Interseção de Subespaços Vetoriais

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dme
Interseção de Subespaços Vetoriais
Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Álgebra Linear
Alânnio Barbosa Nóbrega
alannio@dme.ufcg.edu.br
2013
Alânnio Barbosa Nóbrega Álgebra Linear
dme
Interseção de Subespaços Vetoriais
Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Teorema
Seja V um espaço vetorial. Se W1 e W2 são subespaços
vetoriais de V , então W1 ∩W2 é um subespaço vetorial de V .
Exemplo 1
Considere V = R3, W1 = π1 : x + y + z = 0 e
W2 = π2 : 2x + y = 0.
Exemplo 2
Considere V = M(3,3), W1 = {A ∈ M(3,3),aij = 0 para i > j} e
W2 = {A ∈ M(3,3),aij = 0 para i < j}.
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Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Teorema
Seja V um espaço vetorial. Se W1 e W2 são subespaços
vetoriais de V , então W1 ∩W2 é um subespaço vetorial de V .
Exemplo 1
Considere V = R3, W1 = π1 : x + y + z = 0 e
W2 = π2 : 2x + y = 0.
Exemplo 2
Considere V = M(3,3), W1 = {A ∈ M(3,3),aij = 0 para i > j} e
W2 = {A ∈ M(3,3),aij = 0 para i < j}.
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Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Teorema
Seja V um espaço vetorial. Se W1 e W2 são subespaços
vetoriais de V , então W1 ∩W2 é um subespaço vetorial de V .
Exemplo 1
Considere V = R3, W1 = π1 : x + y + z = 0 e
W2 = π2 : 2x + y = 0.
Exemplo 2
Considere V = M(3,3), W1 = {A ∈ M(3,3),aij = 0 para i > j} e
W2 = {A ∈ M(3,3),aij = 0 para i < j}.
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Interseção de Subespaços Vetoriais
Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Observação
A união de dois subespaços vetoriais pode não ser um
subespaço vetorial. Considere W1 e W2 como no exemplo
anterior.
No que segue vamos mostrar que dados W1 e W2, subespaços
vetoriais do espaço vetorial V , podemos construir um subespaço
W de V tal que W1, W2 ⊂W .
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Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Observação
A união de dois subespaços vetoriais pode não ser um
subespaço vetorial. Considere W1 e W2 como no exemplo
anterior.
No que segue vamos mostrar que dados W1 e W2, subespaços
vetoriais do espaço vetorial V , podemos construir um subespaço
W de V tal que W1, W2 ⊂W .
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Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Teorema
Seja V um espaço vetorial. Se W1 e W2 são subespaços
vetoriais de V , então
W1 + W2 = {v ∈ V ; v = v1 + v2 com v1 ∈W1 e v2 ∈W2}
é um subespaço vetorial de V .
Exemplo 1
Considere V = R3, W1 = {(x , y , z) ∈ R3; x = y} e
W2 = {(x , y , z) ∈ R3; x = 0}
Exemplo 2
Considere V = M(2,2) , W1 = {A ∈ M(2,2);a11 = a12 = 0} e
W2 = {A ∈ M(2,2);a21 = a22 = 0}
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Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Teorema
Seja V um espaço vetorial. Se W1 e W2 são subespaços
vetoriais de V , então
W1 + W2 = {v ∈ V ; v = v1 + v2 com v1 ∈W1 e v2 ∈W2}
é um subespaço vetorial de V .
Exemplo 1
Considere V = R3, W1 = {(x , y , z) ∈ R3; x = y} e
W2 = {(x , y , z) ∈ R3; x = 0}
Exemplo 2
Considere V = M(2,2) , W1 = {A ∈ M(2,2);a11 = a12 = 0} e
W2 = {A ∈ M(2,2);a21 = a22 = 0}
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Teorema
Seja V um espaço vetorial. Se W1 e W2 são subespaços
vetoriais de V , então
W1 + W2 = {v ∈ V ; v = v1 + v2 com v1 ∈W1 e v2 ∈W2}
é um subespaço vetorial de V .
Exemplo 1
Considere V = R3, W1 = {(x , y , z) ∈ R3; x = y} e
W2 = {(x , y , z) ∈ R3; x = 0}
Exemplo 2
Considere V = M(2,2) , W1 = {A ∈ M(2,2);a11 = a12 = 0} e
W2 = {A ∈ M(2,2);a21 = a22 = 0}
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Soma Direta
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Observação
Quando W1 ∩W2 = {0}, dizemos que W1 + W2 é uma soma
direta de W1 e W2 e denotamos
W1 ⊕W2
Exemplo
Mostre que W1 ⊕W2 = M(n,n), onde
W1 = {A ∈ M(n,n);At = A} e W2 = {A ∈ M(n,n);At = −A}.
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Dependência e Independência Linear
Observação
Quando W1 ∩W2 = {0}, dizemos que W1 + W2 é uma soma
direta de W1 e W2 e denotamos
W1 ⊕W2
Exemplo
Mostre que W1 ⊕W2 = M(n,n), onde
W1 = {A ∈ M(n,n);At = A} e W2 = {A ∈ M(n,n);At = −A}.
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Definição
Sejam V um espaço vetorial real e v1, v2, · · · , vn ∈ V . Dizemos que
v ∈ V é uma combinação linear de v1, v2, · · · , vn, quando
v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn.
Exemplo 1
(2,3,4) é uma combinação linear de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Exemplo 2(
3 4
0 2
)
é uma combinação linear de
(
2 0
0 0
)
e
(
1 2
0 1
)
.
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Definição
Sejam V um espaço vetorial real e v1, v2, · · · , vn ∈ V . Dizemos que
v ∈ V é uma combinação linear de v1, v2, · · · , vn, quando
v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn.
Exemplo 1
(2,3,4) é uma combinação linear de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Exemplo 2(
3 4
0 2
)
é uma combinação linear de
(
2 0
0 0
)
e
(
1 2
0 1
)
.
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Definição
Sejam V um espaço vetorial real e v1, v2, · · · , vn ∈ V . Dizemos que
v ∈ V é uma combinação linear de v1, v2, · · · , vn, quando
v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn.
Exemplo 1
(2,3,4) é uma combinação linear de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Exemplo 2(
3 4
0 2
)
é uma combinação linear de
(
2 0
0 0
)
e
(
1 2
0 1
)
.
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Teorema
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, · · · , vn ∈ V , o conjunto
[v1, v2, · · · , vn] = {v ∈ V ; v = α1v1+α2v2+· · ·+αnvn com αi ∈ R}
é um subespaço vetorial de V .
O subespaço [v1, v2, · · · , vn] é denominado subespaço gerado
pelos vetores v1, v2, · · · , vn.
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Exemplos
(Uma reta em R3)Seja V = R3. Dado v ∈ V , com v 6= 0,
temos
[v ] = {αv ;α ∈ R}
(Uma plano em R3)Seja V = R3. Dados v1, v2 ∈ V , com
v1 6= αv2,∀α ∈ R, temos
[v1, v2] = {α1v1 + α2v2;α1, α2 ∈ R}
[
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ] = R3
Sejam
−→
i = (1,0),
−→
j = (0,1) e v = (1,1). Então
[
−→
i ,
−→
j , v ] = [
−→
i ,
−→
j ]
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Exemplos
(Uma reta em R3)Seja V = R3. Dado v ∈ V , com v 6= 0,
temos
[v ] = {αv ;α ∈ R}
(Uma plano em R3)Seja V = R3. Dados v1, v2 ∈ V , com
v1 6= αv2,∀α ∈ R, temos
[v1, v2] = {α1v1 + α2v2;α1, α2 ∈ R}
[
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ] = R3
Sejam
−→
i = (1,0),
−→
j = (0,1) e v = (1,1). Então
[
−→
i ,
−→
j , v ] = [
−→
i ,
−→
j ]
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Exemplos
(Uma reta em R3)Seja V = R3. Dado v ∈ V , com v 6= 0,
temos
[v ] = {αv ;α ∈ R}
(Uma plano em R3)Seja V = R3. Dados v1, v2 ∈ V , com
v1 6= αv2,∀α ∈ R, temos
[v1, v2] = {α1v1 + α2v2;α1, α2 ∈ R}
[
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ] = R3
Sejam
−→
i = (1,0),
−→
j = (0,1) e v = (1,1). Então
[
−→
i ,
−→
j , v ] = [
−→
i ,
−→
j ]
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Soma DiretaCombinação Linear
Dependência e Independência Linear
Exemplos
(Uma reta em R3)Seja V = R3. Dado v ∈ V , com v 6= 0,
temos
[v ] = {αv ;α ∈ R}
(Uma plano em R3)Seja V = R3. Dados v1, v2 ∈ V , com
v1 6= αv2,∀α ∈ R, temos
[v1, v2] = {α1v1 + α2v2;α1, α2 ∈ R}
[
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ] = R3
Sejam
−→
i = (1,0),
−→
j = (0,1) e v = (1,1). Então
[
−→
i ,
−→
j , v ] = [
−→
i ,
−→
j ]
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Exemplos
(Uma reta em R3)Seja V = R3. Dado v ∈ V , com v 6= 0,
temos
[v ] = {αv ;α ∈ R}
(Uma plano em R3)Seja V = R3. Dados v1, v2 ∈ V , com
v1 6= αv2,∀α ∈ R, temos
[v1, v2] = {α1v1 + α2v2;α1, α2 ∈ R}
[
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ] = R3
Sejam
−→
i = (1,0),
−→
j = (0,1) e v = (1,1). Então
[
−→
i ,
−→
j , v ] = [
−→
i ,
−→
j ]
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Sejam v1 =
(
1 0
1 0
)
, v2 =
(
0 1
0 0
)
, v3 =
(
0 0
1 0
)
e
v4 =
(
0 0
0 1
)
.
[v1, v2, v3, v4] = M(2,2).
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Dependência e Independência Linear
Sejam v1 =
(
1 0
1 0
)
, v2 =
(
0 1
0 0
)
, v3 =
(
0 0
1 0
)
e
v4 =
(
0 0
0 1
)
.
[v1, v2, v3, v4] = M(2,2).
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Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Definição
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, · · · , vn ∈ V . Dizemos que
o conjunto {v1, v2, · · · , vn} é linearmente independente (LI)
quando
a1v1 + a2v2 + · · · , vn = 0,
implicar em
a1 = a2 = · · · = an = 0.
Caso contrário, o conjunto {v1, v2, · · · , vn} é chamado
linearmente dependente (LD).
Exemplos
{(1,0), (0,1)} é um conjunto LI em R2
{(1,0), (0,1), (1,1)} é um conjunto LD em R2
{x2, x ,1} é um conjunto LI em P2
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Definição
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, · · · , vn ∈ V . Dizemos que
o conjunto {v1, v2, · · · , vn} é linearmente independente (LI)
quando
a1v1 + a2v2 + · · · , vn = 0,
implicar em
a1 = a2 = · · · = an = 0.
Caso contrário, o conjunto {v1, v2, · · · , vn} é chamado
linearmente dependente (LD).
Exemplos
{(1,0), (0,1)} é um conjunto LI em R2
{(1,0), (0,1), (1,1)} é um conjunto LD em R2
{x2, x ,1} é um conjunto LI em P2
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Definição
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, · · · , vn ∈ V . Dizemos que
o conjunto {v1, v2, · · · , vn} é linearmente independente (LI)
quando
a1v1 + a2v2 + · · · , vn = 0,
implicar em
a1 = a2 = · · · = an = 0.
Caso contrário, o conjunto {v1, v2, · · · , vn} é chamado
linearmente dependente (LD).
Exemplos
{(1,0), (0,1)} é um conjunto LI em R2
{(1,0), (0,1), (1,1)} é um conjunto LD em R2
{x2, x ,1} é um conjunto LI em P2
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Definição
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, · · · , vn ∈ V . Dizemos que
o conjunto {v1, v2, · · · , vn} é linearmente independente (LI)
quando
a1v1 + a2v2 + · · · , vn = 0,
implicar em
a1 = a2 = · · · = an = 0.
Caso contrário, o conjunto {v1, v2, · · · , vn} é chamado
linearmente dependente (LD).
Exemplos
{(1,0), (0,1)} é um conjunto LI em R2
{(1,0), (0,1), (1,1)} é um conjunto LD em R2
{x2, x ,1} é um conjunto LI em P2
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Teorema
O conjunto {v1, v2, · · · , vn} é linearmente dependente se,
somente se, um destes vetores dor uma combinação linear dos
outros.
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Definição
Um conjunto {v1, v2, · · · , vn} de vetores de um espaço vetorial
V é uma base para o espaço quando:
1 {v1, v2, · · · , vn} é LI;
2 [v1, v2, · · · , vn] = V
Exemplos
{(1,0), (0,1)} é uma base de R2
{x2, x ,1} é uma base de P2
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Definição
Um conjunto {v1, v2, · · · , vn} de vetores de um espaço vetorial
V é uma base para o espaço quando:
1 {v1, v2, · · · , vn} é LI;
2 [v1, v2, · · · , vn] = V
Exemplos
{(1,0), (0,1)} é uma base de R2
{x2, x ,1} é uma base de P2
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Definição
Um conjunto {v1, v2, · · · , vn} de vetores de um espaço vetorial
V é uma base para o espaço quando:
1 {v1, v2, · · · , vn} é LI;
2 [v1, v2, · · · , vn] = V
Exemplos
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{x2, x ,1} é uma base de P2
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