INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

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INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
ETAPAS ENVOLVIDAS NA SIMULAÇÃO MATEMÁTICA 
 
PROCESSO: unidades ou arranjo de unidades integradas entre si de maneira 
racional e sistemática (reatores, trocadores de calor, colunas de destilação, racional e sistemática (reatores, trocadores de calor, colunas de destilação, 
colunas de absorção, evaporadores, tanques de aquecimento, tanques de 
mistura, etc). 
ANÁLISE: corresponde ao desenvolvimento do modelo matemático através da 
aplicação dos princípios de conservação de massa, energia e quantidade de 
movimento, da formulação de hipóteses simplificadoras, condições iniciais e 
condições de contorno. 
MODELO: conjunto das equações representativas do processo. 
INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS: valores dos coeficientes (parâmetros) das 
equações. 
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO: métodos numéricos utilizados para a resolução das 
equações. 
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS 
 
MODELOS FENOMENOLÓGICOS: são modelos que buscam descrever os 
fenômenos principais envolvidos no processo usando-se, para isso, os princípios 
básicos de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, 
equações constitutivas, condições iniciais e de contorno. 
 
MODELOS EMPÍRICOS: o processo é visto como uma “caixa-preta”, 
desconhecendo-se totalmente os mecanismos de causa/efeito entre as variáveis 
independentes (x) e as variáveis dependentes (y) do processo. As variáveis
dependentes são correlacionadas empiricamente com as independentes através 
das chamadas funç~ioes de transferência: f(x). 
INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
MODELOS EMPÍRICOS: o processo é visto como uma “caixa-preta”,
desconhecendo-se totalmente os mecanismos de causa/efeito entre as variáveis
independentes (x) e as variáveis dependentes (y) do processo. As variáveis
dependentes são correlacionadas empiricamente com as independentes através
das chamadas funções de transferência: f(x).das chamadas funç~ioes de transferência: f(x). 
 
 
 
y=f(x) 
 
Funções de transferência usuais: 
- modelos polinomiais; 
- modelos exponenciais; 
- modelos de redes neurais. 
das chamadas funções de transferência: f(x).
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS 
 
a) segundo a natureza das variáveis: 
 
- modelos determinísticos: são aqueles em que cada variável ou parâmetro pode 
ser associado a um número fixo definido. A sua solução fornece valores exatos 
para a variável de resposta. 
 
- modelos estocásticos: os modelos estocásticos são utilizados para fornecer a 
probabilidade de um determinado valor ocorrer para uma variável. A solução 
desses modelos é uma probabilidade e não um valor exato. 
INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
desses modelos é uma probabilidade e não um valor exato. 
 
b) segundo a dependência com a variável tempo: 
 
- modelos de estado estacionário: não há termo de acúmulo, isto é, não há 
variação com o tempo. Normalmente utilizados para o projeto de operações 
unitárias, as quais são normalmente realizadas em estado estacionário. 
- modelos de estado dinâmico: nesses modelos há variação com o tempo, 
normalmente utilizados em controle de processos. 
 
c) segundo a natureza das equações resultantes: 
- modelos representados por equações algébricas; 
- modelos representados por equações diferenciais ordinárias; 
- modelos representados por equações diferenciais parciais. 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
O scilab é um software gratuito que pode ser obtido no site: www.scilab.org 
 
Abra o scilab 
 
 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
Irá aparecer a janela principal do scilab, na qual os programas computacionais são 
rodados. 
 
 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
Manipulação de diretório: 
- É importante a janela na qual o scilab faz os cálculos estar no mesmo diretório dos 
programas a serem executados. 
 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
Abra a sua pasta de trabalho. 
 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
Na janela principal do scilab são realizados os cálculos. 
 
1) Verifique algumas funções: 
1+2 
pi 
%pi 
cos(%pi) 
sin(%pi/2) 
sin(%pi) 
cos(%pi/2) 
sin(%pi)/cos(%pi/2) 
tan(%pi/2) 
exp(1) 
log(10) 
log(exp(5)) 
log10(100) 
5^2 
5*2 
5/2 
2-5 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
1) Definindo constantes: 
a=1 
A=5 
b=2 
a*A 
a/(A+b) 
log(10^A) 
log10(10^A) 
 
2) Utilizando a ajuda do scilab 
Verifique como utilizar a função poly do scilab 
-Abra o Help Browser clique na lupa, digite poly e dê enter -Abra o Help Browser clique na lupa, digite poly e dê enter 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
1) Criando um polinômio 
 
p=5+4x^2-3x^4+x^5 
p=poly([5 0 4 0 –3 1],"x","coeff") 
calcular as raizes do polinômio 
roots(p5) 
 
2) Calculando o valor de y para z=f(x,y) em uma função (utilizando o editor de texto) 
z=f(x,y)=sen(x)/cos(y) 
Obs: tenho que fornecer um valor de x e um de y para calcular z 
 
a) criando a função a) criando a função 
- abra o editor de texto do scilab (clique em editor) 
- digite o comando: function zcalc(x,y) “aqui você criará a função e diz para o 
programa principal fornecer x e y”; 
- escreva a função: z=sin(x)/cos(y); “o programa calcula z não esquecer do ; no final ” 
- manda imprimir o valor de z no programa principal do scilab: print(%io(2),z); 
- mande retornar o valor de z ao programa: z=return[z]; 
- salve o programa com o nome zcalc.sci no seu diretório de trabalho 
- retorne a janela principal do scilab 
- chame o programa que você criou: getf(‘zcalc.sci’) 
- forneça os valores de x=%pi/2 e y=0: zcalc(%pi/2,0) “valor esperado=1” 
- de enter “valor esperado=1” 
- faça zcalc(0,%pi/2) “valor esperado 0/0=indeterminação” 
- faça zcalc(%pi/2,%pi/2) “valor esperado 1/0=infinito” 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
b) alguns comandos lógicos (em caso de dúvidas utilize o help do scilab) 
- comando if (se), faz um teste lógico (= = igual, ~= diferente, > maior que, > = maior 
ou igual que, < menor que, <= menor ou igual que, & (e), | (ou) ,then (faça se 
verdadeiro), else (se falso), end (fim) ; 
- while (faça enquanto) teste lógico for verdadeiro, end; 
- for (para) i=a:passo:b (i variando de a até b com o passo) “poderia ser também i=a:b 
(i variando de a até b com o passo igual a 1)” end; 
- abra o seu programa zcalc 
“function zcalc(x,y) 
z=sin(x)/cos(y); 
print(%io(2),z)” 
antes de calcular o valor de z, faremos os testes com os valores de sin(x) e cos(y) antes de calcular o valor de z, faremos os testes com os valores de sin(x) e cos(y) 
se sin(x) e cos(y) forem iguais a zero 
deve imprimir “indeterminação 0/0” 
se sin(x) for diferente de zero e cos(y) for igual a zero imprimir “infinito” 
se cos(x) for diferente de zero imprimir “z=sin(x)/cos(y)=” 
 
1) Trabalhando com vetores e matrizes 
 
Os argumentos da matriz devem ser colocados entre colchetes [ ] 
As linhas são separadas por ponto e vírgula (;) 
As colunas são separadas por vírgula (,) ou espaço 
Na janela principal do scilab digite: 
A=[11 12;21 22;31 32] 
B=[11 12 13;21 22 23] 
A*B 
B*A 
B*B 
A*(A*B) 
B*(A*B) 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
B*(A*B) 
A*(A*B) 
B*(B*A) 
Matriz transposta 
A' 
Matriz inversa 
C=B*A 
inv(C) 
C^(-1) 
1/C 
C*inv(C) 
C/C 
C*C^(-1) 
C^(-1)/C 
Dimensões (size), máximos (max), mínimos (min) e módulo (abs) 
size(A) 
size(A,1) 
size(A,2) 
[m,k]=max(A) 
[n,j]=min(A) 
o=min(inv(C)) 
O=min(abs(inv(c)) 
 
Adicionando linhas e colunas a uma matriz: 
 
Ex: 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
Ex: 
D=[13;23;33] 
A 
E=[A D] 
E=[E;D'] 
Plotando Gráficos 
 
Utilizar sempre vetores 
 
Criando os vetores (matrizes com uma coluna) 
 
x=-1:0.1:1 
x= x' 
y=x 
z=x^2 
w=x^3 
 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
 
plotagem simples 
 
plot2d(x,y) 
 
plotando gráfico em outra janela 
 
scf(1) 
plot2d(x,z) 
plotando vários gráficos e adicionando legendas 
 
scf(2) 
plot2d(x,[y,z,w]) 
legends(["y","z","w"],[1,2,3]) 
 
plotando curvas e pontos 
 
scf(3) 
plot2d(x,[y,z,w],[-1,1,-2]) 
legends(["y","z","w"],[-1,1,-2]) 
INTRODUÇÃO AO SCILAB
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
ELIMI�AÇÃO GAUSSIA�A 
 
Considere o seguintesistema de equações: 
-x1+3x2+5x3+2x4=10 
x1+9x2+8x3+4x4=15 
x2+x4=2 
2x1+x2+x3-x4=-3 
 
 
No scilab: 
 
x=linsolve([-1 3 5 2;1 9 8 4;0 1 0 1;2 1 1 -1],[-10;-15;-
2;3]) 
 
Resposta: 
 x = 
 
 - 1. 
 3.672D-16 
 1. 
 2. 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
ELIMI�AÇÃO GAUSSIA�A 
 
Considere o seguinte sistema de equações: 
-x1+3x2+5x3+2x4=10 
x1+9x2+8x3+4x4=15 
x2+x4=2 
2x1+x2+x3-x4=-3 
 
 
No scilab: 
 
x=linsolve([-1 3 5 2;1 9 8 4;0 1 0 1;2 1 1 -1],[-10;-15;-
2;3]) 
 
Resposta: 
 x = 
 
 - 1. 
 3.672D-16 
 1. 
 2. 
 
PROCESSO CONTÍNUO DE EXTRAÇÃO 
 
Anilina é removida da água através de uma operação de extração utilizando tolueno 
como solvente. O processo é realizado em uma torre com 10 estágios em 
contracorrente, conforme esquematizado na figura. 
A reação de equilíbrio válida para cada estágio é: 
9==
i
i
X
Y
m 
Onde: 
Yi = (lb de anilina na 
fase orgânica)/(lb de 
tolueno na fase 
orgânica); 
 
Água com anilina: 
W=100 lb/h 
0,05 lb de aninina/lb de água 
Extrato: 
Tolueno rico em anilina 
1, X1, Y1 
2, X2, Y2 
3, X3, Y3 
4, X4, Y4 
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
orgânica); 
Xi= (lb de anilina na fase 
aquosa)/ (lb de água na 
fase aquosa); 
 
 
 
 
 
a) Realize os balanços de massa em cada estágio da torre e combine as equações de 
balanço com as de equilíbrio a fim de se obter um sistema com 10 equações. 
b) Resolva o sistema de equações e simule a concentração em cada fase de cada 
estágio da torre ( valores de Xi e Yi ). c) Analise, comente os resultados obtidos e faça 
uma verificação da validade do resultado obtido realizando o balanço material 
considerando como volume de controle toda a torre. 
Tolueno reciclado: 
F = 13 lb/h 
0,003 lb de anilina/lb de tolueno 
Água com baixa concentração 
de anilina. 
5, X5, Y5 
6, X6, Y6 
7, X7, Y7 
8, X8, Y8 
9, X9, Y9 
10, X10, Y10 
Tolueno puro: 
S = 10 lb/h 
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Métodos numéricos:
-Equação não linear: Método de Newton-Raphson, Bisseção, entre outros.
-Sistema de equações não lineares: Método de Newton-Raphson multivariado.
Método de Newton Raphson:
-Método iterativo;
-Necessita de estimativa(s) inicial(is) do(s) parâmetros;
-Necessita da derivada ou da matriz jacobiana da(s) função(ões) com relação aos 
parâmetros a serem estimados.parâmetros a serem estimados.
-Função fsolve do scilab (ver a ajuda do scilab).
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exemplo: Solução da equação de Colebrook.
Desenvolva um programa computacional para calcular o fator de atrito em função da
rugosidade relativa (e/D) e do número de Reynolds (Re) utilizando a equação de
Colebrook:
a) Apresente uma forma a ser utilizada para a obtenção da estimativa inicial;
b) Calcule o fator de atrito para e/D=10-4 e Re=105. Compare o valor estimado com o
obtido ao se utilizar o diagrama de Moody.








+−=
fD
e
f Re
51,2
7,3
ln86,0
1
obtido ao se utilizar o diagrama de Moody.
c) Plote um gráfico de f em função de Re para tubos lisos, e/D=10-4, e/D=10-3 e
e/D=10-2. Compare com as curvas apresentadas no diagrama de Moody.
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exemplo: Projeto de reatores contínuos em série
Considere o projeto de um conjunto de reatores contínuos em série que será utilizado
na conversão A+B�C+D, para a qual a constante de velocidade é k. A cinética é de
segunda ordem com relação a concentração de A (a):
rA=ka2
Considere que o projeto prevê a utilização de n reatores com um determinado volume V.
Os reatores serão operados a volume constante, com uma taxa de alimentação F de
uma solução contendo iguais concentrações de A e B na entrada do conjunto de
CSTRs. Considere a0 a concentração de A na entrada do primeiro reator e a1, a2, ..., anCSTRs. Considere a0 a concentração de A na entrada do primeiro reator e a1, a2, ..., an
as concentrações na saída do primeiro, segundo, ..., enésimo reator, respectivamente.
A etapa do projeto que coube a você, como engenheiro, é justamente criar uma
metodologia ou um programa computacional capaz de calcular o volume dos reatores V
em função do número de reatores n, para ser utilizado em uma futura análise financeira.
Além disso, para ter controle sobre o processo, o programa também deverá simular as
concentrações de A na saída de cada reator.
O projeto prevê uma conversão global de 80% (ou seja, an/a0=0,2) e as seguintes
condições: k=0,075 L/(mol min), F=30L/min, a0=1,6 M. Para testar o programa simule
para n=1, 2, 5, 10, 30, 50, 70, 100.
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exemplo: Destilação flash para misturas multicomponentes
F moles por hora de uma mistura de n- componentes de gás-natural liquefeito são
expandidos em um tambor de flash a120 ºF e 1600 psia. O vapor e o líquido saem do
tambor a taxas V e L (moles por hora), respectivamente. As frações molares dos
componentes em F, V e L são dados por zi, yi e xi (i=1,2,...,n), respectivamente.
Assumindo as condições de equilíbrio líquido vapor e de operação em estado
estacionário, obtém-se:
Balanço material global:
F=L+V
Balanço material por componente:Balanço material por componente:
ziF=xiL+yiV (i=1,2,...,n)
Relação de equilíbrio por componente:
Ki=yi/xi (i=1,2,...,n)
Onde Ki é a constante de equilíbrio para o componente i.
Assumindo F=1000moles/h, calcule as frações molares na fase líquida (xi), na fase
vapor (yi) e os fluxos na fase líquida L e vapor V.
Sendo:
Σxi=Σyi=1
Pode-se calcular V e L utilizando-se a seguinte relação para o cálculo de V:
Σ{zi(Ki-1)/[V(Ki-1)+F]}=0
Obs: O cálculo de V e L antes de se resolver o sistema de equações é importante para
facilitar a convergência do método para as raízes corretas.
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Dados:
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Métodos numéricos: Runge-Kutta, Adams, etc... 
 
No scilab: função ode � ver a ajuda do scilab 
 
Crescimento Microbiano em Biorreator Batelada 
 
Considere o crescimento de uma determinada bactéria em um biorreator batelada. Sendo a 
concentração inicial de microrganismos igual a X0 e a de substrato S0, se considerarmos que 
apenas um substrato limite o crescimento, que a quantidade de substrato consumida para a 
manutenção celular e para a formação de produtos seja insignificante, e que não haja inibição ao 
crescimento celular, a velocidade específica de crescimento celular (µx) pode ser descrita pelo 
modelo de Monod: 
µx=rx/X=µmáx*S/(ks+S) (1) 
onde: 
r =velocidade de crescimento celular (g/[Lh]); rx=velocidade de crescimento celular (g/[Lh]); 
X= concentração de bactérias (g/L); 
t=tempo (h); 
S=concentração de substrato (g/L); 
µmáx=velocidade específica máxima de crescimento (h
-1); 
ks=concentração de substrato quando µx=µmáx/2 (g/L). 
A velocidade específica de consumo de substrato (µs) é dada por: 
µs=rs/X=(1/Yx/s) µx (2) 
onde: 
Yx/s= conversão de substrato em células; 
rs = velocidade de consumo de substrato (g/[Lh]); 
Considerando X0=0.5g/L; S0=50g/L; µmáx=0.5h
-1; ks=1g/L; Yx/s=0.5(g de células/grama de substrato), 
plote o gráfico das concentrações de substrato e células (X e S) no reator, em função do tempo, até 
que todo o substrato seja consumido. 
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Simulação e otimização de reator em batelada: 
 
Considere que um reator industrial (em batelada) processe as seguintes reações: 
 k1 
�
D 
A+B 2C k3 
 k2 k4� E 
 
Sendo inicialmente adicionados 1 kmol/m3 de A e 0,8 kmol/m3 de B, e considerando que a cinética 
das reações obedeça às seguinte equações: 
r1= k1*CA*CB 
r2= k2*CC
2 
r3= k3*CC
2 
r4=k4*CC
2 
Considerando as constantes cinéticas em m3/(kmol*h) iguais a: k =10; k =1;k =5 e k =10. Considerando as constantes cinéticas em m3/(kmol*h) iguais a: k1=10; k2=1;k3=5 e k4=10. 
Para a otimização do processo, foi feita uma análise financeira. Nessa análise, obteve-sea 
seguinte relação entre custo (C em reais) e tempo de reação (em horas) no reator: 
C=100*et 
Através de uma análise de mercado, obteve-se a seguinte expressão relacionando o preço de 
venda (PV em reais) em função da concentração do produto de interesse (no caso CE em kmol/m
3) 
PV=1000*CE 
Portanto o lucro, é: 
L=PV-C=1000*CE-100*e
t 
a) plote as curvas CA, CB, CC, CD e CE em função do tempo(em horas) de reação até o final da 
reação. 
b) Estime o tempo economicamente ótimo de reação. 
c) Em qual intervalo de concentração de E você poderá atender ao cliente sem ter prejuízo? 
Justifique a sua resposta. 
REGRESSÃO NÃO LINEAR
Métodos Numéricos: Newton, Gauss-Newton, Levenberg-Marquardt, entre outros.
No scilab: Função lsqrsolve (ver ajuda do scilab).
MODELAGEM E DETERMINAÇÃO DO TIPO DE INIBIÇÃO PARA REAÇÕES 
ENZIMÁTICAS 
 
Conceitos demonstrados: 
 
Correlação de dados de velocidade para uma reação enzimática utilizando a equação linearizada Correlação de dados de velocidade para uma reação enzimática utilizando a equação linearizada 
(Lineweaver-Burk) e modelos não lineares utilizando vários modos de inibição enzimática. 
 
Métodos numéricos utilizados: 
 
Regressão linear (função reglin do scilab) e regressão não linear pelo método de Levenberg 
Marquardt (função lsqrsolve do scilab). 
Descrição do problema: 
 
Dados de velocidade para reações enzimáticas são determinados a partir da análise de resultados 
experimentais em um reator batelada para diferentes valores de concentração de enzimas [E0] e 
de substrato [S]. 
A equação de Michaelis-Menten é comumente empregada: 
 
SK
SEk
SK
SV
v
mm
m
+
=
+
=
]][[
][
][ 02 
 
REGRESSÃO NÃO LINEAR
 
Onde os parâmetros k2 e Vm variam com a temperatura. Para se determinar os parâmetros k2 e 
Vm, usualmente, utiliza-se a equação na forma de Lineweaver-Burk, dado pela expressão: 
][
111
SV
K
Vv m
m
m
+= 
Algumas espécies químicas podem atuar como inibidores ligando-se aos sítios ativos da enzima 
reduzindo a velocidade da reação. Quatro modelos para vários tipos de inibição são apresentados 
na tabela, onde [I] representa a concentração de inibidor. 
REGRESSÃO NÃO LINEAR
Tabela. Dados experimentais: 
[E0] 
g/L 
T 
oC 
[S] 
mol/L 
[I] 
mol/L 
v 
mol/(Lmin) 
1,3 32 0,2 0 3,11 
1,3 32 0,15 0 2,81 
1,3 32 0,1 0 2,4 
1,3 32 0,075 0 2,06 
1,3 32 0,05 0 1,64 
1,3 32 0,025 0 1,04 
1,3 32 0,01 0 0,467 
1,3 32 0,005 0 0,256 
2,1 32 0,2 0,7 2,33 
2,1 32 0,15 0,7 2,11 
2,1 32 0,1 0,7 1,74 
2,1 32 0,075 0,7 1,54 2,1 32 0,075 0,7 1,54 
1,6 32 0,2 0,4 2,31 
1,6 32 0,15 0,4 2,1 
1,6 32 0,1 0,4 1,75 
1,6 32 0,075 0,4 1,57 
0,8 45 0,2 0 4,36 
0,8 45 0,15 0 3,89 
0,8 45 0,1 0 3,55 
0,8 45 0,075 0 3,07 
0,8 45 0,05 0 2,53 
0,8 45 0,025 0 1,65 
0,8 45 0,01 0 0,777 
0,8 45 0,005 0 0,430 
 
Material de apoio: 
Arquivo marq.sce 
Ex. Considere o processo de produção de penicilina, onde 
o microrganismo Penicillium crysogenum cresce em um 
reator batelada em condições controladas. O crescimento 
do microrganismo pode ser modelado considerando o 
modelo logístico: 
��
�� = �1�1 �1 −
�1
�2
 
onde y1 é a concentração de células expressa em % massa 
seca. A produção de penicilina é expressa pelo seguinte 
��
�� �
seca. A produção de penicilina é expressa pelo seguinte 
modelo: 
��2
�� = �3�1 − �4�2 
Onde y2 é a concentração de penicilina em unidades/mL. 
Os dados experimentais foram obtidos em réplicas 
conduzidas, essencialmente, de forma idêntica. 
Estime os parâmetros (bi) da equação e avalie os 
resultados obtidos na análise estatística. 
 t(h) y1 y2 y1 y2 
 0. 0.4 0. 0.18 0. 
 10. 0.4 0. 0.12 0. 
 22. 0.99 0.0089 0.48 0.0089 
 34. 1. 0.0732 1.46 0.0062 
 46. 0.95 0.1446 1.56 0.22661 
 58. 2. 0.523 1.73 0.4373 
 70. 2.52 0.6854 1.99 0.6943 
 82. 2.7 1.2566 2.62 1.2469 
 94. 3.09 1.6118 2.88 1.4315 94. 3.09 1.6118 2.88 1.4315 
 106. 3.5 1.8243 3.43 2.0402 
 118. 4.06 2.217 3.37 1.9278 
 130. 4.2 2.2758 3.92 2.1848 
 142. 4.48 2.8096 3.96 2.4204 
 154. 4.4 2.6846 3.58 2.4615 
 166. 4.25 2.8738 3.58 2.283 
 178. 4.3 2.8345 3.34 2.7078 
 190. 4.36 2.8828 3.47 2.6542