carga_e_campo_eletrico_2020_X

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I - CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO 
 
1. História do Eletromagnetismo 
Este texto é um relato introdutório da história do eletromagnetismo, com base em dois 
artigos publicados na Revista Brasileira de Ensino de Física, escritos pelo professor José Maria 
Filardo Bassalo, a saber, os artigos n. 2 do vol 18 de junho de 1996 e n. 4 do vol. 20 de dezembro 
de 1998, cujo o título de ambos é o Nascimento da Física. Bassalo, atualmente é professor 
aposentado do Departamento de Física da Universidade Federal do Pará, além de seu trabalho 
como pesquisador, é um dedicado historiador da Física, ele conta histórias curiosas e pouco 
conhecidas. 
O magnetismo já era conhecido desde as civilizações antigas. Tales, de Mileto, na Grécia já 
conhecia os efeitos de atração e repulsão de uma pedra de um tipo de óxido de ferro. Também 
existem registros de que a civilização chinesa já utilizava a bússola desde o século III A.C., e que 
os chineses já sabiam magnetizar o aço através de imãs naturais, mas não existia teoria que 
explicasse o fenômeno. 
Na Grécia Antiga também era conhecido o fato de que ao se atritar um pedaço de âmbar 
com o pêlo de algum animal esse adquiria a propriedade de atrair pequenas partículas. 
O matemático italiano Girolano Cardano (1501-1576) foi um dos primeiros a diferenciar 
fenômenos elétricos de magnéticos. Em 1544, o alemão Georg Hartmann (1489-1564) 
mediu a inclinação magnética encontrando o valor de 6º. 
Em 1600 o médico inglês William Gilbert Stevinus reuniu suas observações 
experimentais sobre os fenômenos elétricos e magnéticos. Observou que o âmbar, quando 
atritado, atraia corpos leves. Como em grego Elektron significa âmbar, Gilbert denominou 
todos os corpos que se comportam como o âmbar de Elétricos. Acreditava que os corpos 
 
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2 
carregados, como os magnetizados, possuíam determinado fluído que os concedia estas 
propriedades. 
Em 1663, Guericke inventou o primeiro gerador eletrostático a manivela. Em 1733 
Charles François Dufay propôs a existência de dois tipos de carga elétrica. Uma delas era 
do tipo da carga elétrica adquirida pelo vidro atritado com seda, chamada vítria, a outra era 
a carga adquirida por materiais resinosos, como o âmbar, atritado com lã, chamada de 
resinosa. Então se falava nesses dois fluídos. 
Por volta de 1750 Benjamim Franklin, propôs a teoria do fluído único, segundo esta 
teoria todo corpo tem certa quantidade normal de fluído (corpo neutro), quando atritado 
com outro, ele recebia ou perdia fluído, passando a ser ativo eletricamente. Franklin foi 
primeiro a usar os termos positivo (para o que ganhou fluído) e negativo (para o que perdeu 
fluído). Conectando as duas teorias, podemos dizer que negativo era o que tinha 
eletricidade resinosa e positivo o que tinha eletricidade vítrea. Os termos positivo e 
negativo foram se fortalecendo e os sinais (+ e -) auxiliavam a descrever matematicamente 
o fenômeno. 
Verificou-se, também, que era possível armazenar a eletricidade. Na Holanda em 1745, 
Peter von Musschenbroek (1692-1761) registrou a invenção chamada de garrafa de 
Leyden, por meio da qual poderia acumular consideráveis quantidades de eletricidade e 
depois descarregá-la facilmente através de um grande choque. 
Os primeiros estudos do movimento de cargas elétricas (eletrodinâmica) foram feitos 
pelo fisiologista italiano Luige Galvani em 1786. Por isso eletrodinâmica era chamada de 
galvanismo. Em 1801, o físico italiano Alessandro G. Volta (1745-1827) demonstrou o 
funcionamento da pilha ou bateria elétrica que havia inventado em 1800 (por esta 
descoberta Napoleão o fez Conde e Senador do reino de Lombardia). 
Em 1820, Oersted observou que uma corrente elétrica desorientava uma agulha 
imantada, foi descoberta do eletromagnetismo. A observação ocorreu no final de uma aula 
noturna num curso que ministrava na Universidade de Copenhague. No inverno europeu 
de 1819-1820, Oersted ministrou, na Universidade de Copenhague, um curso sobre 
Eletricidade, Galvanismo e Magnetismo. Nessa época Oersted procurava encontrar uma 
 
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3 
relação entre eletricidade e magnetismo. Inicialmente ele colocava a bússola perpendicular 
ao fio com corrente e nada parecia acontecer, até um dia, no começo do mês de abril de 
1820, no final de uma aula noturna, ocorreu-lhe a idéia de colocar a bússola paralela ao fio, 
aí, então, percebeu uma deflexão da agulha da bússola. 
Ainda, em 1820, Ampère, tratando da descoberta de Oersted, distinguiu tensão elétrica 
de corrente elétrica. Ampère, denominou de eletrostática e eletrodinâmica ao estudo das 
cargas elétricas em repouso e em movimento, respectivamente. Ainda, em 1820, B. Biot e 
F. Savart sugeriram uma lei para o cálculo do campo magnético devido a uma corrente 
elétrica (Lei de Biot-Savart). 
Em 1821 Faraday apresentou suas primeiras ideias sobre linhas de Força. Faraday, 
propôs que a variação do fluxo do campo magnético gera uma corrente elétrica induzida. 
Em 1822 Ampère afirmou que o magnetismo da matéria é devido a vários microímãs 
gerados por correntes circulares. 
Em 1825 o Alemão Georg Simon Ohm realizou uma série de experimentos onde 
produziu o galvanômetro para medir a intensidade da corrente elétrica. Também estudou 
a resistência elétrica que chamava inicialmente de perda de força. Ohm ainda nesta época 
introduziu o conceito de Força eletromotriz, estudou circuitos em série e paralelo, 
condutividade e lei de Ohm. O conceito correto de diferença de potencial foi introduzido 
por Green em 1828. 
Em 1831 Henry descobriu o princípio do motor elétrico ao converter energia elétrica 
em mecânica. 
 O princípio da conservação da energia só foi formulado pelo fisiologista e físico 
alemão Hermann Ludwig Ferdinand von Helmhontz em 1847. 
Durante a segunda metade do século XIX, alguns cientistas estavam procurando obter 
comunicação sem fios, através de ondas eletromagnéticas. Por volta de 1870 o escocês J. 
C. Maxwell mostrou teoricamente que cargas elétricas aceleradas produzem ondas 
eletromagnéticas, mas foi H. Hertz, em 1887, que demonstrou experimentalmente a 
existência dessas ondas. Com a formulação das quatro equações de Maxwell podemos 
considerar que todo eletromagnetismo está devidamente compreendido. 
 
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4 
 Por volta de 1898 Thomson descobre o elétron e Robert A Millikan entre 1910 e 1913, 
determinou o valor da carga elétrica elementar: 
Ce 19106,1 −= . 
Todas as partículas formadoras da matéria observadas até hoje tem cargas que são múltiplas 
de e. A tabela abaixo fornece a carga e massa de algumas partículas elementares. 
Partícula Elementar Carga elétrica Massa (kg) 
Próton + e 1,67 x 10-27 
Neutro 0 1,68 x 10-27 
Elétron -e 9,11 x 10-31 
Pósitron +e 9,11 x 10-31 
Neutrino 0 0 
Antipróton -e 1,67 x 10-27 
Um corpo terá carga igual a: neq = , onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... é número de cargas 
positivas ou negativas em excesso no corpo. 
Observação: segundo a teoria dos quarks (postulada sua existência em 1964), essas 
partículas teriam cargas 
3
e
− (quark d) e 
3
2
e
+ (quark u); o próton, por exemplo, seria formado 
por dois quarks u e um quark d: e
ee
=−+ )
3
(
3
2
2 ; e o neutro seria formado por dois quark d e 
um quark u: 0)
3
(2
3
2
=−+
ee
. 
Entretanto, isso não contradiz a quantização da carga, pois os quarks não são observados como 
partículas livres: elas sempre estão agrupadas. 
Exemplo 1: após atritar um canudinho de refrigerante com papel, o canudinho passa a atrair objetos leves, pois 
ficou eletricamente carregado ou eletrizado. Estima-se que há 1,5 x 104 elétrons em excesso no canudinho. Qual 
o valor de sua carga? 
Tabela 1: Carga e massa de algumas partículaselementares 
 
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5 
2. Eletrização de um corpo: conservação da carga 
2.1 Eletrização por Atrito 
 
 
 
 
 
 
Observe que somente os elétrons são transferidos de um corpo para outro, pois para 
arranca-los do átomo, é necessário uma energia muitas vezes menor que a energia necessária 
para arrancar um próton do núcleo. Observe também que a carga total do sistema antes e depois 
do atrito são iguais. 
 
2.2 Eletrização por Contato 
 
 
 
 
 
Figura 2: Eletrização por contato 
Note que novamente ocorre conservação da carga e a força elétrica após o contato é 
repulsiva. Os dois corpos poderão obter a mesma quantidade de carga somente se forem 
condutores do mesmo tamanho e formato. 
 
 
 + - + 
 - + - 
- + - 
+ - + 
ATRITO 
+ + + 
+ + + 
 - - - 
 - - - 
Transferência de elétrons 
Q = 0 Q = 0 
- + - 
+ - + 
 - - - 
 - - - CONTATO - - 
 - - 
 - 
 - 
Q = - 6e Q = - 6e 
Figura 1: Eletrização por atrito. 
 
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6 
2.3 Eletrização por Indução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para verificarmos a conservação da carga precisamos considerar nosso sistema constituído 
pelo bastão, esfera e a terra. 
Em experimentos simples, a ligação com a terra pode ser substituída por um toque com o 
dedo. Após a eletrização por indução ocorre uma atração mais intensa do que antes do processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Eletrização por Indução. 
 + - 
 - + 
 - - - 
 - - - 
APROXIMAÇÃO - - - 
 - - - 
 - + 
 - + 
A
T
E
R
R
A
M
E
N
T
O 
 - - - 
 - - - 
 - + 
 - + 
 - - - 
 - - - 
 + 
 + 
FINAL 
 - 
 - 
 
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7 
Figura 4: Balança de torção de Coulomb. 
Fonte; Keller, Gettys e Skove, vol 2. 
3. Lei de Coulomb 
 
Veja que com a eletrização, passa existir uma força elétrica entre corpos, agora vamos 
tratar do valor desta força para o caso especial de cargas pontuais. Uma carga puntiforme não é 
necessariamente um ponto, mas as dimensões dos corpos envolvidos devem ser muito inferiores 
a distância entre eles. 
Charles Augustus Coulomb usando a balança de torção 
mostrada na figura ao lado, fez medidas da força elétrica 
relacionando a distância r entre as esferas A e B e ao valor de 
suas cargas. A força elétrica de repulsão, entre as esferas A e 
B gera uma torção de um certo ângulo no fio. Medindo o 
ângulo de torção e sabendo o valor da constante de torção 
do fio  (a letra grega kappa) é possível encontrar o valor do 
torque  usando a relação  −= que é semelhante a 
relação kxF −= para molas. Agora basta usar a relação 𝜏
→
=
𝑑
→
× 𝐹
→
 e determinar o valor da força elétrica. Através destes 
experimentos, Coulomb deduziu 
a expressão abaixo que leva seu nome. 
tecons
r
qq
F tan
2
21 = 
 
Mais tarde, a constante foi escrita como 
04
1

, onde 0 é a constante de permissividade do 
vácuo e tem valor de 
2
2
12
0
.
1085,8
mN
c−= , assim 
2
2
9
0 C
Nm
1099,8
4
1
=

. 
 
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8 
Portanto, a lei de Coulomb pode ser escrita como 
2
21
0
r
qq
4
1
F

= e na forma vetorial:
 
( ) 12212
21
0
21
ˆ
4
1
r
r
qq
F

=

 
 
 
 
onde r é a distância entre as cargas q1 e q2. 
Exemplo 2: as cargas q1 e q2 possuem valores de -20,0 µC e 300,0 nC respectivamente e estão 
afastadas por uma distância de 5,0 cm, conforme a figura a seguir. Determine a força sobre a 
carga q2. 
 
 
 
Exemplo 3: as cargas q3 e q4 possuem valores de -30,0 µC e 60,0 µC 
respectivamente e estão afastadas por uma distância de 40,0 mm, conforme a 
figura ao lado. Determine a força sobre a carga q3. 
 
 
q1 q2 
F21 
r12 
F12 
 
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9 
Exemplo 4: as cargas q1 e q2 possuem valores de 50,0 µC 
e 800,0 nC respectivamente e estão afastadas por uma 
distância de 9,0 cm, conforme a figura ao lado. Determine 
a força sobre a carga q1. 
 
 
 
Para calcular a força elétrica resultante exercida sobre a carga q devido a duas ou mais 
cargas, devemos somar vetorialmente as forças respectivas exercidas sobre q. 
...FFFF
1413121
+++=
→→→→
 
onde a notação ijF

 significa força exercida na carga i pela carga j. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
Exemplo 5: qual a força elétrica resultante exercida sobre a carga q1 devido as cargas q2, 
q3 e q4, distribuídas nos vértices de um quadrado de lado a. Considere qqq == 41 ; qq 22 = e 
qq −=3 . 
 
 
 
 
 
Resolução 
�⃗�1 = �⃗�12 + �⃗�13 + �⃗�14 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞2
𝑟21
2 𝑟21̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞3
𝑟31
2 𝑟31̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞4
𝑟41
2 𝑟41̂ 
com qqq == 41 ; qq 22 = e qq −=3 : 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
𝑞. 2𝑞
𝑎2
𝑖̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞. (−𝑞)
2𝑎2
(𝑐𝑜𝑠Ɵî + 𝑠𝑒𝑛Ɵ𝑗) +
1
4𝜋ℰ0
𝑞. 𝑞
𝑎2
𝑗̂ 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
2𝑞2
𝑎2
𝑖̂ +
1
4𝜋ℰ0
(−𝑞2)
2𝑎2
(
√2
2
î +
√2
2
𝑗) +
1
4𝜋ℰ0
𝑞2
𝑎2
𝑗̂ 
�⃗�1 =
𝑞2
4𝜋ℰ0𝑎2
[2𝑖̂ −
√2
4
î −
√2
4
𝑗 + 𝑗̂] 
�⃗�1 =
𝑞2
4𝜋ℰ0𝑎2
[𝑖̂ (2 −
√2
4
) + 𝑗̂ (1 −
√2
4
)] 
 
 
 
 
q2 q1 
q4 q3 
q2 q1 
q4 q3 
r21= î 
j 
a 
 
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11 
Exemplo 6: Determine a força elétrica sobre a carga do canto superior esquerdo (carga 2q) do 
quadrado de lado a da figura abaixo. Em seguida assinale a alternativa que representa a resposta 
correta. 
( ) �⃗� =
𝑞2
4𝜋𝜖0𝑎
2 [𝑖̂ (4 +
√2
2
) + 𝑗̂ (6 +
√2
2
)] 
 ( ) �⃗� =
𝑞2
4𝜋𝜖0𝑎
[𝑖̂ (
√2
2
) + 𝑗̂ (2 −
√2
2
)] 
 ( ) �⃗� =
𝑞2
4𝜋𝜖0𝑎
2 [𝑖̂ (4 −
√2
2
) + 𝑗̂ (2 +
√2
2
)] 
( ) �⃗� =
𝑞2
4𝜋𝜖0𝑎
2 [𝑗̂ (4 −
√2
2
) + 𝑖̂ (2 +
√2
2
)] 
( ) Nenhuma das alternativas 
 
 
Resolução: q1=2q; q2=q; q3=q; q4=-2q; 
�⃗�1 = �⃗�12 + �⃗�13 + �⃗�14 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞2
𝑟21
2 𝑟21̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞3
𝑟31
2 𝑟31̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞4
𝑟41
2 𝑟41̂ 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
2𝑞. 𝑞
𝑎2
𝑗̂ +
1
4𝜋ℰ0
2𝑞. (𝑞)
2𝑎2
(−𝑐𝑜𝑠Ɵî + 𝑠𝑒𝑛Ɵ𝑗) +
1
4𝜋ℰ0
2𝑞. (−2𝑞)
𝑎2
(−𝑖)̂ 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
2𝑞2
𝑎2
𝑗̂ +
1
4𝜋ℰ0
(2𝑞2)
2𝑎2
(−
√2
2
î +
√2
2
𝑗) +
1
4𝜋ℰ0
4𝑞2
𝑎2
𝑖̂ 
�⃗�1 =
𝑞2
4𝜋ℰ0𝑎2
[2𝑗̂ −
√2
2
î +
√2
2
𝑗 + 4𝑖̂] 
�⃗�1 =
𝑞2
4𝜋ℰ0𝑎2
[𝑖̂ (4 −
√2
2
) + 𝑗̂ (2 +
√2
2
)] 
 
 
 
 
 
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12 
4. Definição de Campo Elétrico 
 
Suponha uma carga q2 sozinha no espaço, agora pense numa carga q1 que se aproxima da 
carga q2, a carga q2 será influenciada, sendo solicitada por uma força cada vez maior em direção 
a q1. Vamos pensar nas seguintes perguntas: (a) quem avisou q2 da existência de q1? (b) Um 
pequeno movimento de q1 será instantaneamente sentida por q2? 
Para responder a estas perguntas precisamos admitir a existência de um campo elétrico. 
Uma carga gera ao seu redor um campo chamado Campo Elétrico. É conveniente 
representar este campo invisível por linhas de força. 
 A densidade das linhas é diretamente proporcional ao valor do campo e o sentido e 
direção das linhas representam o sentido e direção do Campo Elétrico. 
Através do campo podemos descrever a atração de duas cargas q1 e q2 da seguinte forma: A 
carga q1 gera um campo elétrico, quando a carga q2 é mergulhada neste campo ela sofre uma 
força elétrica. A introdução do Campo Elétrico facilita a descrição dos fenômenos elétricos,pois 
é mais fácil conhecer o Campo do que a distribuição de cargas. 
(a) 
(c) 
(d) 
(b) 
Figura 5: campo elétrico. 
 
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13 
Podemos determinar a existência e as propriedades (módulo, direção e sentido) do campo 
elétrico num certo ponto inserindo uma carga teste q positiva neste ponto. Se ela for solicitada 
por uma força elétrica, neste ponto existe campo elétrico e é determinado pela equação: 
q
F
E
→
→
= 
Esta equação define que a direção e sentido de E é a igual a F, porém para q positivo. 
 
Figura 6: O Campo Elétrico em um ponto tem a mesma direção e sentido da força elétrica que age sobre uma carga 
teste positiva colocada naquele ponto. Fonte: Halliday, resnick e Walke, vol. 3. 
 
 
 
5. Cálculo do Valor do Campo Elétrico Devido a Distribuições de Cargas 
 
Agora encontraremos as relações que nos fornecem o valor do Campo Elétrico devido a: 
cargas pontuais, anel carregado e um disco carregado. 
5.1 Campo Criado por uma Carga Pontual 
 
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14 
 
 
 
Figura 7: Força elétrica sobre q0 
A Lei de Coulomb descrece a força F que está agindo na carga qo localizado no ponto P: 
2
0
0
4
1
r
qq
F

= (1) 
O valor do Campo em P é definido por: 
0
0
EqF
q
F
E =→= (2) 
Com (1) e (2) encontramos: 
2
0
4
1
r
q
E

= (3) e na forma vetorial: r
r
q
E ˆ
4
1
2
0
=

 
Onde o vetor unitário r̂ dá a direção e sentido do vetor r que tem origem na carga que 
promove o campo E e fim no ponto que está sendo determinado o campo. 
 
 
 
Figura 8: Campo Elétrico em P devido a uma carga pontual 
Exemplo 6: Determine o campo no ponto P, a 2,0 cm de uma carga elétrica q de -8,0 µC, conforme 
a figura se seguir. 
 
 
q 
r 
P 
E 
q 
r 
qo 
F P 
P 
q 
 
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15 
Exemplo 7: Determine o campo no ponto P, a 12,0 mm de uma carga elétrica q de 500,0 nC, 
conforme a figura se seguir. 
 
 
 
 
 
No caso de duas ou mais cargas pontuais 
....4321 ++++=
→→→→→
EEEEE ou 
=
=
N
i
i
i
i r
r
q
E
1
2
04
1 

 
Onde 1
→
E é o campo elétrico em P produzido pela carga 1 e 
→
2E é o campo em P 
produzido pela carga 2 e assim sucessivamente. 
Exemplo 8: Determine o campo elétrico no centro do quadrado imaginário formado 
pelas 4 cargas conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
q 
a 
3q
q 
2q 
-q q 
 
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16 
Exemplo 9: Determine o campo elétrico no centro do quadrado imaginário formado 
pelas 4 cargas conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5.2 Campo Elétrico Criado por um Anel Carregado 
Inicialmente precisamos definir densidade linear de carga: 
dsdq
ds
dq
 =→= (4) 
dq é uma pequena quantidade de carga ou uma carga diferencial. Esta pode ser considerada 
pontual, portanto: 
2
0
4
1
r
dq
dE

= ou 
2
0
4
1
r
ds
dE


= (5) 
Uma carga diferencial dq gera um campo dE num ponto P situado a uma distância r. Em 
geral, o campo resultante neste ponto é encontrado pela somatória ou integração de dE devido 
a todas as cargas diferenciais que formam o corpo carregado. 
 No caso do anel carregado, uma carga diferencial dq situada no comprimento diferencial 
ds gera um campo diferencial dE no ponto P conforme a figura 9. O campo resultante estará 
sobre o eixo Z sendo formado pela integral de dEcos. 
a 
2q 2q 
-q -q 
 
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17 
=
R
dEE


2
0
cos (6) 
onde 
2
0
4
1
r
ds
dE


= 
como 
222 zRr += 
 
ainda temos que 
( ) 2
1
2222
cos
zR
z
zR
z
r
z
+
=
+
== , 
portanto: 
( ) 2
1
22
22
0
4
1
cos
zR
z
zR
ds
dE
++
=


 ou 
Retornando a relação (6) escrevemos: 
 
Como z,  e R são constantes a medida que percorremos o anel, teremos: 
( )

+
=
R
ds
zR
z
E


2
02
3
22
0
4
1
 
( )

+
=




2
0
2
3
22
04
1
rd
zR
z
E 
portanto: 
( )
R
zR
z
E 


2
4
1
2
3
22
0 +
= (7) 
22
0
4
1
zR
ds
dE
+
=


( ) 2
3
22
0
4
1
cos
zR
dsz
dE
+
=



( )

+
==
RR
zR
dsz
dEE
 


2
0 2
3
22
0
2
0 4
1
cos
 
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18 
como  Rqdsdqdsdq
ds
dq
2  =→=→=→= , substituímos este valor na 
equação (7) e encontramos: 
( ) 2
3
22
0
4
1
zR
zq
E
+
=

 (8) onde q é a carga total do anel. 
Exemplos: (a) Estime o valor do campo no centro do anel e depois calcule esse valor com a equação acima. 
(b) Estime o valor do campo para uma um distância do anel (z) muito maior que R. Depois calcule esse valor 
com a equação acima. 
 
5.3 Campo Elétrico devido a um disco carregado 
 
Agora precisamos definir a densidade superficial de carga : 
da
dq
area
ac
=→= 
arg
 
Como mostra a figura 10, podemos dividir o disco em 
pequenos anéis com carga dq, portanto o Campo no ponto 
P produzido por um anel infinitesimal pode ser escrito 
como: 
( ) 2
3
22
0
4
1
zr
zdq
dE
+
=

 
A pequena área da pode ser escrita como rdrda 2= , assim rdrdq  2= , logo: 
( ) 2
3
22
0
2
4
1
zr
rdrz
dE
+
=


 
( ) ( )
  
+
=
+
==
R R R
zr
rdr
z
zr
rdrz
dEE
0 0 0 2
3
22
0
2
3
22
0
2
4
12
4
1




 
 
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19 
Esta integral pode ser resolvida por 
+
=
+
1
1
n
u
duu
n
n
, onde 
22 rzu += e rdrdu 2= , assim: 
Portanto: 
Então: 






+
−=
22
0
1
2 Rz
z
E


 
 
Exemplo 1: determine o campo elétrico em um ponto muito próximo do plano. 
Exemplo 2: determine o campo no ponto P, devido ao semianel carregado de cargas negativas. 
 
 
( )

−
==
+
−
−
2
1
2 2
1
2
3
2
3
22
u
duu
zr
rdr
( )
( )
zRz
rz
zr
rdr
R
R 22
2
1
2
22
0
2
1
22
0 2
3
22
+
+
−=










−
+
=
+
−

 
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20 
6. FLUXO 
Figura 11: Fluxo  para superfície planas com várias orientações em um campo uniforme. Fonte: Keller, 
Guetys e Skove, v. 2, p. 34 
 
A superfície imaginária intercepta o fluxo afim de medi-lo. Em cada uma das três situações 
o fluxo é diferente devido a variação do ângulo  entre a superfície e o fluxo. O vetor área A (na 
figura acima foi usado S no lugar de A), tem módulo A (área em m2), direção perpendicular a 
superfície e sentido para fora (no caso de superfície fechada). 
Na letra (a) da figura acima, o fluxo é dado por , onde VA= , na letra (b) não há fluxo 
e na letra (c) o fluxo é cosVA= onde cosA é a superfície que efetivamente intercepta o 
fluxo. A partir destas três situações podemos encontrar uma equação geral para fluxo: 
 
AV

•= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21 
7. Fluxo do campo Elétrico 
A figura ao lado representa uma superfície gaussiana interceptando um campo elétrico. Por 
definição esta superfície é fechada e imaginária (hipotética). Ela está dividida em pequenas áreas 
A O fluxo em cada uma é dado por EA

•= . Tomando quadrados cada vez menores 
chegamos a: AdE

•=  
 
Figura 12: Fluxo do campo elétrico. Fonte halliday, Resnic e Walker; v.3, p.41. 
 
 
 
 
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22 
Exemplo: Calcule o fluxo do campo elétrico através das superfícies Gaussiana cilíndrica 
abaixo. 
Figura 13: Superfície Gaussiana cilíndrica. 
 
 
8. Lei de Gauss 
 
O Fluxo do Campo Elétrico para qualquersuperfície fechada é igual a carga resultante 
encerrada pela superfície, dividida pela constante 0. 
Φ = ∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
 
onde q é a carga líquida (total) dentro da superfície gaussiana e pode ser positiva ou 
negativa, q nesta equação não representa somente o módulo da carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
Exemplo 1: determine o fluxo do campo elétrico através das 4 superfícies representadas 
na figura abaixo. As cargas possuem os valores de: q1=17,7 nC e q2=-17,7 nC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14: Fluxo de E por quatro superfície diferentes. 
Φ = ∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
 
Φ =
𝑞
𝜀0
 
Φ1 =
𝑞1
𝜀0
=
17,7 𝑛𝐶
8,85 × 10−12
𝐶2
𝑁𝑚2
=
17,7 × 10−9 𝐶
8,85 × 10−12
𝐶2
𝑁𝑚2
= 2.000
𝑁
𝐶
𝑚2 
Φ2 =
𝑞2
𝜀0
=
−17,7 𝑛𝐶
8,85 × 10−12
𝐶2
𝑁𝑚2
=
−17,7 × 10−9 𝐶
8,85 × 10−12
𝐶2
𝑁𝑚2
= −2.000
𝑁
𝐶
𝑚2 
Φ3 =
𝑞3
𝜀0
=
0
𝜀0
= 0 
Φ4 =
𝑞1 + 𝑞2
𝜀0
=
17,7 × 10−9 𝐶 + (−17,7 × 10−9 𝐶)
8,85 × 10−12
𝐶2
𝑁𝑚2
= 0 
 
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24 
Exemplo 2: a partir da lei de Coulomb encontramos a expressão 
2
0
4
1
r
q
E

= para o 
valor do campo elétrico num ponto P, a uma distância r de uma carga q. Encontrar esse 
resultado pela lei da Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15: Campo Elétrico em P devido a uma carga pontual 
Ressolução: Precisamos usar a lei de Gauss 
0
q
AdE =•

. Para isso Primeiramente 
imaginamos uma superfície passando pelo ponto que queremos saber o valor do campo 
elétrico. Após desenvolvemos os cálculos a partir da lei de Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja os cálculos: 
q 
r 
P 
E 
q 
r 
P 
E 
Figura 16: aplicação da lei de Gauss 
para cálculo de E próximo a uma carga 
pontual 
dA 
dA 
 
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25 
∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
 lei de Gauss 
∮ 𝐸𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠Ɵ =
𝑞
𝜀0
 Ɵ=0 
0
q
dAE = pois dA é em toda superfície paralelo a E. 
0
q
dAE = E é constante 
𝐸𝐴 =
𝑞
𝜀0
 
0
24


q
rE = a área total da esfera é 
24 r . Isto conduz a 𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒
𝒓𝟐
; veja que a 
lei de Gauss é equivalente a lei de Coulomb. 
 
 
Exemplo 3: utilizar a lei da Gaus para mostrar que a carga em um condutor condutor em 
equilíbrio eletrostático está na superfície externa. 
 
Resolução: quando um condutor está descarregado, possui elétrons livres, porém o campo 
no interior e exterior é zero. Se o condutor receber carga, esta se distribuirá e alcançara o 
repouso ou equilíbrio eletrostático. 
Nessa condição não há mais movimentação de cargas (corrente elétrica) no interior 
do condutor. A força sobre uma carga é zero, como 
q
F
E = , temos E=0. Portanto, quando 
o condutor atinge o equilíbrio eletrostático, o campo no interior do condutor é zero. 
A lei de Gauss confirma que nessas condições, a carga em excesso no condutor deverá 
estar na superfície. Para uma superfície gaussiana logo abaixo da superfície do condutor, 
temos: 
0
q
AdE =•= 

 ; 
0
0

q
== ; devido a E=0 teremos 0=q ; portanto “não há 
carga no interior do condutor”. 
 
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26 
Se a carga não está dentro da superfície gaussiana que está logo abaixo da superfície 
do condutor, ela somente poderá estar fora, isto é, na superfície do condutor. 
No exterior do condutor, haverá campo elétrico, este será perpendicular a superfície. 
Caso fosse tangente provocaria correntes eletrônicas retirando o condutor do equilíbrio. 
Isto também é válido para condutores com cavidade. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: calcular o campo proximo de uma placa isolante. 
Exemplo 5: caluclar o campo próximo de uma placa condutora. 
Exemplo 6: calcular o campo a distância r de uma linha carregada 
Exemplo 7: determinar o campo no interior e exterior de uma esfera condutora de raio R. 
 
Primeira lista de exercícios – Carga Elétrica e Campo Elétrico 
1. Assinale com (V) a alternativa verdadeira e (F) se a alternativa for falsa. 
 ( ) Na eletrização por contato ocorre transferência de carga no momento do contato até que os 
objetos atinjam o mesmo potencial elétrico. Se os objetos forem condutores de mesmo formato 
o objeto menor ficará com menos carga que o maior. 
( ) Na lei de Gauss , a superfície imaginária ou superfície gaussiana deve ser 
fechada, podendo ter qualquer formato. A carga q é do sistema de cargas, não é necessariamente 
a carga de dentro da superfície Gauss, já que podem ser escolhidas superfícies muito pequenas. 
0
q
AdE =•= 

E=0 
E 
E E 
Figura 17: condutor carregado 
positivamente em equilíbrio eletrostático. 
 
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27 
( ) Quando você caminham sobre um tapete de náilon num dia bem seco e a seguir toca um 
objeto metálico grande, tal como uma maçaneta, pode ocorrer uma faisca e você sentirá o 
choque. Nesse caso ocorre a eletrização entre você e o tapete. Uma pessoa sente o choque 
quando está necessariamente cheio de cargas, quanto mais cargas elétricas num corpo, maior é 
o choque elétrico. 
( ) Um objeto constituído de material isolante possui uma densidade de carga volumétrica 
distribuída em todo o objeto. Caso tivermos um objeto condutor como uma esfera de aço, o 
campo elétrico existirá somente no exterior, porém se essa esfera for oca, o campo não será zero 
no seu centro. 
( ) Quando acionamos o interruptor, estamos fechando o circuito elétrico, com isso é 
estabelecido um campo elétrico nos condutores e como resultado haverá uma força elétrica que 
moverá os elétrons livres para percorrerem os fios condutores e transmitirem a energia elétrica 
para lâmpadas, ventiladores e outros consumidores. 
 
 
 
2. Qual a carga de um corpo que possui 3,0  1025 elétrons em excesso. R: 4,8  106C 
3. A massa de uma moeda de cobre é m = 3,11 g. Sendo eletricamente neutra, ela contém 
quantidades iguais de cargas positivas e negativas. Qual é o módulo q da carga total 
positiva (ou negativa) na moeda. 
Observação: Para saber o valor desta carga, teremos de saber inicialmente o número 
(estimado) de átomos contidos nesta moeda. Isto pode ser calculado por N=NA m/M, 
onde NA é o número de Avogadro igual a 6,0210
23 át/mol e M é a massa molar do 
cobre, 63,5 g/mol. Também é necessário levar em consideração o número atômico do 
cobre. R: ~ 137.000 C. 
4. Vimos que na moeda de cobre do exercício 5, a carga total positiva (ou negativa) tem 
módulo igual a 1,37105 C. Suponhamos que as cargas positivas e negativas da moeda 
pudessem ser concentradas em dois pacotes distintos, afastados de 100 m um do outro. 
Que força atrativa atuaria sobre cada pacote? R: 1,691016 N 
 
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28 
5. Segundo a teoria dos quarks (postulada sua existência em 1964), essas partículas 
teriam cargas (quark d) e (quark u); o próton, por exemplo, seria formado 
por dois quarks u e um quark d; e o neutro seria formado por dois quark d e um 
quark u. Mostre que a soma das cargas dos quarks formadores do próton e do nêutron 
é coerente com a carga do próton e nêutron apresentada na tabela 1. 
6. A distância média r entre o elétron e o próton no núcleo do átomo de hidrogênio é de 
5,310-11 m. Qual é o módulo da força eletrostática média entre estas duas partículas? R: 
8,210-8 N 
7. A força eletrostática entre dois íons iguais, separados por uma distância de 5,0 . 10-10 m, 
vale 1,48 . 10-8 N. (a) Calcule a carga de cada íon. (b) Quantos elétrons estão faltando em 
cada ion? (R: (a) 6,4 . 10-19 c (b) quatro) 
8. Na formação do cristal de cloreto de sódio (NaCl) a distância entre o íon Na+ e o íon de 
Cl- é aproximadamente3,0 angstron (1 angstron=10-10m). Determine o módulo da força 
elétrica de atração. R:2,56x10-9 N 
9. A Terra possui uma carga elétrica líquida que produz um campo elétrico 
orientado para o centro da Terra com modulo de 150 N/C em pontos nas 
vizinhanças de sua superfície. Qual seria o módulo e o sinal da carga líquida que uma 
pessoa de 60,0 kg deveria possuir para que seu peso fosse igual e contrário à força 
produzida pelo campo elétrico da Terra? R: 3,92C 
10. De acordo com o manual de padrões de segurança do IEEE (Instute of Electrical 
and electronic and engineers), os seres humanos devem evitar exposições 
prolongadas a campos superiores de 614 N/C. Nessas condições (campo de 614 
N/C), qual é o módulo da força elétrica que atua sobre um elétron? R: 9,8x10-17N 
11. Calcule a força resultante que atua na carga do canto esquerdo inferior do quadrado? 
R: 
3
e
−
3
2
e
+
















−+








+ 2
2
2
2
2
4
4
1
2
2
ji
a
q
o
a 
+2q 
+q 
 
- q 
 
- 2q 
 
 
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29 
 
 
12. O experimento da gota de óleo de 
Millikan. Em um experimento clássico , R. 
A. Millikan (1868-1953) mediu a carga 
eletrônica. Formaram-se gotas de óleo por um 
atomizador, e algumas delas caíram por um 
orifício em uma região de um campo elétrico 
uniforme entre as placas carregadas. Millikan 
podia observar uma determinada gota através de um microscópio e determinar sua massa 
medindo sua velocidade terminal. Millikan então carregou a gota, irradiando-a com raios-
x, e ajustou o campo elétrico de modo que a gota ficasse em equilíbrio estático em razão 
das forças gravitacionais e elétricas iguais e opostas. (a) Qual é a carga em uma gota de 
massa 2,3210-14 Kg que permanece suspensa em um campo elétrico de 2,03105 N/C? 
Admita g=9,8 m/s2. (b) Quantas cargas eletrônica a resposta da parte (a) representa? R: 
(a) 1,12 10-18C (b)7 
13. Calcule campo elétrico no centro do quadrado da 
igura ao lado? considere q = 1,0 . 10-8 C e a = 5 
cm. R: 1,02 . 105 j 
 
 
a 
-q +2q 
+q -2q 
 
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30 
14. Uma carga Q positiva é distribuída uniformemente sobre um fio 
semicircular de raio R. Determine o campo elétrico no ponto O. 
R: 
 
15. O valor do campo elétrico sobre o eixo de um anel carregado é dado pela equação 
, onde q é a carga total do anel, R é o raio do anel. Apartir desta 
equação, determine: (a) o valor do campo elétrico para um ponto muito afastado do anel 
(z>>R). Comente a resposta. Resp: . (b) o valor do campo elétrico no 
centro do anel (z=0). Comente a resposta. Resp: E=0 
16. Determine o campo elétrico próximo a um piso cerâmico carregado com densidade 
de carga . Este piso pode ser considerado como uma plano não condutor e infinito. 
A equação que permite determinar o campo elétrico sobre o eixo do disco a uma 
distância Z do seu centro é dado por onde R é o raio do disco. 
17. Uma carga pontual de 1,8 C encontra-se no centro de uma superfície gaussiana cúbica 
com 55 cm de aresta. Calcule o valor do fluxo através desta superfície. R: 2,03x105Nm2/C 
18. Calcule pela lei de Gauss o campo devido a um plano carregado (placa não condutora). 
R: 
19. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma 
densidade superficial de cargas de 8,1 C/m2. (a) Determine a carga total sobre a esfera. 
(b) Qual é o valor do fluxo elétrico líquido que está deixando a superfície da esfera? 
(represente a superfície gaussiana) R: a) 3,7 . 10-5 C b) 4,14 . 106 Nm2/C 
R2
E
0

=
2
3
22
0 )zR(
zq
4
1
E
+
=

2
0
z
q
4
1
E

=






+
−=
22
0
1
2 Rz
Z
E


o
E


2
=
 
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31 
20. Uma infinita linha de cargas produz um campo de 4,5 . 104 N/C a uma distância de 2 m. 
(a) Encontre pela lei de Gauss a expressão do campo a uma distância r do condutor.
 (b) Calcule a densidade de carga linear. 
21. Determinou-se, experimentalmente, que o campo elétrico numa certa região da 
atmosfera terrestre, está dirigido verticalmente para baixo. Numa altitude de 300 m, o 
campo tem módulo de 60,0 N/C; e numa altitude de 200 m, 100 N/C. Determine a 
carga líquida contida num cubo de 100 m de aresta, com as faces horizontais nas altitudes 
de 200 e 300 m. Despreze a curvatura da terra. R: 3,54  10-6 C 
22. Em meio a uma tempestade ocorre a formação de um raio. Esse raio é uma descarga 
elétrica ou simplesmente uma corrente elétrica formada de elétrons e íons do gás. Para 
ocorrer esse fenômeno, o meio precisa de um campo elétrico com um valor mínimo, 
para o ar é necessário um campo de 3,0x106 N/C. Qual é o valor da força elétrica sobre 
um elétron sob esse valor de campo elétrico. 
23. Um dipolo elétrico com momento de 0,032x10-28 C.m faz um ângulo de 20O com um 
campo elétrico uniforme de 3x103 N/C. Calcular o valor do torque do campo sobre o 
dipolo. OBS: Um dipolo elétrico é formado por duas cargas de sinais contrários afastadas 
uma da outra por uma distância d. Este dipolo possui um momento, chamado de 
momento de dipolo (p=qd), onde q é o módulo das cargas. O módulo de p é qd e o 
sentido é da carga negativa para positiva. Quando este dipolo é mergulhado em um 
campo elétrico, sofre um torque 𝜏 = 𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛Ɵ. Veja figura do exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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