Aulas Análise Estrutural

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Prof. José Eduardo Pilotto
Engenheiro Civil
profpilotto@gmail.com
1º semestre 2019 – R8
PONTES E GRANDES 
ESTRUTURAS - PGE
Aula 10/04/2019
Projeto Estrutural
Para que o projeto estrutural atinja suas finalidades, há a necessidade do 
conhecimento de :
■ Teoria das Estruturas;
■ Concreto Armado e Protendido;
■ Mecânica dos Solos;
■ Geologia;
■ Hidráulica e Hidrologia;
■ Materiais;
■ Topografia;
■ Estradas;
■ Fundações.
Para isso supõe-se a presença direta ou indireta de especialistas nessas diversas áreas.
Teoria das Estruturas
A Engenharia Estrutural é a ciência e a arte de planejamento, projeto e construção de 
estruturas seguras e econômicas que servirão seus propósitos destinados.
A análise estrutural é uma parte integrante de qualquer projeto de engenharia de 
estruturas, sendo sua função a previsão do desempenho da estrutura proposta.
Teoria das Estruturas
As características de desempenho comumente de interesse no projeto de 
estruturas são:
(1) Tensões e resultantes de tensões, tais como forças normais, forças cortantes e 
momentos fletores;
(2) Flechas;
(3) Reações de apoio
Assim, a análise estrutural envolve a determinação dessas quantidades 
provocadas por uma condição de carga dada.
O fluxograma a seguir mostra as várias fases de um projeto típico de engenharia 
estrutural:
Fases de um projeto:
Fases de um projeto de 
engenharia de estruturas típico.
Teoria das Estruturas
Fase de Planejamento
Envolve o estabelecimento dos requisitos funcionais da estrutura 
proposta, o arranjo geral e as dimensões da estrutura, a consideração 
dos possíveis tipos de estrutura que pode ser viável e os tipos de 
materiais a serem utilizados.
Esta fase envolve todos os itens que estudamos nas aulas anteriores:
Economia, estética, impacto ambiental e assim por diante...
Teoria das Estruturas
Projeto Estrutural Preliminar
Na fase do projeto estrutural preliminar, as dimensões dos vários 
elementos do sistema estrutural selecionado na fase do planejamento 
são estimados com base na análise aproximada, na experiência do 
passado e nas exigências de norma.
As dimensões dos elementos assim selecionadas são utilizadas na fase 
seguinte para estimar o peso da estrutura. 
Teoria das Estruturas
Estimativa de Cargas
A estimativa de cargas envolve a determinação de todas as cargas que 
podem ser esperadas para agir sobre a estrutura.
Teoria das Estruturas
Análise Estrutural
Na análise estrutural, os valores das cargas são utilizados para realizar 
uma análise da estrutura com a finalidade de determinar as tensões 
resultantes nos elementos e os deslocamentos nos vários pontos da 
estrutura.
Teoria das Estruturas
Verificação de segurança e em serviço
Os resultados da são utilizados para determinar se a estrutura satisfaz 
ou não os requisitos de segurança e em serviço das normas de projeto.
Se esses requisitos forem satisfeitos, então os desenhos de projetos e as 
especificações de construção são preparados e a fase de construção 
pode ser iniciada.
Se os requisitos de norma não estão satisfeitos, estão as dimensões dos 
elementos são revisadas e as fases de “estimativas de carga”, “análise 
estrutural” e “verificação de segurança e em serviço” são repetidas até 
que todos os requisitos de segurança e em serviço estejam devidamente 
satisfeitos.
Teoria das Estruturas
Equilíbrio de estruturas
Uma estrutura é considerada em equilíbrio se, 
inicialmente em repouso, ela permanecer em repouso 
quando sujeita a um sistema de forças e momentos.
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Momentos em relação a 
um ponto determinado.
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Pode se locomover na horizontal e pode rotacionar em torno do próprio ponto de apoio 
Não pode se locomover na 
vertical.
Um grau de liberdade 
impedido,
Uma reação de apoio.
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Não pode se locomover na 
vertical nem na horizontal.
Pode rotacionar em torno do 
próprio ponto de apoio 
Dois graus de liberdade 
impedidos,
Duas reações de apoio.
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Não pode se locomover na 
vertical nem na horizontal 
não está livre para 
rotacionar.
Três graus de liberdade 
impedidos,
Três reações de apoio.
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Considerando:
X = número de incógnitas (NUMERO DE REAÇÕES DE APOIO)
E = equações de equilíbrio
Temos:
X<E Estruturas Hipostáticas
X = E Estruturas Isostáticas
X>E Estruturas Hiperestáticas
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Reações de apoio e esforços internos (casos de anel – ciclo fechado de barras).
Se romper alguma seção desse anel passaremos a ter esforço normal, esforço 
cortante e momento fletor.
Sempre que tenho anel devemos acrescentar 3 incógnitas no nosso problema.
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Estruturas Isostáticas
Conceitos Básicos
Particularidade: Condições necessárias, mas não suficientes.
Dependem de outros fatores, como a disposição dos apoios na estrutura ou a disposição das 
rótulas na estruturas.
Pode ser que a estrutura seja hipostática.
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
1) Viga bi apoiada – Determine o tipo de estrutura:
Estruturas Isostáticas
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
2) Viga bi apoiada – Determine o tipo de estrutura:
Estruturas Isostáticas
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
3) Viga guerber – Determine o tipo de estrutura:
Estruturas Isostáticas
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
4) Viga guerber – Determine o tipo de estrutura:
Estruturas Isostáticas
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
5) Pórtico plano – Determine o tipo de estrutura:
Estruturas Isostáticas
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
6) Pórtico plano, possui rótulas – Determine o tipo de estrutura:
Estruturas Isostáticas
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
7) Pórtico com ciclo fechado de barras (anel) – Determine o tipo de estrutura:
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
Sempre que tenho um anel aparecem 3 incógnitas no meu problema.
Esforços internos – normal/cortante/momento fletor
Estruturas Isostáticas
Estruturas Isostáticas
Exercícios:
8) Viga (caso particular) – Determine o tipo de estrutura:
Estruturas Isostáticas
A disposição dos 3 apoios de 1º gênero permitem 
que a estrutura se movimente na horizontal.
Deixa de ser uma estrutura estável !
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio
Reações de Apoio – Carregamento uniformemente distribuida
Reações de Apoio – Carregamento uniformemente distribuida
Reações de Apoio – Carregamento uniformemente distribuida
Reações de Apoio – Carregamento uniformemente distribuida
Reações de Apoio – Carregamento uniformemente distribuida
Reações de Apoio – Carregamento uniformemente distribuida
Reações de Apoio – Carregamento uniformemente distribuida
Quadro Esquemático
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PONTES E GRANDES 
ESTRUTURAS - PGE
Aula 15/04/2019
Vigas Gerber
As vigas Gerber recebem esse nome em homenagem ao engenheiro 
alemão Heinrich Gerber (1832 – 1912).
Surgiram através das necessidades de vencer enormes vãos, atingindo 
distâncias cada vez maiores que não eram possíveis com os métodos 
existentes até então.
Na área Estrutural, permitem deformações, evitando o surgimento de 
esforços internos devidos a recalques diferenciais nos apoios.
Na área Construtiva, permitem o lançamento de vigas pré-moldadas 
em vãos sobre o leito do rio ou de difícil acesso.
Vigas Gerber
As vigasGerber tem lugar de grande importância na 
engenharia estrutural e a tendência é de cada vez mais 
serem utilizadas, tendo em vista o desenvolvimento das 
técnicas de pré fabricação e montagem estrutural.
Vigas Gerber
O grande diferencial dessa viga são as Rótulas ou também 
conhecidos como Dentes Gerber.
Esse tipo de apoio mantem a estabilidade da estrutura e a 
torna isostática.
Em uma Rótula ou Dente Gerber, sempre, o momento 
será nulo, ou seja, M = 0.
Vigas Gerber
As vigas Gerber consistem na associação de vigas com 
estabilidade própria (CEP) com outras sem estabilidade 
própria (SEP).
As ligações entre as partes se dá por meio de articulações 
(fixas ou móveis), denominadas rótulas Gerber.
Importante ressaltar que as partes identificadas como SEP 
são também estáveis, entretanto a estabilidade delas 
dependem da estabilidade das vigas sobre as quais se 
apoiam.
Vigas Gerber
Viga Gerber
Dentes Gerber
(Rótula)
Vigas Gerber
As vigas Gerber podem, portanto, ser 
consideradas como uma associação de vigas 
simples (biapoiadas, biapoiadas com balanços 
ou engastadas e livres).
Vigas Gerber
Pontes Gerber pertencem à 
classe de pontes em balanço.
Vigas Gerber
Também são utilizados 
os aparelhos de apoio 
nos dentes Gerber.
As patologias são 
conhecidas e podem 
ser trabalhadas.
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber são bastante utilizadas em estruturas pré-
moldadas. Onde as rótulas transmitem forças verticais e 
horizontais, mas não transmitem momento. 
Basta que um dos apoios resista a forças horizontais na 
viga Gerber. 
Apenas as cargas verticais provocam esforço cortante e 
momento fletor nas vigas, portanto, na decomposição 
não é necessário distinguir apoios do 1° ou 2°.
Vigas Gerber
Muito utilizada em elementos pré-fabricados:
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
As vigas Gerber podem também ser 
consideradas como exemplos de estruturas 
hiperestáticas que tornam-se isostáticas
devido a introdução de liberações de vínculos 
internos: no caso rótulas (dentes Gerber) que 
liberam as rotações.
Numero de reações de apoio: 
Número de equações de equilíbrio: 
2
Vigas Gerber
Viga Guerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Por serem associação de vigas isostáticas 
simples, podem ser calculadas estabelecendo 
o equilíbrio de cada uma de suas partes, 
resolvendo inicialmente as vigas simples que 
não tem estabilidade própria (SEP).
Vigas Gerber
A determinação das forças reativas das vigas 
SEP permite (pelo principio da ação e reação) 
a aplicação da ação destas sobre as vigas 
simples com estabilidade própria (CEP)
Vigas Gerber
As vigas que dão suporte são acrescidas de 
cargas que lhes são transmitidas pelas rótulas:
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Quadro Resumo
VIGA GERBER: é designada em estática das 
construções uma viga sobre diversos suportes, 
composta com rótulas de forma tal que seus trechos 
são estaticamente determinados, possibilitando assim 
a determinação das equações de força cortante e 
momento fletor apenas pelos princípios da estática.
Quadro Resumo
RÓTULA ou DENTES GERBER: dentes de apoio são 
elementos de apoio na extremidade de vigas, placas 
ou painéis, cuja altura é menor que a altura de 
elemento a ser apoiado e que podem ser 
assemelhados a consolos.
O dente Gerber é uma saliência que se projeta na 
parte superior da extremidade de uma viga, com o 
objetivo de apoia-la em consolo criado na face de um 
pilar ou na região inferior da extremidade de outra viga.
Usualmente, ambos, tem altura um pouco menor que 
metade da altura da viga.
Quadro Esquemático
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1º semestre 2019 – R8
PONTES E GRANDES 
ESTRUTURAS - PGE
Aula 17/04/2019
Vigas Gerber
Exercício: Determine o valor das reações de apoio e elabore os 
diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor da estrutura abaixo:
Vigas Gerber
Exercício:
SEP = BC
CEP = AB
Vigas Gerber
Exercício:
(SEP)
Vigas Gerber
Exercício:
(CEP)
Vigas Gerber
Exercício:
Vigas Gerber
Exercício:
Vigas Gerber
Exercício:
Vigas Gerber
Diagrama de esforço cortante:
Vigas Gerber
Diagrama de momento fletor:
Vigas Gerber
Diagrama de esforço normal:
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1º semestre 2019 – R8
PONTES E GRANDES 
ESTRUTURAS - PGE
Aula 22/04/2019
DEC - DMF
Os DEC e DMF servem para a compreensão de como 
funcionam os esforços internos em uma viga 
isostática.
Grande parte do conteúdo das disciplinas 
relacionadas à análise estrutural requer o 
entendimento desses conceitos, que em sua essência 
são simples.
DEC - DMF
Seja dada a viga isostática abaixo, traçar os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor.
4 m 2 m 1 m
DEC - DMF
Primeiro passo: Desenhar o diagrama da corpo livre (DCL).
4 m 2 m 1 m
DEC - DMF
Segundo passo: Cálculo das reações de apoio
(equações de equilíbrio)
DEC - DMF
Segundo passo: Cálculo das reações de apoio
(equações de equilíbrio)
DEC - DMF
Segundo passo: Cálculo das reações de apoio
(equações de equilíbrio)
DEC - DMF
Segundo passo: Cálculo das reações de apoio
(equações de equilíbrio)
DEC - DMF
Segundo passo: Cálculo das reações de apoio
(equações de equilíbrio)
DEC - DMF
Terceiro passo: Definir as seções principais.
Neste caso, definiremos as seções principais utilizando o 
seguinte critério:
■ Inicio e término de uma carga distribuída;
■ Onde houver carga concentrada ou reação de apoio;
■ Onde houver uma carga momento
DEC - DMF
4 m 2 m 1 m
Terceiro passo: Definir as seções principais.
DEC - DMF
Quarto passo: Calcular e marcar os esforços de cortante e fletor
DEC - DMF
Cálculo dos cortantes nas seções (da esquerda para a direita)
DEC - DMF
Cálculo dos cortantes nas seções (da esquerda para a direita)
DEC - DMF
Cálculo dos cortantes nas seções (da esquerda para a direita)
DEC - DMF
Quarto passo: Calcular e marcar os esforços de cortante e fletor
DEC - DMF
Quarto passo: Calcular e marcar os esforços de cortante e fletor
DEC - DMF
Quarto passo: Calcular e marcar os esforços de cortante e fletor
DEC - DMF
Quarto passo: Calcular e marcar os esforços de cortante e fletor
DEC - DMF
Cálculo dos momentos fletores nas seções (da esquerda para a direita)
DEC - DMF
Cálculo dos momentos fletores nas seções (da esquerda para a direita)
DEC - DMF
Quinto passo: Traçado dos diagramas de esforço cortante e momento fletor
DEC - DMF
Quinto passo: Traçado dos diagramas de esforço cortante e momento fletor
DEC - DMF
DEC - DMF – Análise dos diagramas
DEC - DMF – Análise dos diagramas
DEC - DMF – Análise dos diagramas
DEC - DMF – Análise dos diagramas
DEC - DMF – Análise dos diagramas
Proposta de Exercícios
Exercícios
Exercício 1: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício 2: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício 3: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício 4: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício 5: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício 6: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício 7: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício8: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício 9: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Exercícios
Exercício 10: Calcular as reações de apoio da viga apresentada na figura 
abaixo e traçar o diagrama dos esforços cortantes e Momento Fletor:
Unidade de Medida - SI
O SI (Sistema Internacional de Unidades) é denominado MKS, 
que corresponde as iniciais dos símbolos das três unidades 
fundamentais usadas.
M K S metro, quilograma e segundo.
comprimento: m = metro
massa: kg = quilograma
tempo: s = segundo
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Massa e peso - Descubra a diferença entre esses conceitos
Massa
A massa é uma grandeza física fundamental. Segundo a mecânica newtoniana, ela dá a 
medida da inércia ou da resistência de um corpo em ter seu movimento acelerado. Ela 
também é a origem da força gravitacional, atuante sobre os corpos no Universo.
A massa é medida em quilograma (kg), grama (g), tonelada (t)
Peso
O peso é a força gravitacional sofrida por um corpo na vizinhança de um planeta ou de 
outro corpo celeste de massa significativa.
Enquanto força, o peso é uma grandeza vetorial. Portanto, apresenta intensidade, 
direção e sentido.
A força (o peso) é medida comumente em quilograma-força (kgf), em newton (N) ou em 
dina (dyn).
Unidade de Medida - SI
Dúvidas frequentes:
Quanto vale um kgf em kg?
1 Kgf é igual a força de 1 Kg sujeita a gravidade. então, Kgf é igual Kg. 
Para transformar em Newton 1 Kgf ou 1 Kg tem que ser multiplicado pela força da 
gravidade, então vai resultar em 9,8 N.
Qual a fórmula de peso em kgf?
A melhor forma de se calcular força, dada em Newtons, em kgf é dividir essa força por 
9,8 (ou por 10, arredondando).
Exemplo em que a pessoa pesa 686 N, seu peso em kgf seria, simplesmente, 70.
A massa de 1kg pesa 1kgf.
Essa unidade nada mais é do que o peso de 1kg de massa.
Unidade de Medida - SI
Quanto vale 1 N?
Um newton corresponde à força exercida sobre um corpo de massa igual a 1 kg que 
lhe induz uma aceleração de 1 m/s² na mesma direção e sentido da força. 
É uma unidade derivada do SI.
O plural do nome da unidade é newtons.
Em análise dimensional, F = m x a.
Quanto vale 1 kg Newton?
Já a massa é medida em quilograma (kg), grama (g), tonelada (t), etc.
Se considerarmos que o valor de g na superfície da Terra é de aproximadamente 10 
m/s2, teremos então que um corpo com a massa de 1 kg pesa 10 N ou 1 kgf; um 
corpo com a massa de 2 kg pesa 20 N ou 2 kgf; e assim por diante.
Dúvidas frequentes:
Unidade de Medida - SI
Quanto vale 1 kN em kg?
Se assumimos que a aceleração da gravidade é 9,8 m/s², podemos simplificar 
arredondando o valor para 10 m/s², o que faz com que 1 kN tenha o equivalente a 
100 kgf. 
Ou seja: 1 kN é a força necessária para fazer uma balança de farmácia indique 100 Kg.
Como se calcula Peso específico?
O peso específico é definido como o peso por unidade de volume.
No SI a unidade é: N/m3.
É calculado multiplicando-se a massa específica do material kg/m3 pela aceleração 
percentual da gravidade m/s².
Dúvidas frequentes:
Unidade de Medida - SI
Quanto vale 1 kg força?
Ao se converter 1 kgf para newton (N), o valor é numericamente igual à gravidade 
local, como pode ser provado matematicamente. Na Lua, por exemplo, 1 kgf equivale 
a 1,62202 newton. Ainda que a aceleração gravitacional varie de ponto para ponto do 
globo, é considerado o valor padrão de 9,80665 m/s2.
Dúvidas frequentes:
Unidade de Medida - SI
Unidade de força:
A esta unidade damos o nome de Newton (N), que é 
a unidade de força do sistema MKS e representa a quantidade 
de força necessária para conferir a uma massa de 1 kg uma 
aceleração de 1 m/s em cada segundo.
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
Unidade de Medida - SI
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
29/04/2019