unid_1 Topografia

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Autora: Profa. Angela Martins Azevedo
Colaboradores: Prof. Ricardo Scalão Tinoco
 Prof. José Carlos Morilla
Topografia
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Professora conteudista: Angela Martins Azevedo
Angela Martins Azevedo é engenheira civil pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (2003) e mestre 
em Engenharia de Transportes pela mesma instituição (2007). Realizou também cursos de especialização de curta 
duração nas áreas de topografia, pavimentação e drenagem de rodovias. 
É professora da Universidade Paulista (UNIP) desde 2006 nos cursos de Engenharia Civil e Arquitetura nas disciplinas 
correlatas à área de infraestrutura de transportes: Topografia, Geodésia e Estradas e Aeroportos.
É coautora do livro Drenagem Subsuperficial de Pavimentos – Conceitos e Dimensionamento, juntamente com os 
engenheiros Carlos Yukio Suzuki e Felipe Issa Kabbach Junior.
Fora do âmbito acadêmico, atua como engenheira civil na coordenação de projetos na Planservi Engenharia Ltda. 
e tem experiência na área de engenharia de transportes, com ênfase em projeto e construção de vias de transporte; 
atuando principalmente nos temas relacionados à pavimentação e drenagem de pavimentos.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
A994t Azevedo, Angela Martins.
Topografia. / Angela Martins Azevedo. – São Paulo: Editora Sol, 2018.
108 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXIV, n. 2-050/18, ISSN 1517-9230.
1. Topografia. 2. Sistemas de coordenadas. 3. Representação do 
relevo. I. Título.
CDU 528.425
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Giovanna Oliveira
 Aline Ricciardi
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Sumário
Topografia
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 ESCALAS E FORMAS DE REPRESENTAÇÃO ............................................................................................ 11
1.1 Escalas ....................................................................................................................................................... 11
1.2 Formas de representação – plantas, cartas e mapas ............................................................. 16
2 ERROS EM MEDIDAS TOPOGRÁFICAS ..................................................................................................... 20
2.1 Tipos de erros ......................................................................................................................................... 22
2.2 Análise estatística................................................................................................................................. 23
2.2.1 Atividade prática 1 ................................................................................................................................. 28
3 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS E DISTÂNCIAS .................................................................................................. 29
3.1 Medição de distâncias ........................................................................................................................ 29
3.1.1 Equipamentos .......................................................................................................................................... 30
3.1.2 Levantamento .......................................................................................................................................... 30
3.1.3 Atividade prática 2 ................................................................................................................................. 33
3.2 Medição de ângulos ............................................................................................................................ 35
3.2.1 Equipamentos disponíveis ................................................................................................................... 35
3.2.2 Sequência de operação ........................................................................................................................ 36
3.2.3 Declinação magnética .......................................................................................................................... 38
3.2.4 Medição de ângulos horizontais ...................................................................................................... 39
3.2.5 Azimutes ..................................................................................................................................................... 42
3.2.6 Medição de ângulos zenitais (verticais) ......................................................................................... 44
3.2.7 Atividade prática 3 ................................................................................................................................. 45
4 SISTEMAS DE COORDENADAS: LEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOS .......................................... 48
4.1 Cálculo de azimutes em uma poligonal ...................................................................................... 49
4.1.1 Levantamento de dados ....................................................................................................................... 49
4.1.2 Aceite do levantamento e ajuste dos dados ................................................................................ 50
4.1.3 Sequência de cálculo ............................................................................................................................. 51
4.2 Cálculo de coordenadas em uma poligonal .............................................................................. 53
4.2.1 Determinação das coordenadas parciais ....................................................................................... 53
4.2.2 Erro de fechamento ............................................................................................................................... 53
4.2.3 Atividade prática 4 ................................................................................................................................. 58
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Unidade II
5 LEVANTAMENTO DE PONTOS DETALHE .................................................................................................. 65
5.1 Levantamento........................................................................................................................................ 65
5.1.1 Atividade prática 5 ................................................................................................................................. 69
6 SISTEMAS ALTIMÉTRICOS ............................................................................................................................. 70
6.1 Referências de nível ............................................................................................................................ 71
6.2 Métodos de nivelamento .................................................................................................................. 72
6.3 Nivelamento geométrico .................................................................................................................. 73
6.3.1 Efeito de curvatura e refração atmosférica ................................................................................. 73
6.3.2 Levantamento .......................................................................................................................................... 74
6.3.3 Erro de fechamento ............................................................................................................................... 75
6.3.4 Sequência de cálculo ............................................................................................................................. 77
6.3.5 Atividade prática 6 ................................................................................................................................. 82
7 CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES .............................................................................................................. 85
7.1 Cálculo de áreas .................................................................................................................................... 85
7.1.1 Processos analíticos ............................................................................................................................... 85
7.1.2 Processos gráficos................................................................................................................................... 88
7.1.3 Processos computacionais .................................................................................................................. 88
7.1.4 Processos mecânicos ............................................................................................................................. 89
7.2 Cálculo de volumes.............................................................................................................................. 89
7.2.1 Método das seções transversais ........................................................................................................ 89
7.2.2 Método das superfícies equidistantes ............................................................................................ 91
8 REPRESENTAÇÃO DO RELEVO .................................................................................................................... 91
8.1 Elementos de representação ............................................................................................................ 91
8.2 Análise das curvas de nível ............................................................................................................... 94
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APRESENTAÇÃO
Olá, aluno! 
Bem-vindo ao espaço de estudo da disciplina Topografia!
A palavra topografia vem do grego topos (lugar) + graphen (descrição). Ou seja, vamos estudar a 
ciência que se dedica à descrição do relevo de um dado local. 
A descrição de uma área pode ser realizada de forma analítica, considerando ângulos e distâncias; 
ou também de forma gráfica, por meio de plantas que representam as características naturais (relevo, 
hidrografia) e artificiais (edificações, vias de transporte) de um local.
A topografia tem por objetivo a determinação dos limites, dimensões e caracterização em planta e 
perfil de uma área limitada. A topografia também tem por finalidade a locação no terreno dos projetos 
de engenharia.
Além da participação da topografia na elaboração do projeto e locação de obra, é possível o 
acompanhamento da execução de obras com a verificação de volumes de serviço de terraplenagem, 
conferência de espessuras de camadas lineares executadas, controle de instrumentação de obras 
subterrâneas e elaboração de as built. 
Os levantamentos topográficos são a base de implantação de grande parte dos projetos de engenharia 
com os quais você irá se deparar ao longo de sua carreira. Às vezes, o engenheiro civil é responsável 
pela execução do levantamento. Nesse caso, deve conhecer as técnicas e cálculos necessários para a 
caracterização da área em planta e perfil. 
Outras vezes, o profissional recebe a base topográfica pronta. É importante que o profissional saiba 
interpretar os dados de forma a visualizar a interação do relevo com a obra que deseja implantar. Um 
exemplo é a implantação de rodovias: o profissional deve analisar o perfil do terreno existente a partir 
da base topográfica para estabelecer o perfil da via a ser implantada, visando ao equilíbrio dos volumes 
de cortes e aterros.
Nosso objetivo nesta disciplina é a capacitação dos futuros engenheiros civis para a execução e análise 
de levantamentos planialtimétricos, por meio da obtenção e tratamento dos dados em planta e perfil do 
terreno analisado. A disciplina também os capacitará para a leitura e interpretação de plantas topográficas.
O plano de ensino da disciplina Topografia estabelece os seguintes tópicos a serem estudados:
• Escalas e formas de representação.
• Erros em medidas topográficas.
• Equipamentos e técnicas disponíveis para a medição de ângulos e distâncias.
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• Levantamentos planimétricos.
• Levantamentos altimétricos.
• Cálculo de áreas e volumes.
• Representação do relevo.
Além dos aspectos teóricos que envolvem a caracterização do terreno, serão apresentados também 
roteiros para as aulas práticas, além de estudos de caso.
Bom estudo!
INTRODUÇÃO
A Topografia é definida como a ciência que estuda os métodos para representar um terreno para fins 
de projeto.
Relacionadas a essa disciplina, temos outras que tratam de temas correlatos e complementares. As 
mais importantes são Geodésia e Cartografia.
A Geodésia é a ciência que estuda a forma, a dimensão e o campo gravitacional da Terra. Estuda o 
geoide e o elipsoide e a amarração entre ambos. Visa, além disso, à descrição da superfície terrestre para 
fins de cartografia e engenharia, através do estabelecimento de redes de vértices para determinação dos 
sistemas de coordenadas e para a representação da Terra por meio de projeções cartográficas.
A Cartografia é a técnica de representação da superfície terrestre com suas características naturais 
(relevo, hidrografia) e artificiais (rodovias, cidades, linhas de transmissão de energia). São utilizadas 
projeções cartográficas, como a de Mercator, e escalas – normalmente inferiores às utilizadas nos 
levantamentos topográficos (a partir de 1:50.000).
Dois termos foram citados na descrição da geodésia: geoide e elipsoide. Você já ouviu falar deles? 
São conceitos importantíssimos para a compreensão da forma da Terra. 
Há tempos, sabe-se que a Terra não é plana. Na escola, aprendemos que nosso planeta é redondo. 
Mas a verdade é que a superfície terrestre não é uma esfera perfeita. A referência física que mais se 
aproxima da forma real da Terra é o geoide, que equivale a uma superfície equipotencial materializada 
pelo nível médio dos mares prolongado através dos continentes.
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 topo
gráfi
ca
Elips
oide
Geoide
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b
a - semi-eixo maior
b - semi-eixo menor
f - achatamento
PN - Polo Norte
PS - Polo Sul
f = a-b
a
PN
PS
Figura 1 – Representação da Terra (geoide, elipsoide e superfície topográfica)
Matematicamente, a representação do geoide é feita pela consideração do elipsoide, que é uma 
superfície de revolução obtida pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo menor.
b
a
Figura 2 – Elipsoide
O elipsoide é definido pelo semieixo maior (a) e pelo achatamento f. A relação entre esses parâmetros 
considera também o semieixo menor (b), conforme a expressão a seguir:
f
a b
a
ou f
b
a
= − = −1
O conjunto de parâmetros que descreve a relação entre um elipsoide e o geoide é chamado de 
datum geodésico, ou sistema geodésico de referência.
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No Brasil, desde 2015, é obrigatória a utilização do datum Sirgas 2000 (Sistema de Referência 
Geocêntrico para as Américas) para o SGB (Sistema Geodésico Brasileiro), cujos dados estão indicados 
na tabela a seguir:
Tabela 1 – Características do SGB
Sistema a (m) f
Sirgas 2000 6.378.137 1/298,257 222
Ainda que a Terra não seja plana, a topografia considera essa afirmação válida sempre que possível, 
uma vez que a simplificação da superfície para um plano facilita todos os cálculos a serem realizados 
para a descrição. Assim, costuma-se assumir que o efeito da curvatura pode ser desprezado em valores 
de 25 a 30 km. 
A NBR 13133 indica que a dimensão máxima do plano de projeção (plano topográfico) é 80 km, 
a partir da origem, de maneira que o erro relativo à esfericidade não ultrapasse 1:35.000 em uma 
determinada dimensão.
Como principais consequências de consideração da Terra plana, temos erros na obtenção das 
distâncias e nas cotas referentes à curvatura. Quanto maior a distância, maior o efeito obtido.
Os tópicos referentes aos sistemas geodésicos de referência e efeito da curvatura nas projeções serão 
abordados em outras disciplinas. Por ora, estudaremos a obtenção dos dados no plano topográfico.
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TOPOGRAFIA
Unidade I
1 ESCALAS E FORMAS DE REPRESENTAÇÃO
1.1 Escalas
A escala é a relação entre o valor de uma medida no terreno (real) e sua correspondente no desenho, 
referente aos mesmos pontos, em medidas lineares.
A representação da escala numérica é da forma 1:M, onde M é o módulo da escala. Indica que 1 
unidade no desenho equivale a M unidades na realidade. Exemplo: em uma planta na escala 1:1.000, 
cada centímetro na planta corresponde a 1.000 cm no terreno, ou seja, a 10 m no real.
A escala gráfica é representada por uma linha ou barra graduada, contendo subdivisões 
denominadas “talões”, conforme a figura. Cada talão apresenta a relação de seu comprimento com o 
valor correspondente no terreno. Normalmente há a indicação da divisão principal e da fracionária.
10 10 20 km0
Figura 3 – Escala gráfica
Para a sua utilização, pode-se usar um compasso, a fim de medir na carta a distância que 
se deseja medir e transportá-la para a escala. Caso ache mais fácil, você também pode copiar a 
escala em um pedaço de papel separado e sobrepor no mapa para o cálculo da relação entre o 
real e o representado.
Como você deve ter reparado, correlacionamos as medidas de escala na leitura das plantas nas 
unidades centímetro, metro e quilômetro. Pela facilidade de trabalho, é comum o uso da régua ou 
escalímetro para a medição na planta/carta plotada em centímetros. Entretanto, não costumamos 
indicar as distâncias nessa unidade, mas sim em divisões superiores, como metro e quilômetro. A 
tabela 2 indica a conversão de medidas lineares no Sistema Internacional para o metro, com valor 
igual à unidade.
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Unidade I
Tabela 2 – Conversão de unidades no Sistema Internacional
Unidade Representação Equivalência
Quilômetro km 1000 m
Hectômetro hm 100 m
Decâmetro dam 10 m
Decímetro dm 0,1 m
Centímetro cm 0,01 m
Milímetro mm 0,001 m
Às vezes, pode ser necessária a conversão de outras unidades de medidas, referentes ao sistema 
inglês. A tabela a seguir indica algumas conversões mais frequentemente utilizadas.
Tabela 3 – Conversão de unidades no Sistema Inglês
Unidade Representação Equivalência
Polegada (inch) in ou ” 1” = 25,4 mm
Pé (foot) ft ou ’ 1’ = 12” = 304,8 mm
Jarda (yard) yd 1 yd = 3 ft = 914,4 mm
Milha terrestre (mile) mile 1 mile = 1,76 yd = 1,609 km
Retomando o tema da escala, elas podem ser naturais, quando o objeto está representado no 
tamanho real; de ampliação, quando a representação do objeto é maior do que o seu tamanho real ou 
de redução, quando as dimensões representadas são inferiores às reais.
Em topografia, raramente encontramos escalas naturais ou de ampliação. O usual são as escalas de 
redução, já que temos grandes áreas a serem representadas. 
A escala a ser utilizada depende da finalidade do levantamento. Às vezes, há uma exigência específica 
para que certo detalhe de dimensão D seja representado no desenho com dimensão d. Nesse caso, a 
escala deve ser maior do que a relação D/d.
As plantas topográficas têm escala até 1:10.000, definidas especificamente para cada necessidade de 
projeto. Usualmente, temos os seguintes valores:
• Construção civil (arquitetura): 1:20, 1:50, 1:100 e 1:200.
• Obras de engenharia: 1:500, 1:1.000, 1:2.000 e 1:10.000.
Note que sempre optamos por um número inteiro arredondado para a escala. Raramente você 
encontrará uma planta ou uma carta em uma escala “quebrada”, 1:272,45, por exemplo. 
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TOPOGRAFIA
 Observação
As representações em plantas ou cartas devem ser feitas em desenhos 
cujas dimensões sigam, preferencialmente, o padrão indicado pela 
Organização Internacional de Normalização (ISO) e pela Associação 
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Os tamanhos de papel são:
Tabela 4 – Tamanhos de papel
Formato x (mm) y (mm) Área (m²)
A4 210 297 1/16
A3 297 420 1/8
A2 420 594 1/4
A1 594 841 1/2
A0 841 1.189 1
Lembre-se também de que a maior dimensão de um formato é igual à menor dimensão do formato seguinte.
A ABNT, por meio da NBR 13133, sugere a escala do desenho e a equidistância das curvas de nível 
em função da classe e finalidade do levantamento a ser realizado, conforme indicado na tabela.
Tabela 5 – Escalas sugeridas para plantas topográficas
Levantamento Classe Escala Equidistância das curvas de nível
Topográfico 
planialtimétrico
I PA 1:5.000 5 m
II PA 1:2.000 2 m
III PA 1:1.000 1 m
IV PA 1:500 1 m
V PA 
Seções Transv. 1:2.000 ou 1.1000
2 m e/ou 16 pontos 
cotados
VI PA 
Seções Transv 1:1.000 ou 1:500
1 m e/ou pontos 
cotados
VII PA
Malha
1:500 1 m e/ou pontos cotados
VIII PA
Malha 1:1.000 ou 1:500
1 m e/ou pontos 
cotados
Planialtimétrico cadastral
I PAC 1:1.000 1 m
II PAC 1:500 1 m
Adaptada de: ABNT (1994, p. 13-15).
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Unidade I
Tendo em vista a acuidade visual e a qualidade das impressoras de plotagem (ou da habilidade 
do desenhista, para desenhos feitos à mão), pode-se cometer um erro na demarcação de pontos no 
desenho. Esse erro é chamado erro de graficismo, que consiste na menor dimensão gráfica que se 
consegue representar em um desenho. Em geral, adota-se eg = 0,2 mm.
A precisão gráfica, ou precisão da escala (x), é a menor grandeza medida que pode ser representada 
no terreno, em uma determinada escala. Matematicamente, pode ser definida como o produto do errode graficismo (eg) pelo módulo da escala (M).
x eg M= ⋅
Por exemplo, em uma escala 1:10.000, x = 2,0 m. Assim, qualquer objeto a ser representado com 
dimensões reais menores que 2,0 não será representado ou desenhado de forma distinta do real: uma 
reta pode virar um ponto, um arco pode virar um trecho reto etc.
Assim, a escolha da escala a ser adotada também pode ser feita em função do erro de graficismo. 
Em uma área que se deseja mapear com precisão de 0,2 mm para a qual se requer a distinção de feições 
com mais de 5,0 m de extensão, deve-se utilizar uma escala que permita a visualização adequada. 
Considerando a expressão anterior, podemos isolar o módulo da escala:
M
x
eg
=
Como x = 5,0 m e eg = 0,2 mm = 0,0002 m, tem-se:
M M= → =5
0 0002
25 000
,
.
Assim, a escala adequada a ser adotada para essa representação é 1:25.000, a fim de permitir a 
visualização de elementos com dimensões superiores a 5,0 m com precisão gráfica de 0,2 mm.
 Observação
Conforme pudemos entender, a escala é fundamental para a 
compreensão da representação gráfica e sempre deve estar apresentada na 
planta, carta ou mapa, seja na forma numérica ou gráfica.
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TOPOGRAFIA
Exemplo de aplicação
1. A distância entre dois pontos A e B, representados em uma planta em escala 1:2.000, é de 42,5 
cm. Qual a distância real entre eles?
Solução
A planta está em escala 1:2.000, ou seja, 1 cm em planta equivale a 2.000 cm no real. Assim, 
D cm
D m
= ⋅ =
∴ =
42 5 2 000 85 000
850
, . .
Resposta: a distância entre os pontos A e B é 850 m.
2. Um engenheiro dispõe de uma planta de um lote, um terreno retangular, cujos lados a e b medem 
12 e 5 cm. Sabendo que a planta está em escala 1:500, qual a área do terreno? 
Solução
Primeiramente, devemos calcular as dimensões reais do terreno. 
a cm m
b cm m
= ⋅ = =
= ⋅ = =
12 500 6 000 60
5 500 2 500 25
.
.
Como a área do retângulo consiste no produto das dimensões, tem-se:
A a b
A m2
= ⋅ = ⋅
=
60 25
1 500.
Resposta: a área do terreno representado é de 1.500 m².
O conceito de escalas também pode ser aplicado na previsão de documentos de um projeto. Sabendo-
se as dimensões do que será representado e a escala a ser utilizada, pode-se estimar previamente 
a quantidade de desenhos a ser produzida. Essa atividade é usual em projetos lineares, como os de 
estradas, que normalmente são remunerados por documento elaborado. 
Exemplo de aplicação
Um engenheiro precisa determinar a quantidade de desenhos a serem gerados a partir do 
levantamento topográfico de uma rodovia com 5 km de extensão. Conforme as instruções do órgão 
para o qual o levantamento deverá ser apresentado, os desenhos devem estar em escala 1:1.000 e em 
formato A1, seguindo a ABNT.
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Unidade I
Solução
Os desenhos devem estar em escala 1:1.000, ou seja, 1 cm em planta equivale a 1.000 cm = 10 m no 
real. O trecho a ser representado tem 5 km = 5.000 m.
Assim, o trecho possuirá no desenho a seguinte extensão:
d cm= =5 000 10 500. /
Uma folha A1 tem as dimensões 841 mm x 594 mm. Ou seja, 84,1 cm de largura. Para o desenho 
de 500 cm de comprimento, a quantidade de folhas necessárias será a relação entre a extensão a ser 
representada e a extensão disponível.
quantidade de folhas = =500 84 1 5 9/ , ,
Como não é possível a consideração de 0,9 folhas, o engenheiro irá utilizar 6 folhas em formato A1 
para a representação do trecho rodoviário de 5 km em escala 1:1.000.
Devemos lembrar que, às vezes, os formatos exigidos pelos órgãos para apresentação de documentos 
têm bordas para a dobra, reduzindo a área útil do desenho. 
Outro ponto a se considerar é a sinuosidade da via, que pode acarretar um trecho maior ou menor 
que pode ser efetivamente representado em uma folha. 
Ainda assim, mesmo com essas considerações, o número obtido tem confiabilidade e pode ser 
utilizado como aproximação inicial.
1.2 Formas de representação – plantas, cartas e mapas
Usualmente, as plantas topográficas para obras de engenharia estão representadas em escalas até 
1:10.000, sendo que a escala é definida em função da necessidade de projeto. Já falamos sobre as 
escalas utilizadas na construção civil, por exemplo, que normalmente são grandes (1:20 a 1:100) para 
permitir a visualização de detalhes.
Existem também plantas oficiais, que têm finalidade cadastral, definem limites de propriedades e 
indicam construções e o uso do solo. Elas têm escalas da ordem de 1:2.000 a 1:10.000. Na região 
metropolitana de São Paulo, o órgão responsável pela emissão de tais plantas é a Empresa Paulista de 
Planejamento Metropolitano (Emplasa).
Para planejamento local, regional ou nacional, pode ser necessário consultar documentos em escalas 
ainda menores. Nesse caso, utilizamos as cartas ou mapas, com escalas de 1:10.000 a 1:100.000 ou 
menores. A ABNT, por meio da NBR 13133, indica a seguinte definição para as cartas e mapas:
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TOPOGRAFIA
Representação gráfica sobre uma superfície plana, dos detalhes físicos, 
naturais e artificiais, de parte ou de toda a superfície terrestre – mediante 
símbolos ou convenções e meio de orientação indicados, que permitem 
a avaliação das distâncias, a orientação das direções e a localização 
geográfica de pontos, áreas e detalhes – podendo ser subdividida 
em folhas, de forma sistemática, obedecido um plano nacional ou 
internacional [...] (ABNT, 1994, p. 2).
Normalmente, os ingleses e americanos utilizam o termo “mapa”, enquanto os países de língua de 
origem latina (franceses, portugueses) utilizam o termo “carta”. 
Outra consideração importante é que se utilizam termos adjetivos para indicar a característica 
representada na carta, para diferenciação do uso. Como exemplos, podemos citar: carta náutica, carta 
aeronáutica, mapa geológico.
As cartas são elaboradas para a representação precisa do terreno em termos planialtimétricos. 
Dependendo da finalidade, podem apresentar outras características, como a hidrografia e a vegetação.
Entre os elementos planimétricos, podem ser representadas as rodovias, as edificações, os limites e 
fronteiras. A altimetria (ou hipsografia) é representada pelas curvas de nível ou por outros elementos 
indicativos de relevo. 
A padronização internacional da cartografia é possível por meio da análise da Carta Internacional do 
Mundo ao Milionésimo, ou, simplesmente, Carta ao Milionésimo (CIM), em escala 1:1.000.000.
Nessa escala, a carta divide o globo terrestre em sessenta partes iguais, com seis graus de amplitude 
cada, o que caracteriza o fuso. No sentido do Equador para os Polos, o globo é dividido em zonas, com 
4° de amplitude. Dessa forma, a CIM considera cartas cuja abrangência são a região com 6° de longitude 
e 4° de latitude. Em função da deformação da representação nos Polos, consideram-se limites da CIM 
as latitudes de 84°N e 80°S.
Os fusos são numerados de 1 a 60, a partir do antimeridiano de Greenwich, de Oeste para Leste. 
A carta ao milionésimo pode ser desdobrada em cartas de até 1:25.000, que é o limite adotado pela 
Cartografia Sistemática, embora ainda seja possível ampliar além dessa escala. A tabela a seguir indica 
o desdobramento da CIM, considerando j como latitude e l como longitude.
Tabela 6 – Desdobramento da Carta ao Milionésimo
Escala (1:) Arco de abrangência Medidas da área representada (km)
1.000.000 4° j x 6° l 448,48 x 666,72
500.000 2° j x 3° l 222,24 x 336,36
250.000 1° j x 1°30’ l 111,12 x 166,68
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Unidade I
100.000 30’ j x 30’ l 55,56 x 55,56
50.000 15’ j x 15’ l 27,78 x 27,78
25.000 7,5’j x 7,5’ l 13,89 x 13,89
10.000 3’ j x 3’ l 5,556 x 5,556
Para a carta na escala 1:1.000.000, a nomenclatura é do tipo XX-YY, sendo que XX são duas letras: 
a primeira correspondente ao hemisfério (Norte – N ou Sul – S) e a segunda corresponde à zona de 
abrangência. O termo YY corresponde ao fuso.
As cartas topográficas decorrentes da CIM no Brasil são 46, posicionadas entre as zonas NB (zona 
B = latitudes entre 4° e 8° Norte) e SI (latitudes entre 32° e 36° S) e entre os fusos 18 e 25. A figura a 
seguir indica a disposição das cartas ao milionésimo no território brasileiro.
NB 18
NA 18
SA 18
SB 18
SC 18
SD 18
SE 18
SF 18
SG 18
SH 18
SI 18
4°
0°
4°
8°
12°
16°
20°
24°
28°
32°
4°
0°
4°
8°
12°
16°
20°
24°
28°
32°
19 20 21 22 23 24 25
78° 72° 66° 60° 54° 48° 42° 36° 30°
78° 72° 66° 60° 54° 48° 42° 36° 30°
SD 21
Figura 4 – Folhas da Carta ao Milionésimo no Brasil
Na sequência, a carta de 1:1.000.000 é fracionada em quatro cartas na escala 1:500.000, dividindo 
por dois o arco de abrangência. As quatro cartas resultantes são identificadas pelas letras V, X, Y e Z, 
da esquerda para a direita e de cima para baixo. O índice da folha 1:500.000 é, então, o índice da folha 
1:1.000.000 seguido da letra correspondente. 
Daqui a pouco faremos uma síntese da nomenclatura e alguns exemplos para melhor visualização.
Dividindo novamente por dois, temos a carta em escala 1:250.000. Aqui, as quatro cartas resultantes 
são identificadas pelas letras A, B, C e D, da esquerda para a direita e de cima para baixo. Para a escala 
1:100.000, a carta fica dividida em seis parcelas, numeradas de I a VI, em algarismos romanos. Na 
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TOPOGRAFIA
sequência, 1:50.000, quatro novas cartas, numeradas de 1 a 4, em números arábicos. Na escala 1:25.000, 
a nomenclatura segue a orientação NO, NE, SO, SE.
Para obter-se a carta em escala 1:10.000, toma-se uma carta em escala 1:100.000, dividida em 25 
cartas iguais na escala 1:20.000, numeradas em algarismos arábicos de 1 a 25. Dividindo por dois, temos 
a carta em escala 1:10.000. As quatro cartas resultantes são numeradas de 1 a 4.
Pode até parecer confuso, mas não é! O esquema a seguir facilita o entendimento:
1.1.000.000
1.500.000
1.250.000
1.100.000
1.50.000
6º
3º
3º
1º30’
30’ 30’ 30’
30’
30’
15’
15’
15’
7,5’
NO
SO
NE
SE
7,5’
7,5’
7,5’
15’
1º30’
V
A
(cada carta em escala 1.500.000)
(cada carta em escala 1.250.000)
(cada carta em escala 1.100.000)
(cada carta em escala 1.50.000)
(cada carta em escala 1.25.000)
Y
C
Z
D
IIIIII
1
3
2
4
VIIV V
X
B
3º
2º
2º
1º
1º
1º30’
30’
30’
15’
15’
4º
2º
1º
Figura 5 – Esquema de desdobramento das cartas até a escala 1:25.000
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Unidade I
1.1.000.000
1.20.000
6’
6’
30’
30’
3’
3’
6’
6’
6’
6’
6’
6’
6’ 6’ 6’ 6’
3’3’
(cada carta em escala 1.20.000)
(cada carta em escala 1.10.000)
3 4
21
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
Figura 6 – Esquema de desdobramento das cartas até a escala 1:10.000
 Saiba mais
Para saber mais sobre as cartas topográficas e a padronização da CIM, 
consulte o site do IBGE na área de geociências:
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE). Bases 
cartográficas contínuas – Brasil. IBGE, 2017. Disponível em: <https://www.
ibge.gov.br/geociencias-novoportal/cartas-e-mapas/bases-cartograficas-
continuas/15759-brasil.html?&t=publicacoes>. Acesso em: 13 dez. 2017.
As cartas topográficas também estão disponíveis nos institutos 
geográficos estaduais, como o Instituto Geográfico e Cartográfico (IGC) do 
estado de São Paulo e no site do Exército:
<http://www.igc.sp.gov.br/>.
EXÉRCITO BRASILEIRO. BDGEx-Generalidades. Geoportal do Exército 
Brasileiro, 2011. Disponível em: <http://www.geoportal.eb.mil.br/index.php/
bdgex-1/bdgex-generalidades>. Acesso em: 13 dez. 2017.
2 ERROS EM MEDIDAS TOPOGRÁFICAS
A medição é o principal trabalho da Topografia. Nos levantamentos, são medidos principalmente 
ângulos e distâncias, mas também áreas, volumes, alturas. Quanto melhor o equipamento utilizado 
nessas medições, melhor será o resultado, ou seja, mais próximo do valor exato. Entretanto, nunca 
será possível medir uma grandeza exata em topografia. Valores exatos ou absolutos podem até existir, 
embora não possam ser determinados em função da precisão dos equipamentos utilizados. Ainda assim, 
é possível saber exatamente a soma que um grupo de medidas pode ter como, por exemplo, a soma dos 
ângulos internos de um polígono, ou a relação em um levantamento fechado (ponto inicial coincidente 
com final), no qual a diferença de coordenadas e cotas deveria ser igual a zero. 
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TOPOGRAFIA
Em Topografia, o ideal é que as medidas obtidas apresentem o máximo possível de acurácia – ou 
exatidão – a fim de evitar conclusões erradas sobre o relevo e área em estudo. Assim, o objetivo do 
topógrafo é realizar medidas precisas e exatas. Mas o que são esses conceitos? A figura a seguir, clássica 
na área, pode ilustrá-los melhor:
a b c
Figura 7 – Precisão e acurácia
Na figura da esquerda (a), todos os tiros passaram longe do alvo desejado. Entretanto, todos ficaram 
bem próximos entre si. Já na figura central (b), os tiros estão espaçados, porém, próximos do alvo. 
Apenas na figura da direita (c) todos os tiros foram precisos, diretos no alvo desejado. Diz-se, então, que 
os tiros em (a) têm boa precisão, mas pouca acurácia ou exatidão. Os tiros em (b) têm exatidão, mas não 
são precisos. Em (c), os dois requisitos são atendidos: os tiros têm precisão e exatidão.
Com essa explanação, podemos definir os dois conceitos citados.
A precisão refere-se ao grau de refinamento de uma medida, ou seja, é a proximidade de uma medida 
com outra. Um equipamento tem alta precisão quando a reprodutibilidade das medidas for grande, ou 
seja, caso uma medida seja feita diversas vezes, o resultado será próximo em todas elas.
A exatidão, ou acurácia, é o grau da perfeição obtida nas medições, ou seja, o quão próximo do valor 
verdadeiro (alvo) está a grandeza medida.
Porém é importante entender que precisão e acurácia nem sempre andam juntas. De forma 
complementar às situações apresentadas na figura anterior, temos a seguinte:
Figura 8 – Medidas sem precisão e sem acurácia
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Unidade I
Associando os conceitos de precisão e acurácia à topografia, podemos ter um caso em que um 
topógrafo faz uma medição com trena e obtém cinco vezes um valor semelhante, preciso. Ele pode ser 
induzido a pensar que a média das medições é o valor correto. Entretanto, se a trena possuir algum 
defeito de fabricação e for 0,5 cm maior do que o especificado, as medidas realizadas estarão precisas, 
mas distantes do valor esperado, verdadeiro.
Na medição de distâncias, a precisão é definida como a relação entre o erro da medição e a distância 
medida. Para representação, a relação é apresentada como uma fração da forma 1:X ou 1/X. Para uma 
distância medida de 1 km (1000 m) cujo erro estimado é de 0,1 m, então a precisão é 0,1/1000.Na forma 
usual, dizemos que a precisão do levantamento é 1:10.000 ou 1/10.000. Ou seja, para cada 10.000 m 
medidos, o erro deverá ser de 1 m.
A norma ABNT para levantamentos topográficos e os órgãos rodoviários costuma indicar em seus 
manuais qual a precisão exigida para os levantamentos em função da finalidade do uso dos dados ou 
do grau de projeto a ser elaborado.
Os equipamentos também têm a precisão indicada em suas especificações. Aqui, o conceito de 
precisão está associado ao erro máximo possível.
A precisão nominal de um equipamento é a menor divisão da graduação do instrumento. Como 
exemplo, pode-se pensar que um teodolito com precisão de 10” poderá medir ângulos dessa grandeza. 
Para ângulos menores, a medição torna-se imprecisa e depende da inferência do operador.
2.1 Tipos de erros
O erro é a diferença entre o valor verdadeiro da grandeza que se deseja conhecer e o valor obtido 
na medição realizada.
A exatidão de uma observação ou medida pode ser influenciada por alguns fatores, sendo três 
os mais importantes: o operador, por sua acuidade visual e cuidado na operação do instrumento; 
o equipamento, por sua precisão, calibração e grau de desgaste e as condições do levantamento, 
como temperatura, vento, umidade, variações magnéticas que podem provocar algum tipo 
de influência no uso no equipamento. Uma trena pode, por exemplo, dilatar em um dia de 
temperatura elevada.
Os erros de medida podem ser grosseiros, sistemáticos e acidentais.
Os erros grosseiros são decorrentes de falta de atenção na tomada de dados ou da imperícia do 
operador no manuseio do equipamento. Os erros grosseiros podem ser minimizados pelo treinamento 
da equipe no uso dos equipamentos e tomada de dados, pelo cuidado e atenção no registro dos dados 
e pela repetição de operações para checagem dos dados.
Os erros sistemáticos são aqueles causados de forma permanente e conhecida ou detectável. Um 
exemplo de erro sistemático é uma medida de distância feita por uma trena de aço cuja dimensão seja 
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TOPOGRAFIA
alguns centímetros maior do que a nominal. Quando a trena é usada, sempre se obtém o mesmo erro 
devido a essa diferença dimensional. 
Se o comprimento da trena for usado em n etapas, então o erro da medição será a diferença dimensional 
multiplicada por n. Por exemplo: se a trena possui 30 m de comprimento nominal, mas 0,05 m a menos na 
prática, então, em uma medição de 150 m, ou seja, 5 vezes o comprimento da trena, o erro será de:
5 ∙ 0,05 = 0,25 m = 25 cm
Nesse caso, a precisão do levantamento é baixa: 
0,25/150 = 1/600 
Os erros sistemáticos podem ser evitados pelos mesmos métodos que evitam os erros grosseiros.
Um erro acidental ou aleatório é aquele cuja causa é desconhecida e fora do controle. Em 
equipamentos que não têm um visor digital e cuja leitura depende do operador, como uma trena, por 
exemplo, a leitura de uma mesma distância realizada por dois operadores distintos irá, com grande 
probabilidade, diferir por alguns centímetros ou milímetros.
A determinação dos erros aleatórios e dos valores mais prováveis de um parâmetro é realizada com 
base em princípios de estatística, considerando curvas de probabilidade.
Uma vez que os erros grosseiros e os erros sistemáticos possam ser desconsiderados da análise, o 
valor mais provável e sua margem de erro podem ser determinados por meio do uso da estatística.
A distribuição dos erros aleatórios é considerada conforme a curva de probabilidade de Gauss. Por 
essa teoria, as medidas tendem a se agrupar em torno de um valor, determinado o melhor valor ou 
valor mais provável. Esse valor coincide com a média dos dados coletados. Ainda pela teoria de Gauss, 
a probabilidade de ocorrência é máxima nas proximidades do valor médio e há simetria na ocorrência 
dos resíduos. 
2.2 Análise estatística
Vamos aqui relembrar alguns conceitos de estatística, aplicando-os às técnicas de levantamento 
topográfico.
Média
Dada uma sequência de dados coletados (xi), a média (x) é o valor mais provável dessa grandeza:
x
x
n
i= ∑
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Unidade I
onde n é o número de dados coletados.
Desvio padrão ou erro médio quadrático
O erro médio quadrático ou desvio padrão (s) é determinado pela raiz quadrada da relação entre os 
resíduos (vi) e o número de amostras menos 1:
v x x
v
n
i i
i
= −
=
−
∑σ
2
1
Curva de probabilidade
A curva de probabilidade é desenhada a partir de um histograma de resíduos de valores de uma 
grandeza, medida infinitas vezes.
Já citamos que praticamente todas as medições em topografia se adaptam à curva contínua em 
formato de sino, chamada de Curva de Gauss, ou curva do erro normal, ou simplesmente, curva de 
probabilidade.
Uma medida qualquer x tem P% de probabilidade de estar no intervalo x Cp+ ⋅σ , em que Cp é uma 
constante obtida da curva normal.
A figura a seguir mostra a curva de probabilidade de Gauss:
curva de Gauss 
(esquema)
2 . Cp . s
p
média
Figura 9 – Curva de probabilidade (Gauss)
A constante Cp é definida a partir da curva de Gauss considerando a probabilidade para certos 
valores de erro. A tabela a seguir indica o valor dessas constantes:
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TOPOGRAFIA
Tabela 7 – Probabilidades de erro
Probabilidade (%) Erro (Cp . s)
38,3 0,50
50,0 0,6745
68,3 1,00
90,0 1,6449
95,0 1,9599
95,4 2,00
99,0 2,50
99,7 3,00
99,9 3,29
A especificação dos equipamentos de topografia normalmente indica o desvio padrão associado ao uso. 
Na prática, não são utilizados nem o desvio padrão (P = 68,3% de ocorrência), nem o erro provável (P = 
50%; 0,6745 s). Os intervalos de confiança mais utilizados para as medidas são os de 95,4% (2,00s), 99% 
(2,50s) e 99,7% (3,00s). A utilização do intervalo de confiança implica que a porcentagem P das medidas 
estará dentro do intervalo limitado por x Cp+ ⋅σ . Ou seja, considerando a probabilidade de 99%, tem-se 
que 99% das medidas efetuadas estarão dentro do intervalo x ± ⋅2 50, σ . As medidas além do intervalo de 
confiança podem ser descartadas, recalculando-se a média com os valores restantes. Deve, porém, ser claro 
ao analista que os valores não devem ser descartados apenas para melhorar a média obtida. De preferência, 
deve-se checar a consistência para eliminar apenas os erros grosseiros e sistemáticos da análise.
Exemplo de aplicação
Uma distância foi medida cinco vezes com um distanciômetro, sendo que foram obtidos os dados 
relacionados na tabela a seguir. Determine o valor mais provável da distância (média), o erro médio 
quadrático e os erros de 50%, 90% e 95% de probabilidade.
Tabela 8
Medida Distância (m)
1 142,39
2 143,10
3 142,78
4 142,89
5 142,87
Solução
O valor mais provável é a média das leituras realizadas.
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Unidade I
x
x
n
x
x m
i=
= + + + +
=
∑
142 39 143 10 142 78 142 89 142 87
5
142 806
, , , , ,
,
Para o cálculo do erro médio quadrático (desvio padrão), é melhor reproduzir a tabela original, 
inserindo duas novas colunas: uma para o resíduo (vi) e outra para o quadrado do resíduo (vi
2):
Tabela 9
Medida Distância (m) vi vi
2
1 142,39 -0,416 0,1731
2 143,10 0,294 0,0864
3 142,78 -0,026 0,0007
4 142,89 0,084 0,0071
5 142,87 0,064 0,0041
Total 0,2713
σ
σ
σ
=
−
=
−
=
∑v
n
m
i
2
1
0 2713
5 1
0 260
,
,
Os erros para 50%, 90% e 95% são, respectivamente, iguais a ±0,6745s, ±1,6449s e ±1,9599s. Com 
base no erro médio quadrático calculado, tem-se:
Tabela 10
Probabilidade Cálculo Erro
50% ±0,6745s 0,175
90% ±1,6449s 0,428
95% ±1,9599s. 0,510
Séries de medidas similares
Em topografia,as medidas são sempre tomadas em série, de forma sequencial. O profissional irá 
medir, em um projeto, uma sequência de ângulos, distâncias e elevações.
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TOPOGRAFIA
Como o erro tende a se acumular, deve-se determinar como será realizada essa consideração. A 
equação a seguir pode ser utilizada para estimar o erro aleatório total em uma série com n medições, 
considerando que todas as medidas têm a mesma precisão:
E E nsérie = ± ⋅
A expressão também pode ser utilizada do modo inverso, quando se deseja saber qual deve ser a 
precisão de um levantamento tendo um erro máximo admissível para a série.
Exemplo de aplicação
Uma série de 16 ângulos foi medida durante o levantamento de uma poligonal. Considerando que o 
erro de cada medição é de ±15’’ de arco, qual o erro estimado total do levantamento?
Solução
Basta aplicar a expressão:
E E n
E 15" n
E
s
s
s
’’
érie
érie
érie
= ± ⋅
= ± ⋅
= ±60
Resposta: o erro total da série de medidas é ± 60’’ = ± 1’.
Séries de medidas não repetidas
Quando uma série de medidas não repetidas é tomada, cada qual com o seu respectivo erro provável, 
o erro total provável para a série pode ser calculado pela expressão a seguir:
E E E Es nérie = ± + +…+1
2
2
2 2
Um caso particular da expressão ocorre quando todos os erros prováveis são iguais. Nesse caso, a 
equação é reduzida à forma apresentada no item ”Séries de medidas similares”.
Exemplo de aplicação
Em uma série de medidas para determinar o perímetro de um lote aproximadamente retangular, os 
erros prováveis associados a cada um dos quatro lados são ± 0,015m, ± 0,009m, ± 0,019m e ± 0,012m. 
Qual o erro provável do perímetro desse terreno?
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Unidade I
Solução
Basta aplicar a expressão:
E E E E
E
E
s
s
s
nérie
érie
= ± + +…+
= ± + + +
1
2
2
2 2
2 2 2 20 015 0 009 0 018 0 012, , , ,
éérie m= ±0 027,
Resposta: o erro total da série de medidas é ± 0,027m.
2.2.1 Atividade prática 1
O roteiro a seguir explica como podem ser utilizados os equipamentos de medições lineares (como a 
distância) e consolida o processo para o tratamento estatístico dos dados.
Título da atividade: utilização de equipamentos de medições lineares.
Definição: medidas lineares a serem obtidas por diastímetros, ou seja, trenas, fitas ou correntes, de 
forma a estabelecer uma distância entre dois pontos. Utilização da unidade de medidas “metro” e de 
seus divisores: decímetros (dm), centímetros (cm) e milímetros (mm). 
Objetivo: essa prática tem por objetivo orientar todas as medições a serem realizadas utilizando 
a trena e três balizas (no caso de distâncias superiores ao comprimento da trena), de forma a obter a 
distância entre dois pontos com maior precisão possível, levando em consideração as possibilidades 
de erro por: horizontalidade da trena, verticalidade das balizas, tensão aplicada à trena, observação na 
leitura, condições do ambiente.
Equipamentos e materiais utilizados por grupo: trena de fibra com 20 m, 3 balizas, caderneta de 
campo (ou caderno), 2 piquetes (2,5 x 2,5 x 15 cm) e 1 marreta.
Procedimento
1. Marcar o centro dos dois piquetes.
2. Implantar os dois piquetes no solo (local ao ar livre, pode ser um gramado) com distância 
aproximada de 80 passos um do outro.
3. No primeiro piquete, coloca-se um orientador com baliza na vertical. Um nível de mão pode ser 
utilizado para aprumá-la.
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TOPOGRAFIA
4. No segundo piquete, coloca-se um assistente com baliza na vertical. Um nível de mão pode ser 
utilizado para aprumá-la.
5. Um segundo assistente leva o início da trena ao primeiro assistente, para colocar no centro da 
baliza o “zero” da trena, em seguida, desenrola a trena até atingir os 20 metros.
6. O orientador passa a esse segundo assistente, que leva uma baliza, as instruções que deixarão 
alinhadas todas as balizas, sendo que a terceira deve estar a exatos 20 metros do segundo piquete.
7. Fixa-se essa terceira baliza ao solo no ponto da medição.
8. O primeiro assistente traz sua baliza para o próximo seguimento, que será a nova posição a ser 
orientada, com 20 metros de distância – ou seja, estará a 40 metros do segundo piquete.
9. Fixa-se essa baliza dos 40 metros ao solo; caso faltem menos de 20 metros para o primeiro 
piquete, apenas mede-se esse último intervalo.
10. Caso esse segmento seja superior a 20 metros, devem-se realizar novamente os passos anteriores, 
de maneira a garantir o alinhamento das medidas.
11. Anotam-se as distâncias dos segmentos na caderneta de campo, somando-se todas.
12. Um novo grupo deverá realizar a mesma medição, chegando a um novo resultado.
13. Em seguida mais grupos poderão fazer a mesma medição, chegando a novos resultados. 
Resultados: com os resultados de cada grupo, basta calcular a média e avaliar os erros para, em 
seguida, discutir como evitá-los. 
3 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS E DISTÂNCIAS
Conforme citado anteriormente, os ângulos e as distâncias são as grandezas fundamentais e bases de 
todos os levantamentos topográficos. A determinação de coordenadas de pontos para o posicionamento, 
a definição de orientações e alinhamentos e também a determinação das cotas e desníveis do terreno 
são estimadas e calculadas a partir de ângulos e distâncias.
3.1 Medição de distâncias
No plano topográfico, a distância entre dois pontos sempre se refere à projeção horizontal da reta 
que os une. 
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3.1.1 Equipamentos
As medições podem ser realizadas com trena ou distanciômetros (que podem ou não estar acoplados 
aos teodolitos, nas estações totais).
Para a medição com trena, o primeiro passo é definir os pontos para os quais se quer medir a distância. 
O ideal é que seja implantado um marco físico, com um piquete ao menos, para definir os pontos.
 lembrete
Não se esqueça de checar a precisão do equipamento para avaliar a 
precisão do levantamento a ser realizado.
Figura 10 – Trena de aço
 Saiba mais
Entre no endereço a seguir para ter mais informações sobre uma trena 
a laser:
BOSCH. Medidor laser de distâncias Bosch GLM 40 Professional. Bosch 
Professional, [s.d.]. Disponível em: <http://www.bosch-professional.com/br/pt/
laser-measure-glm-40-131500-0601072900.html>. Acesso em: 15 dez. 2017.
3.1.2 Levantamento
A correta medição exige que cada trecho seja horizontal e que sejam atenuados os erros referentes à 
catenária, à falta de alinhamento, ao desnível entre as extremidades, à dilatação térmica e à deformação 
elástica da trena.
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TOPOGRAFIA
Os três primeiros erros sistemáticos citados sempre implicam leituras maiores que a distância real. Os 
erros sistemáticos referentes à deformação da trena (térmica ou elástica) não têm um padrão em função 
do evento gerador, implicando leituras maiores ou menores que a real.
Quando houver desnível entre as extremidades, sempre se deverá desconsiderar o efeito do desnível 
para a tomada da distância.
∆h
2
d
L
l
Figura 11 – Desnível entre as extremidades de um trecho na medição de distância
A distância é dada pela expressão a seguir:
d L L= + ∆
onde:
d = distância que se deseja determinar
L = comprimento medido
∆L = diferença entre o comprimento medido e comprimento horizontal
∆h = desnível
A determinação do ∆L é simples, já que se trata de triângulo retângulo.
∆ ∆L h
L
= −
⋅
2
2
Para a falta de alinhamento, pode-se utilizar expressão de cálculo semelhante, alterando o desnível 
para o deslocamento lateral da trena.32
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Unidade I
Exemplo de aplicação
A distância (inclinada) entre dois pontos, A e B, é de 154,32 m. A diferença de cotas entre eles 
(desnível) é de 8,50 m. Determine a distância horizontal.
Solução
A distância pode ser determinada de duas formas:
1) Aplicação da formulação apresentada
d L L
d L
h
L
d
d m
= +
= −
⋅
= −
⋅
=
∆
∆ 2
2
2
154 32
8 50
2 154 32
154 09
,
,
,
,
2) Teorema de Pitágoras
a b
b
b m
2 2 2
2 2 2154 32 8 50
154 09
= +
= +
=
c
, ,
,
Por ambos os métodos, obtém-se o mesmo resultado.
Resposta: a distância horizontal é 154,09 m.
Os distanciômetros eletrônicos medem as distâncias por meio de transmissão de ondas 
eletromagnéticas.
Em estações totais, são fornecidos a distância inclinada, a distância horizontal e o desnível. Esses 
dois últimos são calculados a partir do ângulo vertical medido no teodolito eletrônico embutido.
A precisão das medidas de distância nas estações totais é expressa por dois números na forma (a + b). 
O primeiro é a constante aditiva e o segundo é o fator escala, expresso em partes por milhão. 
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A precisão é, então, dada pela seguinte expressão:
P a b s= ± + ⋅( )
onde:
a = constante aditiva, em mm
b = fator escala, em ppm
s = distância medida, em km
Exemplo de aplicação
Considere um distanciômetro com precisão (2+3). Sabendo que a distância medida é de 1600,432 m, 
qual o erro obtido?
Solução
A precisão do distanciômetro utilizado é 2 mm + 3 ppm.
O erro seria:
P
P mm
= ± + ⋅( )
= ±
2 3 1600432
6 8
,
,
Resposta: o erro obtido na medição da distância é de ± 6,8 mm.
3.1.3 Atividade prática 2
O roteiro a seguir explica como pode ser realizada a medida de distâncias com o uso da trena. A 
triangulação é um procedimento para comparar e verificar os dados levantados, visando “fechar” o 
levantamento.
Título: triangulação com uso de trena.
Definição: levantamento de pontos localizados no plano horizontal, apoiados em triângulos, 
utilizando trena para distâncias entre os pontos e balizas para garantir o alinhamento das medições. 
Objetivo: esse processo tem por objetivo obter medidas, de forma estruturada, para realizar desenho 
com precisão dentro de parâmetros aceitáveis. 
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Unidade I
Equipamentos e materiais utilizados por grupo: trena de fibra com 20 m, 3 balizas, caderneta de 
campo (ou caderno), 3 piquetes (2,5 x 2,5 x 15 cm) e 1 marreta.
Procedimento
1. Marcar o centro dos piquetes.
2. Implantar três piquetes no solo (local ao ar livre, pode ser um gramado) com distância aproximada 
de 80 passos uns dos outros, próximos aos detalhes a serem levantados (quinas de paredes, guias, 
cercas etc.). Caso o piso seja concretado, utilizar pintura dos pontos do triângulo.
3. Realizam-se as medições entre os piquetes ou pontos do triângulo, da mesma forma utilizada na 
atividade prática 1 deste livro-texto.
4. Medir as distâncias entre cada detalhe até dois pontos baseados no triângulo principal, de tal 
forma que configurem novos triângulos secundários. Levantar oito pontos de detalhes.
5. Montar, na caderneta de campo, um croqui com as dimensões obtidas em campo, conforme o 
exemplo a seguir: 
1
1
2
4
5
6
B C
A
A
Edificação
3
Poste
Ponto do triângulo
Ponto de detalhe
Distância (em metros) entre balizas nas linhas dos triângulos
Legenda
20
20 Distância (em metros) entre balizas nas linhas dos detalhes
Guia
Cerca
20
20
35
35
30
25
25
2515
15 15
20
20
10
20
20
20
20
20
20 20
5
Muro
Figura 12 – Exemplo de croqui para a atividade prática
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TOPOGRAFIA
Resultados: deve-se elaborar o desenho a lápis, em escala 1:100, utilizando material adequado 
(régua, esquadros, compasso) para definir cada triângulo. Posteriormente, poderá ser utilizado o 
programa AutoCAD.
Como esse trabalho não permite descobrir quais erros foram cometidos, sugere-se que as medições 
de lados semelhantes sejam realizadas ao menos duas vezes ou por dois grupos para confirmação.
3.2 Medição de ângulos
A medição de ângulos consiste na obtenção da direção desejada por meio do teodolito, que é o 
equipamento que permite a obtenção de ângulos horizontais (ou azimutais) e verticais (ou zenitais). 
3.2.1 Equipamentos disponíveis
Há diversos modelos de equipamentos, e eles divergem tanto em relação à finalidade de uso quanto 
à precisão. Hoje, utilizam-se principalmente os teodolitos eletrônicos, mas já houve períodos em que se 
utilizavam os equipamentos “clássicos”, nos quais a medição era feita de forma analítica. Os teodolitos 
eletrônicos são usualmente associados a distanciômetros eletrônicos (medidor de distância), formando 
o equipamento chamado de estação total.
 Saiba mais
Para mais informações sobre um teodolito e uma estação total, acesse:
LEICA. Leica Flexline TS02/06/09. Leica Geosystems, 2017b. 
Disponível em: <http://www.leica-geosystems.com.br/br/Leica-Flexline-
TS020609_103175.htm>. Acesso em: 20 dez. 2017.
NIKON. Nikon NE-100 and NE-101 Theodolites. 2015. Disponível em: 
<http://www.spectraprecision.com/media/custom/upload/File-1441359259.
pdf>. Acesso em: 20 dez. 2017.
Em geral, os teodolitos possuem três eixos:
• principal: eixo de rotação, deve permanecer sempre na vertical;
• secundário: eixo de rotação da luneta, deve permanecer na horizontal;
• colimação: eixo da linha de visada, definida pela ocular e pelo retículo; deve permanecer 
perpendicular ao eixo secundário.
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A visada, processo de leitura pela luneta, permite a obtenção do ângulo por meio de círculos graduados. 
Os círculos azimutais (horizontais) são normalmente graduados de 0° a 360° (no sentido NESW: Norte – 
Leste – Sul – Oeste). Os círculos zenitais (verticais) variam conforme o modelo, podendo apresentar apenas 
um quadrante (0° a 90°), dois (0 a 180°) ou os quatro quadrantes da circunferência (0 a 360°).
 Observação
Ao longo da vida profissional, como os aparelhos são muito variados e 
a tecnologia evolui com o passar do tempo, sugere-se sempre consultar o 
manual do equipamento quando for necessária a sua utilização. 
Os teodolitos eletrônicos indicam a leitura digital dos ângulos medidos e permitem zerar o equipamento 
em qualquer posição, o que facilita bastante a tomada de dados. O giro também é livre, tanto no sentido 
horário quanto no anti-horário. Caberá ao responsável definir e padronizar o sentido do levantamento.
 Saiba mais
Consulte os sites dos fabricantes de equipamentos para atualização e 
conhecimento sobre as especificações de funcionamento de cada instrumento. 
A Leica Geosystems e a Topcon são alguns dos principais fabricantes:
<http://www.leica-geosystems.com.br/>.
<https://www.topconpositioning.com/pt-br/>.
Outros sites de revendedores de equipamentos são boas fontes de 
consulta. Essas empresas promovem cursos de capacitação para atualização e 
utilização dos equipamentos. Dentre as empresas que podem ser consultadas, 
destacam-se a Embratop, a Alezi-Teodolini e a Santiago-Cintra:
<http://www.embratop.com.br/>.
<http://www.aleziteodolini.com.br/>.
<https://www.santiagoecintra.com.br/>.
3.2.2 Sequência de operação
O processo para a obtenção das medidas dos ângulos se inicia com o posicionamento do equipamento 
em um ponto pré-determinado – etapa de estacionamento. Na sequência, o equipamento deve ser 
corretamente nivelado sobre a base, operação que garante a posição correta dos eixos e dos círculos 
graduados– etapa de nivelamento. Após essas duas etapas, o equipamento está pronto para o uso.
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Seguem-se então as etapas de orientação, que consiste no estabelecimento da origem (0°) em uma 
direção pré-definida, e a colimação, que é a etapa de leitura propriamente dita, ou seja, a visada precisa 
ao ponto, cuja orientação deve coincidir com o centro do retículo.
A etapa de orientação pode ser realizada pelo Norte Verdadeiro (ou Geográfico) – preferencialmente 
– ou pelo Norte Magnético, obtido por meio de bússola. Pode-se adotar também um ponto qualquer 
como origem do levantamento.
A determinação do Norte Verdadeiro exige o transporte da linha de uma direção conhecida por 
meio da visada ao Sol ou às estrelas. Trata-se de um processo lento, já que devem ser realizadas diversas 
visadas astronômicas para a determinação da posição. 
Outra possibilidade é a utilização de um giroscópio atrelado ao teodolito. Nesse caso, a resultante 
do movimento combinado do giroscópio com a rotação da terra ocorre na direção NS, permitindo a 
determinação do Norte Verdadeiro.
Caso o Norte seja obtido pela utilização da bússola, pode-se correlacionar o Norte Verdadeiro com o 
Norte Magnético por meio da declinação magnética atualizada. 
As cartas topográficas, citadas anteriormente, indicam na legenda o ano da sua obtenção e a 
variação anual da declinação magnética. As cartas indicam sempre três “nortes”: NG – Norte Geográfico 
(verdadeiro), NM – Norte Magnético e NQ – Norte da Quadrícula, que é a direção estabelecida para a 
representação. 
A figura a seguir ilustra a representação da orientação (Norte) em uma carta topográfica:
Fuso 23
NM
NG
0°53’49’’
16°19’
NQ
A declinação magnética varia anualmente 9’ oeste.
A declinação magnética 1979 e convergência meridiana do centro da folha
Figura 13 – Indicação do Norte em Cartas Topográficas 
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3.2.3 Declinação magnética
Falamos agora há pouco sobre a declinação magnética. Pela figura anterior, podemos ver que ela é 
o ângulo formado entre as direções do Norte Verdadeiro e do Norte Geográfico em um ponto específico 
da superfície da Terra. Normalmente, a declinação magnética está indicada em cartas topográficas e 
mapas de cada região.
A declinação magnética (d) não é igual em todo o planeta: varia de região para região, ou seja, é 
função do par (latitude–longitude) de um ponto e varia ao longo do tempo. Existem mapas específicos 
indicando curvas de igual valor dessa variável, as curvas isogônicas.
No Brasil, o órgão responsável pela elaboração das cartas de declinação é o Observatório Nacional. 
A periodicidade de publicações é de 10 anos.
Para a obtenção do valor da declinação em um local específico, deve-se fazer uma interpolação das 
curvas isogônicas. Na sequência, deve-se realizar uma interpolação temporal da declinação, por meio de 
curvas isopóricas, que contêm linhas de variação anual dessa grandeza.
Assim, conhecidas as coordenadas geográficas (latitude e longitude) e a carta com as curvas 
isogônicas da região em questão, a declinação magnética pode ser determinada por meio da fórmula a 
seguir:
δ δ= + ( )0 v t∆
onde:
d = declinação magnética que se deseja conhecer
d0 = declinação magnética na data t0 (anos), interpolada na carta de isogônicas
v = variação anual da declinação para o local em questão, interpolada na carta de isopóricas
∆t = tempo transcorrido a partir da data em que as cartas foram elaboradas (ano e fração).
Exemplo de aplicação
Um levantamento topográfico foi realizado no dia primeiro de março de 1998 na área cuja carta 
topográfica é a mesma representada na figura anterior. O norte foi determinado com a utilização da 
bússola. Para a determinação do Norte Verdadeiro, é necessária a determinação da declinação magnética.
Considerando os dados apresentados na figura 7 (“Precisão e acurácia”), temos que o ano de obtenção 
da declinação magnética é 1979. O valor da declinação é 16°19’ e a variação anual é de 9’W. 
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TOPOGRAFIA
Qual a declinação atualizada para a data do levantamento?
Solução
Uma vez que a carta não especifica a data, vamos considerar que a declinação magnética é 1º de 
janeiro de 1979, para a qual se obteve d = 16°19’.
• data desejada = 01/03/1998 = 1998,16
• data inicial = 1/1/1979 = 1979,00
• período de tempo decorrido = Dt = 19,16 anos
• variação da declinação magnética no período:
δ
δ
δ
δ
= ° + ⋅
= ° +
= ° + °
= °
16 19 9
16 19 172 44
16 19 2 52
19 11
’ ’ 19,16
’ ’
’
’
’
,
Resposta: a declinação magnética atualizada para o ano de 1998 é de 19°11’.
3.2.4 Medição de ângulos horizontais
A medição de ângulos horizontais (ou azimutais) consiste no estacionamento do aparelho em P 
para a leitura das orientações para os pontos 1 e 2, que irão definir um ângulo. Na determinação 
sequencial de ângulos e distâncias em uma poligonal, costuma-se chamar os pontos de ré e vante, que 
podem equivaler, a critério do responsável, à primeira leitura ou segunda leitura, anterior ou posterior. 
O importante é que na determinação da poligonal, a sequência seja mantida para determinar os pontos 
ré e vante, nomenclatura que utilizaremos a partir daqui.
A figura a seguir indica um caso geral de medição de ângulos horizontais:
1 (Ré)
α
P
2 (Vante)
Figura 14 – Medição de ângulos horizontais
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Unidade I
Em um caso geral, em que o aparelho não está orientado, a origem situa-se em um ponto qualquer. 
São efetuadas duas leituras L1 e L2, ambas a partir dessa origem pré-estabelecida. O ângulo α é 
obtido pela diferença das duas leituras (vante menos ré). Caso o resultado seja negativo, devemos somar 
360° para trabalhar sempre no intervalo da circunferência (0° a 360°).
α = −L L2 1
Caso o aparelho esteja orientado pelo Norte Verdadeiro (0° = NV), as leituras dos ângulos são 
chamadas de azimutes verdadeiros. Caso a origem seja o Norte Magnético (0° = NM), então os ângulos 
são os azimutes magnéticos.
α = − = −L L A A2 1 2 1
1 (Ré)
0° = N
L2
L1
α
P
2 (Vante)
Figura 15 – Medição de ângulos orientados pelo Norte
Caso o aparelho esteja orientado por ré, então a origem coincide com a leitura inicial (L1 = 0°). A 
leitura de vante é o próprio ângulo interno.
α = L2
1 (Ré)
0°
L2
α
P
2 (Vante)
Figura 16 – Medição de ângulos orientados por ré
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TOPOGRAFIA
Caso o aparelho esteja orientado por vante, ou seja, L2 = 0°, temos então que a leitura L1 corresponde 
ao ângulo externo. O ângulo interno desejado, α, é, então, a diferença entre a circunferência completa 
e o ângulo externo.
α = ° −360 1L
1 (Ré)
0°
L1
α
P
2 (Vante)
Figura 17 – Medição de ângulos orientados por vante
Em uma poligonal aberta, quando se segue um caminhamento como o traçado de estradas, utiliza-se 
o método das deflexões. Nesse método, força-se a coincidência da leitura de ré com o ângulo de 180°, 
o que equivale a ter a origem da graduação no prolongamento da ré. 
Assim, o ângulo de deflexão é sempre igual a L2 (leitura de vante), sendo positivo ou negativo em 
função da deflexão ser à direita ou à esquerda.
O ângulo interno, α, é a diferença entre 180° e o ângulo de deflexão.
180°
D = LV
LV
D
V
0°
r α
Figura 18 – Método das deflexões (orientação pelo prolongamento da ré)
Exemplo de aplicação
Um topógrafo realizou um levantamento para a determinação do ângulo horizontal entre duas 
direções. Para tanto, fez uma visada para o ponto 1 (ré),em que obteve L1 = 311°45°22’’ e uma visada a 
vante para o ponto 2, cuja leitura foi L2 = 20°35°30. Qual foi o valor encontrado para o ângulo horizontal 
interno entre as duas direções?
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Unidade I
Solução
Como não foi citada a origem do levantamento, considera-se o primeiro caso uma origem qualquer.
Assim, o valor do ângulo interno é dado pela expressão:
α = −L L2 1
Para os dados obtidos em campo, tem-se:
α
α
= ° − °
= °
20 35 30 311 45 22
68 50 08
’ ’’
’’
’ ’’
’
Repare que o resultado da expressão é um ângulo negativo. Para trabalhar sempre no intervalo da 
circunferência (0° a 360°), somamos 360° ao resultado inicial.
Resposta: o ângulo interno α é igual a 68°50’08’’.
3.2.5 Azimutes
Você deve ter observado que já citamos diversas vezes os termos azimute ou azimutal. Mas o que 
significam?
Os ângulos azimutais, ou simplesmente azimutes, são os ângulos horizontais cuja origem é o Norte 
– ou seja, que o Norte equivale a 0°. Quando se refere ao Norte Geográfico, são os azimutes geográficos 
(ou verdadeiros). Quando se refere ao Norte Magnético, são os azimutes magnéticos.
Resumidamente, o azimute é um ângulo horizontal, entre o Norte e o alinhamento (em análise), que 
varia de 0° a 360°, com origem no Norte. 
Em trabalhos mais antigos, como descrição de imóveis (glebas), a descrição pode estar apresentada 
por meio de rumos. O rumo é o menor ângulo entre a linha Norte-Sul e o alinhamento em análise.
Por convenção, a contagem dos rumos tem como origem o ponto Norte (N) ou o ponto Sul (S) e a sua 
variação é de 0° a 90°. O rumo não possui valor negativo e é obrigatória a designação do quadrante a 
que pertence o ângulo azimutal. Dessa forma, o ângulo sempre vem acompanhado dos pontos cardeais 
relacionados ao quadrante em que se encontra (NE, NW, SE, SW), sendo que a primeira letra (N ou S) é a 
origem a partir da qual se está medindo o ângulo e a segunda expressa a direção do giro. 
O esquema gráfico e as fórmulas para a determinação dos rumos a partir dos azimutes estão 
indicados na tabela a seguir:
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TOPOGRAFIA
Tabela 11 – Determinação dos rumos a partir dos azimutes
Quadrante Expressão de cálculo Orientação
1 R = A NE
2 R = 180° - A SE
3 R = A – 180° SW
4 R = 360° – A NW
4º Q
3º Q
1º Q
2º Q
P2
P3
P4
P1
W
Az4 = 310° 15’
Az3 = 210° 15’
Az1 = 30° 15’
Az2 = 120° 45’
E
S
N
Figura 19 – Correlação entre os azimutes e os rumos 
 lembrete
Os azimutes se originam no Norte, enquanto os rumos podem ter 
origem no Norte ou no Sul. Para diferenciá-los, os rumos sempre indicam a 
orientação (NE, SE, NW, SW).
Exemplo de aplicação
Na análise da matrícula antiga de um imóvel, o engenheiro encontrou os dados referentes aos 
limites expressos tanto em azimutes quanto em rumos. Como o imóvel irá passar por um processo 
de desapropriação parcial para ampliação da largura de uma avenida, o engenheiro julgou necessário 
uniformizar a informação, transformando todos os ângulos expressos em rumos para azimutes. Vamos 
ajudá-lo? Os rumos indicados na matrícula são:
Alinhamento 1-2: Rumo = 30°25’ SE
Alinhamento 2-3: Rumo = 32°40’ SW
Alinhamento 3-4: Rumo = 45°28’ NW
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Unidade I
Alinhamento 4-1: Azimute = 22’50’
Solução
Os três primeiros ângulos estão expressos em rumos. 
Para fazer a conversão para azimute, primeiro temos que checar em qual quadrante se encontra 
cada rumo apontado. A tabela anterior irá nos ajudar a verificar qual expressão utilizar para a conversão. 
Vamos montar uma tabela para organizar as informações.
Tabela 12 –Conversão de rumos/azimutes
Alinhamento Ângulo Quadrante Expressão de cálculo Azimute calculado
1-2 R = 30°25’ SE 2 R = 180° - A A = 149°35’
2-3 R = 32°40’ SW 3 R = A – 180° A = 212°40’
3-4 R = 45°28’ NW 4 R = 360° – A A = 314°32’
4-1 A = 22°50’ 1 - A = 22°50’
3.2.6 Medição de ângulos zenitais (verticais)
A medida dos ângulos verticais é semelhante à dos horizontais, sendo que a orientação é feita pelo 
zênite, pela horizontal ou pelo nadir.
Caso a origem seja o zênite, chama-se o ângulo de zenital. Caso seja a horizontal, ele é denominado 
ângulo de elevação ou inclinação. Caso a origem seja o nadir, o ângulo é de elevação. A figura a seguir 
indica os três ângulos e respectivas origens.
P P
P
Z
N
γ
(A) (B) (C)
1 1
1
Z Z
-Z
H H
H
Figura 20 – Ângulos verticais zenitais, com origem no zênite (A); de elevação ou inclinação, 
com origem no plano horizontal (B) e de elevação, com origem no nadir (C)
Em algumas publicações, o ângulo vertical, cuja origem é o plano horizontal, é chamado de ângulo 
vertical de altura, para diferenciá-lo do ângulo com origem no nadir.
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3.2.7 Atividade prática 3
A atividade prática tem por objetivo a familiarização do uso do teodolito na medição de ângulos 
horizontais e verticais. Ressalta-se que é importante consultar o manual do equipamento do seu 
campus. O professor ou responsável pela atividade de campo pode ajudá-lo na adaptação deste roteiro 
ao equipamento disponível.
Título: uso do teodolito.
Definição: utilização dos recursos do teodolito, orientações sobre componentes, sistema de 
nivelamento do prato e sistema de prumo óptico. 
Objetivo: orientar sobre os cuidados com o equipamento, realizar medidas de ângulos horizontais e 
verticais, facilitar a orientação para alinhamentos de medidas. 
Essa prática com teodolito fornece aos alunos um primeiro contato com o aparelho para deixá-los 
familiarizados com as operações de estacionar e fazer as leituras, preparando-os para as tarefas mais 
complexas. 
É importante que cada membro do grupo faça uma operação de estacionar o aparelho e a leitura de 
um ângulo horizontal com as devidas visadas.
Equipamentos e materiais utilizados por grupo: teodolito, tripé, duas balizas, nível de mão, 
caderneta de campo (ou caderno), três piquetes (2,5 x 2,5 x 15 cm) e marreta. 
Segue um esquema das peças e funções do teodolito CST/Berger, modelo DGT10. Todos os 
equipamentos têm funções semelhantes, entretanto, a posição dos comandos pode variar, justificando 
a importância da leitura do manual.
Figura 21 – Teodolito
Descrição dos componentes do teodolito
1. Ponto de mira ou mira do telescópio.
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Unidade I
2. Objetiva.
3. Trava do movimento horizontal. 
4. Parafuso de chamada fina horizontal.
5. Mostrador digital.
6. Teclado.
7. Parafusos de nivelação ou calantes.
8. Ponto central do eixo do telescópio.
9. Prumo óptico.
10. Base nivelante.
11. Alça de transporte.
12. Parafuso de fixação da asa.
13. Nível de bolha tubular.
14. Trava da base nivelante.
15. Tampa da bateria.
16. Focagem da objetiva.
17. Focagem do retículo.
18. Trava do movimento vertical.
19. Parafuso de chamada fina vertical.
20. Bolha de nível circular.
Procedimento
1. Marcar o centro dos piquetes.
2. Implantar três piquetes no solo (local ao ar livre, pode ser um gramado) com distância aproximada 
de 80 passos uns dos outros.
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TOPOGRAFIA
3. No primeiro piquete, colocar somente o tripé aberto com o fio de prumo para centralizá-lo na 
marca do piquete, posicionando o prato de apoio na horizontal visualmente, com o parafuso de 
fixação no centro do tripé.
4. Essas operações de centralização e nivelamento do prato podem ser obtidas pelos parafusos de 
liberação das