Geometria Algébrica I - Lista 1

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Geometria Algébrica I - 2020 - Lista 1
Variedades afins e quasi-afins
Para ser entregue até o dia 04 de setembro
1. Hartshorne seção I.1: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5.
2. Hartshorne seção I.3 : 3.2, 3.6, 3.15(a)–(c), 3.19.
3. Shafarevich seção I.2 : 1, 2, 6, 8 e 12. (Obs: A notação do Shafarevich
é diferente da adotada em aula. Por exemplo, o ideal I(X) de um
conjunto algébrico X é denotado por AX , e o seu anel de coordenadas
A(X) é denotado por k[X].)
4. Seja k um corpo algebricamente fechado. Sejam X = Z
(
y − x2
)
e
Y = Z
(
y − a
)
, a ∈ k, variedades algébricas em A2. Seja
ϕ : k[x, y] � k[x, y]/
(
y − x2
) ∼= A(X)
a projeção natural.
(a) Mostre que ϕ
(
I(Y )
)
não é um ideal primo de A(X).
(b) Encontre todos os ideais maximais m de A(X) que contêm ϕ
(
I(Y )
)
.
(c) Para cada ideal maximal m ⊂ A(X) do item (b), determine
Z
(
ϕ−1(m)
)
⊂ A2.
(d) Mostre que se a = 0 então ϕ
(
I(Y )
)
não é um ideal radical de
A(X).
(e) Determine os ideais maximais m ⊂ k[x, y] para os quais ϕ(m) 6=
A(X).
(f) Esboce as curvas X e Y ⊂ A2 para k = R e a ≥ 0 e contemple as
suas respostas dos itens (a) – (d).
5. Seja k um corpo algebricamente fechado e X ⊂ An um conjunto
algébrico. Suponha que X é um cone com vértice O = (0, . . . , 0),
i.e., vale a seguinte condição: Dado P ∈ An \ {O},
P ∈ X ⇐⇒ OP ⊂ X,
onde OP denota a única reta de An contendo O e P . Mostre que o
ideal I(X) pode ser gerado por polinômios homogêneos.
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6. Seja k um corpo algebricamente fechado. Sejam X ⊂ An e Y ⊂ Am
conjuntos algébricos e f : X −→ Y um morfismo. Suponha que o
homomorfismo de k-álgebras f ∗ : A(Y ) −→ A(X) induzido por f é
sobrejetor. O que você pode dizer sobre o morfismo f e a sua imagem?
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