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Aula 03 
Estatística para Agente da PCDF 
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Sumário 
SUMÁRIO ..................................................................................................................................................2 
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM ...................................................................................................................... 3 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ..................................................................................................... 4 
PERMUTAÇÃO SIMPLES .................................................................................................................................... 7 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO ..................................................................................................................... 10 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR ................................................................................................................................ 13 
ARRANJO SIMPLES .......................................................................................................................................... 14 
ARRANJO COM REPETIÇÃO ............................................................................................................................. 17 
COMBINAÇÃO.................................................................................................................................................. 18 
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO ..................................................................................................................... 21 
COMENTÁRIOS ADICIONAIS ........................................................................................................................... 24 
QUESTÕES DE PROVA COMENTADAS ..................................................................................................... 27 
LISTA DE QUESTÕES............................................................................................................................... 80 
GABARITO ............................................................................................................................................. 99 
RESUMO DIRECIONADO ....................................................................................................................... 100 
 
 
 
 
 
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Princípios de Contagem 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos neste encontro: 
 
Princípios de contagem (Pré-requisito para Probabilidade) 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
 
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PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
Imagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2 pares de tênis. De quantas maneiras 
diferentes você pode se vestir? Ora, basta imaginar que para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4 
camisetas, e para cada conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer dos 2 pares de tênis. 
O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz que para obter a quantidade total de 
maneiras de se vestir basta multiplicar o número de calças pelo número de camisas e pelo número de tênis, isto 
é: 
Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24 
Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e independentes (escolha da calça, da 
camiseta e do tênis), basta multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento (isto é, 3 
possibilidades para o acontecimento “escolha da calça”; 4 para a “escolha da camiseta” e 2 para a “escolha do 
tênis”). 
Vejamos um outro exemplo: quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
Note que precisamos formar números com o formato “ABC”, onde cada letra simboliza um algarismo. 
Para a posição A temos 6 opções de algarismos. Para a posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo 
ocorre na posição C. Portanto, a quantidade de números de 3 algarismos é dada pela multiplicação: 
6 x 6 x 6 = 216 possibilidades 
E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados devem ter os 3 algarismos distintos? 
Neste caso, teríamos também 6 opções para preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais 
podemos usar o número que já foi utilizado para A. Portanto, temos 5 opções. E para a posição C, restam apenas 
4 opções. Assim, teríamos: 
6 x 5 x 4 = 120 possibilidades 
E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com algarismos distintos, o algarismo 2 
sempre deve estar presente? Ora, precisamos calcular quantos números podemos formar tendo o 2 na posição 
A, depois na posição B, e depois na posição C. 
Se o 2 estiver na posição A, teremos números do tipo “2BC”. Para a posição B temos 5 opções de 
algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a posição C temos 4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 
possibilidades de números do tipo 2BC. Analogamente, para números do tipo “A2C”, temos 5 x 1 x 4 = 20 
possibilidades. Temos outras 20 possibilidades para números do tipo “AB2”. Ou seja, ao todo temos 60 
possibilidades. 
 
Você reparou que nos exemplos anteriores nós haviamos efetuado apenas multiplicações para chegar no 
resultado, e neste último exemplo foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para você saber quando 
somar e quando multiplicar é perceber a presença das expressões “E” e “OU”. Veja como fazer isso: 
- no exemplo das camisetas, calças e tênis, tínhamos 4 possibilidades para as camisetas E 3 possibilidades 
para as calças E 2 possibilidades para os tênis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2. 
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- para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tínhamos 6 
possibilidades para o primeiro algarismo E 5 possibilidades para o segundo E 4 possibilidades para o terceiro, 
de modo que novamente efetuamos a multiplicação 6 x 5 x 4. 
- já para obter números de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse presente, vimos que o 2 podia estar 
na primeira posição OU na segunda posição OU na terceira posição. Foi por isso que tivemos que somar as 20 
possibilidades de ter o 2 na primeira posição com as 20 possibilidades de ele estar na segunda posição e com as 
20 possibilidades de ele estar na terceira posição. 
Lembrando-se que o “E” remete à multiplicação e o “OU” remete à soma, você dificilmente errará uma 
questão. Em uma abordagem mais acadêmica, dizemos que: 
- o princípio multiplicativo é utilizado no caso de eventos independentes (a escolha da camiseta independe da escolha da 
calça, que independe da escolha do tênis); 
- o princípio aditivo é utilizado no caso de eventos mutuamente excludentes (a presença do 2 em uma posição exclui a 
possibilidade de ele estar nas demais posições); 
 
Vejamos algumas questões introdutórias: 
FUNDATEC – PC/RS – 2018) Considerando um alfabeto com 26 letras distintas e 9 algarismos distintos, 
quantas placas podem ser construídas com a sequência de duas letras seguidas de 3 algarismos, sendo que as 
letras podem ser maiúsculas ou minúsculas, como, por exemplo, Ai234, Bb677, ou GG123? 
A) 492.804. 
B) 676.000. 
C) 1.336.608. 
D) 1.971.216. 
E) 2.704.000. 
RESOLUÇÃO: 
 Como as letraspodem ser maiúsculas ou minúsculas, temos 52 opções de letras, e não apenas 26. 
 Repare que nada foi dito sobre a impossibilidade de termos letras ou números distintos. Assim, podemos 
repetir as letras e números. 
 Para a primeira letra, temos 52 opções, e para a segunda letra também são 52 opções. 
 Para o primeiro algarismo temos 9 opções. Para o segundo e terceiro algarismos também temos 9 
opções. 
 Ao todo, temos: 
52x52x9x9x9 = 1.971.216 possibilidades 
Resposta: D 
 
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FCC – ALESE – 2018) Quatro parlamentares, sendo dois do partido X e dois do partido Y, inscreveram-se para 
discursar na tribuna em determinada sessão. A ordem dos discursos deverá ser definida de modo que as falas 
de dois parlamentares do mesmo partido não ocorram uma em seguida da outra. O número de maneiras 
diferentes de estabelecer a ordem dos discursos respeitando essa condição é igual a 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 8. 
(D) 12. 
(E) 16. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos imaginar as 4 posições das pessoas que vão discursar na tribuna: 
____ ____ ____ ____ 
 Sabemos que qualquer uma das 4 pessoas pode ser a primeira a discursar. Portanto, temos 4 
possibilidades para esta posição: 
__4__ ____ ____ ____ 
 
 A segunda pessoa a discursar não pode ser do mesmo partido da primeira, como afirmou o enunciado. 
Assim, a segunda pessoa a discursar deve ser uma das 2 que fazem parte do OUTRO partido. Temos apenas 2 
possibilidades para a segunda pessoa: 
__4__ __2__ ____ ____ 
 
 A terceira pessoa a discursar só pode ser UMA: a pessoa restante do partido daquela que foi a primeira a 
discursar. Logo, só temos 1 possibilidade para a terceira casa: 
__4__ __2__ __1__ ____ 
 
 A quarta pessoa a discursar só pode ser UMA: a pessoa restante do partido daquela que foi a segunda a 
discursar. Logo: 
__4__ __2__ __1__ __1__ 
 
 Podemos multiplicar as possibilidades, obtendo: 
4x2x1x1 = 8 formas de organizar 
Resposta: C 
 
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FGV – PREF SALVADOR/BA – 2017) Cinco pessoas de diferentes alturas devem ocupar as cinco cadeiras abaixo 
para uma fotografia. 
 
O fotógrafo pediu que nem o mais baixo nem o mais alto ocupassem as cadeiras das extremidades. 
Respeitando essa condição, o número de maneiras como as pessoas podem se posicionar para a fotografia é 
a) 12. 
b) 18. 
c) 24. 
d) 36. 
e) 72. 
RESOLUÇÃO: 
 Em um total de 5 pessoas, a mais alta e a mais baixa não devem se sentar nas extremidades. Essa é uma 
RESTRIÇÃO presente no enunciado do exercício, e sempre devemos começar analisando as restrições. 
 Logo, o número de possibilidades para a 1ª cadeira é 5 – 2 = 3. Escolhida a pessoa da primeira cadeira, 
restam 5 – 2 – 1 = 2 pessoas para a 5ª cadeira. Assim, já foram escolhidas as duas pessoas para as cadeiras das 
extremidades. Para a 2ª, 3ª e 4ª cadeiras restam 3 pessoas a serem escolhidas. Podemos colocar qualquer uma 
das 3 na segunda cadeira, sobrando 2 pessoas disponíveis para a terceira cadeira, e 1 pessoa para a quarta 
cadeira. Veja: 
 3 x 3 x 2 x 1 x 2 = 36 possibilidades 
 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 
Resposta: D 
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem se sentar em uma fileira do cinema, 
uma ao lado da outra. De quantas maneiras diferentes podemos sentar essas pessoas? 
Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. Isto é, temos 5 possibilidades. Já na 
segunda cadeira, temos apenas 4 possibilidades, pois necessariamente uma pessoa já estará ocupando a 
primeira cadeira. Para terceira cadeira sobram 3 possibilidades, assim como sobram 2 possibilidades para a 
quarta cadeira, e uma para a última. Veja isso na tabela abaixo: 
Cadeira 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 
Possibilidades 5 4 3 2 1 
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de ocupação 
Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para obter o número total de formas de sentar 
as pessoas: 
Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma dessas 120 possibilidades de arrumação 
das pessoas, as mesmas 5 pessoas estão presentes. O que torna diferente uma possibilidade da outra é somente 
a ordem de posicionamento das pessoas. 
Esse tipo de problema, onde o objetivo é arrumar “n” elementos em “n” posições distintas (no caso, 5 
pessoas em 5 cadeiras), e onde a ordem de arrumação dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é 
chamado de PERMUTAÇÃO SIMPLES. O cálculo da permutação simples de n elementos é dada pela fórmula 
abaixo: 
P(n) = n! 
Nesta fórmula, n! significa “n fatorial”. Na matemática, chamamos de fatorial de um número “n” o 
produto de todos os números inteiros e positivos iguais ou inferiores a n, isto é: 
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1 
Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos aplicar esta fórmula na questão das 
cadeiras do cinema, teríamos: 
P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas 
Atenção para um detalhe: só podemos usar a fórmula de permutação simples nos problemas onde a 
ordem de arrumação dos “n” objetos torne uma possibilidade diferente da outra! Vamos nos deparar com vários 
problemas onde a ordem não torna uma possibilidade diferente da outra – e não poderemos resolvê-los de 
maneira tão simples como a vista aqui. 
Vejamos um outro exemplo de permutação simples: quantos anagramas podemos formar utilizando 
todas as letras da palavra BRASIL? 
Um anagrama é um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, é um anagrama da palavra BRASIL. Veja 
que em BRASIL temos 6 letras distintas entre si, isto é, sem repetição. Assim, cada anagrama será formado por 
6 letras, distribuídas entre 6 posições: 
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 
Letras 
disponíveis 
6 5 4 3 2 1 
Veja que o total de anagramas será dado por 6!, isto é, 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Utilizando a fórmula: 
P(6) = 6! = 720 
Veja como já foi cobrado: 
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CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) Os indivíduos S1, S2, S3 e S4, suspeitos da prática de um ilícito penal, 
foram interrogados, isoladamente, nessa mesma ordem. No depoimento, com relação à responsabilização pela 
prática do ilícito, S1 disse que S2 mentiria; S2 disse que S3 mentiria; S3 disse que S4 mentiria. 
A partir dessa situação, julgue os itens a seguir. 
( ) Se os quatro suspeitos tiverem nascido nos estados da Bahia, de Pernambuco, do Rio de Janeiro e de São 
Paulo, cada um em um estado diferente, e atualmente residirem nesses mesmos estados, ainda que alguns 
deles possam ter se mudado de um estado para outro, a quantidade de possibilidades de naturalidade e 
residência dos acusados é inferior a 100. 
RESOLUÇÃO: 
 O número de formas de distribuir as 4 naturalidades (BA, PE, RJ e SP) entre as 4 pessoas (S1, S2, S3 e S4) 
é dado pela permutação simples das 4 naturalidades, visto que a ordem de distribuição é relevante. Isto é, 
P(4) = 4! = 24 possibilidades. 
 O número de formas de distribuir as 4 opções de residência atual entre as 4 pessoas também é dado pela 
permutação P(4) = 4! = 24 possibilidades, considerando que cada um está residindo em um estado diferente. 
 Portanto, o número de possibilidades de distribuição das naturalidades E das residências é dado pela 
multiplicação 24 x 24 = 576, visto que são escolhasindependentes e sucessivas. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
FCC – SEFAZ/PE – 2015) A prova de raciocínio lógico de um concurso foi elaborada com 10 questões, sendo 4 
fáceis, 3 médias e 3 difíceis. Para criar diferentes versões dessa prova, a organização do concurso pretende 
trocar a ordem das questões, mantendo sempre as fáceis no início, as médias no meio e as difíceis no final e 
respeitando as seguintes restrições colocadas pelo elaborador: 
− há duas questões fáceis que, por se referirem a uma mesma figura, devem ser mantidas uma após a outra, 
em qualquer ordem; 
− há ainda uma questão média e uma difícil que se referem a um mesmo texto, devendo também ser mantidas 
uma após a outra, com a média aparecendo primeiro. 
Nessas condições, o número de diferentes versões que a organização do concurso poderá criar para essa prova 
é igual a 
(A) 54. 
(B) 40. 
(C) 24. 
(D) 36. 
(E) 48. 
RESOLUÇÃO: 
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 Como duas das quatro questões fáceis precisam ficar juntas, podemos começar tratando essas duas 
questões como se fossem uma só. Assim, devemos permutar três questões fáceis entre si, totalizando P(3) = 3! 
= 6. Precisamos multiplicar esse resultado por 2, afinal as duas questões que devem ficar juntas podem vir em 
qualquer ordem entre si. Assim chegamos a 2x6 = 12 formas de organizar as questões fáceis. Como uma 
questão média deve ser seguida obrigatoriamente por uma das questões difíceis, podemos permutar apenas 
as duas primeiras questões médias, em um total de P(2) = 2! = 2 possibilidades. Da mesma forma podemos 
permutar apenas as duas últimas questões difíceis entre si, totalizando 2 possibilidades. 
 Assim, ficamos com 12 formas de permutar as questões fáceis entre si, duas formas de permutar as 
questões médias entre si, e outras duas formas de permutar as questões difíceis entre si. Como essas 
permutações são umas das outras, podemos utilizar o princípio multiplicativo obtendo um total de 12x2x2 = 48 
formas de montar a prova. 
Resposta: E 
 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
Imagine que você queira calcular o número de anagramas da palavra ARARA. A princípio você usaria a 
fórmula de permutação simples, como fizemos no caso de BRASIL. Porém ARARA possui 3 repetições da letra 
A e 2 repetições da letra R. Isso faz com que alguns anagramas seja, na verdade, repetições uns dos outros. 
Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde simplesmente trocamos de posição o 2º R 
com o 2º A. Este mesmo anagrama poderia ter sido construído trocando de posição o 1º R com o 2º A, e, a 
seguir, colocando o 1º A na última posição. Não podemos contar 2 vezes esses anagramas, pois eles são 
idênticos. 
Por isso, quando há repetição devemos usar a fórmula da permutação simples, porém dividir o resultado 
pelo número de permutações de cada letra repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo que o A repete-se 3 
vezes e o R repete-se 2 vezes, temos: 
5!
(5 ; 3 2) 10
3! 2!
PR e  

anagramas 
Generalizando, podemos dizer que a permutação de n elementos com repetição de m e p é dada por: 
!
( ; )
! !
n
PR n m e p
m p


 
Veja comigo as questões a seguir: 
CESPE – EMAP – 2018) No Porto de Itaqui, 16 contêineres serão embarcados em 2 navios: cada navio deverá 
levar exatamente 8 desses contêineres. Do total de contêineres, 8 estão carregados com frango congelado, 3, 
com carne bovina congelada e 5, com soja. 
A partir dessas informações, julgue o item que segue. 
A quantidade de maneiras distintas de se embarcarem, no primeiro navio, 4 contêineres de frango congelado 
e 4 de soja e, no segundo navio, 4 contêineres de frango congelado, 1 de soja e 3 de carne bovina congelada é 
superior a 330. 
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RESOLUÇÃO: 
No primeiro navio teremos 4 de frango e 4 de soja. Podemos pensar que temos algo do tipo FFFFSSSS, em que 
cada F representa um contêiner de frango e cada S representa um contêiner de soja, ou seja, permutação de 8 
com repetição de 4 e de 4. Assim, temos: 
8! 8 7 6 5 4! 8 7 6 5
P (8;4,4)
4!4! 4!4! 4!
8 7 6 5 2 7 5
P (8;4,4) 70
4 3 2 1 1
R
R
      
  
    
  
  
 
Assim, temos 70 formas de realizar o embarque no primeiro navio. 
No segundo navio, teremos 4 contêineres de frango congelado, 1 de soja e 3 de carne bovina. Temos algo do 
tipo FFFFSCCC, ou seja, permutação de 8 com repetição de 4 e de 3. Assim, temos: 
8! 8 7 6 5 4! 8 7 6 5
P (8;4,3)
4!3! 4!3! 3!
8 7 6 5 8 7 5
P (8;4,3) 280
3 2 1 1
R
R
      
  
    
  
 
 
Uma vez que temos escolhas independentes e sucessivas multiplicamos as possibilidades, ou seja, para cada 
forma de embarque do primeiro navio, temos 280 formas possíveis de embarcar no segundo. Isso nos leva a 70 
x 280 = 19.600 maneiras de realizar o embarque, número superior a 330. Item correto. 
RESPOSTA: C 
 
FCC – SEFAZ/PI – 2015) A senha requerida para ligar um computador é formada pelas mesmas 8 letras da 
palavra TERESINA, com as vogais ocupando as 4 primeiras posições e, as consoantes, as 4 últimas. Conhecendo 
apenas essas informações, uma pessoa que deseja usar o computador vai digitando todas as possíveis senhas, 
até acertar a correta. Se essa pessoa nunca digitar a mesma senha mais de uma vez, conseguirá descobrir a 
senha correta em, no máximo, 
(A) 240 tentativas. 
(B) 144 tentativas. 
(C) 576 tentativas. 
(D) 196 tentativas. 
(E) 288 tentativas. 
RESOLUÇÃO: 
Observe que na palavra TERESINA temos quatro vogais, sendo duas repetidas, de modo que o total de 
permutações entre essas vogais é igual a: 
P(4;2) = 4! / 2! = (4 x 3 x 2)/2 = 12 
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Essa palavra também possui 4 consoantes sem nenhuma repetição de modo que o total de permutações entre 
essas consoantes é igual a: 
P(4) = 4! = 24 
Desse modo, como as permutações entre as vogais ocorrem de maneira independente das permutações entre 
as consoantes, o total de possibilidades que temos é dado pela multiplicação 12 x 24 = 288. 
Resposta: E 
 
AOCP – PM/TO – 2018) Considerando o uso da análise combinatória, é correto afirmar que, no total, é possível 
formar com a palavra TOCANTINS 
(A) 20160 anagramas. 
(B) 10080 anagramas que começam pela letra T. 
(C) 10080 anagramas que terminam com vogal. 
(D) 40320 anagramas que contêm as letras TT juntas. 
(E) 7560 anagramas que mantêm as vogais juntas. 
RESOLUÇÃO: 
 A palavra TOCANTINS tem 9 letras, com a repetição de 2 T e 2 N. O total de anagramas é: 
P(9; 2 e 2) = 9! / (2!x2!) = (9x8x7x6!)/(2×2) = 9x2x7x6! = 9x2x7x720 = 90.720 
 
 Para formar anagramas começando ela pela letra T, devemos permutar as letras OCANTINS, isto é, fazer 
a permutação de 8 letras com a repetição de 2 N, ficando: 
P(8; 2) = 8! / 2! = 8x7x6!/2 = 4x7x720 = 20.160 
 
 Para terminar com vogal, temos 3 possibilidades para a última letra. Para as demais letras, devemos 
permutar as 8 letras restantes, com repetição de 2 T e 2 N, ficando: 
P(8, 2 e 2) = 8! / (2!x2!) = 8x7x6!/(2×2) = 2x7x6! = 14×720 = 10.080 
 
 Devemos multiplicar este resultado por 3, obtendo 20.240 anagramas terminados por vogal. 
 
 Deixando as duas letras T juntas, podemos tratá-las como uma só. Assim, basta fazermos a permutação 
de 8 (e não 9) letras, com repetição de 2 N, ficando P(8, 2) = 8!/2! = 20.160 
 
 Se deixarmos as 3 vogais juntas, podemos tratá-las como uma letra só. Neste caso, ficamos com um total 
de 7 letras, com a repetição de 2 T e 2 N. A sua permutação é: 
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P(6, 2 e 2) = 7!/(2!.2!) = 5.040/(2×2) = 1.260 
 
 Em cada um desses 1.260 casos, temos que fazer a permutação das 3 vogais entre si, num total de: 
P(3) = 3! = 6 
 Temos então 6×1.260 = 7.560 anagramas. 
Resposta: E 
 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!. Entretanto, temos um caso particular de 
permutação, muito presente em provas de concurso, que é a Permutação Circular. 
Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras distintas podemos permutar 5 
pessoas em uma fileira de cinema com 5 lugares. E se, ao invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa 
redonda com 5 lugares? Observe as duas disposições abaixo das pessoas A, B, C, D, e E ao redor da mesa: 
 
Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais (afinal, a pessoa A tem à sua esquerda 
E, e à sua direita B, e assim sucessivamente). Não podemos contar duas vezes a mesma disposição. 
Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar à mesa, todas as 5 posições disponíveis são 
equivalentes. Isto porque não existe uma referência espacial. Nestes casos, devemos utilizar a fórmula da 
permutação circular de n pessoas, que é: 
Pc (n) = (n-1)! 
Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5 pessoas ao redor de uma mesa será: 
Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
Note que se houvesse uma posição da mesa com uma cadeira “de ouro”, por exemplo, passaríamos a ter 
uma orientação espacial em relação a esta cadeira, e deixaríamos de ter uma permutação circular. 
 Vejamos essa questão: 
CESPE – TRE/BA – 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças, igualmente divididas entre 4 
jogadores sentados face a face em torno de uma mesa retangular. As peças são retangulares e possuem uma 
marcação que as divide em duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada gravado, ou está gravado 
um determinado número de buracos que representam números. As metades representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 
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5, 6 e 0, sendo este último representado por uma metade sem marcação. Cada número ocorre em 7 peças 
distintas. Em 7 peças, denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe também uma variação 
de dominó conhecida como double nine, em que as metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, 
em um total de 55 peças. 
M. Lugo. How to play better dominoes. New York: 
Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações). 
A partir dessas informações, julgue o item subsequente. 
( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras distintas. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos 4 lugares ao redor da mesa nos quais devemos dispor os 4 jogadores. A princípio qualquer 
um dos quatro lugares tem o mesmo valor. Portanto, estamos diante de um caso de permutação circular de 4 
elementos, que é dada por: 
Pc(4) = (4 – 1)! = 3! = 6 
 Portanto, podem se sentar de 6 maneiras distintas. Item correto. 
Resposta: C 
 
ARRANJO SIMPLES 
Imagine agora que quiséssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas cadeiras do cinema, mas tivéssemos 
apenas 3 cadeiras à disposição. De quantas formas poderíamos fazer isso? 
Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis, isto é, 5 possibilidades. Já para a 
segunda cadeira, restam-nos 4 possibilidades, dado que uma já foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, na 
terceira cadeira poderemos colocar qualquer das 3 pessoas restantes. Veja que sempre sobrarão duas pessoas 
em pé, afinal temos apenas 3 cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas pessoas sentadas é dada 
pela multiplicação abaixo: 
Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60 
Um caso como esse, onde pretendemos posicionar “n” elementos em “m” posições (m menor que n), e 
onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é chamada de ARRANJO SIMPLES. Sua 
fórmula é dada abaixo: 
!
( , )
( )!
n
A n m
n m


 
Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teríamos: 
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!
( , )
( )!
5! 5! 5 4 3 2 1
(5,3)
(5 3)! 2! 2 1
(5,3) 5 4 3 60
n
A n m
n m
A
A


   
  
 
   
 
Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos elementos importa, isto é, a ordem 
dos elementos diferencia uma possibilidade de outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, Carlos, 
Daniela e Eduardo. Uma forma de posicionar essas pessoas em 3 cadeiras seria: 
Cadeira 1ª 2ª 3ª 
Ocupante Beto Daniela Eduardo 
Neste caso, Ana e Carlos estão de fora. Outra forma de posicionamento seria: 
Cadeira 1ª 2ª 3ª 
Ocupante Daniela Beto Eduardo 
Veja que, novamente, Ana e Carlos estão de fora. E Eduardo está no mesmo lugar. A única mudança foi a 
inversão de posições entre Beto e Daniela. Ou seja, uma simples alteração na ordem dos elementos gera uma 
nova possibilidade de posicionamento. É isso que quero dizer quando afirmo que “a ordem importa” para os 
casos de Permutação e Arranjo. 
Note ainda que podemos usar a fórmula de Arranjo para resolver um problema de Permutação simples. 
Isto porque a permutação também é uma ordenação de “n” elementos em “m” posições, porém nos casos de 
permutação n = m. Sabendo que 0! é, por definição, igual a 1, podemos calcular o número de permutações de 
5 pessoas em 5 cadeiras de cinema com a fórmula de arranjo: 
!
( , )
( )!
5! 5! 5 4 3 2 1
(5,5)
(5 5)! 0! 1
(5,5) 120
n
A n m
n m
A
A


   
  


 
Antes de avançarmos, trabalhe esta questão: 
FGV – ICMS/RJ – 2011) Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o segundo lugares de 
um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa). 
(A) 18.000. 
(B) 90. 
(C) 19. 
(D) 680. 
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(E) 18.000. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que podemos resolver essa questão sem uso de fórmulas. Inclusive, isto é o que eu recomendo fazer 
nas questões sobre arranjo. Temos 10 pessoas disponíveis para a primeira posição e, com isso, sobram 9 
pessoas para a segunda colocação, num total de 10x9 = 90 possibilidades. 
 Podemos pensar também que estamos diante de um arranjo de n = 10 pessoas em m = 2 posições. Na 
fórmula: 
𝐴(𝑛, 𝑚) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑚)!
 
𝐴 
(10,2) =
10!
(10 − 2)!
 
 
𝐴(10,2) =
10𝑥9𝑥8!
(8)!
 
 
𝐴(10,2) = 10𝑥9 
 
𝐴(10,2) = 90 
Resposta: B 
 
FCC – BB – 2010) Na sala de reuniões de uma empresa há uma mesa de formato retangular com 8 cadeiras 
dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo. 
 
Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-Presidente e 4 Membros da 
Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice- Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos 
modos podem ter se acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião? 
a) 720 
b) 360 
c) 120 
d) 72 
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e) 36 
RESOLUÇÃO: 
 O Presidente e o Vice são os únicos que tem lugar fixo. Os 4 membros podem se sentar nas 6 cadeiras 
disponíveis. Veja que esse é um caso de arranjo: pretendemos posicionar 4 elementos em 6 posições (4 < 6), e 
onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra. Vamos aplicar a fórmula: 
!
( , )
( )!
n
A n m
n m


 
A(6, 4) = 6!/2! = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 maneiras 
 Porém o Presidente e o Vice podem trocar de posição entresi, nas duas cabeceiras. Logo, devemos 
multiplicar essas maneiras por 2. 
Total = 360 x 2 = 720 maneiras 
 Sem utilizar a fórmula de arranjo, você poderia ter pensado que o primeiro dos 4 membros tem 6 cadeiras 
disponíveis, o segundo tem 5, o terceiro tem 4 e o quarto tem 3, totalizando 6x5x4x3 = 360 formas de eles 
escolherem suas cadeiras. Feito isso, basta multiplicar por 2 para considerar as permutações possíveis entre o 
presidente e o vice, chegando a 360x2 = 720 possibilidades. 
Resposta: A 
 
ARRANJO COM REPETIÇÃO 
Imagine que temos à disposição as letras A, B, C e D. Queremos utilizá-las para formar placas de carros. 
Assim, precisamos de formar grupos de 3 letras, sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto é, podemos 
ter placas como: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc. 
Para calcular o número de arranjos possíveis de “n” elementos em grupos de “m”, e podendo repetir os 
elementos, usamos a fórmula do Arranjo com repetição: 
A (n, m) = nm 
(leia: “arranjo de n elementos, m a m, é dado por n elevado a m) 
Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 (m = 3) podendo repetir as letras, será 
possível formar o total de arranjos abaixo: 
3
( , )
(4,3) 4
(4,3) 64 arranjos
mA n m n
A
A



 
Você pode resolver esse tipo de exercício sem o auxílio de fórmulas, apenas utilizando o princípio 
multiplicativo. Basta lembrar que você quer montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para 
cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 possibilidades. 
 
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COMBINAÇÃO 
Imagine agora que você tem à sua disposição aquelas mesmas 5 pessoas, porém agora precisa formar 
uma dupla para participar de um determinado evento. Quantas duplas distintas é possível formar? 
Veja que agora a ordem não importa mais. A dupla formada por Ana e Beto é igual à dupla formada por 
Beto e Ana. Nesses casos, estamos diante de um problema de Combinação. 
Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a duas, é possível formar. Isto é feito 
através da fórmula abaixo: 
 
!
( , )
! !
n n
C n m
m m n m
 
  
 
 
Veja que 
n
m
 
 
 
 é uma outra forma de simbolizar “combinação de n elementos, m a m”. Efetuando o 
cálculo para o exemplo acima, temos: 
 
 
!
( , )
! !
5 5! 5!
(5,2)
2 2! 5 2 ! 2! 3!
5 5 4 3 2 1
(5,2) 10
2 2 1 3 2 1
n n
C n m
m m n m
C
C
 
  
 
 
   
  
     
   
    
 
Portanto, há 10 combinações de 5 elementos, dois a dois. Isto é, há 10 formas de criar duplas tendo para 
isso 5 pessoas disponíveis. Vejamos quais seriam as 10 duplas: 
- Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo 
- Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo; 
- Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo; 
- Daniela e Eduardo. 
 
A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as contas. Ao invés de utilizar a fórmula acima, 
você pode chegar ao mesmo caso fazendo o seguinte: 
 
 
CÁLCULO SIMPLIFICADO – Combinação de “N” elementos em grupos de “M” 
1. multiplicar os “m” primeiros termos de “n!” 
2. dividir esse resultado por m! 
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No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros termos de 5! (que são 5 e 4) e dividir por 2! 
(2x1): 
5 4 20
(5,2) 10
2! 2
C

   
Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2 a 2, é igual à combinação de 5 
elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 – 2. Da mesma forma, a combinação de 15 elementos, 14 a 14, é igual à 
combinação de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 – 14). Generalizando: a combinação de n elementos, m a m, é igual 
à combinação de n elementos, (n-m) a (n-m): 
n n
m n m
   
   
   
 
Veja abaixo algumas questões sobre este assunto: 
CESPE – ABIN – 2018) Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Godel disputaram, 
no parque da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os 
quantitativos de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por gênero. 
A partir dessa tabela, julgue o item subsequente. 
 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se formar um time de vôlei com seis integrantes, sendo três homens 
da família Turing e três mulheres da família Godel, é superior a 700. 
RESOLUÇÃO: 
 Sempre que o objetivo for formar “equipes”, “times”, “grupos”, “comissões” etc. fique atento: 
provavelmente estamos diante de um caso de Combinação. Afinal nestes agrupamentos não interessa saber a 
ordem de escolha dos integrantes, interessa saber apenas quem são os integrantes. 
 Aqui, devemos fazer combinação de 3 dos 5 homens da família Turing e 3 das 9 mulheres da família Godel. 
Então: 
C(5,3) = 5!/3!2! = 10 
C(9,3) = 9!/3!6! = 84 
 O total de maneiras será: 10 x 84 = 840. Portanto, superior a 700. Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
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FCC – SEFAZ/MA – 2016) Jair tem 8 primos, dos quais irá convidar 5 para um jantar em sua casa. Ocorre que 2 
dos 8 primos só podem ir ao jantar se forem juntos. O total de escolhas diferentes dos 5 convidados que Jair 
pode fazer para o jantar é igual a 
(A) 26. 
(B) 36. 
(C) 40. 
(D) 56. 
(E) 30. 
RESOLUÇÃO: 
Temos duas possibilidades de convite: 
 1º - incluindo os dois primos que só vão juntos 
 2º - excluindo os dois primos que só vão juntos 
 
No primeiro caso nós já escolhemos 2 das 5 pessoas que serão convidadas (os 2 primos que vão juntos), faltando 
escolher apenas 3 das 6 pessoas restantes, num total de: 
C(6,3) = (6 x 5 x 4)/3! = 20 possibilidades 
No segundo caso nós devemos escolher 5 dos 6 primos (pois estamos desconsiderando os 2 que só vão juntos), 
totalizando: 
C(6,5) = 6!/5! = 6 possibilidades 
Ao todo temos 20 + 6 = 26 possibilidades. 
Resposta: A 
 
CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado 
voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para 
ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, 
nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B. 
Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 dos 30 passageiros selecionados de modo que pelo 
menos um deles tenha estado em C é superior a 100. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos 25 passageiros que estiveram APENAS em A ou B, de modo que os outros 5 passageiros 
estiveram APENAS em C. 
 Queremos escolher 2 pessoas de modo que pelo menos uma tenha estado em C. Veja que podemos 
resolver assim: 
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1- calcular todas as combinações possíveis entre 30 pessoas, em grupos de 2; 
2- calcular os casos que NÃO QUEREMOS, ou seja, casos onde as 2 pessoas NÃO tenham estado em C – basta 
combinar as 25 pessoas que foram somente para A ou B em grupos de 2. 
 
 Feitos os dois cálculos acima, basta subtrairmos do total aqueles casos que não queremos, concorda? 
Vamos fazer por etapas: 
 
1- O total de maneiras de escolher 2 das 30 pessoas é: 
 
 
2- Casos que não queremos: o total de formas de escolher 2 das 25 pessoas que foram somente para A ou B (e 
não foram para C): 
 
 
Assim, podemos dizer que: 
Casos em que alguém foi em C = TOTAL – Casos em que ninguém foi emC 
Casos em que alguém foi em C = 435 – 300 
Casos em que alguém foi em C = 135 
Item CERTO. 
Resposta: C 
 
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO 
 A combinação com repetição ocorre em situações onde devemos distribuir coisas que podem se repetir. 
Por exemplo, leia o enunciado dessa questão, mas NÃO tente resolver ainda: 
IAUPE – SESC/PE – 2013) Uma lanchonete vende 5 tipos diferentes de sanduíches. De quantos modos, uma 
pessoa pode comprar 7 sanduíches? 
A) 120 
B) 130 
C) 300 
D) 320 
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E) 330 
 
 Perceba que temos um total de n = 5 tipos de sanduíche. Entretanto, faremos uma distribuição de k = 7 
sanduíches para uma pessoa. Veja que esses 7 sanduíches podem conter repetições! Por exemplo, imagine que 
os tipos de sanduíche são A, B, C, D, E. Algumas formas de comprar 7 sanduíches estão abaixo: 
- comprar 2 sanduíches A, 2 sanduíches B, zero sanduíches C e D, e 3 sanduíches E. 
- comprar 1 sanduíche A, 1 B, 1 C, 3 D e 1 E. 
- comprar 7 sanduíches C. 
- comprar 3 sanduíches B e 4 sanduíches D. 
 
 Veja que é possível repetir tipos de sanduíche, e é possível não comprar NENHUM sanduíche de um 
determinado tipo. Este é um caso clássico de COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO. Para resolver, utilizamos a 
fórmula: 
𝐶(𝑛 + 𝑘 − 1, 𝑘) =
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘!. (𝑛 − 1)!
 
 Nesta fórmula, 
- n é o número de TIPOS de elementos a serem distribuídos (neste caso, n = 5 tipos de sanduíche); 
- k é o número de elementos que serão distribuídos (neste caso, k = 7 sanduíches). 
 
 Vamos agora resolver a questão juntos: 
IAUPE – SESC/PE – 2013) Uma lanchonete vende 5 tipos diferentes de sanduíches. De quantos modos, uma 
pessoa pode comprar 7 sanduíches? 
A) 120 
B) 130 
C) 300 
D) 320 
E) 330 
RESOLUÇÃO: 
 Estamos diante de um caso de combinação com repetição, visto que temos n = 5 tipos de produtos que 
devem ser distribuídos em grupos de k = 7 produtos, ou seja, vai haver repetição de tipos. Aplicando a fórmula 
da combinação com repetição: 
𝐶(𝑛 + 𝑘 − 1, 𝑘) =
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘!. (𝑛 − 1)!
 
 
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𝐶(5 + 7 − 1, 7) =
(5 + 7 − 1)!
7!. (5 − 1)!
 
 
𝐶(5 + 7 − 1, 7) =
(11)!
7!. (4)!
 
 
𝐶(5 + 7 − 1, 7) =
11𝑥10𝑥9𝑥8𝑥7!
7!. (4)!
 
 
𝐶(5 + 7 − 1, 7) =
11𝑥10𝑥9𝑥8
(4)!
 
 
𝐶(5 + 7 − 1, 7) =
11𝑥10𝑥9𝑥8
4𝑥3𝑥2𝑥1
 
 
𝐶(5 + 7 − 1, 7) =
11𝑥10𝑥9
3
 
 
𝐶(5 + 7 − 1, 7) = 11𝑥10𝑥3 
 
𝐶(5 + 7 − 1, 7) = 330 
Resposta: E 
 
 Vamos exercitar com mais uma questão sobre combinação com repetição: 
IADES – CFA – 2010) Uma floricultura vende orquídeas de 4 cores diferentes (vermelha, azul, amarela e 
branca). Aproveitando o Dia dos Namorados, a floricultura resolveu fazer uma oferta relâmpago: o cliente pode 
escolher 6 orquídeas e pagar apenas por 4 delas. De quantas maneiras diferentes um cliente pode aproveitar 
essa promoção: 
a) 15 
b) 21 
c) 45 
d) 84 
RESOLUÇÃO: 
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 Veja que temos n = 4 tipos de cores, e vamos pegar k = 6 elementos (orquídeas). Naturalmente, podemos 
repetir as cores das orquídeas. Estamos diante de um caso de combinação com repetição, cuja fórmula é: 
𝐶(𝑛 + 𝑘 − 1, 𝑘) =
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘!. (𝑛 − 1)!
 
 
𝐶(4 + 6 − 1, 6) =
(4 + 6 − 1)!
6!. (4 − 1)!
 
 
𝐶(4 + 6 − 1, 6) =
(9)!
6!. (3)!
 
 
𝐶(4 + 6 − 1, 6) =
9𝑥8𝑥7𝑥6!
6!. (3)!
 
 
𝐶(4 + 6 − 1, 6) =
9𝑥8𝑥7
(3)!
 
 
𝐶(4 + 6 − 1, 6) =
9𝑥8𝑥7
3𝑥2𝑥1
 
 
𝐶(4 + 6 − 1, 6) = 3𝑥4𝑥7 
 
𝐶(4 + 6 − 1, 6) = 84 
Resposta: D 
 
COMENTÁRIOS ADICIONAIS 
Agora que já conhecemos os arranjos, permutações e combinações, gostaria de gastar mais um tempinho 
reforçando as diferenças entre estas ferramentas. Como você verá ao longo dos exercícios, é essencial saber 
diferenciar se estamos diante de um caso de arranjo, permutação ou combinação, para só então resolvê-lo. 
Ao se deparar com uma questão, você deve responder sempre a seguinte pergunta: 
A ordem de escolha ou de disposição dos elementos torna uma escolha/disposição diferente da outra? 
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Exemplificando, imagine que você tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) à disposição, e o seu objetivo é formar 
equipes de 3 soldados. Veja que a equipe formada pelos soldados A, B, C é igual a equipe formada pelos 
soldados B, A, C, que também é igual à equipe formada pelos soldados C, B, A, e assim por diante. Isto é, a 
ordem de escolha dos soldados não é relevante, não torna uma escolha diferente da outra. 
Já se você quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C é diferente da fila B-A-C que é diferente da 
fila C-B-A, e assim por diante. Em uma fila, a ordem importa. Se trocamos a posição do primeiro colocado com 
a do último, temos uma fila diferente. Portanto, neste caso a ordem de escolha dos soldados é relevante, ou 
seja, torna uma escolha diferente da outra. 
Feita a pergunta, você tem duas possibilidades: 
- se a ordem NÃO É RELEVANTE: utilizar a fórmula de combinação. Isto é muito comum em questões 
onde o objetivo é formar equipes, grupos, comissões etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), 
concorda? 
- se a ordem É RELEVANTE: utilizar o princípio fundamental da contagem (aquela multiplicação simples), 
que se resume nas fórmulas de arranjos e permutações. No exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, 
concorda? Dependendo do caso, você precisa fazer alguns ajustes, como no caso de haver repetição. Isto é: 
- se houver repetição, basta dividir o resultado encontrado por n!, onde n é o número de repetições 
(ou usar direto a fórmula da permutação com repetição); 
- se houver mais de um item se repetindo, é preciso dividir por n!, s!, t! etc. (conforme o número 
de itens se repetindo). 
 
Caso 2 soldados fossem “idênticos”, de tal modo que não fosse possível diferenciá-los (digamos que D = 
E), quantas filas diferentes conseguiríamos formar? Ora, temos uma repetição de 2 elementos, certo? Portanto, 
o número de filas seria 5x4x3/2! . 
 
E se quiséssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa redonda? Aí teríamos a permutação 
circular, que é dada por (n-1)!, ou seja, 4! = 24. 
 
Por fim, qual a diferença entre Arranjo e Permutação? Imagine que você dispõe daqueles 5 soldados e 
pretende montar uma fila. 
- Quantas filas de 3 soldados você consegue? 5x4x3 = 60 
- E quantas filas com os 5 soldados você consegue? 5x4x3x2x1 = 120 
O primeiro caso é um arranjo, o segundo uma permutação. A diferença é que a permutação SEMPRE envolve 
TODOS os elementos disponíveis (você calcula quantas formas possíveis de dispor os 5 elementos possíveis), 
já o arranjo não envolve todos os elementos (para cada arranjo foi preciso usar apenas 3 dos 5 soldados, 
concorda?) 
Chega de teoria! Que tal praticarmos um pouco de tudo o que vimos até aqui? 
 
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Questões de prova comentadas 
1. CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) 
Os indivíduos S1, S2, S3 e S4, suspeitos da prática de um ilícito penal, foram interrogados, isoladamente, nessa 
mesma ordem. No depoimento, com relação à responsabilização pela prática do ilícito, S1 disse que S2 
mentiria; S2 disse que S3 mentiria;S3 disse que S4 mentiria. 
A partir dessa situação, julgue os itens a seguir. 
( ) Se os quatro suspeitos tiverem nascido nos estados da Bahia, de Pernambuco, do Rio de Janeiro e de São 
Paulo, cada um em um estado diferente, e atualmente residirem nesses mesmos estados, ainda que alguns 
deles possam ter se mudado de um estado para outro, a quantidade de possibilidades de naturalidade e 
residência dos acusados é inferior a 100. 
RESOLUÇÃO: 
 O número de formas de distribuir as 4 naturalidades (BA, PE, RJ e SP) entre as 4 pessoas (S1, S2, S3 e 
S4) é dado pela permutação simples das 4 naturalidades, visto que a ordem de distribuição é relevante. Isto é, 
P(4) = 4! = 24 possibilidades. 
 O número de formas de distribuir as 4 opções de residência atual entre as 4 pessoas também é dado 
pela permutação P(4) = 4! = 24 possibilidades, considerando que cada um está residindo em um estado 
diferente. 
 Portanto, o número de possibilidades de distribuição das naturalidades E das residências é dado pela 
multiplicação 24 x 24 = 576, visto que são escolhas independentes e sucessivas. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
2. CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) 
Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos países A, B ou 
C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que 
exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve 
em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B. 
Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 dos 30 passageiros selecionados de modo que pelo 
menos um deles tenha estado em C é superior a 100. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que temos 25 passageiros que estiveram APENAS em A ou B, de modo que os outros 5 passageiros 
estiveram APENAS em C. Veja ainda que 6 passageiros estiveram A e B, de modo que os outros 19 estiveram 
somente em um desses dois países. Temos uma representação assim: 
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O total de maneiras de escolher 2 das 30 pessoas é: 
 
Os casos que não possuem NINGUÉM que foi ao país C são aqueles que contam apenas com as 25 pessoas que 
foram em A ou B, ou seja, 
 
 
Assim, podemos dizer que: 
Casos em que alguém foi em C = TOTAL – Casos em que ninguém foi em C 
Casos em que alguém foi em C = 435 – 300 = 135 
Item CERTO. 
Resposta: C 
 
3. CESPE – EMAP – 2018) 
 No Porto de Itaqui, 16 contêineres serão embarcados em 2 navios: cada navio deverá levar exatamente 8 
desses contêineres. Do total de contêineres, 8 estão carregados com frango congelado, 3, com carne bovina 
congelada e 5, com soja. 
A partir dessas informações, julgue o item que segue. 
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A quantidade de maneiras distintas de se embarcarem os 8 contêineres no primeiro navio, de forma que 
exatamente 7 deles estejam carregados com frango congelado, é inferior a 100. 
RESOLUÇÃO: 
Temos ao todo 16 contêineres. Destes, 8 serão embarcados no primeiro navio. Desses 8, 7 devem ser de frango 
congelado. Temos duas opções para o terceiro contêiner: 
 Soja: neste caso, temos 7 contêineres de frango e 1 de soja. Ou seja, temos um caso de permutação 
de 8 elementos, com repetição de 7: 
8!
P (8;7) 8
7!
R   
 Carne: novamente, temos um caso de permutação de 8 elementos, com repetição de 7: 
8!
P (8;7) 8
7!
R   
Assim, existem 8 + 8 = 16 maneiras distintas de se embarcarem os 8 contêineres no primeiro navio, de forma 
que exatamente 7 deles estejam carregados com frango congelado, número esse inferior a 100. 
Resposta: C 
 
4. CESPE – EMAP – 2018) 
 No Porto de Itaqui, 16 contêineres serão embarcados em 2 navios: cada navio deverá levar exatamente 8 
desses contêineres. Do total de contêineres, 8 estão carregados com frango congelado, 3, com carne bovina 
congelada e 5, com soja. 
A partir dessas informações, julgue o item que segue. 
A quantidade de maneiras distintas de se embarcarem, no primeiro navio, 4 contêineres de frango congelado 
e 4 de soja e, no segundo navio, 4 contêineres de frango congelado, 1 de soja e 3 de carne bovina congelada é 
superior a 330. 
RESOLUÇÃO: 
No primeiro navio teremos 4 de frango e 4 de soja. Podemos pensar que temos algo do tipo FFFFSSSS, em que 
cada F representa um contêiner de frango e cada S representa um contêiner de soja, ou seja, permutação de 8 
com repetição de 4 e de 4. Assim, temos: 
8! 8 7 6 5 4! 8 7 6 5
P (8;4,4)
4!4! 4!4! 4!
8 7 6 5 2 7 5
P (8;4,4) 70
4 3 2 1 1
R
R
      
  
    
  
  
 
Assim, temos 70 formas de realizar o embarque no primeiro navio. 
No segundo navio, teremos 4 contêineres de frango congelado, 1 de soja e 3 de carne bovina. Temos algo do 
tipo FFFFSCCC, ou seja, permutação de 8 com repetição de 4 e de 3. Assim, temos: 
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8! 8 7 6 5 4! 8 7 6 5
P (8;4,3)
4!3! 4!3! 3!
8 7 6 5 8 7 5
P (8;4,3) 280
3 2 1 1
R
R
      
  
    
  
 
 
Isso nos leva a 70 + 280 = 350 maneiras de realizar o embarque, número superior a 330. Item correto. 
Resposta: C 
 
5. CESPE – ABIN – 2018) 
Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Godel disputaram, no parque da cidade, 
em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os quantitativos de membros 
de cada família presentes no parque, distribuídos por gênero. 
 
A partir dessa tabela, julgue o item subsequente. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se formar um time de vôlei com seis integrantes, sendo três homens 
da família Turing e três mulheres da família Godel, é superior a 700. 
RESOLUÇÃO: 
Sempre que o objetivo for formar “equipes”, “times”, “grupos”, “comissões” etc. fique atento: provavelmente 
estamos diante de um caso de Combinação. Afinal nestes agrupamentos não interessa saber a ordem de 
escolha dos integrantes, interessa saber apenas quem são os integrantes. 
Aqui, devemos fazer combinação de 3 dos 5 homens da família Turing e 3 das 9 mulheres da família Godel. 
Então: 
C(5,3) = 5!/3!2! = 10 
C(9,3) = 9!/3!6! = 84 
O total de maneiras será: 10 x 84 = 840. Portanto, superior a 700. Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
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6. CESPE – TRF1 – 2017) 
Em uma reunião de colegiado, após a aprovação de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 
contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Basta um de nós mudar de ideia e a decisão será 
totalmente modificada”. 
A quantidade de maneiras distintas de se formar o placar de 6 votos a favor e 5 contra, na decisão de um assunto 
polêmico pelos presentes no referido colegiado, é inferior a 500. 
RESOLUÇÃO: 
Note que basta selecionarmos 5 das 11 pessoas para votar contra, e os demais automaticamente votarão a 
favor. Como a ordem de escolha não importa, temos a combinação de 11 em grupos de 5, isto é, 
C(11,5) = 11x10x9x8x7 / (5x4x3x2x1) 
C(11,5) = 11x9x8x7 / (4×3) 
C(11,5) = 11x3x2x7 
C(11,5) = 462 
Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
7. CESPE – FUB – 2016) 
Em um intervalo para descanso, a assistente em administração Marta foi a uma lanchonete cujo cardápio 
oferecia 7 tipos diferentes de salgados, 4 tipos diferentes de bolos, 3 espécies diferentes de tapioca, sucos de 3 
sabores diferentes e 5 tipos diferentes de refrigerantes. 
A partir dessa situação hipotética, julgueos itens que se seguem. 
( ) Considere que Marta não coma salgado nem beba refrigerante e que o seu lanche contenha apenas uma 
comida e uma bebida. 
Nessa situação, considerando-se todas as opções do cardápio da lanchonete e todas as opções de lanche com 
apenas uma comida e uma bebida e escolhendo-se ao acaso uma dessas opções, a probabilidade de que ela 
não agrade Marta é inferior a 70%. 
( ) Caso Marta deseje apenas duas comidas diferentes e nenhuma bebida, ela poderá escolher seu lanche de 
mais de 100 maneiras distintas. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar cada alternativa: 
( ) Considere que Marta não coma salgado nem beba refrigerante e que o seu lanche contenha apenas uma comida 
e uma bebida. 
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Nessa situação, considerando-se todas as opções do cardápio da lanchonete e todas as opções de lanche com 
apenas uma comida e uma bebida e escolhendo-se ao acaso uma dessas opções, a probabilidade de que ela não 
agrade Marta é inferior a 70%. 
Existem 14 possibilidades de comida (7 salgados + 4 bolos + 3 tapiocas) e 8 possibilidades de bebida (3 sucos + 
5 refrigerantes). Portanto, considerando todas as maneiras possíveis de fazer um lanche com 1 comida e 1 
bebida, teremos: 
Possibilidades de lanche = 14 × 8 = 112 
Contudo, Maria não gosta de refrigerante nem de salgado. Então, existem 3 composições de lanche que não 
irão agradá-la: 
1 refrigerante e 1 salgado = 5 x 7 = 35 possibilidades 
1 refrigerante e 1 tapioca ou 1 bolo = 5 x 7 = 35 possibilidades 
1 suco e 1 salgado = 3 x 7 = 21 possibilidades 
Total de casos = 35 + 35 + 21 = 91 
Portanto, a probabilidade de que a escolha de um lanche não agrade Maria será de: 
Probabilidade = 91/112 = 0,8125 
Probabilidade = 81,25% 
Alternativa ERRADA. 
 
( ) Caso Marta deseje apenas duas comidas diferentes e nenhuma bebida, ela poderá escolher seu lanche de mais 
de 100 maneiras distintas. 
Maria deve optar por duas comidas dentre 14 tipos diferentes. Portanto: 
C(14;2) = 
14!
2!12!
 
C(14;2) = 
14 ×13
2
 = 7 × 13 
C(14;2) = 91 maneiras 
Portanto, será menor do que 100. Alternativa ERRADA. 
Resposta: E E 
 
8. CESPE – ANVISA – 2016) 
Situação Hipotética: A ANVISA, com objetivo de realizar a regulação de um novo medicamento, efetua as 
análises laboratoriais necessárias. Essas análises são assistidas por um grupo de 4 dos seus 8 técnicos 
farmacêuticos. Desses técnicos, 3 possuem cargo de chefia de equipe e por isso não trabalham juntos. 
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Assertiva: Nessa situação, considerando que em cada uma das equipes participa sempre apenas um dos três 
técnicos farmacêuticos chefes, então a quantidade de equipes distintas com 4 técnicos farmacêuticos não 
poderá ser formados é inferior a 25. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a equipe terá 1 chefe (dentre os 3 disponíveis) e mais 3 técnicos (dentre os 5 que não tem cargo de 
chefia). 
Assim, temos duas escolhas a serem feitas: a do chefe (3 possibilidades) e a dos 3 técnicos restantes dentre os 
5 disponíveis. Esta última é dada pela combinação: 
C(5,3) = 5x4x3/(3x2x1) = 10 possibilidades 
Ao todo, podemos formar 3×10 = 30 equipes. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
9. CESPE – FUB – 2016) 
Em um intervalo para descanso, a assistente em administração Marta foi a uma lanchonete cujo cardápio 
oferecia 7 tipos diferentes de salgados, 4 tipos diferentes de bolos, 3 espécies diferentes de tapioca, sucos de 3 
sabores diferentes e 5 tipos diferentes de refrigerantes. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item a seguir. 
( ) Se Marta desejar fazer um lanche com apenas uma opção de comida e apenas uma bebida, ela terá mais de 
100 maneiras distintas de organizar seu lanche. 
RESOLUÇÃO: 
Se existem 14 possibilidades de comida (7 salgados + 4 bolos + 3 tapiocas) e 8 possibilidades de bebida (3 sucos 
+ 5 refrigerantes), então: 
Maneiras = 14 x 8 = 112 
Serão mais de 100 maneiras distintas de organizar o lanche. Alternativa CORRETA. 
Resposta: C 
 
10. CESPE – MEC – 2015) 
 
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Um jogo é constituído de um tabuleiro com 4 filas (colunas) numeradas de 1 a 4 da esquerda para direita e de 
12 pedras — 4 de cor amarela , 4 de cor verde e 4 de cor branca. Essas 12 pedras devem ser distribuídas nesse 
tabuleiro de modo que cada fila contenha exatamente três pedras, todas de cores diferentes. Uma jogada será 
considerada válida se as 12 pedras estiverem distribuídas de acordo com essas regras. A figura acima apresenta 
uma possível jogada válida. 
A partir dessas informações, julgue o item seguinte considerando que, em cada fila, a ordem das pedras é 
definida de cima para baixo. 
O número de maneiras distintas de se obter uma jogada válida é superior a 1.200. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que na primeira fileira temos 3 possibilidades de cor para a primeira pedra (verde, amarela e branca). 
Depois de escolhida, restam 2 opções para a segunda pedra e, por fim, 1 para a terceira. Logo, é permutação 
de 3 cores: 
P = 3 x 2 x 1 = 6 maneiras 
Temos essa situação para as 4 fileiras. Então: 
6 x 6 x 6 x 6 = 1296 
Portanto, existem 1296 maneiras diferentes de dispor as pedras no tabuleiro. Logo, maior do que 1.200. Item 
CORRETO. 
Resposta: C 
 
11.CESPE – TRE/MT – 2015) 
Em um campeonato de futebol amador de pontos corridos, do qual participam 10 times, cada um desses times 
joga duas vezes com cada adversário, o que totaliza exatas 18 partidas para cada. Considerando-se que o time 
vencedor do campeonato venceu 13 partidas e empatou 5, é correto afirmar que a quantidade de maneiras 
possíveis para que esses resultados ocorram dentro do campeonato é. 
a) superior a 4.000 e inferior a 6.000. 
b) superior a 6.000 e inferior a 8.000. 
c) superior a 8.000. 
d) inferior a 2.000. 
e) superior a 2.000 e inferior a 4.000. 
RESOLUÇÃO: 
Imagine os 18 jogos, divididos em 13 vitórias e 5 empates. Imagine duas situações: vitória no primeiro jogo e 
empate no segundo; empate no primeiro jogo e vitória no segundo. Veja que são dois casos diferentes. 
Portanto, estamos diante de uma permutação de 18 jogos, com repetição de 13 vitórias e 5 empates. Fica: 
P = 
18!
13!5!
 
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P = 
18 x 17 x 16 x 15 x 14
5 x 4 x 3 x 2
 
P = 18 x 17 x 2 x 14 = 8.568 maneiras 
Portanto, é superior a 8.000 maneiras. 
Resposta: C 
 
12. CESPE – Polícia Federal – 2014) 
Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo 
batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das 
quadras. 
( ) Se a escala dos policiais for feita de modo a diversificar as duplas que policiam as quadras, então, se 
determinada dupla policiar a quadra X em determinado dia, essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X 
somente mais de seis meses após aquele dia. 
RESOLUÇÃO: 
Vimos que as maneiras de escolher duplas dentre todos os policiais, é calculada por: 
C(20;2) = 190 possibilidades 
Se uma dupla policiar a quadra X em determinado dia, ela voltará a policiar essa quadra depois de todas as 190 
duplas terem policiado. Portanto, em 190 dias. Em meses, fica: 
190
30
 = 6 e resto 10 
Ou seja, em 6 meses e 10 dias. Alternativa CORRETA. 
Resposta: C 
 
13. CESPE – TCDF – 2014) 
De um grupo de seis servidores de uma organização, três serão designados para o conselho de ética como 
membros titulares, e os outros três serãoos seus respectivos suplentes. Em caso de falta do membro titular no 
conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente. 
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens. 
( ) Tão logo os membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem escolhidos os 
suplentes. 
( ) O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos 
RESOLUÇÃO: 
( ) Tão logo os membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem escolhidos os suplentes. 
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Após escolher os 3 titulares (que chamaremos de A, B e C), restam 6 – 3 = 3 servidores. Destes, temos 3 
possibilidades para o suplente de A, 2 para o suplente de B e a restante para o suplente de C, totalizando 3 x 2 
x 1 = 6 possibilidades de escolher os suplentes. Item ERRADO. 
 
( ) O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos suplentes é superior a 
100. 
Inicialmente devemos escolher 3 dos 6 servidores para serem os titulares. Trata-se de uma mera combinação: 
C(6,3) = 6 x 5 x 4 / 3! 
C(6,3) = 20 
Assim, temos 20 possibilidades de escolha dos 3 titulares (a ordem entre eles não importa, afinal escolher A, B 
e C para serem titulares é o mesmo que escolher B, C e A). 
Para cada um desses trios, sobram 3 servidores para serem os suplentes, que podem ser distribuídos entre os 
titulares de 6 formas diferentes (como vimos no item anterior). 
Deste modo, ao todo temos 20 x 6 = 120 formas de escolher os titulares e seus respectivos suplentes. Item 
CORRETO. 
Resposta: E C 
 
14. CESPE – SUFRAMA – 2014) 
Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição de forma que 4 sejam do 
sexo feminino é inferior a 4.000. 
RESOLUÇÃO: 
Temos um total de 30 servidores, sendo 10 mulheres e 20 homens. Queremos escolher exatamente 4 das 10 
mulheres e 1 dos 20 homens para formar um grupo. 
Repare que a ordem de escolha das mulheres ou dos homens é irrelevante para a nossa análise. Escolher as 
mulheres Andressa, Bia, Clara e Daiane, nesta ordem, é o mesmo que escolher primeiro a Bia, depois a Daiane, 
depois a Andressa e por fim a Clara – afinal o grupo continuará sendo composto pelas mesmas 4 mulheres. Da 
mesma forma, também é irrelevante escolher o único homem antes de escolher as mulheres, depois de 
escolher as mulheres ou entre as escolhas das mulheres. Em qualquer caso, o grupo será composto por aquele 
homem escolhido e as 4 mulheres escolhidas. 
Quando a ordem de escolha é irrelevante, basta utilizarmos a fórmula da combinação para saber o número de 
grupos a serem formados. 
Começamos escolhendo 4 das 10 mulheres, o que é feito através da combinação das 10 mulheres em grupos 
de 4, ou seja: 
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10 9 8 7
(10,4)
4!
C
  
 
10 9 8 7
(10,4)
4 3 2 1
C
  

  
 
10 9 1 7
(10,4)
1 3 1 1
C
  

  
 
10 3 1 7
(10,4)
1 1 1 1
C
  

  
 
(10,4) 210C possibilidades 
Já para a escolha do único homem temos 20 possibilidades (qualquer um dos 20 disponíveis). 
Portanto, temos 210 possibilidades para a escolha das mulheres e 20 possibilidades para a escolha do homem. 
Repare que a escolha das mulheres é independente da escolha dos homens. Quando temos eventos 
independentes e sucessivos (devemos escolher as mulheres E escolher o homem), o total de casos é dado pela 
multiplicação das possibilidades: 
Nº de formas de escolher 4 mulheres e 1 homem = 210 x 20 
Nº de formas de escolher 4 mulheres e 1 homem = 4200 
Note que o item está ERRADO, pois o total é superior a 4000 (como costuma acontecer nas questões do CESPE, 
encontramos um número próximo àquele presente no enunciado). 
Resposta: E 
 
15. CESPE – Polícia Federal – 2014) 
Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo 
batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das 
quadras. 
Com referência a essa situação, julgue os itens subsequentes. 
( ) Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em determinado 
dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será superior a 0,5. 
( ) Se, dos 20 policiais do batalhão, 15 tiverem, no mínimo, 10 anos de serviço, e 13 tiverem, no máximo, 20 
anos de serviço, então mais de 6 policiais terão menos de 10 anos de serviço. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar as alternativas: 
( ) Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em determinado dia 
os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será superior a 0,5. 
As duplas podem ser formadas por dois homens ou por duas mulheres. 
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Os casos favoráveis de serem dois homens são calculados por combinações de 12 homens, dois a dois. Fica: 
C(12;2) = 
12×11
2
 = 6 x 11 = 66 possibilidades 
Para serem duas mulheres, serão: 
C(8;2) = 
8×7 
2
 = 4 x 7 = 28 possibilidades 
O conjunto universo é dado pelo total de policiais, escolhidos dois a dois: 
C(20;2) = 
20×19 
2
 = 10 x 19 = 190 possibilidades 
Portanto, a probabilidade de as duplas serem formadas por homens ou mulheres será de: 
P = 
66 
190
 + 
28 
190
 = 
94
190
 
P = 
47
95 
 ≅ 0,49 
Alternativa ERRADA. 
 
( ) Se, dos 20 policiais do batalhão, 15 tiverem, no mínimo, 10 anos de serviço, e 13 tiverem, no máximo, 20 anos 
de serviço, então mais de 6 policiais terão menos de 10 anos de serviço. 
Se 15 policiais possuem no mínimo 10 anos de serviço, ou seja, mais de 10 anos, então o restante dos policiais 
terá menos de 10 anos: 
20 – 15 = 5 policiais 
Alternativa ERRADA. 
Resposta: EE 
 
16. CESPE - TJ/SE - 2014) 
Um grupo de 15 turistas que planeja passear pelo rio São Francisco, no Canyon do Xingó, em Sergipe, utilizará, 
para o passeio, três barcos: um amarelo, um vermelho e um azul. Cada barco tem capacidade máxima para 8 
ocupantes e nenhum deles deixará o porto com menos de 3 ocupantes. Com base nessa situação hipotética, 
julgue os itens seguintes. 
 ( ) A quantidade de maneiras distintas de escolher 8 turistas para ocupar o barco azul e 7 para ocupar o barco 
amarelo é inferior a 8² × 7². 
( ) A quantidade de maneiras distintas de distribuir os 15 turistas pelos 3 barcos, de forma que cada barco seja 
ocupado por exatamente 5 turistas, é superior a 2² × 3² × 7² × 11². 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar cada item: 
( ) A quantidade de maneiras distintas de escolher 8 turistas para ocupar o barco azul e 7 para ocupar o barco 
amarelo é inferior a 8² × 7². 
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O número de formas de escolher 8 dos 15 turistas para o barco azul é dado pela combinação de 15 em grupos 
de 8. Ao fazer isso, automaticamente sobram 7 pessoas que poderão ocupar o barco amarelo. Portanto, basta 
calcular o número de formas de ocupar o barco azul: 
C(15,8) = 15x14x13x12x11x10x9x8/(8x7x6x5x4x3x2x1) 
C(15,8) = 15x14x13x12x11x10x9/(7x6x5x4x3x2x1) 
C(15,8) = 15x14x13x11x10x9/(7x6x5x2x1) 
C(15,8) = 15x14x13x11x9/(7x6) 
C(15,8) = 15x2x13x11x9/(6) 
C(15,8) = 15x13x11x3 
Observe que 15x3 = 45 é praticamente igual a 7² (que é 49), e veja ainda que 13x11 é bem maior que 8², de modo 
que o número de combinações C(15,8)é maior que 8² x 7². 
 
Item ERRADO. Se você quiser fazer o cálculo exato, verá que C(15,8) = 6435, enquanto 8^2x7^2 = 3136. 
 
( ) A quantidade de maneiras distintas de distribuir os 15 turistas pelos 3 barcos, de forma que cada barco seja 
ocupado por exatamente 5 turistas, é superior a 2² × 3² × 7² × 11². 
O número de formas de escolher 5 das 15 pessoas para o barco azul é dado por 
C(15,5). Feito isso, temos 10 pessoas disponíveis, das quais podemos escolher 5 para o barco amarelo 
calculando C(10,5). Feito isso, as 5 pessoas restantes irão para o último barco. 
Portanto, o total de formas de fazer essa separação é: 
C(15,5)xC(10,5) 
Onde: 
C(15,5) = (15x14x13x12x11) / (5x4x3x2x1) 
C(15,5) = (14x13x12x11) / (4x2x1) 
C(15,5) = (7x13x3x11) 
E 
C(10,5) = (10x9x8x7x6) / (5x4x3x2x1) 
C(10,5) = (9x8x7x6) / (4x3) 
C(10,5) = (3x2x7x6) 
Logo, 
C(15,5)xC(10,5) = (7x13x3x11)x(3x2x7x6) 
C(15,5)xC(10,5) = 7x13x3x11x3x2x7x6 
C(15,5)xC(10,5) = (3^2)x(7^2)x13x11x2x6 
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Comparando este resultado acima com 2² × 3² × 7² × 11², veja que temos 3² x 7² nas duas expressões. Veja ainda 
que 13x11 é maior que 11², e que 2x6 é maior que 2². Portanto, o resultado da expressão acima é superior a 2² × 
3² × 7² × 11². Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
17. CESPE – TCDF – 2014) 
Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um órgão de controle tenha 
mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 
servidores para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um 
coordenador, um relator e um técnico, julgue os próximos itens. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servidores para a montagem de uma 
equipe de análise é superior a 2.500. 
( ) Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise e que cada 
equipe não possa analisar mais que um programa de governo ao mesmo tempo, é correto afirmar que a 
capacidade operacional do órgão está limitada ao acompanhamento simultâneo de cinco programas de 
governo. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanhados pelo 
órgão é inferior a 4.000. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servidores para a montagem de uma 
equipe de análise é superior a 2.500. 
Podemos escolher os 3 servidores que formarão uma equipe através da combinação dos 15 servidores em 
grupos de 3, ou seja, 
C(15,3) = 15 x 14 x 13 / 3! 
C(15,3) = 15 x 14 x 13 / 6 
C(15,3) = 5 x 7 x 13 
C(15,3) = 455 
Assim, é possível montar 455 trios diferentes de servidores. Em cada um desses trios, devemos permutar os 3 
servidores entre si, entre os cargos de coordenador, relator e técnico. Assim, temos P(3) = 3! = 6 organizações 
diferentes entre os três servidores de cada trio, totalizando 455 x 6 = 2730 formas de montar as equipes. Item 
CORRETO. 
 
( ) Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise e que cada 
equipe não possa analisar mais que um programa de governo ao mesmo tempo, é correto afirmar que a capacidade 
operacional do órgão está limitada ao acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo. 
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Temos 15 servidores, de modo que podemos formar 15 / 3 = 5 equipes de três servidores simultaneamente. 
Cada equipe analisa 1 programa por vez, de modo que é possível acompanhar 5 programas de governo 
simultaneamente. Item CORRETO. 
 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanhados pelo órgão 
é inferior a 4.000. 
Trata-se da combinação dos 30 programas em grupos de 3, ou seja, 
C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 3! 
C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 6 
C(30,3) = 5 x 29 x 28 
C(30,3) = 4060 
Item ERRADO. 
Resposta: C C E 
 
18. CESPE – INPI – 2013) 
Em um rebanho de 30 novilhas 7 são marrons, 13 são malhadas e 10 são brancas. A respeito desse rebanho, 
julgue os itens seguintes. 
 ( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionar, nesse rebanho, duas novilhas malhadas, uma marrom 
e duas brancas é superior a 75. 
RESOLUÇÃO: 
CORRETO. O número de maneiras de se escolher 2 das 13 malhadas é C(13, 2). Já o número de maneiras de 
escolher 1 das 7 marrons é C(7, 1). E o número de formas de escolher 2 das 10 brancas é C(10, 2). Assim, o número 
de maneiras de selecionar 2 malhadas E 1 marrom E 2 brancas é: 
C(13,2) x C(7,1) x C(10,2) = 
13 12 10 9
7
2 1 2 1
 
  
 
 
13 6 7 5 9    
Faça uma análise rápida e veja que 13 6 7 5 9    é maior que 7 7 7 7 7    . Ou seja, o item está 
CORRETO. 
Resposta: C 
 
19. CESPE – SERPRO – 2013) 
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Estudos revelam que 95% dos erros de digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um código 
de barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos da 
mesma sequência; esse último tipo de erro corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a 
senha de acesso de um usuário a seu provedor de email seja formada por 8 algarismos, escolhidos entre os 
algarismos de 0 a 9, julgue o item a seguir. 
 ( ) A quantidade de maneiras distintas de o usuário, ao digitar a sua senha, cometer um erro do tipo troca entre 
dois algarismos da própria sequência é superior a 30. 
RESOLUÇÃO: 
ERRADO. Como calculamos ao resolver o terceiro item, a quantidade de maneiras de trocar dois dígitos é C(8,2) 
= 28. 
Resposta: E 
 
20. CESPE – CNJ – 2013) 
Em uma sala, cinco computadores para uso público (A, B, C, D e E) estão ligados em uma rede. Devido a 
problemas com os softwares de proteção da rede, o computador A está infectado com algum vírus; 
consequentemente, o computador B ou o computador C está infectado com o mesmo vírus. Se o computador 
C estiver infectado, então os computadores D e E também estarão infectados com o mesmo vírus. Cada 
computador pode ser infectado isoladamente e todas as manhãs, antes de serem disponibilizados para a 
utilização pública, os cinco computadores são submetidos a software antivírus que os limpa de qualquer 
infecção por vírus. Considerando a situação hipotética acima e desconsiderando questões técnicas relativas à 
proteção e segurança de redes, julgue o item a seguir 
( ) Se, no início de determinada manhã, os cinco computadores estiverem disponíveis para uso e cinco pessoas 
entrarem na sala, ocupando todos os computadores, a quantidade de formas diferentes de essas cinco pessoas 
escolherem os computadores para utilização será inferior a 100. 
RESOLUÇÃO: 
A primeira pessoa tem 5 opções de computadores para escolher. A segunda tem 4, a terceira 3, a quarta 2 e a 
última 1. Assim, o total de possibilidades é: 
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 possibilidades 
Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
21. CESPE – STF – 2013) 
A presidência de determinado tribunal é apoiada por seis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram 
indicados, do quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos igualmente qualificados para assumir 
qualquer dessas chefias. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
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( ) Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por mulheres, então será superior a 400 o 
número de maneiras