Modelo das Máquinas Síncronas de Polos Salientes com Rotor Bobinado, a Imã e à Relutância

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UFPB

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Samara Chaves

17/09/2020

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Acionamento e Controle de Máquinas Elétricas

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Modelo das Máquinas Sı́cronas de Pólos
Salientes com Rotor Bobinado, a Imã e à
Relutância
CURSINO BRANDÃO JACOBINA
Laboratório de Eletrônica Industrial e Acionamento de Máquinas - LEIAM
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Centro de Engenhária Elétrica e Informática - CEEI
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
58.429-900 Campina Grande - PB - Brazil
email: jacobina@dee.ufcg.edu.br
I. INTRODUÇ ÃO
Neste texto são derivados os modelos das seguintes máquinas trifásicas de pólos salientes: i)
sı́ncrona de rotor bobinado, ii) sı́ncrona a imã permanente e iii) sı́ncrona à relutância.
Inicialmente são determinadas as expressões das indutâncias próprias e mútuas numa estrutura
com pólos salientes e depois são derivados o modelos da máquina sı́ncrona trifásica de rotor
bobinado (nas versões trifásico e odq), da máquina sı́ncrona a imã permanente (odq) e da máquina
sı́ncrona à relutância (odq).
II. INDUTÂNCIAS PRÓPRIAS E MÚTUAS DE BOBINAS NUMA ESTRUTURA COM P ÓLOS
SALIENTES
Duas bobinas quaisquer em um meio apresentando um pólo saliente (Fig. 1), tem indutâncias
próprias e mútuas que dependem de suas posições relativas ao eixo da saliência (eixo d). Despresando-
se a saturação e supondo uma repartição senoidal da fmm, pode-se determinar expressões simples
para estas indutâncias.
A corrente ia cria uma fmm máxima na bobina ”a” segundo seu próprio eixo, supondo uma
repartição senoidal de fmm, esta bobina pode ser composta em duas bobinas: uma sobre o eixo
d, criando uma fmm igual à naia cos(θa) e outra sobre o eixo q criando uma fmm igual à
naiasen(θa).
�b
�a
d
q
(b)
(a)
Fig. 1. Bobinas numa estrutura com pólo saliente.
Devido a existência do pólo saliente sobre o eixo d, para um mesmo valor da fmm a indução
magnética B será maior sobre o eixo d, pois a relutância R (B é proporcional a ni/R) é menor
sobre o eixo d. Assim, tem-se as seguintes induções sobre o eixos d e q.
Bd = kdnaia cos (θa) (1)
Bq = kqnaiasen (θa) (2)
onde kd > kq.
O fluxo λb/a enviado à bobina ”b” por ia é dado pela seguinte expressão
λb/a = knbBd cos(θb) + knbBqsen (θb) (3)
substituindo (1) e (2), obtém-se
λb/a = knbnaia[kd cos (θa) cos (θb) + kqsen (θa) sen (θb)] (4)
onde k depende da estrutura da máquina (material magnético e dimensões).
A indutância mútua entre estas duas bobinas é então dada por
Mab =
λb/a
ia
= knbna[kd cos (θa) cos (θb) + kq sin (θa) sin (θb)] (5)
ou
Mab = Md cos (θa) cos (θb) + Mq sin (θa) sin (θb) (6)
ou ainda
Mab =
Md + Mq
2
cos (θa − θb) + Md − Mq
2
cos (θa + θb) (7)
onde Md = kkdnbna (Mab quando θa = θb = 0) e Mq = kkqnbna (Mab quando θa = θb = π2 ).
A indutância própria, caso particular, é obtida fazendo coincidir as duas bobinas (θa = θb = θ;
na = nb = n)
L = Ld cos
2 (θ) + Lq sin
2 (θ) (8)
ou ainda
L =
Ld + Lq
2
+
Ld − Lq
2
cos (2θ) (9)
onde Ld = kkdn2 e Lq = kkqn2.
III. MODELO DA MÁQUINA SÍNCRONA TRIFÁSICA DE ROTOR BOBINADO E PÓLOS SALIENTES
A máquina sı́ncrona trifásica de rotor bobinado e pólos salientes pode ser representada conforme
ilustrado na Fig. (2).
if
ikd
kd
d
q
�
�
vs1
vs2
vs3
is2
is1
is3
Vf
+
-
+
-
+ -
kq
r
r
s1
s2
s3
ikq
Fig. 2. Máquina sı́ncrona trifásica de rotor bobinado e pólos salientes.
A máquina é constituı́da de três enrolamentos trifásicos de estator, formando uma armadura
semelhante àquela da máquina simétrica tratada anteriormente, e de um rotor com três enro-
lamentos: um enrolamento de exitação (f ) no eixo d (pólo saliente), e dois enrolamentos curto-
circuitado um sobre o eixo d (kd) e outro sobre o eixo q (kq), representando o efeito do enrolamento
amortecedor da máquina.
A. Expressões dos fluxos
Os fluxos da máquina são dados por
λs123 = Lssis123 + Lsrirfdq (10)
λrfdq = Lrsis123 + Lrrirfdq (11)
com
λs123 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
λs1
λs2
λs3
⎤
⎥⎥⎥⎦; λrfdq =
⎡
⎢⎢⎢⎣
λr1
λr2
λr3
⎤
⎥⎥⎥⎦; is123 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
is1
is2
is3
⎤
⎥⎥⎥⎦ irfdq =
⎡
⎢⎢⎢⎣
if
ikd
ikq
⎤
⎥⎥⎥⎦;
Lss =
⎡
⎢⎢⎢⎣
Ls1 Ms12 Ms13
Ms12 Ls2 Ms23
Ms13 Ms23 Ls3
⎤
⎥⎥⎥⎦; Lrr =
⎡
⎢⎢⎢⎣
Lfd Mfkd 0
Mfkd Lkd 0
0 0 Lkq
⎤
⎥⎥⎥⎦; Lsr =
⎡
⎢⎢⎢⎣
Ms1f Ms1d Ms1q
Ms2f Ms2d Ms2q
Ms3f Ms3d Ms3q
⎤
⎥⎥⎥⎦;
Lrs =L
T
sr.
Para as indutâncias próprias de Lss, tem-se
Ls1 = Lso + Lsm cos(2θr)
Ls2 = Lso + Lsm cos(2θr − 4π
3
)
Ls3 = Lso + Lsm cos(2θr − 2π
3
)
Lso = (Lsd + Lsq) /2 + Lsδ
Lsm = (Lsd − Lsq) /2
Estas expressões foram obtidas de (9) substituindo a posição agular θ de cada bobina do estator
em relação ao eixo direto (i.e., θ = −θr; θ = 2π3 − θr; θ = 4π3 − θr para Ls1, Ls2 e Ls3,
respectivamente). Nestas expressões Lsδ é a indutância de fuga do estator.
Para as indutâncias mútuas de Lss, tem-se
Ms12 = Mso + Lsm cos(2θr − 2π
3
)
Ms23 = Mso + Lsm cos(2θr)
Ms13 = Mso + Lsm cos(2θr − 4π
3
)
Mso = −1
2
(Lsd + Lsq)
2
Expressões obtidas de (7) substituindo θa e θb por seus valores para cada par de bobinas de
estator (p. ex., para Ms12, θa = −θr θb = 2π3 − θr).
Para as indutâncias mútuas de eixo d de Lsr, tem-se
Ms1f = Msf cos(θr)
Ms2f = Msf cos(θr − 2π
3
)
Ms3f = Msf cos(θr − 4π
3
)
Ms1d = Msd cos(θr)
Ms2d = Msd cos(θr − 2π
3
)
Ms3d = Msd cos(θr − 4π
3
)
Expressões obtidas de (7) fazendo θa = 0 e substituindo θb pelos valores correspodente das
bobinas do estator.
Para as indutâncias mútuas do eixo q de Lsr, tem-se
Ms1q = −Msq sin(θr)
Ms2q = −Msq sin(θr − 2π
3
)
Ms3q = −Msq sin(θr − 4π
3
)
Expressões obtidas de (7) fazendo θa = π2 e substituindo θb pelos valores correspodente das
bobinas do estator.
B. Expressões das tensões
A partir da forma geral para a tensão de uma bobina (i.e., v = Ri+dλ/dt), obtém-se as tensões
das diversas bobinas da máquina na forma matricial, i.e.,
vs123 = Rsis123 +
d
dt
λs123 (12)
vrfdq = Rrirfdq +
d
dt
λrfdq (13)
Nestas equações tem-se que
vs123 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
vs1
vs2
vs3
⎤
⎥⎥⎥⎦; vrfdq =
⎡
⎢⎢⎢⎣
vf
0
0
⎤
⎥⎥⎥⎦; Rs =
⎡
⎢⎢⎢⎣
Rs 0 0
0 Rs 0
0 0 Rs
⎤
⎥⎥⎥⎦; Rr =
⎡
⎢⎢⎢⎣
Rf 0 0
0 Rkd 0
0 0 Rkq
⎤
⎥⎥⎥⎦
Os fluxos λs123 e λrfdq são obtidos de (10) e (11), respectivamente.
C. Expressão do conjugado
A expressão geral do conjugado eletromagnético é dado em trifásico por
ce =
1
2
[
iTs123 i
T
rfdq
] ∂
∂θr
⎡
⎣ Lss Lsr
Lrs Lrr
⎤
⎦
⎡
⎣ is123
irfdq
⎤
⎦ (14)
como Lrr é constante, escreve-se
ce =
1
2
iTs123(
∂
∂θr
Lss)is123 +
1
2
iTs123(
∂
∂θr
Lsr)irfdq +
1
2
iTrfdq(
∂
∂θr
Lrs)is123 (15)
Como os dois últimos termos desta igualdade são idênticos, pois Lsr = L
T
rs, obtém-se
ce =
1
2
iTs123(
∂
∂θr
Lss)is123 + i
T
s123(
∂
∂θr
Lsr)irfdq (16)
A primeira parcela do conjugado corresponde ao conjugado de relutância, existente apenas nas
máquinas de pólos salientes.
IV. MODELO odq DA MÁQUINA SÍNCRONA DE ROTOR BOBINADO E P ÓLOS SALIENTES
As equações da máquina trifásica são simplificadas pela transformação de Park, componentes
odq com os eixos dq solidários ao rotor. Assim, pela definição de transformação pode-se escrever
xs123 = P sx
r
sodq (17)
onde xs123 e xrsodq representam as variáveis do estator no referenciais 123 e odq, respectivamente.
O expoente r indica que as variáveis dq estão no referencial rotórico.
Na matriz de transformação P s é a mesma utilizada no caso da máquina de pólos lisos, isto é,
P s=
√
2
3
⎡
⎢⎢⎢⎣
1√
2
cos (θr) − sin (θr)
1√
2
cos
(
θr − 2π3
)
− sin
(
θr − 2π3
)
1√
2
cos
(
θr − 4π3
)
− sin
(
θr − 4π3
)
⎤
⎥⎥⎥⎦ (18)
Neste caso, é utilizado δg = θr, já que as grandezas trifásicas do estator são transformadas para o
referencial odq rotórico. A matriz P s é ortogonal, i.e., P
−1
s = P
T
s .
Note que as variáveis rotóricas não sofrem transformação. Isto é, P r = I3, onde I3 é a matriz
identidade de ordem 3.
Fisicamente a transformação corresponde a substituição de uma armadura trifásica por uma outra
bifásica equivalente (dq) mais uma bobina homopolar (o), que existe apenas em funcionamentodesequilibrado. A armadura bifásica dq é colocada solidariamente ao rotor [o eixo d alinhado com
o eixo de exitação do rotor (i.e., o pólo saliente) e o eixo q em quadratura com d]. Pode-se observar
que em regime permanente as grandezas desta máquina (fluxo, corrente e tensão) serão contı́nuas,
pois os campos girantes que a armadura trifásica origina em regime permanente (amplitude e
velocidade constante) são obtidas em dq com bobinas que já giram a velocidade do campo girante,
sendo portanto necessariamente percorrida por correntes contı́nuas.
A. Expressões dos fluxos
Aplicando-se a transformação às equações para os fluxos do estator (10), obtém-se
P sλ
r
sodq = LssP si
r
sodq + Lsrirfdq (19)
ou ainda
λrsodq = P
−1
s LssP si
r
sodq + P
−1
s Lsrirfdq (20)
Aplicando-se agora a transformação às equações dos fluxos do rotor (11), tem-se neste caso que
λrfdq = LrsP si
r
sodq + Lrrirfdq (21)
Efetuando-se os produtos matricias, obtém-se as novas expressões para os fluxos no referencial
odq, i.e., ⎡
⎢⎢⎢⎣
λso
λrsd
λrsq
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
lso 0 0
0 lsd 0
0 0 lsq
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
iso
irsd
irsq
⎤
⎥⎥⎥⎦ +
⎡
⎢⎢⎢⎣
0 0 0
mf mkd 0
0 0 mkq
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
if
ikd
ikq
⎤
⎥⎥⎥⎦ (22)
⎡
⎢⎢⎢⎣
λf
λkd
λkq
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0 mf 0
0 mkd 0
0 0 mkq
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
iso
irsd
irsq
⎤
⎥⎥⎥⎦ +
⎡
⎢⎢⎢⎣
lf mfd 0
mfd lkd 0
0 0 lkq
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
if
ikd
ikq
⎤
⎥⎥⎥⎦ (23)
onde
lsd = Lso − Mso + 32Lsm; lsq = Lso − Mso − 32Lsm; lso = Lso + 2Mso;
mf =
3
2
Msf ; mkd = 32Msd; mkq =
3
2
Msq;
mfd = Mfkd; lf = Lf ; lkd = Lkd; lkq = Lkq
B. Expressões das tensões
Aplicando-se a transformação às equações das tensões (12) e (13), escreve-se
P sv
r
sodq = RsP si
r
sodq +
d
dt
(P sλ
r
sodq) (24)
vrfdq = Rrirfdq +
d
dt
λrfdq (25)
Multiplicando a primeira equação por P
−1
s em ambos os membros, obtém-se
vrsodq = P
−1
s RsP si
r
sodq + P
−1
s P s
d
dt
λrsodq + ωrP
−1
s (
d
dθr
P s)λ
r
sodq (26)
onde ωr = dθr/dt (velocidade da máquina em rad elétricos por segundo). Após algumas simplificações
pode-se escrever que
vrsodq = Rsi
r
sodq +
d
dt
λrsodq + ωr
⎡
⎢⎢⎢⎣
0 0 0
0 0 −1
0 1 0
⎤
⎥⎥⎥⎦ λrsodq (27)
As tensões podem ser explicitadas em função das correntes, substituindo as expressões dos
fluxos λrsodq e λrfdq [obtidos das equações (22) e (23)] nas equações (27) e (25), ou seja,⎡
⎢⎢⎢⎣
vo
vrsd
vrsq
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
Rs + lsop 0 0
0 Rs + lsdp −lsqωr
0 lsdωr Rs + lsqp
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
io
irsd
irsq
⎤
⎥⎥⎥⎦ +
⎡
⎢⎢⎢⎣
0 0 0
mfp mkdp −mkqωr
mfωr mkdωr mkqp
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
if
ikd
ikq
⎤
⎥⎥⎥⎦(28)
⎡
⎢⎢⎢⎣
vf
0
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0 mfp 0
0 mkdp 0
0 0 mkqp
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
io
irsd
irsq
⎤
⎥⎥⎥⎦ +
⎡
⎢⎢⎢⎣
Rf + lfp mfdp 0
mfdp Rkd + lkdp 0
0 0 Rkq + lkqp
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
if
ikd
ikq
⎤
⎥⎥⎥⎦ (29)
Nestas expressões p representa o operador derivada, i.e., p = d/dt.
C. Expressão do conjugado
Substituindo-se as correntes trifásicas do estator e as correntes do rotor na expressão do con-
jugado (16) pelas componenentes dq das correntes e fluxos do estator, determina–se o conjugado
em função de grandezas dq ce = λ
r
sdi
r
sq − λrsqirsd (30)
D. Comentários sobre o modelo odq
As seguintes simplificações foram obtidas com as novas equações para as tensões (28) e (29):
- Dos 36 elementos constituindo a matriz 6x6, 17 são nulos.
- Todos os 19 coeficientes não nulos são constantes.
- Em funcionamento onde io for nulo o sistema se reduz a cinco equações.
A matriz de transformação P s utilizada é ortogonal. Assim, pode-se mostrar que a potência é
conservada na transformação, com no caso da máquina de pólos lisos.
V. MODELO odq DA MÁQUINA SÍNCRONA A IMÃ PERMANENTE DE P ÓLOS SALIENTES
O modelo odq da máquina sı́ncrona a imã permanente é obtido do modelo odq da máquina
sincrona eliminando-se os enrolamentos amortecedores (kd e kq) e substituindo a bobina f por um
imã magnético que gera diretamente o fluxo λf .
Das expressões (22) (23) escreve-se as equações para os fluxos
λso = lsoiso (31)
λrsd = lsdi
r
sd + kfλf (32)
λrsq = lsqi
r
sq (33)
onde kf = mf/lf .
Das expressões (28) (29) deriva-se as equações para as tensões
vo = Rsio + lso
d
dt
io (34)
vrsd = Rsi
r
sd + lsd
d
dt
irsd − ωrlsqirsq (35)
vrsq = Rsi
r
sq + lsq
d
dt
irsq + ωrlsdi
r
sd + ωrkfλf (36)
Da expressão (30) e substituindo os fluxo dados em (32) e (33) obtém-se (37)
ce = kfλf i
r
sq + (lsd − lsq)irsqirsd (38)
VI. MODELO odq DA MÁQUINA SÍNCRONA À RELUTÂNCIA
O modelo odq da máquina sı́ncrona à relutância é obtido do modelo odq da máquina sincrona
imã permanente eliminando-se o imã magnético, i.e., λf = 0.
Das expressões (31)-(33) obtém-se as equações para os fluxos
λso = lsoiso (39)
λrsd = lsdi
r
sd (40)
λrsq = lsqi
r
sq (41)
Das expressões (34)-(36) escreve-se as equações para as tensões
vo = Rsio + lso
d
dt
io (42)
vrsd = Rsi
r
sd + lsd
d
dt
irsd − ωrlsqirsq (43)
vrsq = Rsi
r
sq + lsq
d
dt
irsq + ωrlsdi
r
sd (44)
Da expressão (38) e substituindo os fluxo dados em (40) e (41) deriva-se a expressão do
conjugado
ce = (lsd − lsq)irsqirsd (45)