Resolucao de Ficha III Jorge Luis Marcos

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Jorge Luís Marcos, Resolução da ficha III de DMIV, Licenciatura em Ensino de Matemática 
2020, cadeira orientada pelo mestre Abubacar Nurdin. 
Resolução da ficha III DMIV 
1. Sabendo que 𝐬𝐢𝐧𝐱 =
𝟒
𝟓
 𝐞 
𝛑
𝟐
< 𝐱 < 𝝅, calcular as demais funções circulares de x. 
 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 
(
4
5
)
2
+ cos2 𝑥 = 1 
16
25
+ cos2 𝑥 = 1 
cos2 𝑥 = 1 −
16
25
 
 
cos2 𝑥 =
25 − 16
25
 
cos2 𝑥 =
9
25
 
cos 𝑥 = ±√
9
25
 
cos 𝑥 = ±
3
5
 
𝑡𝑔𝑥 ⟹ 𝑡𝑔𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
4
5
−
3
5
=
4
5
× (
5
3
) =
4
3
 
∴ tg 𝑥 =
4
3
 
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ⟹ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
−
3
5
4
5
= (
3
5
) ×
5
4
=
3
4
 
∴ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =
3
4
 
sec 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
1
3
5
=
5
3
 
cossec 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
1
4
5
=
5
4
 
 
 
Jorge Luís Marcos, Resolução da ficha III de DMIV, Licenciatura em Ensino de Matemática 
2020, cadeira orientada pelo mestre Abubacar Nurdin. 
2. Sabendo que 𝒄𝒐𝒔𝒙 = −
𝟐𝟓
𝟐𝟒
 𝒆 𝝅 < 𝒙 <
𝟑𝝅
𝟐
, calcular as demais funções circulares de 
x. 
𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
1
−
25
24
= −
24
25
 
 
3. Calcular 𝒄𝒐𝒔𝒙 sabendo que 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙 =
𝟐√𝒎
𝒎−𝟏
, 𝒄𝒐𝒎 𝒎 > 𝟏. 
𝑡𝑔2𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 ⟹ 𝑠𝑒𝑐 = ±√𝑡𝑔2𝑥 + 1 
⟹ 𝑠𝑒𝑐 = ±√(
(𝑚−1)√𝑚
2𝑚
)
2
+ 1 = ±√
(𝑚−1)2𝑚
4𝑚2
+ 1 = ±√
(𝑚−1)2
4𝑚
+ 1 
= ±√
(𝑚−1)2+4𝑚
4𝑚
=± √
𝑚2−2𝑚+1+4𝑚
4𝑚
= ±√
𝑚2+2𝑚+1
4𝑚
 = ±√
(𝑥+1)2
22𝑚
= ±
(𝑥+1)
2√𝑚
 
= ±
(𝑥+1)√𝑚
2𝑚
 ⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑐𝑥
=
1
±
(𝑥+1)√𝑚
2𝑚
 
 
=
2𝑚√𝑚
(𝑥+1)𝑚
=
2√𝑚
(𝑥+1)
 ∶. 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
2√𝑚
(𝑥+1)
. 
 
4. Sabendo que 𝒕𝒈𝒙 =
𝟏𝟐
𝟓
 𝒆 𝝅 < 𝒙 <
𝟑𝝅
𝟐
, calcular as demais funções circulares de x. 
𝑠𝑒𝑐𝑥 = −√1 + 𝑡𝑔2𝑥 = −√1 + (
12
5
)
2
= −√1 + (
144
25
) 
= −√
25+144
25
= −√
169
25
= −
13
5
 
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑐𝑥
=
1
−
13
5
= −
5
13
 
 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑡𝑔𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = (
12
5
) × (−
5
13
) = −
12
13
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
1
−
12
13
= −
13
12
 
 
5. Calcular 𝐬𝐞𝐜𝐱 sabendo que 𝐬𝐢𝐧𝐱 =
𝟐𝐚𝐛
𝐚𝟐+𝐛𝟐
, 𝐜𝐨𝐦 𝐚 < 𝐛 < 𝟎. 
(
2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2
)
2
+ cos2 𝑥 = 1 
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4𝑎2𝑏2
(𝑎2 + 𝑏2)2
+ cos2 𝑥 = 1 
cos2 𝑥 = 1 −
4𝑎2𝑏2
(𝑎2 + 𝑏2)2
 
cos2 𝑥 =
(𝑎2 + 𝑏2)2 − 4𝑎2𝑏2
(𝑎2 + 𝑏2)2
 
cos2 𝑥 =
(𝑎2 − 𝑏2)2
(𝑎2 + 𝑏2)2
 
𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√
(𝑎2 − 𝑏2)2
(𝑎2 + 𝑏2)2
 
𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±
(𝑎2 − 𝑏2)
(𝑎2 + 𝑏2)
 
𝑠𝑒𝑐𝑥 = ±
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= ±
1
(𝑎2 − 𝑏2)
(𝑎2 + 𝑏2)
= ±
(𝑎2 + 𝑏2)
(𝑎2 − 𝑏2)
 
6. Resolva as seguintes equações abaixo: 
a) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
5
 
⟹ {
x =
π
5
+ 2kπ
ou
x = π −
π
5
+ 2kπ
⟺ {
−
ou
x =
4π
5
+ 2kπ
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
π
5
+ 2kπ ou x =
4π
5
+ 2kπ} 
b) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
2𝜋
3
 
⟹ 
1
senx
=
1
sen
2𝜋
3
⟹ {
x =
2π
3
+ 2kπ
ou
x = π −
2π
3
+ 2kπ
⟹ {
−
ou
x =
π
3
+ 2kπ
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
2π
3
+ 2kπ ou x =
π
3
+ 2kπ} 
c) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 
⟹ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛0 ⟹ {
x = 0 + 2kπ
𝑜𝑢
x = π − 0 + 2kπ
⟹ {
x = 2kπ
𝑜𝑢
𝑥 = π + 2kπ
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x = 2kπ ou 𝑥 = (1 + 2k)π} = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 = 𝑘𝜋} 
d) 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
1
2
⟹ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
⟹ {
x =
π
6
+ 2kπ
𝑜𝑢
x = π −
π
6
+ 2kπ
⟹ {
−
𝑜𝑢
x =
5π
6
+ 2kπ
 
Jorge Luís Marcos, Resolução da ficha III de DMIV, Licenciatura em Ensino de Matemática 
2020, cadeira orientada pelo mestre Abubacar Nurdin. 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
π
6
+ 2kπ ou x =
5π
6
+ 2kπ } 
e) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
√2
2
 
⟹ senx = sen
5π
6
⟹ {
x =
5π
6
+ 2kπ 
ou
x = π −
5π
6
+ 2kπ 
⟹ {
−
ou
x =
π
6
+ 2kπ 
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
5π
6
+ 2kπ ou x =
π
6
+ 2kπ } 
f) 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
√3
2
 
⟹ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
⟹ {
x =
π
3
+ 2kπ
𝑜𝑢
x = π −
π
3
+ 2kπ
⟹ {
−
𝑜𝑢
x =
2π
3
+ 2kπ
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
π
3
+ 2kπ ou x =
2π
3
+ 2kπ } 
 
g) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 ⟹ 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝜋
2
⟹ {x =
π
2
+ 2kπ} 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
π
2
+ 2kπ } 
h) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1 ⟹ 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
3𝜋
2
⟹ {
x =
3π
2
+ 2kπ
ou
x = π −
3π
2
+ 2kπ
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
3π
2
+ 2kπ } 
7. Resolva as equações abaixo: 
 
a) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
5
 
⟹ {
𝑥 =
𝜋
5
+ 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
𝑥 = −
𝜋
5
+ 2𝑘𝜋
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
π
5
+ 2kπ ou 𝑥 = −
𝜋
5
+ 2𝑘𝜋 } 
 
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b) 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑠𝑒𝑐
2𝜋
3
 
⟹
1
𝑐𝑜𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
⟹ {
𝑥 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
𝑥 = −
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 } 
c) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
⟹ {
𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
𝑥 = −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x = ±
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 } 
d) 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
2
 
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
⟹ {
𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
𝑥 = −
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x = ±
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 } 
e) 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
√2
2
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
⟹ {
𝑥 =
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
𝑥 = −
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x = ±
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 } 
f) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
√3
2
 
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
5𝜋
6
⟹ {
𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋
𝑥 = −
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x = ±
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 } 
g) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos 0 ⟹ {𝑥 = 2𝑘𝜋} 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x = 2𝑘𝜋 } 
 
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h) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜋 ⟹ {
𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
𝑥 = −𝜋 + 2𝑘𝜋
 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x = ±π + 2𝑘𝜋 } 
8. Sobre equações trigométricas da forma 𝒕𝒈𝜶 = 𝒕𝒈𝜷. 
a) 𝑡𝑔𝑥 = 1 , 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔
𝜋
4
 
⟹ {
𝑥 =
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
𝑥 = 𝜋 +
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
⟹ 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
π
4
+ 𝑘𝜋 } 
b) 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 = √3, 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔
𝜋
6
 
⟹ {
𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
𝑥 = 𝜋 +
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋
⟹ 𝑥 =
𝜋
6
+ 𝑘𝜋 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x =
π
6
+ 𝑘𝜋 } 
c) 𝑡𝑔𝑥 = −√3 
⟹ 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔
2𝜋
3
⟹ {
𝑥 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
𝑥 = 𝜋 +
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
{⟹ 𝑥 =
2𝜋
3
+ 𝑘𝜋 
s = {x ∈ ℝ: x =
2π
3
+ kπ } 
d) 𝑡𝑔2𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 
⟹ {
2𝑥 = 𝑥 + 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
2𝑥 = 𝜋 + 𝑥 + 2𝑘𝜋
⟹ {
2𝑥 − 𝑥 = 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
2𝑥 − 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋
⟹ 𝑥 = 𝑘𝜋 
 𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: x = 𝑘𝜋 } 
e) 𝑡𝑔3𝑥 = 1 ⟹ 𝑡𝑔3𝑥 = 𝑡𝑔
𝜋
4
⟹ {
3𝑥 =
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
𝑜𝑢
3𝑥 = 𝜋 +
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
⟹ 𝑥 =
𝜋
12
+ 𝑘𝜋 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 =
𝜋
12
+ 𝑘𝜋 } 
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f) 𝑡𝑔5𝑥 = 𝑡𝑔3𝑥 
⟹ 5𝑥 = 3𝑥 + 𝑘𝜋, 5𝑥 − 3𝑥 = 𝑘𝜋, 2𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑥 =
𝑘𝜋
2
 
Not: Se k for ímpar, então ∄𝑡𝑔5𝑥 e 𝑡𝑔3𝑥, logo: 
𝑠 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 =
𝑘𝜋 
2
, 𝑘 𝑝𝑎𝑟} 
9. Determine entre que valores a variável m pode variar para que as igualdades abaixo 
façam sentido. 
a) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥+1) =3𝑚−5 
Como o domínio da função seno é [−1,1] então temos: 
{
3𝑚 − 5 ≥ −1
3𝑚 − 5 ≤ 1
⟹ {
3𝑚 ≥ 4
3𝑚 ≤ 6
⟹ {
𝑚 ≥
4
3
𝑚 ≤ 2
 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑚 ∈ [
4
3
, 2]. 
b) {
𝑚 − 1 ≥ −1
𝑚 − 1 ≤ 1
⟹ {
𝑚 ≥ 0
𝑚 ≤ 2
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑚 ∈ [0,2]. 
 
10. Os valores de x que satisfazem, ao mesmo tempo, as equações 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝒙 − 𝟏 𝒆 
𝑐𝑜𝑠𝛼 = √2 − 𝑥 
c) 1 e 2. 
 
11. Verificar as identidades abaixo: 
a) 
𝑠𝑒𝑛2𝑥∗𝑐𝑜𝑠𝑥∗𝑡𝑔𝑥
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 
⟹
𝑠𝑒𝑛2𝑥∗𝑐𝑜𝑠𝑥∗
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 
⟹ 
𝑠𝑒𝑛2𝑥∗𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 
⟹ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
b) 
𝑠𝑒𝑛2𝑥∗𝑐𝑜𝑠𝑥∗𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
1−𝑠𝑒𝑛2𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 
⟹
𝑠𝑒𝑛2𝑥∗𝑐𝑜𝑠𝑥∗
𝑐𝑜𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
1−𝑠𝑒𝑛2𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Jorge Luís Marcos, Resolução da ficha III de DMIV, Licenciatura em Ensino de Matemática 
2020, cadeira orientada pelo mestre Abubacar Nurdin. 
⟹
𝑠𝑒𝑛𝑥∗𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 
⟹ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 
 
c) 
𝑠𝑒𝑐2𝑥∗𝑐𝑜𝑠𝑥∗𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥∗(1+𝑡𝑔2𝑥)
=
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
⟹ 
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
∗𝑐𝑜𝑠𝑥∗
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
+
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
∗
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥=
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
⟹
𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥+𝑡𝑔𝑥
=
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
⟹
𝑡𝑔𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
=
𝑠𝑒𝑛2
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
⟹
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
∗ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
⟹ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ≠
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
. 
 
d) 
𝑠𝑒𝑛2(𝑥−𝑦)∗cos(𝑥2)∗𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥2)
1−𝑐𝑜𝑠2(𝑥−𝑦)∗𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
= 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥2) 
 
⟹
𝑠𝑒𝑛2(𝑥−𝑦)∗cos(𝑥2)∗
cos(𝑥2)
𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
𝑠𝑒𝑛2(𝑥−𝑦)∗𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
= 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥2) 
 
⟹
𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)
𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
= 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥2) 
 
⟹
𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)
𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
∗
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
= 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥2) 
 
⟹
𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)
𝑠𝑒𝑛2(𝑥2)
= 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥2) 
 
⟹ 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥2) = 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥2).