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Larissa Queiroz Minillo
Mecânica dos Solos II
© 2016 by Universidade de Uberaba
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reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, 
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sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, 
por escrito, da Universidade de Uberaba.
Universidade de Uberaba
Reitor 
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Editoração
Produção de Materiais Didáticos
Capa
Toninho Cartoon
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE
Sobre os autores
Larissa Queiroz Minillo
Professora Efetiva no curso de Engenharia Civil - Faculdades Inte-
gradas Rui Barbosa (FIRB) – Andradina/SP
Professora Efetiva no curso de Engenharia Civil – Faculdades Inte-
gradas de Três Lagoas (AEMS) – Três Lagoas/MS
Mestranda em Estruturas pela UNESP - Ilha Solteira/SP
Engenheira Civil pela UNESP – Ilha Solteira/SP
Sumário
Capítulo 1 Tensões no solo..............................................................9
1.1 TENSÕES ........................................................................................................ 10
1.1.1 Tensões devidas ao peso próprio do solo ............................................. 11
1.1.2 O princípio das tensões efetivas ............................................................ 14
1.1.3 Capilaridade ........................................................................................... 21
1.1.4 Tensões induzidas por carregamentos externos ................................... 24
Capítulo 2 Condutividade hidráulica dos solos ...............................29
2.1 A água no Solo ................................................................................................. 31
2.1.1 Permeabilidade dos Solos ..................................................................... 32
2.1.2 Permeâmetros ........................................................................................ 35
2.1.2.1 Permeâmetro de Carga constante ...................................................... 35
2.1.3 Fatores que influenciam na permeabilidade .......................................... 38
2.1.4 Força de Percolação .............................................................................. 41
Capítulo 3 Teoria da percolação de água em solos (2D) ................47
3.1 Fluxos uni, bi e tridimensionais ........................................................................ 50
3.1.2 Tipos de traçado de redes de fluxo ........................................................ 55
3.1.3 Percolação sob pranchada (cortina de estacas-prancha) ..................... 56
3.1.4 Redes de fluxo com o contorno não definido ........................................ 56
3.1.5 Rede de fluxo pelas fundações de uma barragem de concreto............ 57
3.1.6 Outros métodos de traçado de redes de fluxo ...................................... 58
3.1.7 Casos de ruptura de barragens por percolação .................................... 60
Capítulo 4 Teoria do adensamento: recalque, 
compressibilidade e adensamento ...................................................63
4.1 Conceitos ......................................................................................................... 66
4.1.1 Recalques .............................................................................................. 67
4.1.2 Adensamento ......................................................................................... 70
4.1.3 Campo versus laboratório ...................................................................... 73
4.1.4 Ensaio de Compressão Edométrica ...................................................... 75
4.1.5 Execução do ensaio ............................................................................... 76
4.1.6 Observações .......................................................................................... 77
4.1.7 Resultados do Ensaio Edométrico ......................................................... 78
4.1.8 Tensão de Pré-adensamento ................................................................. 80
4.1.9 Cálculo dos recalques em solos durante adensamento........................ 85
Capítulo 5 Teoria do adensamento: tensão de pré-adensamento, 
grau de adensamento e equação geral do adensamento ...............83
5.1 Encontrando a Tensão de Pré-Adensamento pelo Método de Casagrande .. 88
5.1.1 Encontrando a Tensão de Pré-Adensamento 
pelo Método de Pacheco Silva ....................................................................... 89
5.1.2 Porcentagem de Recalque – Grau de adensamento ............................ 90
5.1.3 Piezômetros ........................................................................................... 93
5.1.4 A solução Geral do Adensamento .......................................................... 94
Capítulo 6 Teoria do adensamento: aplicações ..............................101
6.1 Aplicação 1 ....................................................................................................... 106
6.1.1 Aplicação 2 ............................................................................................. 111
6.1.2 Determinando os valores de tensão de pré-adensamento .................. 113
Capítulo 7 Distribuições das tensões no solo – Boussinesq...........115
7.1 Propagação de Tensões no solo ..................................................................... 120
7.1.1 Considerações sobre as hipóteses da teoria da elasticidade ............... 121
7.1.2 Carga concentrada na superfície do terreno- Solução de Boussinesq . 122
7.1.3 A solução de Westergaard ..................................................................... 126
7.1.4 Carregamento uniformemente distribuído sobre uma placa retangular 126
Capítulo 8 Distribuições das tensões no solo – Love e Newmark ..129
8.1 Carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular 
– Solução de Love ................................................................................................. 136
8.1 A solução para carregamento triangular de comprimento finito 
– Gráfico de Fadum ........................................................................................ 138
8.1.2 A solução para carga uniforme sobre superfície qualquer de Newmark 
– Método dos “quadradinhos” ......................................................................... 139
Caro(a) Aluno(a), 
É com grande satisfação que lhes apresento este livro de Mecânica 
dos Solos II, que conta com 8 capítulos.
O primeiro capítulo, sobre tensões no solo, introduzirá o(a) aluno(a) 
ao estudo da interferência do peso próprio de um maciço terroso 
em suas tensões internas. Será notório neste capítulo, já, a influên-
cia da água nas tensões. 
O segundo e o terceiro capítulos, sobre condutividade hidráulica no 
solo em apenas uma dimensão, e a teoria da percolação da água 
no solo em duas dimensões, mostrarão o movimento da água per-
correndo um solo e a importância deste movimento.
Para o assunto adensamento, serão dedicados 3 capítulos deste 
livro, o primeiro introduzirá conceitos, apresentando partes impor-
tantes do estudo do adensamento, o segundo estudará tensões 
de pré-adensamento, grau de adensamento e equação geral do 
adensamento e o último capítulo desta parte, abordará aplicações 
práticas de casos de adensamento.
Voltando ao assunto de tensões nos maciços terrosos, o livro termi-
nará abordando tensões internas do maciço devido a carregamen-
tos externos, lembrando que no primeiro capítulo do livro já tinha 
sido abordado a questão das tensões internas do maciço devido 
ao peso próprio deste. Neste estudo de tensões internas devido ao 
Apresentação
peso próprio, o(a) aluno(a) é introduzido(a) a várias soluções que 
engenheiros cientistas propuseram, na busca por melhores resul-tados na avaliação deste efeito de carga externa.
Visto isto, espero que o(a) aluno(a) faça bom proveito do livro e 
que pesquise também em outras literaturas para melhor formação 
no curso de Mecânica dos Solos II, dentro da graduação em Enge-
nharia Civil. 
Bom Estudo!
Prof.a Larissa Queiroz Minillo
Larissa Queiroz Minillo
Introdução
Tensões no soloCapítulo
1
O curso de mecânica dos solos destina-se principalmente a 
estudantes de engenharia civil, pois apresenta conceitos e 
fundamentos que estão diretamente ligados a realidade cotidiana. 
No presente capítulo se dará ênfase às tensões do solo, 
que podem ser devido ao próprio peso, caso este que 
encontramos em grandes obras de compactação de aterros 
onde o solo está com seus grãos em contato e sob tensão, 
podem também ser tensões de natureza neutra, que são 
estas pressões de alívio quando o solo está com água, e 
tensões efetivas que seria a soma das duas anteriores.
O conceito de tensões encontra-se nesse capítulo 
desmitificado em equacionamentos simples e de fácil 
entendimento em aplicações práticas e usuais para a vida do 
engenheiro.
Para melhor entendimento deste capítulo, bem como os 
próximos capítulos de Mecânica dos Solos II é necessário 
que o aluno revise conceitos de Mecânica dos Solos I como 
índice de vazios do solo, volume, peso específico seco, peso 
específico úmido, solos saturados, solos secos, tipos de 
solos, dentre outros assuntos correlacionados à mecânica 
dos solos, geologia e geotécnica previamente estudados.
10 UNIUBE
• Compreender o conceito de tensão neutra, efetiva e total.
• Saber utilizar um diagrama de tensões para cálculo de 
tensões de cada horizonte de solo.
• Tornar-se apto(a) a desenvolver um diagrama de tensões.
• Tensões: Tensões devidas ao peso próprio do solo, O 
princípio das tensões efetivas e O princípio das tensões 
efetivas.
• Capilaridade.
• Tensões induzidas por carregamentos externos.
Objetivos
Esquema
O cálculo de tensões é de suma importância ao engenheiro 
civil geotécnico, pois permite a ele dimensionar grandes 
barragens de terra e aterros.
TENSÕES1.1
É de fundamental importância para a engenharia geotécnica o co-
nhecimento das tensões atuantes em um maciço de solo, e para 
tal deve-se lançar mão da mecânica dos sólidos deformáveis, que 
utiliza o conceito de tensões.
O conceito de tensão em um ponto vem da mecânica do contínuo e 
apesar do solo se tratar de um sistema trifásico (água, ar e partícu-
las sólidas) este conceito tem sido utilizado com sucesso na prática 
geotécnica. Além disso, boa parte dos problemas em mecânica dos 
solos pode ser encarada como problemas de tensão ou deforma-
ção planos.
 UNIUBE 11
1.1.1 Tensões devidas ao peso próprio do solo
No estudo da mecânica dos solos as tensões devidas ao peso têm 
valores consideráveis e não podem ser desconsiderados. Quando 
a superfície do solo é horizontal, aceita-se que a tensão atuante 
seja normal ao plano e que não há tensão cisalhante neste pla-
no, devido a anulação das forças tangenciais resultantes entre os 
grãos, como pode ser observado na Figura 1.
N F
T T T
F N N F
Figura 1 - Esquema representando grãos de solo com força peso 
(F) decomposta em força normal (N) e força cisalhante (T)
Fonte: Própria autora
Neste contexto, a tensão vertical devido ao preso próprio é dada 
pela equação:
Onde:
 
 
12 UNIUBE
 
 
Para que esta equação seja verdadeira, a superfície de contato 
considerada precisa estar acima do nível d’água (N.A.) conforme o 
plano A mostrado na Figura 2.
 
Figura 2 - Tensões em um plano horizontal
Fonte: Pinto (2002)
Quando o solo é constituído de camadas aproximadamente ho-
rizontais, a tensão vertical resulta da somatória do efeito das di-
versas camadas (PINTO, 2002). Podemos observar no exemplo a 
seguir:
 UNIUBE 13
3 m 
2 m 
2 m Argila yn = 18 kN/m3
Pedregulho yn = 20 kN/m3
Areia Fofa yn = 16 kN/m3
0 kPa 48 kPa 88 kPa 124 kPa
Figura 3 - Exemplo de perfil de solo e diagrama de tensões
Fonte: Própria autora
• Areia Fofa
• Pedregulho
• Argila
14 UNIUBE
1.1.2 O princípio das tensões efetivas
Pelo fato do solo possuir três fases: água, partículas e ar, quando 
as tensões normais se desenvolvem em qualquer plano, estando 
o solo saturado parte dessa tensão será suportada pelo esqueleto 
sólido do solo (partículas) e parte será suportada pela água presen-
te nos vazios. A pressão que atua na água que se encontra entre 
os grãos de solo é denominada pressão neutra e representada pela 
letra u. A pressão que atua nos contatos entre partículas é chama-
da de tensão efetiva e representada pela letra grega σ’.
A tensão efetiva responde por todas as características de resistên-
cia e de deformabilidade do solo. Observando esses fatos, Terzaghi 
(1943) postulou que a tensão normal total em um plano qualquer 
deve ser a soma da parcela de pressão neutra e de tensão efetiva:
Observando novamente a Figura 2 nota-se que o plano b encon-
tra-se abaixo do nível d’água, uma vez que o nível d’água está 
localizado em uma altura Zw e o plano B está localizado na altura 
ZB. Neste caso, a tensão total no plano B será a soma dos efeitos 
(tensões) das camadas superiores, porém desta vez com um alívio 
devido a água presente no solo. No plano B considerado a pressão 
da água é dada por:
Sendo o peso específico da água e u a pressão da água, tam-
bém chamada de poropressão ou tensão neutra.
Terzaghi (1943), observando tal efeito, estabeleceu o Princípio das 
Tensões Efetivas, que pode ser expresso em duas partes:
 UNIUBE 15
a. A tensão efetiva, para solos saturados, pode ser expressa por: 
Sendo σ a tensão total e u a pressão neutra.
b. Todos os efeitos mensuráveis resultantes de variações de 
tensões nos solos, como compressão, distorção e resistência 
ao cisalhamento são devidos a variações de tensões efetivas.
Portanto, em uma superfície horizontal cujas tensões atuam no pla-
no horizontal, as tensões cisalhantes serão nulas neste plano e 
desta forma a tensão vertical em qualquer profundidade pode ser 
calculada considerando o peso de solo acima daquela profundi-
dade (Z). Admitindo-se que o peso específico não varia, a tensão 
vertical total será obtida pelo produto do peso específico pela altura 
Z do ponto considerado:
Onde:
 
 
Na presença de água na camada de solo, a pressão neutra será:
16 UNIUBE
Onde:
 
 
 
Observe a Figura a seguir:
Figura 4 - Perfil do solo e diagrama de tensões
Fonte: Lodi (200-)
Na Figura 4 observa-se o Solo 1, com peso específico , encontra-
se acima do nível d’água, sem o efeito de pressão neutra, o solo 2 
encontra-se abaixo do nível d’água, ou seja, é um solo saturado, 
portanto sofre o efeito da pressão neutra, assim como solo 3, estes 
dois últimos têm sua tensão total majorada devido a ação da pres-
são neutra.
Entendendo melhor a Pressão Neutra e a Tensão Efetiva:
 UNIUBE 17
Imagine uma esponja de formato cubico imersa em água (Figura 
5) com 10 centímetros de largura, altura e comprimento, o compor-
tamento do solo na presença de água é parecido com o compor-
tamento da esponja, pois o solo é um conjunto de partículas que 
quando imerso em água tem os seus vazios preenchidos por ela. 
Na Figura 5 (a), a água está na superfície superior, as tensões re-
sultam do seu peso e da pressão d’água e a esponja encontra-se 
em repouso. Quando se coloca um peso de 10N sobre a esponja 
(situação b), as tensões no interior da esponja aumentam e a pres-
são aplicada será de:
Com o acréscimo de tensão, a esponja se deforma e expulsa água 
do seu interior para o meio, portanto o acréscimo de tensão foi 
efetivo.
Já na situação (c), houve um acréscimo de 10 cm no nível d’água, 
a pressão atuante sobre a esponja seria de:
As tensões no interior da esponja seriam majoradas como no caso 
anterior (b), mas neste caso a esponja não se deforma, a estrutura 
da esponja não se altera devido ao aumento de pressão causada 
pela água, portanto o acréscimo de tensão foi neutro.
18UNIUBE
Esponja em repouso Peso aplicado Elevação da água
Figura 5 - Simulação para o entendimento do con-
ceito de tensão neutra e tensão efetiva
Fonte: Pinto (2002)
Exemplo de cálculo: Calcule a tensão total a 15 metros de profun-
didade e mostre o diagrama de tensões.
Figura 6 - Perfil do solo
Fonte: Almeida (2012)
 UNIUBE 19
• De 0 m à -4 m (Argila orgânica mole preta)
Tensão vertical total na cota -4 m: 
Pressão neutra total na cota -7 m:
Tensão efetiva total na cota -7 m:
• De -4 a -7 (Areia fina argilosa mediamente compacta)
Tensão vertical total na cota -7 m: 
Pressão neutra total na cota -7 m: 
Tensão efetiva total na cota -7 m: 
20 UNIUBE
• De -7 a -15 (Argila Siltosa mole cinza escuro)
Tensão vertical total na cota -15 m:
Pressão neutra total na cota -15 m: 
Tensão efetiva total na cota -15 m: 
Tensão Efetiva
Pressão Neutra
Tensão Vertical Total
Figura 7 - Diagrama de tensões
Fonte: Almeida (2012)
 UNIUBE 21
1.1.3 Capilaridade
Em alguns solos ocorre o fenômeno da capilaridade, que é a as-
censão da água entre os interstícios de pequenas dimensões dei-
xados pelas partículas sólidas, além do nível do lençol freático. A 
altura alcançada depende da natureza do solo. A tensão superficial 
da água aproxima as partículas de solo e com isto há um aumento 
da tensão efetiva.
Figura 8 – Tensão capilar em água suspensa e coesão apa-
rente devido à aproximação das partículas
Fonte: Pinto (2002)
É preciso relembrar a propriedade da água, que em contato com um 
corpo sólido, tem forças químicas de adesão que fazem a superfí-
cie livre desta forme uma curva que depende do tipo de material.
22 UNIUBE
Figura 9 - Altura de ascensão e pressão da água em um tubo capilar
Fonte: Pinto (2002)
Em um tubo capilar sabe-se que a ascensão capilar (hc) é inversa-
mente proporcional ao raio do tubo (r) e peso específico da água (γ) 
e proporcional à temperatura (T).
A altura da ascensão capilar pode ser determinada igualando-se o 
peso da água no tubo com a resultante da tensão superficial que a 
mantém na posição acima do nível d’água livre.
Altura de ascensão dos materiais:
• Pedregulho (centímetros)
• Areia (1 a 2 metros)
• Silte (3 a 4 metros) 
• Argila (mais de 10 metros)
 UNIUBE 23
Em um solo onde existe a ação da capilaridade, considera-se sa-
turado para o cálculo de tensões efetivas, pressões neutras e ten-
sões totais.
Exemplo: Calcule a tensão efetiva, pressão neutra e tensão total no 
ponto C, dado que: 
• H1= 2 m
• H2= 1,8 m
• H3= 3,2 m
• Ponto B, cota= -2 metros
Tensão vertical total na cota -4 m: 
24 UNIUBE
• Ponto C, cota= -3,8 m 
Tensão vertical total no ponto C: 
Pressão neutra total no ponto C: 
Tensão efetiva total no ponto C: 
1.1.4 Tensões induzidas por carregamentos externos
Quando um maciço de solo recebe cargas externas (carregamen-
tos) em sua superfície, este maciço sofre um acréscimo de ten-
são internamente. Para estimar essas tensões utiliza-se a teoria da 
elasticidade, porém existem muitas limitações e críticas feitas ao 
emprego da teoria da elasticidade, mesmo assim esta tem apre-
sentado resultados satisfatórios de tensões atuantes no solo.
No Capítulo VIII – Distribuição de tensões, o assunto será aborda-
do com veemência.
 UNIUBE 25
1.1.5 Conclusão
Neste capítulo vimos que com os conhecimentos adquiridos em 
mecânica dos solos I, com índice de vazios, peso específico de 
solo, superfície de contato entre os grãos, entre outros, ajudam o 
engenheiro civil geotécnico a projetar grandes obras sobre estes 
solos, tendo calculado as tensões totais, efetivas e pressão neutra 
neste dado solo.
Por meio do estudo de Terzaghi, pôde-se aplicar teorias da mecâ-
nica e da elasticidade adaptadas para um maciço terroso, saturado 
ou não, tal descoberta foi de extrema importância para a aborda-
gem geotécnica atual: construção de grandes taludes e barragens.
Figura 10 - Exemplo de barragem de terra
Fonte: <http://www.engenhariacivil.com/barragens-terra>. Acesso em: 07 abr. 2016
26 UNIUBE
Figura 11 - Exemplo de talude
Fonte: <http://www.terraplenagem.net/dicionario/t/talude/>. Acesso em: 07 abr. 2016
PARADA PARA REFLEXÃO: A tensão efetiva vai ser sem-
pre de maior ou menor valor que a tensão total? A pressão 
neutra causa sempre alívio?
RELEMBRANDO: Tensão total é igual a tensão efetiva so-
mada a pressão neutra!
PARADA OBRIGATÓRIA: Para entender sobre tensões no 
solo é importante fazer uma revisão das unidades Pascal e 
Newton, pois são muito utilizadas.
 UNIUBE 27
SAIBA MAIS 
• TERZAGHI, K. Large Retaining Wall Tests. Engineering 
News Record Feb. 1, March 8, April 19 (1934).
• TERZAGHI, K. Theoretical Soil Mechanics. John Wiley and 
Sons, New York (1943).
• TERZAGHI, K. From theory to practice in soil mechanics: 
Selections from the writings of Karl Terzaghi, with bibliography 
and contributions on his life and achievents John Wiley and 
Sons (1967).
• TERZAGHI, K. American Society of Civil Engineers. Terzaghi 
Lectures, 1974-1982. American Society of Civil Engineers 
(1986).
• TERZAGHI, K.; PECK, R. B.; MESRI, G. Soil Mechanics in 
Engineering Practice. 3rd Ed. Wiley-Interscience (1996).
• TERZAGHI, K.; PROCTOR, R. V.; WHITE, T. L. Rock 
Tunneling with Steel Supports. Commercial Shearing and 
Stamping Co. (1946).
DICAS
Apostila com diversos exercícios do assunto:
<http://www.engenhariaconcursos.com.br/arquivos/MecDosSolos/
mecdossolosII.pdf>.
Larissa Queiroz Minillo
Introdução
Condutividade 
hidráulica dos solos
Capítulo
2
A condutividade hidráulica do solo é uma propriedade que 
expressa a facilidade com que a água nele se movimenta, 
tal parâmetro é de extrema importância para o uso na 
geotécnica, para cálculo de pressões neutras, por exemplo.
A primeira equação utilizada para quantificar o movimento 
da água no solo foi introduzida por Henry Darcy em 1856, 
que estudou colunas de areia saturada com água, chegando 
à Equação de Darcy, que estabelece a quantidade de água 
que passa por unidade de tempo e de área pelo meio poroso 
saturado é proporcional ao gradiente de potencial total da 
água nesse meio. A constante de proporcionalidade foi 
denominada de condutividade hidráulica.
Atualmente, a condutividade hidráulica do solo saturado descreve 
a funcionalidade de seu sistema poroso, podendo-se dizer que 
esta depende da estrutura do solo e não de sua textura. 
A permeabilidade influencia a taxa de recalque de um solo 
saturado quando sob carga, no caso de barragens de terra 
(earth dams), o dimensionamento está condicionado à 
permeabilidade dos solos usados. A estabilidade dos taludes 
(slopes) e estruturas de retenção podem ser severamente 
afetadas pela permeabilidade de solos envolvidos. Filtros 
construídos com solos são dimensionados com base na 
permeabilidade.
A permeabilidade é fundamental para avaliar a quantidade 
de percolação subterrânea, é fulcral para resolver problemas 
referentes ao bombeamento de água subterrânea das 
escavações da construção. É essencial também para analisar 
a estabilidade das estruturas de terra e muros de contenção de 
terra sujeitos à força de percolação.
Um dos exemplos atuais da importância do assunto foi a ruptura 
da barragem de terra de Fundão, Minas Gerais, especialistas 
confirmam que o rompimento ocorreu devido ao nível d’água 
acumulada na barragem, pois quando o solo fica saturado pode 
ocorrer o fenômeno de liquefação.
Figura 12 - Barragem do Fundão se rompeu no distrito de Bento 
Rodrigues, a 23 quilômetros de Mariana (MG) e inundou a região
Fonte: Corpo de Bombeiros/MG
 UNIUBE 31
A água no Solo2.1
A água ocupa grande parte dos vazios do solo, por isso a importân-
cia do estudo desta. A água se desloca no interior do solo quando 
é submetida a diferenças de potencial, o estudo da condutividade 
hidráulica dos solos diz respeito a esse movimento. A importância 
deste estudo está no grande número de problemas práticos que são 
influenciados pela condutividade, estes podem ser separadosem:
a. No cálculo das vazões.
b. Na análise de recalques.
c. Nos estudos de estabilidade.
O esquema montado na Figura 13 ajuda a entender o conceito de 
percolação utilizando um permeâmetro.
• Compreender a importância do estudo da água no solo.
• Calcular permeabilidade de solos diversos.
• Água no solo.
• Permeabilidade dos solos.
• Permeâmetros: Permeâmetro de carga constante e 
Permeâmetro de carga variável
Objetivos
Esquema
32 UNIUBE
Figura 13 - Tensões no solo em um permeâmetro sem fluxo
Fonte: Pinto (2002)
Observe a areia ocupando a altura L no permeâmetro, há sobre ela 
uma coluna Z de água. Não há fluxo, pois na bureta que alimenta o 
permeâmetro a água se encontra na mesma cota (N.A.)
Observe o diagrama de tensões indicando tensões totais (σ) e neu-
tras (u) ao longo da profundidade. Enquanto existe apenas água no 
permeâmetro, a tensão indicada no diagrama é apenas a neutra. 
No intervalo de altura em que há areia com água, as tensões totais 
sofrem efeito da pressão neutra.
2.1.1 Permeabilidade dos Solos
Denomina-se permeabilidade a propriedade dos solos que indica a 
maior ou menor facilidade que os solos oferecem à passagem da 
água através dos seus vazios.
 UNIUBE 33
• A Lei de Darcy
Figura 14 - Água perolando em um permeâmetro
Fonte: Pinto (2002)
Darcy, em 1850, verificou que a altura de água, vide Figura, a área 
do permeâmetro e o comprimento L da areia influenciavam a vazão 
do permeâmetro, portanto:
Sendo k uma constante para cada solo, que recebe o nome de co-
eficiente de permeabilidade.
A relação h por L é chamada de gradiente hidráulico, expresso pela 
letra i, portanto:
34 UNIUBE
Sabendo-se que vazão é uma relação de velocidade da água pela 
área em que esta passa (conceito de hidráulica e fenômeno de 
transporte).
Então, a velocidade com que a água passa pela areia no permeâ-
metro é chamada de velocidade de percolação, e é dada por:
O coeficiente de permeabilidade k, da fórmula acima, indica a ve-
locidade de percolação da água quando o gradiente é igual a um. 
Costumeiramente k é referido em metros por segundo ou centíme-
tros por segundo, e como para solos seu valor é muito baixo, é ex-
presso por potências de 10, como os exemplos da Tabela a seguir:
Tabela 1 - Coeficientes de permeabilidade em relação ao tipo de solo
Tipos de solo K (cm/segundo)
Pedregulho >1
Areias puras 1 a 10-3
Areias finas siltosas e argilosas, siltes argilosos 10-3 a 10-7
Argila <10-8
Fonte: Arquivo Pessoal
Para efeito de comparação, um concreto bem dosado e vibrado 
sem fissuras tem coeficiente de permeabilidade da ordem de 10-
12cm/segundo, não diferindo muito de uma argila muito plástica (be-
tonita ou montmorilonita).
 UNIUBE 35
2.1.2 Permeâmetros
Permeâmetros são aparelhos que medem em laboratório os co-
eficientes de permeabilidade dos solos. Existem dois tipos de 
Permeâmetros:
• Carga constante.
• Carga variável.
2.1.2.1 Permeâmetro de Carga constante
 A vazão é constante por meio da amostra de solo, pela lei de Darcy, 
portanto:
A carga h é mantida constante durante todo o ensaio. Recolhe-se 
a água que circulou mediante a amostra em uma vasilha graduada. 
Tem-se então que:
Sendo Q a vazão, V o volume e t o tempo.
Relacionando com a equação anterior, temos:
Ou:
36 UNIUBE
Durante o ensaio mede-se o volume e o tempo t. O corpo de prova 
tem altura L e seção transversal de área A determinada anterior-
mente, e h é a altura constante do permeâmetro.
Figura 15 - Esquema de permeâmetro de carga variável
Fonte: Pinto (2002)
Nos solos pouco permeáveis (ou muito impermeáveis) o volume 
V de água que passa pela amostra é muito pequeno, mesmo para 
grandes intervalos de tempo t. Em face disto, o permeâmetro de 
carga constante só é empregado para solos mais permeáveis 
(areias e pedregulhos).
2.1.2.2 Permeâmetro de Carga Variável
Neste tipo de permeâmetro, observa-se a velocidade de queda 
d’água em um tubo de vidro de área transversal a. São conhecidas 
as alturas L do corpo de prova e a área transversal A.
 UNIUBE 37
Figura 16 - Esquema de permeâmetro de carga variável
Fonte: Pinto (2002)
A velocidade de descida d’água no tubo é:
Sendo o sinal negativo devido h diminuir com o tempo. A vazão da 
água no tubo será:
A vazão por meio da amostra, pela lei de Darcy, é:
Igualando-se as vazões acima, tem-se:
38 UNIUBE
Ou:
Integrando entre os limites (hi, hf) e (ti,tf), temos:
Daí:
Deixando a equação em função de k:
Ou:
2.1.3 Fatores que influenciam na permeabilidade
Para auxiliar na análise dos fatores que influenciam na permeabili-
dade tomemos da hidráulica a equação de Poiseuille, que exprime 
a velocidade média v de um fluído, de densidade e viscosidade 
µ, por um tubo capilar de diâmetro D, sob um gradiente i. Poiseuille 
demonstrou que a velocidade do fluído no tubo capilar é proporcio-
nal ao quadrado do diâmetro do tubo, ou seja:
 UNIUBE 39
2.1.3.1 Influência do tamanho dos grãos:
Considerando que os vazios do solo estão interligados entre si, po-
demos imaginá-los formando tubos capilares. Logo, a velocidade 
de percolação da água nos interstícios do solo será proporcional 
ao quadrado da dimensão dos vários. Por outro lado, é evidente 
que as dimensões dos vazios em um solo são proporcionais ao 
tamanho dos grãos que o formam. Logo, podemos concluir que a 
permeabilidade varia a grosso modo com o quadrado do tamanho 
dos grãos. Tal conclusão foi também obtida experimentalmente por 
Hazen, que determinando a permeabilidade de areias de diâmetro 
efetivo (De ou Dlo) entre 0,1 e 3 mm de coeficiente de não uniformi-
dade (U) inferior a 5, chegou a seguinte equação:
Sendo as unidades de k em cm por segundo, e de De em cm. A 
equação de Hazen é muito útil para estabelecer estimativas gros-
seiras de permeabilidade das areias.
2.1.3.2 Influência da temperatura e da viscosidade da água
Pela equação de Poiseuille e pela lei de Darcy podemos estabele-
cer a seguinte correlação:
Ou seja, a permeabilidade é proporcional a densidade do fluido 
(água) e inversamente proporcional à viscosidade do mesmo. Por 
sua vez, estes parâmetros variam com a temperatura, sendo que 
a densidade da água varia muito quando comparada com as varia-
ções da viscosidade para os mesmos intervalos de temperatura, 
como mostra a Tabela a seguir:
40 UNIUBE
Tabela 2 - Relação entre temperatura, densidade e viscosidade
Temperatura (°C) Densidade (g/cm³) Viscosidade (milipoise)
0 1 17,9
30 0,995 8,0
100 0,959 2,8
Fonte: Mello e Teixeira (1971)
Considerando, então, a permeabilidade de um solo às temperatu-
ras ti e tf, podemos escrever:
Considerando constante, sem grande erro. Conclui-se, então, 
que a permeabilidade aumenta com a temperatura.
2.1.3.3 Influência do índice de vazios
Experimentalmente, verificou-se que o coeficiente de permeabilida-
de das areias varia linearmente com o índice de vazios (e) do solo, 
como visto na equação:
Para as argilas, essa dependência é dada pela equação:
2.1.3.4 Influência do arranjo estrutural
A disposição das partículas que formam a estrutura de um solo, 
tem influência sensível na permeabilidade dos solos. Nos solos 
 UNIUBE 41
estratificados, onde os grãos estão dispostos segundo uma direção 
preponderante, a permeabilidade no sentido horizontal é maior do 
que no sentido vertical, isto é:
Verificou-se também que o coeficiente de permeabilidade de uma 
amostra de solo indeformada (natural) é maior do que a de solo 
solto:
A influência do arranjo das partículas na permeabilidade de um solo 
também é constatada nos maciços compactados mecanicamente:
2.1.3.5 Influência do grau de saturação
O grau de saturação dos solos, ou seja, a presença de ar nos seus 
vários, tem influência marcante na permeabilidade. Verifica-se que 
a presença de ar esmo em pequenas quantidades dificulta a passa-
gem da água pelos poros, resultando então maiores permeabilida-
des à medida que os solos tendem a tornar-se saturados.
2.1.4 Força de Percolação
A carga total (nos solos,a soma das cargas piezométrica e alti-
métrica) perdida na percolação da agua através do solo, é trans-
ferida aos grãos por atrito viscoso, de forma que nos solos onde 
existe um fluxo de água desenvolve-se uma pressão efetiva cha-
mada pressão de percolação, que tem o sentido do fluxo da água 
42 UNIUBE
e que deverá ser somada vetorialmente à pressão efetiva devida 
ao peso de terra, a fim de se obter a resultante das pressões efeti-
vas sobre o elemento do solo considerado e da qual depende seu 
comportamento. 
A força de percolação em um elemento de solo de área A, onde a 
perda de carga é u, será:
Que é aplicada uniformemente em um volume (L vezes A) de solo 
isotrópico. A força por unidade de volume do solo será:
Sempre há movimento de água através de um solo, seja ele uma 
areia ou argila, haverá uma força de percolação aplicada no maciço 
terroso.
As forças de percolação são quase sempre as responsáveis pela 
instabilidade de maciços terrosos, tais como cortes, taludes de 
aterros e de barragens de terra. O sentido dessas forças, em mui-
tos casos, é o mesmo sentido do movimento de escorregamento do 
maciço que pode causar sua ruptura.
2.1.5 Conclusão
Vimos, neste capítulo, a importância do movimento da água no solo, 
como se calcula este movimento mediante experiências feitas com per-
meâmetros, ajudando assim a entender como se dá esse movimento. 
É necessário que fique claro para o(a) aluno(a) também a 
 UNIUBE 43
importância desde movimento no maciço terroso completo, pois 
no próximo capítulo tal movimento será estudado com maior vigor, 
visto que este movimento é causador de rupturas em maciços ter-
rosos, fato este que não é raro em barragens de terra.
Relacionando com as pressões neutras, é interessante lembrar 
que a água no solo (solos saturados) tem relação com as tensões 
totais de um solo por meio da pressão neutra, interferindo assim na 
capacidade de suporte do mesmo.
Tendo compreendido este capítulo, o(a) aluno(a) está apto(a) a 
aprofundar seus estudos sobre a água no solo agora partindo para 
o estudo da percolação em uma análise em duas dimensões. Na 
Figura 17 vemos uma barragem de terra no rio Tietê, sem proble-
mas com o efeito da água no solo.
Figura 17 - Barragem da Usina Três Irmãos, maior hidrelétrica construída no Rio Tietê
Fonte: Acervo Fundação Energia e Saneamento
44 UNIUBE
PARADA PARA REFLEXÃO 
Para evitar rupturas por movimento da água no solo, como 
liquefação, por exemplo, teríamos que impedir que este 
solo se saturasse? Não, temos que reduzir o coeficiente de perme-
abilidade k de tal maneira que se permita a passagem de água sem 
que o maciço se rompa.
IMPORTANTE! 
Fixar a partir de agora que a água no solo tem uma dire-
ção e sentido, pois tal conceito é utilizado nos capítulos 
seguintes.
PARADA OBRIGATÓRIA 
O fenômeno de areia movediça está totalmente ligado a 
água no solo e ocorre quando a pressão neutra se iguala à 
pressão total, tornando a pressão efetiva nula. Areias finas 
são mais susceptíveis a tal fenômeno do que as grossas.
SAIBA MAIS 
Leia sobre Análise Dinâmica de Rompimentos em Barragem de 
Rejeitos, de Francisco Maia Neto, no link:
<http://www.mrcl.com.br/xiiitrabalhos/18p.pdf>.
 UNIUBE 45
Assista ao ensaio de permeabilidade em argilas (ensaio este impor-
tante para construção de aterros e barragens de terra), nos links:
<https://www.youtube.com/watch?v=XW78H97cbpM>.
<https://www.youtube.com/watch?v=-mdweJo8sC8>.
SINTETIZANDO... 
Mediante o coeficiente de permeabilidade sabemos a va-
zão de água no solo.
DICAS 
Leia mais sobre água no solo no link:
<ftp://ftp.ifes.edu.br/cursos/Transportes/CelioDavilla/
Solos/Literatura%20complementar/Apostila%20FURG%20
Solos/12-%20AGUA_NO_SOLO.pdf>. 
AMPLIANDO O CONHECIMENTO 
Consultar capítulo sobre água no solo do livro Curso Básico 
de mecânica dos solos em 16 aulas, de Carlos de Souza 
Pinto.
Larissa Queiroz Minillo
Introdução
Teoria da percolação de 
água em solos (2D)
Capítulo
3
O estudo da água no solo, como visto no capítulo anterior, 
é de extrema importância para a geotecnia. Neste capítulo 
estudaremos o caminho que a água faz ao longo de um 
maciço terroso, este caminho é estudado por meio do 
desenho de redes de fluxo.
As redes de fluxo permitem determinar facilmente uma vazão 
percolada mediante um maciço terroso, permitindo assim, 
calcular a pressão da água nos poros (pressão neutra) e, 
logo, a tensão efetiva em cada ponto do maciço.
Por meio deste, portanto, é possível avaliar o risco de 
ocorrência de acidentes resultantes de quick condition 
(anulação da resistência, passando o solo a comportar-se 
como líquido denso) já citado no capítulo anterior como 
ruptura por liquefação.
É possível também adotar medidas de prevenção contra o 
piping (erosão interna) e o levantamento hidráulico, outros 
dois tipos de ruptura comuns em barragens, a colocação de 
filtros é uma boa medida de prevenção.
A permeabilidade, como já visto, influencia também na taxa 
de recalque de um solo saturado quando sob carga. No caso 
• Relacionar os tipos de fluxo.
• Aprender como se dá a percolação em permeâmetros 
curvos.
• Relacionar permeâmetros curvos com situações reais 
de percolação de água.
• Fluxo uni, bi e tridimensionais.
• Permeâmetro curvo: Linhas de Fluxo, linhas 
equipotenciais e escolha das linhas de fluxo.
• Tipos de traçado de redes de fluxo: Percolação sob 
pranchada, redes de fluxo com contorno não definido 
e rede de fluxo pelas fundações de uma barragem de 
concreto.
• Outros métodos de traçado de rede de fluxo.
• Casos de ruptura de barragens por percolação: caso 
Teron e caso Dale Dyke.
Objetivos
Esquema
de barragens de terra (earth dams), o dimensionamento está 
condicionado à permeabilidade dos solos usados, ou seja, 
ligado ao coeficiente k.
A estabilidade dos taludes (slopes) e estruturas de retenção 
podem ser severamente afetadas pela permeabilidade 
de solos envolvidos. Filtros construídos com solos são 
dimensionados com base nesta permeabilidade.
Analisando mais profundamente, é possível resolver problemas 
de fundação de barragens, avaliando a percolação subterrânea, 
visto ao final deste capítulo, que é de muita importância na 
solução de problemas referentes ao bombeamento (pumping) 
de água subterrânea na base da construção.
 UNIUBE 49
Fluxos uni, bi e tridimensionais3.1
Diz-se que um fluxo é unidimensional quando este ocorre sempre 
na mesma direção, como no caso dos permeâmetros. Quando as 
partículas de água se deslocam em qualquer direção através do 
solo, o fluxo é tridimensional. A migração de água para um poço, 
por exemplo, é tridimensional.
Quando a água percorre caminhos curvos, mas ainda em planos 
paralelos, o fluxo é bidimensional é o caso da percolação pelas 
fundações de uma barragem.
No capítulo anterior, o fluxo era unidimensional e podia ser então calcu-
lado pela Lei de Darcy. Uma gota de água que entra em contato com a 
face interior da areia se dirigia retilineamente para a face superior. Esta 
linha reta que o fluxo de água percorre chamamos de linha de fluxo, as 
próprias paredes verticais do permeâmetro são linhas de fluxo.
Figura 18 - Linhas de fluxo representadas por setas azuis
Fonte: Pinto (2002) modificada
50 UNIUBE
Considerando agora as cargas, em qualquer ponto da superfície 
interior, as cargas são todas iguais, pode-se dizer, portanto, que a 
linha formada por estes pontos de cargas iguais é uma linha equi-
potencial. Traçando as linhas equipotenciais têm-se linhas horizon-
tais, como a seguir:
Figura 19 - Linhas equipotenciais representadas em vermelho
Fonte: Pinto (2002)
A definição básica de que linhas de fluxo devem 
determinar canais de igual vasão e que as equi-
potenciais devem determinar faixas de perda de 
potencial de igual valor leva ao fato que, no fluxo 
unidimensional, a rede resultante seja constituída 
de retângulos. Entretanto, tanto para o traçado da 
rede como para os cálculos, é conveniente esco-
lher espaçamentosiguais entre as linhas, forman-
do quadrados (PINTO, 2002, p.132).
Visto isso, temos que a rede de fluxo é composta por:
• Número de canais de fluxo: Nf.
 UNIUBE 51
• Número de faixas de perda de potencial: Nd.
• Dimensões de um quadrado genérico, sendo b a largura do 
canal de fluxo e l a distância entre equipotenciais.
Usemos, então, as Figuras 18 e 19como exemplo:
• Nf=6
• Nd=7
Adotemos h= 14 cm (altura da faixa de areia) e l= 12 cm (largura do 
permeâmetro) temos que:
• b=14/7 = 2cm
• l=12/6 = 2cm
Logo, o elemento da rede de fluxo neste caso tem 2x2cm e aparên-
cia como o da Figura 20.
Figura 20 - Elemento da rede de fluxo
Fonte: Pinto (2002)
52 UNIUBE
Traçada então a rede de fluxo, podemos encontrar as seguintes 
informações:
• Perda de carga entre equipotenciais
• Gradiente hidráulico
• Vazão no elemento da rede de fluxo
• Vazão total no permeâmetro
Dado em cm³/s
3.1.1 Permeâmetro curvo
Considerando um permeâmetro curvo, suas linhas de fluxo serão 
também curvas e com comprimento igual a arcos de curva, por 
exemplo, a Figura a seguir, que tem o arco AC medindo 12 cm e o 
arco BD 24 cm. 
 UNIUBE 53
Figura 21 - Rede de fluxo em permeâmetro curvo
Fonte: Pinto (2002)
Observações que devem ser feitas para este caso:
• Linhas de fluxo
As linhas de fluxo mais perto do arco AC, bem como o próprio arco 
AC, terão gradiente de valor maior do que as linhas perto do arco 
BD, bem como o próprio arco BD. Isso significa que as velocidades 
de percolação são maiores junto ao arco AC e menores junto ao 
arco BD.
• Linhas equipotenciais
A diferença de carga que causa a percolação neste caso é de 6 
cm, tal carga se dissipa linearmente ao longo de cada linha de fluxo 
(reduz o valor). Nas linhas próximas ao arco AC as linhas equipo-
tenciais distanciam entre si menor valor do que as linhas equipo-
tenciais próximas ao arco BD. As linhas equipotenciais devem ser 
sempre desenhadas ortogonais ao arco.
54 UNIUBE
• Escolha das linhas de fluxo
Apesar de os elementos de rede serem de diferentes tamanhos, 
conforme visto na Figura 21, a vazão em cada elemento deste de-
vem ser iguais entre si, pois as linhas de fluxo se afastam entre si 
quando as linhas equipotenciais também se afastam, maior afas-
tamento das equipotenciais indica menor gradiente. Mas como se 
pretende a mesma vazão nos canais, o menor gradiente deve ser 
compensado com uma maior largura do canal (elemento). Visto 
isso e observando a lei de Darcy aplicada ao elemento da rede:
Sabe-se, então, que a vazão em todos os canais (elementos) será 
a mesma se a relação b/l for constante, que é o que acontece.
3.1.2 Tipos de traçado de redes de fluxo
O traçado de redes de fluxo então passou a ser utilizado como 
determinação gráfica, proposto pelo físico alemão Forchheimer, e 
consiste em um traçado a mão livre de diversas linhas de fluxo e 
equipotenciais, respeitando as condições de que elas se intercep-
tem ortogonalmente e que formem figuras sempre quadradas. 
Também é necessário atender as condições limites que em cada 
condição de carga e de fluxo, limitam a rede de percolação, ou 
seja, cada elemento da rede deve ter a mesma vazão unitária (q).
 UNIUBE 55
3.1.3 Percolação sob pranchada (cortina de estacas-prancha)
A água que percola o solo arenoso da fundação de um reservatório 
tem, próxima a face jusante, o fluxo vertical e ascendente, o que 
pode originar o fenômeno da areia movediça. Para combater esse 
problema, faz-se um filtro de material granular, permitindo assim 
livre drenagem da água.
Figura 22 - Linhas de fluxo em uma cortina de estacas-prancha
Fonte: Marangon (2009) 
3.1.4 Redes de fluxo com o contorno não definido
Um exemplo clássico deste tipo de rede de fluxo são as barragens 
de terra, pois esta apresenta um fluxo de água graças às diferen-
ças de carga entre montante e jusante. Com o intuito de proteger 
a barragem do fenômeno de erosão interna (piping) e para permitir 
rápida drenagem da água que percola através da barragem, utili-
za-se filtros construídos na parte inferior da barragem, como filtros 
horizontais, esquematizado na Figura a seguir.
56 UNIUBE
Figura 23 - Linhas de fluxo em uma barragem
Fonte: Marangon (2009)
Neste caso, tem-se uma condição de contorno indefinida: a linha 
de fluxo superior não é previamente conhecida.
O primeiro passo é a estimativa da linha de fluxo superior (também 
chamada de linha freática superior). Existem vários métodos para 
essa estimativa, por exemplo, o cálculo em função da geometria do 
talude de jusante e da presença ou não de filtros.
3.1.5 Rede de fluxo pelas fundações de 
uma barragem de concreto
Traçadas as redes de fluxo, como apresentado na Figura 24, as 
seguintes informações podem ser obtidas:
• Vazão
• Gradientes
• Cargas e Pressões
Da mesma forma que os traçados anteriores.
 UNIUBE 57
Figura 24 - Rede de fluxo pelas fundações de uma barragem de concreto
Fonte: Pinto (2002)
Observa-se que, pela rede, ocorre uma situação crítica junto ao pé 
de jusante da barragem, onde a distância entre as duas últimas li-
nhas de equipotenciais é mínima (próximo ao ponto C). Note que a 
rede de fluxo deste exemplo é simétrica e, portanto, o gradiente junto 
ao pé de montante tem valor igual ao pé de jusante, porém a força 
de percolação nesta posição tem sentido descendente, e sua ação 
se soma à ação da gravidade, aumentando as tensões efetivas. 
Portanto, problema de areia movediça se restringe ao pé da jusante. 
Para combater este problema, faz-se um filtro de material granular, 
permitindo assim a livre drenagem das águas.
3.1.6 Outros métodos de traçado de redes de fluxo
Redes de fluxo podem ser obtidas por outros métodos, por exem-
plo, por meio de modelos físicos. Ao colocar um solo arenoso em 
uma caixa de madeira com face de vidro, cria-se uma percolação 
e por meio de corantes é possível observar as linhas de fluxo nela 
formadas, e as linhas equipotenciais podem ser desenhadas utili-
zando as linhas de fluxo (lembrando dos quadrados com ângulos 
de 90° nos cantos).
58 UNIUBE
Figura 25 - Trajetória do produto corante no meio poro-
so da barragem homogênea com dreno horizontal
Fonte: <http://paginas.fe.up.pt/~shrha/publicacoes/pdf/JHRHA_5as/14_
JCMarques_EstudosEmModelo.pdf>. Acesso em: 08 abr. 2016
Pode-se aplicar outras analogias semelhantes como a dissipação 
de calor ou de potencial elétrico, ambos podem ser expressos pela 
equação de Laplace, que ajuda no caso da percolação também.
Métodos numéricos também podem ser utilizados no processo, 
como uma rede de elementos finitos, que pode calcular com uma 
precisão boa a carga total em cada ponto. O método dos elemen-
tos de contorno também obtém sucesso neste tipo de análise. 
Atualmente, diversos programas de computador empregando o 
método dos elementos finitos estão disponíveis para o cálculo de 
redes em materiais não homogêneos.
O traçado gráfico é importantíssimo para o aprendizado da mecâni-
ca dos solos por ser um método natural de se desenvolver a neces-
sária sensibilidade para interpretação das redes de fluxo e o enca-
minhamento dos problemas de percolação em obras geotécnicas.
 UNIUBE 59
3.1.7 Casos de ruptura de barragens por percolação
• Teton
Um acidente amplamente documentado é da barragem no rio Teton 
(EUA). Terminada em 1975, seu enchimento continuou até o ano 
seguinte, quando se deu a ruptura. Era uma estrutura de terra com 
93 metros de altura que se rompeu devido à erosão interna provo-
cada pela percolação de água através do maciço. Não demorou 
mais de duas horas entre a detecção do problema e o rompimento, 
que causou uma cheia em que 11 pessoas morreram. O fenômeno 
é conhecido como “piping” ou erosão tubular regressiva, que difere 
da erosão superficial por ocorrer internamente ao maciço e contrá-
rio ao sentido do fluxo (ARTHUR, 1976; AZEVEDO, 2005).
Figura 26 - Barragem no rio Teton, EUA: Erosão interna cau-
sada por percolação resultou no rompimento em 1976
Fonte: <http://www.unicamp.br/unicamp/ju/605/por-barra-gens-mais-seguras>. Acesso em: 08 abr. 2016
60 UNIUBE
• Dale Dyke
Um dos primeiros casos de rompimento da era moderna, a barra-
gem de Dale Dyke foi construída em 1858 para atender à grande 
demanda por infraestrutura na Inglaterra da época da Revolução 
Industrial – a barreira de terra rompeu em 1864. Um trabalhador 
que passava pelo local, em dia de chuva forte, ouviu um “crack” 
ao longo da estrutura, onde se abriu uma fissura não maior que 
um dedo. Mas não houve tempo para esvaziar o reservatório e o 
rompimento causou uma enchente que resultou em mais de 250 
mortes. Somente em 1978 concluiu-se que a causa foi a percola-
ção de água através do núcleo impermeabilizante de areia, o que 
desestruturou o talude da represa (HARRISON, 1974).
3.1.8 Conclusão
Vimos neste capítulo a importância do estudo da água no solo, tan-
to para estudo das tensões no solo como para fenômenos ocorren-
tes por saturação do solo. É importante salientar ao estudante de 
engenharia civil que a preocupação com a água é uma constante 
na vida do engenheiro, sendo esta a causadora de vários tipos de 
patologias e colapsos.
Segundo Daniel Aguiar, engenheiro civil, autor da dissertação “A 
questão da segurança de barragens é premente”, o primeiro critério 
do índice de novos critérios e parâmetros presentes em sua tese 
e encaminhado para o Conselho Nacional de Recursos Hídricos, 
em ordem de importância, refere-se à presença de percolação e 
vazamentos nas barragens, seguido de deformações e recalques 
e da existência de população a jusante (à frente da barragem) com 
potencial prejuízo material e de perda de vidas. 
 UNIUBE 61
Percolação é o caminho que a água percorre pela 
estrutura (que pode ser um maciço de terra), pro-
blema normalmente evitado por um núcleo imper-
meabilizado no corpo da barragem. A altura da 
barragem também é importante, pois quanto mais 
alta, maior o volume de água contida e de aten-
ção necessária (AGUIAR, 2014, p.1).
PARADA PARA REFLEXÃO 
Por meio do conhecimento sobre percolação 2D da água em 
solos, é possível se prevenir grandes desastres naturais.
RELEMBRANDO 
A percolação é regida pela Lei de Darcy.
SAIBA MAIS 
Vale a pena conferir o trabalho dos estudantes portugueses José 
Couto Marques e César Romão Ferreira sobre a Percolação de 
Água em Solos – Estudos em Modelo Reduzido:
<http://paginas.fe.up.pt/~shrha/publicacoes/pdf/JHRHA_4as/22_
JCoutoMarques_APercola%C3%A7%C3%A3o.pdf>. 
62 UNIUBE
SINTETIZANDO... 
Linha de fluxo: o contorno submerso da barragem, por 
exemplo, até a linha inferior impermeável (maciço rochoso) 
são linhas de fluxo.
Linhas equipotenciais: as superfícies livres do terreno à jusante e 
montante da barragem, são linhas equipotenciais.
Vazão: quantidade de água por segundo que passa pela barragem.
Gradientes: diferença de carga entre linhas equipotenciais conse-
cutivas (perda de carga ao longo do curso d’água).
DICAS 
Veja mais sobre ruptura de taludes de barragens no link:
<http://www.ebanataw.com.br/talude/percolacao.htm>.
AMPLIANDO O CONHECIMENTO 
Leitura obrigatória: capítulo Fluxo Bidimensional do livro 
“Curso Básico de Mecânica dos Solos”, do autor Carlos 
Souza Pinto (2002).
Para mais informações também acessar a apostila do Professor M. 
Marangon da UFJF, da disciplina de Hidráulica dos Solos, segue o link:
<http://www.ufjf.br/nugeo/files/2009/11/ms2_unid01.pdf>. 
Larissa Queiroz Minillo
Introdução
Teoria do 
adensamento: recalque, 
compressibilidade e 
adensamento
Capítulo
4
No estudo da Resistência dos Materiais não existe, praticamente, 
o problema de considerar a grandeza da deformação sob tensões 
de trabalho muito inferiores às de ruptura dos materiais.
Supondo que os materiais são elásticos e obedecendo a lei 
de Hooke, da proporcionalidade tensão-deformação, são 
consideradas apenas as tensões admissíveis obtidas da tensão 
de ruptura dividida por um coeficiente de segurança adequado.
No estudo dos solos temos sempre que analisar os problemas 
sob os aspectos tanto das tensões admissíveis quanto das 
deformações alcançadas sob essa tensão admissível, quando 
estamos olhando de um ponto de vista análogo ao da resistência 
dos materiais. Além disso, temos que levar em conta o tempo no 
qual se darão as deformações em jogo.
Todos os materiais sofrem deformação quando sujeitos a uma 
mudança de esforço. A deformação dos solos, principalmente os 
solos finos, não é instantânea, isto é, não ocorre imediatamente 
após a aplicação da solicitação, mas sim com o tempo. As 
deformações do solo, geralmente não uniformes, podem não ser 
prejudiciais ao solo, mas comprometer as estruturas que assentam 
sobre ele. Recalques diferenciais provocam nas estruturas 
esforços adicionais que comprometem à sua própria estabilidade.
Quando projetamos uma construção deve-se prever os recalques 
a que esta estará sujeita, para daí decidir sobre o tipo de fundação, 
e até mesmo, sobre o sistema estrutural a ser adotado.
Para estimativa da ordem de grandeza dos recalques por 
adensamento, além do reconhecimento do subsolo (espessura, 
posição, natureza das camadas, nível da água), devemos conhecer 
ainda a distribuição das pressões produzidas em cada um dos 
pontos do terreno, pela carga da obra, e as propriedades dos solos.
Neste capítulo, serão estudados todos estes aspectos, 
deformações (recalques, compressibilidade e adensamento) em 
relação ao tempo e ao índice de vazios, permitindo a(o) aluna(o) 
que, quando engenheira(o), possa estar apto(a) a lidar com o 
adensamento que é inerente às obras, principalmente construções 
pesadas. Alguns exemplos famosos de problemas causados 
por adensamento e recalques que não foram bem estudados 
anteriormente à construção são: Torre de Pizza, na Itália, edifícios 
na orla de Santos, Litoral de São Paulo, dentre outros.
• Relacionar os conceitos iniciais de adensamento, 
compressibilidade e recalques.
• Compreender o fenômeno do recalque.
• Aprender sobre o ensaio de adensamento e como ele 
se relaciona com o adensamento no caso real.
• Conceitos.
• Recalques: recalque elástico, recalque por adensamento 
primário e recalque por compressão secundária.
• Adensamento: campo versus laboratório.
• Ensaio de compressão edométrica: execução do 
ensaio, resultados do ensaio.
• Tensão de pré-adensamento: cálculo dos recalques 
durante adensamento.
Objetivos
Esquema
 UNIUBE 65
Conceitos4.1
As cargas de uma determinada estrutura ou, por exemplo, da 
construção de um aterro, são transmitidas ao solo gerando uma 
redistribuição dos estados de tensão em cada ponto do maciço 
(acréscimos de tensão), a qual irá provocar deformações em maior 
ou menor intensidade, em toda área nas proximidades do carrega-
mento que, por sua vez, resultarão em recalques superficiais. 
Definem-se então alguns conceitos importantes:
• Compressão (ou expansão): é o processo pelo qual uma mas-
sa de solo, sob a ação de cargas, varia de volume (“deforma”) 
mantendo sua forma. 
Os processos de compressão podem ocorrer por compactação (redu-
ção de volume devido ao ar contido nos vazios do solo) e pelo adensa-
mento (redução do volume de água contido nos vazios do solo). 
• Compressibilidade: relação independente do tempo entre va-
riação de volume (deformação) e tensão efetiva. É a proprie-
dade que os solos têm de serem suscetíveis à compressão. 
• Adensamento: processo dependente do tempo de variação 
de volume (deformação) do solo devido à drenagem da água 
dos poros.
O solo é um sistema particulado composto de partículas sólidas e 
espaços vazios, os quais podem estar parcialmente ou totalmente 
preenchidos com água. Os decréscimos de volume (as deforma-
ções) dos solos podem ser atribuídos, de maneira genérica, a três 
causas principais:
66 UNIUBE
• Compressão das partículas sólidas; 
• Compressão dos espaços vazios do solo, com a consequente 
expulsão da água (no caso de solo saturado); 
• Compressão da água (ou do fluido) existente nos vazios do 
solo.
4.1.1 Recalques
Um dos aspectosmais importantes da engenharia geotécnica é a 
determinação das deformações no solo devido a cargas verticais 
chamados de recalques, e estes podem ser divididos em 3 tipos:
Recalque elástico (ou imediato): devido à deformação elástica 
de solos saturados e não saturados sem qualquer alteração do 
teor de umidade. Neste caso, se utiliza as equações da teoria da 
elasticidade.
Recalque por adensamento primário: alteração volumétrica em 
solos argilosos saturados pela expulsão da água que ocupa os va-
zios do solo.
Recalque por compressão secundária: observados em solos ar-
gilosos saturados como resultado do ajuste de deformações plás-
ticas ou residuais do solo. É uma forma adicional de compressão 
que ocorre sob tensão efetiva constante.
Então, primeiramente se fixa: quando o solo é comprimido pela 
aplicação de uma carga vertical ele se deforma sobre a ação desta 
carga. A deformação do solo implica na redução de seus espaços 
vazios e, consequentemente, aproximação das partículas sólidas. 
 UNIUBE 67
O recalque total pode, então, ser dado como:
∆HT = ∆He + ∆Ha + ∆Hcs
Sendo, 
∆HT: recalque total
∆He: recalque elástico
∆Ha: recalque por adensamento primário
∆Hcs: recalque por compressão secundária
Por simplificação, neste curso, chamaremos ∆Ha de ∆H.
Observe (Figura 27) que após a aplicação da carga em um volume 
de solo, a altura total do solo (H) reduziu de tamanho, a camada 
de sólidos do solo continua com mesma altura (Hs) porém a altura 
de vazios reduziu, gerando uma diferença de altura entre as duas 
situações (ΔH). 
Sólidos
Vazios
Sólidos
Vazios
V = A.H
V = A.H
A
A
H
Hv
Hs
H
Hv
Hs
∆H
Figura 27 - Esquema de demonstração do recalque
Fonte: Lollo (201-)
68 UNIUBE
O volume do solo, por sua vez, também reduziu. A diferença entre a 
situação antes da aplicação da carga e após a aplicação da carga 
é dada por:
Porém, na prática o recalque costuma ser expresso em função da 
variação do índice de vazios (e). Portanto, temos:
E como a compressão é unidirecional, a área (A) do solo permane-
ce constante, então a relação é válida:
Contudo,
O recalque é dado por:
Nesta formulação, H e ei são características iniciais do solo e, por-
tanto, conhecidas, o recalque então fica em função apenas do ín-
dice de vazios (e) correspondente a nova tensão aplicada no solo. 
Esta tensão é fornecida pelo ensaio de compressão edométrica 
(Figura 28).
Ver mais em: Curso Básico de Mecânica dos Solos – Carlos de 
Souza Pinto, 2° Edição, páginas 177 e 178.
Para que entremos no assunto do recalque por adensamento, pre-
cisamos cravar como hipóteses:
 UNIUBE 69
1. O solo é totalmente saturado.
2. A compressão é unidimensional.
3. O fluxo d’água é unidimensional.
4. O solo é homogêneo.
5. As partículas sólidas e a água são praticamente incompressí-
veis perante a compressibilidade do solo.
6. O solo pode ser estudado como elementos infinitesimais, 
apesar de ser constituído de partículas e vazios.
7. O fluxo é governado pela Lei de Darcy.
8. As propriedades do solo não variam no processo de 
adensamento.
9. O índice de vazios varia linearmente com o aumento da ten-
são efetiva durante o processo de adensamento.
4.1.2 Adensamento
Os ensaios de compressão edométrica são especialmente realizados 
para o estudo dos recalques em argilas saturadas, pois nestes casos o 
processo de deformação pode se desenvolver lentamente, em virtude 
do tempo necessário para que a água saia dos vazios do solo. Este pro-
cesso é denominado adensamento dos solos, e o ensaio de compres-
são edométrica é comumente chamado de ensaio de adensamento. 
Para entender melhor o adensamento consideremos que a estrutu-
ra do solo, (Figura 28 – a), seja como uma mola dentro de um pistão 
70 UNIUBE
cheio d’água, ao se aplicar uma carga sobre o pistão, imediatamen-
te a mola não se deforma, pois não terá ocorrido nenhuma saída 
de água. Sendo a água muito menos compressível que a mola, ela 
irá buscar sair (pela torneira) em algum instante da compressão, 
provocando uma deformação na mola que corresponderá a uma 
certa carga, neste momento parte da carga está sendo suportada 
pela água e parte pela mola.
 
 A B
Figura 28 - Esquema Ensaio de compressão Edométrica
Fonte: Lollo (20--)
Neste ensaio observa-se que, do início da montagem do ensaio até 
um tempo t0:
• A diferença de tensão total aumenta.
• A diferença de pressão neutra aumenta.
• A diferença de tensão efetiva se mantém igual.
• A diferença de Índice de vazios se mantém igual.
• A diferença de Volume de água se mantém igual.
 UNIUBE 71
A partir do tempo t0, se estabelece a tensão, ou seja, não se au-
menta a carga aplicada, e observa-se então:
• A diferença de tensão total estabiliza (a aplicação onde a car-
ga é mantida em um valor específico de carga).
• A diferença de pressão neutra decai, pois a água está sendo 
expulsa do corpo de prova durante o ensaio.
• A tensão efetiva aumenta, devido a redução da pressão 
neutra.
• A diferença entre o índice de vazios inicial e final aumenta.
• A diferença entre o volume de água inicial e final aumenta.
Figura 29 - Gráficos obtidos no ensaio de adensamento
Fonte: Lollo (201-)
72 UNIUBE
4.1.3 Campo versus laboratório
Segundo Pinto (2006), o ensaio de compressão edométrica con-
siste na compressão do solo contido dentro de um anel metálico 
que impede qualquer deformação lateral. O ensaio, portanto, simu-
la o comportamento do solo quando ele é comprimido pela ação do 
peso de novas camadas depositadas sobre ele. O carregamento é 
feito por etapas: para cada carga aplicada, registra-se a deforma-
ção em vários intervalos de tempo, até que as deformações estabi-
lizem. Cessados os recalques, as cargas são elevadas para o do-
bro do seu valor anterior, principalmente quando se está ensaiando 
argilas saturadas.
∆σ
* são vários ensaios
num só
EdômetroPerfil de Solo
Areia
Argila
Areia
N.A.
H
 =
 H
ar
ei
a +
 1 2 
H
ar
gi
la
* amostragem significa
desconfinamento
Figura 30 - Solo em sua situação real Versus Ensaio de Compressão Edométrica
Fonte: Lollo (20--)
Os índices de vazios finais em cada estágio de carregamento são 
calculados a partir do índice de vazios inicial do corpo de prova e 
da redução de altura (TERZAGHI, 1943). A maneira convencional 
de apresentar os resultados é apresentar a curva índice de vazios 
versus tensão vertical efetiva.
 UNIUBE 73
Fonte: Lollo (20--)
4.1.4 Ensaio de Compressão Edométrica
A Figura 31 (a) representa uma prensa típica, na Figura 31 (b) ve-
mos o edômetro onde o corpo de prova encontra-se confinado, na 
Figura 31 (c) temos detalhada a parte interna do edômetro, onde 
entendemos melhor seu funcionamento: o corpo de prova encon-
tra-se saturado pois a água está em todo seu entorno e pedras 
porosas permitem sua entrada no corpo de prova, a aplicação da 
carga é feita na parte superior e o corpo de prova recebe essa car-
ga confinado, podendo apenas ter alterações de altura.
74 UNIUBE
 
A B
C
Figura 31 - Prensa
Fonte: Lollo (20--)
4.1.5 Execução do ensaio
1. Inicialmente, aplica-se uma carga de ajuste no corpo de prova.
2. A seguir, aplica-se uma sequência de cargas ao corpo de prova, 
sendo cada uma o dobro da anterior.
 UNIUBE 75
Cada carga é mantida normalmente por um período de 24 horas ou 
até que as deformações estabilizem.
Para cada carga, são realizadas leituras da altura do corpo de pro-
va em tempos determinados.
3. Na sequência é realizado o descarregamento.
4. Os resultados são apresentados na forma de gráfico da altura do 
corpo de prova ou índice de vazios em função da correspondente 
tensão efetiva.
O índice de vazios no final de cada incremento de carga (estágio 
de carregamento) pode ser calculado a partir das leituras feitas no 
relógio comparador.
4.1.6 Observações
A curva de compressão confinada (compressão edométrica) abran-
ge um extenso intervalo de tensões (de1 kPa a 2 MPa, dependen-
do da necessidade). Por isso, a curva retrata várias situações de 
carregamento em apenas um único ensaio.
Da curva e-logσ’ podem ser obtidos parâmetros que descrevem o 
comportamento do solo:
• Cc (índice de compressão).
• Cr (índice de recompressão).
• Ce (índice de expansão).
• ’ad (tensão de pré-adensamento).
76 UNIUBE
e
Cc
Cr
Cs
1
1
1
(log)
Figura 32 - Índices representados
Fonte: Rodrigues (2014)
4.1.7 Resultados do Ensaio Edométrico
Anotando então os resultados conforme descrito acima em um grá-
fico mono-log cujo eixo x encontra-se a tensão vertical aplicada, em 
kiloPascal e o eixo y encontra-se o índice de vazios calculado por 
meio do volume inicial e final de cada leitura de altura do corpo de 
prova:
A Figura 32 representa a curva de um ensaio edométrico realizado 
na argila orgânica mole de Santos, responsável pelo recalque dife-
rencial patológico entre os edifícios da orla.
 UNIUBE 77
Figura 33 - Argila orgânica mole de Santos
Fonte: Pinto (2002)
Segundo Terzaghi (1943), a linha reta inclinada do gráfico (reta vir-
gem) pode ter sua inclinação calculada e nomeou esta inclinação 
de índice de compressão (Cc):
Sendo:
e1 e e2 os índices de vazios inicial e final, respectivamente.
σ1 e σ2 as tensões inicial e final, respectivamente.
E o cálculo do recalque pode ser feito mediante a fórmula:
Sendo ρ o recalque e H1 a altura inicial.
78 UNIUBE
4.1.8 Tensão de Pré-adensamento
Se durante o ensaio de adensamento o corpo de prova tiver a 
tensão reduzida, ele terá um gráfico com comportamento cortado 
como indica a Figura 33. Conforme inicia-se um carregamento no 
ponto A, a reta virgem tem início então no ponto B, no ponto C este 
solo é descarregado, ou seja, se reduz a tensão aplicada, então 
ele terá um comportamento parecido com o inicial porém no ponto 
B, quando ele é carregado novamente, ele passa a se comportar 
como inicialmente chegando ao ponto C novamente e fazendo uma 
nova reta virgem, porém diferente do que seria se ele tivesse se-
guido o ensaio sem descarregamento, este efeito é chamado de 
tensão de pré-adensamento.
Figura 34 - Efeito do descarregamento seguido de car-
regamento em ensaio edométrico
Fonte: Pinto (2002)
 UNIUBE 79
4.1.9 Cálculo dos recalques em solos durante adensamento
Existem métodos para acelerar recalques. A curva experimental 
(de laboratório) pode auxiliar na previsão de recalques no campo.
Razão de Sobre-adensamento (RSA) ou Over Consolidation Ratio 
(OCR):
Ou:
4.1.10 Conclusão
O conceito de recalque, compressibilidade e adensamento foram in-
troduzidos neste capítulo com intuito de que possamos utilizar tais 
conceitos nos capítulos seguintes. É importante que o(a) aluno(a) 
entenda a importância do recalque para a construção de obras no-
vas tanto quando para reformas de antigas obras ainda em funcio-
namento, cujo peso (carga) da edificação já encontra-se aplicado, 
o recalque, que é um processo que ocorre ao longo de anos, já en-
contra-se em estágio avançado, neste caso é importante que o(a) 
aluno(a) compreenda que reformas ou demolições causam alívio no 
solo que podem causar patologias nas edificações vizinhas.
É de grande importância também que o(a) aluno(a) note a influên-
cia da água no solo na questão do adensamento, uma alteração 
de água no solo pode fazer com que este se rearranje e tenha 
recalques significativos prejudicando as edificações ou obras de 
barragens, por exemplo.
80 UNIUBE
PARADA PARA REFLEXÃO 
A tensão de pré-adensamento do solo é a que representa 
a máxima tensão efetiva sob a qual a amostra de solo teria 
sido adensada anteriormente na natureza.
IMPORTANTE! ou RELEMBRANDO 
Rever índice de vazios! Conceito importante para este 
capítulo.
PARADA OBRIGATÓRIA 
O adensamento está totalmente interligado com o índice 
de vazios e ao conceito de tensões aplicadas no solo. 
SAIBA MAIS 
Slides interessantes: <http://www.feis.unesp.br/Home/departamen-
tos/engenhariacivil/lollo_compress.zip>. 
TCC explicativo: <http://monografias.poli.ufrj.br/monografias/mo-
nopoli10009293.pdf>.
SINTETIZANDO... 
O processo de adensamento corresponde a uma transfe-
rência gradual do acréscimo de pressão neutra (provocado 
por um carregamento efetivo) para tensão efetiva. Tal transferência 
se dá ao longo do tempo, e envolve um fluxo de água com corres-
pondente redução de volume do solo.
 UNIUBE 81
DICAS 
Busque textos e artigos na internet que expliquem o fe-
nômeno de adensamento ocorrido na Torre de Pizza, na 
Itália, irá enriquecer sua formação!
AMPLIANDO O CONHECIMENTO 
Livro de leitura obrigatória:
PINTO, C. S. (2002) – Curso Básico de Mecânica dos Solos 
em 16 Aulas – Oficina de textos, São Paulo.
Vídeo explicativo sobre Ensaio de adensamento edométrico:
<https://www.youtube.com/watch?v=rosjc4A6lnA>.
Larissa Queiroz Minillo
Introdução
Teoria do adensamento: tensão 
de pré-adensamento, grau de 
adensamento e equação geral 
do adensamento
Capítulo
5
Segundo Martins (2013), adensamento é o processo de 
compressão ao longo do tempo de um solo saturado 
ocasionado pela expulsão de uma quantidade de água 
igual à redução do volume de vazios como resultado da 
transferência gradual do excesso de poro-pressão, gerado 
pelo carregamento, para a tensão efetiva. Entende-se por 
compressão a relação entre a variação de volume do solo 
e o estado de tensões efetivas sob condições de equilíbrio.
Neste capítulo serão abordados conceitos de pressão neutra, 
tensão efetiva, tensão total, presentes no capítulo I desde 
material, bem como tópicos de Teoria do adensamento 
presentes no capítulo IV deste mesmo material.
Na engenharia civil é necessário saber como um solo estava 
anteriormente à aplicação de carga, tal parâmetro é chamado 
de Tensão de Pré-adensamento, por meio de métodos 
consagrados mundialmente, criados por Casagrande e 
Pacheco Silva é possível encontrar este parâmetro.
Arthur Casagrande (1902–1981), foi um engenheiro civil 
americano considerado um dos pais da Mecânica dos Solos. 
Teve contribuições fundamentais no avanço dos métodos de 
ensaio geológicos e geotécnicos, no estudo da liquefação dos 
• Compreensão do Método de Casagrande e do Método 
Pacheco Silva para determinação da Tensão de Pré-
adensamento.
• Aprender sobre o grau de adensamento e como se 
calcula.
• Entender a origem da Equação Geral do Adensamento.
• Encontrando a tensão de pré-adensamento pelo 
método Casagrande.
• Encontrando a tensão de pré-adensamento pelo 
método Pacheco e Silva.
• Porcentagem de Recalque ou Grau de Adensamento.
• Piezômetros.
• Solução geral do adensamento.
Objetivos
Esquema
solos e percolação de água em solos. Padronizou alguns 
ensaios de solos efetuados por Atterberg e para isso criou o 
aparelho para ensaio de determinação de limite de liquidez 
em solos que leva o seu nome.
Outro conceito importante encontrado neste capítulo 
é o de Adensamento, também encontrado no capítulo 
anterior (capítulo IV), porém agora mais bem explicado, 
considerando todos os agentes modificadores (como a 
pressão neutra, por exemplo), tornando agora o(a) aluno(a) 
apto(a) a calcular o adensamento sob quaisquer hipóteses.
 UNIUBE 85
Encontrando a Tensão de Pré-Adensamento 
pelo Método de Casagrande5.1
A Figura 35 representa o procedimento gráfico para a obtenção da 
tensão efetiva de pré-adensamento pelo Método de Casagrande, 
procedimento este bastante simples que segue os seguintes 
passos:
1. Defina o ponto a (inflexão da curva).
2. Desenhe uma linha horizontal ab.
3. Desenhe a linha ac tangente em a.
4. Desenhe a linha ad, bissetriz do ângulo bac.
5. Projete a reta virgem gh para interceptar a linha ad em f. A 
abscissa do ponto f é a tensão de pré-adensamento.
Figura 35 - Determinação da tensão de pré-aden-
samento pelo Método de Casagrande
Fonte: Lollo (20--)
86 UNIUBE
5.1.1 Encontrando a Tensão de Pré-Adensamento 
pelo Método de Pacheco Silva
A Figura 36 representa o método gráfico para obtençãoda ten-
são de pré-adensamento, assim como o Método de Casagrande, 
o Método Pacheco Silva também é um método bem simples, que 
utiliza os seguintes passos:
1. Desenhe uma linha horizontal ab que passe pelo índice de 
vazios natural do solo.
2. Projete a reta virgem gh para interceptar a linha ab em c.
3. Desenhe uma linha vertical por c que encontre a curva e-logσ’ 
em d.
4. Desenhe uma linha horizontal por d até a projeção da 
reta virgem cg em f. A abscissa do ponto f é a tensão de 
pré-adensamento.
Figura 36 - Determinação da tensão de pré-adensa-
mento pelo Método de Pacheco Silva
Fonte: Lollo (20--)
 UNIUBE 87
5.1.2 Porcentagem de Recalque – Grau de adensamento
O andamento do processo de adensamento pode ser acompa-
nhado por meio de uma relação denominada Porcentagem de 
Recalque, ou Porcentagem de Adensamento ou também Grau de 
Adensamento.
Esta relação é expressa pela razão da deformação obtida em um 
determinado tempo (εt) pela deformação total ou final (εf):
( )
f
t
zU ε
ε
=
Relacionando índice de vazios com deformação, podemos escre-
ver deformação final (εf) como:
111
21
11 H
H
e
e
e
ee
f
∆
=
+
∆
=
+
−
=ε
Sendo e1 o índice de vazios inicial, e2 o índice de vazios final, Δe 
a variação do índice de vazios, ΔH a variação de altura do corpo de 
prova e H1 a altura inicial do corpo de prova.
A deformação total pode ser expressa também em função do índice 
de vazios:
( )
( )
1
1
1 e
ee t
t +
−
=ε
Para se obter a porcentagem de adensamento (Uz) de um elemen-
to situado a uma cota z, após decorrido um intervalo de tempo t, 
basta substituir a expressão de Uz os valores de εt e εf obtidos:
88 UNIUBE
( )
( )
21
1
1
21
1
1
1
1
ee
ee
e
ee
e
ee
U t
t
z −
−
=
+
−
+
−
=
Considerando a variação linear entre tensão efetiva e índice de 
vazios (Compressão Pura), podemos relacionar a porcentagem de 
adensamento com a pressão neutra:
Figura 37 - Relação entre índice de vazios e tensão efetiva
Fonte: Lollo (20--)
Por semelhança de triângulos temos que:
A importância da porcentagem de adensamento poder ser expres-
sa em termos de pressões neutras é que esta pode ser monitorada 
em campo mediante piezômetros.
 UNIUBE 89
No momento do carregamento temos que:
iu=− 12 '' σσ
O acréscimo de pressão neutra ui é dissipado e transferido de 
σ’1 para σ’2 com o tempo.
No instante t:
( ) ( )tit uu −=− 1'' σσ
Logo, se pode afirmar que o Grau de Adensamento é equivalente 
ao Grau de Acréscimo de Tensão Efetiva, que é a relação entre o 
acréscimo de tensão efetiva ocorrido até o instante 𝑡 e o acréscimo 
total de tensão efetiva no final do adensamento, que corresponde 
ao acréscimo total de tensão aplicada:
( ) ( )
i
tit
z u
uu
U
−
=
−
−
=
12
1
''
''
σσ
σσ
Relacionando Grau de Adensamento à dissipação de pressão neu-
tra, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
i
titt
f
t
z u
uu
ee
ee
U
−
=
−
−
=
−
−
==
12
1
21
1
''
''
σσ
σσ
ε
ε
Considerando o efeito do tempo (dissipação), se pode escrever:
( ) ( )
( )∞=∆
∆
=
−
=
t
t
i
ti
z u
u
u
uu
U
Ou:
σ∆+=∆+= ooi uuuu
Segundo Pinto (2006), pode-se dizer que o grau de adensamento é 
igual ao grau de dissipação da poro-pressão, ou seja, a relação entre 
a poro-pressão dissipada até o instante t e a poro-pressão total provo-
cada pelo carregamento e que vai se dissipar durante o adensamento.
90 UNIUBE
Lembrar Capítulo I – Tensões.
Extra aula:
5.1.3 Piezômetros
A instrumentação de auscultação de uma barragem constitui um 
elemento de fundamental importância na supervisão das condições 
de segurança de uma barragem, pois somente por meio da mesma 
pode-se saber se está ocorrendo um aumento das subpressões na 
fundação e pressões neutras no aterro, quais as reais causas de 
alguns tipos de fissuras que ocorrem no concreto etc.
Os piezômetros medem pressões neutras (positivas ou negativas) 
em maciços terrosos, por exemplo, de barragens. Existem dois ti-
pos de medida obtidos por eles: Poropressões medidas na barra-
gem e Subpressões medidas na fundação. A Figura 38 apresenta 
um piezômetro comumente utilizado em barragens de terra.
Caixa de concreto
Tubo de 
PVC
Areia
Bulbo
NA
Solo-cimento
Plástico
Célula - Tubo 
perfurado 
envolvido
com geotêxtil
Tampa
Figura 38 - Esquema de um Piezômetro comum utilizado em barragens
Fonte: <http://www.dcc.ufpr.br/mediawiki/images/3/32/
InstrumentacaoTC070R1.pdf>. Acesso em: 12 abr. 2016
 UNIUBE 91
5.1.4 A solução Geral do Adensamento
O adensamento pode ser descrito por uma solução geral, baseada 
primeiramente nas seguintes condições de contorno:
I. A camada compressível está entre duas camadas de elevada 
permeabilidade (areias), ou seja, ela será drenada por ambas 
as faces. Define-se que a máxima distância que uma partícu-
la de água terá que percorrer, até sair da camada compressí-
vel, será a distância de drenagem (Hdr).
II. A camada de argila receberá uma sobrecarga que se propa-
gará linearmente, ao longo da profundidade (como um car-
regamento ocasionado por um aterro extenso, por exemplo).
III. Imediatamente após a aplicação do carregamento, a sobre-
pressão hidrostática inicial, em qualquer ponto da argila, será 
igual ao acréscimo de tensões, tal como se viu na analogia 
da mecânica do adensamento:
Figura 39 - Distância de drenagem
Fonte: Lollo (20--)
92 UNIUBE
Segundo Pinto (2006), o objetivo da solução geral do adensamen-
to é determinar, em qualquer instante e em qualquer posição da 
camada que está adensando, o grau de adensamento, ou seja, as 
deformações, os índices de vazios, as tensões efetivas e as poro
-pressões correspondentes.
Já sabemos que:
Vazão de Saída 
de Água
– Vazão de Entrada 
de Água
= Taxa de Variação 
de Volume
Equacionando isto, temos que a variação de volume em relação ao 
tempo é dada por:
Onde:
V: volume do elemento de solo.
vz: velocidade da percolação na direção z.
Da Lei de Darcy, temos que:
z
uk
z
hkikv
w
z ∂
∂
⋅−=
∂
∂
⋅−=⋅=
γ
Substituindo h pela carga piezométrica u/ɤw e reescrevendo a fór-
mula em termos de volumes temos:
No adensamento, a variação de volume do solo é igual à variação 
no volume de vazios, portanto:
 UNIUBE 93
Sendo:
 Vs: volume de sólidos do solo.
 Vv: volume de vazios. 
Lembrando, sólidos são incompressíveis, logo:
0=
∂
∂
t
Vs
Onde:
t
Ve
t
eV
t
V
t
V s
s
s
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
=
∂
∂
Lembrando que:
o
s
d e+
=
1
ρρ
Assim:
t
eV
t
V
s ∂
∂
⋅=
∂
∂
Combinando as equações:
94 UNIUBE
E 
Tem-se:
A variação do índice de vazios é consequência da dissipação de 
pressão neutra. Assumindo-se que a relação é linear, temos:
( ) uaae vv ∂⋅−=∆∂⋅=∂ 'σ
av: coeficiente de compressibilidade (constante na faixa de 
variação).
Combinando as equações:
t
um
t
u
e
a
z
uk
v
o
v
w ∂
∂
⋅−=
∂
∂
⋅
+
−=
∂
∂
⋅−
12
2
γ
Onde:
mv: coeficiente de variação volumétrica = av/(1+eo).
Ou:
2
2
z
uc
t
u
v ∂
∂
⋅=
∂
∂
Sendo, 
cv: coeficiente de adensamento = k/(γw .mv).
 UNIUBE 95
Ora,
2
2
z
uc
t
u
v ∂
∂
⋅=
∂
∂
Equação que relaciona a variação da pressão neutra ao longo 
da profundidade, através do tempo. A variação da pressão neu-
tra é, como demonstrado, a indicação da própria variação das 
deformações.
Ou seja:
Agora é possível obter a deformação com o tempo a partir de um 
coeficiente que indica a compressão pura:






+
⋅
=
⋅
=
o
v
w
vw
v
e
a
k
m
kc
1
γ
γ
cv reúne todas as características do solo que interferem na veloci-
dade de adensamento.
z = 0 u = 0
z = 2Hdr u = 0
t = 0 u = ui
Aplicando-se as condições de contorno é possível se chegar a uma 
equação que exprime a teoria geral do adensamento:
Figura 40 - Distância de drenagem
Fonte: Lollo (20--)
96 UNIUBE
Se existe completa drenagem nas duas extremidades, t = 0, a so-
brepressão neutra nas extremidades é nula, ou seja, z = 0 e z = 
2Hdr, sendo Hdr igual a H/2. Portanto, Hdr indica a maior distância de 
percolação da água.
Considera-se camada drenante com k > 10x o k da camada 
compressível.
O excesso de pressãoneutra, constante ao longo de toda a altura, 
é igual ao acréscimo de tensão aplicado. A solução da equação 
fornece: 
vTM
m
m dr
i e
H
zMsen
M
uu ⋅−
∞=
=
⋅










 ⋅⋅
= ∑
2
0
2
m: um inteiro.
M: (π/2).(2m + 1).
Tv: fator tempo (adimensional). 
2
dr
v
v H
tcT ⋅=
 UNIUBE 97
Figura 41 - Porcentagem de adensamento Uz
Fonte: Lollo (20--)
Cada isócrona indica a evolução do adensamento com a 
profundidade. 
Mostra que a dissipação de “u” e as deformações corresponden-
tes são mais rápidas nas proximidades das faces drenantes, o 
que seria de se esperar, pois a saída de água é mais rápida nas 
extremidades. 
Exemplo: curva fator tempo igual a 0,3. Ela está indicando que, 
para o fator tempo, no centro da camada a porcentagem de aden-
samento será 40%, enquanto que a um quarto de profundidade a 
porcentagem de adensamento será de 57% e a um oitavo de pro-
fundidade, de 77%.
Para a porcentagem média de recalque em toda a camada: 
∫ ⋅⋅=
drH
z
dr
dzU
H
U
2
02
1
98 UNIUBE
Substituindo o valor de Uz obtemos:
∑
∞=
=
⋅−−=
m
m
TM ve
M
U
0
2
221
Na prática, interessa a % média em toda a camada, dada por:
( )
H
U t
∆
=
ρ
ρ (t): recalque parcial após um tempo t.
∆H: recalque por adensamento primário. 
A porcentagem média de adensamento é apenas função do fa-
tor tempo.
Pode-se obter porcentagens de recalques a partir de U = f(Tv).
Figura 42 - Curva de adensamento (porcentagem de re-
calque em função do fator tempo)
Fonte: Lollo (20--)
 UNIUBE 99
5.1.5 Conclusão
A importância do estudo da Tensão de Pré-Adensamento, do grau 
de adensamento e o conhecimento da equação geral do adensa-
mento e como esta se origina é condição sine qua non para o enge-
nheiro civil estar apto ao cálculo de barragens de terra, bem como 
aterros e terraplanagens de grande porte. Mais uma vez vimos a 
importância de se calcular a tensão ao qual o solo já estava expos-
to para sabermos qual a tensão que podemos acrescentar neste 
solo para que os recalques sejam aceitáveis conforme a utilização 
da edificação.
PARADA PARA REFLEXÃO 
Qual a importância do engenheiro civil saber a tensão de 
pré-adensamento de um solo?
IMPORTANTE! ou RELEMBRANDO (são momentos de 
chamadas para o aluno atentar para, recordar algo, etc.).
PARADA OBRIGATÓRIA (são observações importantes 
para aprofundamento do assunto abordado).
100 UNIUBE
SAIBA MAIS 
Link útil:
<http://www.eng.uerj.br/~denise/pdf/compressibilidadeadensa-
mento.pdf>.
Sobre adensamento e seus danos causados:
<http://pt.slideshare.net/thayriscruz/recalque-fundaes>.
DICAS 
Um material interessante para melhor compreensão, com fotos, do 
tema:
<http://www.civilnet.com.br/Files/MecSolos2/Compressilidade%20
e%20Adensamento.pdf>. 
AMPLIANDO O CONHECIMENTO 
Assistir aos vídeos que mostram como a espuma expansi-
va pode ajudar contra o recalque de calçadas.
Larissa Queiroz Minillo
Introdução
Teoria do adensamento: 
aplicações
Capítulo
6
Define-se como adensamento o processo gradual de 
transferência de tensões entre a água (poropressão ou 
pressão neutra) e o solo (tensão efetiva).
Para prever como o processo de adensamento irá ocorrer, é 
necessário esclarecer como se dará a transmissão de esforções 
na água para os sólidos e em quanto tempo o equilíbrio é atingido.
Fissura
Recalque Recalque
Recalque
Recalque
Recalque
Recalque
Fissura
Abertura
Abertura
Abertura
Abertura
Abertura
Figura 43 - Fissuração: Patologia causada por re-
calques não previamente calculado
• Compreender melhor como o adensamento ocorre em 
situações reais.
• Aplicação 1: Estudar o recalque primário devido ao 
adensamento.
• Aplicação 2: Determinar parâmetros: a tensão de pré-
adensamento (σ’ad) por Casagrande e Pacheco e 
Silva, o valor de RSA, o índice de compressão (Cc) e 
o índice de recompressão (Cr).
Objetivos
Esquema
 UNIUBE 103
Aplicação 16.1
O perfil de um solo, onde será construído um prédio, consiste de 
uma camada de areia fina com 10,4 m de espessura, sobre uma 
camada de argila mole normalmente adensada com 2 m de es-
pessura. Abaixo da camada de argila mole existe um depósito de 
areia grossa. O nível d’água está localizado a 3 m da superfície. O 
índice de vazios da areia é 0,76 e o teor de umidade da argila é de 
43%. O prédio irá aumentar o valor da tensão vertical no centro da 
camada de argila em 140 kPa. Estimar o recalque primário devido 
ao adensamento da argila. Assumir que o solo sobre o nível d’água 
esteja saturado. Dados, Cc = 0,3 e γs = 27 kN/m³.
eo (areia) = 0,76
w (argila) = 43 %
Ho = 2 m
∆ = 140 kPa
Cc = 0,3
γs = 27 kN/m³
104 UNIUBE
Solo normalmente adensado:
)1(
'
'log
11
1 =⋅⋅
+
=
+
∆
⋅=∆ OCRC
e
H
e
eHH
vo
v
c
o
o
o
o σ
σ
Determinar tensão efetiva vertical inicial (σ´vo) e índice de vazios 
inicial (eo). 
Camada de areia:
Camada de argila:
Tensão efetiva vertical inicial (σ´vo) no centro da camada (11,4m):
Devida ao peso próprio das camadas:
Acréscimo de tensão: 
∆ = 140kPa
Tensão efetiva vertical final (σ´v1) no centro da camada:
Recalque por adensamento primário:
 UNIUBE 105
E se a argila fosse sobreadensada, com OCR = 2,5, w = 38% e Cr 
= 0,05, qual seria o recalque? 
É necessário verificar a relação entre a tensão de sobreaden-
samento e a soma da tensão efetiva inicial com o acréscimo de 
tensão, para definir a equação a ser utilizada. Neste problema, 
o peso específico da areia não se alterou, mas houve uma al-
teração no da argila.
Camada de argila agora:
Tensão inicial: 
Tensão final:
Tensão de pré-adensamento:
106 UNIUBE
Recalque:
E se o sobreadensamento fosse menor (OCR=1,5).
Já sabemos:
 
E
A nova tensão de pré-adensamento será:
Comparando com a tensão efetiva final:
( ) ( )kPakPa adv 0,209'3,279' 1 =>= σσ
Diferente do caso anterior (OCR=2,5):
( ) ( )kPakPa adv 2,348'3,279' 1 =<= σσ
 UNIUBE 107
Tensão de Pré-adensamento
Tensão Aplicada
Cc
Log Tensão 
e 
/ e
o
Cr
Recalque:
Relembrando...
OCR=2,5
OCR=1
108 UNIUBE
6.1.1 Aplicação 2
Uma amostra indeformada de solo retirada de 8 m de profundida-
de está sujeita a uma tensão efetiva de 40 kPa. O corpo de prova 
usado no ensaio de adensamento apresentava: altura=38mm e ín-
dice de vazios=3,39. As alturas do CP ao final de cada estágio de 
carregamento foram:
Tensão 
(kPa)
Altura do 
CP (mm)
Tensão 
(kPa)
Altura do 
CP (mm)
Tensão 
(kPa)
Altura do 
CP (mm)
10 37,786 56 36,845 1280 24,786
14 37,746 80 35,966 640 24,871
20 37,698 160 32,786 160 25,197
28 37,558 320 29,530 40 25,684
40 37,315 640 26,837 10 26,461
Determine os seguintes parâmetros: a tensão de pré-adensamento 
(σ’ad) por Casagrande e Pacheco e Silva, o valor de RSA, o índice 
de compressão (Cc) e o índice de recompressão (Cr). Considerando 
um acréscimo de 80 kPa por uma obra qualquer neste local, calcule 
o coeficiente de compressibilidade (av) e o coeficiente de variação 
volumétrica (mv).
Determinação da curva de adensamento:
o
o
H
e
eH ⋅
+
∆
=∆
1
( )o
o
e
H
He +⋅∆=∆ 1
Para σ = 10kPa: H0=38mm, H1=37,786
 UNIUBE 109
0247,0390,31 −=∆−= eee o
0247,0390,31 −=∆−= eee o
365,31 =e
Para σ = 14kPa: H0=38mm, H2=37,746
0293,0390,32 −=∆−= eee o
361,32 =e
Para σ = 20kPa, 28kPa, 40kPa... 
Obtenho os valores de e para cada estágio:
Tensão 
(kPa)
e
Tensão 
(kPa)
e
Tensão 
(kPa)
e
10 3,365 56 3,257 1280 1,863
14 3,361 80 3,155 640 1,873
20 3,355 160 2,788 160 1,911
28 3,339 320 2,411 40 1,967
40 3,311 640 2,100 10 2,057
110 UNIUBE
6.1.2 Determinando os valores de tensão de pré-adensamento 
• Pelo método Casagrande:
• Pelo Método Pacheco e Silva:
 UNIUBE 111
Valor aproximado para Casagrande e Pacheco e Silva:
σ’ad = 62 kPa 
Para cálculo de Cc tomar os valores de tensão 100kPa e 100kPa:
• para σ=100kPa, e = 3,05 e para σ=1000kPa, e = 1,95
i
f
c
eC
'
'
log
σ
σ
∆
=
Para cálculo de Cr tomar os valores de tensão 10kPa e 20kPa:
• para σ=10kPa, e = 3,365 e para σ=20kPa, e = 3,355
Para um acréscimo de tensão de 80kPa, tensãono solo = 40+80 
= 120kPa
• para σ=40kPa, e = 3,311 e para σ=120kPa, e = 2,930
Em termos finitos:
ισσ −
−
=
f
if
v
eea
av = 0,0048 kPa-1
112 UNIUBE
Para a variação de índice de vazios considerada 
(∆e=3,311-2,93=0,381):
O coeficiente de variação volumétrica será:
mv = 0,00108 kPa-1
Ou:
6.1.3 Conclusão
Por meio de aplicações práticas de adensamento, é possível o(a) 
aluno(a) melhor discernir todas as variáveis necessárias para o cál-
culo e o que ele deve atentar em campo. É de extrema importância 
que o(a) aluno(a) de engenharia civil saiba que todo o estudo sobre 
adensamento, além de servi-lo para construção de grandes obras, 
também é usado para soluções de problemas pré-existentes. Por 
isso a importância do conhecimento das condições de pré-adensa-
mento do solo, ou seja, a situação inicial dele que já se encontra 
em processo de adensamento anterior.
 UNIUBE 113
PARADA PARA REFLEXÃO 
Pensando nos resultados obtidos, é possível a utilização 
de uma edificação já recalcada por adensamento? 
IMPORTANTE! ou RELEMBRANDO 
Relembrar o que significa OCR e recalque total!
PARADA OBRIGATÓRIA 
Relembrar o que significa OCR no capítulo anterior!
SAIBA MAIS 
Confira o trabalho de conclusão de curso realizado pela aluna 
Natália Lopes Rodrigues, no qual ela compara ensaios de adensa-
mento realizados no equipamento convencional normatizado e um 
equipamento diferente da norma.
<http://monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10009293.pdf>. 
Larissa Queiroz Minillo
Introdução
Distribuições das tensões 
no solo – Boussinesq
Capítulo
7
O engenheiro civil geotécnico precisa estar apto a prever por 
meio de cálculos, a reação do maciço terroso quando ele 
recebe carregamentos externos, como uma rodovia, uma 
grande construção, no que se diz respeito a tensões internas.
Figura 44 - Exemplo de um carregamento extenso e de alto valor: uma 
barragem de enrocamento (feita com rochas) sobre um maciço de terra
Fonte: <http://www.comunitexto.com.br/conheca-todos-os-ti-
pos-de-barragem/#.Vt_oapwrLIV>. Acesso em: 09 abr. 2016
• Apresentar para o(a) aluno(a) e prover entendimento 
sobre a propagação de tensões no solo devido ao 
carregamento.
• Aprender sobre a solução de Boussinesq.
• Aprender sobre a solução de Westergaard.
• Aprender sobre a adaptação de Newmark.
• Propagação de tensões no solo.
• Carca concentrada na superfície do terreno.
• A solução de Westergaard.
• Carregamento uniformemente distribuído sobre uma 
placa retangular.
Objetivos
Esquema
Propagação de Tensões no solo7.1
Se aplicarmos uma pressão uniformemente distribuída em uma 
área limitada, na superfície de um terreno de dimensões mais 
extensas do que aquelas da área carregada, podemos, a grosso 
modo, visualizar a propagação das tensões mediante o terreno su-
pondo-o subdividido em inúmeras lamelas, conforme esquematiza-
do na Figura 45.
 UNIUBE 117
Figura 45 - Distribuição de Tensões de acordo com a profundidade
Fonte: Mello e Teixeira (1971)
• A lamela BB recebe, na sua superfície superior, a pressão 
aplicada. 
• Sofre uma deformação em uma área um tanto maior do que a 
de carregamento.
• Pela deformação sofrida, aplica uma certa pressão na super-
fície superior da lamela CC.
• Que, por sua vez, repete o processo de transmissão de pres-
são menor, distribuída em área maior, à lamela DD.
Assim se propagam as pressões por meio do terreno de apoio, sen-
do a carga total aplicada, distribuída em cada plano horizontal em 
área progressivamente maior com a profundidade.
As tensões transmitidas a elementos de solo, situados no interior 
do terreno de fundação, são calculadas a partir de fórmulas dedu-
zidas por intermédio da teoria da elasticidade.
Os postulados principais presentes nesta teoria, abrangem o con-
ceito de comportamento elástico do material homogêneo de exten-
são infinita (constituindo um semiespaço infinito).
118 UNIUBE
7.1.1 Considerações sobre as hipóteses 
da teoria da elasticidade
1. O conceito de elasticidade abrange, unicamente, a proporcio-
nalidade entre as tensões e deformações. Como consequên-
cia, tem-se o princípio da superposição de forças e tensões. 
Todavia, os solos não obedecem rigorosamente a essa pro-
porcionalidade! Nem quando se considera as deformações 
volumétricas dos ensaios de adensamento, nem as deforma-
ções cisalhantes obtidas nos ensaios de cisalhamento. 
Para que seja aproximadamente válida a aplicação da teoria da 
elasticidade, é necessário então que:
• os acréscimos de pressão sejam pequenos;
• o estado final de tensões esteja muito distante dos estados 
de ruptura.
2. A hipótese de homogeneidade, implícita na teoria da elastici-
dade, foge da realidade em muitos casos, mas não porque o 
solo seja constituído por camadas nitidamente distintas (argi-
las, areias, siltes etc.). 
A principal consideração a ser feita, em relação à heterogeneidade 
refere-se à forma da curva tensão deformação e ao módulo de de-
formabilidade correspondente. Assim, uma argila de consistência 
rija e uma areia compacta possuindo a mesma resistência ao ci-
salhamento, poderão constituir solos essencialmente semelhantes, 
quando isto não é verdade.
3. A teoria requer que o terreno seja homogêneo em extensa 
área e até em grande profundidade. Esta condição pode ser 
 UNIUBE 119
considerada válida no caso de terreno de conformação es-
sencialmente uniforme por distâncias da ordem de algumas 
vezes a dimensão menor da área carregada.
Figura 46 – Os solos são constituídos por cama-
das nitidamente distintas - Grand Canyon
Fonte: Steve Dunleavy (2010)
7.1.2 Carga concentrada na superfície do terreno 
- Solução de Boussinesq
As tensões verticais, despertadas em um ponto do subsolo homo-
gêneo e isotrópico, provenientes da aplicação de uma carga con-
centrada vertical à superfície do mesmo, Figura 46, são calculadas 
pela equação de Boussinesq.
120 UNIUBE
Figura 47 - Carga aplicada na superfície e tensão ge-
rada no interior do maciço de solo
Fonte: Lodi (20--)
Sendo:
• P a carga concentrada.
• z a distância do ponto de aplicação até o ponto de interesse.
• r a distância em superfície do ponto de aplicação P até o pon-
to de interesse.
Note-se que nessa equação, mantida a relação r/z, a tensão é in-
versamente proporcional ao quadrado da profundidade do ponto 
considerado. Na vertical abaixo do ponto de aplicação da carga, 
onde r=0, as pressões serão:
 UNIUBE 121
Se traçarmos um gráfico da profundidade (eixo z) versus a tensão 
(eixo x), o gráfico resultante será como a Figura 48 (b).
Figura 48 - Distribuição de Tensões de acordo com a profundidade (a), ten-
sões na vertical abaixo do ponto da carga (b) e bulbo de tensões (c)
Fonte: Lodi (20--) (modificada)
Observe que na Figura 48 (b), à medida que ocorre o distancia-
mento horizontal do ponto de aplicação de P (aumento de r) ocorre 
uma diminuição da intensidade das tensões até um certo ponto 
onde P não exercerá mais influência!
Observe na Figura 48 (c) que temos os valores de acréscimo de 
tensão (1,0P, por exemplo) traçando linhas onde as tensões do 
solo são de mesmo valor, obtém-se as linhas traçadas na figura ci-
tada! E à essa representação dá-se o nome de Bulbo de Tensões.
122 UNIUBE
7.1.3 A solução de Westergaard
Baseando-se na solução de Boussinesq, Westergaard propôs um 
modelo que se aplicava a depósitos sedimentares que contêm ca-
madas entremeadas de material fino e areia. Neste caso, o solo 
apresenta grande capacidade de resistência lateral:
Sendo µ o coeficiente de Poisson.
7.1.4 Carregamento uniformemente distribuído 
sobre uma placa retangular
Para o cálculo das tensões provocadas no interior do semiespaço 
infinito de superfície horizontal por carregamentos uniformemente 
distribuídos em uma área retangular, Newmark (on-line) desenvol-
veu uma integração da equação de Boussinesq. Determinou as 
tensões em um ponto abaixo do retângulo passando pela aresta 
deste e verificou que havia relação entre os lados da área retangu-lar e a profundidade:
 UNIUBE 123
Figura 49 - Placa retangular uniformemente carregada
Fonte: Lodi (200-)
A equação anterior depende apenas da geometria da área carre-
gada! Desta forma, os termos que estão entre chaves podem ser 
tabelados e então temos:
Iσ é um fator de influência que depende apenas de m e n. Os va-
lores de Iσ podem ser mais facilmente determinados com o uso do 
gráfico (Figura 49) ou mediante tabelas, por exemplo, a Tabela 3.
124 UNIUBE
Tabela 3 - Fatores de influência para uma placa carregada
Fonte: Pinto (2002)
Figura 50 - Valores do fator de influência em função de m e n
Fonte: Machado (2002)
 UNIUBE 125
Como todas as deduções estão referenciadas a um sistema de co-
ordenadas no qual o vértice coincide com a origem, no caso de se 
desejar determinar a pressão a uma profundidade z abaixo de qual-
quer ponto, sem ser o canto (aresta) da sapata (retângulo carre-
gado) é necessário considerar uma série de sapatas retangulares 
ou quadradas, todas com o vértice acima do ponto que se deseja 
determinar, com áreas algébricas cuja soma constituem a sapata 
como um todo, observe a Figura 51:
Figura 51 - Aplicação da solução de Newmark para qualquer posição
Fonte: Mello e Teixeira (1971) modificada
Seja, por exemplo, calcular a pressão em um ponto abaixo do pon-
to E, devido a placa ACGI, carregada uniformemente. Teremos:
Iσ(ACGI) = Iσ(ABDE) + Iσ(BCEF) + Iσ(DEGH) + Iσ(EFHI)
O ponto em consideração poderá estar situado também fora da 
área da placa.
126 UNIUBE
7.1.5 Conclusão
As soluções apresentadas no capítulo, são todas baseadas na 
Teoria da Elasticidade e indicam acréscimos de tensões verti-
cal que independem do Módulo de Elasticidade e Coeficiente de 
Poisson, visto que houveram as simplificações quanto a isotropia e 
principalmente homogeneidade. 
É verdade que o solo se apresenta em estratos constituídos por 
materiais variados ou mesmo quando formado por um tipo de ma-
terial só, ainda apresenta tendência natural a valores de módulo de 
elasticidade crescentes com a profundidade. Visto isso, há neces-
sidade de soluções mais elaboradas ou uso de soluções numéricas 
para se conseguir melhores resultados.
Entretanto, apesar de reconhecidas as limitações da teoria da elastici-
dade, as apresentadas neste capítulo e o capítulo subsequente (capí-
tulo VIII) ainda têm sido empregadas com frequência, a justificativa de 
tal fato está nos resultados bem próximos das medições experimentais.
PARADA OBRIGATÓRIA Pense na importância da solução 
por bulbo de tensões na aprendizagem sobre tensões e 
acréscimo de tensões.
 UNIUBE 127
SAIBA MAIS 
Ler o manual técnico sobre mecânica dos solos e reforço de solos 
da Maccaferri:
<http://www.aecweb.com.br/cls/catalogos/maccaferri/manual_tec-
nico_reforco_de_solos.pdf>.
SINTETIZANDO... 
É possível calcular previamente as tensões internas do 
solo usando as soluções apresentadas, tornando-se pos-
sível carregar o solo com segurança.
DICA 
Vale a pena ler os slides do professor Cezar Bastos:
<ftp://ftp.ifes.edu.br/cursos/Transportes/CelioDavilla/Solos/
Literatura%20complementar/Apostila%20FURG%20Solos/10-%20
TENSOES_NO_SOLO.pdf>. 
AMPLIANDO O CONHECIMENTO 
Leira as notas de aula dos professores:
Prof.ª Dra. Heloisa Helena Silva Gonçalves
Prof. Dr. Fernando A. M. Marinho
Prof. Dr. Marcos Massao Futai
No link:
<http://www.fau.usp.br/cursos/graduacao/arq_urbanismo/discipli-
nas/pef0522/Pef0522-notas_de_Aula.pdf>.
Larissa Queiroz Minillo
Introdução
Distribuições das tensões 
no solo – Love e Newmark
Capítulo
8
Em complemento ao capítulo anterior, este capítulo vem tratar dos 
métodos de cálculo das distribuições de tensões no solo.
É de grande valia que se relembre conceitos de tensão devido ao 
próprio peso (capítulo I) e tensões devido a acréscimo de tensões 
no solo (capítulo VII) para entendimento deste capítulo atual.
As cargas transmitidas por uma estrutura (Figura 52) se 
propagam para o interior do maciço e se distribuem nas diferentes 
profundidades, como se verifica experimentalmente. Dado esta 
informação, foram estudados vários métodos para se encontrar a 
tensão vertical total em diversas situações.
Este capítulo apresentará as soluções de Love para carregamentos 
circulares, de Newmark para carregamentos que atuam de forma 
irregular na superfície, de Fadum, para carregamentos triangulares 
de comprimento finito.
Z1
Z2
2B
q
B
B
0.4
0.3
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.15
0.2
∆Z
0,1
∆σv
∆q
=
Figura 52 - Representação esquemática de situação real
Fonte: Furtado (2016)
• Entender os estudos de Boussinesq, Newmark, Love 
e Fadum sobre a distribuição de tensões devido a 
aplicação de carregamentos no solo.
• Carregamento uniformemente distribuído sobre uma 
área circular – Love.
• A solução para carregamento triangular de 
comprimento finito – Gráfico de Fadum.
• A solução para carga uniforme sobre superfície 
qualquer de Newmark – Método dos “quadradinhos”.
Objetivos
Esquema
 UNIUBE 131
Carregamento uniformemente distribuído 
sobre uma área circular – Solução de Love
8.1
Os valores de tensão provocados por uma placa circular, na ver-
tical que passa pelo centro desta, podem ser calculados por meio 
de integração da equação de Boussinesq para toda a placa. Essa 
integração foi feita por Love por meio de um processo de interpo-
lação numérica e foi equacionado para uma profundidade z, abaixo 
do centro da placa de raio r, as tensões podem ser calculadas de 
acordo com a seguinte equação:
Figura 53 - Superfície circular de raio r, carregada uniformemente com pressão P
Fonte: Arquivo Pessoal
Isolando-se o termo entre as chaves, tem-se o fator de influência Iσ.
O valor desse fator depende da relação z/r e x/r vide Figura 54, 
132 UNIUBE
nota-se também a profundidade z, o raio da placa carregada r e a 
distância horizontal x que vai do centro da placa ao ponto onde se 
deseja calcular o acréscimo de tensão. Os fatores de influência são 
expressos em porcentagem no gráfico.
Os valores de I também podem ser obtidos por tabela (Tabela 4).
Figura 54 - Gráfico de Iσ para placa circular uniformemente carregada
Fonte: Lodi (200-)
 UNIUBE 133
Tabela 4: Valores de x/r e z/r para cálculo de Iσ para placa circular carregada
Fonte: Lodi (200-)
8.1 A solução para carregamento triangular de 
comprimento finito – Gráfico de Fadum
Esta solução permite determinar o acréscimo de tensão vertical 
(σz) sob um carregamento triangular de comprimento finito.
Figura 55 - Esquema de carregamento triangu-
lar para aplicação da solução de Fadum
Fonte: Furtado (2016)
134 UNIUBE
Conseguindo as medidas baseadas na Figura 55, pode-se partir 
para a obtenção de σz graficamente mediante o ábaco a seguir:
10
7
5
4
3
2.5
2.0
1.75
1.5
1.25
1.0 ( n )
m = n 
0.80
0.70
0.60
0.50
0.45
0.35
0.40
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.14
0.13
0.12
0.11
0.10
0.09
0.6 0.8 1.0 2 3 4 60.1 0.2 0.3 0.4
0.21
0.20
0.18
0.19
0.17
0.16
0.15
0.25
0.24
0.23
0.22
Valor de n = ∞
∆σ ∆σ= .Ι2
z
Para um quadrado
m = n _ _ _ _ _ _ _
Va
lo
re
s 
de
 Ι 2
a1
n = 
a1
z
b1
m = 
b1
z
∆σ
O
Z
Figura 56 - Ábaco de Fadum
Fonte: Furtado (2016)
8.1.2 A solução para carga uniforme sobre superfície 
qualquer de Newmark – Método dos “quadradinhos”
Baseado na solução de Love, Newmark desenvolveu uma nova so-
lução que ficou conhecido como ábaco dos quadradinhos. Vamos 
entender:
 UNIUBE 135
Esta solução é utilizada para carregamento que atua de forma ir-
regular da superfície e consiste em, basicamente, construir-se 
um ábaco que leva em conta a relação r/z e o fator de influência 
Iσ e que pode ser dividido em várias pequenas áreas. Cada uma 
dessas áreas contribui com uma parcela de acréscimo de tensão. 
Normalmente, a divisão é feita em pequenas áreas de número igual 
a 200. Dessa forma, é possível desenhar o ábaco em setores de 
anel circular.
Equação de Love reescrita:
Para a construçãodo gráfico, geralmente adota-se um valor para Iσ 
(variando de 1 em 1 décimo, por exemplo) e, em seguida, calcula-
se o valor da relação r/z. Com o valor da profundidade estabeleci-
da, determina-se o valor de r.
Com os valores de r em uma determinada profundidade estabeleci-
da, determina-se o valor de r. Com os valores de r em uma determi-
nada escala, traçam-se circunferências concêntricas. Assim, cada 
circunferência corresponderá a um valor de Iσ. Estas são então divi-
didas em 20 partes iguais ocasionando em 200 áreas de igual efeito.
O exemplo, a seguir, ilustra o procedimento descrito. Note que se o 
círculo de raio igual a 0,27z for dividido por 20 teremos um valor de 
I igual a 0,005P. Esse valor é denominado de unidade de influência. 
Para r igual a 0,4z, teremos um círculo de raio maior.
136 UNIUBE
Figura 57 - Ábaco de Newmark
Fonte: Pinto (2000)
No entanto, a coroa circular obtida com a primeira circunferên-
cia também possuirá um valor de σv igual a 0,1P (tensão vertical 
igual a 0,1P, pois 0,2-0,1=0,1) e, consequentemente, um valor de 
I=0,005P.
 UNIUBE 137
A Figura 57 apresenta o abaco de Newmark com a escala AB a 
partir da qual foi construído. Para se conhecer o valor de tensão 
aplicado por uma edificação de forma irregular a uma determinada 
cota do subsolo, procede-se da seguinte maneira:
1. Desenha-se a planta da edificação na mesma escala em que 
o ábaco foi construído.
2. Coloca-se o ponto desejado da edificação no centro do ábaco.
3. Conta-se, então, o número de “quadradinhos” que foram ocu-
pados pela planta.
Evidentemente, que devido a forma irregular da edificação deverá 
haver uma compensação do número de quadradinhos, ou seja, não 
será possível a obtenção de quadrados inteiros em determinados 
pontos. Conveniente que se faça a planta da edificação em papel 
vegetal ou em outro similar. Isso facilita a obtenção do valor de 
tensão em outro ponto para a mesma cota. Se deseja conhecer a 
influência da edificação em cota diferente, deve-se então construir 
outro ábaco para a cota desejada. O valor da tensão que se quer 
conhecer será dado pelo produto da carga aplicada pela edificação 
(P) pela unidade de influência (I) e pelo número de fatores de influ-
ência ou quadradinhos (N).
Sendo:
P a carga aplicada da edificação.
I a unidade de influência, geralmente igual a 0,005.
N o número de fatores de influência.
138 UNIUBE
A Figura 58 apresenta um exemplo de aplicação do ábaco de Newmark. 
A planta da edificação apresenta formato irregular. Para saber o acrés-
cimo de tensão dessa edificação em uma determinada cota de pro-
fundidade, basta apenas desenhar a edificação na mesma escala em 
que foi construído o ábaco (AB=10 metros, por exemplo). O ponto a 
ser analisado deve ficar no centro do ábaco. Desta forma, contam-se 
os quadradinhos que a edificação ocupa. A tensão do ponto conside-
rado pela edificação na superfície será fornecida pela equação:
Figura 58 - Exemplo de aplicação do Ábaco de Newmark
Fonte: Pinto (2000)
 UNIUBE 139
8.1.3 Conclusão
Existem várias outras soluções para diversos tipos de carregamen-
tos, também baseadas na Teoria da Elasticidade. Poulos e Davis 
reuniram no livro “Elastic solutions for Soil and Rock Mechanics”, 
John Wiley, 1974, soluções para diversos tipos de carregamentos, 
desenvolvidos por diferentes autores.
Normalmente, as soluções são apresentadas em forma de bulbos 
de tensões, que apresenta os coeficientes de influência, para o cál-
culo das tensões verticais no interior do solo devidas a carrega-
mento uniformemente distribuído em uma área circular, na superfí-
cie do terreno.
Ábacos semelhantes são disponíveis para outros esquemas de 
carregamento, como faixas de comprimento infinito, representando 
aterros rodoviários. Também estão disponíveis ábacos para cálculo 
das tensões horizontais, tensões principais e tensões cisalhantes, 
permitindo a obtenção de todo o estado de tensões devido a cada 
carregamento.
140 UNIUBE
Figura 59 - Aterro rodoviário
Fonte: <http://geoconceicao.blogspot.com.br/2011/03/problema-e-so-
lucoes-com-o-destino-do.html>. Acesso em: 09 abr. 2016
DICA 
Slides interessantes:
<http://engenhariacivilunip.weebly.com/uploads/1/3/9/9/13991958/
aula4-_final__acrescimo_de_tenses_nos_solos.pdf>. 
 UNIUBE 141
CONCLUSÃO
No capítulo I, vimos que por meio do estudo de Terzaghi (1943), po-
de-se aplicar teorias da mecânica clássica para um maciço terroso, 
e que por conta disso podemos calcular tensões devidas ao peso 
próprio desses maciços estando eles saturados ou não. 
Vimos nos capítulos II e III a importância de se entender o movi-
mento da água por meio de filtros, representando o maciço terroso 
e quais leis regem esse movimento.
Nos capítulos IV, V e VI, estudamos o fenômeno de adensamento 
no solo, fenômeno este que ocorre ao longo de anos e é causa-
dor de tantas patologias nas edificações e barragens. Entendemos 
também a influência, neste fenômeno de adensamento, da água e 
das cargas acrescentadas e internas.
Nos capítulos VII e VIII pudemos discutir sobre os tipos de carrega-
mentos externos aplicados no maciço, e como este maciço reage a 
essa carga. Entendemos a importância deste estudo para o fecha-
mento do conceito de tensões internas e adensamento.
Conclui-se, após este estudo de Mecânica dos Solos II, que o solo 
tem suas características e seus métodos já consagrados de cálculo 
de tensões e adensamento no geral. A engenharia geotécnica lan-
ça mão destes métodos para a obtenção de resultados necessários 
para o dimensionamento de grandes obras com grandes cargas e 
com grande êxito. Casos especiais irão existir, cabe ao engenhei-
ro(a) civil diferenciá-los e ser quem analisa e enquadra cada caso 
destes.
142 UNIUBE
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