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BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
DEFINIÇÕES
-ROTOR: componente de máquina operando com rotação Ω em torno de
um eixo que passa pelos mancais.
-ROTOR RÍGIDO: Se Ω de operação é MENOR que a primeira das
frequências naturais do rotor ele pode ser considerado RÍGIDO para efeito
de BALANCEAMENTO.
-DESBALANCEAMENTO: Produto da massa do rotor pela excentricidade
do seu centro de massa em relação ao eixo de rotação: d = m e [kgm]
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
Fd: força HARMÔNICA produzida pelo desbalanceamento quando o rotor gira:
módulo |Fd| = m e Ω2 com direção que acompanha a rotação, CONTIDA num
PLANO PERPENDICULAR ao eixo que passa pelos mancais.
 
 
2
cos
j t
d
x d
y d
t
F me e
F F t
F F sen t


 
 
 
 
Fd
m
e θ=Ωt
Ref.
x
y
Fd
m
e
θ
Ref.
Fb
mc
rc
BALANCEAMENTO: operação de ADIÇÃO ou
RETIRADA de massa do rotor, no plano que
contém o desbalanceamento, que anula a força
centrífuga de desbalanceamento: Fd = Fb
c cm r d me 
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTORES LONGOS: COMPRIMENTO ≥ DIÂMETRO. Exemplos: 
máquinas elétricas, eixo biela-manivela.
MÉTODO ESTÁTICO: (Ω = 0) sobre mancais de baixo atrito a parte
pesada do rotor fica para baixo  a posição angular (θ) do
desbalanceamento é determinada. Por tentativa adiciona-se massa
do lado oposto até que o equilíbrio seja alcançado. Como neste caso
a ≠ b o MOMENTO não é anulado.
INCÓGNITAS: d1, d2 , a, b
EQUILÍBRIO:
1 1 1 2
2
1 2
2 2
2 2 2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
0
0
c c
d c c
c c
c c
F F F F d
F F
M
m r
a F b F
d d d e a d bd
d m r d
     
       
  

  


a b
Fd
Fc1 Fc2
m1 m2
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTORES CURTOS: COMPRIMENTO << DIÂMETRO. 
Exemplos: roda de automóvel, rebolo de retificadora.
Neste caso a ≈ b  d1 = d2 ≈ d/2
MÉTODO ESTÁTICO: (Ω = 0) Montar o rotor na HORIZONTAL sobre
mancais de baixo atrito a parte pesada do rotor fica para baixo  a
posição angular (θ) do desbalanceamento é determinada. Por tentativa
adiciona-se massa do lado oposto até que o equilíbrio seja alcançado.
a b
Fd
Fc1 Fc2
EQUILÍBRIO:
2
1 2
2 2 2
1 1 1 2 2 2
2
1 2
1 2
1 2 1 2
0
0
: / 2
d c c
c c
c c
c c
c c
F F F F d
F F
M a F b F
como a b
m r d m r d
F F d d d
     
       
  
     


m1 m2
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
MÉTODO DINÂMICO (Ωb ≠ 0): São utilizados sensores para medir a vibração
produzida pelo desbalanceamento, com o ROTOR montado simetricamente
numa SUSPENSÃO ELÁSTICA (MANCAIS ‘MOLES’) tal que Ωb > ωn.
São medidos: X e θ
X – amplitude da vibração medida no mancal
θ – ângulo entre x(t) máximo e a marca de referência
θ
X
T
T
t
t
x(t)
r(t)
d
Ωb
Fd
ROTOR CURTO - SISTEMA DE 1 GDL: x1(t) = x2(t) = x(t)
a a
(lâminas flexíveis: Kxx << Kyy)
x
r
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR CURTO - MÉTODO DINÂMICO: (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
FRF do sistema de 1GL excitado por DESBALANCEAMENTO:
 
2
22 2 2
1
2
:
1 4
2tan 0
1
1
d
b
n
F X
mX sendo
d
se e 
 
  
 



 
 
 
  


1
180
dF X
mX d mX
d
graus
  
 
X
θ
ref
Fd
Logo:
Medindo θ determina-se a posição angular 
de Fd  a (180 + θ ) da REFERÊNCIA
Medindo X calcula-se o valor d usando a
massa (m) do rotor.
Medindo a Velocidade (V): X = V /Ωb
Medindo a Aceleração (A): X = A / Ω2b
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR CURTO - MÉTODO DINÂMICO (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
Pode-se evitar a necessidade do conhecimento prévio da massa do rotor.
Basta realizar um SEGUNDO ENSAIO com massa conhecida (mc rc):
adicionada, por exemplo, na posição da marca de referência. Desta maneira o
desbalanceamento do rotor é alterado.
Primeiro experimento, com Ωb : (rotor original)  Xo , θo
Segundo experimento, com Ωb : (rotor original + mc rc)  X1 , θ1
Xo
θo
ref
θ1
ref
X1
Xo
θo
ref
θ1
X1
X1 - Xo
1
o
o
X
d mc rc
X X


1 o
o
X X mc rc
X d
 

Fator de ESCALA
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR LONGO - MÉTODO DINÂMICO: (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
Sistema de 2GL: no plano <x,y> com Φ pequeno
1
2
Fd
x2x1
Fm2
Fm1
C
M, Jc
a b
Φ
EE
1 2
1 2
C C m m
x c d m m
M J F a F b
F M x F F F
  
   




xc
1 1 1 2 2 2
1 2
1
2
1
1
j
d d
c
t
m m
c
c
F k x e F k x
x x a e x x b
x a
x
F
x
F e
b
 


 
   
     
    
 

  
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR LONGO - MÉTODO DINÂMICO: (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
1 2 2 1
2 2
2 1 1 2
2
1 2 2 1
2 2 2
2 1 1 2
2
11 2 2 1
2 2 2
2 1 1 2
0
0 0
0
1
1
c c d j t
C
c d
C
C
M k k bk akx x F
e
J bk ak a k b k
X Fk k M bk ak
bk ak a k b k J
Xak k M bk ak
bbk ak a k b k J
 
                          
        
             
       
         


2 0
dF
X
   
   
  
Medir X1 e X2  (1)  CALCULAR Fd . 
Porém: a, b, k1, k2, M e Jc devem ser CONHECIDOS previamente.
(1)
ALTERNATIVA: Método dos COEFICIENTES de INFLUÊNCIA
x1(t) e x2(t)
r(t)
d
Ωb
Fd
1 2
PLANO 1 PLANO 2
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR LONGO - MÉTODO DINÂMICO: (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
Fd
Sistema de 2GL: x1(t) ≠ x2(t)
1. Medem-se: |X1o|, θ1o (no mancal 1) e |X2o|, θ2o (no mancal 2) sendo:
X1o – vetor vibração medido em 1 devido APENAS ao desbalanceamento original
X2o – vetor vibração medido em 2 devido APENAS ao desbalanceamento original
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR LONGO - MÉTODO DINÂMICO: (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
x1(t) e x2(t)
r(t)
d
Ωb
Fd
1 2
PLANO 1 PLANO 2
Fd
2. Adicionado (mc rc) no PLANO 1 (na posição de referência):
Medem-se: |X11|, θ11 (no mancal 1) e |X21|, θ21 (no mancal 2) sendo:
X11 – vetor vibração medido em 1 devido ao desbalanceamento original + (mc rc) posta em 1
X21 – vetor vibração medido em 2 devido ao desbalanceamento original + (mc rc) posta em 1
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR LONGO - MÉTODO DINÂMICO: (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
x1(t) e x2(t)
r(t)
d
Ωb
Fd
1 2
PLANO 1 PLANO 2
Fd
Transferindo (mc rc) para o PLANO 2 (na posição de referência) :
3. Medem-se: |X12|, θ12 (no mancal 1) e |X22|, θ22 (no mancal 2) sendo:
X12 – vetor vibração medido em 1 devido ao desbalanceamento original + (mc rc) posta em 2
X22 – vetor vibração medido em 2 devido ao desbalanceamento original + (mc rc) posta em 2
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR LONGO - MÉTODO DINÂMICO: (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
Com os vetores medidos: X1o, X2o, X11, X21, X12, X22, CALCULAM-SE:
Efeitos diretos: (fatores de escala)
X11 – X10 = efeito de (mc rc) posta em 1 sobre a vibração medida em 1
X22 – X20 = efeito de (mc rc) posta em 2 sobre a vibração medida em 2
Efeitos Cruzados: (fatores de escala)
X12 – X10 = efeito de (mc rc) posta em 2 sobre a vibração medida em 1
X21 – X20 = efeito de (mc rc) posta em 1 sobre a vibração medida em 2
Sejam m1 r1 (colocada no PLANO 1) e m2 r2 (colocada no PLANO 2) as 
CORREÇÕES do desbalanceamento do rotor.
(m1 r1) produz a vibração Q1 medida no mancal 1
(m2 r2) produz a vibração Q2 medida no mancal 2
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR LONGO - MÉTODO DINÂMICO: (Ωb ≠ 0) tal que Ωb > ωn.
Para anular X1o: (por ADIÇÃO de massa)
- X1o = Q1 (X11-X1o) + Q2 (X12-X1o)
Para anular X2o: (por ADIÇÃO de massa)
- X2o = Q1 (X21-X2o) + Q2 (X22-X2o)
      
 
 
1 12 1 11 1 1
2 22 2 21 2 2
1 2
11 1 12 1 11 1 12 1
21 2 22 2 21 2 22 2
1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2
( )
( ) )
tan tan
o o o o
o o o o
o o o o
o o o o
I I
R R
X X X X X X
X X X X X x
Q e Q
X X X X X X X X
X X X X X X X X
Q Q
m r Q mc rc e m r Q mc rc
Q Q
 
   
   
 
   
   
   
As AMPLITUDES medidas podem ser Deslocamentos, Velocidades ou Acelerações
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
GRA - QUALIDADE DE BALANCEAMENTO REQUERIDA POR 
CLASSE DE EQUIPAMENTO NBR14R / ISO 1940
GRA TIPO DE EQUIPAMENTO
630 Eixos de motores de grande porte, tipo diesel ougasolina, com em 
fundações rígidas
250 Eixos de motores diesel com 4 cilindros (velocidades de pistão inferiores a 9 
m/s).
100 Eixos de motores diesel com 6 ou mais cilindros; Motores completos (diesel e 
gasolina ) de veículos automotivos e de locomotivas (velocidades de pistão 
inferiores a 9 m/s).
40 Rodas de veículos, Eixos de motores alternativos que operam em rotações 
elevadas (velocidades do pistão maiores ou iguais a 9 m/s)
16 Eixos Cardan, Componentes de máquinas agrícolas, Componentes de 
motores de combustão interna, Discos de freio.
6.3
Rotores de equipamentos de processamento na indústria química e de 
alimentos; Redutores de turbinas marítimas, Ventiladores, Volantes de 
inércia , Rotores de bombas hidráulicas, Componentes de máquinas de 
usinagem, Motores elétricos convencionais, Componentes de motores 
alternativos especiais.
2.5
Turbinas a gás e a vapor, Rotores de turbo-geradores e de turbo-
compressores, Motores de máquinas ferramenta, Motores elétricos de médio 
porte, Mini motores elétricos, Bombas acionadas por turbinas.
1 Motores de gravadores e toca-discos, Rotores de máquinas de retificar, 
pequenos motores elétricos com requisitos especiais
0.4 Discos rígidos, Giroscópios, Rotores de máquinas de retificar de precisão.
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
DRA - DESBALANCEAMENTO RESIDUAL ADMISSÍVEL ( g.mm/Kg)
(PARCIAL) NBR14R / ISO 1940
Ωop
[RPM]
GRA
0.4 1.0 2.5 6.3 16 40 100 250
40 - - - - 3800 960
0
24000 60000
63 - - - 2400 600
0
15000 38000
100 - - - 600 1500 380
0
9600 24000
160 - - 380 960 240
0
6000 15000
250 - - 96 240 600 150
0
3800 9600
400 - 24 60 150 380 960 2400 6000
630 6 15 38 96 240 600 1500 3800
1000 3.8 9.6 24 60 150 380 960 2400
1600 2.4 6 15 38 96 240 600 1500
2500 1.5 3.8 9.6 24 60 150 380 -
4000 0.96 2.4 6 15 38 96 240 -
6300 0.6 1.5 3.8 9.6 24 60 150 -
10000 0.38 0.96 2.4 6 15 38 - -
25000 0.15 0.38 0.96 2.4 - - - -
40000 0.096 0.24 0.6 - - - - -
63000 0.060 0.15 - - - - - -
EXEMPLO
Rotor de turbina a gás
Operação: 4000 RPM
Qualidade: G 2.5
Massa: M = 1000 kg
DRA = 6 g.mm/kg
dr < DRA x M
dr < 6000 gmm
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
DESBALANCEAMENTO RESIDUAL
CALCULAR os DESBALANCEAMENTOS RESIDUAIS:
MÉTODO: Considera APENAS os fatores de escala diretos determinados 
na medição:
11 1 22 2
1 1 2 2
1 2
1 2
11 1 22 2
o o
o o
X X mc rc X X mc rc
X d X d
X mc rc X mc rc
d d
X X X X
   
 
 
 
1 2rd d d 
Este método é APROXIMADO: Não são considerados os efeitos CRUZADOS, 
porém o desbalanceamento residual é bem avaliado !
Condição mais DESFAVORÁVEL
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
ROTOR LONGO – USANDO o MATLAB
% Balanceamento de rotor rígido: LAB7
% desbalanceamento original nos planos 1 e 2:
% nível de vibração (v) e fase (t) em graus
M=15000; % massa do rotor em gramas
Wop =1600; % rotação de operação rpm
w=13; % rotação de balanceamento Hz
% massa (gramas) e raio(mm) de TARA:
mt =12.0;
rt =75;
% Medidas SEM massa de tara [mm/s]
v10=10; 
t10=29;
v20=2.6;
t20=2; 
% Medidas COM massa de tara no plano 1:
v11=12;
t11=72;
v21=2; 
t21=33;
% Medidas COM massa de tara no plano 2:
v22=5.7;
t22=103;
v12=10;
t12=45;
% vibrações na forma complexa
gtr =pi/180;
v10=v10*cos(t10*gtr)+1i*v10*sin(t10*gtr);
v20=v20*cos(t20*gtr)+1i*v20*sin(t20*gtr);
v21=v21*cos(t21*gtr)+1i*v21*sin(t21*gtr);
v22=v22*cos(t22*gtr)+1i*v22*sin(t22*gtr);
v11=v11*cos(t11*gtr)+1i*v11*sin(t11*gtr);
v12=v12*cos(t12*gtr)+1i*v12*sin(t12*gtr);
a=[v11-v10 v12-v10
v21-v20 v22-v20]; %escala = INFLUÊNCIA
v=[-v10
-v20]; % (-) aditivas
q= inv(a)*v;
m= abs(q)*mt; % massas de correção
teta =atan2(imag(q),real(q))*180/pi;
Massas ADITIVAS de correção para rt = 75.0 mm
PLANO1: m1 = 14.06 gramas teta1 = 84.9 graus 
PLANO2: m2 = 2.87 gramas teta2 = 21.3 graus 
θ POSITIVOS no sentido da rotação a partir da marca 
de referência
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
% Balanceamento de rotor rígido: LAB7
% vibrações RESIDUAIS medidas APÓS O BALANCEAMENTO
V1=1.2; % mm/s
V2=0.3; 
disp('Vibrações RESIDUAIS:')
disp(sprintf('%s % 3.2f %s','V1= ',V1,'[mm/s]'))
disp(sprintf('%s % 3.2f %s','V2= ',V2,'[mm/s]'))
% Fatores de escala (DIRETOS)
disp(sprintf(‘%s %4.3f %s’, ‘|V11-V10|=‘, abs(v11-v10),’ mm/s’))
disp(sprintf(‘%s %4.3f %s’, ‘|V22-V20|=‘, abs(v22-v20),’ mm/s’))
% Calculo de DR nos planos 1 e 2 [grama.mm/kg]
d1=V1*mt*rt/abs(v11-v10)/M*1000;
d2=V2*mt*rt/abs(v22-v20)/M*1000;
disp('Desbalanceamentos RESIDUAIS: Método DIRETO - Fatores de escala')
disp('Comparar com o valor Admissível!!')
disp(sprintf('d1 = %5.2f gmm/kg d2= %5.2f gmm/kg',d1,d2))
disp(sprintf('DR = %5.2f gmm/kg \n',d1+d2))
|V11-V10| = 8.275 mm/s
|V22-V20| = 6.701 mm/s
d1= 130.5/15 e d2 = 40.29/15
DR = 8.13 grama.mm/kg
Para GRA = 2.5 e Ω = 1600 rpm  DRA = 15 gmm/kg
DR < DRA  ESTÁ BALANCEADO 
Para GRA = 6.3 e DR = 11.39 gmm/kg. 
Qual a MÁXIMA ROTAÇÃO na qual o rotor pode ser considerado balanceado?
DRA = 15 para Ω = 4000 rpm e DRA = 9.6 para Ω = 6300 rpm  INTERPOLAR  Ωmax = 5920. rpm
BALANCEAMENTO DE ROTORES RÍGIDOS
Se após o balanceamento dr > DRA
1 1 1 1
2 2 2 2
o o
o o
X e X e
X e X e
 
 


Manter a CORREÇÃO já efetuada 
e REFAZER o procedimento
COMPONDO MASSAS DE CORREÇÃO
θ
m1r1
m2r2
m1r1
m2r2
m r
θ
α
1 1 2 2
1 1
cos( ) cos( )
( ) ( )
m r m r mr
m r sen mr sen
 
 
 

mr 