Exercicios Matematica Financeira

Prévia do material em texto

Unidade 5 - Juros compostos
Com a perspectiva de aumento de custos, a empresa Brull resolveu fazer uma aplicação no valor de R$ 10.000,00, para resgatar no prazo de 5 anos. Os juros compostos da operação foram 13% ao ano. Qual será o valor a ser resgatado pela empresa ao final do prazo indicado?
P: R$ 10.000,00
n: 5 
i: 13% 
10.000,00 × (1+0,13)5 
10.000,00 × (1,13)5 
10.000,00 × 1,84244 
18.424,35 
A empresa Ky fez uma aplicação de recursos no valor de R$ 25.000,00, em 02/07/2014. Em 02/01/2015, houve um grande atraso no recebimento de clientes e a empresa precisou resgatar a aplicação em questão. Considerando-se a taxa de juros compostos no valor de 18% ao ano, qual o valor resgatado pela empresa?
Observe que de 02/07/2014 a 02/01/2015 temos 6 meses ou 0,5 anos. Assim: 
P: R$ 25.000,00 
n: 0,5 anos 
i: 18% a.a 
S = P(1+i)n
S = 25.000,00 × (1+0,18)0,5
S = 25.000,00 × (1,18)0,5
S =  R$ 27.156,95
A empresa Finalzinho fez um empréstimo de R$ 10.000,00 para ser pago ao final de 12 meses, com uma taxa mensal de 10%. Considerando-se juros compostos, qual o valor a ser pago no final da operação? ​​​​​​​
P: R$ 10.000,00
n: 12 meses 
i: 10% ao mês
J: R$ 2.300,00
S: R$ 31.384,28
10.000,00 × (1 + 0,10)12
10.000,00 × (1,10)12
10.000,00 × 3,13843
O restaurante Finofiro fez um empréstimo no banco no valor de R$ 40.000,00, para pagar no prazo de nove meses, a uma taxa de 5,8% ao mês - juros compostos. Qual será o valor a pagar de juros nesta operação?
P: R$ 40.000,00
n: 9
i: 5,80%
S: R$ 66.440,21 
J = 66.440,21 - 40.000,00 = 26.440,21 
40.000,00 × (1 + 0,0580)9
40.000,00 × 1,05809
40.000,00 × 1,6610
Qual o valor de resgate de uma aplicação financeira de R$ 12.450,00, após 15 meses, a uma taxa de 4,50% ao mês, no regime de juros compostos?
P: R$ 12.450,00
n: 15
i: 4,50%
S: R$ 24.094,27
12.450,00 × (1 + 0,0450)15
12.450,00 × 1,045015
12.450,00 × 1,93528
Unidade 4 Desconto
Qual o valor do desconto bancário simples que um banco aplica sobre duplicatas no valor de R$ 380.000,00, 57 dias antes do vencimento, à taxa simples de 4% ao mês?
A partir dos dados do enunciado é calculado o valor principal ou descontado (P), dado por:
P = S(1-d.n)
Sendo ‘S’ o valor nominal, ‘d’ a taxa de desconto bancário simples e ‘n’ o prazo entre o desconto e o vencimento do título, temos que:
P = S(1-d.n)
P = (R$ 380.000,00)*(1-(0,04)*(57/30))
P =  R$ 351.120,00
Por fim, calculamos o valor do desconto (D) a partir da subtração do valor nominal (S) e do valor descontado (P):
D = S – P
D = R$ 380.000,00 - R$ 351.120,00
D = R$ 28.880,00
Outra possibilidade para o cálculo do desconto (D) é aplicar diretamente a equação:
D = S.d.n
D = (R$ 380.000,00) (0,04) (57/30)
D = R$ 28.880,00
Você investiu em um lote de Letras Financeiras do Tesouro - LFT's, no valor nominal de R$ 20.000,00, com prazo de 47 dias, e a uma taxa de desconto de 12% a.m. Qual o preço de aquisição do lote, considerando-se desconto bancário simples?
P = S(1 - dn)
P = 20.000,00 * ( 1 – 0,12 * 1,5666)
P = 20.000,00 * ( 1 – 0,188)
P = 20.000,00 * 0,812
P = 16.240,00
Qual o valor pago por um banco que descontou para um cliente duplicatas no valor de R$ 120.000,00, à taxa de desconto bancário simples de 2,6% ao mês, 33 dias antes do prazo?
P = S *(1 - dn)
P = 120.000,00 * ( 1 - 0,026 * 1,10)
P = 120.000,00 * ( 1- 0,0286)
P = 120.000,00 * 0,9714
P = 116.568,00
Qual o valor do desconto bancário simples que um banco aplica sobre duplicatas no valor de R$ 27.000,00, 67 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 4,3% ao mês?
P = S*(1 - dn)
P = 27.000,00 * ( 1 – 0,0430 * 2,2333)
P = 27.000,00 * ( 1 – 0,09603333)
P = 27.000,00 * 0,9039666
P = 24.407,10
27.000,00 – 24.407,10 = 2.592,90
Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 é descontada em um banco seis meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto bancário simples é de 6% ao mês, pergunta-se: qual o valor do desconto?
P = S*(1 - dn)
P = 5.000,00 * ( 1 - 0,06 * 6)
P= 5.000,00 * ( 1 - 0,36)
P = 5.000,00 * 0,64
P = 3.200,00
5.000,00 - 3.200,00 = 1800,00
Juros Simples
Vamos fazer uma aplicação financeira durante 98 dias no valor de R$ 1.500,00, considerando a taxa de juros de 20% ao ano. Qual será o nosso rendimento, utilizando cálculos com juros simples?
N: 98,00
P: R$ 1.500,00
S: R$ 81,67
i: 20,00%
98 / 360 = 0,27
1500 * 0,2 * 0,27 = R$ 81,67
João deseja ter um rendimento de R$ 600,00 depois de 1,5 anos. A taxa da aplicação que João pretende fazer é 12% a.a. Quanto João deverá aplicar considerando-se os valores com juros simples.
J = 600,00
P = ?
i = 12% (0,12) a.a.
n = 1,5
J = P * i * n ⇔ P = J / i * n
P = 600 / 0,12 * 1,5
P = 3.333,33
A empresa Beta precisa investir em um novo meio de transporte para os seus funcionários para se adequar às novas normas de segurança vigentes. Seu diretor financeiro apresentou um relatório onde constava que deveriam aplicar R$ 100.000,00 para terem um rendimento de R$ 12.000,00 no prazo de 480 dias, em uma aplicação com juros simples. Ao ser questionado sobre a taxa, o diretor financeiro respondeu CORRETAMENTE que a taxa anual da operação era de:
N: 480
P: R$ 100.000,00
J: R$ 12.000,00
i: 9,00%
480 / 360 = 1,33
12.000 / (100.000 *  1,33 ) = 9% a.a
A indústria de peças está em negociação com seu cliente para definir o prazo de entrega em dias das peças encomendadas. Chegaram a um consenso de que o tempo de entrega deveria estar relacionado com o valor investido, a taxa de juros do mercado e o valor esperado de retorno. A taxa de juros considerada foi de 14% a.a, o valor aplicado R$ 19.000,00 e o rendimento, R$ 7.500,00. Essa operação apresenta, como base de cálculo, os juros simples. Considerando-se o ano comercial, qual é o prazo dessa operação?
N: 2,82 anos 
P: R$ 19.000,00  
J: R$ 7.500,00  
i: 14,00% 
2,82 * 360 = 1.015 
7.500 / (19.000 * 0,14 ) = 2,82
j = (C.i.t ) /100 
C = R$ 19.000,00 
J = R$ 7.500,00 
I = 14% a.a. 
R$ 7.500 = (R$ 19.000 .14.t) /100 
t = 2,82 
2,82 * 360 = 1.015 dias
Carlos aplicou R$ 500,00 a uma taxa de juros simples de 10% a.a, esta aplicação teve um prazo de 3 anos. Qual o montante final que Carlos tem disponível, ao final de 3 anos?
S = ?
P = 500,00
i = 10% (0,10) a.a.
n = 3 anos
S = P (1+  i * n)
S = 500 (1+ 0,10 * 3)
S = 650,00
Porcentagem
Carla gastou R$15,00 para preparar um arranjo de flores e o vendeu com o lucro de R$6,00. Determine a porcentagem do lucro de Carla.
6/15 = 0,40 x 100 = 40%. Assim, Carla teve um lucro de 40% sobre o custo de R$15,00 na venda do arranjo de flores
Paulo é um revendedor de bolos e compra, cada um, por R$12,00. Ele deseja lucrar 30% na venda. Qual será o lucro unitário, em reais, de Paulo?
30% x 12 = 30/100 x 12 = R$3,60
Sendo assim, Paulo terá um lucro de R$3,60 na venda de cada bolo.
A gasolina vendida no Brasil é uma mistura de álcool e gasolina. Considerando que, em um dado galão há 240 litros de gasolina e 60 litros de álcool, calcule a porcentagem de álcool contida na mistura.
Cada galão tem 240 litros de gasolina mais 60 litros de álcool, logo há 300 litros de líquido. Como dos 300 litros, 60 litros são de álcool, assim: 60/300 = 0,20 x 100 = 20%. Esta é a porcentagem de álcool contida na mistura.
Ana é vendedora de roupas e ganha, como remuneração variável, uma comissão de 5% sobre os lucros nas vendas realizadas. Se no mês passado as vendas foram de R$60.000,00, com um lucro de 30%, então a comissão de Ana será:
Lucro: 30% x 60.000 = 0,30 x 60.000 = 18.000
Comissão: 5% x 18.000 = 0,05 x 18.000 = R$900,00
O casal Lúcia e Antônio recebe de salário, por mês, R$21.500,00. Sabendo que o homem recebe 15% mais que sua esposa, calcule os salários de cada um.
Considerando x como o salário da esposa, então Antônio, que recebe 15% mais que ela, ganhará 1,15x:
x + 1,15x = 21.500
2,15x = 21.500
x = 21.500/2,15
x = 10.000.
Logo, Lúcia recebe mensalmente R$10.000,00, e Antônio recebe R$11.500 (15% a mais = 1,15 x 10.000)
Valor do dinheiro
O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui a um ano? Se fizermos essa pergunta, aleatoriamente, para diversas pessoas, é provável que mais de 90% das respostas irão indicar a preferênciapara R$ 100,00, hoje. Podemos explicar esta preferência, devido a vários motivos, exceto:
queda no consumo hoje.
O que estamos considerando é o valor do dinheiro no tempo, se é mais vantajoso ter R$100,00 hoje ou ter daqui a 12 meses. Ou seja, a queda do consumo não impacta na decisão.
O que é a Matemática Financeira? Ela estuda a evolução do valor do dinheiro no tempo. Este estudo contempla equações que mostram a relação entre o valor de uma quantia de dinheiro no presente e o valor equivalente desta quantia no futuro. A MF calculará quanto rende um empréstimo a determinada taxa de juros. Neste cálculo, deve(m) constar:
Taxa de juros, tempo e valor presente.
O valor a ser cobrado, o tempo que o dinheiro será utilizado e o valor negociado são variáveis necessárias para se conhecer o valor da operação.
Sabemos que boa parte das divisões nos cálculos financeiros são resultados da divisão das frações e que os resultados geram dízimas. Dessa forma, se faz necessário arredondar valores. Como utilizamos duas casas após a vírgula, devemos observar se o primeiro número a ser eliminado é maior ou igual a 5, caso positivo somamos mais uma unidade, caso negativo, deixamos o último número que não será eliminado. Estas premissas representam:
a regra de ouro.
A regra de ouro contempla que não se deve arredondar cálculos intermediários, mas sim na resposta final.
Para adicionar juros ao capital, podemos considerar dois sistemas de capitalização: juros com capitalização discreta e juros contínuos. Os juros com capitalização discreta contemplam os juros simples e compostos, e os juros acrescidos ao capital em intervalos infinitesimais de tempo dizem respeito aos juros contínuos. Sobre o sistema de capitalização discreta, podemos afirmar que:
juros compostos consideram a incidência de juros sobre juros.
A base de cálculo dos juros compostos será sempre o valor atualizado do empréstimo ou da aplicação financeira, conforme este caso.
As variáveis econômicas são simbolizadas por letras. Sendo:
PRINCIPAL = Capital inicial de um empréstimo = VP = VA = Valor descontado = PV
JUROS = remuneração do capital emprestado.
MONTANTE – VF, sado de um empréstimo / aplicação financeira.
Montante = VF , VR valor de regate, future value
PRAZO = n = período de tempo que o empréstimo /aplicação financeira dura
PRESTAÇÃO = valor que será pago - PMT
A partir destas variáveis são estabelecidas relações, conceitos que NÃO condizem com:
quanto menor o capital, maior o juros.
Quanto maior o volume de recursos aplicados, maior será o risco e, consequentemente, maior os juros da operação responsável por remunerar o valor aplicado.
Um pouco mais sobre as calculadoras
Um poupador investiu hoje R$12.000,00 em uma caderneta de poupança que rende 0,5% a.m. e não sacará nada por 4 anos. Determine quanto será o saldo após o prazo de aplicação.
CLEAR FIN
12.000 PV
48 n
0,5 i
FV
O saldo será de R$15.245,87
Fernando deseja comprar um videogame daqui a 2 anos que custará R$2.000,00. Considerando a taxa de juros compostos de 9% a.a., determine o valor que ele deverá investir, hoje, para conseguir comprá-lo.
CLEAR FIN
2.000 FV
2 n
9 i
PV =?
Fernando deverá investir hoje R$1.683,36.
Determine qual será o valor dos juros obtidos se você aplicar, por 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 20% a.m., os R$3.000,00 que Maria ganhou do seu pai para ajudar no seu casamento.
CLEAR FIN
3.000 PV
2 n
20 i
FV
O saldo será R$4.320,00, mas como se deseja o valor dos juros, então se deve subtrair do FV o valor de PV (4320 ENTER 3000 -). Logo o valor desejado é R$1.320,00.
Se um poupador pretende sacar R$20.000,00 da sua poupança, ao fim de 5 anos, sendo que ele tem um saldo, hoje, de R$6.000,00, que rende a taxa de juros de 12,5% a.a., determine quanto que deve ser depositado anualmente para atingir o objetivo.
CLEAR FIN
6.000 CHS PV
20.000 FV
5 n
12,5 i
PMT
O poupador precisar depositar anualmente o valor de R$1.431,96.
O mercado financeiro apresenta agentes superavitários e deficitários que utilizam os intermediários financeiros para conduzir suas operações, nas quais incidem juros. Posto isso, pode-se afirmar que o juro:
é a remuneração pelo risco, pelo retorno.
Através do recebimento dos juros, o agente superavitário terá o retorno pelo risco de emprestar e pelo tempo que abre mão do recurso, mas será recompensado através do retorno. Ao mesmo tempo, o agente deficitário tem o custo, por utilizar o recurso antecipadamente.
Entre os agentes do mercado financeiro, tem-se a figura do agente superavitário de recursos. Aquele que representa CORRETAMENTE a figura desse agente é:
o poupador.
Este agente será o responsável por ter recursos que superam as suas necessidades tornando estes disponíveis para emprestar, para aplicar no mercado e gerar novos recursos.
A letra de câmbio é considerada o primeiro instrumento de intermediação financeira. Em relação a esse instrumento, marque a alternativa INCORRETA:
Como a cobrança de juros era condenada pela Igreja Católica, o registro na letra de câmbio contemplava todo valor da operação com a descrição da sua composição.
Por condenar o pagamento de juros, a letra de câmbio não contemplava detalhes na sua descrição, apenas o valor da operação.
A geração de riqueza consiste na movimentação da própria riqueza. O interesse em aumentar os recursos acontece a partir da sua melhor utilização. Se não forem utilizados, não serão capazes de gerar novos recursos. Dessa forma, marque a alternativa que melhor se relaciona com essa afirmação:
Eduardo realizou um empréstimo no banco para pagar R$ 3.000,00 de juros e conseguiu investir em estoque e aumentar o faturamento da empresa, gerando um aumento de R$ 5.000,00 no resultado.
A partir da utilização de um recurso com custo inferior ao retorno, é possível afirmar que a expansão dos negócios foi responsável pelo novo resultado gerado, superior aos custos. Caso o investimento não fosse realizado, não haveria resultado .
O mercado financeiro surge da necessidade de investir dos agentes, seus integrantes, para a geração de riqueza. Os componentes desse mercado são representados pelos agentes superavitários, pelos deficitários e pelos intermediários financeiros. Dessa maneira, marque a alternativa que melhor define a relação entre os agentes:
Agente superavitário é considerado o poupador que tem interesse em aplicar o seu recurso para ampliá-lo. Este agente coloca seu recurso em um agente intermediário, que será responsável pela guarda deste e por seu repasse ao agente deficitário, representado pelos consumidores e pelas empresas que têm interesse de ampliar seus negócios, mas não dispõem de capital próprio suficiente.
O intermediário financeiro será responsável por possibilitar a troca de recursos entre os poupadores e os tomadores de recursos. A relação de troca se torna possível se os agentes envolvidos informarem seus interesses, em conjunto.
Unidade 6 – Juros Compostos
Considere uma aplicação feita pelo período de um ano, cuja rentabilidade final foi de 8%. Entretanto, sabendo-se que neste mesmo período a inflação foi 7%, qual foi o seu ganho ou perda real?
0,93
O diretor financeiro da empresa Zim, ao avaliar alguns contratos de operações de empréstimo, destacou algumas cláusulas referentes na maneira de se calcular a capitalização dos juros compostos. Ele calculou as taxas efetivas anuais para as seguintes taxas nominais:
- 12% a.a., capitalizados trimestralmente
- 13% a.a., capitalizados mensalmente
- 17% a.a., capitalizados mensalmente
Os valores encontrados pelo diretor financeiro como taxas nas três condições em percentual foram respectivamente:
12% a.a., capitalizados trimestralmente.
12% / 4 = 3%
[(1 + 0,03)4 - 1] * 100
[1,034 - 1] * 100
[1,1255 - 1] * 100
0,1255 * 100
12,55% ao ano.
13% a.a, capitalizados mensalmente
13% / 12 = 1,083333%
[(1 + 0,010833333)12 - 1] * 100
[1,0108333312 - 1] * 100
[1,1380 - 1] * 100
0,1380 * 100
13,80% ao ano.
17% a.a, capitalizados mensalmente
17% / 12 = 1,46666 %
[(1 + 0,01416666)12 - 1] * 100
[1,0141666612 - 1] * 100
[1,18389 - 1] * 100
0,18389 * 10018,389% ao ano.
Uma aplicação com base em juros simples, tem juros semestrais de 3,8%. Qual o valor da taxa mensal e anual, respectivamente?
Taxa informada: 3,80%
- Taxa mensal: divide-se pela quantidade de meses contidas em um semestre 0,63% (3,80 / 6)
- Taxa anual : multiplica-se pela quantidade de semestres em um ano 7,60% (3,80 * 2)
0,63% e 7,60%
Objetivando fazer um empréstimo, João se deparou com uma taxa de 17% ao bimestre. Entretanto, para que possa comparar com outro banco, precisa encontrar a taxa anual equivalente. Leia as alternativas abaixo e, na sequência, escolha aquela que apresenta a taxa anual equivalente.
[(1+0,17)6 -1] * 100
[1,176 - 1] * 100
[2,5652 - 1] * 100
1,5652 * 100
156,52% ao ano.
Calcule a taxa efetiva anual equivalente a 24% ao trimestre, considerando-se os juros compostos:
[(1 + 0,24)4 - 1] * 100
[1,244 - 1] * 100
[2,3642 - 1] * 100
1,3642 * 100
136,42% ao ano.
Unidade 7 – Correção Monetária
Uma instituição financeira quer orientar o cálculo da prestação de crédito de uma loja, de tal modo que sua rentabilidade real seja de 3% ao mês. Sabendo-se que a inflação média é de 2,3% ao mês, determine qual deverá ser a taxa aparente mensal, para o cálculo das prestações
Confira o cálculo:
iaparente = (1+icm).(1+ireal )-1 x 100%
iaparente = (1+0,023).(1+0,03)-1 x 100% = 5,37%
A taxa aparente mensal é de 5,37%.
Uma empresa desconta R$32.000,00 em duplicatas, 57 dias antes do vencimento, à taxa de desconto bancário simples de 6,8% ao mês. Sabendo-se que a inflação média do período é de 2,2% ao mês, identifique qual a taxa real mensal de custo efetivo do empréstimo para a empresa.
S = 32.000
n = 57d = 57
30
= 1,90 meses
d = 6,8% (0,068) a.m.
icm = 2,2% (0,022) a.m.
Solução
ireal =
1+ 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
1+ 𝑖𝑐𝑚
– 1 x 100%
iaparente = iefetiva = (
𝑆
𝑃
)
1
𝑛 – 1
Observe que, nas operações de desconto, a taxa efetiva ou implícita de juros, no
tópico de descontos, é uma taxa aparente, uma vez que engloba a inflação.
Calculando o valor resgatado pela duplicata antes do vencimento:
P = S.(1 – d.n) = 32.000x(1 – 0,068x1,90) = 27.865,60
Calculando a taxa aparente mensal:
iaparente = (
𝑆
𝑃
)
1
𝑛 – 1= (
32.000
27.865,60
)
1
1,90 – 1 = 0,0755284
E, por fim, calcula-se a taxa real mensal:
ireal =
1+ 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
1+ 𝑖𝑐𝑚
– 1 x 100%
ireal =
1+ 0,0755284
1+ 0,022
– 1 x 100%
ireal = 5,24% a.m