02-Funções do 1o Grau-Receita e Lucro-2020 2

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MATEMÁTICA APLICADA - Erisson M. Moreira - 02 -
 - Funções Receita e Lucro do 1º Grau
 
 
a
b
-
x
=
200
12.000)
(
-
-
- 02A -
APLICAÇÃO: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
· FUNÇÃO RECEITA
01 - Uma impressora de computador é vendida a R$ 220 a unidade . Determine:
a) a expressão da função receita;
b) a receita para uma venda de 80 unidades.
Resolução: Dado: P = R$ 220 
a) Como R(x) = P . x , temos: R(x) = 220x
b) Para x = 80 unidades , temos R(x) = 220 . 80 => R(x) = R$ 17.600
· FUNÇÕES RECEITA, CUSTO TOTAL E LUCRO
02 - Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 20.000 mais um custo variável de R$ 70 por unidade produzida. Sabendo que cada unidade será vendida por R$ 110 , obtenha: 
a) a expressão da função receita; d) o ponto de nivelamento
b) a expressão da função custo; e) o valor do lucro para 900 unidades vendidas 
c) a expressão da função lucro; f) a quantidade de unidades vendidas para obter um lucro de R$ 30.000
Resolução: Dados: Cf = R$ 20.000 , Cv(x) = R$ 70 e P = R$ 110 
a) R(x) = P . x => R(x) = 110x
b) Ct(x) = Cv(x) + Cf => Ct(x) = 70x + 20.000
c) L(x) = R(x) – Ct(x) => L(x) = 110x – (70x + 20.000) = 110x – 70x – 20.000 => L(x) = 40x – 20.000 
d) Ponto de Nivelamento → R(x) = Ct(x ) => 110x = 70x + 20.000 => 40x = 20.000 => x = 500 unid.
e) L(x) = 40x – 20.000 => L(900) = 40 . 900 – 20.000 = 36.000 – 20.000 => L(900) = R$ 16.000
f) para L(x) = R$ 30.000 , temos: 30.000 = 40x – 20.000 => 40x = 50.000 => x = 1.250 unidades
· FUNÇÃO LUCRO LÍQUIDO
03 - Na confecção de roupas, uma pequena empresa tem um custo fixo de R$ 960 mais um custo variável de R$ 6 por unidade produzida. Sabendo que cada unidade será vendida por R$ 30 , obtenha: 
a) a expressão da função lucro; 
b) o ponto de nivelamento; 
c) o valor do lucro para 130 unidades vendidas;
d) a quantidade de unidades vendidas para obter um lucro de R$ 6.000;
e) o lucro líquido para uma venda de 500 unidades sabendo-se que o Imposto de Renda (IR) é de 20%.
Resolução: Dados: Cf = R$ 960 , Cv(x) = R$ 6 e P = R$ 30 
a) L(x) = R(x) – Ct(x) , como R(x) = 30x e Ct(x) = 6x + 960 , 
 Então, L(x) = 30x – (6x + 960) = 30x – 6x – 960 => L(x) = 24x – 960 
b) P. Nivelamento → Fazendo L(x) = 0 , temos: 0 = 24x – 960 => 24x = 960 => x = 40 unidades 
c) Para x = 130 unid. , o lucro será: L(130) = 24 . 130 – 960 = 3.120 – 960 => L(130) = R$ 2.160
d) Para L(x) = 6.000 , podemos ter: 6.000 = 24x – 960 => 24x = 6.960 => x = 290 unidades 
e) Lucro Líquido → LL(x) => 100% – 20% = 80% (ou 80/100 = 0,80)
 Lucro total para x = 500 => L(x) = 24 . 500 – 960 = 12.000 – 960 => L(500) = 11.040
 Logo, o lucro líquido será: LL(x) = 0,80 . 11.040 => LL(x) = R$ 8.832
 1) FUNÇÃO RECEITA (MODELO LINEAR)
 A função receita do 1o Grau é dada pela expressão: 
 R(x) = P . x 
Exemplo 01 - Suponha que um produto seja vendido por R$ 500 a unidade. A função receita será dada pela expressão: 
 R(x) = 500x 
Para uma quantidade vendida de x = 100 unidades, temos:
 R(x) = 500 . 100 => R(100) = R$ 50.000
Seu Gráfico será: R(x)
 50.000 
 0 100 x
 2) FUNÇÃO LUCRO 
 É a diferença entre a função receita e a função 
custo total, ou seja: 
 L(x) = R(x) − Ct(x)
Logo, para R(x) > Ct(x) => lucro positivo
 para R(x) = Ct(x) => lucro nulo
 para R(x) < Ct(x) => lucro negativo (ou prejuízo)
Exemplo 02: Tomando-se a função receita acima R(x) = 500x e a função custo da folha 01 anterior, Ct(x) = 300x + 12.000 ,
obtenha: 
 a) a expressão da função lucro, 
 b) o valor do lucro para x = 100 unidades comercializadas.
Resolução: L(x) = R(x) – Ct(x) 
 Como R(x) = 500x e Ct(x) = 300x + 12.000 ,
temos a) L(x) = 500x – (300x + 12.000)
L(x) = 500x – 300x – 12.000) => L(x) = 200x – 12.000
b) L(x) = 200x – 12.000 → para x = 100 , vem:
L(100) = 200 . 100 – 12.000
 L(100) = 20.000 – 12.000 => L(x) = R$ 8.000,00
Gráfico do lucro: L(x)
 
 8.000 �
 
 0 60 100 x
 
 -12.000 � 
3) RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO
É o valor de x que anula a função.
Na função afim L(x) = 200x – 12.000, a = 200 e b = −12.000.
Como a raiz é dada por � EMBED Equation.3 ���, então x = � EMBED Equation.3 ��� = 60
O valor x = 60 no gráfico acima é a raiz da função que, na função lucro, chamamos também de Ponto de Nivelamento. 
4) PONTO DE NIVELAMENTO (PONTO CRÍTICO) 
 Ou break-even point (ponto de equilíbrio).
É o valor de x para o qual o lucro é nulo. 
 Ou seja, L(x) = 0
Ou quando a receita for igual ao custo, pois, para lucro zero, temos: L(x) = R(x) – Ct(x) => 0 = R(x) – Ct(x) 
 ou seja, R(x) = Ct(x)
Exercício Resolvido: Determine a função lucro e o ponto de nivelamento considerando que a função receita é R(x) = 6x 
e a função custo total é Ct(x) = 2x + 60 . Interprete o ponto de nivelamento e esboce o gráfico.
Resolução: Obtenção da função lucro.
 L(x) = R(x) – Ct(x)
como R(x) = 6x e Ct(x) = 2x + 60 ,
temos; L(x) = 6x – (2x + 60)
L(x) = 6x – 2x – 60 => L(x) = 4x – 60
Ponto de Nivelamento => L(x) = 0 ou R(x) = Ct(x) 
Pelo L(x) = 0 => L(x) = 4x – 60 
 0 = 4x – 60 => -4x = -60 → . (-1)
 4x = 60 => x = 60/4 => x = 15
Pela R(x) = Ct(x) => 6x = 2x + 60
 6x – 2x = 60 => 4x = 60
 x = 60/4 => x = 15
Interpretação: o ponto de nivelamento x = 15 é quantidade que deve ser comercializada para que o lucro seja zero, ou seja, para se recuperar o investimento.
Cálculo visando o esboço do gráfico: para x = 15 , temos:
R(x) = 6x => 6 . 15 => R(x) = 90,00
Ct (x) = 2x + 60 => 2 . 15 + 60 = 90,00
Logo, R(15) – Ct(15) = 90 – 90 = 0
Ou L(x) = 4x – 60 => L(15) = 4 . 15 – 60 = 60 – 60 = 0
Gráfico: R(x) Ct(x) reta da receita
 reta do custo
 90 
 
 60
 
 
 0 15 x
_1564583968.unknown
_1564584219.unknown