Conceitos de Mecânica Quântica_ parte_01

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Conceitos de Mecânica Quântica *** Prof. Armando Aleixo
1 - Sistema físico
Partícula
Propriedades física: m, q, s, ...
Campo de interação ( , ) ( , )F r t V r t→ = −∇
� �
� �
2
Momento e energia: , ( , )
2
p
p E K V V r t
m
→ = + = +� �
 ( , )F r t
�
�
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2 - Estado quântico de um sistema físico
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3 – Interpretação de Born
y
x
z
O
r
�
 dr dx dy dz≡�
* ( , ) ( , ) ( , )
 probabilidade de encontrar a partícula 
 entre e no instante .
P r t dr r t r t dr
r r dr t
= Ψ Ψ
=
+
� � � � �
� � �
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4 – Princípio da superposição
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5 – Função de onda no espaço dos momentos
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6 – Notação de Dirac para um estado quântico
A) Decomposição de um vetor em componentes: 
( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )z zyx rA A A AA AA AA A φ θρ φ≡
�
y
yA
x
xA
zA
z
O
î
ĵ
k̂
A
�
E
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:ketA r) e dB e Da irac 
( )tΨ
E
( )tΨ
*
E
*
*
espaço de Hilbert (dual
 
) dos estados quântic
espaço de Hilbert dos estados 
 
quânticos ket ;
;
espaço de configuração (das coordenadas) das funções ( , ) e ( )
os bra 
, ;
esp
( )
o
(
ç
)
a
r
p
t
r t t
t
r
=
=
= Ψ
Ψ
= Ψ Ψ� �E
E

 
E
E

*dos momentos das funções ( , ) e ( , );p t p tΦ Φ� �
( ,
 
( , )
 ( ) 
) r
p
r
t
t
p
t
Φ
→
∈
∈
Ψ
Ψ
∈ �
�
E
E
E
*
*
*
,
( ,
 )
)
 
)
(
(
r
p
r t
p t
tΨ →
Φ
∈
∈
Ψ
∈
�
�
E
E
E
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7 – Produto escalar de dois estados quânticos
B) Antilinearidade em relação ao bra: 
A) Definição: 
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C) Propriedades: 
D) Ortogonalidade e normalização de estados quânticos: 
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E) As funções de onda como componentes de um estado quântico: 
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8 – Grandeza física e a sua representação por um operador linear
A) Definição de um operador: 
Sendo assim, no caso das funções ( , ) e ( , ) teremos que r t r t′Ψ Ψ� �
B) Definição de um operador linear: 
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C) Soma e produto de operadores lineares: 
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D) Elemento de matriz de um operador: 
†ˆ ˆE) Operador adjunto de um operador :A A
a) Definição: 
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b) Propriedades: 
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c) Operadores lineares hermiteanos: 
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F) Autoestados e autovalores de um operador:
a) Definição: 
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b) Ortogonalidade dos autoestados: 
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G) Variáveis dinâmicas:
a) Postulado: 
b) Operadores energia e momento linear: 
 No caso do momento linear e da energia de uma particula de massa esses operadores 
são dad
 
os 
 
 por
m
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c) Operador hamiltoniano e a evolução do estado quântico de um sistema: 
ˆd) Obtenção da expressão para ( ):H t
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H) Equação de Schrödinger independente do tempo:
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9 – Valores esperados das grandezas físicas
A) Relevância: 
B) Definição: 
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C) Enunciado geral: 
D) Enunciado para o caso de um autoestado: 
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E) Incerteza na medida de uma grandeza física: 
F) Exemplos importantes: 
a) Posição: 
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b) Momento linear: 
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c) Energia: 
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10 – Expansão de um estado em autoestados de uma grandeza dinâmica
A) Postulado: 
B) Formalização: 
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Nesse caso usamos as implicações simbólicas do 
0 se ,
 
1 se .
nk
delta de Kronecker
n k
n k
δ
≠
=  =
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C) Implicações para os valores esperados: 
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11 – Observáveis comutáveis
A) Comutador de dois operadores: 
a) Definição: 
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( )
A partir da definição é possível demonstrar as seguintes propriedades
ˆ ˆˆ ˆ , , ;
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ , , , ;
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ , , , ;
ˆ ˆ , ,
A B B A
A B C A B A C
A BC B A C A B C
A B
   • = −   
     • + = +    
     • = +     
•
†
† †
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , 0 ;
ˆ ˆˆ ˆ , , .
C B C A C A B
A B B A
          + + =          
   • =   
b) Propriedades: 
B) Observáveis compatíveis: 
a) Definição: 
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b) Implicações: 
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c) Conjunto completo de observáveis comutáveis: 
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d) Comutadores canônicos: 
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12 – Evolução dos valores esperados dos observáveis
A) Caso geral: 
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B) Caso dos observáveis que não dependem explicitamente do tempo: 
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C) Constantes de movimento: 
D) Sistemas conservativos: 
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13 – A transição da mecânica quântica para a mecânica clássica
ˆA) Equação de movimento para :x
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ˆB) Equação de movimento para :xp
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C) Teorema de Ehrenfest:
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14 – O principio da incerteza de Heisenberg
A) Demonstração geral:
a) Incerteza na medida de um observável: 
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b) Produto das incertezas de dois observáveis: 
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B) O caso de dois observáveis comutáveis:
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C) O caso de dois observáveis canônicamente conjugados:
A relação (5.80) apresenta a formulação do que é conhecido como 
.
Princípio da incerteza
de HeisenbergConceitos de Mecânica Quântica *** Prof. Armando Aleixo