Transformações Lineares

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dme
Transformações Lineares
Álgebra Linear
Alânnio Barbosa Nóbrega
alannio@dme.ufcg.edu.br
2013
Alânnio Barbosa Nóbrega Álgebra Linear
dme
Transformações Lineares
Teorema
Dados dois espaços vetoriais V e W e uma base de V ,
{v1, v2, · · · , vn}. Sejam w1,w2, · · · ,wn elementos arbitrários de
W . Então existe uma única transformação linear T : V →W tal
que
Tv1 = w1,Tv2 = w2, · · · ,Tvn = wn.
Essa aplicação é dada por
Tv = a1Tv1 + a2Tv2 + · · ·+ anTvn,
onde v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn.
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Transformações Lineares
Exemplos
1 Qual a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1,0) = (2,−1,0) e T (0,1) = (0,0,1)?
2 Qual a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1,1) = (3,2,1) e T (0,−2) = (0,1,0)?
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Exemplos
1 Qual a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1,0) = (2,−1,0) e T (0,1) = (0,0,1)?
2 Qual a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1,1) = (3,2,1) e T (0,−2) = (0,1,0)?
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Transformações Lineares
Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. A imagem de T é o
conjunto dos vetores w ∈W tais que existe um vetor v ∈ V , que
satisfaz Tv = w .
Notação: ImT ou T (V ).
Afirmação
T (V ) é um subespaço de W .
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Transformações Lineares
Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. A imagem de T é o
conjunto dos vetores w ∈W tais que existe um vetor v ∈ V , que
satisfaz Tv = w .
Notação: ImT ou T (V ).
Afirmação
T (V ) é um subespaço de W .
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Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. O núcleo de T é o
conjunto dos vetores v ∈ V tais que Tv = 0.
Notação: ker(T ) ou N(T ).
Afirmação
N(T ) é um subespaço de V .
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Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. O núcleo de T é o
conjunto dos vetores v ∈ V tais que Tv = 0.
Notação: ker(T ) ou N(T ).
Afirmação
N(T ) é um subespaço de V .
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Exemplos
1
T : R2 → R
(x , y) 7→ T (x , y) = x + y .
2
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x ,2y ,0).
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Exemplos
1
T : R2 → R
(x , y) 7→ T (x , y) = x + y .
2
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x ,2y ,0).
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Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
injetora se dados u, v ∈ V com Tu = Tv , então u = v .
Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
sobrejetora quando T (V ) = W
Exemplos
1
T : R2 → R3
(x , y) 7→ T (x , y) = (x , y , x + y).
2
T : R3 → R2
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x + y , x + z).
3
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x − y ,2z,−5y + 7z).
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Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
injetora se dados u, v ∈ V com Tu = Tv , então u = v .
Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
sobrejetora quando T (V ) = W
Exemplos
1
T : R2 → R3
(x , y) 7→ T (x , y) = (x , y , x + y).
2
T : R3 → R2
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x + y , x + z).
3
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x − y ,2z,−5y + 7z).
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Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
injetora se dados u, v ∈ V com Tu = Tv , então u = v .
Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
sobrejetora quando T (V ) = W
Exemplos
1
T : R2 → R3
(x , y) 7→ T (x , y) = (x , y , x + y).
2
T : R3 → R2
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x + y , x + z).
3
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x − y ,2z,−5y + 7z).
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Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
injetora se dados u, v ∈ V com Tu = Tv , então u = v .
Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
sobrejetora quando T (V ) = W
Exemplos
1
T : R2 → R3
(x , y) 7→ T (x , y) = (x , y , x + y).
2
T : R3 → R2
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x + y , x + z).
3
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x − y ,2z,−5y + 7z).
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Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
injetora se dados u, v ∈ V com Tu = Tv , então u = v .
Definição
Seja T : V →W uma transformação linear. Diremos que T é
sobrejetora quando T (V ) = W
Exemplos
1
T : R2 → R3
(x , y) 7→ T (x , y) = (x , y , x + y).
2
T : R3 → R2
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x + y , x + z).
3
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x − y ,2z,−5y + 7z).
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Teorema
Seja T : V →W uma transformação linear. Então N(T ) = 0 se,
e somente se, T é injetora .
Exemplos
1
T : R3 → R3
(x , y) 7→ T (x , y) = (x + y − z, y + z, y).
2
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x + y , x − z, y + z).
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Teorema
Seja T : V →W uma transformação linear. Então N(T ) = 0 se,
e somente se, T é injetora .
Exemplos
1
T : R3 → R3
(x , y) 7→ T (x , y) = (x + y − z, y + z, y).
2
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x + y , x − z, y + z).
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Teorema
Seja T : V →W uma transformação linear. Então N(T ) = 0 se,
e somente se, T é injetora .
Exemplos
1
T : R3 → R3
(x , y) 7→ T (x , y) = (x + y − z, y + z, y).
2
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x + y , x − z, y + z).
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Teorema
Se T : V →W uma transformação linear injetora, então T leva
vetores LI em vetores LI.
Exemplo
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x − y ,2z,−5y + 7z).
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Teorema
Se T : V →W uma transformação linear injetora, então T leva
vetores LI em vetores LI.
Exemplo
T : R3 → R3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x − y ,2z,−5y + 7z).
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Teorema
Seja T : V →W uma transformação linear.Então
dim(N(T )) + dim(Im(T )) = dim(V ).
Corolário 1
Se T : V →W uma transformação linear e
dim(V ) = dim(W ).Então T é injetora se, e somente se T é
sobrejetora.
Corolário 2
Se T : V →W uma transformação linear. Se dim(V ) = dim(W ),
então T a imagem de vetores de uma base de V é uma base de
W .
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Teorema
Seja T : V →W uma transformação linear.Então
dim(N(T )) + dim(Im(T )) = dim(V ).
Corolário 1
Se T : V →W uma transformação linear e
dim(V ) = dim(W ).Então T é injetora se, e somente se T é
sobrejetora.
Corolário 2
Se T : V →W uma transformação linear. Se dim(V ) = dim(W ),
então T a imagem de vetores de uma base de V é uma base de
W .
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Teorema
Seja T : V →W uma transformação linear.Então
dim(N(T )) + dim(Im(T )) = dim(V ).
Corolário 1
Se T : V →W uma transformação linear e
dim(V ) = dim(W ).Então T é injetora se, e somente se T é
sobrejetora.
Corolário 2
Se T : V →W uma transformação linear. Se dim(V ) = dim(W ),
então T a imagem de vetores de uma base de V é uma base de
W .
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Transformações Lineares
Quando T : V →W é uma transformação linear bijetora diremos
que T é um isomorfismo. Neste caso dizemos que os espaços
V e W são isomorfos
Exemplos
1 P2 é isomorfo a R3
2 M(2,2) é isomorfo a R4
Associado a um isomorfismo T : V →W , temos um isomorfismo
T−1 : W → V
Exemplos
Dada a transformação linear T (x , y , z) = (x− 2y , z, x + y).
Verifique se existe T−1. Caso exista determine sua lei de
formação.
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Quando T : V →W é uma transformação linear bijetora diremos
que T é um isomorfismo. Neste caso dizemos que os espaços
V e W são isomorfos
Exemplos
1 P2 é isomorfo a R3
2 M(2,2) é isomorfo a R4
Associado a um isomorfismo T : V →W , temos um isomorfismo
T−1 : W → V
Exemplos
Dada a transformação linear T (x , y , z) = (x − 2y , z, x + y).
Verifique se existe T−1. Caso exista determine sua lei de
formação.
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Quando T : V →W é uma transformação linear bijetora diremos
que T é um isomorfismo. Neste caso dizemos que os espaços
V e W são isomorfos
Exemplos
1 P2 é isomorfo a R3
2 M(2,2) é isomorfo a R4
Associado a um isomorfismo T : V →W , temos um isomorfismo
T−1 : W → V
Exemplos
Dada a transformação linear T (x , y , z) = (x − 2y , z, x + y).
Verifique se existe T−1. Caso exista determine sua lei de
formação.
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Quando T : V →W é uma transformação linear bijetora diremos
que T é um isomorfismo. Neste caso dizemos que os espaços
V e W são isomorfos
Exemplos
1 P2 é isomorfo a R3
2 M(2,2) é isomorfo a R4
Associado a um isomorfismo T : V →W , temos um isomorfismo
T−1 : W → V
Exemplos
Dada a transformação linear T (x , y , z) = (x − 2y , z, x + y).
Verifique se existe T−1. Caso exista determine sua lei de
formação.
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Quando T : V →W é uma transformação linear bijetora diremos
que T é um isomorfismo. Neste caso dizemos que os espaços
V e W são isomorfos
Exemplos
1 P2 é isomorfo a R3
2 M(2,2) é isomorfo a R4
Associado a um isomorfismo T : V →W , temos um isomorfismo
T−1 : W → V
Exemplos
Dada a transformação linear T (x , y , z) = (x − 2y , z, x + y).
Verifique se existe T−1. Caso exista determine sua lei de
formação.
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