- rior, podemos escrever que √9 = 3, pois 3² = 9 e 3 ≥ 0; √64 = 4. Além disso, 4³ = 64 e 4 ≥ 0. Similarmente à potenciação, temos as propriedades operatórias dos radicais, conforme descrevemos a seguir. • √a · √b = √a · b. Logo, por exemplo, temos que: √2 · √5 = √2 · 5 = √10 • √a √b n n = a b = , b ≠ 0. Assim, por exemplo, temos que: √8 √4 5 5 = 8 4 = √2 • √amp = √am. Desta forma, por exemplo: √59 = √59+9 = √5 • (√a)m = √am. Logo, por exemplo: (√2)12 = √212 = √212+3 = 24 • √a = √a. Sendo assim, por exemplo: √2 = √2 = √2 n n 2 n 3 n n n 3 3 3 3 n 5 5 n·p n 27 27÷9 3 n n 3 3 3÷3 P3 n m n·m 43 3·4 12 Raciocínio Lógico 27 Observemos que existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x² = 25, que são 5 e – 5. Neste momento, a partir da caracterização das definições sobre as opera- ções numéricas e propriedades, vamos conhecer as principais operações algébricas. 1.3 Operações algébricas Para estabelecermos conceitos, definições e resultados, de acordo com Alves (2009), usamos sequências de caracteres que podem ser letras, algarismos, sinais de operações, parênteses, colchetes ou chaves, dispostos em uma determinada ordem. Sequências desse tipo, em que pelo menos um dos caracteres é uma letra, são di- tas expressões algébricas ou literais. A letra caracteriza a variável das expressões, pois pode assumir qualquer valor numérico. Sendo assim, são exemplos de expressões al- gébricas: 2x – 3; x² + 2x – 1; e 3x³ + 4x² + 3x – 2. Associados às expressões algébricas, temos os produtos notáveis e as técnicas de fatoração, o Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC), que serão nossos objetos de estudo neste instante. 1.3.1 Produtos Notáveis Em várias situações que envolvam cálculos numéricos e algébricos, alguns produ- tos podem ser bastante úteis. Eles são conhecidos como produtos notáveis. A seguir, listamos alguns produtos notáveis que utilizamos comumente em cálculos diversos, de acordo em Alves (2009): 1. Produto de Uma Soma ou Diferença: (u + v) (u – v) = u2 – v2 Desta maneira, por exemplo, escrevemos: 9 – 4 = 32 – 22 = (3 + 2) · (3 – 2) = 5 · 1 = 5. 2. Quadrado de Uma Soma de Dois Termos: (u + v)2 = u2 + 2 · u · v + v2 Desta forma, por exemplo, temos que: (2 + 3)2 = 22 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25 = 52. 3. Quadrado de Uma Diferença de Dois Termos: (u – v)2 = u2 – 2 ⋅ u ⋅ v + v2 Desta forma, por exemplo, segue que: (4 – 2)2 = 42 – 2 ⋅ 4 ⋅ 2 + 22 = 16 – 16 + 4 = 4 = 22. Raciocínio Lógico 28 4. Cubo de Uma Soma de Dois Termos: (u + v)3 = u3 + 3 ⋅ u2 ⋅ v + 3 ⋅ u ⋅ v2 + v3 Desta forma, por exemplo, podemos escrever: (2 + 3)3 = 23 + 3 ⋅ 22 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 ⋅ 32 + 33 = 8 + 36 + 54 + 27 = 125 = 53. 5. Cubo de Uma Diferença de Dois Termos: (u – v)3 = u3 – 3 ⋅ u2 ⋅ v + 3 ⋅ u ⋅ v2 – v3 Logo, por exemplo, vem que: (2 – 1)3 = 23 – 3 ⋅ 22 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ 12 – 13 = 8 – 12 + 6 – 1 = 1. Os produtos notáveis são ferramentas que nos propiciam trabalhar com a fatora- ção de expressões, no sentido de simplificação de cálculos. 1.3.2 Fatoração De acordo com Alves (2009), o uso de expressões algébricas traz várias conve- niências, entre elas a precisão e a concisão de linguagem. Por exemplo, note que para escrevermos o dobro de um número, podemos usar (2 ⋅ x). Similarmente, para o qua- drado da soma de dois números, podemos optar por (a + b)2 e assim por diante. Em uma expressão algébrica, quando cada letra for substituída por um número e as eventuais operações puderem ser feitas, obteremos um resultado chamado de valor numérico da expressão algébrica. Sendo assim, temos que o valor numérico de (a² – b² + a · b) para a = 1 e b = 2 é obtido se substituirmos a por 1 e b por 2. Isso significa que: (a² – b² + a · b) 1² – 2² + (1 · 2) 1 – 4 + 2 = – 1 Fatorar significa decompor ou simplificar. Nesse sentido, aparecem algumas iden- tidades que podem ser vistas em expressões que propiciam a fatoração. São elas: • O fator comum: Pela propriedade distributiva, temos que: a · (b ± c) = a · b ± a · c Note que, no membro da esquerda da igualdade anterior, há uma soma (adição ou subtração) de produto e que, nele, a é um fator comum. Desta maneira, temos que a fatoração da expressão algébrica 8x² – 4x é dada por: Raciocínio Lógico 29 8x² – 4x (4x) · (2x) – (4x) · 1 4x · (2x – 1) • Diferença de dois quadrados: Como vimos, trata-se de um dos produtos no- táveis. Ou seja, temos que a² – b² = (a + b) · (a – b). Sendo assim, a fatoração da expressão algébrica x² – 25 é dada por: x² – 25 = x² – 5² = (x + 5) · (x – 5) • Trinômio Quadrado Perfeito: Como vimos, trata-se também de um caso dos produtos notáveis. Ou seja, (a + b)² = a² + 2 · a · b + b² e (a – b)² = a² – 2 · a · b + b². Desta forma, o desenvolvimento da expressão x – 1 x 2 é dado por: x – 1 x 2 = x² – (2) · (x) · 1 x + 1 x 2 = x² – 2 + 1 x2 . • Soma e Diferença de Cubos: Neste caso, escrevermos que a³ + b³ = (a + b) ⋅ (a² – a ⋅ b + b²) e (a³ – b³) = (a – b) ⋅ (a² + a ⋅ b + b²). Problema 12: Vamos fatorar a expressão algébrica x³ + 3x² + 3x + 1? Solução: Neste caso, temos que a expressão dada pode ser visualizada como segue: x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3x² · (1) + 3x · (1²) + 1³ De outra forma, observemos a partir da expressão característica do cubo envol- vendo a soma de dois termos que a expressão do problema resulta em (x + 1)³. Ou seja: x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3x² · (1) + 3x · (1²) + 1³ = (x + 1)³ Fatorar significa simplificar de alguma forma as expressões envolvidas em cálcu- los algébricos. A partir desta ideia, introduziremos os conceitos de MDC e MMC, que estão intimamente ligados aos divisores e múltiplos de números. Raciocínio Lógico 30 1.3.3 MDC e MMC Para ilustrarmos a aplicabilidade desses dois conceitos, vejamos dois problemas envolvendo cada um deles. Problema 13: Suponhamos que Alessandro é um pequeno produtor do sul de Minas Gerais, região que se destaca pela produção de café. Ele possui um terreno com dimensões de 36 m de comprimento e 21 m de largura. Alessandro deseja cercá-lo com pés de cafés plantados a iguais distâncias um do outro, e quer manter a maior distância possível em metros entre eles. Assim, qual será a distância entre os pés de café e quan- tos pés Alessandro deverá plantar? Solução: Observe que, para solucionar esse problema, Alessandro necessita veri- ficar qual é o maior número que divide em partes iguais as dimensões 36 e 21. Utilizando os princípios básicos da divisão, podemos verificar que, dentre os divi- sores de 36, temos {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, enquanto que o conjunto dos divisores de 21 é {1, 3, 7, 21}. É interessante notarmos que o maior número que divide tanto 36 e 21, simulta- neamente, é o 3. Este é o chamado máximo divisor comum (MDC) entre 21 e 36. Logo, Alessandro deve plantar os pés de café a cada 3 m um do outro. Se quisermos ainda saber quantos pés de café serão necessários, basta que fa- çamos a divisão de 36 por 3 e 21 por 3 e teremos 12 pés em um lado e 7 pés em outro. Como o terreno é retangular e, portanto, tem dois lados maiores e dois lados menores, serão necessários 38 pés de cafés = (12 + 12 + 7 + 7). Sendo assim, falamos que o MDC entre 36 e 21 é 3 e escrevemos que MDC (36, 21) = 3. Em geral, falamos que o máximo divisor comum entre dois ou mais núme- ros é o maior elemento comum aos conjuntos de divisores dos números envolvidos. Dois números são ditos primos entre si quando o MDC entre eles for igual a 1. Logo, 2 e 3 são primos entre si. Problema 14: Agora, consideremos que uma pequena empresa do interior pau- lista produz cordões para fechamento de invólucros ou embalagens nos comprimentos de 35 cm, 50 cm e 70 cm. No início do ciclo produtivo dos cordões, são fabricados ro- los inteiros de cordões de diversas colorações e, para não gerar prejuízo, a companhia deve produzir tais rolos em um comprimento de forma possam ser cortados de modo integral em pedaços de tamanho pré-definidos. Raciocínio Lógico 31 Além disso, como procedimento da empresa, cada rolo deve ser cortado em pe- daços da mesma medida. Note que, para não ocorrer desperdícios no ciclo produtivo, cada rolo fabricado deve ter tamanho como múltiplo dos comprimentos 35, 50 e 70 cm, ou seja, deve ser um número que possa ser dividido por 35, 50 e 70. Sendo assim, como a companhia poderia trabalhar de forma a não gerar desperdício nos rolos fabricados, produzindo rolos de menor comprimento, a fim de atender as suas especificidades? Solução: Para tal abordagem, deve ser levado em consideração o menor múltiplo comum entre os valores 35, 50 e 70. Neste caso, o que deve ser feito é a verificação do conjunto dos múltiplos dos comprimentos 35, 50 e 70 cm, como segue: Múltiplos de 35: {0, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, ...} Múltiplos de 50: {0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, ...} Múltiplos de 70: {0, 70, 140, 210, 280, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 770, ...} Por inspeção, podemos averiguar que o menor número que é múltiplo simulta- neamente de 35, 50 e 70 é 350. Portanto, 350 cm ou 3,50 m é o menor comprimento que o rolo deve ter para que não gere prejuízo. Assim, dizemos que o número 350 é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos nú- meros 35, 50 e 70, de onde podemos concluir que o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor número não nulo que é divisível por todos os números considerados. Com relação à determinação do MMC entre dois ou mais números, podemos utili- zar decomposição simultânea. Neste processo, efetuamos a decomposição simultânea de todos os números, conforme nos mostra a figura a seguir, em que calculamos o MMC (15, 24, 60): 15, 24, 60 2 → 15 = 3 × 5 24 = 2 × 3 × 4 = 2 × 2 × 2 × 3 60 = 2 × 3 × 10 = 2 × 2 × 3 × 5 15, 12, 30 2 15, 6, 15 2 15, 3, 15 3 5, 1, 5 5 1, 1, 1 Desta forma, o produto dos fatores do lado direito da barra vertical que obtemos na decomposição é exatamente o MMC entre os números dados. Portanto, temos que MMC (15, 24, 60) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120. A partir do momento em que descrevemos as principais operações algébricas, suas propriedades e conceitos relacionados, será de nosso interesse a resolução de equações e inequações de primeiro e segundo graus. Raciocínio Lógico 32 1.4 Equações e inequações As equações e inequações aparecem constantemente em operações e problemas do nosso cotidiano, em problemas de raciocínio lógico e em relação entre grandezas. De acordo com Alves (2009), uma equação é uma igualdade envolvendo expres- sões, enquanto uma inequação seria uma desigualdade envolvendo expressões. Cabe ressaltar ainda que ambas são classificadas em primeiro e segundo graus, conforme descreveremos a seguir. Sendo assim, citamos: • Equação do 1.° grau: 3x + 2 = 5; inequação do 1.° grau: x + 7 < 3 • Equação do 2.° grau: x² – 3x + 1 = 0; inequação do 2.° grau: x² + 1 > 0 1.4.1 Equações do 1.º Grau Vejamos três situações-problema, a fim de introduzirmos a aplicabilidade da equação do primeiro grau. Problema 15: Uma empresa na área alimentícia fabrica um produto cuja venda gera R$ 2,50 de lucro por produto. Quantos produtos ela deverá vender para ter um lu- cro de R$ 6.250,00? Solução: Neste caso, denotando o número de produtos por x, podemos escrever que: 2,5 · x = 6250 x = 6250 2,5 (note que o valor 2,5 passa como o denominador por conta da divisão, que é a operação inversa da multiplicação) Portanto: x = 2500 Observe que, para resolver a equação, é preciso transferir para o outro lado o va- lor 2,5. Como ele está multiplicando à esquerda da igualdade, ele deve passar para o outro lado na operação inversa, ou seja, dividindo. Logo, a empresa deverá vender 2.500 unidades deste produto. Problema 16: Para comprar um DVD que custa R$ 66,00, Cauã precisa do dobro da quantia que possui mais R$ 18,00. Qual a quantia que Cauã possui? Raciocínio Lógico 33 Solução: Neste caso, chamando a quantia de dinheiro de Cauã por x, temos que: 2 · x + 18 = 66 2x = 66 – 18 2x = 48 x = 48 2 = 24 Como na situação anterior, precisamos transferir um termo para o outro lado da igualdade. Nesse caso, é o termo 18 que está sendo somado à incógnita. Portanto, para passar ao outro lado, ele deverá fazer a operação inversa, ou seja, como está so- mando, deverá passar com o sinal da operação contrária (– 18). Então, Cauã possui exatamente a quantia de R$ 24,00. Problema 17: O quádruplo do número de residências da minha rua é igual à meta- de do número de casas da minha rua e mais 17. Qual o número de casas da minha rua? Solução: Neste caso, chamando o número de casas da minha rua por x, vemos que: 4x = x 2 + 17 2 · 4x = 2 · x 2 + 2 · 17 8x = x + 34 8x – x = 34 7x = 34 x = 34 7 (∉ ℕ) Portanto, o problemanão possui solução, já que o número de casas é um número natural. Observe que, para “eliminar” a divisão na segunda linha da equação, todos os termos foram multiplicados por 2, que representa o inverso multiplicativo do número ½ que aparece como coeficiente da variável x no segundo membro. Como podemos perceber a partir desses exemplos, de acordo com Paiva (2002) uma equação do 1.° grau é uma expressão que pode sempre ser escrita na forma a · x + b, onde a e b são números reais, com a ≠ 0 e x a variável (ou incógnita) da equação. Além disso, Raciocínio Lógico 34 resolver uma equação do 1.º grau significa encontrar o valor de x que, quando substituí- do na equação, a deixa com uma identidade (uma verdade). Esse número x é dito raiz ou o zero. Logo, o conjunto solução S tem como único elemento esta raiz. A partir da equação do 1.º grau, que é um modelo matemático aplicado comu- mente no nosso cotidiano, vamos generalizar um pouco mais, com a introdução das equações do 2.º grau. 1.4.2 Equações do 2.º Grau Imagine que você está sentado em um ônibus a caminho do cinema, jogando uma caneta para cima e a pegando de volta. Para você, a caneta só vai para cima e para baixo. Mas um indivíduo do lado de fora, a caneta faz um movimento de parábola, com concavidade para baixo, que é uma represen- tação associada às equações do 2.º grau. A equação do 2.º grau também aparece em problemas de lançamento oblíquo e movimento uniformemente variado na Engenharia, bem como no estudo do processo de fotos- síntese das plantas em Biologia. Vejamos um problema específico envolvendo a resolução de uma equação do 2.º grau. Problema 18: Leandro acaba de comprar uma casa e deseja construir uma piscina retangular que ocupe uma área de 98m² do terreno, cujo comprimento é igual ao do- bro da largura. Quais as dimensões dessa piscina, ignorando a sua profundidade? Solução: Para a resolução dessa situação, definimos como incógnita x a dimensão do lado menor da piscina de Leandro, ou seja, a sua largura. Logo, seu comprimento será 2x. Assim, sua área será x · 2x = 2x². O valor de x é obtido a partir do fato de que a área deve ser igual a 98m². Logo, escrevemos que 2 · x² = 98 ou 2x² − 98 = 0, que é uma equação do 2.° grau. Assim, po- demos dizer que: 2x2 = 98 x2 = 98 2 x2 = 49 x = √49 © M at tz 90 // S hu tt er st oc k Raciocínio Lógico 35 Portanto, x = ± 7 e, por conveniência, x = 7, pois a largura não pode ser de valor negativo. Desta maneira, conclui-se que a piscina de Leandro deve ter as dimensões iguais a 7 m de largura (x) e 14 m de comprimento (2x). Segundo Dante (2002), as raízes da equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0, em que a ≠ 0, podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara, onde x = – b ± √∆ 2a , com ∆ = b² – 4ac. O símbolo ∆ é chamado de discriminante da equação. Além disso, nas equações quadráticas os números a, b e c são os coeficientes. Desta forma, exemplificando, quais seriam as raízes da equação quadrática x2 + 3x + 2 = 0? Aqui, temos que a = 1, b = 3 e c = 2, desta forma, ∆ = b2 – 4 · a · c ∆ = 32 – 4 · (1) · (2) ∆ = 9 – 8 ∆ = 1 Logo, as raízes são: x = – b ± √∆ 2 · a x = – 3 ± √1 2 · (1) x = – 3 ± 1 2 x’ = – 3 + 1 2 = – 2 2 = – 1 x’’ = – 3 – 1 2 = – 4 2 = – 2 Vimos que uma equação é a igualdade de duas expressões. Na sequência, vamos ver as inequações. 1.4.3 Inequações do 1.º Grau Inequações são sinônimos de desigualdade, sendo utilizadas, por exemplo, para a descrição da igualdade de valores em situações particulares, como na caracterização do ponto equilíbrio, quando se deseja que as vendas sejam maiores do que os gastos. Elas envolvem diretamente expressões matemáticas. Vejamos um exemplo prático. Problema 19: No Brasil, as empresas de táxi definem um valor pré-fixado (ban- deirada) e outro que depende da distância percorrida (quilômetro andado). Suponha Raciocínio Lógico 36 que a bandeirada custe R$ 3,50 e cada quilômetro percorrido custe R$ 0,90. Se você tivesse entre R$ 20,00 e R$ 30,00, qual a distância poderia percorrer em uma corrida com essas condições? Solução: Vamos chamar de x a distância feita pelo táxi em quilômetros. Se você paga R$ 3,50 para entrar no carro e mais R$ 0,90 por quilômetro percorrido, o custo da corrida pode ser associado à equação 3,50 + 0,9 ⋅ x. Observe que, como temos um limi- te mínimo e máximo estabelecido, de acordo com a quantia que você possui no bolso, temos as desigualdades: 3,50 + 0,9 ⋅ x ≥ 20 e 3,50 + 0,9 ⋅ x ≤ 30 Ou seja, 20 ≤ 3,50 + 0,9 ⋅ x ≤ 30. Para resolvermos essa inequação do 1.° grau, procedemos como segue: 20 ≤ 3,50 + 0,9 ⋅ x ≤ 30. 20 − 3,50 ≤ 0,9 · x + 3,50 − 3,50 ≤ 30 − 3,50 16,50 ≤ 0,9 ⋅ x ≤ 26,50 Observe que, para resolver a inequação, precisamos deduzir o valor de 3,50 em cada uma das partes da inequação, para reduzirmos um termo. O mesmo deverá ser fei- to em relação ao termo 0,9, só que nesse caso, a operação inversa é a divisão. Então: 16,50 0,90 ≤ 0,9 ⋅ x 0,90 ≤ 26,50 0,90 16,50 0,90 ≤ x ≤ 26,50 0,90 ou 18,4 ≤ x ≤ 29,45 Portanto, com essa quantia no bolso e com a corrida de táxi com essas particula- ridades, você poderia percorrer uma distância que vai de 18,4 a 29,45 km. De acordo com Alves (2009), diferentemente do que ocorre com as equações, quando buscamos equacionar uma inequação, não estamos buscando um valor que a Raciocínio Lógico 37 satisfaça, mas um conjunto de valores ou intervalo. Por isso, tal conjunto de valores é chamado conjunto solução. Então, temos que: • A caracterização do conjunto solução da inequação 3x + 6 > 0 passa pelo isolamen- to de x, de forma similar ao que fizemos com as equações do 1.º grau. Para tal: 3x + 6 > 0 3x > – 6 x > –6 3 x > – 2 Isso nos diz que, se tomarmos qualquer valor x real maior que – 2 e substituirmos o x, encontraremos um resultado maior que 0. O conjunto solução aqui é S = {x ∈ � x > – 2}. • Note que, toda vez que o coeficiente de x for negativo, devemos multiplicar a inequação por (– 1), invertendo o sinal de desigualdade. Por exemplo, se tiver- mos, – 2x < – 8, então (– 1) · (– 2x) > (– 1) · (– 8). Ou seja, 2x > 8. Então, x > 4 e o conjunto solução é dado por S = {x ∈ � / x > 4}. Vamos entender agora o contexto das inequações, mas considerando as inequa- ções do 2.° grau. 1.4.4 Inequações do 2.º Grau Ao resolvermos inequações do 2.° grau, estamos também buscando um conjunto de soluções que satisfaça à inequação proposta. Sendo assim, uma inequação do se- gundo grau será uma desigualdade do tipo: a · x² + bx + c > 0; a · x² + bx + c ≥ 0; a · x² + bx + c < 0; a · x² + bx + c ≤ 0 A resolução de uma inequação do 2.° grau pode ser resumida nos seguintes passos: 1. Igualamos a inequação a zero, transformando-a em uma equação. 2. Calculamos o discriminante da equação (delta). 3. No caso de delta maior ou igual a zero, calcular as raízes x’ e x’’. Raciocínio Lógico 38 4. Fazer a análise de sinais, analogamente aos exemplos a seguir. Vejamos alguns casos que podemos ter na resolução de inequações do 2.º grau. Delta > 0 e a > 0: Se tivermos x² – 3x + 2 > 0, fazemos como se x² – 3x + 2 = 0. Então, ∆ = (– 3)² – 4 · (1) · (2) ∆ = 9 – 8 ∆ = 1 Suas raízes são: x = – b ± √∆ 2 · a = –(– 3) ± √1 2 · (1) x = 3 ± 1 2 x’ = 1 e x’’ = 2 Observe que, se pegarmos um valor entre as raízes (1 ≤ x ≤ 2), por exemplo, x = 3 2 , temos que: x² – 3x + 2 3 2 2 – 3 · 3 2 + 2 9 4 – 9 2 + 2 9 – 18 4 + 2 –9 + 8 4 = –1 4 (sinal contrário de a) Enquanto que para qualquer valor menor do que 1 ou maior do que 2 das raízes x’ = 2 e x’’ = 1, o resultado será positivo (mesmo sinal de a). Portanto, o conjunto solu- ção da inequação é S = {x ∈ � / x < 1 ou x > 2}. Generalizando, note que entre as raízes o sinal é contrário de a (ca), o que signifi- ca que qualquer valor entre x’ e x’’ nos dará um resultado negativo, enquanto que à e Raciocínio Lógico 39 esquerda e à direita das raízesx’ e x’’, o resultado será o mesmo sinal de a (ma), por- tanto, positivo. Temos a seguinte representação: x’ x’’ ma + ca – ma + Delta = 0: Se tivermos x² – 2x + 1 > 0, tomamos x² – 2x + 1 = 0, então: ∆ = (– 2)² – 4 · (1) · (1) ∆ = 4 – 4 ∆ = 0 Suas raízes são: x = –(– 2) ± √0 2 · (1) x = 2 2 x’ = x’’ = 1 Logo, seu conjunto solução é S = {x ∈ � / x < 1}. Salientamos que, como as duas raízes são iguais, não existe o intervalo entre as raízes, fazendo com que o sinal seja sempre o mesmo de a. Isto fará com que a inequação só tenha solução se o sinal da de- sigualdade for igual ao sinal de a. Em geral, temos conforme representação a seguir: x’ = x’’ ma ca Delta < 0: Se tivermos x² + 1 > 0, fazemos x² + 1 = 0, onde: ∆ = (0)² – 4 · (1) · (1) ∆ = – 4 ∆ < 0 © F ab ri CO © F ab ri C O . Raciocínio Lógico 40 Ou seja, não temos raízes reais. Logo, isso fará com que a inequação só tenha so- lução se o sinal da desigualdade for igual ao sinal de a. Para o nosso exemplo, S = {�}. Pode-se observar então que a evolução do conceito de número e dos conjuntos numéricos acompanhou a necessidade da resolução de problemas diversos do nos- so cotidiano. Por isso, a necessidade de apresentar modelos que permitam explicar e compreender o mundo através dos números, de operações, das equações e inequações é de grande valia em várias áreas do conhecimento. Além disso, como vimos no capítulo, a noção de número foi criada para contar e mensurar. Já as equações e inequações servem para a modelagem de situações-pro- blema. Por fim, as desigualdades foram introduzidas para a comparação de grandezas e quantidades. Raciocínio Lógico 41 Referências ALVES, A. F. Guia de Estudos da Disciplina de Matemática. Varginha: UNIS, 2009. DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. Volume 1. São Paulo: Ática, 2002. PAIVA, M. R. Matemática. Vol. 1. São Paulo: Moderna, 2002. 2 Noções de Raciocínio Lógico e Teoria de Conjuntos Cotidianamente, na nossa fala, alguns deslizes podem ocorrer, pois pode aconte- cer de expressarmos nossos pensamentos com termos imprecisos e até mesmo com duplo sentido. Logo, é importante uma linguagem estruturada envolvendo as formas de pensar e estruturar formalmente os problemas matemáticos e lógicos, bem como como uma linguagem universal das simbologias utilizadas. Sendo assim, é fundamental estudarmos a Lógica, suas características específicas e teorias relacionadas, como resolução de problemas, raciocínio lógico e teoria de conjuntos, além da sua fundamentação em termos matemáticos. Um outro ponto a ser comentado é que, quando falamos em Lógica, vem à tona o termo raciocínio lógico, que ganha cada vez mais espaço nas organizações – sejam elas governamentais ou privadas –, para os mais diversos níveis de instruções em processos de seleção de colaboradores. Neste sentido, este capítulo tem como objetivo apresentar conceitos, regras e resultados associados à Lógica e à Teoria de Conjuntos, bem como demonstrar uma metodologia estruturada para a resolução de problemas diversos. Sem dúvidas, estes aspectos teóricos contribuirão para a formação dinâmica que o mercado atual exige dos profissionais. 2.1 Introdução à Lógica Em diversos momentos do seu cotidiano, você já deve ter se deparado com situa- ções que exigiram questionamentos do tipo: qual a lógica disso? Essas ideias não são contraditórias? Isso é verdade? Sendo assim, a primeira resposta que devemos buscar é qual o conceito de Lógica. Trata-se de uma ciência, uma área do conhecimento ou um termo qualquer do nosso linguajar? A Matemática, a Lógica e a Filosofia estão intimamente ligadas, já que o pensa- mento se manifesta através do conhecimen- to, que visa a verdade dos fatos. Segundo Bispo (2011, p.14), “o principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Organon”. Ele dividiu a lógica em formal e material, sendo a que a primeira es- tabelece as formas corretas das operações do pensar e a segunda se preocupa com as ope- rações do pensamento. © m eh m et d in le r / / S hu tt er st oc k Raciocínio Lógico 44 Além disso, de acordo com Mattos (2010), a Lógica é uma ciência que tem os processos matemáticos como elementos importantes para a busca da validade de argumentos. Falamos então que a Lógica leva em consideração a teoria envolvendo os argu- mentos. Ou seja, ela descreve as conclusões obtidas a partir de informações e regras definidas a priori. Agora, imagine a Matemática como um edifício ativamente em construção, sen- do que os conceitos fariam o papel dos tijolos, blocos e barras de ferro. Já as proposi- ções seriam vistas como os meios de ligação. Na Matemática, temos que qualquer teoria é estabelecida usando-se conceitos primitivos, conceitos definidos, postulados ou axio- mas e teoremas. Grosso modo, os axiomas são conceitos primitivos que aceitamos como conhecidos sem uma definição formal, enquanto os postulados (ou axiomas) são pro- posições aceitas como verdadeiras sem demonstração e os teoremas são os resultados aceitos como válidos perante demonstração. Sendo assim, citamos: • Na geometria elementar os conceitos de ponto, reta e plano são conceitos pri- mitivos, pois já são conceitos definidos. • Na teoria de conjuntos, temos como exemplo de postulado a afirmação “Existe um conjunto vazio”, pois é uma afirmação que aceitamos como verda- deira, sem necessitar de qualquer demonstração. • O Teorema de Pitágoras da geometria é um exemplo de teorema, pois já foi proposto e demonstrado pelo matemático grego que lhe empresta o nome. Em qualquer teoria matemática, a partir de uma quantidade mínima de conceitos primitivos e postulados, constrói-se os demais conceitos e resultados. Além disso, segundo Alves (2009), um sistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visa representar o raciocínio válido. Regras de inferência são técnicas que podemos usar para gerar conclusões via hipóteses. Diferentes sistemas de Lógica Formal foram construídos ao longo do tempo, quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas em outras áreas do conhecimento. 2.1.1 Aspectos introdutórios da Lógica Formal Certamente, você já viu em panfletos, outdoors, anúncios e classificados no jornal, mensagens com sentido ou sem sentido para nosso entendimento. Logo, a nossa lingua- gem cotidiana não é apropriada para o estudo das relações lógicas entre suas sentenças. É por isso que utilizamos uma linguagem formal. De acordo com Alves (2011), Linguagens Raciocínio Lógico 45 Formais são objetos matemáticos cujas regras de formação são precisamente definidas e às quais podemos atribuir um único sentido. Falamos em lógica proposicional como sendo um sistema formal no qual temos as proposições sendo criadas através de suas combinações, conectivos e por um conjunto de regras. Ou seja, a Lógica Formal é um alicerce fundamental para a descrição da Lógica Proposicional. Logo, uma proposição ou sentença é todo o conjunto de palavras ou sím- bolos que expressa um pensamento completo, sendo uma afirmação à qual podemos atribuir um único valor verdade, Verdadeiro (V) ou Falso (F). Note que as proposições re- passam nossos pensamentos. Sendo assim, temos como exemplos de proposições: A lógica matemática estabelece conceitos e métodos que permitem a construção de proposi- ções matemáticas que podem ser unicamente caracterizadas como verdadeiras ou falsas. • A Lua é um satélite da Terra. • Recife é a capital de Pernambuco. • Renan é filho de Rubens. A lógica proposicional permite tratar de afirmações às quais podemos atribuir um valor verdade (as proposições) e as operações que permitem compor afirmações complexas a partir de outras mais simples, como a conjunção “e”; a disjunção “ou”; a implicação “se... então...”; e a negação “não”. Para isso, de acordo com Bispo (2011, p. 10): A Lógica Formal adota como regras fundamentais do pensamento dois postulados: • Princípio da NãoContradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • Princípio do Terceiro Excluído: toda a proposição é verdadeira ou falsa. Isto é, verifi- ca-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Observe que, a partir do sistema formal da lógica proposicional e das regras fun- damentais da lógica formal, pode-se estruturar a linguagem dos pensamentos de forma a buscar a validade deles e da argumentação com base em uma simbologia. Assim sen- do, o valor lógico de uma proposição pode ser V (Verdadeiro) se ela for verdadeira ou F (Falso) se ela for falsa. Assim, a proposição “um triângulo tem três lados” tem valor lógico V, enquanto “2 é ímpar” tem valor lógico F. Portanto, deve ficar claro que qualquer proposição possui propriedades obrigató- rias. Sendo assim, temos que: Raciocínio Lógico 46 “Vasco da Gama descobriu o Brasil” é uma proposição com valor lógico (F). “Dante escreveu Os Lusíadas” é uma proposição que tem valor lógico (F). “4 > 2” é uma proposição com valor lógico (V). “Goiânia é a capital do estado de Goiás” tem valor lógico (V). “½ é um número inteiro”, tem valor lógico (F). “O número π é irracional” tem valor lógico (V). Além disso, podemos classificar as proposições em simples (ou atômicas) e com- postas (ou moleculares). Segundo Alves (2011), uma proposição simples ou atômica é aquela que não con- tém nenhuma outra proposição como parte integrante de si. As proposições simples, em geral, são denotadas pelas letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...), chamadas de letras proposicionais. Por exemplo, escrevemos: • p: João é careca. • q: Pedro é professor. • r: O número 16 é quadrado perfeito. Já uma proposição é composta ou molecular quando é formada pela combinação de duas ou mais proposições, sendo representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...), também chamadas letras proposicionais. • P: João é careca e Pedro é professor. • R: Se João é careca, então é infeliz. A partir desses aspectos introdutórios sobre a lógica formal, podemos ver de que maneira ela se apresenta como uma ciência interpretativa e racional. 2.1.2 Lógica: uma ciência interpretativa e racional A lógica tem a sua origem no grego clássico (λογική) – lido como logos – e se rela- ciona diretamente com o pensamento, a ideia, o argumento, o relato, a razão lógica e a palavra. Segundo Alves (2015), podemos dizer que a Lógica é a área que trata das formas do pensar, da linguagem que descreve pensamentos, das leis que definem a argumenta- ção e do raciocínio correto, bem como das técnicas que regem o nosso pensamento. Raciocínio Lógico 47 Aqui, verdade significa distinguir o raciocínio correto do incorreto. Podemos afir- mar que o argumento correto se relaciona com um modo de raciocinar corretamente. Mas afinal de contas, como podemos identificar um raciocínio correto? Segundo Alves (2011), o raciocínio correto costuma ser aquele que chega às melhores conclusões pos- síveis, mediante as informações disponíveis. © F la t D es ig n // S hu tt er st oc k Pensamento © s ir id ha ta / / S hu tt er st oc k Argumento © V as ya K ob el ev / / S hu tt er st oc k Ideia © k as ah as a // S hu tt er st oc k. (A da pt ad o) . Relato © ig or k is se le v // S hu tt er st oc k Razão lógica ou princípio lógico Raciocínio Lógico 48 A partir do momento em que percebemos que a lógica está diretamente ligada ao pensamento, será de nosso interesse a descrição dos tipos de argumentação. É o que veremos a seguir. 2.1.3 Tipos de argumentação Seja em caráter pessoal ou empresarial, o processo de tomada de decisão é mui- to complexo e envolve uma sequência lógica de passos. Quando trabalhamos com a argumentação, a inteligência também segue uma ordem para o convencimento do interlocutor. Além disso, podemos dizer que raciocinar é medir o que pode acontecer de duas ma- neiras distintas: indutivamente e dedutivamente. Assim, surgem a Lógica Dedutiva e a Indutiva. Ao propormos uma determinada análise por meio de proposições, o que se pre- tende é decidir se ela é verdadeira ou não a partir destes dois caminhos da Lógica. Na Lógica Dedutiva, qualquer proposição pode ter apenas um dos valores lógicos. Ou seja, uma proposição só pode ser V (Verdadeira) ou F (Falsa), nunca as duas coisas. Já na Lógica Indutiva, “uma proposição pode ter diferentes graus de plausibilidade associados a ela, de acordo com esta parecer ser mais ou menos verdadeira”, segundo Martins (2010, p. 14). Considere a seguinte situação problema adaptada de Martins (2010): Jorge é um guarda noturno em um shopping center. Durante a sua ronda noturna rotineira, ele es- cuta o alarme de uma loja apitar porque está com o vidro frontal estilhaçado. Jorge nota então um homem saindo correndo da loja, usando uma máscara e carregando um saco. Após abordá-lo para averiguar o que está acontecendo, Jorge vê que o saco está cheio de artigos da loja. Neste este caso, pode-se concluir de modo dedutivo o ho- mem era um ladrão. A partir dessa situação, percebemos que a Lógica Dedutiva estuda a verdade das proposições. Em outras palavras, de acordo com Martins (2010, p. 16), isto nos mostra que “uma proposição corresponde ao significado de uma dada sentença e, em lógica dedutiva, elas são afirmações que são ou verdadeiras ou falsas”. Vejamos agora alguns pontos importantes da argumentação: premissas, termos, falácias e silogismo. 2.1.4 Premissas, Termos, Falácias e Silogismo Segundo Abbagnano (2007), premissa pode ser entendida como proposição, conteú- do e informações primordiais, que servem de alicerce para um raciocínio que nos levará a uma conclusão. Uma premissa é uma expressão considerada verdadeira no âmbito de uma inferência. “Luís é professor” e “Luís é homem” são exemplos de premissas. Raciocínio Lógico 49 Em um sistema lógico, termo pode ser entendido como um nome associado a um objeto do discurso como um todo. Exemplificando, no contexto dos números naturais, “3 + 3” é um termo, servindo de nome para o natural 6, que é o valor da soma colocada. Falácias são vistas como erros relacionados ao raciocínio e à argumentação, ou seja, é um raciocínio errado com aparência de verdadeiro. Sendo assim, utilizar uma premissa vaga ou de duplo sentido, assumir como verdadeiro o que deve ser demostra- do, um erro oposto ou inverso são exemplos de falácias. Exemplificando, no contexto político, quando se define um termo para favorecimento próprio através de posições defendidas por um concorrente, é uma falácia conhecida como falácia do homem es- pantalho. De outra forma, questionamentos do tipo “Já chamou a atenção de um vi- zinho?”, podendo ser vista como “Alguma vez já brigou com um vizinho?”, ou como “Ainda briga com algum vizinho?” é um típico exemplo de falácia de várias perguntas. Além disso, nos processos lógicos temos os silogismos, que podem ser entendi- dos como afirmações nas quais a verdade de uma proposição (que é a conclusão) segue como consequência de duas outras proposições (que são as premissas). Devemos notar que o silogismo é um argumento que consta de três proposições, sendo que a última é a conclusão das duas primeiras. Observe: • A: Todos os ciclistas são atletas. • B: Ana é uma atleta. • Logo, Ana é uma ciclista. A afirmação “os ciclistas são atletas” não implica que qualquer atleta seja ciclis- ta. Logo, temos que a conclusão é falsa. As premissas aqui não apoiam devidamente a conclusão. A forma que as premissas e a conclusão do argumento estão dispostas nos leva à descrição da validade ou falsidade de um dado argumento, dependendo da validade ou falsidade das premissas. Salienta-se ainda que um argumento válido é aquele em que as premissas garantem a verdade da conclusão. Observe que silogismo é sinônimo de inferência ou estimação, sendo formado por duas premissas e uma conclusão. Nesse sentido, é interessante observarmos que todo silogismo é um argumento,
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