PC_2016-1_EP14_Números Complexos_GABARITO(1)

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EP 14 – 2016-1 – GABARITO – Números Complexos Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito – EP 14 
Pré-Cálculo 
 
Exercício 1: 
Considere a seguinte lista de números complexos 
 𝑧 = 𝑖 , 𝑧 = 3 , 𝑧 = 2 − 𝑖 , 𝑧 = −2 − 3𝑖 , 𝑧 = −𝑖 + √2 
(a) Represente geometricamente cada número complexo 𝑧 da lista, bem como o conjugado 𝑧 ̅ de 
cada z. 
(b) Dê o valor absoluto de cada 𝑧 e 𝑧 ̅ , isto é, calcule |𝑧| e |𝑧 ̅| para cada 𝑧 ∈ ℂ. 
(c) Encontre 𝑤 =
𝑧
|𝑧|
 para cada 𝑧 dessa lista. Verifique que |𝑤| = 1 . Represente geometricamente 
𝑤 =
𝑧
|𝑧|
 para cada 𝑧 dessa lista. 
Solução: 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 𝑧 = 𝑖 = 0 + 1𝑖 ⇒ |𝑧| = |𝑖 | = √02 + 12 = 1 
 𝑧 ̅ = −𝑖 = 0 − 1𝑖 ⇒ | 𝑧 ̅| = |−𝑖 | = √02 + (−1)2 = 1 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 𝑧 = 3 = 3 + 0𝑖 ⇒ |𝑧| = |3 | = √32 + 02 = 3 
 𝑧 ̅ = 3 = 3 + 0𝑖 ⇒ | 𝑧 ̅| = |3 | = √32 + 02 = 3 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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𝑧 = 2 − 𝑖 ⇒ |𝑧| = |2 − 𝑖 | = √22 + (−1)2 = √5 
 𝑧 ̅ = 2 + 𝑖 ⇒ | 𝑧 ̅| = |2 + 𝑖 | = √22 + 12 = √5 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 𝑧 = −2 − 3𝑖 ⇒ |𝑧| = |−2 − 3𝑖| = √(−2)2 + (−3)2 = √13 
 𝑧 ̅ = −2 + 3𝑖 ⇒ | 𝑧 ̅| = |−2 + 3𝑖| = √(−2)2 + 32 = √13 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 𝑧 = −𝑖 + √2 ⇒ |𝑧| = |−𝑖 + √2 | = √(√2)
2
+ (−1)2 = √3 
 𝑧 ̅ = −𝑖 − √2 ⇒ | 𝑧 ̅| = | 𝑖 + √2 | = √(√2)
2
+ 12 = √3 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) 𝑤1 = 
𝑧
|𝑧|
 = 
𝑖
1
 = 𝑖 ⇒ |𝑤1| = |
𝑧
|𝑧|
| = |𝑖 | = √02 + 12 = 1 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 𝑤2 = 
𝑧
|𝑧|
 = 
3
3
 = 1 ⇒ |𝑤2| = |
𝑧
|𝑧|
| = |1 | = √02 + 12 = 1 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 𝑤3 = 
𝑧
|𝑧|
 = 
2−𝑖 
√5 
 =
2
√5 
−
1
√5 
𝑖 ⇒ |𝑤3| = |
𝑧
|𝑧|
| = |
2
√5 
−
1
√5 
𝑖 | = 
 √(
2
√5 
)
2
+ (−
1
√5 
)
2
 = √
4
5
+
1
5
 = √
5
5
 = 1 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
𝑤4 = 
𝑧
|𝑧|
 = 
−2−3𝑖 
√13 
 = −
2
√13 
−
3
√13 
𝑖 ⇒ |𝑤4| = |
𝑧
|𝑧|
| = |
−2
√13 
−
3
√13 
𝑖 | = 
 = √(−
2
√13 
)
2
+ (−
3
√13 
)
2
 = √
4
13
+
9
13
 = √
13
13
 = 1 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
𝑤5 = 
𝑧
|𝑧|
 = 
−𝑖+√2 
√3 
 =
√2 
√3 
−
1
√3 
𝑖 ⇒ |𝑤5| = |
𝑧
|𝑧|
| = |
√2 
√3 
−
1
√3 
𝑖 | = 
 = √(
√2 
√3 
)
2
+ (
1
√3 
)
2
 = √
2
3
+
1
3
 =
√
3
3
 = 1 
 
 
 
 
 
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Exercício 2: 
Prove que |
𝑧
|𝑧|
| = 1 , para ∀ 𝑧 ∈ ℂ , 𝑧 ≠ 0. 
Solução: 
Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑧 ≠ 0. Sendo 𝑧 ≠ 0 então |𝑧| ≠ 0. 
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 𝑒 
𝑧
|𝑧|
=
𝑎 + 𝑏𝑖
√𝑎2 + 𝑏2 
 = 
𝑎
√𝑎2 + 𝑏2 
+ 
𝑏
√𝑎2 + 𝑏2 
 𝑖 
Logo, 
|
𝑧
|𝑧|
| = √(
𝑎
√𝑎2 + 𝑏2 
)
2
+ (
𝑏
√𝑎2 + 𝑏2 
)
2
 = √
𝑎2
𝑎2 + 𝑏2
+
𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
 = √
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
 = 1 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: 
Calcule a expressão e escreva na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 
(a) (3 − 𝑖). (4 + 𝑖) (b) 
2+3𝑖
1−5𝑖
 (c) 
1
1+𝑖
 
(d) 2𝑖 (
1
2
− 𝑖)
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 (e) √−25 (f) 𝑖3 
Solução: 
(a) (3 − 𝑖). (4 + 𝑖) =⏟
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
3.4 + (−𝑖). 𝑖 + 3𝑖 − 4𝑖 = 13 − 𝑖 
(b) 
2+3𝑖
1−5𝑖
 = 
(2+3𝑖)(1+5𝑖)
(1−5𝑖)(1+5𝑖)
 = 
2.1+(3𝑖)(5𝑖)+2.(5𝑖)+(3𝑖).1
12+52
 = 
−13+13𝑖
26
 = −
1
2
+ 
1
2
 𝑖 
(c) 
1
1+𝑖
= 
1−𝑖
(1+𝑖)(1−𝑖)
= 
1−𝑖
12+12
 =
1
2
−
1
2
 𝑖 
(d) 2𝑖 (
1
2
− 𝑖)
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 = 2𝑖 (
1−2𝑖
2
)
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 = 𝑖(1 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑖 − 2(𝑖2)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 2 + 𝑖 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 2 − 𝑖 
(e) √−25 = √25 √−1 = 5𝑖 = 0 + 5𝑖 
(f) 𝑖3 = 𝑖. 𝑖2 = −𝑖 = 0 − 𝑖 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: 
Determine 𝑎 ∈ ℝ de modo que 𝑧 =
2+𝑖
3−𝑎𝑖
 seja imaginário puro. 
Solução: 
𝑧 =
2 + 𝑖
3 − 𝑎𝑖
 = 
(2 + 𝑖)(3 + 𝑎𝑖)
(3 − 𝑎𝑖)(3 + 𝑎𝑖)
 = 
2.3 + 𝑎. 𝑖2 + 2. 𝑎𝑖 + 𝑖. 3 
32 + (−𝑎)2
= 
(6 − 𝑎) + (2𝑎 + 3)𝑖 
9 + 𝑎2
= 
(6 − 𝑎) 
9 + 𝑎2
 + 
(2𝑎 + 3) 
9 + 𝑎2
𝑖 
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Para 𝑧 =
(6−𝑎) 
9+𝑎2
 + 
(2𝑎+3) 
9+𝑎2
𝑖 ser um imaginário puro é preciso que a sua parte real seja nula, assim, 
temos: 
(6 − 𝑎) 
9 + 𝑎2
= 0 ⇔ 6 − 𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 = 6 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: 
Os números complexos 𝑧 e 𝑧̅ tais que 𝑧 + 𝑧 ̅ = 4 e 𝑧. 𝑧 ̅ = 13 são representados no plano Argand 
– Gauss pelos pontos 𝐴 e 𝐵 . Qual é a área do triângulo 𝐴𝐵𝑂 , sendo 𝑂 , a origem do plano. 
Solução: 
Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e, portanto 𝑧 ̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖. 
4 = 𝑧 + 𝑧 ̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑎 − 𝑏𝑖) = 2𝑎 ⟺ 𝑎 = 2 
13 = 𝑧. 𝑧 ̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏2 . 
Substituindo 𝑎 = 2 , na equação 𝑎2 + 𝑏2 = 13 , temos: 
 22 + 𝑏2 = 13 ⟺ 𝑏2 = 13 − 4 ⟺ 𝑏2 = 9 ⟺ 𝑏 = −3 𝑜𝑢 𝑏 = 3 . 
Sejam então, 𝐴(2, −3) , 𝐵(2 , 3). 
A área do triângulo 𝐴𝐵𝑂 é 
𝑏𝑎𝑠𝑒 ×𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 = 
6 ×2
2
= 6 
 
 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: 
Quais os possíveis valores reais de 𝑥 e 𝑦 que satisfazem a igualdade (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 8𝑖 
 
 
Solução: 
(𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 8𝑖 ⟺ 𝑥2 + (𝑦𝑖)2 + 2𝑥𝑦𝑖 = 8𝑖 ⟺ 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑖 = 8𝑖 
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒
 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜𝑠
⇒ 
𝑥2 − 𝑦2 = 0 𝑒 2𝑥𝑦 = 8 ⟺ = 𝑦2 𝑒 2𝑥𝑦 = 8 ⟺ ( 𝑥 = 𝑦 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑦 ) 𝑒 2𝑥𝑦 = 8 
Assim, temos duas possibilidades: 
 𝑥 = 𝑦 𝑒 2𝑥𝑦 = 8 ⟺ 2𝑥2 = 8 ⟺ 𝑥2 = 4 ⟺ 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 2 . 
Neste caso temos duas soluções: 𝑥 = 𝑦 = −2 𝑒 𝑥 = 𝑦 = 2 
 𝑥 = −𝑦 𝑒 2𝑥𝑦 = 8 ⟺ −2𝑥2 = 8 ⟺ 𝑥2 = −4 . Mas, ∄ 𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥2 = −4. 
Neste caso não temos soluções reais. 
Os possíveis valores reais de 𝒙 e 𝒚 que satisfazem a igualdade (𝒙 + 𝒚𝒊)𝟐 = 𝟖𝒊 são : 𝒙 = 𝒚 =
−𝟐 𝒆 𝒙 = 𝒚 = 𝟐 
______________________________________________________________________________________ 
 
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Exercício 7: 
Dado o número complexo 𝑧 = 2√3 + 2𝑖 , transforme 𝑧 para a forma polar e determine os dois 
menores valores naturais de 𝑛 , para os quais 𝑧𝑛 é imaginário puro. 
Solução: 
𝑧𝑛 = (2√3 + 2𝑖)
𝑛
. 
Vamos escrevero número complexo 𝑧 = 2√3 + 2𝑖 na forma polar. 
|𝑧| = √(2√3 )
2
+ 22 = √12 + 4 = 4 cos 𝜃 =
2√3 
4
= 
√3 
2
 sen 𝜃 =
2
4
= 
1
2
 
Como cos 𝜃 > 0 e sen 𝜃 > 0 então o argumento principal de 𝑧 é do 1º. Quadrante e pelos valores 
encontrados temos 𝜃 =
𝜋
6
. 
Assim, 𝑧 = 4 [cos 
𝜋
6
 + 𝑖sen 
𝜋
6
 ], donde, pelo Teorema de De Moivre 
𝑧𝑛 = 4𝑛 [cos (n 
𝜋
6
) + 𝑖sen (n 
𝜋
6
) ] . 
Portanto, para que 𝑧𝑛 = 4𝑛 [cos (n 
𝜋
6
) + 𝑖sen (n 
𝜋
6
) ] , seja um imaginário puro é preciso que 
cos (n
𝜋
6
) = 0 . 
Mas, cos (n
𝜋
6
) = 0 ⇔ n
𝜋
6
= 
𝜋
2 
 𝑒 n
𝜋
6
= 
3𝜋
2 
 ⇔ 𝑛 = 3 𝑒 𝑛 = 9 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 8: 
Mostre que a expressão 
1
√−5+5√3 𝑖 
 representa um número complexo (ou mais de um), e escreva-o(s) 
na forma 𝑥 + 𝑦𝑖. Sugestão: primeiro transforme (−5 + 5√3 𝑖) para a forma polar. 
Solução: 
Seja 𝑧 =
1
√−5+5√3 𝑖 
 . Vamos escrever o número complexo 𝑤 = −5 + 5√3 𝑖 na sua forma polar. 
|𝑤| = √(−5)2 + (5√3)
2
 = √25 + 75 = √100 = 10 
cos 𝜃 = −
5
10
= − 
1
2
 sen 𝜃 =
5√3 
10
= 
√3 
2
 
Como cos 𝜃 < 0 e sen 𝜃 > 0 então o argumento principal de 𝑤 é do 2º. Quadrante e pelos valores 
encontrados temos 𝜃 =
2𝜋
3
. 
Assim, 𝑤 = 10 [cos 
2𝜋
3
 + 𝑖sen 
2𝜋
3
 ] 
Com queremos calcular a raiz quadrada de 𝑤 = 10 [cos 
2𝜋
3
 + 𝑖sen 
2𝜋
3
 ] , pela fórmula 
 𝑤𝑘 = 𝑟
1
𝑛 [cos (
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖sen (
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
)] , onde 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1 , temos: 𝑛 = 2, 𝑘 = 0, 𝑘 = 1. 
Como queremos a raiz quadrada, há duas raízes, 
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 para 𝑘 = 0 𝑤0 = √10 [cos (
2𝜋
3
2
) + 𝑖sen (
2𝜋
3
2
)] = √10 [cos (
𝜋
3
) + 𝑖sen (
𝜋
3
)] 
 para 𝑘 = 1 𝑤1 = √10 [cos (
2𝜋
3
+2𝜋
2
) + 𝑖sen (
2𝜋
3
+2𝜋
2
)] = √10 [cos (
8𝜋
6
) + 𝑖sen (
8𝜋
6
)] = 
 √10 [cos (
4𝜋
3
) + 𝑖sen (
4𝜋
3
)] 
Agora, queremos calcular o inverso dos números complexos 𝑤0 e 𝑤1 . 
Usando a fórmula 
 𝟏
𝒛
= 
𝟏
𝒓
 [𝐜𝐨𝐬(−𝛉) + 𝒊𝐬𝐞𝐧(− 𝛉)] = 
𝟏
𝒓
 [𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝒊𝐬𝐞𝐧 𝛉] 𝒛 ≠ 𝟎 , 
temos: 
 1
 𝑤0
= 
1
√10
 [cos(−
𝜋
3
) + 𝑖sen(− 
𝜋
3
)] = 
1
√10
 [cos 
𝜋
3
 − 𝑖sen 
𝜋
3
] =
1
√10
 (
1
2
− 
√3
2
𝑖) 
 1
 𝑤1
= 
1
√10
 [cos(−
4𝜋
3
) + 𝑖sen(− 
4𝜋
3
)] = 
1
√10
 [cos 
4𝜋
3
 − 𝑖sen 
4𝜋
3
] =
1
√10
 (−
1
2
− (− 
√3
2
) 𝑖) = 
 =
1
√10
 (−
1
2
+ 
√3
2
𝑖). 
Portanto, 
1
√−5+5√3 𝑖 
 = 
𝟏
√10
 (
𝟏
𝟐
− 
√3
2
𝑖) ou 
1
√−5+5√3 𝑖 
 = 
𝟏
√10
 (−
𝟏
𝟐
+ 
√3
2
𝑖). 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 9: 
Se 𝑧 = 1 + 𝑖√3 , z w̅ = 1 . Encontre o argumento 𝛼 ∈ [0,2𝜋) de zw . 
Solução: 
Seja 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖 , então �̅� = 𝑥 − 𝑦𝑖 . 
𝑧 w̅ = 1 ⟺ 1 = (1 + 𝑖√3 )(𝑥 − 𝑦𝑖) ⟺ 1 = (𝑥 + 𝑦√3) + (−𝑦 + 𝑥√3)𝑖 ⟺ {
𝑥 + 𝑦√3 = 1
−𝑦 + 𝑥√3 = 0
 
De −𝑦 + 𝑥√3 = 0 , segue que 𝑦 = 𝑥√3 . Substituindo o valor de 𝑦 na equação 𝑥 + 𝑦√3 = 1 , 
obtemos 𝑥 + 𝑥√3 . √3 = 1, donde 𝑥 + 3𝑥 = 1 ⇒ 4𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 =
1
4
 . 
De 𝑦 = 𝑥√3 e 𝑥 =
1
4
 , segue que 𝑦 =
1
4
 . √3 = 
√3
4
 . 
 Assim, 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 
1
4
 + 
√3
4
 𝑖 . 
zw = (1 + 𝑖√3) (
1
4
 + 
√3
4
 𝑖) = (1.
1
4
− √3 .
√3
4
 ) + (1.
√3
4
+ √3 .
1
4
 ) 𝑖 = (
1
4
− 
3
4
 ) + (
√3
4
+ 
√3
4
) 𝑖 
Logo, 𝑧𝑤 = −
1
2
+
√3
2
 𝑖. Segue que, 
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|𝑧𝑤| = √(−
1
2
)
2
+ (
√3
2
)
2
 = √
1
4
+
3
4
 = √
4
4
 = 1 
cos 𝛼 = −
1
2
1
 = −
1
2
 sen 𝛼 = 
√3 
2
1
= 
√3 
2
 
Como cos 𝛼 < 0 e sen𝛼 > 0 então o argumento principal de 𝑧𝑤 é do 2º. Quadrante e pelos valores 
encontrados temos 𝛼 =
2𝜋
3
. 
UMA OUTRA SOLUÇÃO POSSÍVEL 
Sabemos que arg(�̅�) = − arg(𝑤) donde arg(𝑧�̅�) = arg(𝑧) + arg(�̅�) = arg(𝑧) − arg(𝑤) (*) 
Foi dado que z w̅ = 1 = 1 + 0𝑖 , logo cos(arg(𝑧�̅�)) = 1 e sen(arg(𝑧�̅�)) = 0 e arg(𝑧�̅�) = 0 (**) 
Logo, de (*) e (**), arg(𝑧) − arg(𝑤) = 0 , assim, arg(𝑧) = arg (𝑤). 
Queremos calcular α = arg(𝑧𝑤) = arg(𝑧) + arg(𝑤). Mas, como vimos acima, arg(𝑧) = arg (𝑤), 
Concluímos que α = arg(𝑧𝑤) = 2 arg(𝑧). 
𝑧 = 1 + 𝑖√3 ⟺ cos(arg(𝑧)) =
1
√12+(√3)
2
 𝑒 sen(arg(𝑧)) =
√3
√12+(√3)
2
 ⟺ 
cos(arg(𝑧)) =
1
2
 𝑒 cos(arg(𝑧)) =
√3
2
 ⟺ arg(𝑧) =
𝜋
3
 ⟺ 𝛼 = arg(𝑧𝑤) =
2𝜋
3
 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 10: 
Considere os seguintes números complexos na forma polar: 
 𝑧1 = 4 [cos
𝜋
3
 + 𝑖 sen
𝜋
3
] 𝑧3 = cos
7𝜋
6
 + 𝑖 sen
7𝜋
6
 
 𝑧2 =
1
2
[cos
2𝜋
9
 + 𝑖 sen
2𝜋
9
] 𝑧4 = √2 [cos
7𝜋
6
+ 𝑖 sen
7𝜋
6
] 
Calcule e represente no plano complexo: (a) 
𝑧2.𝑧3
| 𝑧2𝑧3|
 (b) 
𝑧1
𝑧4
 
Solução: 
Vamos usar o a forma polar da multiplicação e divisão de números complexos. 
(a) 𝑧2. 𝑧3 = 
1
2
[cos
2𝜋
9
 + 𝑖 sen
2𝜋
9
] × [cos
7𝜋
6
 + 𝑖 sen
7𝜋
6
] =
 
1
2
 [cos (
2𝜋
9
+
7𝜋
6
 ) + sen (
2𝜋
9
+
7𝜋
6
 ) 𝑖] = 
= 
1
2
[cos (
25𝜋
18
 ) + sen (
25𝜋
18
 ) 𝑖]. 
Dessa forma polar segue que | 𝑧2. 𝑧3| =
1
2
. 
Logo, 
𝑧2.𝑧3
| 𝑧2𝑧3|
= 
1
1
2
 
 .
1
2
[cos (
25𝜋
18
 ) + sem(
25𝜋
18
 ) 𝑖] = 
= cos (
25𝜋
18
 ) + sen (
25𝜋
18
 ) 𝑖 
 
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Sabemos que 
25𝜋
18
 .corresponde a 250º. E não há fórmula simples para calcular o valor exato de 
 cos (
25𝜋
18
 ) e de sen (
25𝜋
18
 ) . Neste caso deixamos indicado. 
 
ATENÇÃO: No exercício 2 mostramos que |
𝑧
|𝑧|
| = 1 , para ∀ 𝑧 ∈ ℂ , 𝑧 ≠ 0. Poderíamos ter usado esse 
resultado neste exercício aqui e bastava então, encontrar o argumento principal do número complexo 
 𝑧2. 𝑧3 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 
𝑧1
𝑧4
 = 
4[cos 
 𝜋
 3
 +𝑖 sen 
𝜋
3
]
√2 [cos 
7𝜋
6
+𝑖 sen 
7𝜋
6
]
 = 
4
√2 
[cos (
𝜋
3
−
7𝜋
6
 ) + sen ( 
𝜋
3
−
7𝜋
6
)] = 
4
√2 
 [cos (− 
5𝜋
6
) + sen ( −
5𝜋
6
 ) 𝑖] = 
4
√2 
[ cos (− 
5𝜋
6
) − sen ( 
5𝜋
6
 ) 𝑖] = 
4
√2 
[−
3
√2 
−
1
2
𝑖] = 
−6 − 
2
√2 
𝑖 = −6 − √2 𝑖. 
 
 
 
 
 
 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 11: 
Escreva os seguintes números complexos na forma polar: 
(a) 4√3 + 4𝑖 (b) −
1
3
+
√3
3
𝑖 (c) −𝑖 
Solução: 
(a) 𝑤1 = 4√3 + 4𝑖 
|𝑤1| = √(4√3)
2
+ 42 = √48 + 16 = √64 = 8 
cos 𝜃 =
4√3
8
= 
√3
2
 sen 𝜃 =
4
8
= 
1
2
 
Como cos 𝜃 > 0 e sen 𝜃 > 0 então o argumento principal de 𝑤 é do 1º. Quadrante e pelos valores 
encontrados temos 𝜃 =
𝜋
6
. 
Assim, 𝑤1 = 8 [cos 
𝜋
6
 + 𝑖sen 
𝜋
6
 ] 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
EP 14 – 2016-1 – GABARITO – Números Complexos Pré-Cálculo 
 
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(b) 𝑤2 = −
1
3
+
√3
3
𝑖 
|𝑤2| = √(−
1
3
)
2
+ (
√3
3
)
2
= √
1
9
+
3
9
 = √
4
9
 = 
2
3
 
cos 𝜃 =
−
1
3
2
3
= −
1
2
 sen 𝜃 =
√3
3
2
3
= 
√3
2
 
Como cos 𝜃 < 0 e sen 𝜃 > 0 então o argumento principal de 𝑤 é do 2º. Quadrante e pelos valores 
encontrados temos 𝜃 =
2𝜋
3
. 
Assim, 𝑤2 = 
2
3
[cos 
2𝜋
3
 + 𝑖sen 
2𝜋
3
 ] 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(c) 𝑤3 = −𝑖 = 0 − 1𝑖 
|𝑤3| = |−𝑖| = 1 e cos 𝜃 =
0
1
= 0 sen 𝜃 = −
1
1
= − 1. Pelos valores encontrados temos 
 𝜃 =
3𝜋
2
. 
𝑤3 = 1 [cos 
3𝜋
2
 + 𝑖sen 
3𝜋
2
 ] 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 12: 
Resolva as equações, considerando 𝑧 ∈ ℂ : 
(a) 𝑧4 = 4√3 + 4𝑖 (b) 𝑧3 = 1 + 𝑖 
(c) 𝑧5 = −𝑖 (d) 𝑧2 = −5 − 12𝑖 
Solução: 
Neste exercício vamos usar a fórmula para calcular Raízes de um Número Complexo: 
𝑤𝑘 = 𝑟
1
𝑛 [cos (
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖sen (
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
)] onde 𝑛 um inteiro positivo e 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1, obtemos: 
(a) 𝑧4 = 4√3 + 4𝑖 
O que queremos encontrar são as quatro raízes complexas quartas de 𝑤 = 4√3 + 4𝑖 , 
 𝑧 = √𝑧4
4
 = √4√3 + 4𝑖
4
 
Vamos encontrar a forma polar do número complexo 𝑤 = 4√3 + 4𝑖 . 
r = |w| = √𝑎2 + 𝑏2 = √(4√3)
2
+ 42 = √48 + 16 = √64 = 8 e cos θ = 
4√3 
8
= 
√3
2
 , 
 sen θ = 
 4 
8
= 
 1 
2
 . Como cos θ > 0 e sen θ > 0 , então θ é um ângulo do 1º. Quadrante e pelos 
valores temos θ = 
𝜋
6
 . 
Logo, 𝑤 = 8 (cos 
𝜋
6
+ 𝑖sen 
𝜋
6
). 
Vamos usar a fórmula: 
EP 14 – 2016-1 – GABARITO – Números Complexos Pré-Cálculo 
 
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𝑤𝑘 = 𝑟
1
4 [cos (
𝜋
6
+2𝑘𝜋
4
) + 𝑖sen (
𝜋
6
+2𝑘𝜋
4
)] , 𝑘 = 0, 1, 2, 3 para determinar as 4 raízes quartas de 
𝑤 = 4√3 + 4𝑖 obtemos: 
 para 𝑘 = 0 : 𝑤0 = 8
1
4 [cos (
𝜋
6
4
) + 𝑖sen (
𝜋
6
4
)] = √8
4
 [cos (
𝜋
24
) + 𝑖sen (
𝜋
24
)] 
 para 𝑘 = 1 : 𝑤1 = 8
1
4 [cos (
𝜋
6
+2𝜋
4
) + 𝑖sen (
𝜋
6
+2𝜋
4
)] = √8
4
 [cos (
13𝜋
24
) + 𝑖sen (
13𝜋
24
)] 
 para 𝑘 = 2: 𝑤2 = 8
1
4 [cos (
𝜋
6
+4𝜋
4
) + 𝑖sen (
𝜋
6
+4𝜋
4
)] = √8
4
 [cos (
25𝜋
24
) + 𝑖sen (
25𝜋
24
)] 
 para 𝑘 = 3: 𝑤2 = 8
1
4 [cos (
𝜋
6
+6𝜋
4
) + 𝑖sen (
𝜋
6
+6𝜋
4
)] = √8
4
 [cos (
37𝜋
24
) + 𝑖sen (
37𝜋
24
)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 𝑧3 = 1 + 𝑖 
O que queremos encontrar são as raízes complexas cúbicas de 𝑤 = 1 + 𝑖 , 
 𝑧 = √𝑧3
3
 = √1 + 𝑖
3
 
Vamos encontrar a forma polar do número complexo 𝑤 = 1 + 𝑖 . 
r = |w| = √12 + 12 = √2 e cos θ = 
 1 
√2 
= 
√2
2
 , sen θ = 
 1 
√2 
= 
√2
2
 . Como cos θ > 0 e 
 sen θ > 0 , então θ é um ângulo do 1º. Quadrante e pelos valores temos θ = 
𝜋
4
 . 
Logo, 𝑤 = √2 (cos 
𝜋
4
+ 𝑖sen 
𝜋
4
). 
Vamos usar a fórmula: 
EP 14 – 2016-1 – GABARITO – Números Complexos Pré-Cálculo 
 
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𝑤𝑘 = 𝑟
1
3 [cos (
𝜋
4
+2𝑘𝜋
3
) + 𝑖sen (
𝜋
4
+2𝑘𝜋
3
)], 𝑘 = 0, 1, 2 para obter as 3 raízes cúbicas de 𝑤 = 1 + 𝑖 : 
 para 𝑘 = 0 : 𝑤0 = (√2 )
1
3 [cos (
𝜋
4
3
) + 𝑖sen (
𝜋
4
3
)] = √2
6
 [cos (
𝜋
12
) + 𝑖sen (
𝜋
12
)] 
 para 𝑘 = 1 : 𝑤1 = (√2 )
1
3 [cos (
𝜋
 4
+2𝜋
3
) + 𝑖sen (
𝜋
4
+2𝜋
3
)] = √2
6
 [cos (
9𝜋
12
) + 𝑖sen (
9𝜋
12
)] 
 para 𝑘 = 2: 𝑤2 = (√2 )
1
3 [cos (
𝜋
4
+4𝜋
3
) + 𝑖sen (
𝜋
4
+4𝜋
3
)] = √2
6
 [cos (
17𝜋
12
) + 𝑖sen (
17𝜋
12
)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) 𝑧5 = −𝑖 
O que queremos encontrar são as cinco raízes complexas quintas de 𝑤 = 0 − 𝑖 , 
 𝒛 = √𝒛𝟓
𝟓
 = √𝟎 − 𝒊
𝟓
 
Vamos encontrar a forma polar do número complexo 𝑤 = 0 − 1. 𝑖 . 
r = |w| = √02 + (−1)2 = √1 = 1 e cos θ = 
 0 
1 
= 0 , sen θ = 
 − 1 
1
= −1 . Pelos valores 
temos θ = 
3𝜋
2
 . 
Logo, 𝑤 = cos 
3𝜋
2
+ 𝑖sen 
3𝜋
2
. 
Vamos usar a fórmula: 
EP 14 – 2016-1 – GABARITO – Números Complexos Pré-Cálculo 
 
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𝑤𝑘 = 𝑟
1
5 [cos (
3𝜋
2
+2𝑘𝜋
5
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
+2𝑘𝜋
5
)], 𝑘 = 0, 1, 2, 3 , 4 para obter as 5 raízes quíntuplas de 
𝑤 = 0 − 1. 𝑖 = −𝑖: 
 para 𝑘 = 0 : 𝑤0 = 1
1
5 [cos (
3𝜋
2
5
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
5
)] = cos (
3𝜋
10
) + 𝑖sen (
3𝜋
10
) 
 para 𝑘 = 1 : 𝑤1 = 1
1
5 [cos (
3𝜋
2
+2𝜋
5
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
+2𝜋
5
)] = cos (
7𝜋
10
) + 𝑖sen (
7𝜋
10
) 
 para 𝑘 = 2: 𝑤2 = 1
1
5 [cos (
3𝜋
2
+4𝜋
5
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
+4𝜋
5
)] = cos (
11𝜋
10
) + 𝑖sen (
11𝜋
10
) 
 para 𝑘 = 3: 𝑤3 = 1
1
5 [cos (
3𝜋
2
+6𝜋
5
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
+6𝜋
5
)] = cos (
15𝜋
10
) + 𝑖sen (
15𝜋
10
) = 
 cos (
3𝜋
2
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
) = 0 − 𝑖 = −𝑖 
 para 𝑘 = 4: 𝑤4 = 1
1
5 [cos (
3𝜋
2
+8𝜋
5
) + 𝑖sen (
3𝜋
2
+8𝜋
5
)] = cos (
19𝜋
10
) + 𝑖sen (
19𝜋
10
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) 𝑧2 = −5 − 12𝑖 
O que queremos encontrar são as duas raízes complexas quadradas de 𝑤 = −5 − 12𝑖 , 
 𝑧 = √𝒛𝟐 = √−5 − 12𝑖 
Vamos encontrar a forma polar do número complexo 𝑤 = −5 − 12𝑖. 
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r = |w| = √(−5)2 + (−12)2 = √25 + 144 = √169 = 13 e cos θ = − 
 5 
13 
 , sen θ = − 
 12 
13
 . 
Como cos θ < 0 e sen θ < 0 , então 𝜋 < 𝜃 <
3𝜋
2
 e 𝐭𝐚𝐧 𝛉 = 
𝒔𝒆𝒏𝛉 
𝐜𝐨𝐬 𝛉
=
− 
 12 
13
− 
 5 
13 
= 
 12 
5
 . 
Mas, 𝜋 < 𝜃 <
3𝜋 
2
 ⇒ 𝜋 − 𝜋 < 𝜃 − 𝜋 <
3𝜋 
2
− 𝜋 ⇒ 0 < θ − π <
𝜋
2
 . 
Sabemos que tan ( θ − 𝜋) = tan θ =
 12 
5
 . e como 0 < θ − π <
𝜋
2
 , 
então θ − π = arctan (
 12 
5
) ⇒ 𝛉 = 𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (
 12 
5
). 
Logo, 𝒘 = 𝟏𝟑 [𝐜𝐨𝐬 (𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (
 12 
5
)) + 𝒊𝐬𝐞𝐧 (𝛑 + 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (
 12 
5
))] . 
Vamos usar a fórmula: 
𝑤𝑘 = 𝑟
1
2 [cos (
𝛑+ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(
 12 
5
)+2𝑘𝜋
2
) + 𝑖sen (
𝛑+ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(
 12 
5
)+2𝑘𝜋
2
)] onde 𝑘 = 0, 1 para obter as 2 raízes 
complexas quadradas de 𝑤 = −5 − 12𝑖 : 
 para 𝑘 = 0 : 𝑤0 = 13
1
2 [cos (
1
2
[π + arctan (
 12 
5
)]) + 𝑖sen (
1
2
[π + arctan (
 12 
5
)])] = 
 para 𝑘 = 1 : 𝑤1 = 13
1
2 [cos (
1
2
[3π + arctan (
 12 
5
)]) + 𝑖sen (
1
2
[3π + arctan (
 12 
5
)])] 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 13: 
Determine em ℂ todas as soluções da equação: 
(a) 𝑥2 − 8𝑥 + 17 = 0 (b) 𝑧2 + 𝑧 + 2 = 0 (c) 𝑥4 = 1 
Solução: 
(a) 𝑥2 − 8𝑥 + 17 = 0 
𝑥1 = 
8 − √(−8)2 − 4.1.17
2.1
 𝑒 𝑥2 = 
8 + √(−8)2 − 4.1.17
2.1
 
Donde, 𝑥1 = 
8− √64−68
2
= 
8− √−4
2
 𝑒 𝑥2 = 
8+ √64−68
2
= 
8+ √−4
2
 , 
e assim 𝑥1 = 
8− √4 𝑖
2
=
8− 2𝑖
2
 = 4 − 𝑖 𝑒 𝑥2 = 
8+ √4 𝑖
2
=
8+ 2𝑖
2
 = 4 + 𝑖 
Logo, as duas soluções dessa equação são: 𝑥1 = 4 − 𝑖 𝑒 𝑥2 = 4 + 𝑖 
Observe que, 𝑥1̅̅̅ = 𝑥2 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 𝑧2 + 𝑧 + 2 = 0 
𝑧1 = 
−1 − √12 − 4.1.2
2.1
 𝑒 𝑧2 = 
−1 + √12 − 4.1.2
2.1
 
 
EP 14 – 2016-1 – GABARITO – Números Complexos Pré-Cálculo 
 
Página 14 de 15 
Donde, 𝑧1 = 
−1− √1−8
2
= 
−1− √−7
2
 𝑒 𝑧2 = 
−1+ √1−8
2
= 
−1+ √−7
2
 , 
e assim 𝑧1 = 
−1− √7 𝑖
2
= −
1
2
−
√7 
2
𝑖 𝑒 𝑧2 = 
−1+ √7 𝑖
2
= −
1
2
+
√7 
2
𝑖 
Logo, as duas soluções dessa equação são: 𝑧1 = −
1
2
−
√7 
2
𝑖 𝑒 𝑧2 = −
1
2
+
√7 
2
𝑖 
Observe que, 𝑧1̅ = 𝑧2 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(c) 𝑥4 = 1 
O que queremos encontrar são as quatro raízes complexas quartas da unidade, 𝑤 = 1 = 1 + 0𝑖 , 
 𝑥 = √𝑥4
4
 = √1
4
 
Vamos encontrar a forma polar do número complexo 𝑤 = 1 + 0𝑖 . 
r = |w| = √12 + 02 = 1 e cos θ = 
1 
1
= 1 , sen θ = 
 0 
1
= 0 . Pelos valores temos θ = 0 . 
Logo, 𝑤 = cos 0 + 𝑖sen 0. 
Vamos usar a fórmula: 
𝑤𝑘 = 𝑟
1
4 [cos (
0+2𝑘𝜋
4
) + 𝑖sen (
0+2𝑘𝜋
4
)] , 𝑘 = 0, 1, 2, 3 para determinar as 4 raízes quartas de 
𝑤 = 1 obtemos: 
 para 𝑘 = 0 : 𝑤0 = 1
1
4 [cos (
0
4
) + 𝑖sen (
0
4
)] = cos(0) + 𝑖sen(0) = 1 + 0𝑖 = 1 
 para 𝑘 = 1 : 𝑤1 = 1
1
4 [cos (
0+2𝜋
4
) + 𝑖sen (
0+2𝜋
4
)] = cos (
𝜋
2
) + 𝑖sen (
𝜋
2
) = 0 + 1𝑖 = 𝑖 
 para 𝑘 = 2: 𝑤2 = 1
1
4 [cos (
0+4𝜋
4
) + 𝑖sen (
0+4𝜋
4
)] = cos 𝜋 + 𝑖sen 𝜋 = −1 + 0i = −1 
 para 𝑘 = 3: 𝑤2 = 1
1
4 [cos (
0+6𝜋
4
) + 𝑖sen (
0+6𝜋
4
)] = cos
3𝜋
2
+ 𝑖sen 
3𝜋
2
= 0 − 1i = −i 
Logo, as quatro soluções dessa equação são: 
 𝑤0 = 1 + 0𝑖 = 1 , 𝑤1 = 0 + 1𝑖 = 𝑖 , 𝑤2 = −1 + 0𝑖 = −1 , 𝑤3 = 0 − 1𝑖 = −𝑖 
______________________________________________________________________________________ 
Exercício 14: 
Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre 
(a) (1 + 𝑖)20 (b) (2√3 + 2𝑖)
5
 
Solução: 
(a) (1 + 𝑖)20 
A forma polar do número complexo 𝑤 = 1 + 𝑖 é 𝑤 = √2(cos 
𝜋
4
+ 𝑖sen 
𝜋
4
), encontrada no Exercício 12 
(b). 
EP 14 – 2016-1 – GABARITO – Números Complexos Pré-Cálculo 
 
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Pelo Teorema de De Moivre temos: 
(1 + 𝑖)20 = (√2)
20
(cos 20.
𝜋
4
+ 𝑖sen20.
𝜋
4
) = 2
20
2 (cos 5𝜋 + 𝑖sen 5𝜋) = 
= 210(cos(5𝜋 − 4𝜋) + 𝑖sen (5𝜋 − 4𝜋)) = 210(cos 𝜋 + 𝑖sen 𝜋) = 210(−1 + 𝑖. 0) = −210 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) (2√3 + 2𝑖)
5
 
A forma polar do número complexo 𝑤 = 2√3 + 2𝑖 é 𝑧 = 4 [cos 
𝜋
6
 + 𝑖sen 
𝜋
6
 ] encontrada no 
Exercício 7 
Pelo Teorema de De Moivre temos: 
(2√3 + 2𝑖)
5
= 45 [cos 5.
𝜋
6
 + 𝑖sen 5.
𝜋
6
 ] = 45 [cos 
5𝜋
6
 + 𝑖sen 
5𝜋
6
 ] = 45 [−
√3
2
 + 
1
2
 𝑖 ] 
= −
45 √3
2
 + 
45 
2
 𝑖 
______________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 15: 
Escreva o número na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 : (a) 𝑒𝑖
𝜋
2 (b) 𝑒𝑖
3𝜋
4 (c) 𝑒1+2𝑖 
Solução: 
(a) 𝑒𝑖
𝜋
2 
Pela Fórmula de Euler, 𝑒𝑖𝑦 = cos𝑦 + 𝑖sen 𝑦 
Assim, 𝑒𝑖
𝜋
2 = cos
𝜋
2
+ 𝑖sen 
𝜋
2
= 0 + 1. 𝑖 = 𝑖 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 𝑒𝑖
3𝜋
4 
Pela Fórmula de Euler, 𝑒𝑖𝑦 = cos𝑦 + 𝑖sen 𝑦 
Assim, 𝑒𝑖
3𝜋
4 = cos
3𝜋
4
+ 𝑖sen 
3𝜋
4
= −
√2
2
+
√2
2
𝑖 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) 𝑒1+2𝑖 
Sabemos que se 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 então 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦𝑖 = 𝑒𝑥. 𝑒𝑦𝑖 = 𝑒𝑥(cos𝑦 + 𝑖sen 𝑦) 
Então, 𝑒1+2𝑖 = 𝑒1. 𝑒2𝑖 = 𝑒(cos 2 + 𝑖sen 2) = 𝑒 cos 2 + 𝑖 𝑒 sen 2