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29/04/2019 A equação de onda clássica
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CAPÍTULO 2A equação de onda clássica
Em 1925, Erwin Schrodinger e Werner Heisenberg formularam independentemente um
teoria quântica. À primeira vista, os dois métodos pareciam diferentes porque o de Heisenberg
método é formulado em termos de matrizes, enquanto o método de Schrödinger é formulado
em termos de equações diferenciais parciais. Apenas um ano depois, no entanto, Schrodinger mostrou
que as duas formulações são matematicamente equivalentes. Porque a maioria dos estudantes de
a química física não está familiarizada com a álgebra matricial, a teoria quântica é habitualmente
apresentado de acordo com a formulação de Schrödinger, cuja característica central é
equação diferencial parcial agora conhecida como a equação de Schrodinger. Diferencial parcial
equações podem soar não mais reconfortantes do que a álgebra matricial, mas felizmente nós
requer apenas cálculo elementar para tratar os problemas deste livro. A equação de onda
da física clássica descreve vários fenômenos de onda, como uma corda vibrante, um
cabeça de tambor vibratório, ondas do mar e ondas acústicas. Não só o clássico
equação de onda fornecer um fundo físico para a equação de Schrodinger, mas, em
Além disso, a matemática envolvida na resolução da equação de onda clássica é fundamental
a qualquer discussão sobre mecânica quântica. Porque a maioria dos estudantes de físico-química
tem pouca experiência com equações de ondas clássicas, este capítulo discute este tópico.
Em particular, vamos resolver o problema padrão de uma corda vibrante porque não
só é o método de resolver este problema semelhante ao método que vamos usar para resolver
a equação de Schrodinger, mas também nos dá uma excelente oportunidade para relacionar
solução matemática de um problema para a natureza física do problema. Muitos dos
problemas no final do capítulo ilustram a conexão entre problemas físicos
e a matemática desenvolvida no capítulo.
2-1. A equação de onda unidimensional descreve o movimento
de uma corda de vibração
Considere uma corda uniforme esticada entre dois pontos fixos, conforme mostrado na Figura 2.1.
O deslocamento máximo da corda de sua posição horizontal de equilíbrio é 3 9
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0
FIGURA 2.1
Uma corda vibrante cujas extremidades são fixas em 0 e l. A amplitude da vibração na posição x
e o horário é u (x, t).
chamou sua amplitude. Se deixarmos que u (x, t) seja o deslocamento da string, então u (x, t)
satisfaz a equação
(2.1)
onde v é a velocidade com a qual uma perturbação se move ao longo da cadeia. Equação 2.1
é a equação de onda clássica. A equação 2.1 é uma equação diferencial parcial porque
o desconhecido, u (x, t) neste caso, ocorre em derivadas parciais. As variáveis x e t
são consideradas as variáveis independentes e u (x, t), que depende de x e t, é
disse ser a variável dependente. A equação 2.1 é uma equação diferencial parcial linear
porque u (x, t) e seus derivados aparecem apenas para o primeiro poder e não há cruz
termos.
Além de ter que satisfazer a Equação 2.1, a amplitude u (x, t) também deve satisfazer
certas condições físicas também. Porque as extremidades da corda são mantidas fixas, o
amplitude nesses dois pontos é sempre zero, e por isso temos a exigência de que
u (O, t) = 0 eu (l, t) = 0 (para todo t) (2.2)
Essas duas condições são chamadas de condições de contorno porque especificam o comportamento
de u (x, t) nos limites. Geralmente, uma equação diferencial parcial deve ser resolvida
sujeito a certas condições de contorno, cuja natureza será aparente em condições físicas
motivos.
2-2. A equação de onda pode ser resolvida pelo método de separação
de variáveis
A equação de onda clássica, assim como a equação de Schrodinger e muitas outras
equações diferenciais parciais que surgem na química física, muitas vezes podem ser resolvidas
método chamado separação de variáveis. Vamos usar o problema de uma corda vibrante
para ilustrar esse método.
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2-2. A equação de onda pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis
O passo chave no método de separação de variáveis é assumir que u (x, t)
fatores em uma função de x, X (x), vezes uma função oft, T (t), ou que
u (x, t) = X (x) T (t)
Se substituirmos a Equação 2.3 na Equação 2.1, obtemos
d 2 X (x) 1 d 2 T (t)
T (t) 2
= 2X (x) -
2-dx v dt
Agora nós dividimos por u (x, t) = X (x) T (t) e obtemos
1 d 2 X (x)
X (x) dx 2
1 d 2 T (t)
v 2 T (t) dt 2
(2.3)
(2,4)
(2,5)
O lado esquerdo da Equação 2.5 é uma função de x apenas e o lado direito é uma função
de apenas t . Como x e t são variáveis independentes, cada lado da Equação 2.5 pode ser
variou independentemente. A única maneira de preservar a igualdade dos dois lados
sob qualquer variação de x e t é para cada lado igual a uma constante. Se deixarmos isso
constante ser K, podemos escrever
e
1 d 2 X (x)- = K
X (x) dx 2
_1_ d 2 T (t)
v 2 T (t) ----; Jf2 = K
(2,6)
(2,7)
onde K é chamado de constante de separação e será determinado posteriormente. Equações 2.6
e 2.7 podem ser escritos como
e
d2X (x) _ KX (x) = O
dx 2
d 2 T (t) 2--- Kv T (t) = 0
dt 2
(2,8)
(2,9)
As equações 2.8 e 2.9 são chamadas de equações diferenciais ordinárias (em oposição a equações parciais).
equações diferenciais) porque os desconhecidos, X (x) e T (t) neste caso, ocorrem como
derivados de dinary. Ambas as equações diferenciais são lineares porque as incógnitas
e seus derivados aparecem apenas para o primeiro poder. Além disso, os coeficientes de
todo termo envolvendo os desconhecidos nessas equações são constantes; ou seja, 1 e
- K nas Equações 2.8 e 1 e - K v 2 na Equação 2.9. Essas equações são chamadas
equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e são bastante fáceis de resolver,
veremos.
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42 Capítulo 2 I A Equação de Onda Clássica
O valor de K nas Equações 2.8 e 2.9 ainda está por ser determinado. Nós não sabemos
agora mesmo, se K é positivo, negativo ou mesmo zero. Vamos primeiro assumir que K = 0.
Neste caso, as Equações 2.8 e 2.9 podem ser integradas imediatamente para
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(2,10)
e
(2,11)
onde os a e b são apenas constantes de integração, que podem ser determinadas usando
as condições de contorno indicadas na Equação 2.2. Em termos de X (x) e T (t), o limite
condições são
u (O, t) = X (O) T (t) = 0 (2,12)
e
u (l, t) = X (l) T (t) = 0 (2,13)
Porque T (t) certamente não desaparece para todo t, devemos ter isso
X (O) = 0 e X (l) = 0 (2,14)
que é como as condições de contorno afetam X (x). Voltando à Equação 2.10, nós
Conclui-se que a única maneira de satisfazer a equação 2.1.1 é para um 1 = b 1 = 0, o que significa que
X (x) = 0 e que u (x, t) = 0 para todo x. Isso é chamado de uma solução trivial para a Equação 2.1
e não tem interesse físico. (Jogando fora soluções para equações matemáticas
não deve incomodar você. O que sabemos da física é que todos os fisicamente aceitáveis
solução u (x, t) deve satisfazer a Equação 2.1, não que toda solução para a equação seja
fisicamente aceitável.)
Vamos olhar para as Equações 2.8 e 2.9 para K > 0. Ambas as equações são da forma
(2,15)
onde k é uma constante real. A experiência mostra que todas as soluções para um diferencial linear
equação com coeficientes constantes cujo lado direito é igual a zero é da forma
y (x) = e ': rx, onde a é uma constante a ser determinada. Portanto, deixamos y (x) = e'xx em
Equação 2,15 e obtenha
Portanto, tanto (a 2 - k 2) ou y (x) deve ser igual a zero. O caso y (x) = 0 é um trivial
solução, e assim a 2- k 2 deve ser igual a zero. Assim sendo,
a = ± k
Página 52-2. A equação de onda pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis
Assim, existem duas soluções: y (x)= ekx e e-kx. Podemos facilmente provar que
y (x) = clekx + c2e-kx
(onde c 1 ec 2 são constantes) é também uma solução. Esta é a solução geral para todos
equações diferenciais com a forma da Equação 2.15. O fato de que uma soma dos dois
soluções, ekx e e-kx, também é uma solução é uma conseqüência direta da Equação 2.15 sendo uma
equação diferencial linear . Note que a maior derivada na Equação 2.15 é uma segunda
derivativo, o que implica que, em certo sentido, estamos realizando duas integrações quando
nós encontramos sua solução. Quando fazemos duas integrações, sempre obtemos duas constantes de
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integração. A solução que encontramos tem duas constantes, c 1 e c 2, o que sugereque é a solução mais geral.
A solução de outras equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes é
melhor ilustrado por exemplos.
EXEMPLO 2-1
Resolva a equação
d2y - 3 dy + 2y = 0
dxz dx
S 0 L UTI 0 N: Se substituirmos y (x) = e'n nessa equação diferencial, obtemos
uma2y - 3AY + 2y = 0
um 2- 3a + 2 = 0
(a - 2) (a - 1) = 0
ou que a = 1 e 2. As duas soluções são y (x) = ex e y (x) = e 2xe o geral
solução é
y (x) = clex + c2e2x
,)c- ~ - 'V)
',
· 1- '
~
/'Vr;
", e- - ">> '
0
(/->
"d ;: _- ~.Prove isso substituindo essa solução pela equação original. "]., II7 ' ~J- :; /
'7 c: r "~~ ,: ' , / "') ~ c: r ''
== --- ~ = - /
EXEMPLO 2-2
Resolva a equação no Exemplo 2-1 sujeita às duas condições de contorno y (O) = 0
anddyjdx (atx = 0) = -1.
S 0 L UTI 0 N: A solução geral é
y (x) = clex + c2e2x
As duas condições dadas nos permitem avaliar c 1 e c 2 e, portanto, encontrar um
~ -, "'
(.)
-.t-. .UMAe
"" ''
+ ".Televisão
j ..
{.,
C "
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44 Capítulo 2 I A Equação de Onda Clássica
solução. Colocar x = 0 em y (x) e x = 0 em dy jdx dá
dy- (atx = O) = c + 2c = -1dx Eu 2
Resolver essas duas equações simultaneamente fornece c 1 = 1 e c 2 = -1, e assim
satisfaz não apenas a equação diferencial, mas também as duas condições de contorno
bem.
2-3. Algumas equações diferenciais têm soluções oscilatórias
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Agora vamos considerar o caso onde K < 0 nas Equações 2.8 e 2.9. Neste caso, uma vontade
seja imaginário. Como um exemplo concreto, considere a equação diferencial
d2y
- 2 + y (x) = 0dx
que é essencialmente a Equação 2. 8 com K = -1. Se nós deixarmos y (x) = eax, nós temos
ou aquilo
a = i
(MathChapter A). A solução geral para a Equação 2.16 é
(2,16)
(2,17)
Podemos facilmente verificar que esta é uma solução ao substituir a Equação 2.17 diretamente em
Equação 2.16.
Geralmente, é mais conveniente reescrever expressões como eix ou e-ix em Equa
2.17 usando a fórmula de Euler (Equação A.6):
e ± ie = cos e ± i seno
Se substituirmos a fórmula de Euler na Equação 2.17, encontramos
y (x) = C 1 (cos x + i sen x) + c 2 (cosx- i sen x)
= (c 1 + c 2) cosx + (ic 1 - ic 2) sinx
Página 72-3. Algumas equações diferenciais têm soluções oscilatórias
Mas c 1 + c 2 e ic 1 - ic 2 também são apenas constantes, e se as chamarmos c3e C 4, respec-
efetivamente, podemos escrever
y (x) = c 3 cos x + c 4 sinx
ao invés de
y (x) = c, eix + c2e-ix
Essas duas formas para y (x) são equivalentes.
EXEMPLO 2-3
Prove que
y (x) = A cosx + B sinx
(onde A e B são constantes), é uma solução para a equação diferencial
d2y
- 2 + y (x) = 0dx
S 0 L UTI 0 N: A primeira derivada de y (x) é
dy .
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~
e a segunda derivada é
Portanto, vemos que
- = -Asmx + Bcosxdx
d2y .- = -Acosx-Bsmx
dx 2
d2y
dx2 + y (x) = 0
ou que y (x) = A cos x + B sen x é uma solução da equação diferencial
d2y
- 2 + y (x) = 0dx
O próximo exemplo é importante e aquele cuja solução geral deve ser aprendida.
EXEMPLO 2-4
Resolva a equação
d 2 x
dt2 + olx (t) = 0
Sujeito às condições iniciais x (0) = A e dx / dt = 0 em t = 0.
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46 Capítulo 2 I A Equação de Onda Clássica
SOL UTI 0 N: Neste caso, encontramos a = ± iw e
ou
Agora
e
x (t) = c 3 coswt + c 4 sinwt
x (O) = c 3 = A
(dx) = wc4 = 0
dt t = O
implicando que c 4 = 0 e que a solução particular que estamos procurando é
x (t) = um coswt
Esta solução é plotada na Figura 2.2. Note que ele oscila cosinusoidalmente no tempo,
com uma amplitude A. O comprimento de onda da oscilação é 2n I w e a frequência v
é dado por (consulte o Problema 2-3)
(J)v = -2n
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FIGURA 2.2
Um gráfico de x (t) = A cos wt, a solução para o problema no Exemplo 2-4. A amplitude é A, o
O comprimento de onda é 2n I w e a frequência é wn 12n.
2-4. A solução geral para a equação de onda é uma superposição
de modos normais
Vamos avaliar onde estamos agora. Nós obtivemos as Equações 2.8 e 2.9 aplicando
o método de separação de variáveis para a equação de onda. Nós já mostramos
que, se a constante de separação K for zero, somente uma solução trivial será obtida. Agora vamos
suponha que K seja positivo. Para este fim, escreva K como {3 2, onde f3 é real. Isso garante que
Página 92-4. A solução geral para a equação de onda é uma superposição de modos normais
K é positivo porque é o quadrado de um número real. No caso K = {3 2 , o general
solução para a Equação 2.8 é
X (x) = c 1ef3x + c2e-f3x
Podemos facilmente mostrar que a única maneira de satisfazer as condições de contorno (Equação 2.14)
é para c 1= c 2 = 0, e assim mais uma vez encontramos apenas uma solução trivial.
Vamos esperar que assumir K como negativo nos dê algo interessante. Se nós
conjunto K = - {3 2, então K é negativo se f3 é real. Neste caso, a Equação 2.8 é
d2X (x) + f32X (x) = 0
dx 2
Referindo-se ao Exemplo 2-4, vemos que a solução geral pode ser escrita como
X (x) = A cos f3x + B sin f3x
A condição limite que X (0) = 0 implica que A = 0. A condição no limite
ary x = l diz que
X (l) = B sin f3l = 0 (2,18)
A equação 2.18 pode ser satisfeita de duas maneiras. Uma é que B = 0, mas isso junto com o
fato de que A = 0 produz uma solução trivial. A outra maneira é exigir que sin f3l = 0.
Porque seno = 0 quando e = 0, JT, 2n, 3n, ..., a Equação 2.18 implica que
f3l = nJT n = 1, 2, 3, ... (2,19)
onde omitimos o caso n = 0 porque ele leva a f3 = 0 e uma solução trivial.
A equação 2.19 determina o parâmetro f3 e, portanto, a constante de separação K = - {3 2•
Até agora, nós temos isso
nnx
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X (x) = B sen -l- (2,20)
Lembre-se que temos a Equação 2.9 para resolver também. A equação 2.9 pode ser escrita como
d2T (t) + f32v2T (t) = 0
dt 2
(2,21)
onde a Equação 2.19 diz que f3 = mr / l. Referindo-se ao resultado obtido no Exemplo
2-4 novamente, a solução geral para a Equação 2.21 é
T (t) = Dcoswnt + Esinwnt (2,22)
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48 Capítulo 2 I A Equação de Onda Clássica
onde w n = f3 v = sr vI l. Não temos condições de especificar D e E, então a amplitude
u (x, t) é (cf. Equação 2.3)
u (x, t) = X (x) T (t)
= ( B sin n7x) (Dcoswnt + E sinwnt)
nnx
= (Fcosw t + Gsinw t) sin--n n eu n = 1, 2, ...
onde deixamos F = DB e G = E B. Porque existe um u (x, t) para cada inteiro n
e porque os valores de F e G podem depender de n, devemos escrever u (x, t) como
nnx
u (x, t) = (F + G cosw t sinw t) sin--n n n n n [ n = 1, 2, ... (2.23)
Porque cada un (x, t) é uma solução para a equação diferencial linear, Equação 2.1, sua
soma também é uma solução da Equação 2.1 e é, de fato, a solução geral. Assim sendo,
para a solução geral que temos
n = 1, 2, ... (2,24)
Não importa como a corda é arrancada inicialmente, sua forma evoluirá de acordo com a Equa.
ção 2.24. Podemos facilmente verificar que a Equação 2.24 é uma solução para a Equação 2.1 por
substituição direta. O Problema 2-5 mostra que F cos wt + G sin wt pode ser escrito no
forma equivalente, A cos (wt + ¢), onde Ae ¢ são constantes expressas em termos de
F e G. A quantidade A é a amplitude da onda e ¢ é chamada de ângulo de fase.
Usando essa relação, podemos escrever a Equação 2.24 na forma
oo nnx oo
u (x, t) = "A cos (wt + ¢) sin- =" u (x, t)L ... tn n n / L ... tn
n = l n = l
(2,25)
A equação 2.25 tem uma boa interpretação física. Cada un (x, t) é chamado normal
modo, ea dependência do tempo de cada modo normal representa o movimento harmônico
freqüência
V _
wn _ vn
- -
n 2n 21
(2,26)
onde usamos o fato de que wn = f3v = nnvll (cf. Equação 2.19). O espacial
A dependência dos primeiros poucos termos da Equação 2.25 é mostrada na Figura 2.3. O primeiro
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termo, u1(x, t ), chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico, representa uma sinusoidaldependência de tempo (harmônico) da freqüência v 121 do movimento mostrado na Figura 2.3a.
O segundo harmônico ou primeiro sobretom, u 2 (x, t), vibra harmonicamente com a freqüência
vI l e se parece com o movimento descrito na Figura 2.3b. Note que o ponto médio desta
harmônico é fixado em zero para todo t. Tal ponto é chamado de nó, um conceito que surge em
mecânica quântica também. Observe que u (0) e u (l) também são iguais a zero. Esses termos
não são nós porque seus valores são fixados pelas condições de contorno. Note que o
Página 11
você você você
~
0 eu 0 0
(uma) b) c)
FIGURA 2.3
Os três primeiros modos normais de uma corda vibratória. Note que cada modo normal é permanente
onda e o enésimo harmônico tem n - 1 nós.
O segundo harmônico oscila com o dobro da freqüência do primeiro harmônico. Figura 2.3c
mostra que o terceiro harmônico ou segundo harmônico tem dois nós. É fácil continuar
e mostre que o número de nós é igual a tonelada - 1 (Problema 2-1 0). As ondas mostradas
na Figura 2.3 são chamados de ondas estacionárias, porque as posições dos nós são fixas em
Tempo. Entre os nós, a corda oscila para cima e para baixo.
Considere um caso simples em que u (x, t) consiste apenas dos dois primeiros harmônicos.
e é da forma (cf. Equação 2.25)
rrx 1 (
rrr ) 2rrx
u (x, t) = cosw 1 t sen - 1- + l cos Wi + 2 sin - 1- (2,27)
A equação 2.27 é ilustrada na Figura 2.4. O lado esquerdo da Figura 2.4 mostra o tempo de
pendência de cada modo separadamente. Observe que uz (x, t) passou por um completo
oscilação no tempo descrito enquanto u 1(x, t) passou por apenas meio ciclo,
ilustrando bem que w 2 = 2w 1• O lado direito da Figura 2.4 mostra a soma dos doisharmônicos, ou o movimento real da corda, como uma função do tempo. Você pode ver como
superposição das ondas estacionárias no lado esquerdo da figura produz a viagem
onda no lado direito. A decomposição de qualquer movimento ondulatório geral e complicado
em uma soma ou superposição de modos normais é uma propriedade fundamental de oscilatório
comportamento e decorre do fato de que a equação de onda é uma equação linear.
Nosso caminho da equação de onda para sua solução foi razoavelmente longo porque nós tivemos
aprender a resolver uma certa classe de equações diferenciais ordinárias no caminho. o
procedimento geral é realmente simples, e para ilustrar este procedimento, vamos
resolver o problema de uma membrana retangular vibratória, um problema bidimensional,
na Seção 2-5.
2-5. Uma membrana vibratória é descrita por um modelo bidimensional
Equação de onda
A generalização da Equação 2.1 para duas dimensões é
a2u a2u 1 a2u- + - = -ai v2 at2 (2,28)
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ax2
Página 12
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1
você1(x, t)
Primeiro harmônico
FIGURA 2.4
+
você2(x, t)
Segundo harmônico
você1(x, t) + u 2(x, t)
Soma dos dois
harmônicos
Uma ilustração de como duas ondas estacionárias podem se combinar para dar uma onda de viagem.
Em ambospartes, o tempo aumenta para baixo.
A parte esquerda mostra o movimento independente dos dois primeirosharmônicos. Ambos os harmônicos são ondas estacionárias; o primeiro harmônico passa por meio ciclo
e o segundo harmônico passa por um ciclo completo no tempo mostrado. O lado direito
mostra a soma dos dois harmônicos. A soma não é uma onda estacionária. Como mostrado a soma é um
Onda viajante que viaja de um lado para o outro entre as extremidades fixas. A onda viajante foi embora
através de meio ciclo no tempo mostrado.
onde u = u (x, y, t) e x, y, e tara as variáveis independentes. Nós vamos aplicar isso
equação a uma membrana retangular cujo perímetro inteiro é fixado. Referindo
para a geometria na Figura 2.5, vemos que as condições de contorno que u (x, y, t) devem
y
uma
FIGURA 2.5
Uma membrana retangular presa ao longo de sua
perímetro.
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Página 13
2-5. Uma membrana vibratória é descrita por uma equação de onda bidimensional
satisfazer porque suas quatro bordas estão presas são
u (O, y) = u (a, y) = 0
(para todo t) (2,29)
u (x, 0) = u (x, b) = 0
Aplicando o método de separação de variáveis à Equação 2.28, assumimos
que u (x, y, t) pode ser escrito como o produto de uma parte espacial e uma parte temporal ou que
u (x, y, t) = F (x, y) T (t) (2,30)
Substituímos a Equação 2.30 na Equação 2.28 e dividimos por F (x, y) T (t) para encontrar
eu d2T eu
(a 2
F
um 2
F)
v 2 T (t) dt 2 = F (x, y) ax 2 + a /
(2,31)
O lado direito da equação 2,31 é uma função de x e y única e o lado esquerdo é um
função de t somente. A igualdade pode ser verdadeira para todos os t, x e y apenas se ambos os lados forem
igual a uma constante. Antecipando que a constante de separação será negativa como era
nas seções anteriores, escrevemos como - {3 2 e obtemos as duas equações separadas
d 2 T
dtz + vzf3zT (t) = 0 (2,32)
e
um 2 F um 2 F
- 2 + - 2 + f32F (x, y) = 0machadoay
(2,33)
A equação 2.33 ainda é uma equação diferencial parcial. Para resolvê-lo, mais uma vez usamos
separação de variáveis. Substitua F (x, y) = X (x) Y (y) na Equação 2.33 e divida
por X (x) Y (y) para obter
1 d 2 X 1 d 2 Y
X (x) dx 2 + Y (Y) dy2 + {3
2
= 0 (2,34)
Novamente, argumentam que, porque x e y são variáveis independentes, a única maneira este
equação pode ser válida é que
1 d2x
----- 2X (x) dx2 - p (2,35)
e
1 dzY
Y (y) dy2 = -qz (2,36)
51
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52 Capítulo 2 I A Equação de Onda Clássica
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onde p 2 e q 2 são constantes de separação, que de acordo com a Equação 2.34 devemsatisfazer
(2,37)
As equações 2.35 e 2.36 podem ser reescritas como
(2,38)
e
(2,39)
A equação 2.28, uma equação diferencial parcial em três variáveis, foi reduzida
a três equações diferenciais ordinárias (Equações 2.32, 2.38 e 2.39), cada uma das quais
é exatamente da forma discutida no Exemplo 2-4. As soluções para as Equações 2.38 e
2,39 são
X (x) = um cos px + b sin px (2,40)
e
Y (y) = C cos q y + D sin q y (2,41)
As condições de contorno, Equação 2.29, em termos das funções X (x) e Y (y) são
e
o que implica que
X (O) Y (y) = X (a) Y (y) = 0
X (x) Y (O) = X (x) Y (b) = 0
X (O) = X (a) = 0
Y (O) = Y (b) = 0
(2,42)
A aplicação da primeira da Equação 2.42 à Equação 2.40 mostra que A = 0 e pa = n: rr,
de modo a
n: rrx
X (x) = B sin--
uma
n = 1, 2, ... (2,43)
Exatamente da mesma maneira, encontramos que C = 0 e qb = m: rr, onde m = 1, 2, ...
e entao
. m: rry
Y (y) = Dsm--
b
m = 1, 2, ... (2,44)
Página 152-5. Uma membrana vibratória é descrita por uma equação de onda bidimensional
Lembrando que p 2 + q 2 = {3 2, vemos isso
(
2 2) 1/2
fJnm = : rr : 2 + : 2
n = 1, 2, ..
m = 1, 2, .. (2,45)
onde temos subscrito f3 para enfatizar que depende dos dois inteiros n e m.
Finalmente, agora resolvemos a Equação 2.32 para a dependência de tempo:
53
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Tnm (t) = Enm cos wnmt + fnm sin wnmt (2,46)
Onde
wnm = vf3nm
(
n2 m2) 112
= v: rr - + -a2b2 (2,47)
De acordo com o Problema 2-15, a Equação 2.46 pode ser escrita como
Tnm (t) = G nm cos (wnmt + <Pnm) (2,48)
A solução completa para a Equação 2.28 é
00 00
u (x, y, t) = LL unm (x, y, t)n = lm = l
00 00'"" "' '" ""' . n: rrx m: rry= LJ LJ Anm cos (wnmt + ¢ nm) sm - sin--
n = lm = l uma b
(2,49)
Como no caso unidimensional de uma corda vibrante, vemos que o
movimento vibracional de um tambor retangular pode ser expresso como uma superposição de
modos, unm (x, y, t). Alguns desses modos são mostrados na Figura 2.6. Note que neste
problema bidimensional obtemos linhas nodais. Em problemas bidimensionais, o
nós são linhas, em comparação com pontos em problemas unidimensionais. Figura 2.6
mostra os modos normais para um caso em que a = f. b. O caso em que a = b é um
uii u2I u3I
FIGURA 2.6
Os primeiros modos normais de uma membrana retangular com seções sombreadas e claras
deslocamentos sinusoidais opostos, conforme indicado.
Página 16
54
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FI CURE 2.7Os modos normais de uma membrana quadrada, ilustrando a ocorrência de degeneração neste
sistema. Os modos normais u 12 e u 21 têm orientações diferentes, mas a mesma frequência, dada
pela equação 2.50. O mesmo vale para os modos normais u 13 e u 31.
interessante. As frequências dos modos normais são dadas pela Equação 2.47.
Quando a = b na Equação 2.4 7, temos
VJT ( 2 2) 112w = - n + m
nm uma
(2,50)
Nós vemos da Equação 2.50 que w 12= w 21 = 5 112 fa neste caso; ainda os modos normais
u 12 (x, y, t) e u 21 (x, y, t) não são os mesmos, como visto na Figura 2.7. Isto é um
exemplo de uma degeneração, e dizemos que a freqüência w12= w 21 é duplamente degenerado
ou duplamente degenerado. Note-se que o fenómeno da degenerescência surge devido à
simetria introduzida quando a = b. Esse fenômeno pode ser visto facilmente comparando
os modos u 12 e u 21 na Figura 2.7. A equação 2.50 mostra que haverá pelo menos
uma degenerescência dupla quando m = / = n porque m 2 + n 2 = n 2 + m 2• Veremos que o
O conceito de degenerescência surge também na mecânica quântica.
Este capítulo apresentou uma discussão sobre a equação de onda e suas soluções. Em
Capítulo 3, vamos usar os métodos matemáticos desenvolvidos aqui, e por isso recomendamos
fazendo muitos dos problemas no final deste capítulo antes de continuar. Vários problemas
envolvem sistemas físicos e servem como refrescantes ou introduções à mecânica clássica.
Problemas
2-1. Encontre as soluções gerais para as seguintes equações diferenciais.
d2y dy
b. d2y + 6dy = 0 dyuma. -4- + 3y = 0 c. - + 3y = 0dx 2 dx dx 2 dx dx
d. d 2 y dy d2y dy- + 2 - y = O e. --3- + 2y = 0dx2 dx dx 2 dx
Página 17Problemas
2-2. Resolva as seguintes equações diferenciais:
d2y
uma. 4dx 2 - Y = 0
dy
y (O) = 2; - (atx = 0) = 4dx
d2y dyb.- -5- + 6y = 0dx2 dx
dy
y (O) = -1; dx (atx = 0) = 0
dy
c.- -2y = 0dx y (O) = 2
2-3. Prove que x (t) = cos illt oscila com uma frequência v = ill / 2rr. Prove que
x (t) = A cos illt + B pecado illf oscila com a mesma frequência, J2N doente.
2-4. Resolva as seguintes equações diferenciais:
d2x dx
uma. - 2 + doente 2 x (t) = 0x (0) = 0; - (em t = 0) = v 0dt dt
d 2 x
b. - 2 + máx 2 X (t) = 0dt
dx
x (O) = A; dt (em t = 0) = v 0
Prove em ambos os casos que x (t) oscila com a frequência doente j2n.
2-5. A solução geral para a equação diferencial
55
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d 2 x
- 2 + doente 2 X (t) = 0dt
é
x (t) = C 1 cos illt + c 2 sin illt
Por conveniência, costumamos escrever essa solução nas formas equivalentes
x (t) = um pecado (M + ¢)
ou
x (t) = B COS (il + 1 / J)
Mostre que todas as três expressões para x (t) são equivalentes. Derive equações para A
e ¢ em termos de c 1 e c 2, e para B e 1/1 em termos de c 1 e c 2 • Mostre que todas as três formas
de x (t) oscilar com frequência doente / 2rr. Dica: Use as identidades trigonométricas
sin (a + fJ) = sin a cos fJ + cos a sin fj
e
cos ( a + {J) = cos a cos fJ - sin a sin fj
2-6. Em todas as equações diferenciais que temos discutido até agora, os valores dos expoentes um que
Descobrimos que foram reais ou puramente imaginários. Vamos considerar um caso em que
A acaba por ser complexo. Considere a equação
d 2 y dy
- + 2- + lOy = Odx 2 dx
Página 18
56 Capítulo 2 I A Equação de Onda Clássica
Se substituirmos y (x) = e "x nessa equação, achamos que a 2 + 2a + 10 = 0 ou que
a = -1 ± 3i. A solução geral é
y (x) = c! e (-1 + 3i) x + c2e (-l-3i) x
= c! e-xe3ix + c2e-xe-3ix
Mostre que y (x) pode ser escrito na forma equivalente
Assim, vemos que valores complexos de a levam a soluções trigonométricas moduladas por
um fator exponencial. Resolva as equações a seguir.
dy
y (O) = 1; dx (em x = 0) = -3
2-7. Este problema desenvolve a ideia de um oscilador harmônico clássico. Considere uma massa m
anexado a uma mola como mostrado na Figura 2.8. Suponha que não haja força gravitacional agindo
em m para que a única força seja da primavera. Deixe o comprimento relaxado ou não distorcido do
29/04/2019 A equação de onda clássica
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A primavera é xo A lei de Hooke diz que a força que age na massa m é f = -k (x- x 0)onde k é uma característica constante da mola e é chamada de constante de força da
Primavera. Note que o sinal de menos indica a direção da força: para a esquerda se x > x0(estendido) e à direita se x < x 0(comprimido). O momento da massa é
dx d (x- x 0 )p = m- = m
dt dt
Segunda lei de Newton diz que a taxa de mudança de momento é igual a uma força
Substituindo f (x) pela lei de Hooke, mostre que
d 2 (x- x 0)m = -k (x- x)dt2 0
m
X FIGURA 2.8
Um corpo de massa m ligado a uma parede por uma mola.
Página 19
Problemas
Ao deixar ~ = x - x 0ser o deslocamento da mola de seu comprimento não distorcido, então
d2 ~
m dt2 + k ~ = 0
Dado que a massa começa em ~ = 0 com uma velocidade inicial v 0, mostre que o deslocamento é
dado por
1/2 [( k ) 1/2]~ (t) = v 0 (~) sin ;;:; t
Interprete e discuta essa solução. Como é o movimento? Qual é a frequência?
Qual é a amplitude?
2-8. Considere a equação diferencial linear de segunda ordem
d2y dy
- 2 + a 1 (x) -d + a 0 (x) y (x) = 0dx x
Note que esta equação é linear porque y (x) e seus derivados aparecem apenas para o primeiro
poder e não há cruzamentos. Não tem coeficientes constantes, no entanto, e lá
não é um método geral e simples para resolvê-lo como se os coeficientes fossem constantes.
De fato, cada equação desse tipo deve ser tratada mais ou menos individualmente. Mesmo assim,
porque é linear, devemos ter que se y 1 (x) e y 2 (x) são quaisquer duas soluções, então um linear
combinação,
y (x) = c 1 y 1 (x) + c2y2 (x)
onde c 1e C 2são constantes, também é uma solução. Prove que y (x) é uma solução.
2-9. Vamos ver no capítulo 3 que a equação de Schrodinger para uma partícula de massa m que é
constrangido a mover-se livremente ao longo de uma linha entre 0 e um é
d21 / J
(8rc 2 mE)
57
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dx2 + -h-2- 1 / J (x) = 0
com a condição limite
1/1 (0) = 1 / J (a) = 0
Nesta equação, E é a energia da partícula e 1 / J (x) é sua função de onda. resolver isso
equação diferencial para 1 / J (x), aplique as condições de contorno e mostre que a energia
pode ter apenas os valores
n2h2
En = 8ma 2
ou que a energia é quantizada.
n- 1, 2, 3, ...
2-1 0. Prove que o número de nós para uma corda vibrante presa em ambas as extremidades é n - 1 para
o enésimo harmônico.
Página 20
58 Capítulo 2 I A Equação de Onda Clássica
2-11. Prove que
y (x, t) = um pecado [
2
; (x- vt) J
é uma onda de comprimento de onda A e frequência v = v / A viajando para a direita com uma
velocidade v.
2-12. Esboce os modos normais de uma membrana retangular vibrante e convença-se
que eles se parecem com aqueles mostrados na Figura 2.6.
2-13. Esse problema é a extensão do Problema2-9 para duas dimensões. Neste caso, o
a partícula é restrita a se mover livremente sobre a superfície de um retângulo dos lados a e b. o
A equação de SchrOdinger para este problema é
com as condições de contorno
1 / r (O, y) = 1 / f (a, y) = 0 para aliado,
1 / r (x, 0) = 1 / f (x, b) = 0 para todo x, O: sx: sa
Resolva esta equação para 1 / f (x, y), aplique as condições de contorno e mostre que a energia
é quantizado de acordo com
E nn
X } "
nx = 1, 2, 3,
ny = 1, 2, 3,
2-14 Estenda os Problemas 2-9 e 2-13 para três dimensões, onde uma partícula é restrita a
mova-se livremente por uma caixa retangular dos lados a, b e c. A equação de Schrodinger
para este sistema é
e as condições de contorno são que 1 / r (x, y, z) desaparece sobre todas as superfícies da caixa.
2-15 Mostre que as Equações 2.46 e 2.48 são equivalentes. Como estão Gnm e ¢ nm na Equação 2.48
relacionado às quantidades na Equação 2.46?
Os problemas 2-16 a 2-19 ilustram algumas outras aplicações de equações diferenciais para
29/04/2019 A equação de onda clássica
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mecânica clássica.Muitos problemas na mecânica clássica podem ser reduzidos ao problema de resolver um diferencial
equação com coeficientes constantes (cf. Problema 2-7). O ponto de partida básico é o segundo de
Newtonlei, que diz que a taxa de mudança de momento é igual à força que age sobre um corpo.
Momentum p é igual a mv, e se a massa é constante, então em uma dimensão nós temos
Se nos é dada a força como uma função de x, então esta equação é uma equação diferencial para
x (t), que é chamado de trajetória da partícula. Voltando ao simples oscilador harmônico
discutido no Problema 2-7, se deixarmos x ser o deslocamento da massa de seu equilíbrio
Página 21Problemas
posição, então a lei de Hooke diz que f (x) = -kx, e a equação diferencial correspondente
a segunda lei de Newton é
d 2 x
dt2 + kx (t) = 0
uma equação diferencial que vimos várias vezes.
2-16. Considere um corpo caindo livremente de uma altura x 0 de acordo com a Figura 2.9a. Se nós negligenciamos
resistência do ar ou arrasto viscoso, a única força que age sobre o corpo é o gravitacional
força mg. Usando as coordenadas da Figura 2.9a, mg atua na mesma direção que x e assim
a equação diferencial correspondente à segunda lei de Newton é
d 2 x
m dtz = mg
Mostre isso
x (t) = ! gt 2 + v 0 t + x 0
onde x 0 e v 0 são os valores iniciais de x e v. De acordo com a Figura 2.9a, x 0 = 0 e assim
x (t) = ! gt 2 + v 0 t
Se a partícula é apenas descartada, então v 0 = 0 e assim
x (t) = ~ gt 2
Discuta esta solução.
Agora, faça o mesmo problema usando a Figura 2.9b como a definição das várias quantidades
envolvidos, e mostram que, embora as equações possam parecer diferentes daquelas
dizer exatamente a mesma coisa, porque a imagem que desenhamos para definir a direção de x, v 0e
mg não afeta a queda do corpo.
1 - -r --- I- ·· - x,
vo
---- j- -1-- xo
x mg
vo '
X
. ::: ...-..... .......... '0-. .................................................. .................................................. ......................... '0-.
'-...' -... '-... "$;
~
(uma) b)
59
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FIGURA 2,9
(a) Um sistema de coordenadas para um corpo caindo de uma altura x0E (b) um de coordenadas diferentessystem for a body falling from a height x0•
Página 22
60 Chapter 2 I The Classical Wave Equation
2-17. Derive an equation for the maximum height a body will reach if it is shot straight upward
with a velocity v 0. Refer to Figure 2.9b but realize that in this case v 0points upward. Comolong will it take for the body to return to its initial position, x = 0?
2-18. Consider a simple pendulum as shown in Figure 2.1 0. We let the length of the pendulum
be l and assume that all the mass of the pendulum is concentrated at its end as shown in
Figure 2.10. A physical example of this case might be a mass suspended by a string. Nós
assume that the motion of the pendulum is set up such that it oscillates within a plane so
that we have a problem in plane polar coordinates. Let the distance along the arc in the
figure describe the motion of the pendulum, so that its momentum is mdsjdt = mld() jdt
and its rate of change of momentum is mld 2() / dt 2• Show that the component of force in
the direction of motion is -mg sin(), where the minus sign occurs because the direction of
this force is opposite to that of the angle (). Show that the equation of motion is
d2()ml- 2 = -mg sin()dt
Now assume that the motion takes place only through very small angles and show that the
motion becomes that of a simple harmonic oscillator. What is the natural frequency of this
harmonic oscillator? Hint: Use the fact that sin() ~ () for small values of().
2-19. Consider the motion of a pendulum like that in Problem 2-18 but swinging in a viscous
médio. Suppose that the viscous force is proportional to but oppositely directed to its
velocity; isso é,
ds d()
fviscous = -A dt = -At dt
where A is a viscous drag coefficient. Show that for small angles, Newton's equation is
d 2() d()ml- 2 +Al- +mg() = 0
dt dt
Show that there is no harmonic motion if
Does it make physical sense that the medium can be so viscous that the pendulum undergoes
no harmonic motion?
s FIGURE 2.10
The coordinate system describing an oscillating pendulum.
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Página 23Problems
2-20. Consider two pendulums of equal lengths and masses that are connected by a spring that
obeys Hooke's law (Problem 2-7). This system is shown in Figure 2.11. Assuming that the
motion takes place in a plane and that the angular displacement of each pendulum from the
horizontal is small, show that the equations of motion for this system are
d 2 x
m- = -moix- k(x- y)dt2 0
d2y 2m- = -mw y- k(y- x)dt2 0
where w 0 is the natural vibrational frequency of each isolated pendulum, [ie, w0 = (g j l) 1 1 2]and k is the force constant of the connecting spring. In order to solve these two simultaneous
differential equations, assume that the two pendulums swing harmonically and so try
x(t) = Aeiwt y(t) = Beiwt
Substitute these expressions into the two differential equations and obtain
( w2-
w~ - ~) A = - ~ B
( w2- w~ - ~) B = -~A
Now we have two simultaneous linear homogeneous algebraic equations for the two am-
plitudes A and B. We shall learn in MathChapter E that the determinant of the coefficients
must vanish in order for there to be a nontrivial solution. Show that this condition gives
(w2 -w~- ~Y = (~Y
Now show that there are two natural frequencies for this system, namely,
2 2WI =Wo and w~ = w2 + 2k0 -m
Interpret the motion associated with these frequencies by substituting wi and w~ back into
the two equations for A and B. The motion associated with these values of A and B are
called normal modes and any complicated, general motion of this system can be written as
a linear combination of these normal modes. Notice that there are two coordinates (x andy)
in this problem and two normal modes. We shall see in Chapter 13 that the complicated
FIGURE 2.11
x Two pendulums coupled by a spring that obeys Hooke's law.
61
Página 24
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62 Chapter 2 I The Classical Wave Equation
vibrational motion of molecules can be resolved into a linear combination of natural, or
normal, modes.
2-21. Problem 2-20 can be solved by introducing center-of-mass and relative coordinates
(cf. Section 5-2). Add and subtract the differential equations for x(t) and y(t) and then
introduce the new variables
17 = x + y and ~ = x - y
Show that the differential equations for 17 and ~ are independent. Solve each one and
compare your results to those of Problems 2-20.
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MATHCHAPTER BPROBABILITY AND STATISTICS
In many of the following chapters, we will deal with probability distributions, average
values, and standard deviations. Consequently, we take a few pages here to discuss some
basic ideas of probability and show how to calculate average quantities in general.
Consider some experiment, such as the tossing of a coin or the rolling of a die,
that has n possible outcomes, each with probability pj, where j = 1, 2, ... , n. If the
experiment is repeated indefinitely, we intuitively expect that
N.
1. Jp = liD-
j N-+oo N
j = 1, 2, ... , n (Bl)
where N. is the number of times that the event j occurs and N is the total number of
Jrepetitions of the experiment. Because 0 :=: Nj :=: N, pj must satisfy the condition
0 :S pj :S 1 (B.2)
When p. = 1, we say the event j is a certainty and when p. = 0, we say it is impossible.
J JIn addition, because
n
LNj=N
j=i
we have the normalization condition,
n
LPj = 1 (B.3)
j=i 63
Página 26
64 Math Chapter B I PR 0 BABI Ll TY AN D STAT ISTICS
Equation B.3 means that the probability that some event occurs is a certainty. Suppose
now that some number x. is associated with the outcome j. Then we define the average
Jof x or the mean of x to be
n n
(x} = "xp = "xp(x.)~}} ~} J (B.4)
j=l j=l
where in the last term we have used the expanded notation p(x.), meaning the proba-
Jbility of realizing the number x .. We will denote an average of a quantity by enclosing
Jthe quantity in angular brackets.
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EXAMPLE 8-1
Suppose we are given the following data:
X
1
3
4
Calculate the average value of x.
SOLUTION: Using Equation B.4, we have
p(x)
0,20
0,25
0,55
(x) = (1)(0.20) + (3)(0.25) + (4)(0.55) = 3.15
It is helpful to interpret a probability distribution like p. as a distribution of a
Junit mass along the x axis in a discrete manner such that pj is the fraction of mass
located at the point x .. This interpretation is shown in Figure Bl According to this
Jinterpretation, the average value of x is the center of mass of this system.
p(x)
0
FIGURE 8.1
The discrete probability frequency function or probability density, p(x).
Página 27
Another quantity of importance is
n
2 """ 2(x) = ~xjpj (B.5)
j=i
The quantity (x 2) is called the second moment of the distribution {p.} and is analogousJto the moment of inertia.
EXAMPLE B-2
Calculate the second moment of the data given in Example B-1.
S 0 L UTI 0 N: Using Equation B.5, we have
(x 2) = (1) 2 (0.20) + (3) 2 (0.25) + (4) 2 (0.55) = 11.25
65
Eu
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Note from Examples B-1 and B-2 that (x 2 ) =F (x) 2• This nonequality is a general
result that we will prove below.
A physically more interesting quantity than (x 2) is the second central moment, or
the variance, defined by
n
a}·= ((x- (x)) 2 ) = L(xj- (x)) 2 pj
j=i
(B.6)
As the notation suggests, we denote the square root of the quantity in Equation B.6
by CJx, which is called the standard deviation. From the summation in Equation B.6,
we can see that CJ; will be large if xj is likely to differ from (x), because in that case
(x. - (x)) and so (x. - (x) ) 2 will be large for the significant values of p .. On the other
J J Jhand, CJx 2 will be small if x. is not likely to differ from (x), or if the x cluster around (x),
J Jbecause then (x. - (x) ) 2 will be small for the significant values of p .. Thus, we see
J Jthat either the variance or the standard deviation is a measure of the spread of the
distribution about its mean.
Equation B.6 shows that CJ; is a sum of positive terms, and so CJ; ::=:: 0. Furthermore,
n n
CJ; ="'ex.- (x)) 2 p. = "'Cx 12 - 2(x)x. + (x) 2 )p.~ J J ~ 1 Jj=i j=i
n n n
= """x 2 p.- 2 "'(x)xp + "'(x) 2 p~}} ~ )} ~ J (B.7)j=i j=i j=i
The first term here is just (x 2 ) (cf. Equation B.5). To evaluate the second and third
terms, we need to realize that (x), the average of x., is just a number and so can be
J
factored out of the summations, leaving a summation of the form L x. p. in the second1 J
term and " p. in the third term. The summation L x. p. is (x) by definition and theL..... J 1 J
Página 28
66 MathChapter B I PR 0 BABI Ll TYANDSTATISTICS
summation L p 1 is unity because of normalization (Equation B.3). Putting all thistogether, we find that
a; = (x 2
) - 2(x) 2 + (x) 2
= (x 2 ) - (x) 2 2: 0 (B.8)
Because a;:::: 0, we see that (x 2):::: (x) 2• A consideration of Equation B.6 shows thata; = 0 or (x) 2 = (x 2
) only when x 1 = (x) with a probability of one, a case that is notreally probabilistic because the event j occurs on every trial.
So far we have considered only discrete distributions, but continuous distributions
are also important in physical chemistry. It is convenient to use the unit mass analogy.
Consider a unit mass tq be distributed continuously along the x axis, or along some
interval on the x axis. We define the linear mass density p (x) by
dm = p(x)dx
where dm is the fraction of the mass lying between x and x + dx. By analogy, then,
we say that the probability that some quantity x, such as the position of a particle in a
box, lies between x and x + dx is
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Prob(x, x + dx) = p(x)dx (B.9)
e essa
Prob(a :S x :::b) = 1b p(x)dx (B.lO)
In the mass analogy, Prob{a ::: x ::: b} is the fraction of mass that lies in the interval
a :S x :S b. The normalization condition is
£: p(x)dx = 1
(B.ll)
Following Equations B.4 through B.6, we have the definitions
(x) = £: xp(x)dx
(B.l2)
(x 2
) = £: x
2p(x)dx (B.l3)
e
a;=£: (x- (x)) 2 p(x)dx (B.l4)
Página 29MathChapter B I PR 0 BABILITYAND STAT ISTICS
EXAMPLE B-3
Perhaps the simplest continuous distribution is the so-called uniform distribution,
Onde
p(x) =constant= A
= 0
a~x~b
de outra forma
Show that A must equall/(b- a). Evaluate (x), (x 2), a;, and ax for this distribution.
S 0 L UTI 0 N: Because p(x) must be normalized,
.
') d 'f.. -: \
v(:l:
Eu
67
lb p(x)dx = 1 =A 1b dx = A(b- a)
Therefore, A = 1/(b- a) and
1
p(x) = -b- a~ x ~ b-a
Col ':t~ ~l"'~
~;\ == 0 de outra forma
The mean of x is given by
Libra
1 1b(x) = xp(x)dx = -- xdxuma b- a a
b 2 - a 2 b +a
2(b- a) - 2
and the second moment of x by
Libra
1 1b(x 2) = x 2 p(x)dx = -- x 2 dxuma b- a a
b 3 - a 3 b 2 + ab + a 2
-: 0..
\o
'+'/\+
eu o
Eu
29/04/2019 A equação de onda clássica
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3(b- a) - 3
Last, the variance is given by Equation B.6, and so
a;= (xz) - (x)z = (b- a)z
and the standard deviation is
EXAMPLE B-4
a X
(b- a)
v'I2
The most commonly occurring and most important continuous probability distribution
is the Gaussian distribution, given by
2 2 2p(x)dx = ce-x 1 a dx
Find c, (x), a; and ax.
-OO<X<OO
Página 30
68 Math Chapter B I PR 0 BABI Ll TY AN D STAT ISTICS
S 0 L UTI 0 N : The constant c is determined by normalization:
(B.l5)
If you look in a table of integrals (for example, The CRC Standard Mathematical
Tables or The CRC Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press), you won't find
the above integral. However, you will find the integral
e-ax dx = -1
00 2 ( T{ ) 1/2
o 4a
(B.16)
The reason that you won't find the integral with the limts (-oo, oo) is illustrated in
2Figure B.2(a), where e-ax is plotted against x. Note that the graph is symmetric about
the vertical axis, so that the corresponding areas on the two sides of the axis are equal.
A function that has the mathematical property that f (x) = f (- x) and is called an
even function. For an even function
1 A f (x)dx = 21A f (x)dx
até até-A 0
(B.17)
If we recognize that p(x) = ce-x 21 2 a2is an even function and use Equation B.l6, then
we find that
(
2) 1/2
= 2c n; = l
f(x) f(x)
29/04/2019 A equação de onda clássica
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(uma) b)
FIGURE 8.2 2(a) The function f(x) =ex is an evenfunction, f(x) = f(-x). (b) The function f(x) =
xe-x2is an odd function, f(x) = - f( -x).
Página 31Math Chapter B I PR 0 BABILITYAND 5 TAT I 5 TIC 5
The mean of x is given by
(x) = i: xp(x)dx = (2na
2)-
112 i: xe-x
2
/2a2dx (B.l8)
The integrand in Equation B.18 is plotted in Figure B.2(b). Notice that this graph is
antisymmetric about the vertical axis and that the area on one side of the vertical axis
cancels the corresponding area on the other side. A function that has the mathematical
property that f (x) = - f (- x) is called an odd function. For an odd function,
/_: fodd(x)dx = 0 (B.l9)
The function xe -x2;za2is an odd function, and so
1 00 2 2(x) = (2na2)-112 -oo xe-x fZa dx = 0
The second moment of x is given by
(x2) = (2na2)-1/2 i: x2e-x2f2a2 dx
The integrand in this case is even because y(x) = x2ex 2!2"2 = y(-x). Assim sendo,
(x2) = 2(2na2)-1/21oo x2e-x2;za2dx
The integral
1 00 2 -ax2d - 1 (7[)1/2xe x ---
o 4a a
can be found in integral tables, and so
(xz) = 2 (2na2)lf2a2
(2na2)1/2 2 = a2
Because (x) = 0, a;= (x 2), and so ax is given by
a =aX
(B.20)
The standard deviation of a normal distribution is the parameter that appears in the
69
Eu
29/04/2019 A equação de onda clássica
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exponential. The standard notation for a normalized Gaussian distribution function is
p(x)dx = (2na;)- 1 12e-x2f2a}dx (B.21)
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70 MathChapter B I PR 0 BABI L1 TY AN D STAT ISTICS
Figure B.3 shows Equation B.21 for various values of ax. Note that the curves become
narrower and taller for smaller values of a . X
A more general version of a Gaussian distribution is
(B.22)
This expression looks like those in Figure B.3 except that the curves are centered at
x = (x) rather than x = 0. A Gaussian distribution is one of the most important and
commonly used probability distributions in all of science.
FIGURE 8.3
p (x)
('
' \'I \
0
A plot of a Gaussian distribution, p(x), (Equation B.21) for three values of ax. The dotted curve
corresponds to ax = 2, the solid curve to ax = 1, and the dash-dotted curve to ax = 0.5.
Problems
B-1. Consider a particle to be constrained to lie along a one-dimensional segment 0 to a. Nós
will learn in the next chapter that the probability that the particle is found to lie between x
and x + dx is given by
2 2 mrxp(x)dx =-sin --dx
uma uma
where n = 1, 2, 3, .... First show that p(x) is normalized. Now calculate the average
position of the particle along the line segment. The integrals that you need are (The CRC
Handbook of Chemistry and Physics or The CRC Standard Mathematical Tables, CRC
Pressione)
e
f 2 x sin2axsin axdx = 2 - ~
f
. 2
x 2 x sin 2ax cos 2ax
29/04/2019 A equação de onda clássica
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x sm axdx = - - - ---4 4a 8a 2
Página 33Problems
B-2. Calculate the variance associated with the probability distribution given in Problem B-1.
The necessary integral is (CRC tables)
f 2 . 2 x3 ( x
2 1 ) . x cos 2axx Sill axdx = - - - - - Sill 2ax - ---;;-----6 4a 8a 3 4a 2
B-3. Using the probability distribution given in Problem B-1, calculate the probability that the
particle will be found between 0 and aj2. The necessary integral is given in Problem B-1.
B-4. Prove explicitly that
1 00 e-otx1 dx = 2 roo e-otx1 dx
-oo Jo
by b.reaking the integral from -oo to oo into one from -oo to 0 and another from 0 to oo.
Now let z = -x in the first integral and z = x in the second to prove the above relation.
B-5. By using the procedure in Problem B-4, show explicitly thati: xe-ax
1
dx = 0
B-6. We will learn in Chapter 25 that the molecules in a gas travel at various speeds, and that
the probability that a molecule has a speed between v and v + dv is given by
p(v)dv = 4rr _m__ v2e-mv 2/ 2 kBT dv( )
3/2
2nk8T
0:::0V<OO
where m is the mass of the particle, k 8 is the Boltzmann constant (the molar gas constant R
divided by the Avogadro constant), and T is the Kelvin temperature. A probabilidade
distribution of molecular speeds is called the Maxwell-Boltzmann distribution. First show
that p(v) is normalized, and then determine the average speed as a function of temperature.
The necessary integrals are (CRC tables)
x2ne-ax dx = -1 00 2 1·3·5···(2n-l)(rr)I/2
0 2n+lan uma
n 2: 1
e
roo 2d ~lo x2n+le-OIX X = 2an+l
where n! is n factorial, or n! = n(n- l)(n- 2) · · · (1).
B-7. Use the Maxwell-Boltzmann distribution in Problem B-6 to determine the average kinetic
energy of a gas-phase molecule as a function of temperature. The necessary integral is given
in Problem B-6.
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Eu
29/04/2019 A equação de onda clássica
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Erwin Schrodinger was born in Vienna, Austr-ia, on August 12, 1887, and died there in 1961.
Ele recebeu seu Ph.D. in theoretical physics in 1910 from the University of Vienna. He then
held a number of positions in Germany and in 1927 succeeded Max Planck at the University
of Berlin at Planck's request. SchrOdinger left Berlin ip 1933 because of his opposition to Hitler
and Nazi policies and eventually moved to the University of Graz in Austria in 1936. After the
invasion of Austria by Germany, he was forcibly removed from his professorship in 1936.
He then moved to the Institute of Advanced Studies, which was created for him, at the University
College, Dublin, Ireland. He remained there for 17 years and then retired to his native Austria.
Schrodinger shared the Nobel Prize for physics with Paul Dirac in 1933 for the "discovery of
new productive forms of atomic theory." Schrodinger rejected the probabilistic interpretation
of the wave equation, which led to serious disagreement with Max Born, but they remained
warm friends in spite of their scientific disagreement. Schrodinger preferred to work alone, and
so no school developed around him, as it did for several other developers of quantum mechanics.
His influential book, What is Life?, caused a number of physicists to become interested in
biologia. His personal life, which was rather unconventional, has been engagingly related by
Walter Moore in his book, Schrodinger (Cambridge University Press, 1989).