MOVIMENTO_RETILINEO__FISICA_GERAL

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FÍSICA GERAL
MOVIMENTO RETILÍNEO
MOVIMENTO
O mundo, e tudo que nele existe está em movimento.
Mesmo objetos aparentemente imóveis, como um
edifício, estão em movimento.
Muitas vezes queremos comparar movimentos.
A classificação e a comparação dos movimentos são,
com freqüência, difíceis. Desta forma, o que,
exatamente, medir, e como comparar?
Para isso, temos que primeiramente examinar as
propriedades gerais do movimento, que é restrito de
três formas:
1-MOVIMENTO É, UNICAMENTE, RETILÍNEO.
A direção pode ser vertical, horizontal, ou
inclinada, mas deve ser retilínea.
VERTICAL HORIZONTAL INCLINADO
2-A CAUSA DO MOVIMENTO
(capítulo 5). Aqui, estudaremos,
apenas, o movimento em si
mesmo. O móvel está
acelerado, desacelerado,
parado, ou sua velocidade
muda de sentido; e, se o
movimento varia, como a
variação depende do tempo?
ACELERADO
PARADO
DESACELERADO
O móvel, ou é PARTICULA (objeto puntiforme), ou é
um CORPO QUE SE MOVE COMO UMA PARTÍCULA
(todos os pontos se deslocam na mesma direção e
com mesma velocidade). Um bloco deslizando para
baixo num escorregador reto de playground pode ser
tratado como partícula; entretanto, um carrossel em
rotação não pode, porque pontos diferentes da sua
borda movem-se em direções diferentes.
POSIÇÃO E DESLOCAMENTO
 Localizar um objeto- determinar sua posição
relativa a um ponto de referência, em geral, a
origem (ou ponto zero) de um eixo, como o eixo x.
Sentido
Positivo-o eixo é crescente na escala numérica.
Negativo- o eixo é decrescente na escala
numérica
Quando uma partícula está em:
x=5 m – significa que a partícula está a 5 m da
origem, no sentido positivo.
x=-5m – significa que a partícula estaria igualmente
afastada da origem, mas no sentido
positivo.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Deslocamento ∆x – variação de uma posição x1
para outra posição x2.
∆ - símbolo que representa a variação de uma
grandeza, significa que o valor inicial da
grandeza deve ser subtraído do valor final.
Valor de Deslocamento:
Positivo – deslocamento no sentido positivo.
Negativo – deslocamento no sentido contrário.
Grandeza Vetorial –possui módulo, direção e sentido.
(cap3).Onde módulo seria a distância entre a
posição inicial e final, e o sentido, num dado eixo, da
posição inicial e final, que é representado por um
sinal + ou - .
Velocidade média e velocidade 
escalar média
O posicionamento de um móvel é descrito por um
gráfico da posição x em função do tempo.
O gráfico mostra um tatu em repouso no ponto x=-
2m. Podemos observar que durante 7 segundos o tatu
permaneceu na posição x=-2 m.
A figura ao lado mostra o tatu se
movendo. Na figura (a) ele sai em
t=0 s da posição x=-5 m, passa
por x=0 m em t= 3 s e na posição
x=2m em t=4s. A figura (b) mostra
o movimento real do tatu em linha
reta.
A figura (a) é bem mais abstrata
do que a (b), mas ela mais rica em
informação. Podemos notar que a
velocidade não permaneceu a
mesma.
Para sabermos o quão rápido o tatu se move,
calculamos a velocidade média.
VELOCIDADE MÉDIA - é razão do deslocamento
∆x, ocorrido durante um
intervalo de tempo ∆t, por
esse intervalo de tempo.
No gráfico x versus t , é a
inclinação da reta que une
dois pontos da curva x(t):
um ponto corresponde a x2
e t2 , e o outro a x1 e t1.
A velocidade média é uma
grandeza vetorial , desta
forma, ela possui módulo,
direção e sentido. O seu
módulo é valor absoluto da
inclinação da reta.
Quando
>0 -a inclinação da reta é para cima da esquerda
para a direita.
<0 -a inclinação da reta é para baixo da
esquerda para direita
Lembrando:
A INCLINAÇÃO DA RETA
É A TANGENTE DA RETA.
x1
x2 -x1
t2 -t1
tt2t1
x2
x
No caso do tatu temos:
EXEMPLO
Um motorista dirige um veículo numa rodovia retilínea
a 70 km/h. Após rodar 8,0 km, o veículo pára por
falta de gasolina. O motorista caminha 2km adiante,
até o posto de abastecimento mais próximo em 27
min. Qual a velocidade média do motorista desde
do instante da partida do veículo até chegar ao
posto? Obtenha a resposta numérica e graficamente.
Resolução
Primeiro, vamos calcular o tempo que o motorista gasto 
no primeiro trajeto:
O tempo gasto no segundo trajeto foi de 27min=0,450h
Assim, o tempo total gasto foi de:
Desta forma, a velocidade média do trajeto total
feito pelo motorista é:
Para obter a resposta
graficamente, primeiramente
traçamos o trajeto realizado
de carro e depois o trajeto
feito a pé.
∆x=10 km
∆t=33,84 mim= 0,564 h
Posto de 
gasolinacarro 
parou
10 20 30 40 
t
t(min)
x(t)(m)
12
10
08
06
04
02
Exemplo
Admitamos que o motorista tenha levado 35 min para
carregar o combustível do posto ao carro Qual a
velocidade média do motorista, do instante que ele
iniciou a viagem até chegar ao carro com o
combustível?
Resolução
Vale salientar que o deslocamento é a diferença
entre o ponto final e o ponto inicial. Neste caso o
ponto final coincide com o ponto onde o carro parou.
Desta forma,
∆x=8,0-0=8,0 km
E o tempo gasto no primeiro trajeto (como o carro)
Tempo gasto no segundo trajeto (ida ao posto de
gasolina).
Tempo gasto no terceiro trajeto (retorno para o
carro).
Tempo total:
Assim,
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
É uma forma diferente de descrever a “rapidez”de
uma partícula. Enquanto a velocidade média é função
do deslocamento da partícula, a velocidade escalar
média é função da distância total percorrida
independente do sentido.
Obs: Em alguns casos
Exemplo 
Calcule a velocidade escalar média do exemplo
anterior.
∆x= ∆x1+ ∆x2+ ∆x3= 8,0km+2,0km+2,0km=12 km
∆t=∆t1+∆t2+∆t3 = 0,114 h+0,450h+0,583h=1,15h
VELOCIDADE INSTANTANEA E VELOCIDADE ESCALAR
A velocidade instantânea, (ou simplesmente velocidade)
é a velocidade, em um instante qualquer, que é igual a
velocidade média, quando o intervalo de tempo ∆t
tende a zero. A medida que ∆t diminui, a velocidade
média tende a um valor limite, que é a velocidade
naquele instante.
Sendo a velocidade um vetor, tem direção e um sentido.
A velocidade escalar é o módulo da velocidade, isto
é, velocidade escalar é a velocidade sem qualquer
indicação de direção e sentido. Por exemplo, uma
velocidade de +5m/s e outra de -5m/s estão
associadas a mesma velocidade escalar de 5 m/s.
Obs: A velocidade escalar e a velocidade escalar
média podem ser completamente diferentes .
Exemplo
A figura ao lado mostra o
gráfico x(t) do movimento
de um elevador, que, a
partir do repouso,
desloca-se para cima
(que arbitramos ser o
sentido positivo) e pára.
Trace o gráfico de v(t) em
função do tempo.
Podemos observar que
nos ponto a e d a
velocidade é nula, pois
a inclinação é zero.
Nestes pontos o
elevador está parado.
No intervalo bc, o
elevador se move com
velocidade constante, e
a inclinação de x(t) é:
O sinal + indica que o deslocamento é no sentido
positivo de x.
A figura ao lado mostra o
gráfico de x(t) e de v(t).
Dado o gráfico v(t), podemos
obter o gráfico x(t)
correspondente. Entretanto,
não podemos saber os valores
de x a cada instante
(precisamos de mais
informação). Podemos obter a
variação de x em qualquer
intervalo, basta calcular a
área sob a curva, no gráfico
v(t), para aquele intervalo.
Por exemplo, calculando a 
variação de x para o 
intervalo entre 3 e 8 s, 
temos:
A área é positiva, porque 
a curva v(t) está acima do 
eixo t.
Exemplo 
A posiçãode uma partícula que se move ao longo do
eixo x é dada por:
Qual a velocidade em t = 3,5s? A velocidade é
constante ou está continuamente variando?
Em t=3,5 s ,a
partícula se move no
sentido decrescente
de x (note que o
sinal é -) com a
velocidade escalar
de 68m/s. Como a
velocidade depende
de t, podemos
afirma que a mesma
varia continuamente.
ACELERAÇÃO 
ACELERAÇÃO MÉDIA
A aceleração média de uma partícula é a variação
da velocidade em um intervalo de tempo ∆t.
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA(aceleração).
A aceleração instantânea é a aceleração média quando
o intervalo de tempo ∆t tende a zero, ou seja é a
aceleração de uma partícula em um determinado instante,
ou ainda, é taxa de variação da velocidade naquele
instante.
Conforme a equação acima a aceleração em qualquer
ponto é a inclinação (derivada)da curva v(t), nesse ponto.
A unidade usual de aceleração é metro por segundo
por segundo m/(s.s) ou m/s2.
A aceleração é uma grandeza vetorial e como tal,
possui módulo, direção e sentido.
O sinal algébrico representa o sentido num dado
eixo.
Num parque de diversões, as
maiores sensações são causadas
pelos brinquedos que nos submetem
a variações súbitas de velocidade.
EXERCICIO
a)Quando Kitty O’Neil
estabeleceu o recorde para a
maior velocidade e o menor tempo
decorrido para um dragter, ela
alcançou a marca de 631,7 km/h
em 3,72 s. Qual foi a sua
aceleração média?
b) Qual foi a aceleração de Eli Beeding Jr. quando a
marca de 117 km/h, em 0,04 s, num carro foguete?
OBS:
Velocidade e aceleração
- Mesmo sinal – a velocidade escalar do móvel está
aumentando.
-Sinais diferentes – a velocidade escalar do móvel
está diminuindo.
Exercício
A posição de uma partícula é
dada por:
Onde as unidades dos coeficientes são m, m/s e m/s2
respectivamente, e o eixo x está mostrado na figura
ao lado.
a) Obtenha a equação da velocidade v(t) e da
aceleração a(t).
b) Em que instante v=0?
c) Descreva o movimento da partícula para t≥0.
Resolução
a) b)
c) Em t=0
ACELERAÇÃO CONSTANTE: UM CASO ESPECIAL
Em muitos tipos de movimento, a aceleração é
constante ou praticamente constante.
Exemplo: Podemos acelerar ou desacelerar um carro
de forma aproximadamente constante.
Esses casos são tão freqüentes que, que um conjunto
especial de equações foi definido para tratá-lo.
Lembrando: essas equações são válidas apenas para
aceleração constante (ou situações nas quais podemos
considerá-las constantes).
Quando a aceleração é constante, a aceleração média
e a aceleração instantânea são iguais, assim:
A equação 
se reduz a para t=0.
Derivando a equação da velocidade temos:
Fazendo t0 =0 na equação
Na equação
é a posição da partícula em e é a
velocidade média entre e posterior.
Traçando a curva utilizando a equação
obtemos uma reta. Assim, a velocidade média em
qualquer intervalo de tempo, (por exemplo, entre t=0
e t) é a média entre a velocidade no inicio do
intervalo (= ) e a velocidade no final do intervalo
(= ). Então para o intervalo t=0 até t, a velocidade
média é:
Substituindo em
Substituindo em 
Fazendo t=0, temos x=x0
Nos problemas relacionados à aceleração constante,
cinco variáveis, x-x0 , v, t, a e v0 tem grande
possibilidade de estar presente. Às vezes, uma delas
não faz parte do problema, nem como um dado nem
como incógnita.
Da equação e da
podemos obter:
Substituindo (2) em (1), temos:
Esta equação é muito utilizada em problemas que 
você não tem t.
Substituindo (2) em (1), temos:
Esta equação é muito utilizada em problemas que 
você não tem a.
Substituindo (2) em (1), temos:
Esta equação é muito utilizada em problemas que 
você não tem v0.
Exercício 
Avistando um carro da polícia, você freia o seu carro,
reduzindo a velocidade de 75 km/h para 45 km/h, num
espaço de 88m.
a) Qual é a aceleração, considerando-a constante?
b) Qual é o intervalo de tempo?
c) Se continuar diminuindo a velocidade do carro, com a
aceleração calculada em (a), em quanto tempo ele
parará, a partir do 75 km/h.
d) Que distância seria percorrida no item (c)?
e) Num outro exemplo, suponha que a velocidade inicial é
diferente, a aceleração é a mesma calculada em (a) e o
carro consegue parar após 200 m. Qual o tempo total da
frenagem?
Resolução
Dados a)
v0 = 75 km/h 
v=45 km/h
x-x0 =88m
x-x0 =0,088km
b)
c)
d) 
e) 
Noções de cálculo
A Integral Definida y=f(t) no intervalo [a,b], da reta
que se escreve
é definida como sendo o valor do limite da Soma à
Direita
ou da Soma à Esquerda
Noções de Cálculo
As Somas
e
são denominadas Soma de Riemann da função f.
A função f é denominada integrando, e os valores a e b
denominam-se limites de integração. Nem sempre os
limites das Somas de Riemann existem. No caso de sua
existência, as funções denominam-se integráveis.
Para y=f(t) positiva em [a,b], o valor da Integral
Definida
Representa a medida da área abaixo da curva do
gráfico de y=f(t), acima do eixo t, entre t=a e t=b.
Assim,
representa uma soma de áreas entre a curva do gráfico de
y=f(t) e o eixo t, em que as áreas acima são computada
positivamente, e as áreas abaixo são computadas
negativamente.
Integrais
FUNÇÃO
PRIMITIVA OU INTEGRAL 
INDEFINIDA
f(x)=c, c CONSTANTE REAL
f(x)=xr , r número real qualquer
Aceleração constante: outro aspecto
Vimos que
que pode ser representada como
Se fizermos a integral indefinida (ou antiderivada) de 
ambos os membros teremos:
Que é reduzida a
Onde C é uma constante de integração. Como a é
constante, podemos retirá-la do sinal de integração.
Então,
Para calcularmos C, fazemos t=0, o instante para o
qual v=v0 .
Substituindo na equação acima, temos:
Vimos também que
Calculando a integral indefinida de ambos os
membros temos:
Como
Para calcularmos C, fazemos t=0, o instante para o
qual x=x0.
Assim,
Aceleração em queda livre
Ao arremessar um objeto para cima
ou para baixo e pudesse eliminar o
efeito do ar sobre o movimento,
observaria que o objeto sofre uma
aceleração constante para baixo,
conhecida como aceleração em
queda livre, cujo módulo é
representado pela letra g. O valor
desta aceleração não depende das
características do objeto, como
massa, densidade e forma; ela é a
mesma para todos os objetos.
A maça e a pena em queda 
livre no vácuo (caem ao 
mesmo tempo )
O valor de g varia com
*Latitude;
*Longitude;
*Altitude.
No nível do mar e em latitudes médias o valor de g=9,8 m/s2 .
As equações vista para aceleração constante também se aplicam à
queda livre nas proximidade da superfície da Terra (objeto que
descrevem uma trajetória vertical, para cima ou para baixo),
contanto com que os efeitos do ar possam ser desprezados.
OBS: No caso de queda livre o movimento é ao longo no eixo y na
vertical, com sentido positivo apontando para cima. A aceleração
em queda livre é negativa.
Exemplo
Um trabalhador deixa cair uma chave inglesa do alto
de um edifício no poço do elevador.
a)Onde estava a chave inglesa 1,5 s após a queda?
b)Com que velocidade a chave inglesa está caindo em
t=1,5s
Resolução 
a)
b)
Exemplo
Em 1939, Joe Sprinz, do San Francisco Baseball Club,
tentou quebrar o recorde de agarrar uma bola de
beisebol, lançada do ponto mais alto. O recorde
anterior pertencia a um jogador de Cleveland Indians,
que pegou uma bola lançada do alto de um edifício
de 210m de altura. Sprinz se utilizou de um dirigível a
240 mde altura. Admitamos que a bola cai da altura
de 240m, e que a resistência do ar, sobre a bola, é
desprezível.
a) Calcule o tempo de queda.
b) Qual a velocidade da bola, pouco antes de ser
agarrada?
Resolução 
a)
b)