Aulas Teóricas de Hidráulica I - versão 216

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2016 
Regente 
 
 
Universidade Eduardo Mondlane
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 Apontamentos das Aulas 
Teóricas da Disciplina de 
Hidráulica I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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 HIDRÁULICA I 
PROGRAMA DA DISCIPLINA 
 
I – INTRODUÇÃO À HIDRÁULICA 
 
1.1- A água como substância 
1.2- O Ciclo Hidrológico 
1.3- Conceitos gerais 
1.4- Subdivisões da Hidráulica 
1.5- A evolução da Hidráulica 
1.6- A Carta Europeia da Água 
 
II – PROPRIEDADES DOS LÍQUIDOS 
 
 2.1 – Fluidos - Gases e Líquidos 
 2.2 – Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 2.3 – Massa Específica, Massa Volúmica e Densidade 
 2.4 – Forças Exteriores 
 2.5 - Compressibilidade 
 2.6 – Viscosidade 
 2.7 – Tensão de Saturação de Vapor de Água 
 2.8 - Celeridade 
 2.9 – Solubilidade de gases e líquidos 
 2.10 – Líquidos ideais e líquidos reais 
 
III – HIDROSTÁTICA 
 
 3.1 – Lei hidrostática de pressões 
 3.2 – Pressões absolutas e pressões relativas 
 3.3 – Manómetros Simples e Manómetros Diferenciais 
 3.4 – Impulsão Hidrostática 
 3.5 – Teorema de Arquimedes 
 3.6 – Impulsão sobre Superfícies Planas 
 3.7 – Impulsão sobre superfícies Curvas 
 3.8 – Impulsão sobre a base e a totalidade de recipientes 
 
IV – HIDROCINEMÁTICA 
 
 4.1 – Trajectórias e Linhas de Corrente 
 4.2 – Tipos de Escoamento 
 4.3 – Tubo de fluxo, Caudal e Velocidade média 
 4.4 – Equação da Continuidade 
 4.5 – Escoamentos Laminares e Turbulentos 
 4.6 – Aceleração Local e Aceleração Convectiva 
 4.7 – Descrições de Lagrange e de Euler 
 4.8 – Deformação angular, Rotação e Dilatação Volumétrica 
 
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V – HIDRODINÂMICA 
 
 5.1 – Equação de Navier-Stockes 
 5.2 – Escoamento no Campo da Gravidade 
 5.3 – Teorema de Bernoulli para Líquidos Perfeitos 
 5.4 – Linha Piezométrica e Linha de Energia 
 5.5 – Teorema de Bernoulli para Líquidos Reais 
 5.6 – Variação da Cota Piezométrica 
 5.7 – Vórtices 
 5.8 – Movimentos Rotacionais e Irrotacionais 
 5.9 – Escoamento Plano 
 5.10 – Início do Escoamento. Camada limite 
 
VI – ESTUDO GLOBAL DOS ESCOAMENTOS LÍQUIDOS 
 
 6.1 – Teorema de Bernoulli Generalizado 
 6.2 – Potência Hidráulica. Conceito de Bombas e Turbinas 
 6.3 – Teorema de Euler. Princípio da Quantidade de Movimento 
 
VII – LEIS DE RESISTÊNCIA DOS ESCOAMENTOS UNIFORMES 
 
7.1 – Conceitos fundamentais do Escoamento Uniforme 
7.2 – Tensão tangencial na fronteira sólida 
7.3 – Escoamentos Laminares e Turbulentos 
7.4 – Escoamentos Laminares Uniformes 
7.5 – Escoamentos Turbulentos Uniformes 
7.6 – Leis Empíricas para o Regime Turbulento Rugoso 
 
VIII– ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSÃO 
 
8.1 – Generalidades 
8.2 – Perdas de Carga Contínuas 
8.3 – Perdas de Carga Localizadas 
8.4 – Influência do Traçado das condutas 
8.5 – Cálculo de Instalações. Redes 
8.6 – Condutas de Caudal Variável durante o percurso 
8.7 – Cavitação 
 
IX – ESCOAMENTOS VARIÁVEIS SOB PRESSÃO 
 
9.1 – Tipos de escoamentos. Problemas e aproximações 
9.2 – Golpe de aríete. Análise Qualitativa 
9.3 – Golpe de aríete. Análise Quantitativa Simplificada 
9.4 – Protecção de Condutas Elevatórias contra o Golpe de Aríete 
9.5 – Oscilação em massa 
9.6 – Escoamentos quase Permanentes 
 
 
X – BOMBAS HIDRÁULICAS 
 
10.1 – Definição e Classificação 
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10.2 – Caudal 
10.3 – Altura Geométrica 
10.4 – Altura de Elevação 
10.5 – Cavitação (N.P.S.H.) 
10.6 – Potências e Rendimentos 
10.7 – Velocidade de Rotação 
10.8 – Diagrama em Colina 
10.9 – Velocidade Específica 
10.10 – Curva característica. Ponto de Funcionamento 
10.11 – Traçado das Curvas da Bomba 
10.12 – Associação de Bombas Centrífugas 
10.13 – Algumas precauções na instalação das bombas 
 
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 
 
HIDRÁULICA GERAL – António Lencastre 
HIDRÁULICA – António Quintela 
Apontamentos das Aulas Teóricas fornecidas pelos docentes 
Livro de Problemas Práticos dos docentes da cadeira 
 
AVALIAÇÃO 
 
3 testes + Trabalhos de Laboratório 
 1º teste – cap.os 2, 3, 4 e 5; 
 2º teste – cap.os 6 e 7; 
 3º teste – cap.os 8, 9 e 10. 
 
 Peso dos testes: 70%; Peso dos TL: 30% 
 
REGENTES E ASSISTENTES DA CADEIRA 
 
Eng.º Carlos Caupers – Regente da cadeira; 
Eng.º Sidney Nicol’s – Assistente; 
 
 
PRESENÇA NAS AULAS 
 De acordo com o Regulamento Pedagógico, artigo 37, é obrigatória a presença nas aulas. Número máximo de 
faltas 20% da carga horária da disciplina – corresponde a 6 aulas ou 12 horas. 
 
 
 
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I – INTRODUÇÃO À HIDRÁULICA 
 
1.1 – A ÁGUA SUBSTÂNCIA 
 
A água é a única substância que tem a propriedade de passar pelos estados sólido, líquido e gasoso 
nas condições de temperatura e pressão reinantes na superfície da Terra. Cerca de 97,6% da água do 
planeta é constituída pelos oceanos, mares e lagos de água salgada. A água doce, representa apenas 
2,4% do total e tem a sua maior parte situada nas calotes polares (1,9%), inacessível aos homens 
pelos meios tecnológicos actuais. Da parcela restante (0,5%), mais de 95% é constituída pelas águas 
subterrâneas. 
 
A água era tida como uma substância simples até ao final do século XVIII, quando foi obtida em 
laboratório pela combustão do hidrogénio. Actualmente, é definida como uma substância composta, 
resultante da combinação de dois átomos de hidrogénio com um de oxigénio. Na realidade, sabe-se 
hoje em dia, que a água é uma substância complexa. 
 
A água geralmente contém impurezas, mesmo quando sofre em laboratório três destilações 
sucessivas, devido ao seu grande poder de dissolução. Na natureza, a água só é isenta de substâncias 
dissolvidas quando se encontra em estado gasoso. 
 
Para definir a qualidade da água natural, vários são os termos técnicos utilizados tais como dura ou 
salobra, salgada ou salina, mineral, termal, radioactiva, doce, poluída, contaminada, turva, ácida, 
alcalina, tratada, pura, potável, etc. 
 
E como sem água não há vida, desde que o Homem se conhece como tal, assim como todos os 
outros seres vivos, sempre fez uso da mesma, em função do seu estado de desenvolvimento. Ele 
sempre tentou interpretar os fenómenos da natureza que estivessem directamente ligados com a 
água, nomeadamente as chuvas, evaporação, as cheias, os períodos de estiagem, a existência de água 
subterrânea, etc. 
 
1.2 – O Ciclo Hidrológico 
 
É difícil falar da Hidrologia e Hidráulica como ciências, sem falar do Ciclo Hidrológico. 
 
A quantidade de água existente na Terra, imutável no tempo se considerada em conjunto, varia nas 
diversas porções em que existe no estado sólido, líquido e gasoso. 
 
No estado líquido, a água apresenta-se: 
 
 acima da superfície terrestre, constituindo a chuva; 
 na superfície formando os rios e riachos, lagos e lagoas, oceanos e mares; 
 abaixo da superfície terrestre criando os lençóis freáticos e bolsas de água subterrâneas 
(também denominados aquíferos); 
 
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Pela acção dos raios solares, a água que se encontra na superfície terrestre desprende-se da superfície 
líquida como vapor, que se eleva na atmosfera para constituir as nuvens. 
 
As nuvens são arrastadas pelos ventos. Quando o ar fica saturado de humidade e decresce a 
temperatura, elas se condensam para formar as chuvas, que em grande parte se precipitam no mar. 
 
 
 
 
O ciclo Hidrológico 
 
Embora grande parte das precipitações atmosféricas produza chuva, a condensação pode formar 
igualmente neve, geada, granizo, nevoeiro ou orvalho. As chuvas que não caem no mar, escoam-se 
na superfície da Terra alimentando os riachos e rios, lagos e lagoas, ou infiltram-se para abastecer os 
aquíferos. 
 
Nos rios e riachos, frequentemente chamados de cursos de água, bem como nos lençóis subterrâneos, 
a água desloca-se pela acção da gravidade em direcção ao mar, isto é ao ponto de partida de grande 
parte dela. No caso dos lençóis subterrâneos, esse deslocamento leva o nome de percolação. 
 
Nem toda a água oriunda do mar volta a ele, como a que se evapora antes de atingi-lo ou a que fica 
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retida nos lagos e aquíferos. 
 
O ciclo hidrológico embora pareça um mecanismo contínuo com a água movendo-se de uma forma 
permanente e com uma taxa constante, é na realidade bastante diferente pois o movimento de cada 
uma das fases do ciclo é feito de um modo bastante aleatório, variando tanto no espaço como no 
tempo. 
 
Em determinadas ocasiões a natureza parece trabalhar em excesso quando provoca chuvas torrenciais 
que ultrapassam a capacidade dos cursos de água provocando inundações. Noutras ocasiões parece 
que todo o mecanismo do ciclo parou completamente e com ele a precipitação e o escoamento 
superficial. 
 
E são precisamente estes extremos de cheias e secas que mais interessam aos engenheiros desde os 
primórdios dos tempos, pois hoje muitos dos projectos de Engenharia Hidráulica são feitos com a 
finalidade de protecção contra estes mesmos extremos. 
 
Por isso é a Hidrologia uma ciência muito antiga. Ela nasce com o início do uso da água para a 
irrigação. Este processo dá os primeiros passos utilizando a água dos rios Nilo e Amarelo. A história 
da Hidrologia compreende: 
 
1) – Período de Especulação – até ao ano 1400: 
Todos os conhecimentos fluviais são encarados como forma divina e disso se aproveitam os 
sacerdotes egípcios; 
 
2) – Período de Observação – 1400 a 1600: 
 
Em pleno renascimento, começa a definir-se uma tendência para explicar racionalmente os 
fenómenos naturais; 
 
3) – Período de Medição – 1600 a 1700: 
 
Já se medem as precipitações (chuvas), a evaporação, os caudais do rio Sena; 
 
4) – Período de Experimentação – 1700 a 1800: 
 
Aparecem os grandes técnicos de hidráulica: Bernoulli, D´Lambert, Chézy. Em 1760 é criada em 
França a primeira escola de engenharia: École des Ponts et Chaussées; 
 
5) – Período de Modernização – 1800 a 1900 
 
Afirmação da Hidráulica/Hidrologia; 
 
6) – Período do Empirismo – 1900 a 1930: 
 
Fase unicamente descritiva onde se pretende reduzir os fenómenos hidrológicos a meras fórmulas; 
 
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7) – Período de Racionalização – 1930 a 1950: 
 
Aparecimento do 1º computador (ENIAC em 1045); 
 
8) – Período Teórico – depois de 1950 e até aos nossos dias: 
 
Aparecem os grandes hidrólogos, Ven Te Chow, Linsley, Meyer, Roy Sherman, Robert Horton, 
Merril Bernard. Em 1962 aparece a grande obra “Handbook of Applied Hidrology” de Ven Te Chow 
e outros autores. 
 
1.3 – Conceitos Gerais da Hidráulica 
 
Com a crescente necessidade de utilização da água para os mais variados fins, vai-se desenvolvendo 
o estudo da Hidráulica ao longo dos tempos. 
 
A Hidráulica pode ser definida como sendo a ciência que estuda as leis de estabilidade e movimento 
dos líquidos. 
 
Ela dá-nos com base em experiências efectuadas ao longo dos anos e através do desenvolvimento de 
teorias concretas, métodos para a utilização dessas leis visando resolver diferentes problemas da 
prática da engenharia. 
 
Em geral, pode-se afirmar que a HIDRÁULICA não é mais do que a Mecânica Aplicada dos Fluidos. 
 
Para se resolver grande parte dos problemas hidráulicos que quotidianamente se nos deparam, 
utilizam-se métodos simplificados pelo que, a solução destes mesmos problemas têm em muitos dos 
casos, um carácter de certo modo aproximado. Isto é, para a sua solução, aprecia-se de uma forma 
exacta somente a característica fundamental do fenómeno em estudo e opera-se com factores 
aproximados e médios. 
 
Pelo seu carácter, a disciplina da mecânica técnica dos fluidos ou HIDRÁULICA, pode ser 
comparada à disciplina da Resistência dos Materiais, a qual, partindo do mesmo ponto de vista, 
analisa a mecânica dos corpos sólidos. 
 
1.4 – Subdivisões da Hidráulica 
 
A Hidráulica pode ser dividida em duas grandes partes: a HIDROSTÁTICA que estuda as leis da 
estabilidade dos líquidos e a HIDRODINÂMICA que estuda as leis de movimento dos líquidos. 
 
Às leis da HIDRÁULICA estão relacionadas a Hidrometria, a Hidrologia, a Hidrotécnica que, devido 
às experiências efectuadas nestes ramos, muito contribuem para o desenvolvimento global da 
HIDRÁULICA. 
 
A HIDRÁULICA ALICADA pode ser subdividida em: 
 
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 Hidráulica Urbana – que engloba os sistemas de abastecimento de água, esgotos sanitários e 
industriais, galerias de águas pluviais; 
 Hidráulica Rural ou Agrícola – relacionando-se à irrigação, enxugo, drenagem; 
 Hidráulica Fluvial – que estuda o comportamento dos rios, cálculo de canais, represas, 
barragens, diques, açudes; 
 Hidráulica Marítima – Engloba a áreas dos Portos e obras marítimas; 
 Instalações Hidráulicas Industriais; 
 Técnica Hidroeléctrica. 
 
 
1.5 – Evolução da HIDRÁULICA 
 
As obras hidráulicas de hoje, são uma continuidade das obras de certa importância que remontam à 
Antiguidade. Isto porque na história do desenvolvimento do Homem, a água sempre teve um papel 
importante. Na Mesopotâmia existiam canais de irrigação construídos na planície situada entre os 
rios Tigre e Eufrates e em Nipur (Babilónia) por exemplo existiam colectores de esgotos desde os 
anos 3750 a.n.e. 
 
Importantes obras de irrigação também foram executadas no Egipto, 25 séculos a.n.e. sob orientação 
de UNI. 
 
O primeiro sistema público de abastecimento de água do qual se tem notícia, o aqueduto de Jerwan, 
foi construído na Assíria, 691 a.n.e. 
 
Alguns princípios da Hidrostática foram anunciados por ARQUIMEDES (grande geómetra e 
engenheiro de nacionalidade grega), no seu tratado sobre os corpos flutuantes (250 a.n.e.). 
 
Grandes aquedutos foram construídos em várias partes do mundo a partir de 312 a.n.e. No séc. XVI, 
a atenção dos filósofos voltou-se para problemas encontrados nos projectos das fontes monumentais, 
que estavam na moda em Itália. 
 
LEONARDO DA VINCI (pintor,escultor, arquitecto, músico e cientista italiano) apercebeu-se da 
importância deste sector. Em 1856, STEVIN (engenheiro civil no ramo militar e matemático 
holandês), ajudado por GALILEU (físico e pesquisador italiano), TORRICELLI (discípulo de 
Galileu, também físico e pesquisador italiano) e BERNOULLI (cientista suíço, fundador da Física e 
Matemática), constituíram a base para um novo ramo científico. 
 
É de realçar as teorias criadas por PASCAL, sobre a lei de transmissão das pressões no interior de 
um líquido e de NEWTON que descobriu as leis da resistência nos líquidos. 
 
Em 1738, DANIEL BERNOULLI publicou um importante tratado sobre os problemas do 
movimento e resistência dos fluidos, dando desta forma início à HIDRODINÂMICA. Neste trabalho, 
JACQUES BERNOULLI fundamentou o famoso teorema sobre a variação da energia cinética dos 
corpos que até hoje, tem um peso importante na resolução dos problemas de Hidráulica. 
 
Em 1755 LEONARDO EULER, matemático suíço deduziu as equações diferenciais para um líquido 
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ideal, dando início à Hidromecânica Teórica, que estuda o movimento dos fluidos com o método de 
análise matemático. 
 
Vários foram os cientistas que deram grande contribuição à Hidráulica, sendo injusto não se fazer 
referência a PITOT, CHÉZY, VENTURI para além de outros que fizeram com que a partir do séc. 
XIX a HIDRÁULICA tivesse um enorme desenvolvimento. 
 
 
1.6 – Água como recurso escasso e indispensável 
 
A água é também um veículo para a propagação dos mais diversos tipos de doenças, quando poluída 
ou contaminada. Estudos feitos ao nível mundial sobre o saneamento do meio, constatou-se a 
alarmante realidade de que cerca de 90% dos esgotos são lançados sem qualquer tratamento prévio 
nos solos e rios ou riachos em todo o planeta. Estima-se que na ordem de 1,2 bilhão de pessoas no 
mundo carecem de água potável e que 1,9 bilhão não dispõe de adequados serviços de saneamento. A 
falta de água potável e de saneamento básico provoca a morte de cerca de 4 milhões de crianças 
anualmente, vitimadas por doenças de veiculação hídrica como a cólera, a diarreia, etc. 
 
Devido à degradação da sua qualidade que se acentuou a partir da II Guerra Mundial, a água doce 
líquida que circula em muitas regiões do mundo já perdeu a sua característica especial de recurso 
renovável, em particular nos países ditos do Terceiro Mundo, na medida em que os efluentes e/ou os 
resíduos domésticos e industriais são despejados no ambiente natural sem tratamento ou de forma 
inadequada. 
 
Além dos desequilíbrios da oferta de água às populações, a questão da disponibilidade e dos conflitos 
pelo seu uso também apresentam os seus aspectos preocupantes. Assim é que alguns países 
apresentam escassez hídrica absoluta, tais como Kuwait, Egipto, Arábia Saudita, Barbados, 
Singapura ou mesmo Cabo Verde; outros como Burundi, Argélia e Bélgica padecem de seca crónica; 
em vários locais afloram conflitos decorrentes de desequilíbrios entre demanda e disponibilidade, tais 
como Madrid e Lisboa pelo Rio Tejo, Síria e Israel pelo Rio Golam, Síria e Turquia e Iraque e 
Turquia pelo Rio Eufrates, Tailândia e Laos pelo Rio Mekong, etc. 
 
Diante desse cenário turbulento, a água subterrânea vem assumindo uma importância cada vez mais 
relevante como fonte de abastecimento, devido a uma série de factores que restringem a utilização 
das águas superficiais bem como ao crescente aumento dos custos da sua captação, adução e 
tratamento. Além dos problemas facilidade de contaminação inerentes às águas superficiais, o maior 
interesse pelo uso da água subterrânea vem sendo despertado pela maior oferta deste recurso e em 
decorrência do desenvolvimento tecnológico, o que promoveu uma melhoria na produtividade dos 
poços e um aumento de sua vida útil. 
 
 
 
1.7 – Carta Europeia da Água 
 
Dada a sua importância e actualidade, apresenta-se os 12 artigos que compõem a CARTA 
EUROPEIA DA ÁGUA: 
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01 – Não há vida sem Água. A Água é um bem precioso indispensável a todas as actividades 
humanas; 
 
02 – Os recursos hídricos não são inesgotáveis. È necessário preservá-los, controlá-los e se possível 
aumentá-los; 
 
03 – Alterar a qualidade da Água é prejudicar a vida do Homem e dos outros seres vivos que dela 
dependem; 
 
04 – A qualidade da Água deve ser mantida em níveis adequados às utilizações previstas e em 
especial, satisfazer as exigências da saúde pública; 
 
05 – Quando a Água após ser utilizada volta ao meio natural, não deve comprometer as utilizações 
que dela serão feitas posteriormente; 
 
06 – A manutenção de uma cobertura vegetal apropriada, de preferência vegetal, é essencial para a 
conservação dos recursos hídricos; 
 
07 – Os recursos hídricos devem ser objecto de um inventário; 
 
08 – A eficiente gestão de Água deve ser objecto de planos definidos pelas entidades competentes; 
 
09 – A salvaguarda da Água implica um esforço importante de investigação científica, de formação 
técnica de especialistas e de informação pública; 
 
10 – A Água é um património comum, cujo valor deve ser reconhecido por todos. Cada um tem o 
dever de a economizar e utilizar com cuidado; 
 
11 – A gestão dos recursos hídricos deve inserir-se no âmbito da bacia hidrográfica natural e não no 
das fronteiras administrativas e políticas; 
 
12 – A Água não tem fronteiras. É um bem comum que impõe uma cooperação internacional. 
 
 
 
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2 PROPRIEDADES FÍSICAS DA ÁGUA 
 
2.1 FLUIDOS – GASES E LÍQUIDOS 
 
Os fluidos são corpos sem forma própria que podem escoar-se, sofrendo grandes variações de forma, 
sob a acção de forças tanto mais fracas quanto mais lentas forem tais variações. 
 
Tanto os líquidos como os gases são fluidos. Os líquidos ocupam um volume determinado, não 
resistem a tracções e são muito pouco compressíveis. Os gases também não resistem a tracções mas, 
ao contrário dos líquidos, ocupam sempre o máximo volume de que podem dispor e são muito 
compressíveis. 
 
Alguns materiais (por exemplo, o asfalto ou solos) apresentam propriedades intermédias entre as 
propriedades dos sólidos e as dos fluidos, sendo estudados em disciplinas como Mecânica dos Solos 
e Reologia. 
 
O estudo dos fluidos em repouso e em movimento (escoamento) faz-se na Mecânica dos Fluidos. Na 
disciplina de Hidráulica, embora os conceitos básicos sejam os da Mecânica de Fluidos, o estudo será 
concentrado sobre o fluido água na perspectiva da Engenharia Civil. 
 
2.2 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) 
 
Durante cerca de 200 anos, as grandezas físicas eram expressas em unidades que variavam de país 
para país. Por exemplo, a Inglaterra usava o pé como unidade de comprimento ao passo que a Europa 
continental utilizava o metro; a temperatura expressa em graus Celsius ou Fahrenheit; o volume 
expresso em m3 ou em acre.pé. 
 
Mas mesmo quando se utilizavam as mesmas unidades, havia divergências relativamente a quais as 
unidades fundamentais e quais as derivadas, nos chamados sistemas MLT ou FLT (conforme a 
unidade fundamental fosse a massa ou a força, para além do comprimento e do tempo). 
 
O aumento dos contactosinternacionais levou a que nos últimos 25 anos tenha sido adoptado de 
forma praticamente universal o Sistema Internacional de Unidades – SI. Este sistema é do tipo MLT, 
tendo como unidades fundamentais: 
 
 comprimento – metro (m) 
 massa – quilograma (kg) 
 tempo – segundo (s) 
 intensidade da corrente eléctrica – ampère (A) 
 temperatura – kelvin (ºK) 
 intensidade luminosa – candela (cd) 
 
Cada uma destas unidades fundamentais tem uma definição rigorosa no SI. Todas as restantes 
grandezas físicas são expressas em unidades derivadas a partir das unidades fundamentais. 
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Na Hidráulica, as grandezas mais importantes, para além do comprimento, massa, tempo e 
temperatura1, são: 
 
 área – metro quadrado (m2) 
 volume – metro cúbico (m3) 
 velocidade – m/s 
 aceleração – m/s2 
 força – newton (N) 1 N = 1 kg x 1 m/s2 
 pressão – pascal (Pa) 1 Pa = 1 N/m2 
 energia, trabalho – joule (J) 1 J = 1 N x 1 m 
 potência – watt (W) 1 W = 1 J / s 
 frequência – hertz (Hz) 1 Hz = 1 ciclo / s 
 massa volúmica, massa específica ou densidade – kg/m3 
 caudal – m3/s 
 
Muitas das unidades em que as grandezas físicas se exprimem são utilizadas correntemente pela 
população pelo que a sua mudança encontra frequentemente grande resistência. Mesmo na área 
técnica, a força do hábito leva a que se continue a utilizar unidades que não as do SI. Apresentam-se 
de seguida algumas dessas unidades com interesse para a Hidráulica e as suas equivalências para as 
unidades do SI. 
 
 quilograma força – 1 kgf = 9.8 N 
 bar – 1 bar = 105 Pa 
 atmosfera – 1 atm = 1.034 x 105 Pa 
 quilowatt hora – 1 kWh = 3.6 x 106 J 
 cavalo vapor – 1 CV = 0.736 kW 
 horsepower – 1 Hp = 0.75 kW 
 caloria – 1 cal = 4.18 J 
 
Para outras equivalências e factores de conversão, podem ser consultadas as tabelas 1 a 5 de 
LENCASTRE 1983. 
 
2.3 MASSA ESPECÍFICA, MASSA VOLÚMICA OU DENSIDADE 
 
A massa específica, massa volúmica ou densidade  é a massa contida na unidade de volume. A 
densidade da água varia relativamente pouco com a temperatura: 1000 kg/m3 entre 0 e 10 ºC; 998 a 
20 ºC; 996 a 30 ºC; 992 a 40 ºC; e 958 a 100 ºC. 
 
Devido à muito baixa compressibilidade da água, como adiante se verá, a densidade praticamente 
não varia com a pressão. 
 
 
1 É frequente a temperatura continuar a ser expressa em graus Celsius (ºC) : t (ºC) = t (ºK) + 273 
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Por vezes é referida a densidade relativa, definida como a relação entre a densidade dum líquido e a 
densidade da água a 4 ºC. A densidade relativa da água é obviamente 1 (ou muito próximo). O 
álcool, menos denso que a água, tem uma densidade relativa de 0.8 ao passo que a água do mar pode 
ter uma densidade relativa de 1.04. 
2.4 FORÇAS EXTERIORES 
 
Considere-se o volume V dum líquido limitado por uma superfície A conforme se representa na 
figura 1-1. As forças exteriores que actuam sobre esta massa líquida sujeita à acção da gravidade são 
de dois tipos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-1 – Forças exteriores que actuam sobre um volume de líquido 
 
 Peso próprio – proporcional à massa. Se se considerar um volume elementar dV, o peso 
próprio é igual a  g dV. 
 Forças de contacto – agem sobre a superfície A (superfície de fronteira). Se se considerar um 
elemento de área dA, a força de contacto será uma força elementar dAPFd  , em que P é a 
força de contacto por unidade de área. 
 
A força de contacto Fd pode ser decomposta numa componente normal dFn e numa componente 
tangencial dFt à superfície dA. A componente normal é dirigida para o interior do volume de líquido 
(já que os líquidos não resistem a tracções). 
 
Designa-se por pressão p a grandeza escalar que representa o módulo da componente normal dFn por 
unidade de área. 
 
 dA
dFp n (2.1) 
 
A grandeza escalar que representa o módulo da componente tangencial por unidade de área é a 
tensão tangencial . 
 
 dA
dF t (2.2) 
 
. g. dV 
dF 
dA 
dA 
dFt 
dF 
dFn 
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14 | P á g i n a 
 
Nos líquidos em repouso não existem tensões tangenciais e, em qualquer ponto do líquido, a pressão 
é independente da orientação da área elementar dA em virtude dos líquidos em repouso serem meios 
isotrópicos. 
 
Nos líquidos em movimento, embora a isotropia não seja perfeita continua a considerar-se que a 
pressão num ponto do líquido é independente da orientação da área elementar dA. Surgem tensões 
tangenciais desde que o líquido seja viscoso. 
 
2.5 COMPRESSIBILIDADE 
 
Os fluidos são compressíveis mas esta propriedade é muito mais evidente nos gases do que nos 
líquidos. 
 
Em termos gerais, define-se compressibilidade como a diminuição de volume (e consequente 
aumento de densidade) provocada por um aumento da pressão sobre o fluido. 
 
Define-se coeficiente de compressibilidade  como a diminuição de volume por unidade de volume 
e por unidade de aumento de pressão. Exprime-se em m2/N 
 
 dp
dV
V
1
 (2.3) 
 
O módulo de elasticidade volumétrica  é o inverso do coeficiente de compressibilidade e exprime-
se como uma pressão. 
 
No caso da água, os valores de  e  são de 0.5 x 10 –9 m2/N e 2 x 10 9 N/m2 respectivamente. 
 
A compressibilidade da água é praticamente desprezável em problemas práticos, excepto no caso de 
escoamento variável em condutas sob pressão (estudo do golpe de aríete). 
 
2.6 VISCOSIDADE 
 
Referiu-se anteriormente que os líquidos se adaptam à forma dos recipientes que os contêm. É da 
experiência comum que certos líquidos se escoam dum recipiente para outro (deformam-se portanto) 
com maior facilidade que outros – a água ou o álcool escoam-se mais facilmente que o óleo ou o mel. 
Diz-se então que o óleo é mais viscoso que a água. 
 
Podemos definir viscosidade como a resistência dos líquidos à deformação. Considere-se na figura 
1-2 um escoamento plano (que se repete em planos paralelos) no plano OXY. A velocidade apenas 
tem componente na direcção X mas o seu valor varia ao longo do eixo OY. 
 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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15 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-2 – Efeito do diferencial de velocidades no escoamento 
 
 
Considere-se um rectângulo elementar de fluido ABCD que se move num intervalo de tempo dt da 
sua posição inicial para uma nova posição A’B’C’D’. O rectângulo inicial deforma-se para um 
paralelograma devido ao diferencial de velocidades entre o nível AB e o nível CD. 
 
O ângulo  que mede a deformação angular ocorrida durante o tempo dt é dado pelo quociente entre 
o diferencial de deslocamento de CD para AB e dy. O diferencial de deslocamento é expresso por: 
 
(V + dV) dt – V dt = dV dt (2.4) 
 
Donde 
 
dy
dtdV
 (2.5) 
 
A velocidade de deformação angular será então 
 
 dy
dV
dt
d


 (2.6) 
 
Pode-se imaginar AB e CD como sendo duas camadas de líquido movendo-seuma sobre a outra, 
sendo AB mais lenta e CD mais rápida. Então CD tende a exercer uma força de arrastamento sobre 
AB enquanto AB exerce sobre CD uma força de retardamento igual e oposta à força de arrastamento. 
Estas forças divididas pelas áreas sobre as quais se exercem dão tensões tangenciais . 
 
Newton admitiu que, no movimento unidireccional dum líquido, a tensão tangencial é proporcional 
à velocidade de deformação angular 
 
 dy
dV
 (2.7) 
 
V + dV 
V. dt 
C 
V B´ 
D´ 
A´ 
C´ V + dV D 
V 
A B 
 dy 
x, V 
y 
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16 | P á g i n a 
 
 é o coeficiente de viscosidade dinâmica, sendo uma constante para cada líquido para uma dada 
temperatura. Exprime-se em kg .m-1.s -1. 
 
Os líquidos que seguem a lei de Newton designam-se por líquidos newtonianos. Quando a 
temperatura aumenta, a viscosidade diminui.2 
 
Frequentemente utiliza-se em lugar do coeficiente de viscosidade dinâmica a viscosidade 
cinemática , definida por 
 
 


 (2.8) 
 
A viscosidade cinemática expressa-se em m2/s e varia significativamente com a temperatura, 
conforme se indica na tabela seguinte. 
 
 
T (ºC) 4 10 20 30 50 80 100 
 
  (m2/s) x 10 – 6 1.57 1.31 1.01 0.80 0.56 0.37 0.30 
 
 
Quando um líquido se escoa sobre uma parede sólida, adere a ela. Há assim uma película de líquido 
que fica imobilizada enquanto o resto do fluido continua em movimento. À medida que a distância à 
parede aumenta, aumenta a velocidade do líquido. 
 
Portanto uma parede sólida em contacto com um líquido a escoar-se paralelamente à parede provoca 
no líquido um gradiente de velocidade na direcção normal à parede e sofre, consequentemente, por 
parte do líquido uma tensão de arrastamento proporcional à viscosidade e à velocidade de 
deformação angular junto à parede. A tensão de arrastamento existe com valor variável em todo o 
líquido em movimento, resultando do gradiente de velocidade. 
 
A força de arrastamento realiza trabalho o que implica que o líquido perde energia quando se escoa. 
A energia do líquido em movimento é energia mecânica (potencial e cinética) e a perda (dissipação) 
de energia faz-se por transformação da energia mecânica em energia térmica. A energia térmica 
provoca o aumento de temperatura do líquido (normalmente desprezável devido ao elevado calor 
específico dos líquidos) e é trocada com o meio envolvente (parede sólida, atmosfera). 
 
2.7 TENSÃO DE SATURAÇÃO DO VAPOR DE UM LÍQUIDO 
 
Considere-se o recipiente fechado representado na figura 2-3. No estado inicial fez-se vácuo no 
recipiente, mantendo o recipiente a uma temperatura constante. 
 
 
2 Também os gases se regem por esta lei de Newton. No caso dos gases, a viscosidade aumenta com o aumento da 
temperatura. 
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17 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-3 – Trocas entre o estado líquido e gasoso na situação de equilíbrio 
 
Foi-se introduzindo gradualmente um certo volume de líquido no recipiente o qual se vaporiza 
rapidamente. À medida que se continua a introduzir líquido, o processo de vaporização torna-se mais 
lento até se chegar a um estado de equilíbrio em que o volume de líquido no recipiente se mantém 
constante. Trata-se duma situação de equilíbrio dinâmico em que o número de moléculas que passam 
para o estado gasoso é igual ao que passa para o estado líquido. 
 
Designa-se como tensão de saturação do vapor do líquido a pressão a que o líquido está sujeito 
nessa situação de equilíbrio. 
 
Se se aumentar a temperatura, verifica-se que a vaporização recomeça até se atingir uma nova 
situação de equilíbrio com um valor mais elevado da pressão – a tensão de saturação do vapor cresce 
com a temperatura. 
 
A tabela seguinte apresenta valores da tensão de saturação do vapor da água para diferentes 
temperaturas. 
 
 
 
 T (ºC) 4 10 20 30 50 80 100 
 
 Tensão (kPa) 0.813 1.225 2.33 4.24 12.3 47.3 101.2 (= 1 atm) 
 
 
 
Note-se que, para a temperatura de 100 ºC, a tensão de saturação de vapor iguala a pressão 
atmosférica normal. 
 
A consideração da tensão de saturação do vapor da água é muito importante em certas condições de 
escoamento em que a pressão se torna extremamente baixa, podendo originar o fenómeno de 
cavitação. 
 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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18 | P á g i n a 
 
2.8 CELERIDADE 
 
Celeridade c é a velocidade de propagação duma perturbação no seio dum líquido. A celeridade 
pode ser calculada pela expressão 
 
 

c (2.9) 
 
Para a água a temperaturas habituais (10 a 30 ºC), a celeridade tem um valor de aproximadamente 
1400 m/s. 
 
2.9 SOLUBILIDADE DE GASES EM LÍQUIDOS 
 
A solubilidade de gases em líquidos é expressa pela lei de Henry: a temperatura constante e em 
condições de saturação, a relação entre o volume de gás dissolvido e o volume de líquido é constante. 
 
Se num dado ponto do escoamento dum líquido a pressão aumentar, o volume do gás dissolvido 
diminui3 e uma quantidade adicional de gás pode ser dissolvida; inversamente, se a pressão diminuir, 
liberta-se uma certa quantidade de gás que pode formar uma bolsa ou cavidade no seio do líquido. 
 
Para temperaturas normais, a concentração do ar dissolvido na água em condições de saturação é de 
cerca de 2%. 
 
2.10 LÍQUIDO PERFEITO E LÍQUIDO REAL 
 
Denomina-se líquido perfeito ou ideal o líquido considerado incompressível e com viscosidade nula. 
Este líquido escoa-se sem que surjam tensões tangenciais, não havendo portanto perdas de energia. A 
assunção de líquido perfeito, simplificando a análise dos problemas, tem utilidade para a derivação 
de princípios básicos e em algumas situações particulares em que as hipóteses de 
incompressibilidade e viscosidade nula são aceitáveis. 
 
Designa-se por líquido real aquele em que se entra em linha de conta com a viscosidade e com a 
compressibilidade. No entanto, como se referiu anteriormente, a compressibilidade pode ser ignorada 
na maioria dos problemas práticos. 
 
 
 
3 Recorde-se que, pela lei de Gay-Lussac (p V = n R T), a uma dada temperatura constante a variação do volume dum gás 
é inversamente proporcional à variação da pressão. 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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19 | P á g i n a 
 
 3. HIDROSTÁTICA 
 
 3.1 LEI HIDROSTÁTICA DE PRESSÕES 
 
Hidrostática é o capítulo da Mecânica de Fluidos que estuda os líquidos em repouso. Num líquido 
em repouso, não há variações de velocidade e, por conseguinte, não surgem tensões tangenciais . 
Apenas existem pressões (compressões). 
 
A equação fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton) expressa-se por 
 
amF  (3.1) 
 
sendo F a resultante das forças exteriores aplicadas a um corpo de massa m e a a aceleração 
resultante. Noslíquidos em repouso, a aceleração é nula e consequentemente também F o é. 
 
Como se viu no capítulo anterior, as forças exteriores que actuam sobre um volume de líquido são o 
peso próprio e as forças de contacto. Como as tensões tangenciais são nulas nos líquidos em repouso, 
as forças de contacto são as resultantes das pressões normais que actuam sobre a superfície que 
contém o volume de líquido. Designando o peso próprio por G e a resultante das pressões por P , 
tem-se então 
 
 0PG (3.2) 
 
Considere-se agora a figura 3-1 que representa um cilindro de bases horizontais e geratrizes verticais 
no seio do líquido em repouso. Vamos analisar a equação anterior (que é uma equação vectorial) na 
sua componente na direcção vertical. 
 
 
 
Figura 3-1 – Cilindro vertical em equilíbrio no seio do líquido 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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20 | P á g i n a 
 
As únicas forças com componente vertical são o peso próprio e as resultantes das pressões que 
actuam sobre as bases horizontais do cilindro. As pressões que actuam sobre a superfície lateral do 
cilindro são horizontais e, por isso, também as suas resultantes o são. 
 
O peso próprio é calculado por 
 
dA)zz(G 21   (3.3) 
 
sendo dA a área elementar da base do cilindro. 
 
Como a base do cilindro pode ser tornada tão pequena quanto se desejar (dA tende para 0), as 
pressões p1 e p2 podem ser consideradas constantes. Obtêm-se então, tomando o sentido vertical para 
baixo como positivo: 
 
 0)( 2121  dApdApdAzz (3.4) 
 
Donde se obtém que 
 
 2
2
1
1 zpzp 

 (3.5) 
 
Como as cotas z1 e z2 são genéricas, pode-se então escrever que 
 
 ctezp 

 (3.6) 
 
Esta igualdade exprime a Lei Hidrostática de Pressões. É fácil verificar que esta igualdade não se 
restringe a pontos do líquido situados na mesma vertical. Para isso, basta mostrar que a igualdade 
continua válida para pontos do líquido situados ao mesmo nível. 
 
Considere-se então a figura 2.2 que representa um cilindro no seio do líquido. Este volume tem 
geratrizes horizontais e bases de topo. 
 
 
 
Figura 3-2 – Cilindro horizontal em equilíbrio no seio do líquido 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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21 | P á g i n a 
 
Considerando agora a componente horizontal da equação vectorial, verifica-se que nem o peso 
próprio nem as pressões actuando sobre a superfície lateral têm componente horizontal. Por isso, as 
únicas forças exteriores com componente horizontal são as resultantes das pressões que actuam sobre 
as bases. 
 
Consequentemente, a equação reduz-se a 
043  dApdAp (3.7) 
 
Ou seja, p3 = p4. Como também z3 = z4 , então fica demonstrado que a equação 
 
 ctez
p

 (3.8) 
 
se verifica também para pontos situados na mesma horizontal. Consequentemente, a lei hidrostática 
de pressões é válida para quaisquer dois pontos dum líquido em repouso. 
 
Considere-se agora a figura 2.3 que representa um recipiente em que a superfície do líquido está 
sujeita a uma certa pressão ps. Considerando um ponto genérico no interior do líquido e um ponto s à 
superfície do líquido, é fácil concluir que 
 
 
 
Figura 3-3 – Recipiente com pressão sobre a superfície livre do líquido 
 
2pps  
 
s
s zpzp 
 1
1
 (3.9) 
 
Donde se tira que: 
 
 hpzzpp sss   )( (3.10) 
 
sendo h a profundidade a partir da superfície. 
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22 | P á g i n a 
 
 
 3.2 PRESSÕES ABSOLUTAS E PRESSÕES RELATIVAS 
 
A figura 3.4 representa dois eixos de pressões, o de cima com pressões absolutas e o de baixo com 
pressões relativas. 
 
A pressão relativa é a pressão absoluta diminuída da pressão atmosférica. Em muitos problemas de 
Hidráulica torna-se mais fácil trabalhar com pressões relativas do que com pressões absolutas – veja-
se por exemplo o caso dum líquido em repouso com a superfície em contacto com a atmosfera. Nesse 
caso, a pressão ps da equação 2.10 é nula. 
 
atmabsrel ppp  
 
Figura 3-4 – Pressões absolutas e pressões relativas 
 
A pressão atmosférica normal é, como se sabe, equivalente a uma coluna de 760 mm de mercúrio ou 
de 10.33 m de água. 
 
As pressões absolutas são sempre positivas já que o zero representa o vácuo absoluto. As pressões 
relativas serão positivas se superiores à pressão atmosférica e negativas se inferiores; a pressão 
relativa mínima é de –10.33 m de água. 
 
 3.3 MANÓMETROS SIMPLES E MANÓMETROS DIFERENCIAIS 
 
A medição da pressão num ponto junto à parede dum recipiente pode fazer-se com manómetros. O 
manómetro simples é um tubo (vertical ou inclinado) que contém um líquido (líquido manométrico) 
em que uma das extremidades se liga a um orifício na parede do recipiente (tomada de pressão) e a 
outra extremidade é aberta, com o líquido manométrico em contacto com a atmosfera. A medição da 
pressão com o manómetro baseia-se na aplicação directa da lei hidrostática de pressões, figura 2.5. 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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23 | P á g i n a 
 
 
 
Figura 3-5 – Manómetros simples 
 
No primeiro exemplo da figura, a pressão no ponto A é obtida da seguinte maneira, relacionando A 
com o ponto S da superfície livre do manómetro 
 
 S
S
A
A zpzp 
 (3.11) 
 
Como zS – zA = h e pS = 0 (em pressões relativas), obtém-se: 
 
 hp A  (3.12) 
ou 
 h
pA 
 (3.13) 
 
com a pressão expressa em termos de altura do líquido manométrico. 
 
A configuração do manómetro em U, no segundo exemplo da figura, permite medir pressões 
relativas negativas. 
 
Quando a pressão no recipiente for muito elevada, convém utilizar um líquido manométrico de 
densidade elevada como o mercúrio (drel = 13.6), conforme se representa no terceiro exemplo da 
figura – manómetros redutores. Convém que o mercúrio fique separado do recipiente por um outro 
líquido como a água. Nesse caso, a pressão no recipiente obtém-se por aplicação sucessiva da 
equação 2.6 a pontos situados no mesmo líquido. 
 
 pB = pA + 1 h1 (3.14) 
 
 pC = pD + 2 (h1 + h2) = 2 (h1 + h2) (3.15) 
 
visto que pD (relativa) é nula. Como oa pontos B e C estão no mesmo líquido e ao mesmo nível, pB 
= pC . Donde 
 
 pA = 2 h2 + (2 - 1) h1 (3.16) 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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24 | P á g i n a 
 
 
Os líquidos mais utilizados nos manómetros redutores são o mercúrio e o acetileno tetrabromado. 
 
Quando as pressões no recipiente são muito baixas, devem-se utilizar manómetros amplificadores, 
onde o líquido manométrico tem uma densidade baixa, inferior à da água, como por exemplo o álcool 
etílico. A tabela 166 de LENCASTRE 1983 dá as densidades de diversos líquidos manométricos. 
 
Para medir a diferença de pressões entre dois pontos dum líquido a escoar-se utilizam-semanómetros diferenciais, figura 2.6. 
 
Figura 3-6 – Manómetro diferencial 
 
Se na conduta se escoa um líquido com densidade 1 e o líquido manométrico tem densidade 2 , 
normalmente superior a 1, considerando os pontos 1 e 2 chega-se facilmente a 
 
hKhpp  )1(
1
2
1
21


 (3.17) 
 
K é a constante manométrica. 
 
 3.4 IMPULSÃO HIDROSTÁTICA 
 
Impulsão hidrostática é a resultante (quando existe) do conjunto de pressões que actuam sobre uma 
superfície no seio dum líquido. 
 
Como se sabe, no caso geral dum sistema de forças no espaço, elas são sempre redutíveis a uma 
resultante e a um momento resultante. No entanto, só em casos particulares é que o momento 
resultante é nulo e o sistema de forças se pode reduzir unicamente à resultante. 
 
Esses casos particulares são: 
 
 forças concorrentes 
 forças paralelas 
 forças complanares 
 
Assim, só existe impulsão hidrostática nos seguintes casos: 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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25 | P á g i n a 
 
 
 superfícies de corpos imersos ou flutuantes (teorema de Arquimedes); 
 superfícies planas (caso de forças paralelas já que as pressões são todas perpendiculares a 
esse plano); 
 calotes esféricas (caso de forças concorrentes visto que as pressões, sendo perpendiculares à 
superfície esférica, passam todas pelo centro da esfera); 
 superfícies cilíndricas cortadas por secções planas normais às geratrizes para geratrizes 
horizontais (caso de forças complanares); 
 superfícies cilíndricas cortadas por secções planas normais às geratrizes para directriz circular 
(caso de forças complanares). 
 
Estes casos particulares não são tão restritivos quanto poderá parecer. Com efeito, grande parte das 
situações de interesse para a Engenharia Civil envolvem produtos fabricados com formas regulares 
que se enquadram nesses casos particulares. 
 
O estudo da impulsão hidrostática para os casos acima referidos é apresentado nos capítulos que se 
seguem. 
 
 3.5 TEOREMA DE ARQUIMEDES 
 
Arquimedes foi um físico grego que viveu na colónia grega de Siracusa no século III a.c. A sua 
descoberta relativa à impulsão hidrostática, a que ficou associado o célebre Eureka!, foi motivada por 
um problema prático que lhe fora colocado (se uma coroa real tinha prata misturada com o ouro de 
que era suposta ser feita). 
 
O Teorema de Arquimedes diz o seguinte: todo o corpo mergulhado num líquido recebe deste 
uma impulsão vertical de baixo para cima igual ao peso do volume do líquido deslocado. 
 
 
Figuras 3-7 – Corpo imerso em equilíbrio e forças que actuam num corpo mergulhado 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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26 | P á g i n a 
 
Como se pode ver na figura 3.7, um corpo total ou parcialmente imerso no líquido em repouso 
encontra-se numa situação de equilíbrio. As forças actuantes sobre o corpo são o peso próprio G e a 
resultante das pressões sobre a superfície do corpo P . 
 
As pressões hidrostáticas no líquido em repouso não dependem da presença do corpo, dependem 
apenas da densidade do líquido e da profundidade. 
 
Donde, as pressões não se alteram se substituirmos o corpo por um volume de líquido contido pela 
mesma superfície. 
 
Portanto, PG (3.18) 
 
Os corpos maciços mais densos que o líquido afundam-se porque a impulsão é sempre inferior ao 
peso do corpo mesmo quando totalmente imerso. Os corpos maciços menos densos que o líquido 
flutuam sempre, imergindo apenas uma parte do volume, tal que o peso do volume do líquido 
deslocado seja equilibrado pela impulsão. 
 
Os navios são feitos de metal, muito mais denso que a água, mas flutuam porque o interior do casco é 
praticamente vazio, o que faz com que a sua densidade média seja inferior à da água. 
 
 
 
Figuras 3-8 – Empuxo na parte inferior dos barcos e a famosa frase EUREKA atribuída a Arquimedes 
 
 
O teorema de Arquimedes serve também de base para o funcionamento de densímetros, flutuadores 
em que o grau de imersão mede a densidade do líquido em que estão imersos. Um tipo de densímetro 
muito utilizado é o areómetro Baumé, graduado em º B, ver tabelas 6 e 7 de LENCASTRE 1983. 
 
Exercício – Um recipiente contendo um líquido foi pesado numa balança que registou o peso de 100 
KN. Posteriormente, introduziu-se no líquido um corpo com o peso de 10KN que ficou a flutuar. 
Qual o peso total que seria acusado pela balança? O que é que se passaria em termos de impulsão? 
 
 3.6 IMPULSÃO SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS 
 
Considere-se a superfície plana A de contorno irregular, conforme se representa na figura 3.9. 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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27 | P á g i n a 
 
 
 
Figura 3-9 – Impulsão sobre uma superfície plana irregular 
 
Tome-se uma área elementar dA genérica da superfície A. Este elemento dA situa-se a uma 
profundidade genérica h e tem coordenadas genéricas x, y no sistema de eixos XOY no plano da 
superfície em que o eixo OY é horizontal. 
 
Pode-se escrever 
 
 dAhdF  (3.19) 
 
 sinxh  (3.20) 
 
Como todas as pressões são perpendiculares à superfície plana, a resultante  será também 
perpendicular à superfície. O seu módulo pode obter-se integrando a equação 3.19 para toda a 
superfície. 
 
   A 00 hAsinxAdAxsin  (3.21) 
ou 
 0hA   (3.22) 
 
sendo x0 a coordenada do centro de gravidade da superfície, A a respectiva área e h0 a profundidade a 
que se situa o centro de gravidade. Portanto, a impulsão sobre uma superfície plana é calculada 
simplesmente multiplicando a pressão no centro de gravidade da superfície 0h pela área A da 
superfície. 
 
Pode-se também determinar facilmente o ponto da superfície por onde passa a resultante – centro de 
impulsão. Para isso, basta igualar os momentos do diagrama de pressões e da resultante em relação 
aos dois eixos coordenados. 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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28 | P á g i n a 
 
Tomando momentos em relação ao eixo OY 
 
 dAxdFxx
A AI  
2sin (3.23) 
 
Sabe-se da Geometria das Massas e por aplicação do teorema de Steiner que: 
 
 20
2 xAIIdAx YgyA  (3.24) 
 
em que IY é o momento de inércia da superfície em relação ao eixo OY e IYg o momento de inércia 
em relação a OYg que passa pelo centro de gravidade da superfície. 
 
Da conjugação das equações 3.23 e 3.24 obtém-se então 
 
 0
00
2
0
sin
)(sin
x
xA
I
xA
xAI
x YgYgI 




 (3.25) 
 
Como a primeira parcela do 2º membro da equação 3.25 é sempre positiva, verifica-se que xI é 
sempre superior a x0 . Portanto, o centro de impulsão está sempre localizado abaixo do centro de 
gravidade da superfície plana. 
 
De forma análoga pode obter-se a coordenada yI do centro de impulsão. Tomando momentos em 
relação ao eixo OX 
 
 dAyxdFyy
A AI    sin (3.26) 
 
 00 yxAIIdAyx XYgXYA  (3.27) 
 
 0
00
00
sin
)(sin
y
xA
I
xA
yxAI
y XYgXYgI 




 (3.28)A figura 3.10 representa um caso particular de superfícies planas: trata-se dum rectângulo com os 
lados de topo horizontais. 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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29 | P á g i n a 
 
 
Figura 3-10 – Impulsão sobre um rectângulo plano com topos horizontais 
 
Neste caso, é muito simples obter a resultante calculando o volume do diagrama de pressões. Sendo 
h1 e h2 as profundidades correspondentes aos lados de topo e b o respectivo comprimento, a 
resultante será dada por 
 
  = 0.5  b (h1 + h2) (3.29) 
 
A resultante passa no centro de gravidade do prisma trapezoidal. 
 
 3.7 IMPULSÃO SOBRE SUPERFÍCIES CURVAS 
 
No caso geral de superfícies curvas, o conjunto de pressões que actuam sobre a superfície não será 
redutível a uma força única mas sim a uma resultante e a um momento resultante. 
 
Pode-se, no entanto, obter as forças resultantes segundo os eixos x, y, z a partir das projecções das 
forças elementares de pressão Fd segundo esses eixos. Admitindo que o eixo OZ é vertical, ter-se-ia 
então as resultantes v , x e y . Em determinados casos particulares, pode-se escolher os eixos OX 
e OY de tal maneira que uma das resultantes horizontais seja nula. 
 
Vejamos então como se podem determinar a impulsão vertical v e a impulsão horizontal h . 
Considere-se para isso a figura 2.10 que representa uma superfície líquida imersa no seio dum 
líquido. 
 
A força elementar de pressão Fd tem uma componente vertical dFv 
 
cosdFdFv  (3.30) 
 
Como dF =  h dA, obtém-se então: 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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30 | P á g i n a 
 
vv dAhdAhdF   cos (3.31) 
 
dVdFv  (3.32) 
 
ou seja, a força elementar dFv é igual ao peso do volume elementar de líquido acima da superfície 
elementar premida dA. 
 
 
 
Figura 3-11 – Impulsão sobre uma superfície curva qualquer 
 
Fazendo a integração para toda a área da superfície premida, 
 
  A vv dF (3.33) 
 
Portanto, a impulsão vertical é igual ao peso do volume do líquido delimitado pela superfície 
premida, pelas projectantes verticais tiradas pelo contorno da superfície e pela superfície livre. 
 
O cálculo da impulsão h segundo uma direcção horizontal genérica h pode ser calculado por um 
processo similar. 
 
 hh dAhdAhdFdF   coscos (3.34) 
 
ou seja, a força elementar dFh é igual à impulsão sobre a projecção da área elementar dA num plano 
vertical perpendicular à direcção h. Integrando para toda a área da superfície premida, 
 
  A hh dF (3.35) 
 
Assim, a impulsão horizontal é igual à impulsão hidrostática que seria exercida sobre a projecção 
da superfície premida num plano vertical perpendicular à direcção h considerada. 
 
A figura 3.12 ilustra o processo de cálculo das impulsões vertical e horizontal sobre uma superfície 
curva. 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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31 | P á g i n a 
 
 
Figura 3-12 – Determinação da impulsão vertical e horizontal sobre uma superfície curva 
 
Um caso especial que interessa considerar é o do cálculo da impulsão sobre uma superfície curva 
com contorno plano, figura 3.13. 
 
 
 
Figura 3-13 – Impulsão sobre uma superfície curva com contorno plano 
 
Se se considerar o equilíbrio do volume de líquido limitado pela superfície curva e pelo contorno 
plano, a aplicação da equação (2.2) conduz-nos a 
 
 0212   GPG (3.34) 
 
 21   G (3.35) 
 
A vantagem deste processo é que o cálculo de 2 é bastante simples. 
 
 3.8 IMPULSÃO SOBRE A BASE E A TOTALIDADE DE RECIPIENTES 
 
Considerem-se os três recipientes cilíndricos da figura 3.14, com bases iguais e volumes diferentes, 
todos com líquido ao mesmo nível. Admita-se que o peso dos recipientes é desprezável. 
 
É evidente que a impulsão exercida sobre a base dos recipientes é a mesma nos três casos e que a 
força transmitida à base é diferente em cada caso. Essa força é igual ao peso do líquido, G, em cada 
recipiente, que por sua vez tem de ser igual à impulsão hidrostática do líquido sobre a totalidade da 
superfície do recipiente. 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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32 | P á g i n a 
 
 
 
 
Figura 3-14 – Impulsão sobre a base e a totalidade de recipientes 
 
No primeiro caso,  = G. No segundo caso, a impulsão  sobre a base é superior a G porque as 
paredes laterais estão traccionadas. Finalmente, no terceiro caso  é inferior a G visto que as paredes 
laterais estão comprimida. 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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33 | P á g i n a 
 
 4. HIDROCINEMÁTICA 
 
 4.1 TRAJECTÓRIAS E LINHAS DE CORRENTE 
 
Hidrocinemática é o capítulo da Mecânica de Fluidos que estuda a caracterização do movimento 
dos líquidos. Nesta caracterização é importante definir os conceitos de linha de corrente e de 
trajectória. 
 
Define-se trajectória como o lugar geométrico dos pontos ocupados ao longo do tempo por uma 
partícula em movimento. 
 
Considere-se agora num líquido em movimento o vector velocidade ),,,( tzyxvv  . A velocidade 
varia de ponto para ponto do líquido e, em cada ponto, varia ao longo do tempo. Pode assim 
considerar-se um campo de velocidades. Num dado instante de tempo, t0, será possível ter então um 
conjunto de vectores ),,,( 0tzyxvv  , veja-se a figura 3.1. 
 
 
Figura 4.1 – Campo de velocidades e linha de corrente dum escoamento 
 
Define-se linha de corrente como a linha que, num dado instante e em qualquer dos seus pontos, é 
tangente aos vectores velocidade. 
 
No escoamento variável, em que as características do escoamento variam ao longo do tempo, o 
campo de velocidades é, em geral, variável com o tempo, acontecendo por isso o mesmo com as 
linhas de corrente. 
 
Poder-se-á visualizar melhor as diferenças entre trajectórias e linhas de corrente através da seguinte 
experiência, veja-se a figura 3.2. Sobre a superfície livre dum líquido a escoar-se lança-se um grande 
número de confetti coloridos que flutuam à superfície e seguem com o escoamento. 
 
Se fizermos uma fotografia da superfície livre com os confetti com um grande tempo de exposição, 
cada uma das partículas em movimento (visualizada por um confetti) impressionará na chapa 
fotográfica um segmento que corresponde à velocidade da partícula. O conjunto dos segmentos que 
aparecem na chapa fotográfica corresponderá então ao campo de velocidades naquele instante e as 
linhas tangentes às velocidades são as linhas de corrente. 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
_____________________________________________________________________________________________________________________34 | P á g i n a 
 
Se agora fizermos sucessivas fotografias, com duração muito curta, sobre uma mesma chapa 
fotográfica, o que obtemos são as sucessivas posições ocupadas por cada partícula. Unindo os 
diversos pontos correspondentes a uma mesma partícula, obtemos a trajectória dessa partícula. 
 
 
Figura 4.2 – Experiência de visualização de linhas de corrente e trajectórias 
 
A distinção entre trajectórias e linhas de corrente pode também ser ilustrada pelo exemplo dum 
observador que, na margem dum rio, vê o escoamento à volta dum pilar duma ponte ou, na margem 
dum lago, vê o movimento da água provocado pela proa dum barco em movimento, figura 3.3. 
 
No primeiro caso, trata-se dum regime permanente (não varia com o tempo) e as trajectórias 
coincidem com as linhas de corrente. No segundo caso, trata-se para o observador dum regime 
variável (varia com o tempo) e as trajectórias já não coincidem com as linhas de corrente. 
 
 
Figura 4.3 – Trajectórias e linhas de corrente em regime permanente e variável 
 
 4.2 TIPOS DE ESCOAMENTO 
Critérios de classificação 
 
A classificação dum escoamento como pertencendo a um determinado tipo depende do critério 
utilizado para caracterizar os diversos tipos de escoamento. No estudo do escoamento dos líquidos, 
interessa fundamentalmente fazer a sua categorização de acordo com os seguintes critérios: 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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35 | P á g i n a 
 
 
 condições físicas de fronteira 
 variação com o tempo 
 variação com o espaço 
 regularidade das trajectórias 
 propagação de perturbações 
 
Faz-se de seguida uma primeira introdução a estes vários tipos de escoamento, embora uma melhor 
compreensão de alguns deles necessite de conceitos e ferramentas a serem introduzidos em capítulos 
posteriores. 
 
Classificação segundo as condições físicas de fronteira 
 
No que respeita às condições físicas de fronteira, os escoamentos podem ser classificados como: 
 
 escoamentos sob pressão – acontece em condutas de secção fechada, sem contacto com a 
atmosfera; a pressão em qualquer ponto do escoamento será normalmente diferente da 
pressão atmosférica. O escoamento em condutas de sistemas de abastecimento de água ou em 
circuitos hidráulicos de centrais hidroeléctricas é exemplo de escoamentos sob pressão. 
 
 escoamentos com superfície livre – são escoamentos que ocorrem com alguma parte do 
escoamento (a superfície livre) em contacto com a atmosfera; a pressão na superfície livre é 
igual à pressão atmosférica. Pode referir-se como exemplos de escoamentos com superfície 
livre o escoamento em rios ou em valas de drenagem. 
 
 escoamentos em meio poroso – são escoamentos através dum solo permeável, sem contacto 
com a atmosfera; o escoamento dá-se através dos poros do solo mas a secção do escoamento 
é definida estatisticamente pela porosidade. O escoamento subterrâneo que alimenta poços e 
furos de água é um exemplo de escoamento em meio poroso. 
 
Os escoamentos sob pressão serão estudados em Hidráulica I; os escoamentos com superfície livre 
sê-lo-ão em Hidráulica II; os escoamentos em meio poroso serão tratados nas disciplinas de 
Mecânica dos Solos e Hidrologia. 
 
É importante notar que pode haver escoamentos em condutas de secção fechada e que são 
escoamentos com superfície livre. Isso acontece sempre que o escoamento não ocupa totalmente a 
secção da conduta, como nos casos das condutas de águas residuais e de drenagem pluvial. 
 
Classificação segundo a variação ao longo do tempo 
 
Considerando o critério de variação ao longo do tempo, os escoamentos podem ser classificados 
como: 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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36 | P á g i n a 
 
 escoamento variável – as características do escoamento, como por exemplo a velocidade 
num dado ponto, variam com o tempo. ),,,( tzyxvv  . É a situação mais geral e também 
mais complexa de estudar. São exemplos o escoamento dum rio durante uma cheia, o 
escoamento numa vala de drenagem durante uma chuvada intensa, o escoamento numa 
conduta alimentada por gravidade por um reservatório cujo nível vai baixando. 
 
 escoamento permanente – as características do escoamento, como a velocidade num ponto, 
não variam com o tempo. 0),,,( 



t
vzyxvv . Podem referir-se como exemplos o 
escoamento num rio que não está em cheia ou o escoamento numa conduta alimentada por 
um reservatório cujo nível de água se mantém constante. Em muitas circunstâncias, as 
características do escoamento podem variar tão lentamente que o escoamento pode ser 
estudado como escoamento permanente. 
 
 escoamento transitório – trata-se do escoamento variável que ocorre entre dois escoamentos 
permanentes. Um exemplo é o fecho parcial duma conduta: as condições iniciais de 
escoamento permanente alteram-se e gera-se um escoamento variável mas, ao fim de algum 
tempo, o efeito da perturbação (fecho parcial) desaparece e fica-se com um novo escoamento 
permanente. 
 
No escoamento permanente, as linhas de corrente coincidem com as trajectórias. No entanto, a 
coincidência de linhas de corrente e trajectórias pode existir mesmo no escoamento variável, como é 
o caso do Golpe de Ariete provocado pelo fecho total duma conduta cilíndrica. 
 
Classificação segundo a variação ao longo do espaço 
 
De acordo com o critério da classificação ao longo do espaço, os escoamentos podem ser 
classificados como: 
 
 escoamento variado – as características do escoamento, como a velocidade, variam de ponto 
para ponto do escoamento, podendo variar ou não ao longo do tempo. 
),,(),,,( zyxvvoutzyxvv  . Constituem exemplos de escoamento variado o 
escoamento num rio onde as secções transversais variam, o escoamento num troço tronco-
cónico duma conduta ou o escoamento numa conduta de alimentação onde o caudal vai 
diminuindo ao longo do percurso. 
 
 escoamento uniforme – as características do escoamento não variam de ponto para ponto do 
escoamento. ctev  . Note-se que não é fisicamente possível ter )(tvv  , ou seja, ter uma 
característica do escoamento a variar com o tempo sem variar no espaço, visto que isso 
implicaria que qualquer perturbação no escoamento se propagaria a uma velocidade infinita. 
Portanto, não existe escoamento variável uniforme. 
 
A conjugação dos critérios de variação no tempo e no espaço leva então à existência de três e não 
quatro tipos diferentes de escoamento: 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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37 | P á g i n a 
 
 
 escoamento uniforme – é o escoamento que não varia nem com o tempo nem com o espaço. 
ctev  
 
 escoamento variado – é o escoamento que varia com o espaço mas não varia com o tempo. 
),,( zyxvv  
 
 escoamento variável – é o escoamento que varia com o espaço e com o tempo. 
),,,( tzyxvv  
 
O escoamento variado é ainda classificado como escoamento gradualmente variado (escoamento 
em rios e canais) se as características do escoamento variarem lentamente no espaço; ou escoamento 
rapidamente variado (escoamento em descarregadores, pontes e aquedutos) se essas características 
variarem rapidamente. Esta divisão é particularmente importante para os escoamentos com superfície 
livre, onde obrigam a tratamento diverso. 
 
O estudo do escoamento variável é muito complexo e normalmentereservado para o nível de pós-
graduação ou de cursos de especialização, onde se faz em paralelo o estudo de ferramentas 
matemáticas apropriadas para a sua análise (métodos de integração de sistemas de equações 
diferenciais às derivadas parciais). Os únicos casos de escoamento variável a serem tratados nas 
disciplinas de Hidráulica, embora de forma simplificada, são o golpe de ariete em condutas sob 
pressão e a oscilação em massa em galerias de centrais hidroeléctricas. 
 
Classificação dos escoamentos em relação à regularidade das trajectórias 
 
Se se abrir lentamente uma torneira, verifica-se que o escoamento se processa duma forma muito 
regular – as trajectórias são rectilíneas e não interferem umas com as outras. Continuando a abrir a 
torneira lentamente, o caudal debitado vai aumentando até que, a certa altura, o escoamento muda de 
aspecto – as trajectórias tornam-se irregulares e passam a interferir umas com as outras. 
 
De acordo com este critério, os escoamentos classificam-se então em: 
 
 escoamentos laminares – as trajectórias são regulares, aproximadamente rectilíneas e não 
interferem umas com as outras. 
 
 escoamentos turbulentos – as trajectórias são irregulares e interferem fortemente umas com 
as outras, aumentando a homogeneidade do escoamento através da troca de quantidades de 
movimento entre partículas. 
 
Mais adiante se verá como prever se um escoamento é laminar ou turbulento, através do número de 
Reynolds, Re, e do seu significado físico. 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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38 | P á g i n a 
 
Devido ao seu carácter regular, os escoamentos laminares são mais simples de analisar do que os 
escoamentos turbulentos. No entanto, a maioria dos problemas práticos que se colocam em 
Hidráulica pertencem ao domínio dos escoamentos turbulentos. 
 
Classificação de acordo com a propagação das perturbações 
 
Se considerarmos um lago circular, com água parada, e deitarmos uma pedra no centro do lago, 
geram-se ondas a partir do centro que se propagam em todas as direcções para a periferia do lago. 
 
Se em vez dum lago tivermos um escoamento com uma certa velocidade e provocarmos uma 
perturbação num dado ponto desse escoamento, essa perturbação vai propagar-se mais rapidamente 
no sentido do escoamento (para jusante) do que no sentido oposto (para montante) visto que, neste 
último sentido, a velocidade de propagação da perturbação é contrariada pela velocidade do 
escoamento. 
 
Se a velocidade de propagação for superior à velocidade do escoamento, a perturbação acaba por 
propagar-se para montante; se for inferior, ela não se propaga para montante; no caso limite de ser 
igual, a perturbação mantém-se estacionária. 
 
De acordo com este critério, os escoamentos são classificados da seguinte forma: 
 
 escoamento lento – a velocidade de propagação da perturbação é superior à velocidade do 
escoamento e o efeito da perturbação propaga-se tanto para jusante como para montante. 
 
 escoamento rápido – a velocidade de propagação da perturbação é inferior à velocidade do 
escoamento e o efeito da perturbação apenas se propaga para jusante. A perturbação é 
arrastada para jusante. 
 
 escoamento crítico – a velocidade de propagação da perturbação é igual à velocidade do 
escoamento e o efeito da perturbação não se propaga para montante, ficando a perturbação 
estacionária. 
 
Esta classificação é extremamente importante para os escoamentos com superfície livre. Ver-se-á 
mais adiante como prever se um escoamento será lento ou rápido, através da introdução do Número 
de Froude, Fr, e do seu significado físico. 
 
Exemplos ilustrativos 
 
A figura 3.4 apresenta exemplos ilustrativos dos diversos tipos de escoamentos aqui definidos. 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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39 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Exemplos ilustrativos de tipos de escoamento de acordo com o critério 
Reservatórios grandes, nível 
constante, conduta cilíndrica – 
escoamento uniforme; 
 
Reservatório de jusante é 
pequeno, nível vai subindo, 
conduta cilíndrica, velocidade 
decresce – escoamento 
variável; 
 
Reservatórios grandes, nível 
constante, conduta de 
diâmetro variável, velocidade 
varia – escoamento 
gradualmente variado 
 
Conduta cilíndrica, fecho 
instantâneo da válvula – 
escoamento variável 
 
Descarregador duma 
barragem – escoamento 
rapidamente variado 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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40 | P á g i n a 
 
 
 4.3 TUBO DE FLUXO, CAUDAL, VELOCIDADE MÉDIA 
 
Considere-se um escoamento representado por um conjunto de linhas de corrente e um contorno – 
linha fechada que não coincide com nenhuma linha de corrente. Por cada ponto do contorno passa 
uma linha de corrente, veja-se a figura 3.5. 
 
 
Figura 4.5 – Linhas de corrente e contorno 
 
Define-se tubo de fluxo como a porção de espaço delimitada pelo conjunto de linhas de corrente que 
passam por um contorno. Filete é o tubo de fluxo para um contorno com uma secção infinitamente 
pequena. 
 
Uma vez que a velocidade em cada ponto da superfície lateral do tubo de fluxo é tangente a essa 
superfície (visto que a superfície lateral é composta por linhas de corrente), a superfície lateral dum 
tubo de fluxo não é atravessada pelo líquido em movimento. 
 
Designa-se por secção recta a secção que corta ortogonalmente todas as linhas de corrente num tubo 
de fluxo, figura 3.6. Quando a secção recta é plana, ela é referida como secção transversal. 
 
 
 
Figura 4.6 – Secção recta e secção transversal dum tubo de fluxo 
 
Caudal é o volume do líquido que atravessa uma secção recta na unidade de tempo. O caudal que 
atravessa uma secção recta será então: 
 
   
A AA
dAVdAVdAnVQ cos. 

 (4.1) 
pois V

e n têm a mesma direcção e sentido. 
 
Velocidade média numa secção recta dum tubo de fluxo é a velocidade, constante em todos os 
pontos dessa secção recta, dum escoamento fictício que transporta o mesmo caudal Q. 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas Teóricas da Disciplina de Hidráulica I 
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41 | P á g i n a 
 
 


A
A
A
dAV
UAUdAVQ . (4.2) 
A figura 3.7 ilustra o conceito de velocidade média. 
 
 
Figura 4.7 – Exemplos de ilustração do conceito de velocidade média 
 
 4.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
A Equação da Continuidade traduz o princípio da conservação da massa: a variação da massa dum 
líquido contida num certo volume e , limitado por uma superfície S, durante um intervalo de tempo 
dt é igual ao fluxo da massa de líquido através de S, isto é, é igual à massa que entra menos a massa 
que sai nesse intervalo de tempo. 
 
 dsnVdtded
e S
 . (4.3) 
 
Pelo Teorema da Divergência ou de Gauss, 
 
 deVdivdsnV
eS    (4.4) 
 
em que 
zyx
div zyx










 (4.5) 
 
Daqui se obtém que 
 
 deVdivdtded
e e
)(   (4.6) 
 
A igualdade dos integrais num mesmo domínio obriga à igualdade das funções integradas, donde 
(sendo de não nulo) 
 
 )( Vdiv
dt
d   (4.7) 
 
HIDRÁULICA I – Apontamentos das Aulas