Book 01 - CONCEITO GERAL DE JUROS SIMPLES - OK

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. George Sales
Atualização: Prof. Samuel Durso
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CONCEITO GERAL 
DE JUROS SIMPLES
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SUMÁRIO
1. Juros
 1.1. Valor do dinheiro no tempo
 1.2. Conceito de Juros: Ótica do Tomador e do Credor
 1.3. Diagrama de Fluxo de Caixa
2. Taxas de Juros
 2.1. Taxa Percentual
 2.2. Taxa Unitária
3. Regimes de Capitalização
 3.1. Regime Simples de Capitalização
 3.1.1. Conceito
 3.2. Relação entre Valor Presente, Juros, Prazo e Valor Futuro
 3.3. Valor Nominal e Valor Atual
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OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Compreender conceitos básicos sobre juros simples em matemática 
financeira;
• Identificar aplicações dessa técnica no mundo real;
• Solucionar problemas comuns da área de negócios. 
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1. JUROS
1.1. Valor do dinheiro no tempo
Quanto vale um real? Essa pergunta tão simples não tem uma resposta 
única. O dinheiro vale o tanto que se pode comprar com ele. Há dez 
anos, um real podia comprar certa quantidade de mercadoria e, hoje, 
pode comprar menos da mesma mercadoria.
Portanto, o dinheiro tem diferentes valores no tempo. Esse 
é um conceito fundamental em finanças, pois dele saem todas 
as regras que veremos adiante.
Além da inflação, que afeta o valor do dinheiro, existem outros 
fatores que o influenciam no tempo. Vejamos a seguir.
1.2. Conceito de Juros: Ótica do Tomador e do Credor
Imagine que você possui uma determinada quantia de dinheiro em 
seu poder, o suficiente para comprar um automóvel. Você quer muito 
comprar o automóvel, mas alguém lhe diz:
- Espere um pouco, compre o carro somente no mês que vem.
- Mas por que esperar? O carro estará mais barato no mês que 
vem? – Você pergunta.
- Não. Custará a mesma coisa.
- Então, por que esperar?
Na verdade, não existe resposta convincente para essa pergunta. Você 
simplesmente não precisa esperar para comprar o carro que tanto quer 
se não houver um incentivo para tanto. Os juros são justamente isso: 
um incentivo, um prêmio para que você adie o consumo. Assim, 
você pode receber uma quantia de dinheiro extra para gastar, no futuro, 
o dinheiro que possui hoje.
Os juros também podem ser considerados como o preço pela 
utilização do dinheiro. Certas pessoas e empresas possuem dinheiro 
em seu caixa. Elas não necessariamente desejam comprar bens com 
esse dinheiro. No entanto, existem pessoas e empresas que precisam 
consumir certos produtos, mas não têm dinheiro para tanto.
Então, quem não tem dinheiro pode “alugá-lo” de quem o tem de sobra. 
Podemos dizer, então, que os juros podem ser considerados também 
como o preço do aluguel do dinheiro por um determinado período 
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de tempo.
Observação
Uma vez que os juros incentivam as pessoas que 
têm dinheiro hoje a adiar o consumo, o Banco Central 
aumenta a taxa de juros quando quer diminuir o 
consumo e controlar a inflação. Fazendo isso, o Banco 
Central está aumentando o incentivo à poupança. 
Com o aumento dos juros, espera-se menos gente 
consumindo, menos vendas, produtos sobrando nas 
prateleiras e preços caindo. Essa é a lógica!
1.3. Diagrama de Fluxo de Caixa
Ao falar do valor do dinheiro no tempo, somos tentados a representar 
um fluxo de caixa em uma linha do tempo. É o chamado diagrama de 
fluxo de caixa. Veja a seguir um exemplo:
Convencionou-se que as setas para cima são entradas de caixa e 
as setas para baixo são saídas de caixa. Assim, temos no exemplo 
acima duas entradas de caixa (uma hoje e outra daqui a três períodos 
– podem ser dias, meses, anos) e duas saídas de caixa, uma daqui a 
sete períodos e outra daqui a doze períodos. Os diagramas de fluxo 
de caixa serão muito úteis para entender certos conceitos mais para 
frente.
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2. TAXAS DE JUROS
Os juros de operações financeiras podem ser expressos por meio de 
uma taxa, a taxa de juros. 
Exemplo 1
Digamos que você tem R$ 1.000,00 guardados e 
empresta para um amigo, que lhe promete devolver R$ 
1.100,00 daqui a 1 ano. Qual a taxa de juros embutida 
nessa operação?
Nesse caso, para encontrar a taxa de juros do período da operação, 
basta dividir o valor a ser devolvido daqui a 1 ano pelo valor atual e 
subtrairmos 1 (multiplicando por 100, para encontrar a taxa percentual).
Em resumo, é muito simples calcular a taxa de juros quando existe um 
fluxo único de pagamento no futuro. No nosso exemplo, basta dividir 
o valor a ser devolvido daqui a 1 ano pelo valor atual e subtrairmos 1.
Perceba que a taxa de juros deve fazer sempre referência a um 
determinado período de tempo. No exemplo visto acima, a taxa 
refere-se ao período de 1 ano.
Exercício de Fixação
1) Admita que você investiu em um Banco R$ 3.000,00 
e após 35 dias corridos, no qual estão contidos 22 dias 
úteis, foi entregue o valor de R$ 3.102,00.
Qual é a taxa de juros embutida na operação financeira?
2) Sabemos que o valor futuro no vencimento de um 
contrato de DI será de R$ 100.000,00. Digamos que 
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hoje um determinado contrato, vencendo daqui a 6 
meses, valerá R$ 95.693,78.
Qual a taxa de juros embutida no período?
Exemplo 2
Você tem R$ 1.000,00 hoje, e gostaria de obter uma 
taxa de juros de 3% pelo seu dinheiro por uma aplicação 
de 1 mês. Qual seria o valor dos juros e do montante 
recebido por você daqui a 1 mês?
Sabemos que os juros recebidos equivalem à taxa de juros multiplicada 
pelo valor presente:
Portanto, os juros recebidos serão:
E o valor recebido daqui a 1 mês será dado por:
Observação
Valor Futuro pode ser chamado de: Montante; Valor 
Nominal; Valor de Face; Valor de Resgate e Valor 
Capitalizado.
Valor Presente pode ser chamado de: Capital; Valor 
Atual; Valor Descontado; Valor Desagiado e Principal
Ou seja:
Valor Futuro = Valor Presente + Juros = R$ 1.000,00 + R$ 30,00 = 
R$ 1.030,00
Outra maneira, mais direta, de chegar ao mesmo valor seria através 
da fórmula: 
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Que fornece o mesmo resultado:
Exercício de Fixação
3) Admita que você investiu R$ 5.000,00 em um CDB. 
Nessa operação, o Banco comercial prometeu devolver 
seu dinheiro ao final do período com uma taxa de 7,5%. 
Qual será o valor futuro que você irá receber?
Exemplo 3
Sabemos que o valor futuro no vencimento do contrato 
de DI é de R$ 100.000,00. Digamos que hoje um 
determinado contrato, vencendo daqui a 6 meses, vale 
R$ 92.450,00. Qual a taxa de juros embutida?
Ou seja, quem compra ou vende esse contrato hoje está negociando o 
seu dinheiro a uma taxa de juros de 8,17% ao semestre. 
Existem duas formas de expressar as taxas de juros: a forma 
percentual e a unitária. Vejamos a seguir.
2.1. Taxa Percentual
Na forma percentual, a taxa aparece multiplicada por 100. Por exemplo, 
20% ao ano, 2% ao mês. Essa é a maneira mais usual da taxa de juros, 
ainda que a mais complicada em termos de aplicação nas fórmulas 
utilizadas, pois é necessário dividir ou multiplicar os resultados por 100. 
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Assim, taxa unitária = 0,05; portanto, a taxa percentual é de 5%.
2.2. Taxa Unitária
Na forma unitária, a taxa é apresentada de maneira decimal. Por 
exemplo: 
• 0,2 ao ano (20%, se expresso em taxa percentual), 
• 0,02 (2%, se expresso em taxa percentual) ao mês. 
Para transformar a taxa percentual em taxa unitária, basta dividir a 
primeira por 100. Caso seja necessário transformar a taxa unitária em 
taxa percentual, portanto, basta multiplicar a primeira por 100. 
Comentário
O uso da taxa unitária é mais simples quando ela é 
aplicada em fórmulas, mas é menos usual do ponto de 
vista da prática do mercado financeiro, razão pela qual 
optamos por utilizara forma percentual daqui em diante.
Assim, podemos dizer que se a taxa percentual é de 5% a taxa unitária 
será de 0,05. 
3. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Capitalização é a acumulação dos juros ao longo do tempo.
Voltemos ao nosso primeiro exemplo: você acabou de receber os R$ 
1.100,00 referentes ao empréstimo que fez ao seu amigo. 
Você tem duas alternativas: empresta novamente por mais 1 ano (seu 
amigo continua precisando do dinheiro), ou gasta o dinheiro. Digamos 
que você opte por emprestar novamente, pela mesma taxa de juros. 
Qual será o montante devido pelo seu amigo daqui a 1 ano? Para 
responder a essa questão, precisamos saber qual o regime de 
capitalização utilizado: simples ou composto.
3.1. Regime Simples de Capitalização
3.1.1. Conceito
Pelo regime simples de capitalização, a taxa de juros incide somente 
sobre o capital inicial. Os juros obtidos nos períodos anteriores não 
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entram no cálculo dos juros nos períodos posteriores. 
3.2. Relação entre Valor Presente, Juros, Prazo e Valor Futuro
Genericamente, temos a fórmula para a capitalização simples:
Onde:
VF: valor futuro
VP: valor presente
i: taxa de juros do período
n: número de períodos
Desmembrando esta fórmula, temos:
 
Exercício de Fixação
4) Você ficou negativo em sua conta corrente no valor 
de R$ 3.000,00 pelo prazo de 15 dias. A taxa de juros 
é 5% a.m. Sabe-se que, nesse prazo, o Banco cobra 
taxa de juros simples. Qual é o valor final que deve ser 
pago ao banco?
Comentário
Período de capitalização é o espaço de tempo 
compreendido entre as duas contagens sucessivas de 
juros. Assim, a taxa de juros pode ser expressa ao dia, 
ao mês, ao bimestre, ao trimestre.
Juros acumulados 
no período
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É importante que o tempo e a taxa de juros estejam 
na mesma unidade temporal. Se, por exemplo, a taxa 
estiver ao mês, o tempo deverá ser contado em meses.
Prazo de aplicação é o tempo em que estiver aplicado 
o capital.
Exercício de Fixação
5) Tendo-se um montante (valor futuro) de R$ 7.980, 
qual é o valor do capital inicial, sabendo-se que o prazo 
da operação foi de 14 meses, a uma taxa de juros 
simples de 1% ao mês?
3.3. Valor Nominal e Valor Atual
Valor nominal é o valor de uma determinada obrigação a ser paga no 
futuro, por exemplo, uma nota promissória. O valor nominal nada mais 
é do que o valor do capital aplicado mais os juros. Assim sendo, o valor 
nominal é igual ao montante ou valor futuro.
Valor atual é o valor que, aplicado a uma determinada taxa de juros e 
por determinado prazo, reproduz o valor nominal. Esse valor atual pode 
ser calculado a qualquer época anterior ao vencimento da obrigação.
Assim sendo, temos:
N = valor nominal (igual ao montante)
V = valor atual (raciocínio igual ao cálculo do capital inicial)
Comentário
Só mudaram as letras de VF para N e VP para V
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Exercício de Fixação
6) Um empréstimo foi contraído para ser liquidado daqui 
a 5 anos. Seu valor nominal é de R$ 15.000,00 à taxa 
de 12% a.a. e regime de capitalização simples. Calcule 
o valor atual na data da assinatura do contrato.
4. DICAS PARA CÁLCULO DE JUROS SIMPLES NA 
CALCULADORA HP 12C
Dica 1 (como encontrar o valor presente): Tendo-se um montante 
(valor futuro) de R$ 7.980, qual é o valor do capital inicial, considerando 
que o prazo da operação foi de 14 meses, a uma taxa de juros simples 
de 1% ao mês?
Step Comando Explicações
1 f clx Limpa todos os registros da calculadora.
2 7980 ENTER Armazena o valor futuro do exercício.
3 0,01 ENTER Armazena a taxa de juros unitária.
4 14 X Multiplica a taxa de juros unitária pelo período.
5 1 + Soma 1 o valor encontrado no step 4 (denominador da 
fração).
6 ÷ Divide o montante armazenado no step 1 pelo 
denominador do step 5.
Resposta: R$ 7.000,00
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Dica 2 (como encontrar o valor futuro): Você ficou negativo em sua 
conta corrente no valor de R$ 3.000,00 pelo prazo de 15 dias. A taxa 
de juros é 5% a.m. Sabe-se que, nesse prazo, o Banco cobra taxa de 
juros simples. Qual é o valor final que deve ser pago ao banco?
Step Comando Explicações
1 f clx Limpa todos os registros da calculadora.
2 3000 CHS PV Armazena o valor presente que precisa estar com sinal 
negativo.
3 60 i Armazena a taxa de juros anual no formato percentual.
4 15 n Armazena o período em dias.
5 f INT Retorna o valor dos juros para o período.
6 + Soma os juros encontrados no step 5 ao principal do step 
2.
Resposta: R$ 3.075,00
Dica 3 (como encontrar os juros): Sabemos que o valor futuro no 
vencimento do contrato de DI é de R$ 100.000,00. Digamos que 
hoje um determinado contrato, vencendo daqui a 6 meses, vale R$ 
92.450,00. Qual a taxa de juros mensal embutida (assuma regime 
simples de capitalização)?
Step Comando Explicações
1 f clx Limpa todos os registros da calculadora.
2 100000 ENTER Armazena o valor futuro do DI.
3 92450 ÷ Divide o valor futuro pelo valor presente.
4 1 - Retorna a taxa de juros unitária do semestre.
5 100 x Retorna a taxa de juros percentual do semestre.
6 6 ÷ Retorna a taxa de juros percentual mensal.
Resposta: 1,3611%
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INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 8ª 
ed. São Paulo: Atlas, 2008.
• Capítulo 2: Capitalização simples (pp. 4-15).
INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Manual de aplicações 
financeiras HP-12C: tradicional, platinum, prestigie. 3ª 
ed. São Paulo: Atlas, 2008.
• Capítulo 1: Principais funções matemáticas e 
financeiras (pp. 5-12).
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Revisão de Texto: Patricia Brasil