Aula 01 - 1ª Série - A02 Divisibilidade, MMC e MDC I - Slides

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1. Divisão Euclidiana
D ÷ d
D → dividendo d → divisor r → resto q → quociente
D d
(r) q .
Isto é:
D = d × q + r
0 ≤ r < d
Ex.:
35 4
(3) 8
35 = 4 × 8 + 3
1.1. Múltiplos e Divisores de um Número Natural
Se r = 0, então D = d × q , isto é:
d é divisor de D d divide D 
D é múltiplo de d D é divisível por d
• Múltiplos:
Múltiplos de um número X são os números formados pelo
produto de X e os números naturais.
Ex.: M(5) = {5, 10, 15, 20, ...}
• Divisores:
Divisores de um número X são os números cuja divisão de
X por eles resulta em resto nulo.
Ex.: D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Exemplos
Exercício de Aprendizagem 04.
(UECE) Se o resto da divisão do número inteiro positivo por 7 é
igual a 5, então, o resto da divisão do número por 7 é
igual a
D = d × q + r → b = 7 × q + 5
b2+b+1
7
=
7q+5 2+7q+5+1
7
=
49q2+70q+25+7q+5+1
7
=
49q2+77q+31
7
49q2
7
→ 49q2 = 7 × 7q2 + 0
77q
7
→ 77q = 7 × 11q + 0
31
7
→ 31 = 7 × 4 + 3
b2 + b + 1 = 49q2 + 77q + 31 =
= 7 × (7q2 + 11q + 4) + 3
r = 3
1.2. Números pares e ímpares
• Número par:
Número inteiro divisível por 2.
Pode ser escrito na forma 2.n
• Número ímpar:
Número inteiro que não é divisível por 2. 
Pode ser escrito na forma 2.n + 1
Ex.:
14 = 2 × 7 33 = 2 × 16 + 1
-54 = 2 × -27 -15 = 2 × -8 + 1
1.3. Critérios de Divisibilidade
• Por 2:
Para ser divisível por 2, o número deve ser par, isto é,
terminar com o algarismo 0, 2, 4, 6 ou 8
Ex.:
16 24 90 78 52
• Por 3:
Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos do número
deve ser múltiplo de 3
Ex.:
732 → 7 + 3 + 2 = 12 = 3 × 4
10017 = 1 + 0 + 0 + 1 + 7 = 9 = 3 × 3
1.3. Critérios de Divisibilidade
• Por 4:
Para ser divisível por 4, os dois últimos algarismos do
número devem formar um múltiplo de 4 ou serem 00
Ex.:
1024 500 348 2600
• Por 5:
Para ser divisível por 5, o número deve terminar em 5 ou
em 0
Ex.:
15 100 95 1035
1.3. Critérios de Divisibilidade
• Por 6:
Para ser divisível por 6, o número deve ser divisível por 2 e
por 3
Ex.:
942 = 9 + 4 + 2 = 15 = 3 × 5
• Por 7:
Para ser divisível por 7, deve-se retirar o último algarismo,
multiplicá-lo por 2 e subtrair o do restante do número. O
resultado deve ser divisível por 7
Ex.:
504 → 4 × 2 = 8 → 50 – 8 = 42 = 7 × 6
1.3. Critérios de Divisibilidade
• Por 8:
Para ser divisível por 8, os três últimos algarismos do
número devem formar um múltiplo de 8 ou serem 000
Ex.:
1024 5000 3488 12000
• Por 9:
Para ser divisível por 9, a soma dos algarismos do número
deve ser múltiplo de 9
Ex.:
738 → 7 + 3 + 8 = 18 = 9 × 2
25497 = 2 + 5 + 4 + 9 + 7 = 27 = 9 × 3
1.3. Critérios de Divisibilidade
• Por 10:
Para ser divisível por 10, o número deve terminar em 0
Ex.:
50 630 1020
• Por 11:
Para ser divisível por 11, a diferença entre a soma dos
algarismos de ordem ímpar e os de ordem par deve ser múltiplo
de 11 ou igual a 0
Ex.:
9284 = (9 + 8) – (2 + 4) = 17 – 6 = 11
Exemplos
Exercício de Aprendizagem 11.
(IFSULDEMINAS) Huguinho chegou atrasado na aula de
matemática e copiou correndo o que sua professora escreveu na
lousa.
Quando ele foi estudar sozinho em casa, mais tarde, ele observou
num exemplo, em seu caderno, que um dos dígitos de um número
estava irreconhecível.
Pelo contexto, ele pode perceber que o número deveria ser
divisível por . Sabendo que o número em questão era 3628 4,
onde representa o dígito que ele não pode identificar.
O digito em questão do número que estava na lousa quando
Huguinho copiou era:
Exemplos
Exercício de Aprendizagem 11.
3628#4
Divisível por 12 → Divisível por 3 e 4
Divisível por 3 → 3 + 6 + 2 + 8 + # + 4 = 23 + #
# = {1, 4, 7}
Divisível por 4 → 04 – 24 – 44 – 64 – 84
# = {0, 2, 4, 6, 8}
# = 4
Exercícios para Casa
Volume 1 – Frente A – Módulo 02
• Exercícios de aprendizagem: pp 46, 47 e 49
• Exercícios propostos: Questões 01 a 08
• Seção Enem: Questões 03, 04 e 09 a 11
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