Aula 4 - Dimensionamento de Taludes - Empuxos de terra

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UNIDADE 4: EMPUXOS DE TERRA
4 – Empuxos de terra
4.1 – Introdução
4.2 – Teoria de Rankine
4.3 – Teoria de Coulumb
4.1 – Introdução
QUAIS SÃO AS FORÇAS ENVOLVIDAS NUM MACIÇO DE TERRA ?
σhτ
σ - Sigma
τ - Tal
σv
QUAIS SÃO AS FORÇAS ENVOLVIDAS NUM MACIÇO DE TERRA ?
φ - Fi (Ângulo de atrito interno)
c - Coesão
QUAIS SÃO AS FORÇAS ENVOLVIDAS NUM MACIÇO DE TERRA ?
1 INTRODUÇÃO
EMPUXOS DE TERRA
As estruturas de contenção, como muros de arrimo, paredes de subsolos
e cortinas, são comumente encontradas na engenharia de fundações, já
que suportam taludes de terra. O planejamento e a construção dessas
estruturas exigem um conhecimento amplo sobre forças laterais que
atuam entre as estruturas de contenção e as massas de solo contidas.
Essas forças laterais são provocadas pelo empuxo lateral da terra. A
magnitude e a distribuição do empuxo lateral de terra dependem de
muitos fatores, como:
os parâmetros de resistência ao cisalhamento do solo retido;
a inclinação da superfície do aterro;
a altura e a inclinação do muro de arrimo na interface muro-aterro;
a natureza do movimento do muro sob o empuxo lateral; e
a adesão do ângulo de atrito na interface parede-aterro.
1 INTRODUÇÃO
As fotos acima demonstram ruína da estrutura devido a não consideração de empuxos
de terra desequilibrados atuantes sobre a estrutura .
Neste caso , pode ter ocorrido falha de execução e não falha de projeto.
ABECE relata a importância da verificação dos esforços devidos aos empuxos
desequilibrados, que podem chegar a valores significativos e necessitam de uma
estrutura rígida para sua transferência aos elementos de fundação.
2 DEFINIÇÃO
EMPUXOS DE TERRA
Entende-se por empuxo de terra a ação horizontal produzida por um
maciço de solo sobre as obras com ele em contato.
A determinação do valor do empuxo de terra é fundamental para a
análise e o projeto de obras como muros de arrimo, cortinas de
estacas-prancha, construção de subsolos, encontro de pontes, etc. O
valor do empuxo de terra, assim como a distribuição de tensões ao
longo do elemento de contenção, depende da interação solo-elemento
estrutural durante todas as fases da obra. O empuxo atuando sobre o
elemento estrutural provoca deslocamentos horizontais que, por sua
vez, alteram o valor e a distribuição do empuxo, ao longo das fases
construtivas da obra.
3 TIPOS DE EMPUXO
Caso 1 - EMPUXO NO REPOUSO
Se o muro AB for estático, ou seja, se ele não se movimentar nem para
direita nem para a esquerda de sua posição inicial, a massa de solo
apresentará um estado de erquilíbrio estático. Neste caso sh é
chamado empuxo de terra em repouso.
Figura 01
3 TIPOS DE EMPUXO
Caso 1 - EMPUXO NO REPOUSO
O empuxo no repouso é definido pelas tensões horizontais, calculadas
para condição de repouso. Neste caso para a condição de semi-espaço
infinito horizontal, o empuxo é produto do coeficiente de empuxo lateral
no repouso (ko) e da tensão efetiva vertical, acrescido da parcela da
poropressão.
... Mecânica dos Solos
3 TIPOS DE EMPUXO
Caso 1 - EMPUXO NO REPOUSO
O valor de k₀ depende de vários parâmetros geotécnicos do solo,
dentre os quais pode-se citar: ângulo de atrito, índice de vazios, razão
de pré-adensamento, etc.). A determinação do coeficiente de empuxo
no repouso pode ser feita a partir ensaios de laboratório e ensaios de
campo, teoria da elasticidade ou correlações empíricas.
3 TIPOS DE EMPUXO
Caso 1 - EMPUXO NO REPOUSO
Para definir o coeficiente de empuxo de terra k₀ em repouso que
mostra uma parede AB (figura 01) retendo um solo seco com peso
específico de ɣ a uma profundidade ƶ.
Tensão efetiva vertical:s₀ = ɣ.ƶ
Tensão efetiva horizontal:sh = k₀.ɣ.ƶ
Para solos granulares grossos, o coeficiente de empuxo de terra em
repouso pode ser estimado usando a relação empírica:φ
k₀ = 1 – sen φ
Onde φ é o ângulo de atrito
3 TIPOS DE EMPUXO
Caso 2 - EMPUXO ATIVO
Se o muro sem atrito rotacionar suficientemente sobre a base para uma
posição de A´B uma massa de solo ABC´ adjacente ao muro atingirá um
estado de equilíbrio plástico e se romperá deslizando para baixo sobre o
plano BC´. Neste momento, a tensão efetiva horizontal, sh = sa será
referido como empuxo ativo.
Figura 02
3 TIPOS DE EMPUXO
Caso 2 - EMPUXO ATIVO
Quando determinada estrutura é construída para suportar um maciço
de solo, este exerce forças sobre as estruturas por isso são chamadas
de natureza ativa. O solo “empurra’ a estrutura, que reage, tendendo
a afastar-se do maciço.
Figura 03
3 TIPOS DE EMPUXO
Caso 3 - EMPUXO PASSIVO
Se o muro sem atrito rotacionar suficientemente sobre a base para uma
posição de A”B uma massa de solo ABC” alcançará um estado de
equilíbrio plástico e se romperá deslizando para baixo sobre o plano
BC”. Neste momento, a tensão efetiva horizontal, sh = sp o chamado
empuxo passivo.
Figura 04
3 TIPOS DE EMPUXO
Caso 3 - EMPUXO PASSIVO
Ao contrário do caso anterior, é a estrutura que é empurrada contra o
solo. A força exercida pela estrutura sobre o solo é de natureza
passiva. Um caso típico deste tipo de interação solo-estrutura é o de
fundações que transmitem ao maciço forças de elevada componente
horizontal, como é o caso de pontes em arco.
Figura 05
Em determinadas obras, a interação solo-estrutura pode englobar
simultaneamente as duas categorias referidas. É o caso de
representado por um muro-cais ancorado. As pressões do solo
suportado imediatamente atrás da cortina são equilibradas pela
força Ft de um tirante de aço amarrado em um ponto perto do
topo da cortina e pelas pressões do solo em frente à cortina.
3 TIPOS DE EMPUXO
Muro-cais ancorado – caso em que se desenvolvem pressões 
ativas e passivas. 
3 TIPOS DE EMPUXO
Figura 06
4 ESTADOS DE EQUILÍBRIO - ESTÁTICO
Seja uma massa semi-infinita de solo seco, não coesivo, mostrada na
Figura abaixo o elemento está sob condição geostática. e as tensões
atuantes em uma parede vertical, imaginaria será calculada com base
em:
Figura 07
(1)
4 ESTADOS DE EQUILÍBRIO - ESTÁTICO
Como não existem tensões cisalhantes, os planos vertical
e horizontal são planos principais. Supondo que haja um
deslocamento, haverá uma redução da tensão horizontal
(sh), sem que a tensão vertical sofra qualquer variação. Se
o deslocamento prosseguir, a tensão horizontal aumenta
até que ocorra a condição de ruptura. Neste caso, diz-se
que a região esta em equilíbrio plástico e sh atingirá
seu limite inferior (condição ativa).
4 ESTADOS DE EQUILÍBRIO - PLÁSTICO
O tipo de deslocamento afeta a forma da superfície de
plastificação e conseqüentemente interfere na
distribuição de tensões. A figura 10 (DISTRIBUIÇÃO DE
EMPUXOS) mostra os diagramas de empuxo para o caso
de solos não coesivos, para diferentes condições de
deslocamento. Observa-se que sempre que a superfície for
plana a distribuição também é linear. Para outros casos a
distribuição de empuxos passa a ter a forma parabólica.
5 CONDIÇÕES DE DEFORMAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE EMPUXOS: Deslocamento
Figura 10
5 CONDIÇÕES DE DEFORMAÇÃO
É importante observar, portanto, que para atingir os estados
limites ativo e passivo é necessário haver deslocamento da
estrutura.
5 CONDIÇÕES DE DEFORMAÇÃO
o O que é empuxo?
o Porque é importante a determinação do valor do empuxo?
Empuxo passivo x Empuxo ativo
6 REVISÃO
4.2 – Teoria de Rankine
7.1. Hipóteses e Formulação Geral 
A expressão equilíbrio plástico no solo refere-se à condição na
qual cada ponto na massa de solo está no limite de ruptura.
De acordo com a teoria de Rankine, o deslocamento de uma
parede irá desenvolver estados limites plásticos. No momento
da ruptura surgem infinitos planos de ruptura e ocorre a
plastificação de todo o maciço;
7 TEORIA DE RANKINE
Em resumo, o método de Rankine (1857) considera o solo em
estado de equilíbrio plástico e baseia-se nas seguintes
hipóteses:
- Solo isotrópico;
- Solo homogêneo;
- Superfície do terreno plana;
- A ruptura ocorre em todos os pontos do maciço
simultaneamente
- A ruptura ocorre sob o estado planode deformação;
- Muro perfeitamente liso (atrito solo-muro: (d = 0)
os empuxos de terra atuam paralelamente à
superfície do terreno
-A parede da estrutura em contato com o solo é vertical.
7 TEORIA DE RANKINE
No caso do afastamento da parede, haverá um acréscimo de sh,
sem alteração de sv. Este processo tem um limite, que
corresponde à situação para a qual o maciço entra em equilíbrio
plástico.
(s´ha). Neste caso, o solo terá atingido a de equilíbrio plástico.
Nesta condição, a razão entre a tensão efetiva horizontal e a
tensão efetiva vertical é definida pelo coeficiente de empuxo
ativo, ka, ou seja:
(1)
7 TEORIA DE RANKINE
Com o deslocamento da parede de encontro ao maciço, se
observará um acréscimo de tensão sh sem alteração de sv. Em
determinado instante, a tensão horizontal se igualará a tensão
vertical. Nos estágios seguintes, ocorre uma rotação das tensões
principais. Com a continuidade do movimento, a tensão sh
aumentará até que a razão sh/sv atinja o limite superior e,
consequentemente, a ruptura. Neste caso, o solo terá a condição
passiva de equilíbrio plástico. Nesta condição, a razão entre a
tensão efetiva horizontal e a tensão efetiva vertical é definida pelo
coeficiente de empuxo, Kp, ou seja:
7 TEORIA DE RANKINE
(2)
Equações da Teoria de Rankine
7 TEORIA DE RANKINE
Tabela 2
Valores de K em função de φ 
A tabela acima indica valores de ka e kp para diferentes valores
de ângulo de atrito. (kp = 1/ka). Observa-se que quanto maior o
ângulo de atrito, maior o valor de kp e menor o valor de ka
7 TEORIA DE RANKINE
a) Solo não coesivo (c = 0)
8 EMPUXO TOTAL
Figura 12
Distribuição de empuxos (c = 0)
Figura 12
8 EMPUXO TOTAL
Admitindo-se agora, que a parede se desloque contra o
terrapleno (Figura 12b). Para que se produza o deslizamento,
o empuxo deverá ser maior do que o peso do terrapleno.
Assim, a tensão principal maior será horizontal. Neste caso,
valor do empuxo ativo Ep é igual a área do triângulo ABD e
pode ser obtido pela expressão:
Em ambos os casos, o ponto de aplicação do empuxo,
caso o maciço seja homogêneo estará a uma profundidade
de 2/3h.
8 EMPUXO TOTAL
b) Solo coesivo (c ≠ 0)
8 EMPUXO TOTAL
Distribuição de empuxos ativos (c  0) 
8 EMPUXO TOTAL
Figura 13
8 EMPUXO TOTAL
Fig. 13
8 EMPUXO TOTAL
Distribuição de 
Empuxos passivos 
(c  0)
2chKpc
Figura 13
Figura 13
8 EMPUXO TOTAL
1) Um muro de arrimo tem 5,5m de altura, determine o empuxo em
repouso por unidade de comprimento e a localização da resultante;
(considere ɣ= 17,3kN/m³ , φ = 36° e c = 0)
2) Desenhe o diagrama para a parede de 6,5m de altura. Calcule o
empuxo no estado ativo. Parâmetros do solo: φ = 10° , c´= 10,5kPa e
ɣ= 17,52kN/m³.
9 EXERCÍCIOS
1) Dados:
H = 5,5m
ɣ= 17,3kN/m³
φ = 36°
c = 0
9 EXERCÍCIOS
1) .
9 EXERCÍCIOS
1) .
9 EXERCÍCIOS
1) E se houvesse um aterro no pé do muro?
9 EXERCÍCIOS
1) .
9 EXERCÍCIOS
1) .
9 EXERCÍCIOS
33,3
1) .
9 EXERCÍCIOS
2) Desenhe o diagrama para a parede de 6,5m de altura. Calcule o
empuxo no estado ativo. Parâmetros do solo: φ = 10° , c´= 10,5kPa e
ɣ= 17,52kN/m³.
9 EXERCÍCIOS
2) Dados:
H = 6,5m
φ = 10°
C = 10,5kPa e
ɣ= 17,52kN/m³.
9 EXERCÍCIOS
2).
9 EXERCÍCIOS
2).
9 EXERCÍCIOS
2).
9 EXERCÍCIOS
2).
9 EXERCÍCIOS
(c = 0) 
Se existe uma sobrecarga uniformemente distribuída, q, aplicada
na superfície do terreno (Figura 14), a tensão vertical em qualquer
ponto do maciço aumenta naturalmente de igual valor. Assim:
10 CASOS COM SOBRECARGA
10 CASOS COM SOBRECARGA
Figura 14 – Aplicação do método de Rankine a casos com sobrecarga uniorme
10 CASOS COM SOBRECARGA
a seguir
11 CASOS DE MACIÇOS ESTRATIFICADOS
Aplicação do Método de Rankine a maciços 
estratificados 
Figura 15
Em muitos casos o aterro pode ser continuamente deslizante a um
ângulo α com a horizontal. Em tais casos o empuxo ativo ou
passivo de Rankine não são mais horizontais. Particularmente
eles são inclinados a um ângulo α com a horizontal. Se o aterro
está em um solo granular com ângulo de atrito de φ e c = 0.
A linha de ação dos resultados age a uma distância de h/3 medida
da parte inferior do muro. A tabela a seguir proporciona os valores
de ka para diversas combinações de α e φ.
12 CASOS COM ATERRO INCLINADO
12 CASOS COM ATERRO INCLINADO
c / ɣ.ƶ
α
φ = 15°
0,0 0,025 0,05 0,1 0,5 1,0
0 ka 0,5888 0,5504 0,5121 0,4353 -0,1785 -0,9459
0 kp 1,6984 1,7637 1,8287 1,959 3,0016 4,3048
5 ka 0,6069 0,5658 0,5252 0,4449 -0,1804 -0,9518
5 kp 1,6477 1,7156 1,7830 1,9169 2,9709 4,2782
10 ka 0,6738 0,6206 0,5707 0,4769 -0,1861 -0,9696
10 kp 1,4841 15641 1,6408 1,7882 2,8799 4,1993
15 ka 1,0000 0,7762 0,6834 0,5464 -0,1962 -1,0000
15 kp 1,0000 1,2506 1,3702 1,5608 2,7321 4,0718
α
φ = 20°
0,0 0,025 0,05 0,1 0,5 1,0
0 ka 0,4903 0,4553 0,4203 0,3502 -0,2099 -0,9101
0 kp 2,0396 2,1110 2,1824 2,3252 3,4678 4,8959
5 ka 0,5015 0,465 0,4287 0,3565 -0,2119 -0,9155
5 kp 1,9940 2,0669 2,1396 2,2846 3,4353 4,8669
10 ka 0,5394 0,4974 0,4564 0,3767 -0,2180 -0,9320
10 kp 1,8539 1,9323 2,0097 2,1622 3,3392 4,7812
15 ka 0,6241 0,5666 0,5137 0,4165 -0,2287 -0,9599
15 kp 1,6024 1,6962 1,7856 1,9556 3,1831 4,6422
12 CASOS COM ATERRO INCLINADO
c / ɣ.ƶ
α
φ = 25°
0,0 0,025 0,05 0,1 0,5 1,0
0 ka 0,4059 0,3740 0,3422 0,2784 -0,2312 -0,8683
0 kp 2,4639 2,5424 2,6209 2,7779 4,0336 5,6033
5 ka 0,4133 0,3805 0,3478 0,2826 -0,2332 -0,8733
5 kp 2,4195 2,4989 2,5782 2,7367 3,9986 5,5713
10 ka 0,4376 0,4015 0,3660 0,2960 -0,2394 -0,8884
10 kp 2,2854 2,368 2,4502 2,6135 3,8950 5,4765
15 ka 0,4860 0,4428 0,4011 0,3211 -0,2503 -0,9140
15 kp 2,0575 2,1474 2,2357 2,4090 3,7264 5,3228
α
φ = 30°
0,0 0,025 0,05 0,1 0,5 1,0
0 ka 0,333 0,3045 0,2756 0,2179 -0,244 -0,8214
0 kp 3,0000 3,0866 3,1732 3,3464 4,7321 6,4641
5 ka 0,03385 0,3090 0,2795 0,2207 -0,2460 -0,8260
5 kp 2,9543 3,0416 3,1288 3,3030 4,6935 6,4282
10 ka 0,3549 0,3233 0,2919 0,2297 -0,2522 -0,8399
10 kp 2,8176 2,9370 2,9961 3,1737 4,5794 6,3218
15 ka 0,3861 0,3502 0,3150 0,2462 -0,2628 -0,8635
15 kp 2,5900 2,6836 2,7766 2,9608 4,3936 6,1489
1) Calcule pelo método de Rankine, o valor do empuxo sobre um 
muro de 6m de altura. Dados: Ø = 30° , ɣ= 1,6t/m³ e carga 
distribuida 2t/m².
13 EXERCÍCIOS
1) .
13 EXERCÍCIOS
1) .
13 EXERCÍCIOS
2) Plotar as distribuições de tensão horizontal, correspondentes
a condição ativa e calcular o empuxo total. Considerar Ɣw =
9,81 kN/m³
13 EXERCÍCIOS
2) .
13 EXERCÍCIOS
2) .
13 EXERCÍCIOS
3) Calcule o empuxo ativo de Rankine para o muro com talude 
inclinado. Dados: z = 6,1m, α = 5°, ɣ = 16,5kN/m³, 
φ = 20° e c´= 10 kN/m².
13 EXERCÍCIOS
TABELA = 
3) .
13 EXERCÍCIOS
3) tabela
13 EXERCÍCIOS
c / ɣ.ƶ
α
φ = 15°
0,0 0,025 0,05 0,1 0,5 1,0
0 ka 0,5888 0,5504 0,5121 0,4353 -0,1785 -0,9459
0 kp 1,6984 1,7637 1,8287 1,959 3,0016 4,3048
5 ka 0,6069 0,5658 0,5252 0,4449 -0,1804 -0,9518
5 kp 1,6477 1,7156 1,7830 1,9169 2,9709 4,2782
10 ka 0,6738 0,6206 0,5707 0,4769 -0,1861 -0,9696
10 kp 1,4841 15641 1,6408 1,7882 2,8799 4,1993
15 ka 1,0000 0,7762 0,6834 0,5464 -0,1962 -1,0000
15 kp 1,0000 1,2506 1,3702 1,5608 2,7321 4,0718
α
φ = 20°
0,0 0,025 0,05 0,1 0,5 1,0
0 ka 0,4903 0,4553 0,4203 0,3502 -0,2099 -0,9101
0 kp 2,0396 2,1110 2,1824 2,3252 3,4678 4,8959
5 ka 0,5015 0,465 0,4287 0,3565 -0,2119 -0,9155
5 kp 1,9940 2,0669 2,1396 2,2846 3,4353 4,8669
10 ka 0,5394 0,4974 0,4564 0,3767 -0,2180 -0,9320
10 kp 1,8539 1,9323 2,0097 2,1622 3,3392 4,7812
15 ka 0,6241 0,5666 0,5137 0,4165 -0,2287 -0,9599
15 kp 1,6024 1,6962 1,7856 1,9556 3,1831 4,6422
4.3 – Teoria de Coulumb
Teoria de Coulumb (1776)
1.1 Influência do Atrito Solo-Muro
A hipótese de não haver atrito entre o solo e o muro, adotada pela
teoria de Rankine, raramente ocorre na pratica. Com o
deslocamento do muro, a cunha de solo também se desloca,
criando tensões cisalhantes entre o solo e o muro.
No caso ativo, o peso da cunha de solo causa empuxo no muro
e este será resistido pelo atrito ao longo do contato solo-muroe
pela resistência do solo ao longo da superfície de ruptura. Com
isso, ocorre uma redução no valor do empuxo se considerada a
condição em repouso. No caso passivo, ocorre o processo inverso.
1 INTRODUÇÃO
Tensões cisalhantes 
Haverá, portanto rotação das tensões principais, que antes
atuavam nas direções vertical e horizontal (Figura 16A).
Adicionalmente, a superfície de ruptura passa a ser curva,
como mostra a Figura 16B. Nesta figura, observa-se que a
curvatura é mais acentuada para situação passiva.
1 INTRODUÇÃO
Figura 16 A Figura 16 B
2 HIPÓTESES E FORMULAÇÃO GERAL
A teoria de Coulomb de empuxo de terra baseia-se na teoria de
equilíbrio limite; isto é, na existência de uma superfície de ruptura,
e, ao contrário da teoria de Rankine, admite a existência de atrito
solo – muro.
Em resumo são consideradas as seguintes hipóteses:
Solo homogêneo e isotrópico;
A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação;
Pode existir atrito solo-muro, isto é, em qualquer ponto da parede
haverá a mobilização de resistência ao cisalhamento por unidade
de área.
Isotropia é a propriedade que caracteriza as substâncias que possuem as mesmas
propriedades físicas independentemente da direção considerada.
2 HIPÓTESES E FORMULAÇÃO GERAL
- Uma pequena deformação da parede é suficiente para mobilizar
estado limite.
- Adota condição de equilíbrio limite:
*A resistência ao cisalhamento é mobilizada instantaneamente;
* estado plástico desenvolve-se numa cunha (como um bloco
rígido)
O método de Coulomb envolve a consideração da estabilidade de
cunha de solo adjacente à parede que tende a destacar-se da
massa de solo restante. Esta consideração é feita somente a
partir do equilíbrio das forças atuantes na cunha de solo. Com
isso verifica-se que o método não é exato pois não considera
equilíbrio de momentos.
2 HIPÓTESES E FORMULAÇÃO GERAL
A superfície que define a cunha de empuxo é, em princípio,
desconhecida. Desta forma, é necessário determinar, por
tentativas, qual a superfície que corresponde ao valor limite do
empuxo.
No caso da inexistência de atrito solo-muro, o método de
Coulomb fornece resultado idêntico a teoria de Rankine, para o
caso de parede vertical e superfície do terrapleno horizontal.
2 HIPÓTESES E FORMULAÇÃO GERAL
A Figura a seguir esquematiza a aplicação do método de Coulomb
para a determinação do empuxo ativo de um maciço de ângulo de
atrito f’ e coesão nula, atuando sobre a parede AB, sendo d
ângulo de atrito solo-paramento. Na cunha de solo ABC, atuam 3
forças: W, P e R.
Polígono 
de forças
2 HIPÓTESES E FORMULAÇÃO GERAL
A força W engloba o peso do solo e de eventuais sobrecargas no terreno.
Calculo do peso da cunha
A solução de um problema de previsão do empuxo de terra e de
deformação deve considerar as condições iniciais de tensões, a
relação tensão-deformação do solo e as condições de contorno
que descrevem a interação solo-estrutura.
A solução deste problema é extremamente complexa, sendo
utilizados, na prática, métodos simplificados.
2 HIPÓTESES E FORMULAÇÃO GERAL
Fig. 22
7.3.1 
3 EMPUXO ATIVO DE COULOMB
A tabela a seguir proporciona a variação de Ka para diversos
valores de α, φ, θ e δ.
θ(graus) θ(graus)
α 
(graus)
φ 
(graus)
α α 
(graus)
φ 
(graus)
α
0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25
0
28 0,3264 0,3629 0,4034 0,4490 0,5011 0,5616
10
28 0,3743 0,4187 0,4688 0,5261 0,5928 0,6719
29 0,3137 0,3502 0,3907 0,4363 0,4886 0,5492 29 0,3584 0,4026 0,4525 0,5096 0,5761 0,6549
30 0,3014 0,3379 0,3784 0,4241 0,4764 0,5371 30 0,3432 0,3872 0,4368 0,4936 0,5599 0,6385
31 0,2896 0,3260 0,3665 0,4121 0,4645 0,5253 31 0,3286 0,3723 0,4217 0,4782 0,5442 0,6225
32 0,2782 0,3145 0,3549 0,4005 0,4529 0,5137 32 0,3145 0,3580 0,4071 0,4633 0,5290 0,6071
33 0,2671 0,3033 0,3436 0,3892 0,4415 0,5025 33 0,3011 0,3442 0,3930 0,4489 0,5143 0,5920
34 0,2564 0,2925 0,3327 0,3782 0,4305 0,4915 34 0,2881 0,3309 0,3793 0,4350 0,5000 0,5775
35 0,2461 0,2820 0,3221 0,3675 0,4197 0,4807 35 0,2757 0,3181 0,3662 0,4215 0,4862 0,5633
36 0,2362 0,2718 0,3118 0,3571 0,4092 0,4702 36 0,2637 0,3058 0,3534 0,4084 0,4727 0,5495
37 0,2265 0,2620 0,3017 0,3469 0,3990 0,4599 37 0,2522 0,2938 0,3411 0,3957 0,4597 0,5361
38 0,2172 0,2524 0,2920 0,3370 0,3890 0,4498 38 0,2412 0,2823 0,3292 0,3833 0,4470 0,5230
39 0,2081 0,2431 0,2825 0,3273 0,3792 0,4400 39 0,2305 0,2712 0,3176 0,3714 0,4346 0,5103
40 0,1994 0,2341 0,2732 0,3179 0,3696 0,4304 40 0,2202 0,2604 0,3064 0,3597 0,4226 0,4979
41 0,1909 0,2253 0,2642 0,3087 0,3602 0,4209 41 0,2103 0,2500 0,2956 0,3484 0,4109 0,4858
42 0,1828 0,2168 0,2554 0,2997 0,3511 0,4117 42 0,2007 0,2400 0,2850 0,3375 0,3995 0,4740
5
28 0,3477 0,3879 0,4327 0,4837 0,5425 0,6115
15
28 0,4095 0,4594 0,5159 0,5812 0,6579 0,7498
29 0,3337 0,3737 0,4185 0,4694 0,5282 0,5972 29 0,3908 0,4402 0,4964 0,5611 0,6373 0,7284
30 0,3202 0,3601 0,4048 0,4556 0,5144 0,5833 30 0,3730 0,4220 0,4777 0,5419 0,6175 0,7080
31 0,3072 0,3470 0,3915 0,4422 0,5009 0,5698 31 0,3560 0,4046 0,4598 0,5235 0,5985 0,6884
32 0,2946 0,3342 0,3787 0,4292 0,4878 0,5566 32 0,3398 0,3880 0,4427 0,5059 0,5803 0,6695
33 0,2825 0,3219 0,3662 0,4166 0,4750 0,5437 33 0,3244 0,3721 0,4262 0,4889 0,5627 0,6513
34 0,2709 0,3101 0,3541 0,4043 0,4626 0,5312 34 0,3097 0,3568 0,4105 0,4726 0,5458 0,6338
35 0,2596 0,2986 0,3424 0,3924 0,4505 0,5190 35 0,2956 0,3422 0,3953 0,4569 0,5295 0,6168
36 0,2488 0,2874 0,3310 0,3808 0,4387 0,5070 36 0,2821 0,3282 0,3807 0,4417 0,5138 0,6004
37 0,2383 0,2767 0,3199 0,3695 0,4272 0,4954 37 0,2692 0,3147 0,6667 0,4271 0,4985 0,5846
38 0,2282 0,2662 0,3092 0,3585 0,4160 0,4840 38 0,2569 0,3017 0,3401 0,4130 0,4838 0,5692
39 0,2185 0,2561 0,2988 0,3478 0,4050 0,4729 39 0,2450 0,2893 0,3275 0,3993 0,4695 0,5543
40 0,2090 0,2463 0,2887 0,3374 0,3944 0,4620 40 0,2336 0,2773 0,3153 0,3861 0,4557 0,5399
41 0,1999 0,2368 0,2788 0,3273 0,3840 0,4514 41 0,2227 0,2657 0,3035 0,3733 0,4423 0,5258
42 0,1911 0,2276 0,2693 0,3174 0,3738 0,4410 42 0,2122 0,2546 0,5844 0,3609 0,4293 0,5122
EXERCÍCIOS 
1) Sobre um muro são dados: α = 10°, Ɵ = 5°, h = 4m e ɣ = 
15kN/m³. O ângulo de atrito do solo é Ø = 30°. Estime o 
empuxo ativo por Coulomb por unidade de comprimento.
EXERCÍCIOS 
2) Um muro de arrimo de 4,6m de altura com um aterro solo de ɣ 
= 15,7kN/m³, ângulo de atrito do solo é Ø = 35°, Ɵ = 5° e α=0°. 
Determine o empuxo por unidade de comprimento do muro.
EXERCÍCIOS EXTRA 
Plotar a distribuição de tensão horizontal, correspondentes a 
condição ativa e calcular o empuxo total de Rankine. 
Considerar Ɣw = 9,81 kN/m³.
EXERCÍCIOS EXTRA 
EXERCÍCIOS EXTRA