Aula_7_Compressão_paralela_e_inclinada_em_relação_às_fibras_Cap_6

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Estruturas de Madeira
Engenharia Civil
Prof.: Eduardo de Castro Barbalho
Compressão paralela e inclinada em 
relação às fibras – Cap 6
Universidade Newton Paiva
eduardo.barbalho@newtonpaiva.br
mailto:eduardo.barbalho@newtonpaiva.br
fc0 = resistência à compressão paralela às fibras
➢Determinado em ensaio
➢Valores médios propostos pela norma
dcdcdd fXS ,0,0  
Tensão Atuante dcdS ,0
 dcd fX ,0 Resistência de Projeto
Resistência à Compressão Paralela às fibras - NBR7190
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
090
0
90 05,0
20
EE
E
E 
E0 = módulo de elasticidade longitudinal
➢Determinado em ensaio ou valores médios propostos pela norma
E90= módulo de elasticidade normal
➢Determinado em ensaio ou:
Módulo de Elasticidade - NBR7190
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
fc90 = resistência à compressão normal as fibras
nccn
c
c ff
f
f   090
0
90 25,0
4
Resistência à Compressão Normal às fibras - NBR7190
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Resistência à Compressão inclinada em relações às fibras:

 2
90
2
0
900
cos


cc
cc
c
fsenf
ff
f
Para solicitações inclinadas com relação às
fibras da madeira: Equação de Hankinson
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
➢ Ao projetar é necessário satisfazer requisitos específicos de:
a) Resitência;
b) Deflexão;
c) Estabilidade;
➢ Elementos sob cargas de compressão poderão
sofrer uma deflexão ou oscilação lateral.
➢ A instabilidade, caracterizada por uma deflexão
lateral, em coluna submetida ao esforço de
compressão é denominada FLAMBAGEM.
Flambagem
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
•Elementos estruturais compridos e esbeltos
submetidos a um esforço de compressão são
denominados Colunas.
•Uma Coluna Ideal é uma coluna perfeitamente
reta antes da carga. A carga é aplicada no
centroide da seção transversal. O material é
homogêneo. O material comporta-se de maneira
Linear elástica. E sofre flambagem em apenas 1
plano.
Colunas
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCKrh6N_fg8kCFYMSkAod-woHdw&url=http%3A%2F%2Fwww.plataformabim.com.br%2F2012%2F12%2Frevit-2013-aula-13-criando-pilares_11.html&psig=AFQjCNFp2A_I4f_sLhSroQ0iit_kSFiCAQ&ust=1447172452526865
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCIbyjYbgg8kCFUe8kAodmNAJow&url=http%3A%2F%2Fwww.funarte.gov.br%2Fartes-visuais%2Fexposicao-%25E2%2580%259Ccolunas%25E2%2580%259D-chega-ao-palacio-capanema-no-rio%2F&psig=AFQjCNFp2A_I4f_sLhSroQ0iit_kSFiCAQ&ust=1447172452526865
•Patu < FE => Ok: Equilíbrio Estável
•Patu = FE => Equilíbrio Neutro
•Patu > FE => NOk: Equilíbrio Instável
•A Coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção
transversal que tenha o menor momento de inércia (o eixo
menos resistente).
0
2
I²
L
E
FE



 





²/
²²²
0
2
0
2
R
E
A
FARE
F
LL
E
E

 R
E
L
cr
/
2
²
0



  R/ Mas, L0
²
²



E
cr


 AR²I Mas,
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
0
2
2 IE
L
EF


FE = carga crítica ou carga axial
σcr = tensão crítica
E = módulo de elasticidade para o material
I = menor momento de inércia para a área da seção 
transversal em torno do eixo principal de inércia
L0 = comprimento da coluna sem apoio
R = menor raio de giração da coluna
λ = L0/R = índice de esbeltez
 2
0
2
/ R
E
σ
L
cr


Carga crítica
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
²
²



E
cr


•É possível representar a equação da carga crítica em gráfico em relação ao índice
de esbeltez;
•Nesse gráfico, as curvas hiperbólicas são válidas apenas para tensões críticas
abaixo da tensão do limite de proporcionalidade ou da tensão de escoamento, visto
que o material deve se comportar elasticamente;
•Índice de Esbeltez é uma medida de flexibilidade da coluna que serve para
classificar as colunas como compridas, intermediárias ou curtas;
Determinação da Tensão de Flambagem
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Determinação da tensão de Flambagem
Observa-se que a Tensão de Flambagem é função do índice de esbeltez e este 
gráfico é uma hipérbole denominada Hipérbole de Euller.
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Colunas com vários tipos de apoio
KLLe 
•A fórmula de Euler é usada para determinar a carga crítica provida e o “L” da
fórmula representa a distância sem apoio entre os pontos de momento nulo;
•Le é denominado de comprimento efetivo da coluna;
•Um coeficiente adimensional K, fator de comprimento efetivo, é usado para
calcular Le.
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
•Portanto, temos:
 
 
I
2
2
KL
E
FE


 2
2
/ RKL
E
cr

 
e
FE = carga crítica ou carga axial
σcr = tensão crítica
E = módulo de elasticidade para o material
I = menor momento de inércia para a área da
seção transversal
L = comprimento da coluna sem apoio
Le = Comprimento efetivo
R = menor raio de giração da coluna
λe = KL/R = índice de esbeltez efetivo
 
 
I
2
2
e
E
L
E
F


 2
2
e
cr
E


 
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
A tensão máxima na coluna
pode ser determinada se
entendermos que ela é provocada
pela carga axial e pelo momento que
ocorre no ponto médio da coluna.
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
A fórmula da Secante
Pela fórmula de Euller
=>A força atua exatamente sobre o
centroide (Isso é utopia);
=>A coluna é a ideal (isso é irreal);
Na Realidade
=>Colunas não são perfeitamente retas;
=>Nunca se sabe com precisão o ponto de
aplicação da carga.
Conclusão: Colunas não flambam de uma
vez. Elas fletem primeiro!

















 1
2IE
sec
LF
evmáx
























 1
2IE
cos
1
LP
evmáx
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
➢ Se “e” tender a zero => Ʋmáx tende a
zero
➢ Se “e” tender a zero e a
tender ao infinito Ʋmáx ≠ Zero.
➢ Isso representaria a carga crítica no
momento da falha.
11
1
2IE
sec 









LF
    










²
²
IEIE
22IE2IE
sec
22
L
F
L
F
LFLF
EE
EE


²
I²
L
E
FE



* Observe que, se “e” tender a 
zero, Ʋmáx tende a zero.
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira

















EA
P
R
L
R
eC
A
P
máx
2
sec1
2

σmax = tensão elástica máxima na coluna
P = carga vertical aplicada a coluna
e = excentricidade da carga P
C = distância do eixo neutro até a fibra externa
da coluna
A = área da seção transversal da coluna
L = comprimento não apoiado da coluna no plano
de flexão.
E = módulo de elasticidade para o material
r = raio de giração
13
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
•Colunas compridas e esbeltas se tornarão instáveis quando a tensão de
compressão permanecer elástica. Gerarão falha por Instabilidade Elástica.
•Colunas intermediárias falham devido a instabilidade inelástica, ou seja, a
tensão de compressão na falha é maior do que a tensão do limite de
proporcionalidade.•E as Colunas Curtas, não se tornam instáveis. O material simplesmente
escoa ou rompe.
•Pela fórmula de Euler: σcr < σe ou σLp. Portanto, aplicada somente em
colunas compridas. Quanto maior a coluna menor terá de ser a tensão.
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
➢ Na prática não existe coluna
perfeitamente reta e a madeira não
é um material homogêneo e livre de
tensões em seu estado natural;
➢ Apoios não são perfeitos e não se
pode precisar o ponto de aplicação
da carga;
➢ Para as peças curtas, definidas pelo
índice de esbeltez λ ≤ 40 , que na
situação de projeto são admitidas
como solicitadas apenas à
compressão simples, dispensa-se a
consideração de eventuais efeitos
de flexão.
Projeto de colunas para cargas concêntricas 
Testes em colunas de madeira 
representadas em gráfico
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Para peças medianamente esbeltas, definidas pelo índice de esbeltez 40 ˂ λ ≤ 80,
submetidas na situação de projeto à flexo-compressão com os esforços de cálculo
Nd e M1d além das condições de segurança especificadas, também deve ser
verificada a segurança em relação ao estado limite último de instabilidade, por
meio da teoria da validade comprovada experimentalmente.
Considera-se atendida a condição de segurança relativa ao estado limite último de
instabilidade, se no ponto mais comprimido da seção transversal for respeitada a
condição seguinte, aplicada isoladamente para os planos de rigidez mínima e de
rigidez máxima da peça.
1
,0,0

dcdc ff
MdNd 
fletor momento ao devida compressão de tensãoda cálculo deValor 
.compressão de normal força à devida compressão de tensãoda cálculo deValor 


Md
Nd


Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
dd eNMd 








dE
E
d
NF
F
ee 1
0
2
,0 I²
L
efc
E
E
F



ai eee 1
30
 ou 
1 h
e
N
M
e i
d
d
i 
Cálculo do Momento de flexão de
projeto
Cálculo da excentricidade de
projeto ed
Cálculo da Força crítica de
flambagem FE
Cálculo da excentricidade de primeira
ordem e1
Cálculo da excentricidade inicial de primeira
ordem devido à presença do momento e1
Cálculo da excentricidade acidental
mínima ea
300
0L
ea 
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Para peças esbeltas, definidas pelo índice de esbeltez λ > 80, não se permitindo
valor maior que 140, submetidas na situação de projeto à flexo-compressão com
os esforços de cálculo Nd e M1d, a verificação pode ser feit pela expressão:
1
,0,0

dcdc ff
MdNd 
fletor momento ao devida compressão de tensãoda cálculo deValor 
.compressão de normal força à devida compressão de tensãoda cálculo deValor 


Md
Nd


Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira








de
E
efdd
NF
F
eNM ,1
0
2
,0 I²
L
efc
E
E
F



caicef eeeeee  1,1
30
 ou 
111 h
e
N
MM
N
M
e i
d
qdgd
d
d
i 


Cálculo do Momento de flexão de
projeto (Md)
Cálculo da excentricidade de
projeto efetiva (e1,ef )
Cálculo da Força crítica de
flambagem (FE)
Cálculo da excentricidade inicial de primeira
ordem devido à presença do momento (e1)
Cálculo da excentricidade acidental
mínima (ea)
300
0L
ea 
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Cálculo da excentricidade suplementar de
primeira ordem devido à fluência da
madeira (ec)
121 
 
1
gd
gd
ig
N
M
e 
 
  
  
1- exp
21
21












qkgkE
qkgk
aigc
NNF
NN
eee


Cálculo da excentricidade inicial de primeira
ordem devido à presença do momento
gerado pela sobrecarga (e1g)
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Tabela de
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
2 1 e 
EXERCÍCIO de Aprendizaem 1
Elemento comprimido (peça esbelta): Verificar a condição de segurança do pilar de
madeira indicado nas figuras, submetido ao esforço de compressão “Nk” : Madeira
dicotiledônea, de Itaúba. Dimensões indicadas em centímetros. NGk = 5 kN
(permanente), e NQk = 15 kN (sobrecarga). Itaúba: fc0,d = 2,21 kN/cm
2 , e Ec0,ef =
1.266,3 kN/cm2
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
EXERCÍCIO 1
Uma coluna de madeira com dimensões de 7,5 cm x 7,5 apoia-se sobre uma
viga de concreto de 12 cm de espessura. Sabendo-se que a reação de apoio da
viga de madeira é de 36 kN (valor de cálculo), verificar a compressão normal
localizada. Adotar madeira classe C40 e Kmod = 0,56.
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
EXERCÍCIO 2
Verificar qual o máximo esforço Pk que se pode aplicar na barra da figura,
considerando-se que é uma carga de longa duração. Dados: Madeira Conífera
C30; Umidade classe (3).
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
EXERCÍCIO 3
Uma caixa d’água pesando constantemente
40.000 N (considerar como carga permanente)
será suportada por 4 pés feitos de peças de
madeira com as fibras no sentido vertical.
Dimensione os pés. Dados: Madeira de
Dicotiledônea C40; Umidade classe (2).
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
EXERCÍCIO 4
Verificar se a peça-base suporta o carregamento. Dados: Madeira:
Dicotiledônea C20; Umidade classe (4).
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
EXERCÍCIO 5
Um pontalete curto de madeira (seção 7,5 x 7,5 cm) está sujeito a uma força de
compressão axial. O pontalete apresenta inclinação de fibras da ordem de 20
graus em relação ao seu eixo axial. Determinar a máxima força de cálculo que o
pontalete pode suportar. Adotar madeira classe C25 e Kmod = 0,56.
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Exercício 6 (13.50 Livro Resistência dos Materiais – 7Ed. Hibbeler)
A coluna de madeira tem seção transversal
quadrada de dimensões 100 mm por 100 mm. Está
engastada na base e livre no topo. Determine a
carga P que pode ser aplicada na borda da coluna
sem provocar falha por flambagem ou escoamento.
Dados: Emad= 12 GPa; σe = 55 MPa
Respostas: Pcr = 31,37 kN.
Capítulo 6: Compressão paralela e inclinada em relação às fibras 
Estruturas de Madeira
Mensagem
“90% do sucesso se baseia simplesmente em insistir.”
Woody Allen
Estruturas de Madeira
Obrigado!
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