Geometria Analítica e Álgebra Linear - Livro- Texto - Unidade I

Prévia do material em texto

Autoras: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
 Profa. Valéria de Carvalho
Colaboradores: Prof. Daniel Scodeler Raimundo
 Prof. André Ramos
Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
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Professoras conteudistas: Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa / 
Valéria de Carvalho
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade 
Católica (PUC‑SP). Leciona no Ensino Superior desde 1981.
Ministra o curso de Pós‑Graduação lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz e também é 
professora da Universidade Paulista (UNIP) na modalidade presencial e a distância (EaD).
Coautora dos livros:
Álgebra Linear para Computação. Editora LTC, 2007.
Geometria Analítica para Computação. Editora LTC, 2009.
Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia. Editora Ícone, 1994.
Valéria de Carvalho
Especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica), mestre e doutora 
em Educação Matemática pela Faculdade de Educação – Unicamp. É professora do Ensino Superior desde 1988.
Trabalhou com Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de Educação Continuada, envolvendo 
docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na Faculdade de Educação, ambos na 
Unicamp, sempre como professora colaboradora.
Possui publicações em anais de congressos fora do Brasil e capítulos de livros em nossa língua, pensando o trabalho docente, a 
educação matemática crítica e a sociedade. É coautora de diversos livros do curso de matemática a distância da UNIP.
Atualmente, é professora da UNIP e coordenadora do curso de Matemática no EaD.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
E77g Espinosa, Isabel Cristina de Oliveira Navarro
Geometria analítica e álgebra linear / Isabel Cristina de Oliveira 
Navarro Espinosa; Valéria de Carvalho ‑ São Paulo: Editora Sol, 2019.
288 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXV, n. 2‑086/19 , ISSN 1517‑9230.
1. Geometria analítica. 2. Álgebra linear. 3. Matemática I.Título.
CDU 51
U501.61 – 19
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice‑Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice‑Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice‑Reitor de Pós‑Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona‑Lopez
Vice‑Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Vitor Andrade
 Kleber Souza
 Marcilia Brito
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Sumário
Geometria Analítica e Álgebra Linear
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................9
Unidade I
1 MATRIZ ................................................................................................................................................................ 11
1.1 Introdução ............................................................................................................................................... 11
1.2 Igualdade de matrizes ........................................................................................................................ 16
1.3 Alguns tipos especiais de matrizes................................................................................................ 17
2 OPERAÇÕES COM MATRIZES ...................................................................................................................... 20
2.1 Adição ....................................................................................................................................................... 20
2.2 Multiplicação por escalar .................................................................................................................. 24
2.3 Transposição ou matriz transposta ............................................................................................... 28
2.4 Multiplicação de matrizes................................................................................................................. 29
2.5 Matriz inversa ........................................................................................................................................ 39
2.6 Processo prático para determinar a matriz inversa ............................................................... 41
2.7 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 47
3 SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES ............................................................................................... 55
3.1 Sistemas lineares .................................................................................................................................. 55
3.1.1 Equações lineares .................................................................................................................................... 55
3.1.2 Sistemas lineares ..................................................................................................................................... 56
3.1.3 Resolução por adição ............................................................................................................................ 59
3.1.4 Resolução por escalonamento .......................................................................................................... 62
3.1.5 Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss ............................................. 69
3.2 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 77
4 DETERMINANTES ............................................................................................................................................. 83
4.1 Introdução ............................................................................................................................................... 83
4.2 Cálculo de determinantes ................................................................................................................. 84
4.3 Regra de Cramer e a resolução de sistemas lineares n x n ................................................. 89
4.4 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 91
Unidade II
5 GEOMETRIA ANALÍTICA: UMA ABORDAGEM VETORIAL ................................................................100
5.1 Vetores – tratamento geométrico ...............................................................................................100
5.1.1O conceito de vetor .............................................................................................................................101
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5.1.2 Casos particulares de vetores ..........................................................................................................103
5.1.3 Operações com vetores ......................................................................................................................104
5.2 Espaço vetorial real ...........................................................................................................................117
5.3 Vetores – tratamento algébrico ....................................................................................................118
5.3.1 Plano cartesiano ....................................................................................................................................119
5.3.2 Vetores no plano .................................................................................................................................. 120
5.3.3 Combinação linear .............................................................................................................................. 123
5.3.4 Dependência e independência linear .......................................................................................... 126
5.3.5 Base .......................................................................................................................................................... 130
5.4 Operações com vetores utilizando as coordenadas .............................................................132
5.4.1 Adição ....................................................................................................................................................... 132
5.4.2 Multiplicação por escalar ................................................................................................................. 133
5.4.3 Vetores paralelos .................................................................................................................................. 134
5.4.4 Dependência linear ............................................................................................................................. 136
5.4.5 Módulo ou norma de um vetor ..................................................................................................... 140
5.5 Produto escalar ...................................................................................................................................142
5.5.1 Definição algébrica ............................................................................................................................. 142
5.5.2 Propriedades do produto escalar .................................................................................................. 142
5.5.3 Ângulo entre dois vetores ................................................................................................................ 145
5.5.4 Projeção ortogonal .............................................................................................................................. 148
5.6 Produto vetorial ..................................................................................................................................150
5.6.1 Orientação no espaço vetorial IR3................................................................................................. 150
5.6.2 Produto vetorial – definição ............................................................................................................151
5.6.3 Propriedades .......................................................................................................................................... 154
5.7 Produto misto ......................................................................................................................................157
5.7.1 Definição ................................................................................................................................................. 157
5.7.2 Propriedades do produto misto ..................................................................................................... 158
5.8 Sistema de coordenadas ..................................................................................................................164
5.8.1 No plano .................................................................................................................................................. 164
5.8.2 No espaço ............................................................................................................................................... 165
5.9 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................167
6 RETAS E PLANOS ............................................................................................................................................180
6.1 Estudo da reta ......................................................................................................................................180
6.1.1 Equação vetorial ................................................................................................................................... 180
6.1.2 Equações paramétricas ...................................................................................................................... 182
6.1.3 Equações simétricas (na forma simétrica) ................................................................................. 184
6.2 Estudo do plano ..................................................................................................................................186
6.2.1 Equação vetorial ................................................................................................................................... 187
6.2.2 Equações paramétricas do plano ...................................................................................................191
6.2.3 Equação geral do plano ..................................................................................................................... 194
6.2.4 Vetor normal ao plano ....................................................................................................................... 198
6.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................200
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Unidade III
7 POSIÇÃO RELATIVA, DISTÂNCIA E ÂNGULOS .....................................................................................211
7.1 Posição relativa ...................................................................................................................................211
7.1.1 Reta‑reta .................................................................................................................................................. 211
7.1.2 Reta‑plano ...............................................................................................................................................217
7.1.3 Plano‑plano ............................................................................................................................................ 223
7.2 Ângulos ...................................................................................................................................................229
7.2.1 Reta‑reta ................................................................................................................................................. 229
7.2.2 Reta‑plano .............................................................................................................................................. 232
7.2.3 Plano‑plano ............................................................................................................................................237
7.3 Distâncias ..............................................................................................................................................239
7.3.1 Distância entre dois pontos ............................................................................................................. 239
7.3.2 Distância entre ponto e reta ........................................................................................................... 240
7.3.3 Distância entre retas paralelas ....................................................................................................... 242
7.3.4 Distância entre um ponto e um plano ........................................................................................ 243
7.3.5 Distância entre reta e plano (paralelos) ...................................................................................... 244
7.3.6 Distância entre planos paralelos .................................................................................................... 246
8 SEÇÕES CÔNICAS ..........................................................................................................................................247
8.1 Parábola ..................................................................................................................................................248
8.2 Elipse ........................................................................................................................................................255
8.3 Circunferência .....................................................................................................................................260
8.4 Hipérbole ................................................................................................................................................261
8.5 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................265
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APRESENTAÇÃO
Neste livro‑texto, vamos destacar alguns conceitos fundamentais da geometria analítica. Esse campo de 
estudo tem importantes aplicações na própria matemática e vem sendo cada vez mais usado em outras ciências. 
Sua utilização na solução de diversos problemas tem crescido em ordem proporcional ao avanço da tecnologia.
As aplicações desse poderoso campo de estudo – a geometria analítica – podem ser encontradas 
em áreas como engenharia, ciência da computação, matemática, física, biologia, economia, estatística e 
outras. Você encontrará algumas dessas aplicações para contextualizar boa parte dos conceitos abordados 
aqui. Recomendamos que se dedique ao estudo de aplicações, pois elas são vitais para ampliar sua visão 
como matemático e educador.
Inicialmente, analisaremos o conceito de matrizes, sistemas lineares e determinantes, que são 
conteúdos trabalhados no Ensino Médio.
Aprenderemos a noção de vetores no plano e no espaço com uma visão geométrica e depois com 
uma visão analítica. Examinaremos também equação de reta e do plano, seguindo de posições relativas 
entre ponto‑reta, ponto‑plano, reta‑reta, reta‑plano e entre plano‑plano. Por fim, vamos acentuar: 
seções cônicas, circunferência, elipse, parábola e hipérbole.
Esperamos que você consiga dominar os conhecimentos matemáticos estudados neste livro‑texto, 
relacionando‑os com outros campos de estudo, por exemplo, a linguagem matemática com as linguagens 
da área da informática.
O conteúdo foi desenvolvido de modo sistematizado, contribuindo para que você, futuro professor, 
avalie criticamente e se organize em suas intervenções na prática docente.
Destacamos alguns modelos matemáticos que representam problemas concretos com o intuito de 
despertar em você o interesse pela modelagem matemática.
É importante salientar que o material foi desenvolvido para um curso introdutório de geometria 
analítica. Assim, busca‑se uma abordagem mais objetiva e simplificada, e a consulta aos livros que 
constam nas referências bibliográficas será essencial para se aprofundar nos temas propostos.
Estudaremos aqui conceitos que levaram séculos e até milênios para serem desenvolvidos, sistematizados e 
colocados em bases formais e rigorosas. Seria no mínimo pretensioso acreditar que podemos compreendê‑los 
sem esforço! Os erros fazem parte do processo de ensino e aprendizagem da matemática, e é essencial se 
debruçar sobre materiais complementares (livros, sites, resolução de problemas e exercícios).
INTRODUÇÃO
Nosso estudo será divido em três módulos, mas isso não significa de forma alguma que esses temas 
sejam isolados, muito pelo contrário, eles estão muito ligados por meio de articulações entre os conceitos 
e suas possíveis aplicações. A divisão trata‑se apenas de uma escolha organizacional.
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Na unidade I, estudaremos matrizes, sistemas e determinantes. Na unidade seguinte, acentuaremos 
vetores no plano e no espaço, estudando a reta e o plano. Na última unidade, abordaremos temas como 
posição relativa, distância e ângulo entre retas e planos.
Faremos uma breve apresentação de cônicas, parábola, elipse, circunferência e hipérbole. Veremos 
a equação reduzida de cada uma delas. Não serão focos de nosso estudo as translações e as rotações 
envolvendo as cônicas.
Ao fim de cada unidade, haverá um resumo dos itens analisados e uma sequência de exemplos para 
consolidar os conhecimentos teóricos apresentados. Recomendamos que você resolva todos eles, isso 
auxiliará o seu estudo.
Esperamos que você, aluno, seja capaz de identificar, fundamentar e aplicar os conhecimentos 
matemáticos necessários para se tornar um bom profissional, seja de Ensino Fundamental, de Ensino 
Médio, seja de Ensino Superior. Ainda, que esteja sempre preocupado com o papel social de sua futura 
função profissional como educador matemático.
Você deve estudar buscando identificar e superar suas dificuldades e limitações individuais, 
procurando formas de “aprender a aprender” que viabilizem seu desenvolvimento pessoal e profissional, 
pois o intuito é prosseguir seus estudos de forma embasada. Nosso desejo é formar um profissional capaz 
de trabalhar de modo integrado com os professores de sua área e de outras, que investigue e viabilize o 
uso de novas tecnologias nas aulas de matemática, contribuindo efetivamente com o desenvolvimento 
de propostas pedagógicas de sua escola. Trabalhamos com o fito de prepará‑lo para ser um docente que 
saiba reconhecer as dificuldades individuais de seus educandos e sugerir caminhos alternativos a eles, 
que lhes permitam desenvolver e prosseguir os estudos.
Desejamos que esse material possa auxiliá‑lo nessa caminhada. Bom estudo!
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Unidade I
1 MATRIZ
1.1 Introdução
Inicialmente, apresentaremos os conceitos básicos sobre matrizes. Esses conceitos aparecem 
naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas científicos ou do cotidiano e são essenciais 
não apenas porque eles ordenam e simplificam tais problemas, mas também porque fornecem novos 
métodos de resolução.
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Por exemplo, ao fazer uma pesquisa e recolhermos os dados referentes à altura, peso e idade de um 
grupo de quatro pessoas, podemos dispô‑los assim:
Tabela 1 
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:
1,70 70 23
1,75 60 45
1,60 52 25
1,81 72 30
 
 
 
 
 
 
É importante perceber que em um problema, no qual o número de variáveis de observações é muito 
grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna‑se absolutamente indispensável.
Outros exemplos de matrizes são:12
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Unidade I
2x 1
2 3
0 x
− 
 
 
   [ ]3 0 1 [ ] 1 
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, vetores ou ainda 
outras matrizes.
Por convenção, representa‑se uma matriz de m linhas e n colunas da por: (aij)mxn, com 1 < i < m 
e 1 < j < n, onde o elemento aij indica a posição ocupada na matriz, linha i, coluna j.
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes. Quando quisermos especificar a ordem 
de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escreveremos Amxn:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
amxn
m m
n
n
mn
ij mx
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
11
21
1
12
22
2
1
2
� �
�
�
�
� nn ij mxn
a� �� ��
Para representar uma matriz, também podemos utilizar a notação de parênteses ou duas barras, 
além da notação de colchetes, como no exemplo a seguir:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 


  

ou
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 


  

ou ainda
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
=


  

Utilizaremos nesse material a representação por meio de colchetes ou de parênteses.
Para localizar um elemento de uma matriz, indicamos a linha e a coluna (nessa ordem) em que ele está.
 Saiba mais
Para saber sobre aplicações da geometria analítica e da álgebra linear, 
acesse:
<www.decom.ufop.br/moreira/site_media/uploads/arquivos/art2127.
pdf>. Acesso em: 5 dez. 2018.
Exemplos:
1) Considere uma matriz A3x3, isto é, uma matriz com três linhas e três colunas. Vamos localizar 
alguns elementos dessa matriz usando a notação aij.
a) a 12 – é o elemento da primeira linha e segunda coluna:
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a12
b) a 31 – é o elemento da terceira linha e primeira coluna:
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a31
2) Considere a matriz 2x3
1 0 4
A
4 3 2
− 
=  − 
 e determine os elementos indicados:
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Unidade I
a) 1ª linha e 3ª coluna.
b) 1ª linha e 1ª coluna.
c) 2ª linha e 2ª coluna.
Resolução:
a) O elemento da 1ª linha e 3ª coluna “a13” é – 4, isto é, a13 = – 4
A x2 3
1 0 4
4 3 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b) Elemento da 1ª linha e 1ª coluna “a11” é 1, isto é, a11 = 1
A x2 3
1 0 4
4 3 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c) Elemento da 2ª linha e 2ª coluna “a22” é ‑3, isto é, a22 = – 3
A x2 3
1 0 4
4 3 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Veremos no próximo exemplo uma situação que pode ser representada por uma tabela.
3) Dona Cotinha tem uma pequena confecção na qual fabrica moletons. Ela faz três tipos de modelos 
(A, B e C), nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro, o total do modelo A foi: 
15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 4 
vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos. Determine a matriz que 
representa a produção da confecção neste mês.
Resolução:
Para criar a matriz que representa a produção da confecção da Dona Cotinha, é preciso decidir qual 
informação será colocada na linha e qual será colocada na coluna para montar uma tabela com os valores.
Por exemplo, vamos fixar nas linhas as cores branco, preto, azul e vermelho, e nas colunas os modelos 
A, B e C.
Para completar a tabela, você deve dispor cada dado sobre o modelo e a cor na posição correta. 
Desse modo, 15 (unidades do modelo A na cor branca) deve ficar na coluna do modelo A (1ª coluna) 
e na linha da cor branca (1ª linha), e então você vai situando cada um dos dados do enunciado. 
Então, obtém‑se:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Tabela 2 
Cor Modelo A B C
Branco 15 12 9
Preto 10 15 11
Azul 8 6 9
Vermelho 5 4 2
Agora podemos montar a matriz correspondente:
Pfevereiro �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
15 12 9
10 15 11
8 6 9
5 4 2
Note que essa matriz tem quatro linhas (cores) e três colunas (modelos).
Assim, para saber quantas unidades foram fabricadas no mês de fevereiro da cor preta do modelo B, 
devemos verificar quem é o elemento a22.
Como a22 = 15, temos que foram fabricadas 15 unidades pretas do modelo B.
Da mesma forma, todos os outros elementos da matriz terão um significado.
 Lembrete
Sempre que uma matriz estiver relacionada a um problema, suas linhas 
e suas colunas terão um significado, além da posição linha e coluna.
Podemos indicar na matriz o que significam as linhas e as colunas, por exemplo, reescrevendo a 
matriz P, produção de fevereiro:
A B C
15 12 9 Branca
10 15 11 Preta
Pfevereiro 8 6 9 Azul
5 4 2 Vermelho
=
 
 
 
 
  
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Unidade I
 Observação
Quando for conveniente, você também poderá escrever Pfevereiro = (aij)cor x modelo 
para indicar que as cores estão nas linhas e que os modelos estão nas colunas.
1.2 Igualdade de matrizes
Duas matrizes ( )mxn i j m x nA a = e ( )r x s i j r x sB b = são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número 
de linhas (m = r) e colunas (n = s) e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij = bij).
Nos exemplos a seguir, você pode notar com detalhes como utilizar a definição de igualdade de matrizes.
1) 
2
2
9 sen 03 1 log1 2
2 2 5 2 4 5
π  
=   
     
As matrizes são iguais, pois são do mesmo tipo, isto é, ambas são do tipo 2x3, e cada elemento de 
uma é igual ao elemento correspondente da outra:
2
11 11
12 12
13 13
21 21
2
22 22
23 23
a 3 9 b
a 1 sen b
2
a log1 0 b
a 2 2 b
a 2 4 b
a 5 5 b
= = =
π
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
2) Determinar os valores de m e n para que as matrizes 
m 1 2
A
2 n 6
+ 
=  − + 
 e 
5 2
B
1 2 n
 
=  
 
 
sejam iguais.
Para que as matrizes sejam iguais, você deve verificar se elas são do mesmo tipo. Neste caso, temos 
A = (aij)2x2 e B = (bij)2x2, isto é, as matrizes são do mesmo tipo, 2x2.
Depois é preciso comparar cada elemento de uma com o elemento correspondente da outra:
11 11
12 12
21 21
22 22
a b m 1 5
a b 2 2
 , isto é, 
a b 2 n 1
6 2na b
= + = 
 = = 
 = − + = 
  == 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Resolvendo o sistema, temos:
• na 1ª equação: m + 1 = 5 ⇒ m = 4
• a 2ª equação é sempre verdadeira: 2 = 2 (V)
• na 3ª equação: – 2 + n = 1 ⇒ n = 3
Substituindo o valor de n na 4ª equação, encontramos 6 = 6 (V).
Logo, para A = B, devemos ter m = 4 e n = 3.
1.3 Alguns tipos especiais de matrizes
Ao desenvolver um estudo com matrizes, observa‑se que existem algumas que, seja pela quantidade 
de linhas, seja pela de colunas, seja ainda pela natureza de seus elementos, têm propriedades que as 
diferenciam de uma matriz qualquer. Além disso, esses tipos de matrizes aparecem frequentemente na 
prática, por isso recebem nomes especiais.
Estudemos algumas delas. Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas, aqui designadas 
como Amxn.
Matriz quadrada: tem o número de linhas igual ao de colunas (m=n).
Exemplos:
3 x 3
1 2 0
A 3 0 1
4 5 6
− 
 =  
  
 e [ ]1 x 1B 8 =
No caso de matrizes quadradas Amxm, costumamos dizer que A é uma matriz de ordem m. No exemplo, 
a matriz A é de ordem 3 e a matriz B é de ordem 1.
Na matriz quadrada A de ordem m, definimos as seguintes sequências:
• diagonal principal de A: é a sequência dos elementos de A que apresentam os dois índices iguais, 
ou seja: ij 11 22 m m(a | j i) (a ,a ,...,a )= =
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
m
m
m m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
21
1
12
22
2
1
2
� �
�
�
�
�
 m x m
 
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Unidade I
• diagonal secundária de A: é a sequência dos elementos de A em que a soma dos índices é igual a 
m + 1, isto é, a sequência: 1m 2 (m 1) m 1a ,a , . . . ,a−
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
m
m
m m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
21
1
12
22
2
1
2
� �
�
�
�
�
 m x m
 
Exemplo:
Dada a matriz 
3 x 3
1 ‑2 0
A 3 0 1
4 5 6
 
 =  
   
, indique os elementos da diagonal principal e da diagonal secundária.
Observando a matriz, temos:
(DP) diagonal principal, formada por a11 = 1, a22 = 0, a33 = 6
(DS) diagonal secundária, formada por a13 = 0, a22 = 0, a31 = 4
A �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 0
3 0 1
4 5 6
3 x 3
DS
DP
Matriz nula: é aquela em que aij = 0 para todo i j.
Exemplos:
2x2
0 0
A
0 0
 
=  
 
 e 3x5
0 0 0 0 0
B 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 
 =  
  
Matriz coluna: possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
1
4
3
 
 
 
 − 
 e 
x
y
 
 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Matriz linha: possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
[ ]3 0 1− e [ ]1 2
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada (m = n), onde aij = 0, para i ≠ j, isto é, os elementos que 
não estão na diagonal principal são nulos.
Exemplos:
7 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 − 
 e 
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
 
 
 
 
 
 
Matriz identidade quadrada ou matriz identidade: é aquela em que aij = 1 para i = j e ai j = 0 
para i ≠ j, isto é:
ai j
 se i j
0, se i j
�
�
�
�
�
�
1,
Exemplos:
3
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
 
 =  
  
 e 2
1 0
I
0 1
 
=  
 
 Observação
Note que a matriz identidade é uma matriz quadrada que tem 
valor unitário nos elementos da diagonal principal e zero no restante 
da matriz.
Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos, isto é, m = n e ai j = 0, para i > j.
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Unidade I
Exemplos:
2 1 3
0 1 4
0 0 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 e 
a b
c0
�
�
�
�
�
�
Matriz triangular inferior: é aquela em que m = n e ai j = 0, para i < j.
Exemplos:
2 0 0 0
1 1 0 0
1 4 1 0
1 5 7 4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 e 
5 0 0
7 0 0
4 1 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Matriz simétrica: é aquela em que m = n e aij = aji.
Exemplos:
4 3 1
3 2 0
1 0 5
− 
 
 
 − 
 e 
a b c d
b e f g
c f h i
d g i k
 
 
 
 
 
 
 Observação
Em uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da parte 
inferior em relação à diagonal principal.
2 OPERAÇÕES COM MATRIZES
Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações.
2.1 Adição
A soma de duas matrizes de mesma ordem, A = (aij) m x n e B = (bij) m x n, é uma matriz m x n, que 
chamaremos de A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é, 
A + B = (aij + bij) m x n.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a bm m m m
n n
mn mn
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�11 11
1 1
12 12
2 2
1 1
� �
�
� �
� ��
�
�
�
Exemplos:
1) Dadas as matrizes 
1 1 0 4
A 4 0 e B 2 5
2 5 1 0
−   
   = = −   
      
, determine A + B.
Antes, devemos verificar se as matrizes são do mesmo tipo:
A = (ai j)3x2 e B = (bi j)3x2, logo A e B são do mesmo tipo.
Depois você deve somar cada elemento de A com o elemento correspondente de B:
1 1 0 4 1 0 1 4 1 3
4 0 2 5 4 2 0 5 2 5
2 5 1 0 2 1 5 0 3 5
− + − +       
       + − = − + =       
       + +       
Você deve querer saber onde aplicar essa definição em um problema prático. Veja então o próximo 
exemplo. Vamos retomar o problema da confecção da Dona Cotinha.
2) Dona Cotinha tem uma pequena confecção na qual fabrica moletons. Ela faz três tipos de modelos 
(A, B e C), nas cores branco, azul, preto e vermelho.
No mês de fevereiro, foram feitos do modelo A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo 
B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos.
Em março foram feitos do modelo A: 21 brancos, 15 pretos, 12 azuis e 8 vermelhos; do modelo B: 
15 brancos, 13 pretos, 9 azuis e 6 vermelhos; do modelo C: 16 brancos, 14 pretos, 8 azuis e 4 vermelhos. 
Determine a matriz que representa a produção da confecção neste bimestre e a quantidade produzida 
no bimestre do modelo C na cor branca.
Resolução:
Para montar a matriz que representa a produção da confecção da Dona Cotinha no bimestre, vamos 
utilizar a matriz referente a fevereiro, que já foi calculada, e vamos montar a matriz referente ao mês 
de março.
Novamente as linhas representarão as cores e as colunas os modelos, assim, a tabela que representa 
a produção referente ao mês de março é igual a:
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Unidade I
Tabela 3 
Cor Modelo A B C
Branco 21 15 16
Preto 15 13 14
Azul 12 9 8
Vermelho 8 6 4
Montando a matriz correspondente ao mês de março, temos:
Pmar oç �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
21 15 16
15 13 14
12 9 8
8 6 4
Como queremos saber a produção no bimestre (fevereiro e março), devemos montar a tabela 
correspondente a essa situação.
Tomando os valores de fevereiro e de março, vamos somar a produção de cada modelo e cor 
correspondente para obter a tabela referente ao bimestre:
Tabela 4 – Produção em fevereiro
Cor Modelo A B C
Branco 15 12 9
Preto 10 15 11
Azul 8 6 9
Vermelho 5 4 2
Tabela 5 – Produção em março
Cor Modelo A B C
Branco 21 15 16
Preto 15 13 14
Azul 12 9 8
Vermelho 8 6 4
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Tabela 6 – Produção no bimestre (fevereiro/março)
Cor Modelo A B C
Branco 36 27 25
Preto 25 28 25
Azul 20 15 17
Vermelho 13 10 6
Passando para notação de matrizes, a produção do bimestre é equivalente à soma das matrizes 
de fevereiro e março:
P Pfevereiro mar o� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�ç 
15 12 9
10 15 11
8 6 9
5 4 2
 
21 15 16
15 13 14
12 9 8
8 6 4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
P bimestre �
� � �
� � �
� � �
�
21 15 15 12 16 9
15 10 13 15 14 11
12 8 9 6 8 9
8 5 66 4 4 2
36 27 25
25 28 25
20 15 17
13 10 6� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 ��
�
�
Assim, temos que a matriz que representa a produção bimestral da confecção é:
P bimestre (p ) i j cor x modelo� �
36 27 25
25 28 25
20 15 17
113 10 6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Queremos saber ainda a quantidade produzida no bimestre do modelo C na cor branca, isto é, o valor 
do elemento da 1ª linha e 3ª coluna.
Como a13 = 25, logo foram fabricadas 25 unidades do modelo C na cor branca nesse bimestre.
Utilizando uma notação conveniente para facilitar o entendimento do significado da linha e da 
coluna, temos que a matriz referente ao bimestre pode ser escrita da seguinte forma:
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Unidade I
A B C
Branco
Preto
Pbimestre Azul
Vermelho
36 27 25
25 28 25
20 15 17
13 10 6
=
 
 
 
 
  
 Observação
Note que sempre que as linhas e colunas representam um dado definido, 
só poderemos fazer a adição das matrizes se o significado das linhas e 
colunas forem os mesmos.
Propriedades da adição de matrizes
Para a adição de matrizes, valem as seguintes propriedades:
(I) associativa: A + (B + C) = (A + B) + C, ∀A, B, C ∈ Mm x n (IR)
(II) comutativa: A + B = B + A, ∀A, B ∈ Mm x n (IR)
(III) matriz nula: existeuma matriz 0 ∈ Mm x n (IR), tal que:
 A + 0 = A, ∀A ∈ Mm x n (IR)
(IV) matriz oposta: dada uma matriz A ∈ Mm x n (IR), existe uma matriz (–A), também m x n, tal que 
A + (–A) = 0
2.2 Multiplicação por escalar
Seja A = (aij)m x n e k um número real, então definimos uma nova matriz k . A = (k . aij)m x n , isto é, 
cada elemento da matriz será multiplicado por k.
A = (aij)m x n ⇒ k . A = (k . aij)m x n, isto é:
1 1 1 2 1 n 1 1 1 2 1 n
m 1 m2 mn m 1 m2 mnm x n m x n
a a a k .a k . a k . a
A k . A 
a a a k . a k . a k . a
   
   = ⇒ =   
   
   
 
   
 
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 Observação
Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o número de linhas 
e colunas não se altera, isto é, se A = (ai j) m x n , então k.A também será do 
tipo m x n.
Exemplos:
1) Dada a matriz 
2 10
A
1 3
 
=  − 
, determine a matriz – 2A.
Pela definição de multiplicação por escalar, devemos multiplicar cada elemento da matriz pelo 
número (‑2), mantendo as posições iniciais. Assim:
2 10 2 . (‑2) 10 . (‑2) 4 20
2 A 2 
1 3 1 . (‑2) 3 . (‑2) 2 6
− −     
− = − = =     − − −     
Não se esqueça de que, ao multiplicar por número negativo, você deve colocá‑lo entre parênteses, 
para depois utilizar as regras de sinal.
Vejamos uma aplicação em um problema prático. Novamente, usaremos o exemplo da confecção da 
Dona Cotinha.
2) Dona Cotinha tem uma pequena confecção na qual fabrica moletons. Ela faz três tipos de modelos 
(A, B e C), nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro, foram feitos do modelo 
A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 
4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos. Determine a matriz que 
representa a produção da confecção no próximo mês para que Dona Cotinha duplique a produção.
Resolução:
Retomando a tabela referente à produção de fevereiro, temos:
Tabela 7 – Produção de fevereiro
Cor Modelo A B C
Branco 15 12 9
Preto 10 15 11
Azul 8 6 9
Vermelho 5 4 2
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Unidade I
A produção para março deve ser o dobro da produção de fevereiro. Então, a tabela correspondente 
a esta expectativa de produção é:
Tabela 8 – Produção de março
Cor Modelo A B C
Branco 30 24 18
Preto 20 30 22
Azul 16 12 18
Vermelho 10 8 4
Utilizando a notação de matriz, temos que, para saber a matriz referente a março, devemos 
multiplicar a matriz de fevereiro por 2, pois a produção será duplicada.
Assim, Pmarço = 2. Pfevereiro, isto é, a produção de março é igual ao dobro da produção de fevereiro.
março fevereiro
15 12 9
10 15 11
P 2 . P 2
8 6 9
5 4 2
 
 
 = =
 
 
 
 
março
15 12 9 30 24 18
10 15 11 20 30 22
P 2
8 6 9 16 12 18
5 4 2 10 8 4
   
   
   = =
   
   
   
 
Logo, se for duplicada a produção, as quantidades produzidas serão dadas pela matriz:
( )março i j m x n
30 24 18
20 30 22
P p
16 12 18
10 8 4
 
 
 = =
 
 
 
 
 
Propriedades da multiplicação de matriz por escalar
Para essa operação que transforma cada par (α,A) de IR x Mm x n na matriz real α . A ∈ Mm x n (IR), 
valem as seguintes propriedades:
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( ) ( ) m xn ( I ) A A , A M e , IRα β = α β ∀ ∈ ∀ α β ∈
( ) m xn ( I I ) A A A, A M e , IRα +β = α +β ∀ ∈ ∀ α β ∈
( ) m xn ( I I I ) A B A B, A, B M e IR α + = α + α ∀ ∈ ∀ α ∈
m xn ( I V ) 1 A A A M = ∀ ∈
Você deve estar se perguntando como utilizar essas propriedades em nossos exercícios.
Exemplos:
Dadas as matrizes 
1 2
A
0 1
− 
=  
 
 e 
3 1
B
1 2
 
=  − 
, determine:
a) (2 . 3) A
b) 3A + 5 A
c) 2 (A + B)
Resolução:
a) Neste caso, temos α = 2 e β = 3 na 1ª propriedade (α β) A = α(βA).
Na 1ª propriedade, podemos multiplicar os números e depois multiplicar o resultado pela matriz A 
ou calcular 3A e depois multiplicar por 2, ou ainda podemos calcular 2A e depois multiplicar por 3.
Vamos fazer os cálculos das três formas e mostrar que chegamos sempre ao mesmo resultado:
1 2 6 12
(2 . 3) A 6 
0 1 0 6
− −   
= =   
   
1 2 3 6 6 12
2 . ( 3 A) 2 3 2 
0 1 0 3 0 6
 − − −     
= = =      
      
1 2 2 4 6 12
3 . (2 A) 3 2 3 
0 1 0 2 0 6
 − − −     
= = =      
      
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Unidade I
 Lembrete
Como saber de que modo fazer? Você vai utilizar o modo mais prático, 
aquele que você achar mais fácil.
2.3 Transposição ou matriz transposta
Dada uma matriz A = (aij)mxn , podemos obter outra matriz A‘ = (bij)nxm , cujas linhas são as colunas 
de A, isto é, bi j = a j i.
Podemos utilizar as notações A’ ou AT para indicar a matriz transposta de A:
1 1 21 m1
1 1 1 2 1 n
1 2T
m 1 m2 mn m x n
1 n 2 n mn n x m
a a a
a a a
a 
A A 
 
a a a
a a a
 
   
   = ⇒ =       
 


 
 



 Observação
Se a matriz A é do tipo mxn, então a sua transposta AT será do tipo nxm.
Exemplo:
3x2
2 1
A 0 3
1 4
 
 =  
 −  
T
2x3
2 0 1
A A '
1 3 4
− 
= =  
 
Propriedades:
(I) Uma matriz é simétrica somente se ela é igual à sua transposta, isto é, apenas se A = AT.
(II) (AT)T = A, isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma.
(III) (A + B)T = AT + BT
(IV) (k A)T = k AT, onde k é qualquer escalar.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
2.4 Multiplicação de matrizes
Para podermos efetuar o produto de duas matrizes, o número de colunas da 1ª deve ser igual ao 
número de linhas da outra, isto é:
(aik)m x p x(bkj)p x n = (Cij)m x n
=
Assim:
A = (aik), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ p
B = (bkj), com 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ j ≤ n
Chamamos de produto da matriz A pela matriz B a matriz:
C = (cij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, tal que:
cij = ai1b1j + ai2b2j +...+aipbpj
O elemento cij é obtido multiplicando‑se ordenadamente os elementos da i‑ésima linha de A pelos 
elementos da j‑ésima coluna de B e somando‑se esses produtos.
Para indicar que C é o produto de A por B, escrevemos: A . B, A x B ou simplesmente AB.
É importante observarmos que só se define o produto de duas matrizes quando o número de 
colunas da 1ª é igual ao número de linhas da 2ª. O resultado será uma matriz com o número de 
linhas da 1ª e o número de colunas da 2ª.
Vejamos alguns exemplos para que você entenda bem a definição de produto de matrizes. 
Note que das operações que vimos até agora, esta é a que exige maior atenção devido aos 
cálculos necessários.
Exemplos:
1) Dadas as matrizes 
2 x 3
1 0 2
A
2 1 1
− 
=  − 
 e 
 3 x 2
1 0
B 1 1
1 2
 
 = − 
 
 
, determine, se possível:
a) AB
b) BA
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Unidade I
Resolução:
a) Para o produto AB, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas 
da 2ª:
A = (aij)2 x 3 B= (bjk)3 x 2
=
Logo, o produto AB é possível e a matriz resultante será do tipo 2 x 2. Então, vamos calcular 
esse produto. Para isso, o ideal é que as matrizes sejam colocadas uma ao lado da outra na ordem 
em que o produto deve ser feito:
1 0
‑1 0 2
AB= ‑1 1
2 1 ‑1
1 2
 
   
      
 
Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de A pelos elementos de cada coluna 
de B, termo a termo, e some os resultados. Faça isso por todas as colunas de B, esse procedimento 
dará todos os elementos da1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de A 
até que acabem as linhas de A.
Assim, os elementos da 1ª linha da matriz produto serão:
elemento c11: produto dos elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B:
c11 = (‑1) . 1 + 0 . (‑1) + 2 . 1 = ‑1 + 0 + 2 = 1
elemento c12: produto dos elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 2ª coluna de B:
c12 = (‑1) . 0 + 0 . 1 + 2 . 2 = 0 + 0 + 4 = 4
Já os elementos da 2ª linha da matriz produto serão:
elemento c21: produto dos elementos da 2ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B:
c21 = 2 . 1 + 1 .(‑1) + (‑1) . 1 = 2 + (‑1) – 1 = 0
elemento c22: produto dos elementos da 2ª linha de A pelos elementos da 2ª coluna de B:
c22 = 2 . 0 + 1 . 1 + (‑1) . 2 = 0 + 1 – 2 = – 1
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Logo,
1 0
‑1 0 2 1 4
AB ‑1 1
2 1 ‑1 0 ‑1
1 2
 
    = =        
 
 
b) Para o produto BA, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas 
da 2ª:
=
B = (bij) 3 x 2 A = (ajk)2 x 3
Logo, o produto BA também é possível e a matriz resultante será do tipo 3 x 3. Agora calculemos 
esse produto. Novamente, as matrizes devem ser colocadas uma ao lado da outra na ordem em que 
o produto deve ser feito:
1 0
1 0 2
 B A ‑1 1 
2 1 1
1 2
 
−  =    −  
 
Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de B pelos elementos de cada coluna 
de A, termo a termo, e some os resultados. Faça isso por todas as colunas de A. Esse procedimento 
dará todos os elementos da 1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de B 
até que acabem as linhas de B.
Assim, os elementos da 1ª linha da matriz produto serão:
elemento c11: produto dos elementos da 1ª linha de B pelos elementos da 1ª coluna de A:
c11 = 1 . (‑1) + 0 . 2 = – 1 + 0 = – 1
elemento c12: produto dos elementos da 1ª linha de B pelos elementos da 2ª coluna de A:
c12 = 1 .0 + 0 . 1 = 0
elemento c13: produto dos elementos da 1ª linha de B pelos elementos da 3ª coluna de A:
c13 = 1 . 2 + 0 . (‑ 1) = 2
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Unidade I
Assim, os elementos da 2ª linha da matriz produto serão:
elemento c21: produto dos elementos da 2ª linha de B pelos elementos da 1ª coluna de A:
c21 = (‑ 1) . (‑ 1) + 1 . 2 = 1 + 2 = 3
elemento c22: produto dos elementos da 2ª linha de B pelos elementos da 2ª coluna de A:
c22 = (‑ 1) . 0 + 1 . 1 = 0 + 1 = 1
elemento c23: produto dos elementos da 2ª linha de B pelos elementos da 3ª coluna de A:
c23 = (‑ 1) . 2 + 1 . (‑ 1) = – 2 – 1 = – 3
Assim, os elementos da 3ª linha da matriz produto serão:
elemento c31: produto dos elementos da 3ª linha de B pelos elementos da 1ª coluna de A:
c31 = 1 . (‑ 1) + 2 . 2 = – 1 + 4 = 3
elemento c32: produto dos elementos da 3ª linha de B pelos elementos da 2ª coluna de A:
c32 = 1 . 0 + 2 . 1 = 0 + 2 = 2
elemento c33: produto dos elementos da 3ª linha de B pelos elementos da 3ª coluna de A:
c33 = 1 . 2 + 2 . (‑ 1) = 2 – 2 = 0
Logo,
1 0 ‑1 0 2
‑1 0 2
BA ‑1 1 3 1 ‑3
2 1 ‑1
1 2 3 2 0
   
    = =        
   
 
2) Dadas as matrizes 
2 x 3
1 0 2
A 
2 1 1
− 
=  − 
 e 
 3 x 1
0
B 1
1
 
 =  
 − 
 , determine, se possível:
a) AB
b) BA
Resolução:
a) Para o produto AB, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas 
da 2ª. Assim:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
A = (aij)2 x 3 B= (bjk)3 x 1
=
Logo, o produto AB é possível e a matriz resultante será do tipo 2 x 1. Vamos calcular esse 
produto. Novamente, o ideal é que as matrizes sejam colocadas uma ao lado da outra na ordem 
em que o produto deve ser feito:
 
   
      
 
0
-1 0 2
AB = 1
2 1 -1
-1
Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de 
B, termo a termo, e some os resultados. Como só temos uma coluna em B, o resultado encontrado 
será o único elemento da 1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de A até 
que acabem as linhas de A.
Assim, o elemento da 1ª linha da matriz produto será:
elemento c11: produto dos elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B:
c11 = (‑1) . 0 + 0 . 1 + 2 . (‑ 1) = 0 + 0 – 2 = – 2
Já o elemento da 2ª linha da matriz produto será:
elemento c21: produto dos elementos da 2ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B:
c21 = 2 . 0 + 1 .1 + (‑1) . (‑ 1) = 0 + 1 + 1 = 2
Logo,
2 x 1
0
‑1 0 2 ‑2
AB 1
2 1 ‑1 2
‑1
 
    = =        
  
 
 
b) Para o produto BA, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas 
da 2ª:
≠
B = (bij) 2 x 1 A = (ajk)3 x 2
Logo, o produto BA não é possível, pois o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A.
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Unidade I
Agora vamos retomar o problema da confecção da Dona Cotinha.
3) Dona Cotinha tem uma pequena confecção na qual fabrica moletons. Ela faz três tipos de 
modelos (A, B e C), nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro, foram feitos 
do modelo A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 
6 azuis e 4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos.
Se o preço de venda dos moletons do modelo A é R$ 80,00, do modelo B é R$ 60,00 e do modelo 
C é R $ 45,00, determine a renda obtida pela Dona Cotinha em fevereiro com a venda dos moletons de 
cor vermelha.
Resolução:
Observando o enunciado, notamos que temos duas matrizes, uma que relaciona modelo e cor e a 
outra, o preço de venda e o modelo.
Já conhecemos a matriz que relaciona modelo e cor, é a matriz:
15 12 9
10 15 11
P
8 6 9
5 4 2
 
 
 =
 
 
 
Precisamos determinar a matriz que relaciona o modelo com o preço de venda. Podemos montar a 
matriz definindo modelo para linha e preço para a coluna ou podemos fazer com modelo na coluna e 
preço na linha.
Para decidir qual é a forma mais conveniente, precisamos observar qual delas permite que se faça o 
produto de matrizes. Nesse caso, faremos a matriz com os modelos nas linhas e o preço de venda na coluna:
80
A 60
45
 
 =  
 
 
Para determinar a renda obtida com a venda nesse mês, é necessário fazer o produto P.A. Assim:
modelo x preço
cor x modelo cor x preço
232515 12 9
80
10 15 11 2195
P 60
8 6 9 1405
45
5 4 2 730
  
    
    = =           
    
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Logo, o valor obtido com a venda dos moletons vermelhos no mês, isto é, linha 4 (cor vermelha) e 
coluna 1 (preço), foi R$ 730,00.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Podemos demonstrar que, quaisquer que sejam as matrizes A, B e C (convenientes) e qualquer que 
seja o número real α, valem as seguintes propriedades:
(I) Associativa: (A.B).C = A.(B.C)
(II) Distributiva à esquerda: C(A+B) = CA + CB
(III) Distributiva à direita: (A+B) C = AC + BC
(IV) Elemento neutro: A In = In A = A
(V) (α A) B = A (α B) = α (AB)
(IV) A . 0 = 0 e 0 . A = 0
Há três observações importantes sobre a multiplicação de matrizes.
O primeiro destaque é que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Vejamos quais 
são as possibilidades de produto de duas matrizes A e B:
a) Pode existir o produto AB e não existir o produto BA.
Exemplo:
Se A é do tipo 3 x 4 e B é do tipo 4 x 2, existe AB (que é do tipo 3 x 2) e não existe BA.
Dadas as matrizes 
3 x 4
1 1 0 1
A 0 1 2 1
2 0 1 3
− 
 = − 
  
 e 
 4 x 2
1 2
0 1
B
3 1
1 1
− 
 − =
 
 − 
 temos:A = (aij)3 x 4 B= (bjk)4 x 2
=
Logo, o produto AB é possível. Vamos calcular esse produto:
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Unidade I
‑1 2
‑1 1 0 1 2 ‑4
0 ‑1
AB 0 ‑1 2 1 7 2
3 1
2 0 1 3 4 2
1 ‑1
 
    
    = =    
       
 
 
O produto BA não é possível, pois o número de colunas de B não é igual ao número de linhas de A.
≠
B = (bij) 4 x 2 A = (ajk)3 x 4
b) Os produtos AB e BA podem existir, mas são de tipos diferentes.
Exemplo:
Se A é do tipo 3 x 4 e B é do tipo 4 x 3, temos (AB)3x3 e (BA)4x4.
Dadas as matrizes 
3 x 4
1 1 0 1
A 0 1 2 1
2 0 1 3
− 
 = − 
  
 e 
 4 x 3
1 0 1
2 1 2
B
0 1 1
1 2 0
 
 − =
 −
 
 
 temos:
A = (aij)3 x 4 B= (bjk)4 x 3
=
Logo, o produto AB é possível e será uma matriz do tipo 3 x 3. Calculemos esse produto:
1 0 1
‑1 1 0 1 2 1 1
2 ‑1 2
AB 0 ‑1 2 1 ‑1 5 ‑4
0 1 ‑1
2 0 1 3 5 7 1
1 2 0
 
    
    = =    
       
 
 
 
 
 
 
=
B = (bij) 4 x 3 A = (ajk)3 x 4
O produto BA é possível e será uma matriz do tipo 4 x 4. Vamos então calcular esse produto:
1 0 1 1 1 1 4
‑1 1 0 1
2 ‑1 2 2 3 0 7
BA 0 ‑1 2 1
‑2 ‑1 1 ‑20 1 ‑1
2 0 1 3
‑1 ‑1 4 31 2 0
   
    
    = =    
     
  
 
 
 
 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Existem as matrizes AB e BA, mas são de tipos diferentes.
c) Podem existir os produtos AB e BA, sendo ambos do mesmo tipo e AB ≠ BA. Nesse caso, A e B são 
matrizes quadradas de mesma ordem.
Exemplo:
Se A = 
1 2
3 1
 
 − 
 e B = 
3 1
4 3
 
 
 
, temos:
AB = 
1 2
3 1
 
 − 
 . 
3 1
4 3
 
 
 
 = 
11 7
5 0
 
 
 
BA = 
3 1
4 3
 
 
 
 . 
1 2
3 1
 
 − 
 = 6 5
13 5
 
 
 
d) Podem existir ambos os produtos AB e BA. Sendo AB = BA, dizemos que as matrizes A e B 
são comutáveis.
Exemplo:
Se 
1 1
A
1 0
 
=  − 
 e 
0 1
B
1 1
− 
=  
 
, temos:
1 1 0 ‑1 1 0
AB
‑1 0 1 1 0 1
     
= =     
     
 
0 ‑1 1 1 1 0
BA
1 1 ‑1 0 0 1
     
= =     
     
 
Existem os produtos AB e BA e temos AB = BA.
A segunda observação é que na multiplicação de matrizes, não vale a lei da anulação do produto:
Se a e b são números reais e a . b = 0, então a = 0 ou b = 0
Em outras palavras, se o produto é nulo, então um dos fatores (ou ambos) é nulo.
Isso, porém, não é um fato para o produto de matrizes, pois podemos ter uma multiplicação entre as 
matrizes A e B, ambas não nulas, mas o resultado ser uma matriz nula.
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Unidade I
Exemplo:
Considerando as matrizes:
2 0
A
3 0
 
=  
 
 e 
0 0
B
4 1
 
=  
 
 
Calculando o produto AB, temos:
2 0 0 0 0 0
AB A . B . 
3 0 4 1 0 0
     
= = =     
     
Portanto, AB = 02x2
Todavia, apesar de o produto ser nulo, nem A nem B são matrizes nulas.
O último destaque é que na multiplicação de matrizes, não vale a lei do cancelamento do produto:
Quando trabalhamos com números reais, a seguinte propriedade é verdadeira:
Se c ≠ 0 e a.c = b.c então a = b.
Entretanto, tal propriedade não é verdadeira para o produto de matrizes.
Exemplo:
Sendo 
2 3
A
5 1
 
=  
 
 e 
4 2
C
2 1
 
=  
 
, temos:
2 3 4 2 14 7
A . C . 
5 1 2 1 22 11
     
= =     
     
Sendo 
1 5
B
2 7
 
=  
 
, temos:
1 5 4 2 14 7
BC 
2 7 2 1 22 11
     
= =     
     
Neste exemplo, temos: AC = BC e C ≠ 02x2. Mas, A ≠ B.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
2.5 Matriz inversa
Uma matriz quadrada A, de ordem n, tem inversa se existe uma matriz quadrada A ‑1, de ordem n, 
tal que a multiplicação de A por A ‑1 é igual à matriz identidade de mesma ordem que A:
A . A‑1 = A‑1 . A = In
 Observação
O produto de uma matriz por sua inversa é sempre comutativo.
Exemplos:
Utilizando a definição exposta, determine a inversa da matriz A:
a) 
1 ‑1
A
2 3
 
=  
 
Pela definição, a matriz inversa deve ter a mesma ordem da matriz A, neste caso, ordem 2.
Para definir a inversa, precisamos fazer o produto e o igualar à matriz identidade. Assim, devemos 
escolher variáveis para montar uma matriz genérica e efetuar o produto. O objetivo é resolver a igualdade 
de matrizes resultante e encontrar o valor das variáveis, determinando a inversa.
Escolhendo a expressão para a inversa, obtém‑se:
 1 a bA
c d
−  =  
 
Pela definição, temos:
A . A‑1 = In
1 ‑1 a b 1 0
.
2 3 c d 0 1
     
=     
     
 
Efetuando a multiplicação das matrizes:
a‑ c b ‑ d 1 0
2 a 3 c 2 b 3 d 0 1
   
=   + +   
 
 
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Unidade I
Igualando as matrizes, temos o sistema:
a c 1
2 a 3 c 0
 
b‑d 0
2 b 3 d 1
− =
 + =
 =
 + =
Resolvendo o sistema, temos:
3
a
5
1
b
5 
2
c
5
1
d
5
 =

 =

 = −


 =

Logo, a inversa de A é a matriz 1
3 1
5 5A .
2 1
5 5
−
 
 
=  
 − 
 
 Lembrete
Você pode fazer a verificação da solução efetuando o produto A.A ‑1 e 
igualando a I2.
b) 
 1 2
A
1 2
− 
=  − 
Pela definição, a matriz inversa deve ter a mesma ordem da matriz A, neste caso, ordem 2.
Escolhendo a expressão para a inversa, obtém‑se:
 1 a bA
c d
−  =  
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Pela definição, temos:
A . A–1 = In
1 ‑2 a b 1 0
.
‑1 2 c d 0 1
     
=     
     
 
 
Efetuando a multiplicação das matrizes, temos:
a‑2 c b ‑ 2 d 1 0
‑ a 2 c ‑ b 2 d 0 1
   
=   + +   
 
 
 
Igualando as matrizes, temos o sistema:
a 2 c 1
 a 2 c 0
 
b‑ 2 d 0
 b 2 d 1
− =
− + =
 =
− + =
Com base na 2ª equação, a = 2c. Substituindo na 1ª equação:
2 c – 2 c = 1, isto é, 0 = 1 (F)
Logo, o sistema não tem solução, e assim a matriz A não admite inversa.
Nem sempre é prático determinar a matriz inversa, principalmente se a matriz é de ordem 3 ou 
superior. Para esses casos, você pode utilizar outro procedimento: no lugar da definição, o processo 
prático que utiliza operações elementares com as linhas da matriz.
2.6 Processo prático para determinar a matriz inversa
Consiste em montar a matriz ampliada, formada pelos elementos da matriz A à esquerda e pelos 
elementos da matriz identidade de mesma ordem que A.
O objetivo do processo, utilizando operações elementares com as linhas da matriz, é transportar a 
matriz identidade da parte direita para a parte esquerda. Como as operações são feitas com a linha toda 
da matriz ampliada ao fim do processo, na parte direita aparecerá a matriz inversa.
Você deve estar curioso para saber quem são as operações elementares que serão utilizadas nas 
linhas da matriz.
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Unidade I
Vejamos as três operações elementares:
• Permutação de linhas.
• Multiplicação de uma linha por um número real não nulo.
• Substituição de uma linha por uma combinação linear dela com qualquer outra linha da matriz.
Essas operações transformam a matriz em uma matriz equivalente.
Destacamos a seguir como usar essas operações para definir r a inversa da matriz A.
Exemplos:
1) Determinar a inversa da matriz A utilizando o método prático:
2 1 1
A 1 0 1
2 2 1
=
 
 
  
 
Resolução: 
Para utilizar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada: 
2 1 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0
2 2 1 0 0 1
 
 
  
 
 
Lembrando que, para determinar ainversa, vamos transferir a matriz identidade da direita 
para a esquerda da matriz ampliada, utilizando as operações elementares com as linhas da matriz. 
Ao fim do procedimento, a matriz que encontrarmos na parte direita da matriz ampliada será a 
inversa de A.
Para zerar o elemento a21 da matriz, vamos substituir a linha 2 (L2) pela expressão ‑2L2 + L1. Note na 
matriz a seguir que marcamos com um círculo o elemento a ser zerado, isso deve facilitar o entendimento 
do processo.
Faremos a mesma indicação para os outros elementos:
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2 1 1
0 1 1
2 2 1
1 0 0
1 2 0
0 0 1
 
 
 
 
 
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
2 1 1
1 0 1
2 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
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�
�
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
L2 = ‑2 L2 + L1
Rascunho
 ‑2 L2 ‑2 0 – 2 0 ‑2 0 
 L1 2 1 1 1 0 0
‑2 L2 + L1 0 1 ‑1 1 ‑2 0
Para zerar o elemento a31 da matriz, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 – L1
L3 = L3 ‑ L1
Rascunho
L3 2 2 1 0 0 1 
‑ L1 – 2 ‑1 ‑1 ‑1 0 0
L3 – L1 0 1 0 ‑1 0 1
2 1 1
0 1 1
0 1 0
1 0 0
2 0
1 0 1
 
 
 1� �
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
Agora queremos zerar o elemento a32. Para isso, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 – L2.
 Observação
Nesse caso, não podemos escrever a expressão utilizando a 1ª linha, 
pois teríamos o elemento a31 novamente diferente de zero.
2 1 1
0 1 ‑1
0 0 1
 
 1 0 0
 1 ‑2 0
‑2 2 1
�
�
�
�
�
�
�
�
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~
L3 = L3 – L2
Rascunho
L3 0 1 0 ‑1 0 1 
‑L2 0 ‑1 1 ‑1 2 0
L3 ‑ L2 0 0 1 ‑2 2 1
Já temos metade da matriz zerada, falta zerar a parte superior. Não vamos nos preocupar com 
elementos da diagonal principal ainda, só ao fim do processo vamos deixar todos iguais a 1.
Agora vamos zerar o elemento a23 e substituir a linha 2 (L2) pela expressão L3 + L2:
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Unidade I
L3 = L3 + L2
Rascunho
L3 0 0 1 ‑2 2 1
L2 0 1 ‑1 1 ‑2 0
L3 + L2 0 1 0 ‑1 0 1
2 1 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1
2 2 1 
 
 
‑1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

Nesse instante, devemos zerar o elemento a13. Para tal, vamos substituir a linha 1 (L1) pela 
expressão L1 – L3:
2 1 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
0 1
2 2 1 
 ‑1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

L1 = L1 ‑ L3
Rascunho
L1 2 1 1 1 0 0 
‑L3 0 0 ‑1 2 ‑2 ‑1
L1 – L3 2 1 0 3 ‑2 ‑1
Agora falta somente zerar o elemento a12. Assim, substituímos a linha 1 (L1) pela expressão L1 – L2:
2 0 0
0 1 0
0 0 1
4 2 2
0 1
2 2 1
 
 
 ‑1
� �
�
�
�
�
�
�
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�
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
L1 = L1 – L2
Rascunho
L1 2 1 0 3 ‑2 ‑1 
‑L2 0 ‑1 0 1 0 ‑1
L1 – L2 2 0 0 4 ‑2 ‑2
Já conseguimos transformar a parte esquerda da matriz ampliada numa matriz diagonal, falta ainda 
deixar todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.
Devemos deixar o elemento a11 igual a 1, por isso vamos dividir a 1ª linha por 2:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 1 1
1 0 1
2 2 1
 
 
 
‑ ‑
‑
‑
�
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Logo, a inversa da matriz A é:
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‑1
2 ‑1 ‑1
A ‑1 0 1
‑2 2 1
 
 =  
 
 
 
Para fazer o escalonamento, devemos seguir a ordem em que os elementos da matriz foram zerados 
nesse exemplo. Isso agiliza o processo.
2) Determine a inversa da matriz A utilizando o método prático:
1 0 1
A 2 1 2
1 1 1
 
 =  
 
 
Resolução:
Para utilizar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada. Para isso, monte 
uma matriz dividida por uma barra; do lado esquerdo coloque a matriz A e, do lado direito, a matriz 
identidade de mesma ordem de A.
Nesse caso, temos a matriz ampliada:
1 0 1 1 0 0
2 1 2 0 1 0
1 1 1 0 0 1
 
 
 
 
 
Lembrando que, para determinar a inversa, devemos transferir a matriz identidade da direita para a 
esquerda da matriz ampliada utilizando as operações elementares com as linhas da matriz. Ao fim do 
procedimento, a matriz que encontrarmos na parte direita da matriz ampliada será a inversa de A.
Para que você não se confunda durante o processo, vamos escrever no rascunho as contas que 
estamos fazendo. Depois que você estiver mais familiarizado com o processo, pode eliminar os rascunhos.
Iniciamos zerando os elementos a21 e a31. Para zerar o elemento a21 da matriz, vamos substituir a 
linha 2 (L2) por expressão conveniente, de modo que a soma das linhas transforme a21 em zero.
Assim, vamos utilizar a expressão L2 – 2L1. Depois fixamos os resultados no lugar dos elementos da 
linha 2, mantendo as outras linhas da matriz.
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1 0 1
2 1 2
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
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�
�
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�
�
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1 0 1
0 1 0
1 1 1
1 0 0
2 1 0
0 0 1
 
 
 
 
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�

L2 = L2 – 2L1
Rascunho
 L2 2 1 2 0 1 0 
 – 2L2 ‑2 0 ‑2 ‑2 0 0
L2 – 2 L2 0 1 0 ‑2 1 0
Para zerar o elemento a31 da matriz, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 – L1:
1 0 1
0 1 0
0 1 0
1 0 0
1
1 0 1
 
 
 
‑2 0
 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

L3 = L3 – L1
Rascunho
L3 1 1 1 0 0 1 
‑L1 ‑1 0 ‑1 ‑1 0 0
L3 – L1 0 1 0 ‑1 0 1
Agora queremos zerar o elemento a32. Para isso, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 – L2:
 Observação
Nesse caso, não podemos escrever a expressão utilizando a 1ª linha, 
pois teríamos o elemento a31 novamente diferente de zero.
1 0 1
0 1 0
0 0 0
1 0 0
1 0
1 1 1 
 
 
‑2 
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
L3 = L3 – L2
Rascunho
 L3 0 1 0 ‑1 0 1 
‑ L2 0 ‑1 0 2 ‑1 0
L3 – L2 0 0 0 1 ‑1 1
Note que a última linha da metade esquerda da matriz ampliada tem os três números iguais a zero. 
Logo, é impossível transformar essa parte na matriz identidade.
Portanto, a matriz não admite inversa.
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2.7 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determine os elementos a21 e a34 da matriz definida por:
i j se i j
2 se i j
2 i se i j 
− >
 =
 <
Resolução:
Para determinar os elementos da matriz, como ela é dada por várias sentenças, você vai observar os 
índices dos elementos e definir qual das condições deverá ser obedecida.
Assim, temos:
elemento a21:
i = 2 e j = 1, isto é, i > j, deve‑se obedecer à condição ai j = i – j
elemento a34:
i = 3 e j = 4, isto é, i < j, deve‑se obedecer à condição ai j = 2 i
Logo, a21 = 2 – 1 = 1 e a34 = 2 .3 = 6, isto é, a21 = 1 e a34 = 6.
2) Dadas as matrizes 
1 2
A 1 ‑1
0 2
 
 =  
 
 
 e 
‑1 2
B 0 0
2 1
 
 =  
 
 
, então os valores dos elementos da matriz 
X = – 3A + 3B são:
Resolução:
Substituindo os valores de A e B na expressão, obtém‑se:
X = – 3A + 3B
1 2 ‑1 2
X 3 1 ‑1 3 0 0
0 2 2 1
   
   = − +   
   
   
Efetuando o produto dos números pelas matrizes, temos:
‑3 ‑6 ‑3 6
X ‑3 3 0 0
0 ‑6 6 3
   
   = +   
   
   
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Unidade I
Assim:
‑6 0
X ‑3 3 
6 ‑3
 
 =  
 
 
3) Dadas as matrizes 
1 2
A 2 1
0 4
− 
 = − 
 
 
 e 
1 1 2
B
 1 1 0
− − 
=  − 
, determine o valor de X = A –BT
Resolução:
Para resolver esse exemplo, você deve inicialmente determinar a transposta da matriz B, assim: 
T
1 1
B 1 1
2 0
− 
 = − 
 − 
Substituindo as matrizes na expressão, temos:
X = A – BT 
‑1 2 ‑1 1
X ‑2 1 ‑ 1 ‑1
0 4 ‑2 0
   
   =    
   
   
 
0 1
X ‑3 2
2 4
 
 =  
 
 
4) Determine o valor de x que torna iguais as matrizes A e B, sendo: 
2x 1 1 2 x 1 3
A e B 
2 x 3 5 5 3
+ − − −     
= + =     
     
Resolução:
Inicialmente, vamos determinar os valores da matriz A:
2x 1 ‑1 2 x 2x 1 2 ‑1 x 2x 3 ‑1 x
A
2 x 3 5 2 3 x 5 5 x 5
+ + + + + +       
= + = =       + + +       
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Daí, temos:
2x 3 ‑1 x ‑1 ‑3
5 x 5 5 3
+ +   
=   +   
Igualando as matrizes:
2x 3 ‑1 2 . (‑2) 3 ‑1 ‑1 ‑1 (V)
‑1 x ‑3 ‑1‑2 ‑3 ‑3 ‑3 (V)
5 5
x 5 3 x ‑ 2
+ = ⇒ + = ⇒ =
 + = ⇒ = ⇒ =
 =
 + = ⇒ =
 
 
 
Resolvendo o sistema, encontramos x = – 2.
5) Dadas as matrizes 
3 2
A
1 2
 
=  
 
 e 
1 1 4
B
0 1 2
− 
=  − 
, determine o valor de:
a) A.B
b) B.A 
Resolução:
a) 
3 2 ‑1 1 4
A . B .
1 2 0 1 ‑2
   
=    
   
 
3.(‑1) 2.0 3.1 2.1 3.4 2.(‑2)
A .B
1.(‑1) 2.0 1.1 2.1 1.4 2.(‑2)
+ + + 
=  + + + 
 
 
‑3 5 8
A .B
‑1 3 0
 
=  
 
 
b) 
≠
2 X 3 2 x 2
‑1 1 4 3 2
B . A .
0 1 ‑2 1 2
   
=    
    
 
 
Não é possível efetuar o produto, pois número de colunas da matriz B é diferente do número de 
linhas da matriz A.
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6) Sendo A = (3 ‑1 0) e 3
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
 
 =  
 
 
 
 , determine o resultado de A . I3
Resolução:
Substituindo as matrizes dadas na expressão:
3
1 0 0
A . I ( 3 ‑1 0) . 0 1 0
0 0 1
 
 =  
 
 
 
A . I3 = (3.1+(‑1).0+0.0 3.0+(‑1).1+0.0 3.0+(‑1).0+0.1)
A . I3 = (3 ‑1 0)
 Observação
A matriz resultante é do tipo 1 x 3, isto é, uma linha e três colunas.
7) Determine a inversa da matriz 
5 1
A
0 1
 
=  
 
 utilizando a definição exposta.
Resolução:
Sabemos que a inversa de uma matriz A do tipo 2 x 2 é uma matriz do mesmo tipo, isto é, também 
será 2 x 2.
Tomemos então 1
a b
A 
c d
−  =  
 
como a inversa de A. Devemos determinar os valores de a, b, c, d.
Pela definição de matriz inversa, temos:
A . A‑1 = I2
Agora, substituindo os valores de A e de A‑1 na expressão:
2
5 1 a b
. I
0 1 c d
   
=   
   
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Efetuando o produto das matrizes e lembrando que a matriz identidade 2 x 2 é igual a 
2 
1 0
I 
0 1
 
=  
 
, temos:
5a c 5b d 1 0
c d 0 1
+ +   
=   
   
Igualando as matrizes:
5a c 1
5b d 0
c 0
d 1
+ =
 + =
 =
 =
Resolvendo o sistema, encontramos: a = 1/5, b = ‑1/5; c = 0 e d = 1
Logo, A‑1 = 
1/ 5 ‑1/ 5
0 1
 
 
 
 é a inversa da matriz A.
8) Determine o valor de x que torna verdadeira a equação matricial:
x ‑1 2 3 4 4 6
2x 3 ‑6 1 ‑2 4
     
+ =     
     
 
Resolução:
Para determinar o valor de x, você deve somar as matrizes e depois fazer a substituição na expressão 
e resolver a igualdade:
x ‑1 2 3 4 4 6
2x 3 ‑6 1 ‑2 4
     
+ =     
     
x 1 3 2 4 4 6
2x 6 3 1 2 4
− + +   
=   − + −   
x 2 6 4 6
2x 6 4 2 4
+   
=   − −   
Lembrando que matrizes são iguais quando cada elemento de uma é igual ao elemento correspondente 
da outra. Vejamos:
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Unidade I
x 2 4
6 6 (V)
2x 6 2
3 1 4 (V)
+ =
 =
 − = −
 + =
Resolvendo o sistema, encontramos x = 2.
9) Determine a inversa da matriz A utilizando o método prático:
1 2 0
A 1 1 2
1 1 1
 
 = − 
 
 
Resolução:
Para usar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada:
1 2 0 1 0 0
1 1 2 0 1 0
1 1 1 0 0 1
 
 − 
 
 
Para determinar a inversa, vamos transferir a matriz identidade da direita para a esquerda da matriz 
ampliada utilizando as operações elementares com as linhas da matriz. Ao fim do procedimento, a 
matriz que encontrarmos na parte direita da matriz ampliada será a inversa de A.
Para zerar o elemento a21 da matriz, vamos substituir a linha 2 (L2) pela expressão L2 + L1:
L2 = L2 + L1
Rascunho
 L2 ‑1 1 2 0 1 0 
 L1 1 2 0 1 0 0
L2 + L1 0 3 2 1 1 0
1 2 0
1 1 2
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
 
1 2 0
0 3 2
1 1 1
1 0 0
1 1 0
0 0 1
 
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
53
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Para zerar o elemento a31 da matriz, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 – L1:
1 2 0
0 3 2
1 1 1
1 0 0
1 1 0
0 0 1
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

L3 = L3 – L1
Rascunho
 L3 1 1 1 0 0 1 
 ‑L1 ‑1 ‑2 0 ‑1 0 0
L3 – L1 0 ‑1 1 ‑1 0 11 2 0
0 3 2
0 1 1
1 0 0
1 0
1 0 1
 
 
 
 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

Agora queremos zerar o elemento a32, por isso vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão 3L3 + L2:
 Observação
Nesse caso, não podemos escrever a expressão utilizando a 1ª linha, 
pois teríamos o elemento a31 novamente diferente de zero.
1 2 0
0 3 2
0 0 5
1 0 0
1 0
2 1 3
 
 
 
 
 
 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

L3 = 3L3 + L2
Rascunho
3L3 0 ‑3 3 ‑3 0 3 
 L2 0 3 2 1 1 0
3L3 + L2 0 0 5 ‑2 1 3
1 2 0
0 3 2
0 1 1
1 0 0
1 1 0
1 0 1� �
�
�
�
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�
�
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�
�
 
Já temos metade da matriz zerada, falta zerar a parte superior. Não é preciso se preocupar com 
elementos da diagonal principal ainda, só no fim do processo vamos deixar todos iguais a 1.
Para zerar o elemento a23, substituímos a linha 2 (L2) pela expressão ‑2L3 + 5L2.
Note que o objetivo de se multiplicar a linha 3 por (‑2) e a linha 2 por 5 é obter um múltiplo comum 
de 2 e 5 para efetuar o cancelamento.
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Unidade I
1 2 0
0 1 0
0 0 5
1 0 0
3 6
2 1 3
 
 5
 
 
 
9
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

L3 = – 2L3 + 5L2
Rascunho
‑2L3 0 0 ‑10 4 ‑2 ‑6 
 5L2 0 15 10 5 5 0
–2L3 + 5L2 0 15 0 9 3 ‑6
1 2 0
0 3 2
0 0 5
1 0 0
1 1 0
2 1 3
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

Como o elemento a13 já é igual a zero, falta somente zerar o elemento a12. Para isso, vamos substituir 
a linha 1 (L1) pela expressão ‑2 L2 + 15 L1:
15 0 0
0 1 0
0 0 5
3 6 12
3 6
2 1 3
 
 5
 
 9
 
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

L1 = –2L3 + 5L2
Rascunho
‑2L2 0 ‑30 0 ‑18 ‑6 12 
15L1 15 30 0 15 0 0
‑2L2 + 15L1 15 0 0 ‑3 ‑6 12
1 2 0
0 15 0
0 0 5
1 0 0
9 3 6
2 1 3
 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

Já conseguimos transformar a parte esquerda da matriz ampliada numa matriz diagonal, falta ainda 
deixar todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.
Vamos dividir cada linha por um número conveniente: dividamos a linha 1 por 15, a linha 2 por 15 
e a linha 3 por 5. Assim, temos:
3 6 121 0 0 ‑ ‑
15 15 15
9 3 6
0 1 0 ‑
15 15 15
2 1 3
‑0 0 1 5 5 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a inversa da matriz A é:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
3 6 12
‑ ‑
15 15 15
9 3