Análise Vetorial

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Eletromagnetismo I
Lista de Exerćıcios I: Análise Vetorial
Prof. Dr. Willien O. Santos
Questão 1
Mostre que
a) (~a · ∇)~r = ~a, b) (~a×∇) · ~r = 0, c) (~a×∇)× ~r = −2~a, d) ∇ · ~r = 3, e) ∇× ~r = ~0, f) ∇(~a · ~r) = ~a,
onde ~a é um vetor constante.
Questão 2
Calcule o vetor unitário n̂ normal à superf́ıcie do elipsoide,
ax2 + by2 + cz2 = constante. (1)
Questão 3
Considerando o caso de coordenadas cartesianas ortogonais, em que ~r = xx̂ + yŷ + zẑ, calcule hx, hy e hz e, em
seguida, use as fórmulas (22), (23), (24) e (25) das notas de aula, referentes aos assuntos do caṕıtulo 1 do Griffiths,
para mostrar as fórmulas abaixo,
∇Φ = ∂Φ
∂x
x̂+
∂Φ
∂y
ŷ +
∂Φ
∂z
ẑ, (2)
∇ · ~A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
, (3)
∇× ~A =
(
∂Az
∂y
− ∂Ay
∂z
)
x̂+
(
∂Ax
∂z
− ∂Az
∂x
)
ŷ +
(
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
)
ẑ, (4)
∇2Φ = ∂
2Φ
∂x2
+
∂2Φ
∂y2
+
∂2Φ
∂z2
, (5)
onde Φ é um escalar e ~A é um vetor.
1
Questão 4
As coordenadas parabólicas são definidas por,
ξ = r + z, (6)
η = r − z, (7)
φ = arctg
(y
x
)
. (8)
a) Mostre que o vetor posição ~r, escrito em termos dessas coordenadas e dos unitários x̂, ŷ e ẑ é:
~r =
√
ξηcosφx̂+
√
ξηsenφŷ +
1
2
(ξ − η)ẑ (9)
b) Verifique que os parâmetros hξ, hη e hφ são:
hξ =
1
2
√
η
ξ
+ 1, (10)
hη =
1
2
√
ξ
η
+ 1, (11)
hφ =
√
ξη. (12)
c) Mostre que o laplaciano é dado por:
∇2 = 4
ξ + η
[
∂
∂ξ
(
ξ
∂
∂ξ
)
+
∂
∂η
(
η
∂
∂η
)]
+
1
ξη
∂2
∂φ2
(13)
Questão 5
Demonstre as relações abaixo (Use o teorema da divergência ou o teorema de Stokes):
a)
∮
S
d~a× ~A =
∫
V
∇× ~Adτ
b)
∮
S
~A( ~B · d~a) =
∫
V
~A(∇ · ~B)dτ +
∫
V
( ~B · ∇) ~Adτ
c)
∮
S
ϕd~a =
∫
V
∇ϕdτ
d)
∮
C
ϕd~r =
∫
S
d~a×∇ϕ
e)
∫
V
(ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ)dτ =
∮
S
(ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) · d~a
onde ϕ e ψ são escalares e ~A e ~B são vetores.
Questão 6
Mostre que, em coordenadas esféricas, podemos escrever:
δ3(~r − ~r′) = 1
r2
δ(~r − ~r′)δ(cosθ − cosθ′)δ(φ− φ′) (14)
2
Questão 7
O campo eletrostático de uma carga pontual q é
~E =
q
4π�0
r̂
r2
. (15)
Calcule ∇ · ~E. Oque acontece na origem?
Questão 8
Da equação de Navier-Stokes para o fluxo constante de um fluido viscoso incompresśıvel, temos o termo
∇× [~v × (∇× ~v)] , (16)
em que ~v = ~v(y, z) é a velocidade do fluido. Mostre que esse termo é nulo para ~v = vx̂.
Questão 9
Use coordenadas esféricas para demonstrar:
(~r ×∇) · (~r ×∇)ψ = r2∇2ψ − r2 ∂
2ψ
∂r2
− 2r ∂ψ
∂r
, (17)
onde ψ é uma função escalar.
Questão 10
Se uma força ~F é dada por ~F = (x2 + y2 + z2)n(xx̂+ yŷ + zẑ), calcule:
a) ∇ · ~F b)∇× ~F
Questão 11
Deduza a relação entre os vetores unitários ciĺındricos ŝ, φ̂ e ẑ e os vetores unitários cartesianos x̂, ŷ e ẑ.
Questão 12
Deduza a relação entre os vetores unitários esféricos r̂, θ̂ e φ̂ e os vetores unitários cartesianos x̂, ŷ e ẑ.
Questão 13
Uma força é descrita por
~F = − y
x2 + y2
x̂+
x
x2 + y2
ŷ. (18)
a) Expresse ~F em coordenadas ciĺındricas.
b) Calcule ∇× ~F
c) Calcule o trabalho realizado por ~F para percorrer o ćırculo unitário uma vez em sentido anti-horário.
d) Como você concilia os resultados b) e c) ?
Questão 14
Se ~A for um vetor constante e ~r for um vetor que vai desde a origem até o ponto (x, y, z), demonstre:
a) (~r − ~A) · ~A = 0 é a equação de um plano.
b) (~r − ~A) · ~r = 0 é a equação de uma esfera.
3
Questão 15
Encontre o divergente e o rotacional do vetor:
~v = (x2 + yz)x̂+ (y2 + zx)ŷ + (z2 + xy)ẑ. (19)
Questão 16
Considerando um cubo de aresta a e uma função vetorial ~B = 2xyx̂+ xz2ŷ − 4x2yzẑ, responda:
a) Calcule ∇ · ~B
b) Calcule ∇× ~B. ~B é conservativo?
c) Calcule a integral
∫
V
~Bdτ
d) Calcule a integral
∫
V
∇ · ~Bdτ tanto diretamente quanto através do teorema do divergente.
e) Para cada uma das seis faces, calcule
∫
S
(∇× ~B) · n̂da, diretamente e através do teorema de Stokes.
Questão 17
Considere um cilindro de raio a e altura h, e uma função vetorial dada por ~B = 2sŝ+ 3zẑ em coordenadas ciĺındricas.
Responda:
a) Calcule ∇ · ~B em coordenadas ciĺındricas e retangulares.
b) Ache ∇× ~B, em coordenadas ciĺındricas e retangulares. ~B é conservativo?
c) Resolva a integral
∫
V
~Bdτ .
d) Resolva a integral
∫
V
∇ · ~Bdτ tanto diretamente quanto através do teorema da divergência.
e) Para as áreas das bases e lateral, calcule
∫
S
(∇× ~B) · n̂da, diretamente e através do teorema de Stokes.
Questão 18
Demonstre que:
a) ∇rn = nrn−2~r b) ∇f(r) = ~rr
df
dr c) ∇
2(lnr) = 1r2
Questão 19
Determine o valor da integral
∫
S
~A · d~a, onde ~A = (x2 + y2 + z2)(xx̂+ yŷ+ zẑ) sendo que a superf́ıcie S é definida pela
esfera R2 = x2 + y2 + z2. Calcule a integral diretamente e também utilizando o teorema de Gauss.
Questão 20
A temperatura T no ponto (x, y) de uma placa de metal circular com centro na origem é dada por T = 4002+x2+y2 , onde
T é medido em ◦C e x e y em cm. (a) Que direção se deve tomar a partir de (1, 1) a fim de que T aumente o mais
rápido posśıvel? (b) Qual a velocidade do aumento de T quando passamos por (1, 1) na direção escolhida no item (a)?
Questão 21
Calcule as integrais:
a)
∫ 6
0
(x2 − 5)δ(x− 5)dx
b)
∫ 2
0
(x2 − 5)δ(x− 5)dx
c)
∫ 6
−2(x
2 − 5)δ(x)dx
d)
∫ 8
−1(2x
3 − 9)δ(2x)dx
e)
∫ 7
0
(5x2 − 2x+ 1)δ(2x− 4)dx
4
f)
∫ 4
−4(2x
3 − 2)δ(2x+ 4)dx
g)
∫ 3
−3(x
2 + 2x− 3)δ(x2 − 4)dx
h)
∫∞
0
[cos(3x) + 2]δ(x− π)dx
i)
∫ +1
−1 exp(|x|+ 3)δ(x− 2)dx
j)
∫ 5
−5(x
4 − 2x3 + 4)δ′(x− 2)dx
l)
∫ +∞
−∞ (r
2 + ~r · ~a+ a2)δ3(~r − ~a)dτ
5